Téma 12: Stabilita a vzpěrný tlakfast10.vsb.cz/krejsa/studium/pp_tema12.pdf · 3 / 35 Stabilní,...

Téma 12Stabilita a vzpěrný tlak

Pružnost a plasticita, 2. ročník bakalářského studia

• Eulerovo řešení stability tlačeného prutu• Ztráta stability v pružno-plastickém oboru• Posouzení ocelových konstrukcí na vzpěr

2 / 35

Stabilita

Základní principy a pojmy

Stabilita - schopnost zachovat nebo obnovit původní rovnovážný stav soustavy bez samovolného narůstání deformací

3 / 35

Stabilní, indiferentní, nestabilní stav


l

a

b

F

a

b

F

a

b

F

a

b

F

Q

crFF < crFF = crFF >

a) b) c)

a) Stabilní stav – prut se navrátí do své původní polohyb) Indiferentní (mezilehlý případ – čistě teoretický) stav – prut zůstane

vychýlen, ale deformace již nerostouc) Nestabilní stav – samovolný nárůst deformací

4 / 35

Vzpěrná pevnost, vzpěrný tlak


Štíhlé pruty, namáhané tlakem – mohou vybočit ze svého původně přímého tvaru.

Odolnost proti tomuto vybočení – vzpěrná pevnost, namáhání vzpěrným tlakem.

Jedná se o velmi složitý jev, který je ovlivněn:• materiálovými vlastnostmi• geometrickými charakteristikami• zatížením• počáteční napjatostí

Nejjednodušší model – ideálně pružný, přímý prut, centricky zatížený tlakovou silou.

Ztráta stability nastane při dosažení kritické hodnoty tlakové síly.

5 / 35

Předpoklady řešení:• ideálně pružný materiál• prut je přímý• tlaková síla působí v ose prutu• deformace jsou řádově menší než délka prutu

(teorie malých deformací)• statické účinky se vyšetřují na zdeformovaném prutu

(teorie II.řádu)

Eulerovo řešení stability přímého prutu

Eulerovo řešení stability přímého pružného prutu

Leonhard Euler(1707 - 1783)

l

a

b

F

l

a

b

F

l

a

b

F

l

a

b

F 4.3.2.1.

6 / 35

1. Prut oboustranně kloubově uložený


wIEM ′′−= .. →IEMw.

−=′′

( ) ( )xx wFM .= →

Diferenciální rovnice II.řádu

wIEFw ..

−=′′

IEF.

2 =α

Substituce

→ ww .2α−=′′ → 0.2 =+′′ ww α

Obecné řešení:→ ( ) ( )xcxcw .cos..sin. 21 αα +=

Důkaz: ( ) ( )xcxcw .sin...cos.. 21 αααα −=′

( ) ( )xcxcw .cos...sin.. 22

12 αααα −−=′′

0.2 =+′′ ww α

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0.cos..sin...cos...sin.. 212

22

12 =++−− xcxcxcxc ααααααα→

0.2 =+′′ ww α

7 / 35



Obecné řešení:( ) ( )xcxcw .cos..sin. 21 αα +=

Okrajové podmínky:

( ) 00 ==xw

( ) 0==lxw

→ ( ) ( ) 00.cos.0.sin. 21 =+ αα cc

0 1→ 02 =c

→ ( ) ( ) 0.cos..sin. 21 =+ lclc αα

0

Řešení: a) 01 =c … nulový průhyb – stabilní případ

b) ( ) 0.sin =lα

Stabilitní podmínka: ( ) 0.sin =lα

…stabilitní řešení

8 / 35



Stabilitní podmínka: ( ) 0.sin =lαŘešení:

-1,250

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

π 3.π 5.π

2.π 4.π 6.π

Graf funkce sin(α.l)

πα .. kl = … k = 1, 2, 3, … →lk πα .=

9 / 35



Praktický význam má řešení pouze pro k = 1 →lπα =

l

x

( )xw

wz,

x

a

b

F

aR

l

x

( )xw

wz,

x

a

b

F

aR

l

x

( )xw

wz,

x

a

b

F

aR

1=k 2=k 3=k

Půlvlna sinusoidy

atd. …

10 / 35



lπα =

2

22

. lIEF πα ==→

Po úpravě: 22 ..lIEFF cr π== Eulerova kritická síla

Poznámky k řešení:• C1 je neurčena, řešení odpovídá indiferentnímu stavu• prut vybočí ve směru menší tuhosti - Imin

Při dosažení této hodnoty tlakové kritické síly nastane u oboustranně kloubově uloženého prutu

ztráta stability.

SubstituceVýsledek řešení stabilitní podmínky

11 / 35

2. Konzolový prut



−=′′

→

Diferenciální rovnice II.řádu

IEF.

2 =α

Substituce

→

Obecné řešení:

Důkaz:

( ) ( )[ ]xx wFM −−= δ. ( )wIEFw −=′′ δ..

( )ww −=′′ δα .2 → δαα .. 22 =+′′ ww

→ ( ) ( ) δαα ++= xcxcw .cos..sin. 21δαα .. 22 =+′′ ww

3 neznámé

( ) ( )xcxcw .sin...cos.. 21 αααα −=′

( ) ( )xcxcw .cos...sin.. 22

12 αααα −−=′′

δαα .. 22 =+′′ ww

( ) ( ) ( ) ( )[ ] δαδααααααα ..cos..sin...cos...sin.. 221

22

21

2 =+++−− xcxcxcxc→

12 / 35

2. Konzolový prut


Obecné řešení:


Stabilitní podmínka:

( ) 00 ==xw

( ) δ==lxw

( ) ( ) δαα ++= xcxcw .cos..sin. 21

( ) 00 =′ =xw

( ) 0.cos =lα

( ) ( ) 00.cos.0.sin. 21 =++ δαα cc

( ) ( ) 00.sin..0.cos.. 21 =− αααα cc

( ) ( ) δδαα =++ lclc .cos..sin. 21

δ−=2c

01 =c

( ) 0.cos.2 =lc α

→

→

→



13 / 35

2. Konzolový prut


-1,250

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

2π

Stabilitní podmínka: ( ) 0.cos =lα Řešení: ππα .2

. kl += … k = 0, 1, 2, 3, …

Praktický význam pouze pro nejnižší kořen →l.2

πα =2

. πα =l

( ) 0.cos =lα

14 / 35

l.2πα =

2. Konzolový prut


2

22

.4. lIEF πα ==→

Po úpravě: 22

.4..lIEFF cr π== Eulerova kritická síla

Poznámky k řešení:• C2 je neurčena, řešení odpovídá indiferentnímu stavu• Prut vybočí ve směru menší tuhosti – Imin

• Kritická síla je vzhledem k oboustranně kloubově podepřenému prutučtvrtinová

Při dosažení této hodnoty tlakové kritické síly nastane u konzolového prutu ztráta stability.


15 / 35

3. Prut jednostranně vetknutý


wIEM ′′−= .. →

IEF.

2 =α

Substituce

→

Obecné řešení:

IEMw.

−=′′ Diferenciální rovnice II.řádu

H … staticky neurčitá veličina

( ) ( ) ( )xlHwFM xx −+= .. → ( )xlIEHw

IEFw −−−=′′ .

..

.

( )xlFHww −−=+′′ ... 22 αα

3 neznámé

→ ( ) ( ) ( )xlFHxcxcw −−+= ..cos..sin. 21 αα

( ) ( )FHxcxcw +−=′ .sin...cos.. 21 αααα

( ) ( )xcxcw .cos...sin.. 22

12 αααα −−=′′

bzRH =

16 / 35



Obecné řešení:



→

→

→


( ) ( ) ( )xlFHxcxcw −−+= ..cos..sin. 21 αα

( ) 00 ==xw

( ) 0==lxw

( ) 00 =′ =xw

( ) ll ..tan αα =

( ) ( ) ( ) 00.0.cos.0.sin. 21 =−−+ lFHcc αα l

FHc .2 =

( ) ( ) 00.sin..0.cos.. 21 =+−FHcc αααα

FHc.1 α

−=

( ) ( ) 0.cos..sin. 21 =+ lclc αα

( ) ( ) 0.cos...sin..

=+− llFHl

FH αα

α( )( ) lll ..cos.sin α

αα =

( ) ( )FHxcxcw +−=′ .sin...cos.. 21 αααα

bzRH =

17 / 35



Stabilitní podmínka: ( ) ll ..tan αα = ( )( ) lll ..cos.sin α

αα = ( ) ( ) 0.sin.cos.. =− lll ααα→ →

Numerické řešení:

493409457,4. =lα

18 / 35



→

Po úpravě: Eulerova kritická síla

Poznámky k řešení:• Prut vybočí ve směru menší tuhosti – Imin

Při dosažení této hodnoty tlakové kritické síly nastane u jednostranně vetknutého prutu

ztráta stability.


( ) ll ..tan αα =

493409457,4. =lα ( )2

22 ...4934,4

. lIEF ==α

( ) 22 .....4934,4lIEFF cr ==


19 / 35

4. Prut oboustranně vetknutý



−=′′ Diferenciální rovnice II.řádu

IEF.

2 =α

Substituce

→

Obecné řešení: 3 neznámé

( ) ( ) byxx MwFM −= .IE

Mw

IEFw by

..

.+−=′′→

FM

ww by.. 22 αα =+′′

→ ( ) ( )FM

xcxcw by++= .cos..sin. 21 αα


( ) ( )xcxcw .cos...sin.. 22

12 αααα −−=′′

FM

ww by.. 22 αα =+′′

20 / 35



Obecné řešení:


→

→

→

( ) 00 ==xw

( ) 0==lxw

( ) 00 =′ =xw

( ) ( )FM

xcxcw by++= .cos..sin. 21 αα


→( ) 0=′ =lxw

( ) ( ) 00.cos.0.sin. 21 =++FM

cc byααFM

c by−=2

( ) ( ) 00.sin..0.cos.. 21 =− αααα cc 01 =c

( ) ( ) 0.cos..sin. 21 =++FM

lclc byαα

( )[ ] 0.cos1. =− lFMby α ( ) 1.cos =lα→

( ) 0.sin =lα( ) ( ) 0.sin...cos.0. =− lFM

l by αααα →

→

→

… Stabilitní podmínka

21 / 35



Po úpravě: Eulerova kritická síla

Poznámky k řešení:• Prut vybočí ve směru menší tuhosti – Imin

• Kritická síla je vzhledem k oboustranně kloubově podepřenému prutučtyřnásobná

Při dosažení této hodnoty tlakové kritické síly nastane u oboustranně vetknutého prutu

ztráta stability.


Stabilitní podmínka: ( ) 1.cos =lα

πα .2. =l( )

2

22 .2

. lIEF πα ==→

( ) 22 ...2lIEFF cr π==

22 / 35

Shrnutí Eulerova řešení stability přímého prutu


l

a

b

F

l

a

b

F

l

a

b

F

l

a

b

F

22 ..lIEFcr π= ( ) 2

2 ...2lIEFcr π=( ) 2

2 .....4934,4lIEFcr =2

2

.4..lIEFcr π=

4.3.2.1.

Lze sjednotit do tvaru: 2

2 ..cr

cr LIEF π=

lLcr .β= β…vzpěrná délka

…součinitel vzpěrné délkycrL

23 / 35

Shrnutí Eulerova řešení stability přímého prutu


crLl =

a

b

F

l

a

b

F

l

a

b

F

l

a

b

F

1=β

4.3.2.1.

( )22

...lIEFcr β

π=

2=β 7,06991571312,0 ≈=β 5,0=β

crL

lLcr .β=

vzpěrná délka je rovna délce sinusové půlvlny ohybové čáry po vybočení –vzdálenost inflexních bodů.

…

crLcrL

crL

24 / 35

Sloupy vstupního traktu, Tesco, Ostrava

Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním vzpěrným tlakem

25 / 35

Sloupy vstupního traktu, Tesco, Ostrava


26 / 35

Sloup nároží, Aula VŠB-TU Ostrava


27 / 35

Sloup nároží, Aula VŠB-TU Ostrava


28 / 35

Pavilon V, výstaviště, Brno


29 / 35

Pavilon V, výstaviště, Brno


30 / 35

Kritické napětí, Eulerova hyperbola


22 ..

crcr L

IEF π=AFcr

cr =σ 22

2

22

22 ...

...

λπππσ E

LiE

LAIE

crcrcr ===

AIi =

iLcr=λ… poloměr setrvačnosti [m] … štíhlost prutu [-]

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

10 30 50 70 90 110

130

150

170

190

210

230

250

270

290

Eulerova hyperbola E = 210 [GPa]

→ →

31 / 35

Eulerova hyperbola v pružném oboru


Pro σcr > fy rozhoduje únosnost v prostém tlaku λmax ≈ 290

32 / 35

Reálné chování nosného prvku v tlaku


yycr f

EfE πλλ

πσ =→== 122.

Pro fy = 235 MPaa E = 210000 MPa:

91,93235

2100001 ≅= πλ

prprprcr f

EfE πλλ

πσ =→== 22.

Pro fpr = 190 MPaa E = 210000 MPa:

44,104190

210000 ≅= πλpr

Chování tlačeného prutu v pružnoplastickém oboru:

33 / 35

Reálné chování nosného prvku v tlaku

Ztráta stability prutů v pružno-plastickém oboru

2

.11

−+

=

prpr

y

ycr

ff

f

λλ

σKřivka : Engesser-Shanleyovo kritické napětí:AC

prpr f

E.πλ =prf ... napětí na mezi úměrnosti

ABBD

... prostý tlak

... Eulerova hyperbola pro vzpěr

34 / 35

Posouzení ocelových prutů na vzpěr

Posouzení ocelových konstrukcí na vzpěr

0

..M

ykRdSd

fANN

γχ=≤ χ ... součinitel vzpěrnosti – z tabulky normy

35 / 35

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Eulerovo řešení stability tlačeného prutu, kritické břemeno, vzpěrná délka

2. Eulerovo řešení stability tlačeného prutu, štíhlost prutu, kritické napětí, Euerova hyperbola

3. Ztráta stability v pružno-plastickém oboru, vztahy mezi štíhlostí a kritickým napětím

4. Posudek ocelových prutů na vzpěr

Podklady ke zkoušce

Date post:	09-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Téma 12: Stabilita a vzpěrný tlakfast10.vsb.cz/krejsa/studium/pp_tema12.pdf · 3 / 35 Stabilní,...

Documents