STEREOMETRIEOdchylky přímky a roviny

VY_32_INOVACE_M3r0117Mgr. Jakub Němec

ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Poslední kapitolou, která se týká problematiky

odchylek v prostoru, je odchylka přímky a roviny. V této kapitole zhodnotíme předchozí znalosti, především kolmé průmět bodu do roviny.

Odchylka přímky a roviny je nejmenší z možných odchylek dané přímky a libovolné přímky z dané roviny.

Pro velikost odchylky přímky a roviny platí, že V případě, že výsledek vyjde větší než 90°, dopočteme vedlejší úhel, tedy doplněk do 180°, což bude námi hledaná odchylka.

ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Vynecháme–li speciální případy (kolmá

přímka, rovnoběžná přímka), platí, odchylka přímky a roviny se rovná odchylce přímky a jejího pravoúhlého průmětu do roviny.

Rovnoběžné přímky s danou přímkou svírají s danou rovinou stejný úhel.

V následujících příkladech si ukážeme, jak se odchylka přímky a roviny určuje.

V krychli ABCDEFGH o hraně 5 cm určete odchylku přímky BH a roviny ABC.

Prvním krokem je určení kolmého průmětu přímky BH do roviny ABC.Kolmý průmět přímky si můžeme představit jako stín přímky na rovinu, když bychom svítili baterkou kolmo na rovinu.Vzhledem k tomu, že přímka, tedy i její kolmý průmět, je určena dvěma body, stačí nám určit dva body, jejichž spojením získáme kolmý průmět.Bod přímky B leží v rovině ABC, proto nám stačí určit už jen kolmý průmět jednoho bodu přímky. Díky vlastnostem krychle to může být například bod H, který se zobrazí na bod D v dolní podstavě.

Spojením dvou bodů, které náleží kolmému průmětu přímky, získáme celý kolmý průmět přímky.V tomto případě spojíme body B a D.

Přímka a její kolmý průmět určují rovinu (žlutá), v níž můžeme určit odchylku přímky BH a roviny ABC, která je „zastoupena“ kolmým průmět přímky BH do této roviny.

Díky určení pomocné roviny by neměl být problém dopočítat odchylku .Stačí nám k tomu jediný mezivýpočet, a to určení úhlopříčky dolní podstavy DB.Poté stačí využít vlastností pravoúhlého trojúhelníku DBH a spočítat odchylku díky goniometrické funkce tangens.

Zde uveden výpočet odchylky .Řešitel však může dopočítat i velikost úsečky a využít i jiných goniometrických funkcí.

|𝐷𝐻|=𝑎=5𝑐𝑚|𝐵𝐷|=𝑢=𝑎×√2=5×√2

tan𝛼=|𝐷𝐻||𝐷𝐵|

=𝑎𝑢

tan𝛼= 55×√2

=√22

𝛼≐𝟑𝟓°

V krychli ABCDEFGH o hraně 9 cm určete odchylku přímky ST a roviny ABC, kde body S a T jsou po řadě středy hran DH a BC.

Nejdříve potřebujeme nalézt kolmý průmět přímky ST do roviny ABC.Bod T již v rovině leží, bod S se zobrazí na bod D.Přímka DT je kolmým průmětem přímky ST do roviny ABC.

Přímka ST a její kolmý průmět do roviny ABC DT určují pomocnou rovinu, v níž můžeme určit odchylku přímky ST a roviny ABC.

K určení odchylky potřebujeme znát alespoň dvě strany pravoúhlého trojúhelníku DTS.Strana SD je polovina hrany krychle, dopočítat musíme stranu DT.Poté jej již možné využít funkci tangens určit odchylku

Úsečka leží v dolní podstavě krychle a můžeme ji určit pomocí Pythagorovy věty.

Zde je uveden výpočet strany DT (postup je uveden obecně, počítáme v krychli).

𝑥2=( 𝑎2 )2

+𝑎2|𝐷𝑇|2=|𝐶𝑇|2+|𝐶𝐷|2

𝑥2=5×𝑎2

4

𝑥=𝑎×√52

𝑥=𝟗×√𝟓𝟐

Nyní známe dvě strany trojúhelníku DTS, a proto využijeme funkci tangens pro výpočet odchylky.

𝑎=9𝑐𝑚

tan𝛼=|𝐷𝑆||𝐷𝑇|

=

𝑎2𝑥 =

𝑎2

𝑎×√52

=√55

tan𝛼=

92

9×√52

=√55

𝛼≐𝟐𝟒°

V kvádru ABCDEFGH o hraně |AB|= 9 cm, |BC|= 4 cm a |AE|= 10 cm určete odchylku přímky AS a roviny ADE, kde bod S je střed horní podstavy.

Nejdříve potřebujeme nalézt kolmý průmět přímky AS do roviny ADE.Bod A již v rovině leží, bod S se zobrazí na bod T.Přímka AT je kolmým průmětem přímky ASdo roviny ADE.

Přímka AS a její kolmý průmět do roviny ADE AT určují pomocnou rovinu, v níž můžeme určit odchylku přímky AS a roviny ADE.

K určení odchylky potřebujeme znát alespoň dvě strany pravoúhlého trojúhelníku AST.Strana ST je polovina hrany, dopočítat musíme stranu AT.Poté jej již možné využít funkci tangens určit odchylku

Úsečka leží v boční stěně kvádru a můžeme ji určit pomocí Pythagorovy věty.

Zde je uveden výpočet strany AT.

|𝐴𝑇|2=|𝐸𝑇|2+|𝐴𝐸|2

𝑥2=(𝑏2 )2

+𝑐2

𝑥2=4+100

𝑏=4𝑐𝑚 𝑐=10𝑐𝑚

𝑥=√𝟏𝟎𝟒

Nyní známe dvě strany trojúhelníku AST, a proto využijeme funkci tangens pro výpočet odchylky.

𝑎=9𝑐𝑚 𝑥=√104𝑐𝑚

tan𝛼=|𝑆𝑇||𝐴𝑇|

=

𝑎2𝑥

tan𝛼=4,5

√104𝛼≐24 °

V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou 6 cm a s výškou 11 cm určete odchylku přímky CS a roviny ABC, kde bod S je střed hrany AV.

Kolmý průmět přímky CS je obdobný jako u předchozích příkladů. Bod C již leží v rovině ABC, bod S se zobrazí na bod S‘, který leží na úhlopříčce podstavy (vyplývá z vlastností pravidelného čtyřbokého jehlanu).

Přímka CS‘, tedy AC, je kolmým průmětem přímky CS do roviny ABC.

Přímka CS a její kolmý průmět do roviny ABC AC určují pomocnou rovinu, v níž můžeme určit odchylku přímky CS a roviny ABC.

Odchylku přímky AC a CS můžeme vypočítat díky pravoúhlému trojúhelníku S‘CS.Vzhledem k vlastnostem pravidelného čtyřbokého jehlanu je úsečka a úsečka Nyní stačí využít funkce tangens a odchylka je určena.

Zde je uveden výpočet odchylky |𝐶𝑆 ′|=3

4𝑢=3×𝑎×√2

4=3×6×√2

4=9×√2

2𝑐𝑚

|𝑆𝑆 ′|=𝑣2=

112 𝑐𝑚

tan𝛼=|𝑆𝑆 ′||𝐶𝑆 ′|

tan𝛼=

112

9×√22

=119×√2

=11×√218

4

ÚKOL ZÁVĚREM 1) V krychli ABCDEFGH o hraně 9 cm určete:

a) odchylku přímky HS a roviny ABC, kde bod S je střed dolní podstavy

b) odchylku přímky HT a roviny ABC, kde bod T leží na hraně BC a platí 1:2.

2) V kvádru ABCDEFGH o hraně |AB|= 5 cm, |BC|= 12 cm a |AE|= 16 cm určete:

a) odchylku přímky HS a roviny ABC, kde bod S je střed dolní podstavy

b) odchylku přímky HT a roviny ABC, kde bod T leží na hraně BC a platí 1:2.

3) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou 9 cm a s výškou 5 cm určete odchylku přímky AS a roviny ABC, kde

a) bod S je střed hrany CV. b) bod S je střed hrany BV.

ZDROJE Literatura:

POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7.

Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.