UMOŘOVÁNÍ DLUHU

Užití GP v praxi

Nejjednodušší případ, kterým se budeme zabývat v hodinách matematiky

Splácení dluhu a z něho plynoucích úroků

pravidelnými, stále stejně velkými částkami,

po dobu několika úrokovacích období.

Důležité pojmy: dluh roční splátka, anuita úroková míra úročitel

Dluh, ozn. K finanční hodnota, kterou musíme splatit

(umořit) za n úrokovacích obdobích

Roční splátka, anuita, ozn. s pravidelně placená částka, vždy koncem

úrokovacího období

Úroková míra, ozn. p výše odměny vyjádřená v procentech

Úročitel, ozn. r

1001 pr

Označení definovaných veličin odpovídá

označení v MFCHT:

strana 29, Vzorce finanční aritmetiky.

Ukázkový příklad:Za jak dlouho umoříme (splatíme) dluh 5 000,- Kč při úročení 10 % p.a. ročními anuitami (splátkami) 1 150,- Kč placenými koncem roku?

Zápis:

K =p =s =n =

5 000,- Kč

10 % p.a.1 150,- Kč

r = 1,1

?

–1. 5 000,– 500,–1 150,– 650,– 4 350,–

Za daných podmínek umoříme dluh za necelých 6 let.

2. 4 350,– 1 150,– 435,– 715,– 3 635,–

3. 3 635,– 1 150,– 364,– 786,– 2 849,–

4. 2 849,– 1 150,– 285,– 865,– 1 984,–

5. 1 984,– 1 150,– 198,– 952,– 1 032,–

6. 1 032,– 1 150,– 103,– 1 047,– –15,–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

51,11150

61,11150

41,11150

31,11150

21,11150

1,11150

nrs

1 nrs

2 nrs

2rs

1rs

dluh (konec roku)

Kč

skutečná splátkaKč

úrok(10%)

Kč

anuitaKč

dluhzač. roku

Kč

rok

K

ODVOZENÍ VZORCE (umořování dluhu)

1231 rs

rs

rs

rs

rsK nn

Dluh = součet všech skutečných splátek

součet n členů GP:

a1

q

1 ,11

1

qqqas

n

n

11

r

rrsK

n

n

= r (každý následující sčítanec – člen GP je r krát větší)

nrs

Ze základního vzorce, který vyjadřuje velikost dluhu, jenž můžeme za n let umořit, odvodíme obecné vztahy pro výpočet velikostí veličin:

roční splátka, anuita, s

počet let, po které dluh splácíme, n

VZORCE

s = ?

nr/

11

nn

rrrKs

11:/

rr n

11

rr

rsK

n

n

Krr

rs n

n

11

nn

rKrrs

11

strany nejprve zaměníme pro lepší orientaci

11/

nrr

11

rr

rsK

n

n

n = ?

r

rKss

nlog

1log

n

n

rr

rsK 1

1

nrr

sK 111

Krr

sn

11

1 1:/

rs

srK

r n

111

nrsrK 111

nrs

rKs 11

hledáme převrácenou hodnotu pravé strany je vhodné mít levou stranu také ve tvaru jednoduchého zlomku

1

rKssr n

1loglog

rKssr n

1loglog

rKssrn

sr 1/

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Příklad 1:Jaký dluh umořím za 7 let pravidelnými ročními anuitami 15 000,- Kč při 25 % p.a.?

Řešení:n = 7 lets = 15 000,- Kčp = 25 % p.a.K = ?

11

r

rrsK

n

n

r = 1,25

25,0125,1

25,1000 15 7

7

Kč ,417 47

Příklad 2:Kolik musí činit každoroční anuity, abychom zaplatili dluh 90 000,- Kč za 10 let při 21 % p.a.?

Řešení:K = 90 000,- Kč n = 10 letp = 21 % p.a.s = ?

11

n

n

rrrKs

Všimněte si, že splátka je vždy větší než část, kterou si „bere“ banka:

s 21 % z 90 000,- Kč, tzn. s 18 900,- Kč

r = 1,21

121,121,021,1000 90

10

10

Kč ,200 22

Příklad 3:Za jak dlouho umořím dluh 50 000,- Kč při 15 % p.a. pravidelnými ročními anuitami 9 000,- Kč?

Řešení:K = 50 000,- Kč

p = 15 % p.a.s = 9 000,- Kčn = ? !! s 15 % z 50 000,- Kč, tzn. s 7 500,- Kč

rrKs

s

nlog

1log

r = 1,15

15,1log

15,0000 50000 9000 9log

let 82,12

Příklad 4:Za jak dlouho umořím dluh 200 000,- Kč při 17 % p.a. pravidelnými ročními anuitami 30 000,- Kč?

Řešení:K = 200 000,- Kč

p = 17 % p.a.s = 30 000,- Kčn = ? !! s 17 % z 200 000,- Kč, tzn. s 34 000,- Kč

Za daných podmínek dluh nelze splatit.

r = 1,17

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ

5. Jaký dluh umořím za 20 let pravidelnými ročními anuitami 60 000,- Kč při a) 17 % p.a., b) 12 % p.a., c) 7 % p.a.?

6. Kolik musí činit každoroční anuity, abychom při 11 % p.a. zaplatili dluh

180 000,- Kč za a) 5 let, b) 7 let, c) 9 let?

[a) 337 666,- Kč, b) 448 167,- Kč, c) 635 641,- Kč]

[a) 48 703,- Kč, b) 38 199,- Kč, c) 32 508,- Kč ]

7. Za jak dlouho umořím dluh 500 000,- Kč při 8 % p.a. pravidelnými ročními anuitamia) 50 000,- Kč, b) 70 000,- Kč, c) 100 000,- Kč?

8. Za jak dlouho umořím dluh 100 000,- Kč pravidelnými ročními anuitami 15 000,- Kč při a) 17 % p.a., b) 12 % p.a., c) 8 % p.a.?

[a) 20 let a 11 měsíců, b) 11 let, c) 6 let a 8 měsíců]

[a) dluh nelze splatit, b) 14 let a 2 měsíce, c) 9 let a 11 měsíců]

Použitá literatura:

ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 3, s. 78–85