TEHNIČKA MEHANIKA · 2020. 10. 25. · Poluprečnik Ob preseka B će se tom prilikom zaokrenuti za...

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA- PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 12. PREDAVANJE -

OTPORNOST MATERIJALA

UVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA:

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju uvijanja;

Deformacija usled uvijanja štapa kružnog preseka;

Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka;

Dimenzionisanje štapa kružnog i prstenastog poprečnog preseka

napregnutog na uvijanje;

SADRŽAJ PREDAVANJA



ČISTO SAVIJANJE:Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju čistog savijanja;

Deformacija usled čistog savijanja;

Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja.

POPREČNO SAVIJANJE:Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju poprečnog savijanja;

Deformacija usled poprečnog savijanja;

Normalni napon u slučaju poprečnog savijanja:

Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja;

Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na

poprečno savijanje.

SADRŽAJ PREDAVANJA

Uvijanje (torzija) je naprezanje štapa pod dejstvom spoljašnjih spregovasila koji dejstvuju u ravnima upravnim na osu štapa.Čisto uvijanje je naprezanje štapa na čijim krajevima dejstvuju sile koje seredukuju na spregove sila u ravnima krajeva štapa, jednakih momenata asuprotnih smerova.


OTPORNOST MATERIJALAUVIJANJE ŠTAPA KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA

Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju uvijanja (1/4)

Momenti ovih spregova sila senazivaju momenti uvijanja ilimomenti torzije i obeležavaju se MT.Opterećenje nosača suprotnousmerenim momentima uvijanjaizaziva međusobno zakretanjepoprečnih preseka nosača zaugao uvijanja Θ.

Čisto uvijanje štapa pod dejstvom koncentrisanih momenata uvijanja

T1T2




Momenti uvijanja mogu biti koncentrisani ili raspodeljeni duž štapa.

Uvijanje štapa pod dejstvom koncentrisanih momenata uvijanja

Unutrašnje sile u poprečnim presecima štapa se prilikom uvijanja redukujusamo na spegove sila u ravnima preseka štapa. Ostale komponenteunutrašnjih sila - moment savijanja, transverzalna sila i normalna sila,jednake su nuli:




Presečne sile su u svim presecima jednake, pa se može pretpostaviti da sui naponi u svim presecima jednaki, tj. da ne zavise od koordinate duž oseštapa.

0; 0; 0; 0.TM M T N≠ = = =

Analiza napregnutog nosača opterećenog na uvijanje se zasniva nasledećim pretpostavkama:

1. Poprečni preseci štapa se u procesu deformacije zaokreću kao kruta

tela i ostaju ravni i normalni na uzdužnu osu štapa;

2. Osa štapa ostaje prava i posle deformacije;

3. Rastojanja između poprečnih preseka se ne menjaju usled deformacije;

4. Poluprečnici u proizvoljnom poprečnom preseku u procesu deformacije

ostaju pravi (neiskrivljeni) i zaokreću se za isti ugao;

5. U poprečnim presecima štapa se u procesu deformacije javljaju samo

tangencijalni (smičući) naponi; Normalni naponi su jednaki nuli.




Ako je štap AB, dužine l, kružnog poprečnog preseka, poluprečnika R, ulevoj osnovi A uklješten, a na slobodnom kraju B opterećen spregom silakoji dejstvuje u samoj ravni poprečnog preseka, onda je izložen uvijanjuusled momenta uvijanja.



Deformacija usled uvijanja štapa kružnog preseka (1/4)

Vlakno ab na omotaču cilindra zaokrenuće se oko tačke a za neki ugao γ1 ipreći će u položaj ab’. Poluprečnik Ob preseka B će se tom prilikomzaokrenuti za mali ugao Θ koji se naziva ugao uvijanja štapa.Vlakno cd na rastojanju r od geometrijske ose Ax zaokrenuće se takođe zaneki mali ugao γ kome odgovara luk dd’ preseka B.




Θ - ugao uvijanja štapa (ugao zaokretanja poluprečnika);

γ i γ1 - uglovi klizanja (uglovi zaokretanja podužnih vlakanakoja su paralelna uzdužnoj osi štapa);




Odnos uglova klizanja γ i γ1 srazmeran je odnosu udaljenja vlakana od ose štapa;




1 1 1

1

0 1 max

''

0 0; ;

rs bb l R Rs dd l r l l

R rr r R

γγ Θ γγ Θ γ γΘ

γ γ γ γ γ

⎧ =⎪= = = ⎫ ⎪⇒⎬ ⎨= = = ⎭ ⎪ = =⎪⎩= ⇒ = = = ⇒ = =

Vlakno ose štapase ne deformiše;

Najviše se deformišu vlaknana cilindičnom omotaču štapa;

Najviše se deformiše poprečni presek naslobodnom kraju štapa;



Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (1/11)Veza između napona i klizanja (1/5)

Radi uspostavljanja odnosa između napona i deformacije, izdvoji seelement dužine dx iz štapa. Element je ograničen bliskim koaksijalnimcilindrima poluprečnika r i r+dr, i dvema bliskim meridijanskim ravnima.Izdvojeni element se može smatrati elementarnom zapreminom.

Elementarna zapremina štapa



Vlakna koja su paralelna osi vratila prelaze u nove položaje posledeformacije, tako da pravougaoni deo spoljašnjeg cilindra postajeparalelogram, odn. pravi uglovi su se promenili (smanjili ili povećali) zaugao γ. Taj ugao promene pravog ugla predstavlja klizanje ovogpravougaonika koji je napregnut na smicanje.Prema tome, u bočnim ravnima će dejstvovati tangencijalni naponi.

Deformacija elementarne zapremine usled uvijanja

BD

AC D

B′C′

A

dx

0MT

xr1⋅dθ

dx

B

D

A

C

B′

C′γ

ττ

τ

τ




Prema zakonu o konjugovanosti napona, tangencijalni naponi ćedejstvovati i u ravnima osnova elementarne zapremine.Na ovaj način se problem uvijanja svodi na problem čistog smicanja.

Deformacija elementarne zapremine usled uvijanja

BD

AC D

B′C′

A

dx

0MT

xr1⋅dθ

dx

B

D

A

C

B′

C′γ

ττ

τ

τ




Budući da je odnos uglova klizanja γ i γ1 srazmeran odnosu udaljenja

vlakana od ose štapa: , i da za čisto smicanje važe relacije:

i ,

može se napisati da je .

Gτ γ=1

rR

γγ

=

1 1Gτ γ=

1 max1 1

r r rR R R

γ τ τ τ τγ τ

= = ⇒ = =




Dakle, centralna vlakna (r = 0) nisu napregnuta i ne deformišu se, a

periferna vlakna (r = R) su najnapregnutija. Tangencijalni napon se linearno

menja sa radijusom.

1 max1 max

0 0,:

.rr rr RR R

ττ τ τ

τ τ τ= ⇒ =⎧

= = ⎨ = ⇒ = =⎩




Metoda preseka: Štap se preseče proizvoljnom ravni, upravnom na

uzdužnu osu štapa, i posmatra ravnoteža odsečenog dela. Uticaj

uklonjenog dela se zameni silama koje se redukuju tako da se suprotstave

dejstvu momenta uvijanja.

U poprečnom preseku štapa, element površine dA,

na rastojanju r od ose vratila, napada unutrašnja

sila τ dA. Poprečni presek sadrži beskonačno

mnogo elementarnih površina dA, na različitim

rastojanjima od ose x, i svaku napada unutrašnja

sila.

Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (6/11)Veza između napona i spoljašnjeg opterećenja – momenta uvijanja (1/5)



Elementarne unutrašnje sile leže u ravni poprečnog preseka, a pravci su im

upravni na odgovarajući radijus r. Moment dMT elementarne unutrašnje

sile τdA u odnosu na osu vratila je .

Rezultujući moment je u ravnoteži sa spoljašnjim

momentom uvijanja.

Jednačina ravnoteže zbira momenata spoljašnjih i

unutrašnjih sila za osu x:

TdM r dAτ=

( )0x T

A

M M r dAΣ τ= − =∫




( )

0

max

max( )

2max max0

( )

max0

Σ 0,

0

x TA

TA

T TA

I

T

rM M r dAR

rM r dAR

M r dA M IR R

M RI

τ τ τ

τ

τ τ

τ

= − = = ⇒

⇒ − = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ =

∫

∫

∫

Najveća vrednost tangencijalnog naponakoji se javlja u vlaknima na obodu

cilindrične povši radijusa R




0max 0

00 0

; ;T T T IM M MR WII W RR

τ = = = =

W0 [cm3] - Polarni otporni moment kružnog poprečnog preseka;

Uslov otpornosti: Najveća vrednost napona ne sme da bude veća od

odgovarajuće dozvoljene vrednosti napona:

max0

TMdtW

τ τ= ≤

Dozvoljeni napon na uvijanje τdt zavisi od vrste materijala i od stepena

sigurnosti.




Tangencijalni napon u bilo kom vlaknu preseka na rastojanju r od ose

štapa, a u preseku štapa gde je poznat spoljašnji moment uvijanja:

max

10 0

max0

T T

T

rR M Mr r R rM R R I IRI

τ τ

τ ττ

⎫= ⎪⎪ ⇒ = = ⋅ ⋅ = ⋅⎬⎪= ⋅⎪⎭

0

TMr

Iτ = ⋅

Veza između tangencijalnog napona i spoljašnjeg opterećenja

(momenta uvijanja) - druga glavna jednačina uvijanja.




0 00

;T TT

GM MG r rM r I GI

I

τ γγ γ

τ

= ⎫⎪ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⎬= ⋅ ⎪⎭

0

T TM Ml l

GIΘ = =

ℑ

Veza između ugla uvijanja i spoljašnjeg opterećenja

(momenta uvijanja) - prva glavna jednačina uvijanja.

0GIℑ = - krutost pri uvijanju(torziona krutost)

[Nm2]0

T

lr

M rGI

γΘ

γ

⎫= ⎪⎪ ⇒⎬⎪= ⋅⎪⎭

* TMlΘΘ = =

ℑ- redukovani ugao uvijanja u odnosu na

jedinicu dužine (relativni ugao uvijanja)

Napon usled uvijanja štapa kružnog preseka (11/11)Veza između ugla uvijanja i spoljašnjeg opterećenja – momenta uvijanja



Dimenzionisanje štapa kružnog poprečnog presekanapregnutog na uvijanje

Za dimenzionisanje poprečnog preseka štapa se bira presek u kome je

moment uvijanja najveći.

max maxmax 0

0

4 3 30

0 0 0

3max max30

;

, ; =2 2 16 2

16 ;16

T Tdt

dt

T T

dt dt

M MWW

I R R d dW I W RR

M MdW d

τ ττ

π π π

πτ πτ

= ≤ ⇒ ≥

= = ⇒ = =

= ≥ ⇒ ≥



Dimenzionisanje štapa prstenastog poprečnog presekanapregnutog na uvijanje

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

max maxmax 0

0

4 4

1 20 0 0

0

3 34 4

34 max

0

max3 4

;

2 2

1 1 ;2 16

116

16 ;1

T Tdt

dt

T

dt

T

dt

M MWW

R rI I IWR R R

R D

MDW

Md

τ ττ

π π

π πψ ψ

π ψτ

πτ ψ

= ≤ ⇒ ≥

−−= = = =

= − = −

= − ≥ ⇒

⇒ ≥−

r dR D

ψ = =

Čisto savijanje je naprezanje štapa pod dejstvom spoljašnjih spregova silajednakih momenata i suprotnih smerova, ili naprezanje štapa podsimetričnim dejstvom koncentrisanih sila jednakih intenziteta u ravni kojaprolazi kroz podužnu osu štapa.


OTPORNOST MATERIJALAČISTO SAVIJANJE

Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju čistog savijanja (1/4)

Čisto savijanje proste grede opterećene koncentrisanim silama jednakih intenziteta,

simetrično (čisto savijanje u polju b)

Čisto savijanje proste grede opterećene spregovima sila jednakih momenata nad

osloncima

Čisto savijanje je takav slučaj naprezanja štapa kada je u poprečnimpresecima štapa glavni vektor jednak nuli, a glavni moment ima konstantnuvrednost. Zbog diferencijalne zavisnosti između momenta i transverzalnesile, ako je transverzalna sila jednaka nuli, tada napadni moment imakonstantnu vrednost:




0, 0, 0; 0 .dMT N M T M constdx

= = ≠ = = ⇒ =




Ravan opterećenja je ravan u kojoj leže sve spoljašnje sile;

Glavne ravni štapa su ravni u kojima ležecentralne ose inercije poprečnih preseka;

Linija sile je linija preseka ravniopterećenja i poprečnog preseka.




Izučavanje naponskog i deformacionog stanja u slučaju čistog savijanja sesprovodi uz pomoć sledećih pretpostavki:

Tačke koje se nalaze u ravnima upravnim na osuštapa pre deformacije ostaju i posle deformacijeu ravnima upravnim na deformisanu (savijenu)osu štapa - hipoteza ravnih preseka (Bernulijevahipoteza).

Podužna vlakna ne dejstvuju jedna na druge, tj. zanemaruju se naponi kojidejstvuju bočno na vlakna;

Jedna od glavnih centralnih osa inercije leži u ravni opterećenja, tj. linijasile se poklapa sa jednom od glavnih centralnih osa inercije poprečnogpreseka štapa.

1.

2.

3.



Deformacija u slučaju čistog savijanja (1/4)Posmatra se prosta greda koja je opterećena spregovima sila nadosloncima. U zavisnosti od smera spregova sila, jedna vlakna se izdužuju, adruga skraćuju. Kako je prelaz od izduženih ka skraćenim vlaknimakontinualan, unutar grede mora da postoji sloj vlakana koja ne menjajudužinu, ali se deformišu, i to tako što se pomeraju u odnosu na prvobitniravan položaj i iskrivljuju se. Njihova dilatacija je jednaka nuli. Ova vlaknase zovu neutralna vlakna i ona obrazuju neutralnu površ ili tzv. neutralnisloj. Presek neutralne površi sa poprečnim presekom grede zove seneutralna osa. Savijena osa štapa, koja je presek neutralne površi i ravniopterećenja, zove se elastična linija.

Elastične linije proste grede usled naprezanja na čisto savijanje



Deformacija u slučaju čistog savijanja (2/4)

Dilatacija uočenog vlakna AB, kao relativna promena dužine vlakna, možeda se odredi na osnovu geometrijskog uslova i primenom Hukovog zakona.

Metoda preseka: Štap se preseče dvemaparalelnim ravnima upravno na njegovu osuna beskonačno malom rastojanju dx i uočivlakno AB.

Deformacija elemenarnog dela grede



Deformacija u slučaju čistog savijanja (3/4)Uočeni element ima posle deformacije savijeni oblik. Preseci su sezaokrenuli za ugao dϕ , a vlakno AB se izdužilo.Dužina vlakna AB pre deformacije jednaka je dužini neutralnog vlakna C1C2

pre i posle deformacije:


1 2 ;AB C C dρ ϕ= =

Dužina vlakna posle deformacije jednaka je

( ) ;A B y dρ ϕ′ ′ ′= +Apsolutna promenadužine posmatranogvlakna jednaka jerazlici ovih dužina:

;l A B ABΔ ′ ′= −



Deformacija u slučaju čistog savijanja (4/4)

Relativna promena dužine (dilatacija) vlakna :


( ) ;y d dA B AB y

AB dρ ϕ ρ ϕ

ερ ϕ ρ′+ −′ ′ ′−

= = =

Normalni napon, po Hukovom zakonu,u ovom slučaju ima oblik:

yEE ′==ρ

εσ



Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (1/8)

Za određivanje glavnih jednačina čistog savijanja, koje se odnose nakrivinu elastične linije i normalni napon, koristi se Metoda preseka ijednačine ravnoteže spoljašnjih i unutrašnjih sila za posmatrani deo:

( )

Σ 0: 0;A

X dAσ= =∫

( )

Σ 0: 0;yA

M z dAσ= =∫

( )

Σ 0: 0;zA

M M y dAσ= − =∫

1.

2.

3.




( )

( ) ( )

( )

Σ 0: 0

0 0

;z

A

z zA A

S

zA

X dAE E Ey dA y dA S S

EE y

y dA S

σ

ρ ρ ρσ ερ

⎫= =⎪⎪ ′ ′⇒ = = ⋅ = ⇒ =⎬⎪′= =⎪⎭

′ =

∫∫ ∫

∫

Da bi statički moment za z-osu biojednak nuli, ona mora da budecentralna osa, pa se zaključuje da setežište poprečnog preseka nalazi ukoordinatnom početku, tj. 0 ≡ C.

1.




( )

( )

( )

Σ 0: 0

0 0

;zy

yA

zy zyA A

I

zyA

M z dAE E Ez y dA zy dA I I

EE y

zy dA I

σ

ρ ρ ρσ ερ

⎫= =⎪⎪ ′ ′⇒ ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⇒ =⎬⎪′= =⎪⎭

′ =

∫∫ ∫

∫Centrifugalni moment inercije jednak je nuliako je bar jedna od osa glavna centralna osa,tako da je osa 0z glavna centralna osa: 0z ≡ Cz.Tada je:

tako da vlakna ose Cx nisu napreguta:

,Ey y yσρ

′ = ⇒ = ⋅

0 0.y σ= ⇒ =

2.




( ) ( )

( )

. .

( ) 2

2. . . .

Σ 0

0

;

N O

zA

A A

I

N O Z N OA

M M y dAE EM y ydA M y dA

EE y

EM I y dA I I

σ

ρ ρσ ερ

ρ

⎫= − =⎪⎪ ⇒ − ⋅ ⋅ = − = ⇒⎬⎪′= =⎪⎭

⇒ = ⋅ = =

∫∫ ∫

∫

Krivina elastične linije k, odn. recipročna vrednost poluprečnika krivine ρ :

3.

1Bz

M MkEIρ

= = =- prva glavna jednačina

savijanja

zEI=B - krutost pri savijanju (savojna krutost) [Nm2]




1Bz

M MkEIρ

= = =- prva glavna jednačina

savijanja

Poluprečnik krivine elastične linije u slučaju čistog savijanja je direktno

proporcionalan aksijalnom momentu inercije i modulu elastičnosti, a

obrnuto proporcionalan momentu savijanja, pa se štap manje savija ako su

modul elastičnosti i aksijalni moment veći, a napadni moment manji.

Ako je štap konstantnog poprečnog preseka od istog materijala, a napadni

moment je inače konstantan, tada je poluprečnik krivine elastične linije

konstantan i elastična linija je kružni luk.




Druga glavna jednačina savijanja pokazuje linearnu zavisnost normalnog

napona od rastojanja posmatrane tačke od neutralne ose.

Normalni napon se menja linearno po preseku u zavisnosti od rastojanja

vlakna od neutralne ose, a na neutralnoj osi je jednak nuli.

Normalni napon je proporcionalan napadnom momentu i obrnuto

proporcinalan aksijalnom momentu inercije poprečnog preseka za

neutralnu osu. Dijagram napona je u svim presecima isti ako je štap

konstantnog poprečnog preseka i od istog materijala.

1

z z

E Eyy

M E MkEI I

σσρ ρ

ρ ρ

⎫= ⋅ ⇒ = ⎪⎪ ⇒⎬⎪= = ⇒ =⎪⎭

= ⋅z

M yI

σ - druga glavna jednačina savijanja



Glavne jednačine u slučaju čistog savijanja (7/8)Ekstremne vrednosti normalnog napona se javljaju u tačkama koje su na

najvećem rastojanju od neutralne ose:

Dijagram normalnog napona u poprečnompreseku štapa pri čistom savijanju

max max ;z

M yI

σ = ;minmin yIM

z

=σ

1 max 11

;z

M MhI W

σ σ= = =

2 min 22z

M MhI W

σ σ= = =

11 h

IW z=

22 h

IW z=

Otporni momenti preseka u odnosu na krajnja vlakna

[cm3]




Za manje vrednosti otpornog momenta veća je vrednost normalnog napona

i obrnuto. Najveći napon po apsolutnoj vrednosti nastaje u vlaknu koje je na

najvećem rastojanju od neutralne ose, te se zbog toga za određivanje

najvećeg napona koristi izraz za najmanji otporni moment:

Otporni moment površine preseka zove se količnik momenta inercije te

površine u odnosu na neutralnu osu i rastojanja maksimalno udaljenog

vlakna od neutralne ose:

1 max 11

1

;zz

M M Mh II Wh

σ σ= = = = 2 min 22

2

;zz

M M Mh II Wh

σ σ= = = =

.max

zz

IWh

=

max

.NONO

IWh

=



Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na čisto savijanje

Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na čisto

savijanje vrši se na osnovu uslova da najveća vrednost normalnog napona

bude manja od dozvoljene vrednosti normalnog napona koji zavisi od vrste

materijala.

max max df zz df

M My WI

σ σσ

= ≤ ⇒ ≥

Poprečno savijanje (savijanje silama) je

slučaj savijanja izazvan silama čije su

napadne linije upravne na podužnu osu

grede (poprečne sile).

Poprečno savijanje je takav slučaj

naprezanja pri kome u poprečnim

presecima grede glavni vektor

unutrašnjih sila leži u ravni poprečnog

preseka. Glavni moment unutrašnjih sila

nije jednak nuli, a nije ni konstantan.


OTPORNOST MATERIJALAPOPREČNO SAVIJANJE

Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju poprečnog savijanja (1/2)

Poprečno savijanje proste grede opterećene koncentrisanom silom

Na osnovu diferencijalne zavisnosti

između napadnog momenta i

transverzalne sile, sledi da ako je

transverzalna sila različita od nule, onda

je i glavni moment različit od nule i

njegova funkcionalna zavisnost od

koordinate duž ose grede je za jedan

stepen veća od funkcionalne zavisnosti

transverzalne sile.



Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju poprečnog savijanja (2/2)

Poprečno savijanje proste grede opterećene koncentrisanom silom

.0;0;0 ≠=≠ MNT

U poprečnim presecima grede u

slučaju poprečnog savijanja nastaju

napadni moment M i poprečna sila T.

Usled nastanka napadnog momenta M, u

preseku grede se javlja normalni napon.

Poprečna sila T predstavlja rezultantu

neprekidno raspoređenih elementarnih

unutrašnjih sila koje leže u ravni

poprečnog preseka. One izazivaju u

poprečnom preseku grede pojavu

tangencijalnog (smičućeg) napona.



Deformacija u slučaju poprečnog savijanja (1/2)

Metoda preseka - unutrašnje elementarne sile u poprečnom

preseku štapa u slučaju poprečnog savijanja

Tangencijalni naponi izazivaju ugaonudeformaciju (klizanje) svakog elementapoprečnog preseka. Pošto sutangencijalni naponi neravnomernoraspoređeni po preseku, to je i ugaonadeformacija neravnomerno raspoređenapo preseku. Za razliku od čistogsavijanja, kod poprečnog savijanja sepoprečni preseci krive, ne ostaju ravni.Teorijska i eksperimentalna ispitivanja supokazala da je uticaj klizanja na dilatacijuneznatan, pa se uticaj klizanja pri analizinormalnog napona može zanemariti .



Deformacija u slučaju poprečnog savijanja (2/2)

Deformacija elementarnog dela grede usled poprečnog savijanja

Normalni napon se za slučaj poprečnogsavijanja određuje na isti način kao i kodčistog savijanja. Prva i druga glavnajednačina čistog savijanja se primenjujuu istom obliku i za slučaj poprečnogsavijanja. Jednačina ravnoteže zamoment sile za z-osu, gde je sa Mobeležen moment spoljašnje sile F za datipresek, glasi:



Normalni napon u slučaju poprečnog savijanja (1/2)

Metoda preseka - unutrašnje elementarne sile u poprečnom

preseku štapa u slučaju poprečnog savijanja

0zM M dA yΣ σ= − ⋅ =∫



Normalni napon u slučaju poprečnog savijanja (2/2)

( ) ( )

( ) 2 2

Σ 0

0

1z

zA

A A

I

zz

M M dA yE EM y dA M y dA

E y

E MM IEI

σ

ρ ρσρ

ρ ρ

⎫= − ⋅ =⎪⎪ ⇒ − ⋅ = − = ⇒⎬⎪=⎪⎭

⇒ = ⋅ ⇒ =

∫∫ ∫

prva glavnajednačinasavijanja

1

z z

E Eyy

M E MkEI I

σσρ ρ

ρ ρ

⎫= ⋅ ⇒ = ⎪⎪ ⇒⎬⎪= = ⇒ =⎪⎭

z

M yI

σ = ⋅

druga glavnajednačinasavijanja

Dijagram normalnog napona

Za određivanje tangencijalnog napona u poprečnom preseku se koriste

Metoda preseka i sledeće pretpostavke:

1. Tangencijalni naponi su jednaki u svim tačkama na istom rastojanju od

neutralne ose;

2. Tangencijalni napon je paralelan poprečnoj (transverzalnoj) sili.



Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (1/8)

Po Metodi preseka se iz grede izdvoji elementarna prizma ABCD tako što seodseče deo između dve poprečne i jedne podužne ravni.




Metoda preseka - raspored komponentnih napona

y

Za određivanje izraza za tangencijalni napon u tačkama na istom rastojanjuod neutralne ose i u datom poprečnom preseku grede se koristi uslovravnoteže o algebarskom zbiru projekcija spoljašnjih i unutrašnjih sila napravac podužne ose x:




Raspored sila i komponentnih napona

( )0 0;X R R b y dxΣ τ′= ⇒ − + − = ; ;ods odsA A

R dA R dAσ σ′ ′= =∫ ∫




Raspored sila i komponentnih napona

( )Σ 0 0 :

; ;

; ;

ods ods

ods ods

z zA A

z z zA A

X R R b y dx

M MR dA R dAI I

M M dM M dMR dA R dAI I I

τ

σ σ η η

σ σ η η η

′= ⇒ − + − =

⎫= = ⇒ = ⎪⎪ ⇒⎬′ + + ⎪′ ′ ′ ′= = = ⇒ =⎪⎭

∫ ∫

∫ ∫




( )ods

ods ods

0 0odsz zA A

z zA A

M M dMX dA dA b y dxI I

M MdA dAI I

Σ η η τ

η η

+= ⇒ − + − = ⇒

⇒ − +

∫ ∫

∫ ∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ods

. .

. .

. .

0 ;

;

odsz

ods

z A

S

ods odsZ N O

A

odsods odsods N OZ ZZ

Z Z Z N OT

dM dA b y dxI

S S dA

TSS TSdM dMS b y dxI dx I b y I b y I b y

η τ

η

τ τ

=

⎫+ − = ⎪

⎪⎪ ⇒⎬⎪

= = ⎪⎪⎭

⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ = =

∫

∫




( ) ( ). .

. .

odsodsN OZ

Z N O

T ST SI b y I b y

τ = = - treća glavna jednačina savijanja(formula Žuravskog)

Veličina tangencijalnog napona je direktno proporcionalna veličini

transverzalne sile u datom preseku i statičkom momentu odsečene

površine poprečnog preseka za neutralnu osu, a obrnuto proporcionalna

aksijalnom momentu inercije poprečnog preseka za neutralnu osu i širini

poprečnog preseka b paralelnoj neutralnoj osi, a na rastojanju y od nje.




Odsečena površina predstavlja površinu

poprečnog preseka koja se prostire od

vlakana u kojima se traži napon i dalje od

neutralne ose.

Najveći tangencijalni napon je u poprečnom

preseku u kome je najveća transverzalna sila

i u vlaknima poprečnog preseka za koji je

odnos najveći.( ). . /odsN OS b y



Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja (8/8)Tangencijalni napon pravougaonog preseka

( )2 3

2

1 12 2 2 2 2 2

; ; ;2 2 12

ods

ods odsZ C

A

Z

h h h hS dA y A y y b y b y y

b h bhy b y b I

η ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = + − ⋅ ⋅ − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − = =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Dijagram tangencijalnog naponapravougaonog preseka

22

22

3 3

2 2 6 ;2

12

b h yT T h y

bh b bhτ

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎣ ⎦= ⋅ = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 0

3 3 ;2 2max y

T Tbh A

τ τ=

= = = ⋅



Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na poprečno savijanje

U slučaju poprečnog savijanja se javlja složeno naprezanje s obzirom na to

da postoje i normalni i tangencijalni naponi. Tangencijalni napon se u

većini slučajeva zanemaruje. Za dimenzionisanje poprečnog preseka u

slučaju poprečnog savijanja se koristi kriterijum kao i u slučaju čistog

savijanja – uzima se najveća vrednost momenta savijanja i dozvoljeni

napon na savijanje i sračunava vrednost otpornog momenta savijanja Wz, a

na osnovu te vrednosti i jedna dimenzija poprečnog preseka:

Usvaja se prva veća vrednost koja je određena po standardima ili pogodna

za izradu preseka štapa.

.max max maxmax max df z

Z z df

M M My WI W

σ σσ

= = ≤ ⇒ ≥

1. Objasniti opšte pojmove i pretpostavke u slučaju uvijanja štapa kružnog

poprečnog preseka.

2. Deformacija u slučaju uvijanja štapa kružnog poprečnog preseka;

3. Izvesti relaciju koja predstavlja vezu između ugla uvijanja i ugla klizanja.

4. Na osnovu veze između napona i klizanja (Hukovog zakona kod

smicanja), izvesti izraz za tangencijalni napon u funkciji od poluprečnika

poprečnog preseka i to grafički prikazati.

5. Napisati glavne jednačine uvijanja i objasniti ih.

6. Objasniti način dimenzionisanja štapa kružnog i prstenastog poprečnog

preseka napregnutog na uvijanje.

Kontrolna pitanja 12



7. Objasniti opšte pojmove i pretpostavke u slučaju čistog savijanja.

8. Deformacija u slučaju čistog savijanja.

9. Napisati izraze za prvu i drugu glavnu jednačinu savijanja i objasniti.

10. Objasniti osnovne pojmove i pretpostavke u slučaju poprečnog savijanja.

11. Deformacija u slučaju poprečnog savijanja.

12. Normalni napon u slučaju poprečnog savijanja.

13. Tangencijalni napon u slučaju poprečnog savijanja.

14. Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je opterećen na

poprečno savijanje.

Kontrolna pitanja 12



Date post:	19-Jan-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

TEHNIČKA MEHANIKA · 2020. 10. 25. · Poluprečnik Ob preseka B će se tom prilikom zaokrenuti za...

Documents