STEREOMETRIEOdchylky přímek

VY_32_INOVACE_M3r0114Mgr. Jakub Němec

ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat

vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez toho, abychom uměli určit kolmost přímky a roviny.

V této lekci se naučíme určovat odchylku dvou přímek v prostoru. K tomu potřebujeme znát dvě důležitá pravidla:

Odchylkou dvou různoběžných přímek rozumíme velikost každého ostrého nebo pravého úhlu, které spolu přímky svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°.

Odchylkou dvou mimoběžných přímek rozumíme odchylku dvou různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžnými s danými mimoběžkami.

Při řešení příkladu je základem nalézt rovinu (dvě různoběžné přímky určují rovinu), v níž budeme schopni odchylku přímek určit a díky tomu vypočítat.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 6 cm urči odchylku přímek AC a BC.

Přímky AC a BC leží v jedné rovině a jsou různoběžné.

Protínají se v bodě C, a proto je naše hledaná odchylka úhel .

Z vlastností čtverce (stěna krychle) lze snadno odvodit, že úhel

Tento úhel lze také snadno spočítat díky goniometrickým funkcím.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm urči odchylku přímek BE a CE.

Přímky BE a CE jednoznačně určují rovinu, která určuje řez krychle BCHE.

Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana krychle a strana BE je úhlopříčka stěny krychle.

Přímky BE a CE se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel .

Trojúhelník BCE je pravoúhlý, proto při výpočtu můžeme užít Pythagorovy věty a goniometrické funkce.

Strana BE je úhlopříčka ve stěně krychle, její výpočet by již neměl činit problém.

Vzhledem k vlastnostem pravoúhlého trojúhelníku nám stačí znát dvě strany (BE, BC) k výpočtu úhlu.

|𝐵𝐸|2=|𝐴𝐵|2+|𝐴𝐸|2

𝑢2=𝑎2+𝑎2

𝑢=𝑎√2𝑢=𝟖√𝟐𝒄𝒎

tan𝛼=|𝐵𝐶||𝐵𝐸|

tan𝛼=𝑎𝑢

tan𝛼= 88√2

= 1√2

=√22

𝛼≐𝟑𝟓°

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 3 cm urči odchylku přímek BG a CH.

Přímky BG a CH neleží v jedné rovině a nemají tak společný bod – jsou mimoběžné.

Naším prvním úkolem je tedy najít rovnoběžku jedné z přímek tak, aby se protnula s druhou přímkou.

Na obrázku je nalezena přímka BE, která protíná přímku BG a zároveň je rovnoběžná s přímkou CH.

Samozřejmě by šlo hledat rovnoběžku k přímce BG, která by měla průsečík s přímkou CH – byla by to přímka AH.

Přímky BE a BG nám jednoznačně určují rovinu a tím také řez krychle BEG.

Z vlastností krychle vyplývá, že strany trojúhelníku jsou úhlopříčky stěn krychle, a proto víme, že trojúhelník BEG je rovnostranný.

Díky skutečnosti, že nalezený řez je rovnostranný trojúhelník, víme, že každý vnitřní úhel trojúhelníku je 60°, tedy i úhlu , který je odchylkou přímek BE a G.

Příklad je vyřešen.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 12 cm urči odchylku přímek AT a SH, kde body S a T jsou po řadě středy hran BC a EH.

Přímky AT a SH jsou mimoběžné,

a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou.

Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku SG, která je rovnoběžná s přímkou AT a má společný bod s přímkou SH.

Přímky SH a SG nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.

Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez VSGH je obdélník, kde strana VS (popř. GH) má rozměr stejný jako hrana krychle. Stranu SG je třeba vypočítat.

Přímky SG a SH se protínají v bodě S, a proto je naše hledaná odchylka úhel .

Trojúhelník SGH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce.

Před výpočtem odchylky je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku SGH.

Strana SG = y leží v boční stěně, kde bod S leží uprostřed hrany BC, tedy i uprostřed strany čtverce.

K výpočtu velikosti úsečky |SG| využijeme Pythagorovy věty.

Výpočet úsečky |SG| je zde určen obecně a na závěr byl dosazen rozměr velikosti hrany krychle.

|𝑆𝐺|2=|𝑆𝐶|2+|𝐶𝐺|2

𝑦 2=(𝑎2 )2

+𝑎2

𝑦 2=𝑎2

4+𝑎2

𝑦 2=5𝑎2

4

𝑦=𝑎√52 cm

Nyní známe velikost úsečky |SG| a můžeme vypočítat úhel pomocí goniometrických funkce tangens.

Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal i rozměr úsečky |SH| a využili tak i jiných goniometrických funkcí.

tan𝛼=𝑎𝑦

tan𝛼=¿𝐺𝐻∨ ¿¿𝑆𝐺∨¿

¿ ¿

tan𝛼= 126 √5

= 2√5

=2√55

𝛼≐𝟒𝟐°

V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm, |BC|= 3 cm a |AE|= 6 cm urči odchylku přímek AD a CE.

Přímky AD a CE jsou mimoběžné,

a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou.

Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku EH, která je rovnoběžná s přímkou AD a má společný bod s přímkou CE.

Také je možné najít rovnoběžnou přímku BC, která má stejnou vlastnost.

Přímky EH a CE nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.

Z vlastností hranolu vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana kvádru. Stranu EB je třeba vypočítat.

Přímky CE a EH se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel .

Trojúhelník CEH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce.

Z obrázku je patrné, že úhel musí mít stejnou velikost, což vyplývá z vlastností pro úhly dvou rovnoběžek a jedné různoběžky (střídavé úhly).

Před výpočtem odchylky je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku CEH.

K výpočtu velikosti úsečky |CH| využijeme Pythagorovy věty.

Výpočet úsečky |CH| je uveden zde.

|𝐶𝐻|2=|𝐷𝐻|2+|𝐶𝐷|2

𝑢2=𝑐2+𝑎2

𝑢2=62+82

𝑢2=36+64𝑢2=100𝑢=√100𝑢=𝟏𝟎𝒄𝒎

Nyní známe velikost úsečky |CH| a můžeme vypočítat úhel pomocí goniometrických funkce tangens.

Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal rozměr tělesové úhlopříčky t =|CE| a využili tak i jiných goniometrických funkcí.

tan𝛼=¿𝐶𝐻∨ ¿¿𝐸𝐻∨¿

¿¿

tan𝛼=𝑢𝑏

tan𝛼=103

𝛼≐𝟕𝟑°

ÚKOL ZÁVĚREM

1) V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 7 cm urči odchylku přímek:

a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy

hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG.

2) V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 4 cm, |BC|= 10 cm a |AE|= 12 cm urči odchylku přímek:

a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy

hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG.

ZDROJE Literatura:

POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7.

Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.