Technická FYzika pro Strojaře 1

• Šimon Kos, KFY – Číslo dveří: UF218– Email: simonkos@kfy.zcu.cz– Telefon: 37763 2245

• Informace na – http://www.kfy.zcu.cz/Pro_studenty/Predmety/

TFYS1KS.html

• Cvičení, praktika—nejsou • Zápočet zároveň se zkouškou

Zkouška

● Písemná: 5 otázek, každá za max. 2 body

10-9b…1 8-7b…2 6-5b…3

● Možnost ústní zkoušky za max. 2 body

● Hodnocení:

Důležitá role matematiky ve fyzice zdůrazňována…

Galileo: Kniha přírody je napsána jazykem matematiky (1623)

Isaac Newton: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)

Eugene Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (1960)

● Fyzikální veličiny mají číselnou hodnotu.

● Vztahy mezi fyzikálními veličinami jsou rovnice.

● Rovnice dávají do souvislosti veličiny a jejich změny v čase a prostoru.

● Změny jsou vyjádřeny derivacemi a rovnice jsou proto diferenciální rovnice(např. 2. Newtonův zákon za chvíli).

…v začátcích:

…i v době moderní fyziky:

Co to znamená:

Fyzikální veličiny

Veličina = číselná hodnota × jednotka; bez jednotky nemá číselná hodnota smysl!

Základní veličiny mechaniky:

Např. m = 5kg nebo 5[kg]

veličina jednotka

délka m

hmotnost kg

čas s

Ostatní veličiny mechaniky jsou z nich odvozené, jak uvidíme v dalším (např. rychlost, síla, moment setrvačnosti).

V dalších částech fyziky potkáme veličiny, které nejsou z těchto odvozené(např. elektrický proud, teplota, látkové množství).

Skaláry, vektory

Skaláry- jen velikost (hmotnost, čas, teplota,…)

Vektory- velikost + směr (poloha, rychlost, zrychlení, síla,…)

Označení: tučně; v psaném textu šipka nad písmenem a

Dělení podle množství informace v dané veličině:

Graficky: šipka

Složky v pravoúhlém souřadném systému

ayx

y

z

a

ax

az

a

Velikost vektoru: |a| nebo též prostě netučné a

a=(ax,ay,az)

Operace s vektory

● Sčítání, odečítání dvou vektorů, násobení vektoru skalárem

● Skalární součin dvou vektorů

● Vektorový součin dvou vektorů

Probereme postupně:

Sčítání, odečítání, násobení skalárem

a

b

a+b

b

ab+a=

Komutativní jako u čísel

a

b

a-b a

-b

a+(-b)=

Sčítání:

Odčítání:

Násobení skalárem:

3b-3b

Skalární součin

a

b

θ

|a| cos θ

Skalární součin definujeme jako a·b=|a||b| cos θ

Ve složkách: a·b=axbx + ayby + azbz

Z jednoho vektoru vezmeme pouze projekci na druhý:

Speciální případ: skalární součin vektoru sama se sebou

a·a= |a||a| cos 0°= |a|2

=ax2+ay

2+az2

Pythagorova věta

…symetrický výraz vůči a↔b…mohli jsme vzít projekci b na a

Vektorový součin

2 vektory v 3-rozměrném prostoru:

Velikost: |C| = |A| |B| sin θ

Podobnosti a rozdíly součinů

● výsledek úměrný velikosti každého z obou vektorů● platí pro ně pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí,

které uvidíme za chvíli

● skalár vs. vektor, ● cos vs. sin

(skalární součin největší pro ║, nulový pro ┴, vektorový naopak)● komutuje vs. antikomutuje,

Stejné:

Různé:

Derivace

0pro

d

d

hx

xf

h

xfhxf

x

xf

= poměr rychlostí změny veličiny f a veličiny x:

x x+h3 x+h2 x+h1

f(x)

f(x+h3)

f(x+h2)

f(x+h1)

xfxfxx

xf

xfxfxx

xf

2

2

2

2

d

d

d

d

d

d

d

dZnačení derivace:

symbolem Δ označujeme malou ale konečnou změnu veličiny

pro první derivaci

pro druhou derivaci atd.

Derivace elementárních funkcí

xxx

xxx

x

rxxx

xx

rr

sincosd

d

cossind

d

eed

d

d

d 1

● Mocnina: (spec. případ: derivace konstanty=0)

● Exponenciála:

● Trigonometrické funkce:

Pravidla pro derivování

xgxgfxgf

xfcxcf

xgxfxgxfxgxf

xgxfxgxf

● Součet:

● Součin: (i skalární nebo vektorový dvou vektorových funkcí)

● Speciálně násobení konstantou:

● Složená funkce:

xgcxfcxgcxfc 2121

● Součet a násobení konstantou dohromady dají linearitu:

Integrál

x

xFxf

d

d

xxfxxfxF dd

xxfb

a

d

Opak: známe rychlost f změny veličiny F…

Obě strany vynásobíme přírůstkem Δx čímž dostaneme přibližně přírůstek ΔF(x).

Toto přiblížení je tím lepší, čím je menší Δx. V limitě Δx→0 dostaneme integrál

Když zadáme meze, dostaneme určitý integrál:

xxfx

xFxxfx

xFd

d

d

dKdyž tyto přírůstky sečteme, dostaneme přibližně samotnou funkci F:

který je určen až na libovolně velkou integrační konstantu.

…a chceme dostat samotnou veličinu F

Geometricky

a b x

f(x)

xxfb

a

d

Při zmenšování intervalu Δx se součet blíží ploše pod křivkou.

Δx

Vlastnosti integrálu

xxfxxf

xxfxxfxxf

xxgcxxfcxxgcxfc

a

b

b

a

c

b

b

a

c

a

dd

ddd

ddd 2121

Slovy: -integrál je lineární (jako derivace)-určité integrály se sčítají při sjednocení intervalů-určitý integrál změní znaménko při výměně mezí

Mechanika…studuje pohyb těles.

Nejjednodušší: hmotný bod—když můžeme zanedbat rozměry tělesa, tj. když můžeme zanedbat otáčivý pohyb vůči posuvnému(na příští přednášce se budeme zabývat rotačním pohybem)

Kinematika: popis pohybu

Dynamika: příčiny

Toto rozdělení i v jiných částech fyziky

Kinematika hmotného bodu…

● okamžitá poloha

● trajektorie = všude, kudy bod při pohybu projde

● rychlost = derivace polohy podle času; tečná k trajektorii

● zrychlení = derivace rychlosti podle času; má

-tečnou složku kvůli změně velikosti rychlosti

-normálovou složku kvůli změně směru rychlosti

…zahrnuje následující pojmy:

Probereme je postupně:

Poloha, trajektorie

r(t)

x(t)

z(t)

y(t)

x

y

z

V časovém okamžiku t je hmotný bod v místě popsaném polohovým vektorem r(t)

se souřadnicemi x(t), y(t), z(t)

Trajektorie = všechna místa, jimiž bod projde (červená čára).

Rychlost

r(t)

x(t)

z(t)

y(t)

x

y

z

r(t+Δt)

tzt

tyt

txt

tvtvtvt

ttttt

ttt

zyx d

d,

d

d,

d

d,,

0prod

d

v

vrrr

● Složky vektoru rychlosti jsou derivace složek polohového vektoru.

● Vektor rychlosti je tečný ke trajektorii.

● Jednotka = m s-1

ZrychleníDerivujeme ještě jednou podle času:

tvt

tvt

tvt

tatatat

ttttt

ttt

zyxzyx d

d,

d

d,

d

d,,

0prod

d

a

avvv

Zrychlení může mít i složku tečnou k trajektorii i složku kolmou, tedy dostředivou neboli radiální.

Jednotka = m s-2

Radiální zrychlení…

0pror

tt

va

r

r

v

v

…je způsobené změnou směru rychlosti:

Podobnost trojúhelníků

0pro2

tr

v

t

r

r

v

t

vdá

kde r je poloměr křivosti,

Tečné zrychlení…

tt

a vd

dt

…je způsobené změnou velikosti rychlosti:

tr aaa

Dohromady

V autě nás točení volantem tlačí do strany, kdežto brzda a plyn nás tlačí dopředu a dozadu.

Hybnost, mezikrok k dynamice, je…

…„quantitas motus“ (množství pohybu)—Newton.Je tím větší, čím je větší hmotnost nebo rychlost objektu:

vp mVektor…má velikost i směr.

Takhle to vypadá, že hybnost je odvozená od rychlosti.Další vývoj fyziky ukázal, že hybnost je více fundamentální veličina než rychlost.

Jednotka = kg m s-1

Dynamika

Nature and nature's laws lay hid in night;God said "Let Newton be" and all was light.

Alexander Pope, 1730

It did not last: the Devil shouting "Ho.Let Einstein be," restored the status quo.

John Collings Squire, 1926

Tehdy básníky zajímala přírodověda (jako u nás Nerudu).

Newtonův základní zákon dynamiky:

● Slovy: působící síla je rovná změně hybnosti tělesa.

● Zákon platí v inerciální soustavě, tj. soustavě, která sama nezrychluje.

● Jednotka síly = N = kg m s-2

● Diferenciální rovnice (skrytě druhého řádu…viz 2. Newtonův zákon za chvíli)

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

pFtd

d

Důsledky…použitím matematiky

konstprod

d m

tkonstvkonstp0p0F

Slovy: když na těleso konstantní hmotnosti v inerciální soustavě nepůsobí síla, pak těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu.

…1. Newtonův zákon

1.

2.

tt

mm

mt

mmtt

konstm

raF

avvp

2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

Slovy: při konstantní hmotnosti je působící síla rovna součinu hmotnosti a zrychlení objektu.

…2. Newtonův zákon

Druhá derivace…diferenciální rovnice druhého řádu.

3. Když dva objekty působí jeden na druhý, ale bez působení vnější síly,např. kladivo a hřebík, pak

hnnailhammernh

nailhammervnejs

d

d

d

dd

d

d

d

FppF

pppF0

tt

tt

Slovy: síla, kterou působí objekt 1 na objekt 2 je stejné velikosti a opačnéhosměru k síle, kterou působí objekt 2 na objekt 1

…3. Newtonův zákon (zákon akce a reakce)

V případě kladiva a hřebíku síla Fnh zpomaluje kladivo a síla Fhn zrychluje hřebík.

Příklad: volný pádgF mg

gvvaF tt

tt

mtmd

d

d

dg

Gravitační (tíhová) síla:

kde g je tíhové zrychlení, které má i konstantní směr (dolů) i konstantní velikost (asi 10 m s-2)

Dosadíme do 2. Newtonova zákona:

Tedy objekt se pohybuje se zrychlením rovným tíhovému zrychlení.

Integrujeme obě strany poslední rovnosti: 0d1d vgggv tttt

Konstanta g jde před integrál kvůli linearitě.Integrační konstanta v0 má fyzikální význam počáteční rychlosti v čase t = 0.

Dráhu určíme z rychlosti druhým integrováním:

00

2

00

0

2

d1ddd

d

d

rvgr

vgvgvr

vgvr

tt

t

tttttttt

tttt

Integrační konstanta r0 má fyzikální význam počáteční polohy v čase t = 0.

gtvt

tvt

tvt

z

yx

d

d

0d

d

d

dPak g=(0,0,-g), takže

Integrace dá

zz

yy

xx

vgttgtv

vttv

vttv

0

0

0

d1

d0

d0

kde integrační konstanty v0x, v0y, v0z jsou složky počáteční rychlosti v čase t = 0.

Ještě jedna integrace dá souřadnice polohy jako funkce času:

Druhý způsob výpočtu: ve složkách. Zvolíme souřadnou soustavu: vodorovná rovina je xy a z směřuje svisle nahoru.

002

0

000

000

2

1dd

dd

dd

ztvgttvgtttvtz

ytvtvttvty

xtvtvttvtx

zzz

yyy

xxx

kde integrační konstanty x0, y0, z0 jsou souřadnice počáteční polohy v čase t = 0.Když ze souřadnic na obou stranách rovnice složíme vektory, dostaneme opět

Grafem jsou paraboly vzhůru nohama:

002

2

1rvgr ttt

Mechanická práce

Vztah W=F·d platí pro konstantní sílu a rovnou dráhu. V obecném případě:

Síla koná mechanickou práci, pokud se objekt, na který působí, pohybujev jejím směru a je úměrná i působící síle i posunutí

Když se objekt pohybuje v jiném směru, než je směr síly, vezmeme pouzesložku síly ve směru pohybu o velikosti F cos θ

Pak práce je rovna dF dFW cos …poznáváme skalární součin.

Tedy v tíhovém poli Země nekonáme práci, když závaží držíme na místě, nebos ním pohybujeme vodorovně.

Jednotka = J = N m = kg m2 s-2Vidíme (rychlost)2—viz dále

Libovolná síla a dráha

rFW

Dráhu přiblížíme lomenou čárou a aproximujeme

Toto přiblížení je tím lepší, čím jsou menší délky |Δr |

Tohle je stejný postup, jako když jsme zaváděli integrál,takže v limitě Δr→0 dostaneme

f

i

Wr

r

rF d

ri rf

F

Δr

f

i

f

i

f

i

f

i

f

i

dd

ddd

d

ddd

v

v

r

r

r

r

r

r

r

r

vvr

vrv

rarF mt

mt

mmW

2d2

1d2

1dd

2

1d v vvvvvvvv

Integrál spočteme použitím 2. Newtonova zákona:

Integrál přes r jsme díky 2.N.z. převedli na integrál přes v a příslušně změnili meze

Skalární součin komutuje a platí pro něj pravidlo pro součin derivací a Pythagorova věta:

2i

2f

2

2

1

2

1d

2

1d

2f

2i

f

i

mvmvvmmWv

v

v

v

vv

takže

Fyzikální interpretace

Veličina 1/2mv2 se nazývá kinetická energie

ikin,fkin,2i

2f 2

1

2

1EEmvmvW

Slovy: práce vykonaná vnější silou způsobí změnu kinetické energie

Toto odvození zákona přeměny mechanické práce na kinetickou energiiz 2. Newtonova zákona ilustruje vztah matematiky a fyziky.

Silové pole= síla v každém bodě (části) prostoru

Speciální ale velmi důležitý případ = Konzervativní silové pole: Pro jakoukoliv dráhu práce závisí jen na počátečním a koncovém bodě.

Příklad konzervativního pole: gravitační, elektrostatické

Nekonzervativní síla: elektromagnetická, tření--práce závisí na dráze

Důsledek: W=0 pro jakoukoliv uzavřenou dráhu (mohu zvolit dráhu nulové délky).

rrFrrFrrr

r

r

r

~d~~d~;0

0

0pot E

Slovy: potenciální energii -nahromadíme, když se pohybujeme proti síle pole z referenčního bodu-spotřebujeme, když se pohybujeme podél síly pole do referenčního bodu

0fpot0ipot ;;dddf

0

0

i

f

i

rrrrrrFrrFrrFr

r

r

r

r

r

EEW

Vlnka odlišuje integrační proměnnou od meze.Určitý integrál mění znaménko při výměně mezí.

Práci konzervativní síly můžeme vyjádřit pomocí potenciální energie:

Určité integrály se sčítají při sjednocení intervalů.Tento výsledek nezáleží na volbě referenčního bodu.

Dosadíme do zákona přeměny mechanické práce na kinetickou energii:

Protože práce konzervativního pole podél dráhy závisí jen na počátečním a Koncovém bodě, můžeme definovat potenciální energii vůči referenčnímu bodu r0:

První příklad ZZE; stále na něj věříme, ale s dalšími formami energie (elektromagnetická, tepelná,…)

ikin,fkin,0fpot0ipot ;; EEEE rrrr

0fpotfkin,0ipotikin, ;; rrrr EEEE

takže

Zákon zachování mechanické energie

xxFxxEx

x

~d~;0

0pot

Potenciální energii jsme spočetli ze síly.Můžeme ale naopak spočítat sílu z potenciální energie:

Pro jednoduchost uvažujeme pohyb v jednom rozměru podél osy x

0pot ;d

dxxE

xxF

Jelikož integrace je opačná operace k derivaci, platí:

Síla ve směru klesání potenciální energie.

Grafické znázornění

Epot(x;x0)

x0

x

FF

F

Stabilnírovnováha

Labilnírovnováha

Změna referenčního bodu posune křivku nahoru nebo dolu…nezmění síly.

-též pomůže určit rovnovážné polohy (místa, kde F = 0) a jejich druh:

Příklad: potenciální energie v tíhovém poli Země…

rrgrgrgrrFrrr

r

r

r

r

r

00pot

000

~d~d~d~; mmmE

…vůči referenčnímu bodu na povrchu Země

Skalární součin = mg krát projekce r0-r do směru svisle dolů

mghmE rrgrr 00pot ;

gr0-r

r

r0

výška h

povrch Země

Opět druhá možnost řešení ve složkách. Jako počátek zvolíme referenční bod a směr souřadných os zvolíme jako u volného pádu.

zmg

zyx

gm

~d~d~proto

~d,~d,~d~d

,0,0~

rrF

r

rF

mghzmgE

hyx

0,0,0

,,

0pot~d~d~;

0

rrFrrr

r

Dosazení dá:

mghE 0pot ;rr

Tedy oběma způsoby dostáváme známý vztah

V obou příkladech (volný pád a potenciální energie v tíhovém poli)jsme předpokládali, že g má i konstantní směr i konstantní velikost.

To je pravda jen dostatečně blízko povrchu Země, konkrétně pokudvýška je podstatně menší než poloměr Země.

Příště uvidíme, jak se chová gravitační síla i na velkých vzdálenostecha tím i co vedlo k vytvoření Newtonovy mechaniky.