UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCIPedagogická fakultaKatedra matematiky

MILENA KLEZLOVÁIV. ročník – prezenční studium

Obor: Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, matematika – rodinná výchova

VÝUKA ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ S VYUŽITÍM KONSTRUKTIVISTICKÝCH PRINCIPŮ V HODINÁCH

MATEMATIKY NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE.

Diplomová práce

Vedoucí práce: Mgr. Radka Dofková Ph.D.

OLOMOUC 2009

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně a použila jen

uvedených pramenů literatury.

V Olomouci dne 1. 4. 2009

.…………………………

vlastnoruční podpis

Děkuji Mgr. Radce Dofkové Ph.D., za odborné vedení diplomové práce, ale i

učitelům základních škol za možnost vykonávat výzkumné šetření a

poskytnutí cenných rad a materiálových podkladů k práci.

OBSAH

ÚVOD……………………………………………………………………… 7

I TEORETICKÁ ČÁST

1 PEDAGOGICKÝ KONSTRUKTIVISMUS………………………….. 9

1.1 Konstruktivismus……………………………………………….. 9

1.2 Desatero konstruktivismu……………………………………… 9

1.3 Role učitele……………………………………………………… 11

1.4 Role žáka……………………………………………………….. 12

1.5 Interakce mezi učitelem a žákem……………………………. 12

1.6 Výsledek poznání……………………………………………… 12

1.7 Transmisivní vyučování……………………………………. … 13

2 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY………………………………………… 14

2.1 Výrazy……………………………………………………………. 14

2.2 Mnohočlen………………………………………………………. 15

2.3 Sčítání a odčítání mnohočlenů……………………………… 16

2.4 Násobení mnohočlenů………………………………………. 17

2.5 Dělení mnohočlenů…………………………………………… 18

2.6 Umocňování podle vzorců…………………………………… 20

2.7 Rozklady mnohočlenů……………………………………….. 21

2.8 Krácení lomených výrazů…………………………………… 22

2.9 Rozšiřování lomených výrazů……………………………… 22

2.10 Sčítání a odčítání lomených výrazů……………………… 23

2.11 Násobení lomených výrazů……………………………….. 23

2.12 Dělení lomených výrazů…………………………………… 23

2.13 Úprava složených lomených výrazů……………………… 24

3 DIDAKTICKÁ HRA………………………………………………… 25

3.1Didaktická hra…………………………………………………. 25

3.2 Vlastnosti didaktické hry…………………………………….. 26

II PRAKTICKÁ ČÁST

4 VYUŽITÍ ZÁSAD DIDAKTICKÉHO KONSTRUKTIVISMU PŘI VÝUCE 28

4.1 Postup při výuce…………………………………………………………. 28

4.1.1 Umocňování podle vzorce 28

4.1.2 Umocňování podle vzorce ……….. 30

4.1.3 Umocňování podle vzorce ……………… 31

4.2 Hodnocení výuky pomocí didaktického konstruktivismu…………….. 31

5 ŠKOLA HROU A DIDAKTICKÉ HRY PŘI VÝUCE ALGEBRAICKÝCH

VÝRAZŮ……………………………………………………………………… 34

5.1 Didaktické hry…………………………………………………………….. 34

5.1.1 Soutěž v řadách……………………………………………………. 34

5.1.2 Správná trojka……………………………………………………… 35

5.1.3 Kolo mlýnský……………………………………………………….. 36

5.1.4 Cool matikář………………………………………………………… 37

5.1.5 Zamrzlík…………………………………………………………….. 38

5.2 Škola hrou, aneb škála zajímavých úloh ……………………………… 39

5.2.1 Zapiš výrazem obvody obrazců…………………………………… 39

5.2.2 Počítej s úsečkami…………………………………………………. 40

5.2.3 Počítej se čtverci…………………………………………………… 40

5.2.4 Najdi řešení tabulky……………………………………………….. 41

5.2.5 Magický čtverec……………………………………………………. 41

5.2.6 Najdi zadání příkladů……………………………………………… 43

5.2.7 Algebraické domino……………………………………………….. 43

5.2.8 Vypočítej hodnotu výrazů………………………………………… 46

5.2.9 Doplň chybějící výrazy…………………………………………… 47

5.2.10 Spoj zadání s výsledkem pomocí šipek………………………. 48

5.2.11 Pyramida…………………………………………………………. 49

5.2.12 Řetězce…………………………………………………………… 51

5.2.13 Tajenka…………………………………………………………… 52

5.2.14 Slovní úlohy……………………………………………………… 54

6 VÝZKUM A JEHO VÝSLEDKY……………………………………………. 56

6.1 Předmět výzkumu……………………………………………………. 56

6.2 Vyhodnocení první části A…………………………………………… 56

6.3 Vyhodnocení druhé části B………………………………………….. 59

6.4 Vyhodnocení třetí části C…………………………………………….. 61

6.4.1 Vyhodnocení algebraické části………………………………. 61

6.4.2 Vyhodnocení zájmových činností v hodinách matematiky.. 64

ZÁVĚR …………………………………………………………………………. 68

POUŽITÁ LITERATURA A PRAMENY …………………………………….. 71

SEZNAM PŘÍLOH …………………………………………………………….. 72

PŘÍLOHY

ANOTACE

ÚVOD

N. Stehlíková (2004, s. 12) ve své knize uvádí, že myšlenka konstrukce

vlastního poznání je stará více než dvě tisíciletí. Sokrates, který vedl své diskusní

partnery k poznání tím, že jim kladl dobře promyšlené otázky, sám sebe

přirovnával k porodní bábě. Podobně jako ona pomáhá na svět dítěti, on pomáhá

na svět myšlence dřímající v hlubokém zákoutí vědomí jeho diskusního partnera.

Pro svou diplomovou práci jsem si vybrala téma, o kterém si myslím, že by

mohlo být prospěšné nejen pro mě, ale i pro budoucí učitele na základních

školách. Otázka výuky pomocí zásad pedagogického konstruktivismu je velmi

diskutovaná, protože se po žácích vyžaduje, aby danému tématu porozuměli,

uchovali si jej co nejdéle v paměti a dokázali jej aplikovat v praxi.

Cílem mé práce je vytvořit návod, jak postupovat při výuce algebraických

výrazů pomocí zásad pedagogického konstruktivismu. Dále vytvořit soubor

didaktického materiálů pro žáky osmých tříd na porozumění a upevnění znalostí

této problematiky. Ze studií vyplývá, že pochopení a aplikovaní nabytých

zkušeností v oblasti algebraických výrazů je pro žáky základních škol velmi

obtížné a žáci tuto látku nemají v oblibě.

Práci dělím na dvě části, na teoretickou a praktickou. V první kapitole

teoretické části se budu zabývat pojmem konstruktivismu a transmisivní

vyučování, ráda bych zde vytyčila desatero didaktického konstruktivismu

a popsala vzájemnou komunikaci mezi žákem a učitelem. V následující kapitole

shrnu co jsou výrazy, jak je členíme a upravujeme, pro názornou představu bych

v každé podkapitole uvedla konkrétní příklad. Náplní třetí kapitoly bude

charakteristika didaktické hry a její zásady.

Praktická část začíná čtvrtou kapitolou, jejímž obsahem bude návod, jak

se žáky pracovat při výuce vzorců pomocí zásad pedagogického konstruktivismu.

V páté kapitole vystihneme didaktické hry, které bych využila při výuce

na procvičování vzorců a vytvoříme souhrn úloh na opakování a pochopení tématu

algebraických výrazů. V šesté kapitole zhodnotím výzkum, který budu aplikovat

na žácích osmého a devátého ročníku, jenž se bude zabývat žákovou aktivitou

v hodinách matematiky, problematikou algebraických výrazů a technikami

konstruktivismu.

Součástí práce budou i přílohy, které by měly doplňovat výzkum o dotazník

a výpočty.

Myslím si, že pedagogický konstruktivismus je téma současnosti, ale jen málo

učitelů i žáků se s ním setkává. Se zavedením školního vzdělávacího programu

se podle mého názoru jeho zásady dostanou více do podvědomí budoucích

učitelů a své znalosti, aktivitu a nadšení uplatní při výuce v jakémkoli předmětu

na základních školách.

I. TEORETICKÁ ČÁST

1 PEDAGOGICKÝ KONSTRUKTIVISMUS

1.1 Konstruktivismus

O přednostech konstruktivismu se v didaktice matematiky hovoří od 80. let

minulého století, nicméně jeho principy setrvávají v rovině teoretické než

praktické. Konstruktivismus rovněž dostává celou řadu přívlastků podle toho, jaké

hlediska poznání a výuky zdůrazňuje (radikální, sociální, didaktický apod.) (Hejný,

Novotná, Stehlíková, 2004)

„[Konstruktivizmus] v psychologických a sociálních vědách směr druhé

poloviny 20. století, který zdůrazňuje aktivní úlohu člověka, význam jeho vnitřních

předpokladů a důležitost jeho interakce s prostředím a společnostı´.“ (Hartl;

Hartlová 2000, s. 271)

1.2Desatero didaktického konstruktivismu

M. Hejný a F. Kuřina (2001, s. 160–161) transformují obecný konstruktivistický

přístup k vyučování v tzv. didaktický konstruktivismus. Stanovují přitom deset

zásad, které popisují jejich pojetí k vyučování matematice:

1) Aktivita

Matematiku chápeme především jako specifickou lidskou aktivitu, tedy nikoli

jen jako její výsledek, který se obvykle formuluje do souboru definic, vět

a důkazů.

2) Řešení úloh

Podstatnou složkou matematické aktivity je hledání souvislostí, řešení úloh

a problémů, tvorba pojmů, zobecňování tvrzení a jejich dokazování. Popsaný

proces může probíhat v matematice samé nebo v libovolné jiné oblasti lidského

poznání. Tvorba matematických modelů reality je pak jeho součástí.

3) Konstrukce poznatků

Poznatky, a to nejen poznatky matematické, jsou nepřenosné. Přenosné

(z knih, časopisů, přednášek a různých médií) jsou pouze informace. Poznatky

vznikají v mysli poznávajícího člověka. Jsou to individuálními konstrukty.

4) Zkušenosti

Vytváření poznatků (např. v oblasti pojmů, postupů, představ, domněnek,

tvrzení, zdůvodnění…) se opírá o informace, je však podmíněno zkušenostmi

poznávajícího. Zkušenosti si přináší žák z části z kontaktu s realitou svého

života, měl by však mít dostatek příležitostí nabývat zkušeností i ve škole

(experimentování, řešení úloh…)

5) Podnětné prostředí

Základem matematického vzdělávání konstruktivistického typu je vytváření

prostředí podněcujícího tvořivost. Nutným předpokladem toho je tvořivý učitel

a dostatek vhodných podnětů (otázky, úlohy, problémy…) na straně jedné

a sociální klima třídy příznivé tvořivosti na straně druhé.

6) Interakce

Ačkoli je konstrukce poznatku proces individuální, přispívá k jeho rozvoji

sociální interakce ve třídě (diskuze, srovnání výsledků, konstrukce příkladů

a protipříkladů, pokusy o formulace domněnek a tvrzení, argumentace, hledání

důkazů…).

7) Reprezentace a strukturování

Pro konstruktivistický přístup k vyučování je charakteristické pěstování

nejrůznějších druhů reprezentace a strukturální budování matematického

světa. Dílčí zkušenosti a poznatky jsou různě orientovány, tříděny,

hierarchizovány, vznikají obecnější a abstraktnější pojmy.

8) Komunikace

Pro konstruktivistické vyučování v matematice má značný význam

má komunikace ve třídě a pěstování různých jazyků matematiky. Jedním z nich

je neverbální vyjadřování, jiným matematická symbolika. Dovednost vyjadřovat

vlastní myšlenky a rozumět jazyku druhých je třeba systematicky pěstovat.

9) Vzdělávací proces

Vzdělávací proces v matematice je nutno hodnotit minimálně ze tří hledisek.

První je porozumění matematice, druhé je zvládnutí matematického řemesla,

třetí jsou aplikace matematiky. Pro porozumění matematice má zásadní

význam vytváření představ, pojmů a postupů, uvědomování si souvislostí.

Rozvíjení matematického řemesla vyžaduje trénink a případně i paměťové

zvládnutí určitých pravidel, algoritmů a definic. Aplikace matematiky nemusí být

jen vyvrcholením vzdělávacího procesu, mohou hrát i roli motivační.

Matematiku se učíme jejím porozuměním.

10)Formální poznání

Vyučování, které má charakter předávaní informací (vyučování transmisivní),

nebo vyučování, které dává pouze návody, jak postupovat (vyučování

instruktivní), vede především k ukládání informací do paměti. To umožňuje

v lepším případě jejich reprodukci (např. u zkoušky), obvykle však dochází

k jejich rychlému zapomínání a zřídkakdy j jejich netriviálnímu využití. Takové

poznání je pseudopoznáním, je poznáním formálním.

1.3Role učitele

Podstatná role bývá v konstruktivistickém vyučování připisována učiteli.

Na učiteli závisí, zda bude úloha či problém předložen konstruktivisticky nebo

transmisivně, musí zvážit, který přístup je pro žáky v dané chvíli nejvýhodnější.

M. Hejný, J. Novotná, N. Stehlíková (2004, s.15) charakterizují jeho roli

v konstruktivistickém přístupu následovně:

„Učitel který je vedený snahou přispět k formování žákovy osobnosti, zejména

k jeho kognitivnímu a metakognitivnímu růstu, nepřekládá žákovi hotové pokusy

poznání, ale ukazuje mu cestu, kterými se on sám k takovému poznání může

dopracovat. Odkrývá žákovi svůj intimní vztah k matematice a předkládá

mu problémy, při jejich řešení může žák zažít krásné chvíle poznávání pravdy.

Je ochotný vyslechnout si žákovo vyprávění o jeho cestě za hledáním řešení, umí

mu být dobrým partnerem v diskuzi, ale hlavně umí spolu a ním prožívat žákovu

radost, která provází každý nový objev. Žákovi, který neumí s problémem pohnout,

který při opakovaně neúspěšných pokusech propadá beznaději, umí nabídnout

doplňující otázky i rady, umí mu dodat víru a sebedůvěru. Vede žáky k tomu, aby

si každý z nich zkonstruoval svůj vlastní, autentický obraz matematického světa,

vybudovaný na vlastních zkušenostech.“

1.4Role žáka

Předpokladem pro úspěšné poznání a aktivní zapojení žáka ve vyučovacím

procesu, je nutná především jeho vnitřní motivace, dále podněty, jenž jej vedou

k samostatné nebo skupinové práci.

„Žák je veden k samostatnému zkoumání, ke kladení vlastních otázek,

k posuzování výsledků a názorů jiných. Žák se také učí zvyšovat svou citlivost

na přítomnost chyby v práci své i ostatních a s tou chybou pak pracovat, tj. poučit

se z ní a provést sám korekci.“ (Hejný, Novotná, Stehlíková, 2004, s. 16)

1.5Interakce mezi žákem a učitelem

Komunikace v konstruktivisticky vedené výuce tvoří jeden z klíčových aspektů.

Často je uskutečňována prostřednictvím skupinové práce a kooperativního

výučování, a proto se do popředí dostává problematika komunikace mezi žáky, ale

rovněž i komunikace mezi žákem a učitelem. Žáci si navzájem předávají své

poznávání na základě vlastní konstrukce, následně přehodnocují své zkušenosti,

načež se žákovo poznání mění.

Cílem konstruktivisticky vedeného učitele je podnětné prostředí, které

povzbuzuje zvídavost žáků, radost z nového poznání a pocit seberealizace.

1.6 Výsledek poznání

M. Hejný, J. Novotná, N. Stehlíková (2004, s.18) uvádí, že „poznání založené

na vlastní zkušenosti, na žákových prekonceptech a na vlastní konstrukci

poznatků vede v ideálním případě k poznatkům, které jsou kvalitnější než

poznatky získané v transmisivním vyučování, a to z hlediska“:

1) Provázanosti na další, již existující poznatky. Důsledkem je pro vyučovací

proces větší důraz na souvislosti mezi pojmy.

2) Míry autonomie. Jedinec je veden k tomu, aby navrhoval způsoby řešení

problémů předložené učitelem a aby si postupně kladl nové otázky

a problémy.

3) Trvanlivosti. Jedinec si spíše vybaví poznatek, který si sám zkonstruoval,

než ten který se učil zpaměti.

1.7Transmisivní vyučování

V proti pólu ke konstruktivistickému přístupu vyučování stojí transmisivní

způsob výuky. Jde o vyučování zaměřené na výkon žáka něž na jeho rozvoj

osobnosti. Učitel se snaží žákům předkládat již kompletní znalosti z hlediska

rychlé cesty poznání, řeší typové úlohy a neustálým opakováním vštěpuje žákovi

přesné formulace definic a vět.

„Role žáka je v tomto typu vyučování omezena. Požaduje se od něj, aby

se předkládaná fakta nejen naučil, ale aby si je i osvojil a utvrdil, tj. aby je uměl

rychle a bezchybně aplikovat na standartní úlohy, anebo aby je uměl přesně

odříkat, zejména tehdy, když to potřebuje.“ (Hejný, Novotná, Stehlíková, 2004,

s. 20) Žák je viděn v roli pasivního příjemce a ukladatele vědomostí do paměti,

aniž by kladl důraz na jejich vzájemné propojení.

F. Kuřina (2002) a Z. Kalhous (2002) nestavějí transmisivní způsob vyučování

a konstruktivní přístup vyučování do pozice, ale považují transmisi za nutnou pro

fakta, která přejímáme bez konstrukce. Podněty nebo samostatné úlohy nelze

považovat buď za naprosto konstruktivistické nebo za zcela transmisivní.

2 VÝRAZY

2.1 Výrazy

Výrazy jsou matematické zápisy, které dělíme na:

1) Číselný výraz

„Číselný výraz lze zapisovat čísly, symboly, znaky početních úkonů

a závorkami.“ (Pešková, Mulačová, 1998)

Příkladem početního výrazu je .

Výsledek početních úkonů daného výrazu nazýváme hodnotou číselného

výrazu. Např.

.

2) Algebraický výraz

Algebraický výraz je zápis složený z čísel a písmen označující proměnné, jenž

jsou spojeny znaky operací, případně závorkami.

Příkladem je .

Dále jej rozdělujeme na:

a) racionální algebraický výraz, který neobsahuje odmocniny, např. ,

b) iracionální algebraický výraz, jehož součástí jsou odmocniny, např.

.

Výraz s proměnnými Proměnné

3) Lomený výraz

„Lomený výraz je zapsaný ve tvaru podílu dvou výrazů, přičemž jmenovatel

musí být nenulový.“(Coufalová a kol., 1999)

Příkladem je ; .

Dalším dělím dostáváme:

a) racionální lomený výraz, neobsahuje odmocniny proměnných, např.

; ,

b) iracionální lomený výraz, vyskytují se odmocniny proměnných, např.

; .

2.2 Mnohočlen

1) Jednočlen

Jednočlen je výraz, který obsahuje jenom jedno číslo nebo proměnnou, dále

jejich součin, podíl, mocninu a odmocninu.

Příkladem jsou

2) Mnohočlen

Mnohočlen je součet nebo rozdíl několika jednočlenů.

Podle počtu členů ve výrazu rozlišujeme:

Dvojčlen… , .

Trojčlen…

Čtyřčlen… , .

Výraz s proměnnými a se dá ve zkráceném zápisu

nahradit výrazem , kterému říkáme trojčlen, neboť se skládá ze tří

členů , , . Koeficientem členu je číslo 17 a členu je číslo –3.

Mnohočlen je opačný mnohočlen k trojčlenu .

„Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu získáme tak, že koeficient každého

členu daného mnohočlenu nahradíme opačným číslem.“ (Herman a kol., 1999,

st.12)

2.3 Sčítání a odčítání mnohočlenů

Sčítání mnohočlenů provádíme pomocí asociativního zákona, tak že sčítáme

koeficienty jednotlivých členů se stejnými proměnnými ve stejné mocnině.

Odčítání mnohočlenů provádíme tak, že přičteme opačný mnohočlen a nadále

sečteme příslušné členy.

1) Sčítání a odčítání jednočlenů

Sčítat a odčítat můžeme jednočleny, jenž mají stejnou proměnnou se stejnými

exponenty, proto výraz nejde sečíst. Následně sečteme (odečteme)

koeficienty a mocninu proměnné opíšeme.

Např.: .

2) Sčítání mnohočlenů

Při sčítání mnohočlenů odstraníme závorky a příslušné jednočleny se stejnou

proměnnou ve stejné mocnině sečteme.

Např.: ,

.

3) Odčítání mnohočlenů

Odčítání mnohočlenů provádíme tak, že přičteme opačný mnohočlen. To

znamená, že máme-li odečíst výraz , tak vlastně přičteme výraz

. Viz příklad.

Např.: .

2.4 Násobení mnohočlenů

1) Násobení jednočlenů

Při násobení jednočlenů vynásobíme koeficienty a mocniny se stejným

základem. Násobit člen členem je snadné.

Např.: ,

,

.

2) Násobení mnohočlenu jednočlenem

Pravidlo pro násobení mnohočlenu jednočlenem je následující - jednočlenem

vynásobíme každý člen mnohočlenu a vzniklé součiny sečteme (odečteme).

Např.: ,

.

3) Násobení mnohočlenu mnohočlenem

Obecně platí pravidlo, že každý člen prvního mnohočlenu vynásobíme každým

členem mnohočlenu druhého a všechny vzniklé součiny sečteme.

Např.:

prvním členem prvního dvojčlenu násobíme každý člen druhého dvojčlenu

,

druhým členem prvního dvojčlenu násobíme každý člen druhého

mnohočlenu ,

.

Viz následující náčrt.

k+l     

       n      

m+n        m   

     k l

2.5 Dělení mnohočlenů

1) Dělení jednočlenů

Při dělení jednočlenů postupujeme tak, že vydělíme koeficienty a mocniny

se stejným základem. Za výsledky vždy uvádíme podmínky, při kterých

má daný výraz smysl.

Např.: ,

; .

2) Dělení mnohočlenu jednočlenem

Dělení mnohočlenu jednočlenem získáme tak, že jednočlenem, který je různý

od nuly, vydělíme každý člen mnohočlenu. Následně zniklé podíly poté

sečteme (odečteme),

Např.:

; .

Někdy k zápisu dělení používáme zlomkovou čáru např.:

; .

3) Dělení mnohočlenu dvojčlenem

Při dělení vždy sepisujeme členy mnohočlenů postupně:

.

„Obecně platí pravidlo, že vydělíme 1. člen dělence 1. členem dělitele,

získaným jednočlenem vynásobíme dělitel a tento výsledek odečteme

od dělence, takto pokračujeme do té doby než dostaneme nulu, nebo kdy

je stupeň dělence menší než stupeň dělitele.“ (Pešková, Mulačová, 1998)

Pro názorné pochopení uvádím příklad s postupem:

0

1. členem dvojčlenu ( ) vydělíme 1. člen čtyřčlenu ( ), výsledek ( ) poté

vynásobíme druhým členem dvojčlenu (2),

dostaneme , jenž odečteme od původního čtyřčlenu,

dostáváme ( ), se kterým pracujeme dál a postup opakujeme.

4) Dělení mnohočlenu mnohočlenem se zbytkem

Postupujeme podobně jak u předchozího příkladu, seřadíme členy mnohočlenů

sestupně a dělíme. Pokud stupeň dělence je menší než stupeň dělitele, tak

dělení ukončujeme a říkáme, že dělíme se zbytkem.

Např.:

2.6 Umocňování podle vzorců

Pro usnadnění práce používáme následující vzorce. U každého vzorce uvádím

konkrétní příklad s grafickým znázorněním.

1)

a+b a b           

                                                         a

a+b         =                                                  b

               

2)

„Rozdíl druhých mocnin se rovná součinu součtu a rozdílů obou základů.“

a+b b            

               

b

     

a-b a

 

                                     

a b    a

3)

a-b b                   =      a

b       

    a

a-b b b                               -     +            a    

b b

          a a b

2.7 Rozklady mnohočlenů

Rozkladem mnohočlenu myslíme zápis ve tvaru součinu několika mnohočlenů

nižších stupňů. Někdy je zapotřebí skloubit následující postupy.

1) Vytýkání společného největšího dělitele před závorku

Při vytýkání společného největšího dělitele postupujeme tak, že daným

jednočlenem vydělíme postupně celý mnohočlen.

Např.: .

2) Postupné vytýkání

Při postupném vytýkání vhodně spojíme členy mnohočlenu do skupin, ze

kterých vytýkáme. Pokud najdeme v nových mnohočlenech společné

mnohočleny, postup opakujeme.

Např.:

.

3) Rozklad pomocí vzorců

Rozklad pomocí vzorců je vlastně o opačný proces umocňování pomocí

vzorců.

Např.: ,

.

2.8 Krácení lomených výrazů

Krácení lomených výrazů, provádíme tak, že čitatele i jmenovatele vydělíme

stejným výrazem různým od nuly. Uvedeme podmínky, při kterých má výraz

smysl.

Např.: , , .

2.9 Rozšiřování lomených výrazů

Lomený výraz rozšíříme tak, že čitatele i jmenovatele násobíme stejným

výrazem různým od nuly. Dále určíme podmínky, za kterých má výraz smysl.

Např.: ; .

2.10 Sčítání a odčítání lomených výrazů

1) Se stejnými jmenovateli

Při sčítání a odčítání lomených výrazů se stejným jmenovatelem sečteme

(odečteme) čitatele a jmenovatele opíšeme, pokud je to možné, výraz krátíme.

Je nutné uvést podmínky, za nichž má daný výraz smysl.

Např.: ; .

2) S různými jmenovateli

Sčítat a odčítat lomené výrazy s různými jmenovateli znamená převést výrazy

na společného jmenovatele. Poté sečteme případně odečteme čitatele

a opíšeme společného jmenovatele. Také je zapotřebí určit podmínky, při

kterých má výraz smysl.

Např.: ;

.

2.11 Násobení lomených výrazů

Násobení lomených výrazů určíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem

jmenovatelů. Nejprve krátíme výrazy a poté násobíme. Uvedeme podmínky, při

kterých mají výrazy smysl.

Např.:

; .

2.12 Dělení lomených výrazů

Dělit jeden lomený výraz druhým znamená vynásobit první výraz převráceným

výrazem k druhému výrazu. Je důležité uvést podmínky, za kterých mají výrazy

smysl.

Např.:

; .

2.13 Úprava složených lomených výrazů

„Lomený výraz, který má v čitateli nebo jmenovateli opět lomený výraz,

se nazývá složený lomený výraz.“ (Coufalová a kol., 2000)

Úprava složených lomených výrazů se uskuteční tak, že lomený výraz v čitateli

vydělíme lomeným výrazem ve jmenovateli. Nesmíme zapomenout na určení

podmínek, za kterých mají výrazy smysl.

Např.: ; .

3 DIDAKTICKÉ HRY V MATEMATICE

3.1 Didaktická hra

J. A. Komenský:

„Hra je radost. Učení při hře je radostné učení.“

Důležitým posláním učitele v každodenním přístupu k žákům je vybudovat

kladný vztah k učení. Tento proces není jednoduchý a od učitelů vyžaduje využití

moderních výchovně-vzdělávacích metod, tvořivých přístupů a netradičních

cvičení. Významnou funkci mezi těmito prvky vlastní didaktická hra.

Podle Krejčové a Volfové mohou didaktické hry přispívat ke splnění cílů výuky,

zpřístupňují zajímavou formou zvládnutí základních početních operací, umožňují

přirozenou cestou skloubit a využít poznatky, odbourávají automatizaci získaných

vědomostí a přispívají k propojení souvislostí.

„Vhodně zařazena hra v hodině matematiky vyvolává radost, vyšší

práceschopnost, uspokojení a zájem o podobné činnosti, a tím i může napomáhat

ke vzniku hlubšího poznávacího zájmu o matematiku, případně již vzniklý zájem

upevňuje a příznivě tak ovlivňuje i profesionální orientaci žáků.“ (Krejčová,

Volfová, 1995)

Didaktické hry mohou být aplikovány kdykoli během hodiny matematiky.

Je vhodné je použít při opakování a upevnění učiva, při výkladu nové látky, nebo

při řešení náročných učebních problémů. Žáci spontánně uplatňují poznávací

aktivity a realizují poznávací činnost, což vlastně vede k nenásilnému učení

(přirozenost hrové činnosti snižuje náročnost učení).

Didaktické hry vedle vzdělávacího efektu přináší významný výchovný účinek.

Dítě je přinuceno respektovat stanovená pravidla hry, učí se vyhrávat i prohrávat,

získávat či ztrácet. Čímž se podporuje jeho socializace, zmírňují se negativní

afekty při neúspěchu a dochází k sebekontrole. Mezi další pozitiva řadíme aktivitu

dítěte při výuce, žák má tedy možnost tvůrčího jednání a svobodné komunikace

se spoluhráči. Kolektivní didaktické hry upevňují společenství třídy a rozvíjí

pozitivní vztahy mezi žáky.

Hra ve vyučování efektivně pomáhá při učebních činnostech, přispívá

k přirozenému rozvoji dítěte nenáročnou, zajímavou a hlavně zábavnou formou.

Slouží jako prostředek motivační, iniciativní, aktivizační, ale také socializační.

Podle Krejčové a Volfové nelze didaktickou hru zaměňovat se zábavou,

nemůže se na ní nahlížet jako na činnost, jenž přináší pouze radost pro radost,

protože takový přístup dává podnět pro snižování její role. Didaktické hry

se nepoužívají pro pobavení žáků, ale s cílem účelně spojit herní a učební motivy

a postupně tak realizovat přechod od herních motivů k učebním, poznávacím.

Vždyť hra je pro dítě tím nejvlastnějším učením.

3.2 Vlastnosti didaktické hry

Aby hra na děti příjemně působila a plnila motivační funkci, musí se dodržet

podle Krejčové a Volfové následující pravidla:

1) Hra by měla být pro děti lákavá, zajímavá, přitažlivá a měla by odpovídat

věkovým schopnostem dětí.

2) Každá hra má srozumitelně stanovená pravidla, podle kterých se musí

všichni řídit. Pokud jej poruší, musí následovat předem určený trest.

3) Učitel musí hru předem dobře zorganizovat a materiálově zajistit.

4) Hry nezařazuje učitel do výuky náhodně. Vždy musí mít své uplatnění,

jasný cíl a smysl.

5) Učitel vyhledává ty hry, ve kterých žáci zapojí co nejvíce smyslů.

6) Každý by měl při hře uspět. Proto by měl učitel pro slabší žáky připravit

jednodušší verzi, aby i tito žáci zažili pocit radosti z úspěchu.

7) Při hře učitel zapojuje všechny žáky a v průběhu jejich činnosti je kontroluje

a povzbuzuje k práci. Doporučuje se omezit užití her, ve kterých je vybrán

jeden žák a plní úlohu sám za nečinného přihlížení ostatních. Lepší

je aktivně zapojit všechny žáky pomocí skupinové páce. Je to sice

organizačně náročnější, ale efektivnější.

8) Při rozdělování žáků do skupin se doporučuje užití principu náhodného

rozdělení žáků pomocí losu nebo rozpočítání. Navíc tak budou nuceni

spolupracovat i žáci, kteří by si jinak stejnou skupinu nezvolili.

9) Pokud pravidla vyžadují určit na začátku hry jednoho žáka, jenž bude mít

ve hře zvláštní roli, doporučujeme rovněž vybrat tohoto hráče pomocí

náhodného výběru.

Tuto kapitolu bych ráda ukončila citátem, který velice upoutal mou pozornost

při čtení knihy Didaktické hry v matematice. Myslím si, že hra do výuky patří, jen

se musí správně zvážit její využití, aby byla smysluplná.

P. Histon:

„Zábavnost vyučování nejen že není v rozporu s jeho užitečností, ale právě

naopak je absolutně základní podmínkou pro to, aby výuka ovlivnila život

budoucího dospělého člověka.“

II. PRAKTICKÁ ČÁST

4 VYUŽITÍ PEDAGOGICKÉHO KONSTRUKTIVISMU PŘI VÝUCE VZORCŮ

Při své první pedagogické praxi v dubnu 2008 jsem měla možnost vyučovat

algebraické výrazy podle zásad pedagogického konstruktivismu na Základní škole

Nový Jičín, pracoviště Dlouhá 56. Pracovala jsem se žáky osmých tříd. Společně

jsme probrali látku s názvem „Umocňování podle vzorů“. S pomocí paní učitelky

Mgr. Marie Gavlákové jsme přišli na postup, jak tuto problematiku žákům vysvětlit

pomocí zásad didaktického konstruktivismu.

Myslím si, že žáci s tímto postupem byli sami spokojeni, protože s pomocí

svého logického uvažování došli k poznání, jak umocňovat algebraické výrazy

pomocí vzorců.

4.1 Postup při výuce

4.1.1 Umocňování podle vzorce

Za prvé:

Žáci chodí postupně k tabuli a násobí dva stejné dvojčleny podle metody

„každý s každým“. Roznásobíme a poté upravíme výraz do základního tvaru.

Aspoň pět příkladů píšeme na tabuli vždy pod sebe pro přehlednost.

Např.: ,

,

,

,

.

Za druhé:

Nyní učitel klade žákům návodné otázky:

- Když se podíváte na výsledky, vidíte tam nějaké pravidlo?

- Jaké máme znaménka v obou závorkách?

- Jaká znaménka nám vyšla ve výsledku?

- Jaký mnohočlen nám vyšel po roznásobení?

- Jaký mnohočlen nám vyšel v konečném výsledku?

- Co je naším prvním (druhým, třetím) členem?

- Co myslíte? Jak jsme došli k prvnímu (druhému, třetímu) členu našeho

výsledku?

- V závorce mám , ve výsledku máme . O jakou operaci se jedná?

- Jakým způsobem jsme mohli dosáhnout výsledku ?

Za třetí:

Žákům se musí připomenout principy umocňování na konkrétních příkladech.

Musí vědět, že druhá mocnina je součin dvou stejných činitelů.

Domnívám se, že by bylo vhodné žákům připomenout vzorce pro výpočet

obsahu čtverce, povrchu a objemu krychle a znovu si osvětlit pomocí tělesových

útvarů, že a .

Za čtvrté:

Žáci si do školních sešitů pomocí barevných tužek a propisek zaznačí vzorec

a písemný postup.

„Nechť je první člen, je druhý člen. První člen ze závorky umocníme na

druhou, znaménko + opíšu ze závorky, číslem dvě vynásobíme první i druhý člen,

vždy znaménko +, umocním druhý člen.“

Za páté:

Poté pomocí nadiktovaného postupu, řešíme umocňování podle vzorce

na konkrétních příkladech.

Např.:

1) Umocníme první člen. Co je 1. členem? ,

2) Opíšu znaménko + ze závorky. +,

3) Číslem dvě vynásobíme 1. člen a 2. člen. Co je 1. a 2. členem?

,

4) Vždy znaménko +. +,

5) Umocníme druhý člen. Co je naším 2. členem? .

Za šesté:

Společně se žáky procvičujeme příklady buď u tabule nebo pomocí

didaktických her.

Tímto způsobem pokračujeme i při výuce umocňování pomocí dalších vzorců

a .

4.1.2 Umocňování podle vzorce

Opakujeme kroky za prvé a druhé. Na vzorec bystřejší už přijdou sami. Při

kladení otázek je musíme hlavně upozornit na znaménko mínus v závorce a tím

pádem i na celkový výsledek.

Např.: ,

,

,

.

Do školního sešitu nadiktujeme vzorec a postup:

„Nechť a je 1. člen, b je 2. člen. Umocníme 1. člen závorky, znaménko mínus

opíšu ze závorky, číslem dvě vynásobíme 1. a 2. člen, vždy znaménko +,

umocníme na druhou 2. člen.“ A procvičujeme.

4.1.3 Umocňování podle vzorce

Zopakujeme první a druhý krok. Žáci chodí k tabuli a roznásobují dva

dvojčleny, které se liší znaménky. Při této činnosti jim dojde, že dva prostřední

členy se nám vzájemně vyruší. Při kladení otázek je důležité je upozornit na různé

znaménka v závorkách.

Např.: ,

,

,

,

.

Definujeme vzorec a písemný postup:

„Nechť a je 1. člen, b je 2. člen. Umocníme na druhou první člen, vždy

znaménko mínus, umocníme druhý člen.“ Společně projdeme a procvičujeme

příklady.

4.2 Hodnocení výuky pomocí didaktického konstruktivismu

Myslím si, že žáci na základě svého uvažovaní došli k poznání, jak tuto

problematiku řešit. Je rozhodně lepší jim ukázat, jakým způsobem se k těmto

vzorcům došlo a na jakém principu vše funguje. Takto dané látce mnohem lépe

porozumí a uchovají si déle v paměti.

Já, jako žákyně osmé třídy, jsem se tuto látku učila tak, že paní učitelka

na tabuli napsala vzorce, my si je přepsali a naučili a potom řešili příklady. Účel

by jen jediný - naučit se a umět. Musím přiznat, že jsem se matematiku

na základní škole učila tzv. způsobem nazpaměť, byli jsme k tomu i tak vedeni.

Až na střední škole mi došlo, že tímto způsobem se učit matematiku je špatné

a že je nutné jí porozumět. Postupem času jsem přicházela k poznání,

že matematika má jasný řád a smysl.

V našem postupu je nutné zachovat kroky za prvé a za druhé. Myslím si, že

to jsou nejdůležitější části, díky kterým žáci pochopí princip umocňování pomocí

vzorců. Když chodili žáci osmých tříd k tabuli, uměli roznásobovat libovolné

mnohočleny. Tady jsme výběr zúžili jen na dva dvojčleny. Z počátku jsem jim

musela připomínat, že nemají výsledek upravený do základního tvaru, po krátké

době už tuto činnost prováděli sami od sebe. Jakmile jsem jim kladla otázky,

snažili se na ně odpovídat. Při položení otázky, zda vidí ve výsledcích nějaké

pravidlo, se mi hlásili jen bystřejší žáci a snažili se svými slovy popsat princip.

Až jsme postupně a podrobně začali rozebírat jednotlivé části vzorce, se ke slovu

dostali i průměrní žáci, kteří dokázali svými slovy formulovat odpovědi. Postupně

jsme společně vše upřesnili.

Následně si žáci vzali matematické sešity, barevné propisky a kolektivně jsme

učinili zápis. Nejdříve jsme zapsali barevně a tučně vzorec a pod něj napsali slovní

postup řešení. Mezi hlavní důvody řadíme:

1) lepší přehled a orientace ve svých poznámkách,

2) při domácí přípravě si žáci těchto barevných pouček všimnou a následně

si je prostudují,

3) pokud si se zápisem barevně a esteticky vyhrají v hodině, lépe si jej při tom

fixují.

Posléze jsme vzali konkrétní příklad a pomocí kroku číslo 5, jsme jej řešili.

Dětem došli souvislosti a počítání dalších příkladů jim nečinilo velké komplikace.

Po naučení a pochopení vzorce se vyskytovaly komplikace

při přejití na vzorec . Bylo nutné je upozorňovat na jiné

znaménko v původní závorce a také při počítání ve výsledku. Při vzorci

bylo zapotřebí rozeznat znaménka v obou závorkách. Žáci

museli dojít k poznání pomocí kladení otázek, že se jedná o jiný typ příkladu

s jiným postupem řešení.

Celkově se domnívám, že využití daného postupu pomocí zásad didaktického

konstruktivismu mělo úspěch, díky kterému žáci došli k poznání a pochopení

vzorců pro umocňování.

5 ŠKOLA HROU A DIDAKTICKÉ HRY UPLATNĚNÉ V HODINÁCH MATEMATIKY

5.1 Didaktické hry

V mé diplomové práci jsou didaktické hry pro lepší orientaci v textu uváděny

s následující strukturou:

1) Název hry.

2) Pomůcky, jenž jsou nezbytné pro danou hru.

3) Obtížnost naznačuje, pro který ročník je hra vhodná.

4) Výchovně – vzdělávací cíle vyjadřují k čemu hra ve výuce slouží, co si dítě

za pomoci dané hry procvičí a osvojí.

5) Popis hry, zde jsou uvedena pravidla hry a návod, jak hru realizovat

ve výuce.

6) Vlastní hodnocení hry na základě realizace her během pedagogické praxe

na základní školách v osmých třídách.

Před začátkem každé didaktické hry je podle mého názoru nutné zmínit dvě

následující zásady, s nimiž se setkáváme v každodenním životě. Před začátkem

hry „Není důležité vyhrát, ale zúčastnit se.“ a po vyhodnocení „Sláva vítězům, čest

poraženým.“ Z toho důvodu, aby si žáci vážili sebe navzájem, nepovyšovali

se jeden na druhého, dokázali se radovat z maličkostí a také aby dokázali přijmout

porážku.

5.1.1. Soutěž v řadách

Pomůcky:

Školní sešity a tabule.

Cíl:

Hra na procvičení algebraických výrazů – úprava, násobení a dělení

mnohočlenů, vytýkání, umocňování podle vzorců.

Obtížnost:

Hra je určená pro žáky osmé třídy.

Popis hry:

Žáci sedí ve třech řadách – řadu u dveří označíme na tabuli písmenem D, řadu

uprostřed písmenem U a řadu u okna písmenem O. Učitelovým úkolem je zajistit,

aby byl počet žáků v řadách stejný. Učitel zadá příklad a nechá žákům čas

na vypracování. Jakmile žák příklad vypočítá do školního sešitu, zvedá ruku.

Učitel sleduje počet zvednutých rukou a po uvážení řekne „stop“, žáci ihned

ukončují práci. Následně vysloví správný výsledek a vyzve, aby se přihlásili ti žáci,

kteří jej správně vypočítali. Spočítá po řadách počet zvedlých rukou a na tabuli

připisuje bod té skupině žáků, kde bylo nejvíce správných odpovědí. Žáci, jenž

měli zadaný příklad špatně vypočítaný, si jej opraví a hra pokračuje dále. Vyhrává

ta skupina žáků, která měla nejvíce bodů.

Vlastní hodnocení hry:

Žáci hráli tuto hru rádi. Vždy jsem ji zařadila na začátku hodiny, čímž si žáci

zároveň procvičili danou problematiku zábavnou a soutěživou formou. Je důležité

zde zmínit, že žáci pracovali samostatně, ale přitom táhli za jeden provaz. Čím

více zvedlých rukou, tím větší šance na výhru.

5.1.2 Správná trojka

Pomůcky:

Kartičky s příklady, židle pro žáky.

Cíl:

Hra je určená na osvojení vzorců pro umocňování .

Obtížnost:

Hra je určená pro žáky osmé třídy.

Popis hry:

Žáci utvoří libovolné trojice a posadí se na židle. Bude to vypadat jako

v autobuse, to znamená, že trojice sedí vedle sebe a za ní následují zbylé trojice.

Učitel zadá první trojici příklad, napsaný na kartičce. Pokud všichni v trojici odpoví

podle následujících kritérií správně, dostávají bod, pokud ne bod je jim odebrán.

Ta skupinka žáků, jenž získá nejvíce bodů vyhrává.

Hru uvedu nyní na konkrétním příkladě:

1) Učitel předloží žáků kartičku na níž je zadán příklad .

2) První žák umocní 1. člen. Vysloví .

3) Druhý žák doplní znaménko a prostřední člen trojčlenu. Vysloví .

4) Poslední žák určí znaménko a umocní 2. člen. Dostáváme .

Je zde ale důležité, aby se uskutečnily alespoň tři kola, aby se žáci

v odpovědích mohli vystřídat.

Vlastní hodnocení hry:

Jakmile jsem žáky seznámila s touto hrou a podrobně jim vysvětlila pravidla,

tak někteří měli problém s porozuměním, co se vlastně po nich žádá. Ale až jsme

utvořili požadovaný útvar, žáci se posadili na svá nová místa a s prvními odvážlivci

jsme ostatním žákům ukázali princip hry, bylo vše pochopeno a hra mohla začít.

Žákům se tento způsob procvičování vzorců na umocňování zamlouval,

konstatovali, že je tato činnost baví mnohem více, než jen nudné počítání příkladů

do sešitu.

Obměnou této hry je rozpočítání, čímž učitel zamezí, aby správnou trojku

utvořili jen silní žáci a tím pádem dostanou možnost vyniknout i slabší žáci. Také

doporučuji kvůli úspoře času, aby učitel přišel do hodiny dřív a společně vše

potřebné připravili.

5.1.3 Kolo mlýnský

Pomůcky:

Kartičky, na nichž jsou napsané zadání příkladů a židle pro žáky.

Cíl:

Při této hře žáci osmé třídy procvičí problematiku umocňování pomocí vzorců

.

Obtížnost:

Hra je určena pro žáky osmé třídy.

Popis hry:

Hra probíhá podobně jako hra „Správná trojka“, až na to, že žáci sedí v kruhu

a nevytváří žádné skupiny. Učitel stoji ve vnější části kruhu a podává žákům

kartičky se zadáním příkladu. Při této hře nikdo nevyhrává, slouží pouze

na osvojení dané látky a na udržení pozornosti.

Pro názornost uvádím příklad:

1) Učitel podal žákovi kartičku s příkladem . Tento žák umocní

1. člen. Dostáváme .

2) Žák co sedí v kruhu vedle něj po jeho levici doplní znaménko trojčlenu

a prostřední člen. Vysloví .

3) Opět další žák po levici doplní příslušné znaménko trojčlenu a umocní

2. člen našeho výrazu. Získáme .

4) Učitel zadá dalšímu žákovi příklad pomocí kartičky a hra pokračuje dále.

Vlastní hodnocení hry:

Výhodou této hry je nutnost ostatní kontrolovat a soustředit se, dále dávat

pozor až na dotyčného žáka přijde řada. Hra měla úspěch, žáci rychle pochopili

pravidla hry a formou této hry si zopakovali umocňování. Hra je bohužel horší

na organizaci, proto bych doporučovala ji připravit před začátkem hodiny. Také

je dobré tuto hru hrát až v době, kdy jsou navázané ve třídě dobré vztahy mezi

žáky, tím předejdete problémům, že žák nechce sedět vedle onoho žáka.

5.1.4 Cool matikář

Pomůcky:

Šerpa s nápisem „Cool matikář“, zásoba příkladů pro učitele.

Cíl:

Hra je určená na procvičení druhých mocnin z paměti. Zde si žáci osvojí princip

umocňování na druhou, jak daného koeficientu, tak i proměnné.

Obtížnost:

Hra je určená pro žáky osmé a deváté třídy.

Popis hry:

Cool matikář je obměnou hry „Matematický král“, jenž se užívá v hodinách

matematiky na prvním stupni při procvičování malé násobilky.

Principem této hry je utvoření dvojic. Učitel vysloví příklad a žáci z paměti

co nejrychleji odpoví. Ten z dvojice, který odpoví dřív a správně, pokračuje ve hře

dál a utváří novou dvojici s dalším výhercem. Poražení si sedají na své místo,

dávají pozor a fandí svým spolužákům. Hra končí, jakmile z poslední dvojice

zůstane vítěz. Učitel žákovi pogratuluje a ověnčí jej šerpou, kterou si na sobě

nechá po celou dobu hodiny matematiky.

Vlastní hodnocení hry:

Hra na cool matikáře měla obrovský úspěch, je vidět, že mezi žáky je zdravá

soutěživost a následný úspěch si navzájem přejí. Někteří žáci se s touto hrou

opravdu setkali i na prvním stupni základní školy, tak byli rádi, že si ji mohli

v obměněné formě opět zahrát.

Nutné je, aby učitel měl u sebe napsanou zásobu zadaných příkladů, jakmile

by v hodině přemýšlel, mohla by se hra zbytečně prodlužovala a učitel by mohl

vytvářet podobný styl příkladů.

Dále je zapotřebí si uvědomit, že žáci osmých tříd by z paměti měli znát druhé

mocniny čísel do dvaceti. Proto by zadaný příklad neměl tuto hranici přesáhnout.

5.1.5 Zamrzlík

Pomůcky:

Zásoba příkladů pro učitele, případně kartičky se zadáním.

Cíl:

Hra je určena pro opakování druhých mocnin s proměnnou, případně

na vytýkání a umocňování podle vzorců.

Obtížnost:

Hra je určená pro žáky osmé a deváté třídy.

Popis hry:

Hra zamrzlík je opakem hry na „Cool matikáře“, protože zde prohrává ten žák,

jenž je úplně poslední. Na začátku hry se všichni žáci postaví. Učitel zadá příklad

a vyvolá žáka. Mohou se vyskytnou dvě možnosti:

1) Pokud žák odpoví správně, tak si sedá na své místo a vyvolá dalšího

žáka, kterému zadá příklad učitel.

2) Pokud žák odpoví špatně, žák zůstává stát a vyvolá svého spolužáka.

Žáci odpovídají z paměti, nic si nepíšou do sešitu, ostatní žáci pozorně

naslouchají a dávají pozor. Hra končí posledním stojícím žákem.

Pokud by se jednalo o procvičování vytýkání či umocňování pomocí vzorců,

je dobré žákům dát kartičky se zadáním příkladu, nebo jej napsat na tabuli.

Obměnou této hry je způsob, kdy správně odpovídající žák sám vymýšlí zadání

příkladu pro svého spolužáka.

Hodnocení hry:

Tato hra patří mezi průměrné hry. Podle obliby ji žáci zařadili až na poslední

místo z předchozích her, jenž jsem s nimi vyzkoušela. Myslím si, že tato hra může

mít demotivující účinek. Ten pocit, že jsem poslední není nic příjemného a u dětí

může vzbudit nezájem hrát jakoukoli jinou hru a pocit studu. Přeci jen hrát

na vítěze je pro žáky více motivující, než se snažit nebýt poslední. Proto jsem tuto

hru zařadila jen jednou v rámci výzkumu.

5.2. Škola hrou, aneb škála zajímavých úloh

Nyní bych ve své práci ráda uvedla zajímavé příklady na procvičení a upevnění

znalostí v oblasti algebraických výrazů. Podle mého názoru, si žáci mnohem více

uvědomovali souvislosti a využívali logického myšlení k řešení těchto

následujících příkladů, než aby jen beze smyslu počítali úlohy z učebnice.

Samotní žáci byli ze školy hrou potěšeni a hodiny matematiky se jim na pár dní

zpříjemnili.

Každá úloha je v textu uvedena svým názvem, poté následuje konkrétní zadání

úlohy, se kterými pracovali žáci osmé či deváté třídy. Ve vlastním hodnocení

popisuji, jak si žáci s úlohou poradili,v čem se vyskytli případné komplikace.

Nakonec uvádím výsledky úlohy.

5.2.1 Zapiš výrazem obvody obrazů

Zadání úlohy:

a) b) c)

                                           9z   4z               2z

   8z

d) e) f)

3r 1r  2r 12t

         4r 15f       

10r 7s 20e

Vlastní hodnocení:

Žáci mají za úkol zapsat pomocí výrazů obvody daných obrazců. Při řešení

si nemohli vybavit, co je obvod. Společně s pomocí návodných otázek žáci došli

k přesvědčení, že obvod je součet všech délek stran. Následně už nic nebránilo

k správnému vyřešení.

Výsledky:

[ a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ]

5.2.2 Počítej s úsečkami

Zadání úlohy:

                  

a) d)

b) e)

c) f)

Vlastní hodnocení:

Při této úloze, kdy mají žáci za úkol pracovat s úsečkami, se naučí sčítat

a odčítat algebraické výrazy s jednu proměnou. Žáci sami navrhovali možný

postup řešení, úloha jim přišla snadná.

Výsledky:

[ a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ]

5.2.3 Počítej se čtverci

Zadání úlohy:

c

c

a) c) e)

b) d) f)

Vlastní hodnocení:

Úloha je obdobou počítání s úsečkami. Nyní žáci počítají se čtvercem

a uvědomují si, že výraz . Pro lepší pochopení, si žáci mohli daných deset

čtverců překreslit do sešitu a pomocí pastelek si vyznačit menšitele a menšence.

Výsledky:

[ a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ]

5.2.4 Najdi řešení tabulky

Zadání úlohy:

a)

b)

Vlastní hodnocení:

Žáci zvládli úlohu bravurně. Malé chyby se vyskytovali ve výsledcích.

Výsledky:

a) [ ; ; ; ; ; ; ; ;

]

b) [ ; ; ; ; ; ; ; ; ]

5.2.5 Magický čtverec

Zadání úlohy:Magickým čtvercem nazýváme čtverec složený z jednotkových čtverečků,

tak že součty výrazů v libovolném řádku, libovolném sloupci i na každé úhlopříčce

se rovnají témuž výrazů.

a) Součet b) Součet

c) Součet

Vlastní hodnocení:

S algoritmem magického čtverce žáci už byli seznámeni z pracovních sešitů.

Tato hra podporuje logické uvažování, a proto pokud by žáci měli zájem, mohou

sami vymyslet magický čtverec.

Výsledky:

a) Součet b) Součet

c) Součet

5.2.6 Najdi zadání příkladu

Zadání úlohy:

Učitel na tabuli napíše výsledek příkladu a úkolem žáků je vymyslet k této

úloze její zadání. Podmínkou je, aby hledané zadání byl aspoň šestičlen. Jakmile

žáci dokončí svou práci, přinejmenším tři dobrovolníci napíši na tabuli své

výsledky a společně porovnáme.

Např.: Najdi předpis pro následující výsledek .

Možná řešení, které navrhli žáci:

Vlastní hodnocení:

Důvodem této činnosti je poznání, že jiná zadání úloh, mohou mít stejné

řešení.

5.2.7 Algebraické domino

Zadání úlohy:

Algebraické domino mohou hrát tři, čtyři nebo šest hráčů. Hra probíhá stejně

jako obyčejné domino. Kartičky se rozdají stejným dílem všem hráčům. Když

na ně přijde řada, vykládají kartičky na stůl tak, aby se dotýkali půlkami.

Ke kartičce jejíž početní úkon je lze dát pouze kartičku s trojčlenem

, nebo ke kartičce s výrazem lze přiřadit pouze kartičku

začínající součinem dvou dvojčlenů . Dále ke kartičce

s výrazem , lze přiřadit kartičku, ve které vytýkáme .

K této hře je zapotřebí zhotovit 36 kartiček, jak je znázorněno na obrázku.

Obr. 1 Dominové kartičky

Vlastní hodnocení:

Žáci, jenž pracovali ve skupinách, byli touto zábavnou formou výuky nadšeni.

Žáci by následně mohli sami při práci ve skupinách využít svých schopností

a vědomostí a vytvořit si vlastní algebraické domino.

5.2.8 Vypočítej hodnotu výrazů

a) Zadání úlohy:

Urči hodnotu výrazu pro . Za patřičná čísla dosaď písmena a vyřeš

tajenku.

výraz hodnota výrazu tajenka

xxx xxx

A E O U Š L H R V Z K P

-777 65 40 50 84 132 24 119 -73 18 -132 56

Vlastní hodnocení:

Zadání bylo pro žáky zajímavé, nejen že počítali, ale zároveň řešili tajenku, což

bylo podnětem k soutěživosti žáků o to, kdo ji vyřeší jako první.

Výsledky:

Výsledky uvádím postupně, ke každé číselné hodnotě je přiřazené konkrétní

písmeno.

[84=Š; -132= K; 40=O; 132=L; -777=A; 24=H; 119=R; 40=O; 50=U; ŠKOLA HROU]

b) Zadání úlohy:

Zjisti číselnou hodnotu výrazu.

x y z

6 4 3 7 30 -3548 -17

-8 5 -2 -1 71 -14466 101

13 -11 -7 17 38 -2799 -933

-9 15 -8 14 -2 -37747 -2510

Vlastní hodnocení:

Žáci věděli, že musí za proměnné dosadit patřičná čísla. Počítali z paměti, bez

užití kalkulátoru, proto se ve výsledcích vyskytli menší odchylky.

Výsledky:

Číselné hodnoty jsou uvedeny tučným písmem přímo v tabulce.

5.2.9 Doplň chybějící výrazy

Zadání úlohy:

a) . =

b) =

c) : =

d) - =

e) + - =

f) . : =

g) : + =

h) . + =

i) : + =

Vlastní hodnocení:

Doplnit chybějící výrazy v prvních čtyřech případech nebylo obtížné.

Při hromadné kontrole žáci zjistili, že se v dalších zadáních může vyskytnout více

možných řešení. Najit dva vhodné výrazy, tak aby byla splněna rovnost, činila

slabším žákům nemalé potíže.

Výsledky:

[a) ; b) ; c)

d) ; e) ;

f) ; g) ;

h) ; i) ]

5.2.10 Spoj zadání s výsledkem pomocí šipek

Zadání úlohy:

Vlastní hodnocení:

Klasická úloha, kterou žáci znali i z jiných předmětů, byla snadno a rychle

vyřešená.

Výsledky:

[ ; ; ;

;

;

]

5.2.11 Pyramida

Zadání úlohy:

Dopočítej pyramidu. Pravidlo je následující: Vždy součet dvou vedlejších polí,

nám dává součet pole, které je mezi nimi.

a)

+ + +

↓ ↓ ↓

+ +

↓ ↓

+

↓

Alternativou sčítání v pyramidě je násobení.

b)

↓ ↓ ↓

↓ ↓

↓

Vlastní hodnocení:

V pyramidě musí být vyplněný příslušný počet polí, tak aby žáci mohli

dopočítat zbývající, v rámci této hry si procvičí sčítání a odčítání proměnných

s různými hodnotami. Žáci úlohu rychle pochopili a následně se sami pokusili

o vytvoření pyramidy v rámci skupinové práce.

Výsledky:

a)

+ + +

↓ ↓ ↓

+ +

↓ ↓

+

↓

b)

↓ ↓ ↓

↓ ↓

↓

5.2.12 Řetězce

Zadání úlohy:

Vytkni (-1)

Vlastní hodnocení:

S řetězci žáci pracují už od prvního stupně, proto znají jejich mechanismus.

Následně si procvičí techniku vytýkání, dělení a násobení, sčítání a umocňování

algebraických výrazů.

Výsledky:

Vytkni (-1)

5.2.13 Tajenka

Zadání úlohy:

Jede Pepíček s babičkou vlakem a povídá ji: „Babi, koukni se na tu množinu

kraviček, co se pasou na louce!“ „Co to povídáš, Pepíčku, jaká množina kraviček?

Vždyť tam žádné nejsou?“ „Babi, ale to je…“

Dokončení anekdoty najdeš, pokud správně vyřešíš příklady a najdeš k  jeho

výsledku příslušné písmeno. Hodně štěstí!

Zadání: Řešení: Tajenka:

xxx xxx xxx

P B I A R

M L K N O

Z Á E D Ž

Výsledky:

Zadání: Řešení: Tajenka:

P

R

Á

Z

D

N

Á

xxx xxx xxx

M

N

O

Ž

I

N

A

Vlastní hodnocení:

Žáci řešili úlohu samostatně a zábavnou formou si procvičili algebraické

výrazy, poté následovala společná kontrola výsledků a tajenky. Žáci můžou sami

konstruovat podobnou tajenku při společné práci ve skupinách, kdy se bude

rozvíjet nejen jejich myšlení, ale i vzájemná komunikace mezi žáky.

5.2.14 Slovní úlohy

Zadání úlohy:

a) Vypočítej obvod kruhu, jehož obsah se rovná součtu obsahů čtyř kruhů

o poloměrech .

b) Určete rozdíl obsahů lichoběžníků, na které rozdělí daný lichoběžník jeho střední

příčka.D C

A B

c) Výdaje na společný zájezd žáků činily: jízdné Kč, stravné  Kč, tři noclehy po Kč a drobná vydání Kč. Vypočítej částku , kterou platil každý žák.

d) Anička koupila 3 kg mouky po Kč, 2 kg cukru po Kč a za 3 Kč rohlíky. Platila padesátikorunou. Kolik Kč dostala nazpět ? .   

e) Na stěně metrů dlouhé a metrů vysoké jsou dveře centimetrů vysoké a centimetrů dlouhé. Jaký je plošný obsah stěny ?

Vlastní hodnocení:

Slovní úlohy jsme řešili společně, v každém případě jsme si přečetli řádně

zadání, vyjádřili neznámou a v diskuzi se navrhovala možná řešení. Po udání

správného řešení jsme uvedli slovní odpověď.

Při řešení slovních úloh se u žáků projevila jejich vlastní aktivita, logické

uvažování, konstrukce a uplatnění svých znalostí z předešlých ročníků. Žáci

si postupně uvědomovali, že vzorce, jenž užívají v hodinách matematiky,

představují algebraické výrazy. V diskuzi se spíše zapojovali bystřejší žáci, ale při

dosazovaní a počítání se připojili i slabší žáci. Řešení těchto slovních úloh mělo

pomalejší průběh, než u ostatních zadání úloh.

Výsledky:

[a) ; ; b) ;

c) ; d) ; e) ]

6 VYHODNOCENÍ DOTAZNÍKU

6.1 Předmět výzkumu

Výzkumné šetření bylo prováděno na dvou základních školách na žácích osmé

a deváté třídy. Na Základní a mateřské škole ve Stříteži nad Ludinou odpovídalo

na dotazník 50 žáků devátých tříd. Na Základní škole v Novém Jičíně,

s pracovištěm Dlouhá 56, byl dotazník položen 33 žákům osmé třídy a 37 žákům

devátých tříd. Dotazník se skládá ze tří částí a obsahuje celkem deset hlavních

otázek s podotázkami, které zkoumají aktivitu a vztah žáků k matematice

a zároveň se zabývá problematikou algebraických výrazů. (viz příloha č.1)

6.2 Vyhodnocení první části A

První část dotazníku se týká pohlaví respondentů a třídy, kterou žáci

navštěvují, jejich poslední známky z matematiky a kolik času denně věnují domácí

přípravě do hodin matematiky. Ze 120 respondentů bylo 62 chlapců a 58 dívek

(viz graf 1), z nichž 33 žáků navštěvuje osmou třídu a 87 devátou třídu (viz graf 2).

Všichni uvedli, že mají čtyřikrát týdně hodinu matematiky.

Graf 1: Pohlaví respondentů

Graf 2: Třída

Žáci jako poslední známku na vysvědčení z matematiky uvedli nejčastěji v 43

případech dvojku, výbornou známkou se pyšní 24 respondentů a dobře zvládají

látku dotazováni v 28 %. Známku dostatečnou na svém posledním vysvědčení

mělo 17 žáků, tedy 14 % respondentů. Ojediněle byla v dotazníku zakřížkovaná

známka nevyhověl (viz graf 3).

Graf 3: Poslední známka z matematiky

Domácí přípravě věnují žáci v 76 % maximálně 15 minut svého volného času.

Půl hodiny trvá příprava 18 % dotázaným. Necelé 1 % stráví nad domácí

přípravou více jak 45 minut.

V dalším šetření můžeme zjistit závislost mezi známkou v matematice a dobou

domácí přípravy u žáků druhého stupně.

Stanovení hypotéz:

H0: Lepší známky v matematice dosahují žáci, kterým domácí příprava trvá

více času.

H1: Domácí příprava nemá vliv na známku.

Vyhodnocení bude probíhat podle Pearsonova koeficientu kolerace. Výsledky

výzkumu jsou uvedeny v následující tabulce (viz tab.1). Žáci v dotazníku poté

upřesnili skutečnou dobu domácí přípravy v minutách.

Tabulka 1: Známka a doba přípravy

Jaká byla tvá poslední známka 1 2 3 4 5

z matematiky?

  41 52 24 1 2

Kolik času denně věnuješ domácí přípravě do hodin matematiky? 0 -15 min. 15-30min.30-45min.45-60min.> 60 min.

  91 20 7 0 2

V přílohách (viz příloha č.2) dále uvádím tabulku s hodnotami pro konkrétního

žáka, tedy s jeho známkou a časovou dobou, kterou věnuje domácí přípravě.

My ale budeme vycházet z následující tabulky, ve které jsou uvedené sumy

daných požadavků pro výpočet Pearsonova koeficientu.

Tabulka 2: Hodnoty pro výpočet Pearsonova koeficientu

Počet

žáků

Poslední

známka z

matematiky

Domácí příprava

v minutách

120 290 1366 3463 824 33776

Dosadíme do následujícího vzorce:

= = 0,11.

Porovnáním našeho výsledku s tabulkou, jenž je umístěná v přílohách (viz

příloha č.3) docházíme k závěru, že sledovaná závislost je slabá. Bereme tedy

v potaz hypotézu H1, že délka domácí přípravy nemá vliv na konečnou známku

z matematiky.

6.3 Vyhodnocení druhé části B

V druhé části dotazníku jsem se zajímala o vztah žáka k matematice, jakým

způsobem se učí danou látku a jaké hodiny preferuje.

Tabulka 3: Vztah k matematice

Jaký je tvůj vztah k

matematice?

Rozhodně

souhlasímSouhlasím Nesouhlasím

Rozhodně

nesouhlasím

a) Matematika mě baví. 13 54 41 12

b) Věci, které se učíme v

matematice, mě zajímají.6 62 40 12

c) Matematiku budu

potřebovat ve svém dalším

studiu.

69 42 7 2

d) Matematické znalosti

uplatním ve svém

zaměstnání.

34 61 19 6

Z tabulky (viz tab. 3) je patrné že předmět matematika je na základních školách

z 56 % oblíbeným předmětem. Stejné procento žáků také uvádí, že věci, které

se dozvídají v matematice je zajímají. Je zajímavé, že 111 dotázaných žáků, tedy

93 %, si uvědomuje, že budou i nadále ve svém studiu na vyšších školách

matematiku potřebovat. O něco nižší je názor, že matematické znalosti žáci

uplatní časem ve svém zaměstnání. Jedná se konkrétně o 79 % žáků. Z čísel

vyplývá, že předmět matematika je důležitou součástí našeho studia, zaměstnání

a našeho života.

Z následujícího grafu (viz graf 4) je patrné, že žáci preferují početní příklady

a rýsování, než řešení slovních úloh. Žák nad slovní úlohou stráví více času, než

nad početním příkladem. Žák totiž musí přečíst zadání, zjistit neznámou, sám poté

vymyslet postup řešení úlohy a nakonec napsat slovní odpověď. Slovní úlohy

vyžadují logické myšlení a žáci proto radši počítají příklady, podle zadaného

postupu.

Graf 4: Náplň hodin matematiky

Dále je zajímavé pozorovat jakým způsobem se žáci učí matematiku. V 94 %

se snaží danou látku pochopit a najít v ní souvislosti, což si myslím, že je krok

správným směrem. Dále v 32 % se novou látku učí nazpaměť, v 39 % řeší dokola

vzorové příklady a v 75 % se snaží zapamatovat postup a propočítává příklady

(viz. tab. 4). Jde usoudit, že základní školství dává přednost klasickému

transmisivnímu vyučování a žáci si zautomatizují danou látku, aniž by hledali

někteří v ní souvislosti. Údaje nalezneme v následující tabulce (viz tab. 4).

Tabulka 4: Učení matematiky

Když se učím matematiku,

tak...

Rozhodně

souhlasímSouhlasí

m

Nesouhlasí

m

Rozhodně

nesouhlasí

m

a) se snažím danou látku

pochopit a najít v ní souvislosti.47 66 5 2

b) se učím nazpaměť krok za

krokem.3 36 63 18

c) řeším dokola vzorové 9 38 60 13

příklady.

d) se snažím zapamatovat

postup a počítám příklady ze

sešitu.

21 68 28 3

6.4 Vyhodnocení třetí části C

Poslední třetí část se týká látky algebraických výrazů, kdy jsem chtěla pomocí

dotazníku zjistit, jaká část učiva algebraických výrazů činí žákům problémy a dále

jaké metody a praktiky by žáci v hodinách matematiky rádi uskutečnili. Údaje

v číslech se dozvíme v následujících tabulkách.

6.4.1 Vyhodnocení algebraické části

Na prvních sedm otázek odpovídalo všech 120 žáků, ale na poslední dvě

otázky, které se týkaly učiva lomených algebraických výrazů, jenž se podle osnov

probírá v posledním devátém ročníku, odpovídalo pouze 87 žáků devátých tříd.

Uvědomit si, co je proměnná a počítat s ní činí 38 % dotázaných problémy.

Zde se už vyskytují menší komplikace, neboť pochopit, co je algebraický výraz

a dále s ním pracovat pomocí různých operací je důležité. Pokud si žák neujasní

základy učiva, nemůže potom plynule pokračovat v dalším nabalování učiva (viz

tab. 5).

Tabulka 5: Algebraické výrazy

Při počítání algebraických výrazů

mi dělá problém …

Rozhodně

souhlasímSouhlasímNesouhlasím

Rozhodně

nesouhlasím

a) počítat s proměnnou,

např. 2x, -4a, xyz.6 40 58 16

b) sčítání a odčítání mnohočlenů,

např. (2x-3y)-(4x-8y)= 8 24 63 25

c) násobení mnohočlenů, např. 7 36 54 23

(a+b)(a3-3b) =

d) dělení mnohočlenů např.

(x3+7x2+14x+6):(x+3) =12 60 39 9

e) umocňování mnohočlenů,

např. (a+b)2 =5 16 60 39

f) rozklad na součiny, např.

(25-x2)=(5-x)(5+x)4 44 48 24

g) vytýkání, např.

a2b-ab3 = ab(a-b2)10 39 51 20

h) sčítání a odčítání lomených

výrazů např.: 8 31 38 10

i) násobení a dělení lomených

výrazů např.: 13 38 29 7

Sčítání a odčítání mnohočlenů pochopilo 73 % dotázaných. Necelým 64 %

žáků nečinilo velké komplikace vzájemné násobení mnohočlenů, ale u dělení

mnohočlenů je výsledek opačný, tuto látku pochopilo v plné míře pouze 40 %

(viz graf 5). Dělení mnohočlenů je podle žáků složitější oproti násobení. Ne proto,

že by to byla látka složitější, ale důvodem je, že žáci nezvládají základní operace

s čísly.

Graf 5: Operace s mnohočleny

Z úspěšného naučení se vzorců pro umocňování vyplývá, že umocňování

dvojčlenů pochopilo celých 83 % žáků základní školy. Opačný proces

umocňování, rozklad na součiny už má nižší úspěšnost, celkem 60 %

a ve vytýkání má jasno už jen 58 % žáků. Což jsou celkem uspokojivá čísla,

ale i přesto, existuje kolem 40 % žáků, kteří zcela nedošli k poznání, jakým

způsobem mají rozložit nějaký mnohočlen, nebo z něj některou část vytknout (viz

graf 6).

Graf 6: Umocňování a rozklad mnohočlenů

Jak už jsem zmiňovala na poslední dvě otázky, které se týkaly látky lomených

algebraických výrazů, odpovídali pouze žáci deváté třídy. Sčítání a odčítání

lomených výrazů nepochopilo pouze 33 % dotázaných, naopak násobení a dělení

činí nemalé problémy 43 % žáků devátých tříd. Lomené algebraické výrazy

vyžadují spojení látky osmého ročníku, tedy sčítání a odčítání mnohočlenů,

násobení a dělení mnohočlenů, umocňování společně s rozkladem a vytýkáním.

Zde už musí žáci využít toho, co už znají a logického myšlení, aby výraz upravili

do základního tvaru (viz graf 7).

Graf 7: Lomené výrazy

6.4.2 Vyhodnocení zájmových činností v hodinách matematiky

Druhá polovina třetí části dotazníku se také zabývala, co by dotazováni

v hodinách matematiky rádi využili. Žáci na základních školách většinou

spolupracují s klasickým uskupením - kniha, tabule, školní sešit, popřípadě

pracovní sešit na procvičení dané problematiky. Finance škol jsou různé a bohužel

z této strany se taky odvíjí formy výuky.

Základní školy mají k dispozici počítače, v lepších případech i interaktivní

tabuli. Ale mnoho učitelů s nimi nespolupracuje.

Důvody jsou různé:

- hodiny matematiky vyučuje učitel, který nemá blízký vztah s počítačem,

- škola nemá k dispozici různé programy výuky pro zrovna probírané téma,

- počítačová učebna není schopna pojmout větší počet žáků.

Z následující tabulky můžete vyčíst, jaké činnosti by žáci základních škol

upřednostňovali.

Tabulka 6: Preference žáků

Rád(a) bych v hodinách

matematiky …

Rozhodně

souhlasímSouhlasímNesouhlasím

Rozhodně

nesouhlasím

a) využil(a) počítačovou techniku

a s ní související matematické

programy.

54 41 25 0

b) pracoval(a) ve skupinách. 45 42 29 4

c) řešil(a) zajímavé matematické

úlohy.27 46 39 8

d) využil(a) školu hrou. 46 52 17 5

e) byl(a) více aktivní. 33 54 29 4

f) pracoval(a) s jiným materiálem

než s učebnicí.43 55 21 1

e) vytvářel(a) matematický projekt. 21 31 46 22

Jak je patrno z tabulky (viz tab. 6), mladá generace preferuje práci

s počítačem, a proto by jej více zařadila do výuky. Toto propojení předmětů

matematiky a informační technologie by bylo určitě pro ně přínosem a možností

zpříjemnit hodiny matematiky, mohli by vytvářet také prezentace k danému učivu,

z těchto důvodu by možná dané látce více porozuměli. Z našeho dotazníkového

šetření se kladně k této činnosti vyjádřilo 80 % respondentů (viz graf 8).

Graf 8: Výpočetní technika

V druhé podotázce se dotazovaní měli vyjádřit k pracím ve skupinám.

Je zřejmé, že žáci jsou zvyklí pracovat ve skupinách z různých výchov – rodinná,

občanská, výtvarná, jenž mají podle osnov. Proto se 73 % respondentů nebrání

i nadále pracovat ve skupinách i v hodinách matematiky (viz tab. 6).

Co mě velice a to příjemně překvapilo je, že by žáci osmých a devátých tříd

rádi řešili zajímavé matematické úlohy. Asi sami žáci, a to v necelých 61 %, touží

po změně učinit matematické hodiny zajímavější s využitím řešení praktických

příkladů nebo příkladů ze sbírek Zábavná matematika a podobně (viz graf 9).

Graf 9: Zajímavé matematické úlohy

Se školou hrou by měli být žáci zvyklí pracovat již z 1. stupně, kdy

se v hodinách matematiky objevuje hra „Matematický král“ nebo „Zamrzlík“

na procvičení násobilky. S těmito hrami se dá dál spolupracovat například při

umocňování a odmocňování algebraických výrazů. Se školu hrou by se podle

našeho dotazníků více seznámilo 98 respondentu ze celkového počtu 120 (viz

tab. 6).

V další podotázce jsem zjišťovala, zda mají žáci zájem být v hodinách aktivní.

Větší část dotazovaných, čili 73 %, by se do hodin matematiky více aktivně

zapojila (viz tab. 6). Hodiny probíhají podle stejného scénáře – učitel vysvětlí látku

a žáci potom chodí postupně k tabuli počítat příklady. Řada na každého bohužel

nevyjde. Pokud by ale žáci pracovali ve skupinách, nebo výuka probíhala pomocí

počítačů nebo školy hrou, byli by žáci do hodin matematiky více zapojeni.

Jak je patrno z předchozí tabulky (viz tab. 6), žáci nemají rádi učebnic a raději

by v  82 % spolupracovali s jiným materiálem. Pro žáky už je podle mého názoru

přínosem pracovat s pracovním sešitem. Dále by mohli počítat příklady ze sbírek

podobného typu jako je „zábavná matematika“.

Poslední otázka se týkala matematického projektu. Zde jsem byla trochu

zklamána odpověďmi, jelikož se žáci k této činnosti vyjádřili převážně záporně.

56 % respondentů s tímto projektem v hodinách matematiky nesouhlasí (viz graf

10). Důvodem je podle mého názoru ta skutečnost, že se žáci s tímto způsobem

výuky moc nesetkali a proto o něj nemají zájem.

Graf 10: Matematický projekt

ZÁVĚR

Diplomová práce se snaží vytvořit návod na využití zásad didaktického

konstruktivismu při výuce algebraických výrazů v hodinách matematiky

na 2. stupni základních škol.

Jak už bylo naznačeno v úvodu, práce se dělí na dvě části, na teoretickou

a praktickou. Obsahem první kapitoly teoretické části je vysvětlení pojmu

konstruktivismu a transmise, popsání rolí učitele, žáka a jejich vzájemné

komunikace. Dále jsem zde vytyčila desatero didaktického konstruktivismu

a naznačila výsledek poznání. Ve druhé kapitole jsem se zabývala algebraickými

výrazy, kde jsem definovala výraz a v každé podkapitole uvedla konkrétní definici

a příklady k dané problematice. Poslední kapitola teoretické části se věnuje

formulaci didaktické hry a jejím zásadám při výuce.

Ve čtvrté kapitole, jenž se stala úvodem praktické části, je sepsán návod, jak

se žáky postupovat při výuce vzorců na umocňování pomocí zásad

pedagogického konstruktivismu. Hodnocení je provedeno na základě vlastního

výzkumu, který jsem uskutečnila na své praxi na základní škole v Novém Jičíně.

Sama jsem byla s tímto postupem nadšená, nejen že žáci projevili v hodinách

aktivitu, ale pomocí svých dosavadních znalostí a své konstrukce dospěli sami

k novému poznání.

V páté kapitole nalezneme soubor didaktických her, které jsem využila při

výuce výrazů při své praxi a staly se součástí výzkumného šetření. Zadání úloh

směřuje k pochopení souvislostí v oblasti algebraických výrazů a jejího

následného procvičení.

V poslední šesté kapitole jsem zhodnotila svůj výzkum, který jsem aplikovala

pomocí dotazníků na žácích osmé a deváté třídy. Dotazník se skládal ze tří

hlavních částí, které se postupně zabývaly zjištěním základních údajů o žákovi,

jeho vztahem k matematice, dále jeho aktivitou v hodinách matematiky, jakým

způsobem se učí novou látku a jaké hodiny matematiky preferuje. Nakonec

se šetření zaměřilo na problematiku algebraických výrazů a technikami

konstruktivismu.

Jsem ráda, že jsem se mohla zabývat právě tímto tématem. Domnívám se,

že výuka pomocí konstrukce je založená na aktivitě žáka, na jeho logickém

uvažování, což se projevuje na jeho porozumění a delším uchování v paměti.

Zároveň ale nevylučuji nezbytnost transmisivního vyučování, protože konstrukce

a transmise jsou ve vzájemné symbióze.

POUŽITÁ LITERATURA A PRAVEMY

1) COUFALOVÁ,J., PĚCHOUČKOVÁ,Š., HEJL,J., LÁVIČKA,M. Matematika

pro 8. ročník základní školy. 1. vyd. Praha : Fortuna, 2000. ISBN

80-7168-731-6.

2) COUFALOVÁ,J., PĚCHOUČKOVÁ,Š., HEJL,J., LÁVIČKA,M. Matematika

pro 9. ročník základní školy. 1. vyd. Praha : Fortuna, 2000. ISBN

80-7168-731-6.

3) ČERMÁK,P., ČERVINKOVÁ, P. Odmaturuj z matematiky. 2.vyd. Brno :

Didaktis, 2003. ISBN 80-86285-97-9.

4) HARTL, P., HARTLOVÁ , H. Psychologický slovník. Praha : Portál, 2000.

5) HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky. Bratislava : Slovenské pedagogické

naklaďatelstvo, 1990.

6) HEJNÝ, M., KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika. Konstruktivistické

přístupy k vyučování. 1. vyd. Praha : Portál, 200. ISBN 80-7178-581-4.

7) HEJNÝ, M., NOVOTNÁ, J., STEHLÍKOVÁ, N. Dvacet pět kapitol z didaktiky

matematiky. Praha : Univerzita Karlova, 2004. ISBN 80-7290-189-3.

8) HERMAN,J., CHRÁPAVÁ,V., JANČOVIČOVÁ,E., ŠIŠMA,J. Matematika pro

nižší třídy víceletých gymnázií. Výrazy 1. 1.vyd. Praha : Prometheus, 1995.

ISBN 80-7196-013-6.

9) HERMAN,J., CHRÁPAVÁ,V., JANČOVIČOVÁ,E., ŠIŠMA,J. Matematika pro

nižší třídy víceletých gymnázií. Výrazy 2. 1.vyd. Praha : Prometheus, 1999.

ISBN 80-7196-064-0.

10) HUNTEROVÁ, M. Účinné vyučování v kostce. 1. vyd. Praha : Portál, 1999.

ISBN 80-7178-220-3.

11) CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu. Základy kvantitativního

výzkumu. 1. vyd. Praha : Grada Publishing. ISBN 987-80-247-1369-4.

12) CHRÁSKA, M. Základy výzkumu v pedagogice. Olomouc : UP, 2000. ISBN

80-7067-798-8.

13) KALHOUS, Z., OBST, O. Školní didaktika. Praha : Portál, 2002. ISBN

80-7178-253-X.

14) KALHOUS, Z., OBST, O. Didaktika sekundární školy. Olomouc : UP, 2003.

ISBN 80-244-0599-7

15) KOPECKÝ, M. Úvod do počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky.

2. vyd. Olomouc : Univerzita Palackého, 2005. ISBN 80-244-1031-1.

16) KOPECKÝ, M., LANGER, V. Úvod do počtu pravděpodobnosti

a matematické statistiky (sbírka úloh). 1. vyd. Olomouc : Univerzita

Palackého, 2005. ISBN 80-244-1032-X.

17) KREJČOVÁ, E., VOLFOVÁ, M. Inspiromat matematických her. Praha :

Pansofia, 1995. ISBN 80-85804-75-1.

18) KREJČOVÁ, E., VOLFOVÁ, M. Didaktické hry v matematice. Hradec

Králové : Gaudeamus, 1995. ISBN 80-7041-421-9.

19) MOLNÁR, J., SCHUBERTOVÁ, V., VANĚK, V. Konstruktivismus

ve vyučování matematice. 1. vyd. Olomouc : UP, 2008. ISBN

978-80-244-1883-4.

20) NELEŠOVSKÁ, A. Jak se děti učí hrou. Praha : Grada, 2004. ISBN

80-247-0815-9.

21) PETTY, G. Moderní vyučování. 2. vyd. Praha : Portál, 2002. ISBN

80-7178-681-0.

22) ROSECKÁ, Z. Chvilky s algebrou. Pracovní sešit pro 9. ročník. Brno :

Nová škola, 2003. 48 s. ISBN 80-7289-022-0.

23) ŠEDIVÝ, O., KRIŽALKOVIČOVÁ, M., MACHÁČEK, V., ŽÍDEK, S.

Matematika pro 8. ročník základní školy. 1. díl. 1 vyd. Praha : Polygrafia,

1992. 215 s. ISBN 80-04-26240-6.

Prameny:

1) Matematika – Fyzika - Informatika. Časopis pro výuku na základních

a středních školách. [online]. [cit. 21. 3. 2009]. Dostupné na WWW: <http://

www.mfi.upol.cz >

2) Modulární přístup v počátečním vzdělávání učitelů přírodovědných

předmětů pro střední školy. [online]. [cit. 21. 3. 2009]. Dostupné na WWW:

<http://esfmoduly.upol.cz >

3) Společnost učitelů matematiky JČMF. [online]. [cit. 21. 3. 2009]. Dostupné

na WWW: <http://www.suma.jcmf.cz >

SEZNAM PŘÍLOH

Příloha č. 1: Dotazník pro žáky druhého stupně základních škol

Příloha č. 2: Hodnoty pro výpočet Pearsonova koeficientu kolerace

Příloha č. 3: Interpretace hodnot koleračního koeficientu

ANOTACE

Jméno a příjmení: Milena Klezlová

Katedra: Katedra matematiky PdF UP Olomouc

Vedoucí práce: Mgr. Radka Dofková Ph.D.

Rok obhajoby: 2009

Název práce: Výuka algebraických výrazů s využitím konstruktivistických principů v hodinách matematiky na základní škole.

Název v angličtině: Teaching of algebraic formulas with the usage of constructivist principles in mathematics lessons at primary school.

Anotace práce: Diplomová práce je věnována výuce algebraických výrazů s využitím konstruktivistických principů v hodinách matematiky na základních školách, kdy upřednostňujeme aktivitu a konstrukci žáka nad transmisí. První část se zabývá otázkou, co konstruktivismus je. Ve druhé části jsou úlohy zajímavého typu a popsán vlastní výzkum.

Klíčová slova: Konstruktivismus, transmise, konstrukce, vyučování podle zásad didaktického konstruktivismu, didaktická hra, algebraické výrazy, aktivita žáka.

Anotace v angličtině: This diploma is devoted to teaching of algebraic formulas with the usage of constructivist principles in mathematics lessons at primary school, when we prefer pupil´s activity and construction to transmission. The first part deals with the meaning of the word constructivism. The second part contains interesting tasks and there is described my own research.

Klíčová slova v angličtině:

Constructivism, transmission, construction, teaching according to didactic constructivist principles, education game, algebraic formulars, pupil´s activity.

Přílohy vázané v práci: 3 přílohy (+ CD Rom)

Rozsah práce: 72 s. textu + 7 s. příloh

Jazyk práce: CZ

PŘÍLOHY

Příloha 1: Dotazník pro žáky druhého stupně základních škol

Dotazník pro žáky druhého stupně základních škol

Milý žáku, milá žákyně,

nyní máš před sebou dotazník, který zkoumá tvůj postoj a aktivitu k hodinám matematiky a zároveň se zabývá problematikou algebraických výrazů. Každou otázku si pozorně přečti, vyber vždy jednu správnou odpověď, podle tvého uvážení a vlastního přesvědčení, a označ jí křížkem. V tomto testu neexistují správné ani špatné odpovědi, vše bude sloužit pouze ke statistickým účelům.

Děkuji za spolupráciMilena

Část A:

1) Jaké je tvé pohlaví ?

Chlapec Dívka

2) Do které třídy chodíš?

Osmá Devátá

3) Jaká byla tvá poslední známka na vysvědčení z matematiky? 1 2 3 4 5

4) Kolik hodin týdně máte matematiku? 2x 3x 4x 5x 6x

5) Kolik času denně věnuješ domácí přípravě do hodin matematiky? 0 – 15 min. 15 - 30 min. 30 – 45 min. 45 – 60 min. více jak 60 min.

Část B:

I. Jaký je tvůj vztah k matematice?

(Zaškrtni jeden čtvereček v každém řádku.)

Rozhodně souhlasím Souhlasím Nesouhlasím

Rozhodně nesouhlasím

a) Matematika mě to baví. 1 2 3 4

b) Věci, které se učíme v matematice, mě zajímají. 1 2 3 4

c) Matematiku budu potřebovat ve svém dalším studiu. 1 2 3 4

d) Matematické znalosti uplatním ve svém zaměstnání. 1 2 3 4

II. Mám rád(a) hodiny matematiky, když…

(Zaškrtni jeden čtvereček v každém řádku.)Rozhodně souhlasím Souhlasím Nesouhlasím

Rozhodně nesouhlasím

a) počítáme příklady. 1 2 3 4

b) řešíme slovní úlohy. 1 2 3 4

c) probíráme novou látku, protože se dozvím nové poznatky. 1 2 3 4

d) rýsujeme. 1 2 3 4

III. Když se učím matematiku, tak…

(Zaškrtni jeden čtvereček v každém řádku.)Rozhodně souhlasím Souhlasím Nesouhlasím

Rozhodně nesouhlasím

a) se snažím danou látku pochopit a najít v ní souvislosti. 1 2 3 4

b) se učím nazpaměť krok za krokem. 1 2 3 4

c) řeším dokola vzorové příklady. 1 2 3 4

d) se snažím zapamatovat postup a počítám příklady ze sešitu. 1 2 3 4

Část C:I. Při počítání algebraických výrazů mi dělá problém…

(Zaškrtni jeden čtvereček v každém řádku.)Rozhodně souhlasím Souhlasím Nesouhlasím

Rozhodně nesouhlasím

a) počítat s proměnnou, např. 2x, -4a, xyz. 1 2 3 4

b) sčítání a odčítání mnohočlenů, např. (2x-3y)-(4x-8y)= 1 2 3 4

c) násobení mnohočlenů, např. (a+b)(a3-3b) = 1 2 3 4

d) dělení mnohočlenů, např. (x3+7x2+14x+6) : (x+3) = 1 2 3 4

e) umocňování mnohočlenů, např. (a+b)2 = 1 2 3 4

f) rozklad na součiny, např.(25-x2)=(5-x)(5+x) 1 2 3 4

g) vytýkání, např. a2b-ab3 = ab(a-b2) 1 2 3 4

h)sčítání a odčítání lomených výrazů,

např. 1 2 3 4

i)násobení a dělení lomených výrazů,

např. 1 2 3 4

II. Rád(a) bych v hodinách matematiky…

(Zaškrtni jeden čtvereček v každém řádku.)Rozhodně souhlasím Souhlasím Nesouhlasím

Rozhodně nesouhlasím

a) využil(a) počítačovou techniku a s ní související matematické programy. 1 2 3 4

b) pracoval(a) ve skupinách. 1 2 3 4

c) řešil(a) zajímavé matematické úlohy. 1 2 3 4

d) využil(a) školu hrou. 1 2 3 4

e) byl(a) více aktivní. 1 2 3 4

f) pracoval(a) s jiným materiálem než s učebnicí. 1 2 3 4

g) vytvářel(a) matematický projekt. 1 2 3 4

Děkuji za vyplnění dotazníku a přeji Vám hodně úspěchů ve škole.

Příloha 2: Hodnoty pro výpočet Pearsonova koeficientu kolerace.

žáci poslední známka z matematiky

domácí příprava v minutách

1 1 15 15 1 2252 1 10 10 1 1003 1 15 15 1 2254 1 0 0 1 05 1 0 0 1 06 1 5 5 1 257 1 10 10 1 1008 1 0 0 1 09 1 5 5 1 2510 1 0 0 1 011 1 15 15 1 22512 1 5 5 1 2513 1 0 0 1 014 1 0 0 1 015 1 10 10 1 10016 1 5 5 1 2517 1 0 0 1 018 1 5 5 1 2519 1 10 10 1 10020 1 0 0 1 021 1 25 25 1 62522 1 20 20 1 40023 1 30 30 1 90024 1 35 35 1 122525 2 0 0 4 026 2 10 20 4 10027 2 5 10 4 2528 2 15 30 4 22529 2 15 30 4 22530 2 10 20 4 10031 2 5 10 4 2532 2 0 0 4 033 2 0 0 4 034 2 5 10 4 2535 2 10 20 4 10036 2 5 10 4 2537 2 0 0 4 038 2 10 20 4 10039 2 15 30 4 22540 2 15 30 4 225

41 2 5 10 4 2542 2 10 20 4 10043 2 0 0 4 044 2 10 20 4 10045 2 0 0 4 046 2 15 30 4 22547 2 10 20 4 10048 2 5 10 4 2549 2 5 10 4 2550 2 0 0 4 051 2 0 0 4 052 2 15 30 4 22553 2 5 10 4 2554 2 0 0 4 055 2 10 20 4 10056 2 5 10 4 2557 2 0 0 4 058 2 10 20 4 10059 2 0 0 4 060 2 5 10 4 2561 2 15 30 4 22562 2 0 0 4 063 2 20 40 4 40064 2 35 70 4 122565 2 40 80 4 160066 2 45 90 4 202567 2 60 120 4 360068 3 0 0 9 069 3 0 0 9 070 3 0 0 9 071 3 1 3 9 172 3 15 45 9 22573 3 5 15 9 2574 3 5 15 9 2575 3 15 45 9 22576 3 15 45 9 22577 3 10 30 9 10078 3 10 30 9 10079 3 10 30 9 10080 3 0 0 9 081 3 0 0 9 082 3 15 45 9 22583 3 10 30 9 10084 3 10 30 9 100

85 3 15 45 9 22586 3 10 30 9 10087 3 0 0 9 088 3 5 15 9 2589 3 5 15 9 2590 3 15 45 9 22591 3 0 0 9 092 3 20 60 9 40093 3 30 90 9 90094 3 35 105 9 122595 3 25 75 9 62596 3 20 60 9 40097 3 30 90 9 90098 3 25 75 9 62599 3 30 90 9 900

100 3 35 105 9 1225101 3 40 120 9 1600102 4 0 0 16 0103 4 10 40 16 100104 4 15 60 16 225105 4 15 60 16 225106 4 5 20 16 25107 4 5 20 16 25108 4 5 20 16 25109 4 0 0 16 0110 4 10 40 16 100111 4 15 60 16 225112 4 10 40 16 100113 4 0 0 16 0114 4 0 0 16 0115 4 25 100 16 625116 4 20 80 16 400117 4 35 140 16 1225118 4 60 240 16 3600119 5 0 0 25 0120 5 10 50 25 100

 120 290 1366 3463 824 33776

Příloha 3: Interpretace hodnot koleračního koeficientu

Koeficient kolerace Interpretace

Naprostá závislost

Velmi vysoká závislost

Vysoká závislost

Střední závislost

Nízká závislost

Slabá závislost

Naprostá nezávislost