UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR · a la presentaci on publica y evaluaci on por parte del tribunal...

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA,

CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

Construcción de la función de Kolmogórov cuya serie de Fourier

diverge en todas partes

Trabajo de titulación modalidad Proyecto de Investigación,

previo a la obtención del Título de Ingeniero Matemático.

Autor: Danilo Javier Vera Ponce

Tutor: Dr. Borys Yamil Álvarez Samaniego, Ph.D.

Quito, 2019

DERECHOS DE AUTOR

Yo, Danilo Javier Vera Ponce en calidad de autor y titular de los derechos morales y

patrimoniales del trabajo de titulacion: CONSTRUCCION DE LA FUNCION DE

KOLMOGOROV CUYA SERIE DE FOURIER DIVERGE EN TODAS PARTES,

modalidad Proyecto de Investigacion, de conformidad con el Art. 144 del CODIGO

ORGANICO DE LA ECONOMIA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREA-

TIVIDAD E INNOVACION, concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador

una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la

obra, con fines estrictamente academicos. Conservo a mi favor todos los derechos

de autor sobre la obra, establecidos en la normativa citada.

Asimismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digi-

talizacion y publicacion de este trabajo de titulacion en el repositorio virtual, de

conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Organica de Educacion Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorizacion es original en su

forma de expresion y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la

responsabilidad por cualquier reclamacion que pudiera presentarse por esta causa

y librando a la Universidad de toda responsabilidad.

Danilo Javier Vera PonceCI: 1004167399E-mail: [email protected]

ii

APROBACION DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulacion, prsentado por DANILO JA-

VIER VERA PONCE, para optar por el Grado de Ingeniero Matematico; cuyo

tıtulo es CONSTRUCCION DE LA FUNCION DE KOLMOGOROV

CUYA SERIE DE FOURIER DIVERGE EN TODAS PARTES, conside-

ro que dicho trabajo reune los requisitos y meritos suficientes para ser sometido

a la presentacion publica y evaluacion por parte del tribunal examinador que se

designe.

En la ciudad de Quito, a los 11 dıas del mes de diciembre de 2018.

Dr. Borys Yamil Alvarez Samaniego, Ph.D.DOCENTE−TUTORC.C.: 1709065229

iii

DEDICATORIA

A

mi mama Esperanza, mi papa Rigoberto,

mis hermanos Gladys, Franklin, Nelly, Luis y Viviana.

A

la memoria de

David Choez.

iv

AGRADECIMIENTO

Un eterno agradecimiento a Dios por darme fuerza, motivacion y capacidad pa-

ra estudiar esta carrera tan hermosa. Ademas, le agradezco profundamente a mi

maravillosa familia, la cual siempre confio en mı y me apoyo a pesar de todo.

Mi enorme gratitud con el Dr. Borys Alvarez Samaniego, Ph.D. por confiarme tan

excelente problema de investigacion y guiarme en el desarrollo del mismo en base a

principios eticos, academicos y profesionales. Este proceso me permitio comprender

lo difıcil que puede llegar a ser escribir una lınea en Matematica, pero tambien me

ayudo a sentir una satisfaccion enorme por las cosas bien hechas. De igual manera,

agradezco al Dr. Petronio Alvarez Samaniego, Ph.D. por estar siempre presto a

cualquier inquietud.

Un agradecimiento especial a mis amigos y companeros con quienes compartı clases

y a todos y cada uno de los profesores de la Carrera de Ingenierıa Matematica.

v

CONTENIDO

DERECHOS DE AUTOR ii

APROBACION DEL TUTOR iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTO v

CONTENIDO vi

RESUMEN viii

ABSTRACT ix

NOTACIONES 1

INTRODUCCION 3

1. DEFINICION DEL PROBLEMA 7

1.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Justificacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS IMPORTANTES 11

2.1. Relaciones con sumas trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Combinacion lineal de funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . 18

3. ANALISIS DE LA FUNCION DE KOLMOGOROV 24

vi

3.1. Construccion de una sucesion (ϕn)n∈Z+ de polinomios trigonometri-

cos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Formulacion y analisis de una suma parcial asociada a la funcion ϕn

dada en (3.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Determinacion de cotas inferiores para la suma parcial Sn2 dada en

(3.39) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4. Determinacion de cotas inferiores para la suma parcial Sk dada en

(3.47) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5. Existencia de una funcion integrable Φ cuya serie de Fourier diverge

en todas partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

APENDICES 94

A. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 94

B. RESULTADOS UTILIZADOS EN EL CAPITULO III 98

C. EQUIDISTRIBUCION Y CRITERIO DE WEYL 103

D. SISTEMA COMPLETO DE RESIDUOS MODULO h 105

BIBLIOGRAFIA 107

vii

viii

TEMA: Construcción de la función de Kolmogórov cuya serie de Fourier diverge

en todas partes.

Autor: Danilo Javier Vera Ponce

Tutor: Dr. Borys Álvarez Samaniego, Ph.D.

RESUMEN

El presente trabajo de investigación pretende desempolvar el famoso artículo referente

a series de Fourier publicado en el ano de 1926 por A. Kolmogórov. En su trabajo,

Kolmogórov asevera la existencia de una función integrable en el sentido de Lebesgue

cuya serie de Fourier diverge en todo punto. Usando diferentes resultados de áreas

como Análisis de Fourier, Teoría de la Medida y Teoría de Números, ha sido posible

descifrar casi en su totalidad las afirmaciones que Kolmogórov plantea en su paper.

Partiendo desde la idea original, se describe en detalle el proceso de la construcción de

la función de Kolmogórov y se muestra de manera rigurosa que su serie de Fourier

diverge en todos los puntos de su dominio.

PALABRAS CLAVE: FUNCION DE KOLMOGÓROV / SERIES DE FOURIER /

DIVERGENCIA EN TODO PUNTO

ix

TITLE: Construction of the Kolmogorov’s function whose Fourier series diverges

everywhere.

Author: Danilo Javier Vera Ponce

Advisor: Dr. Borys Álvarez Samaniego, Ph.D.

ABSTRACT

This research work aims to dust off the famous article about Fourier series published

in the year 1926 by A. Kolmogorov. In his work, Kolmogorov asserts the existence

of an integrable function in the Lebesgue sense whose Fourier series diverges at

every point. Using different results from areas such as Fourier Analysis, Measure

Theory and Number Theory, it has been possible to decipher almost entirely the

statements that Kolmogorov raises in his paper. Starting from the original idea, the

process of the construction of the Kolmogorov function is described in detail and

it is shown in a rigorous way that its Fourier series diverges in all the points of its

domain.

KEYWORDS: KOLMOGOROV’S FUNCTION / FOURIER SERIES /

DIVERGENCE AT EVERY POINT

NOTACIONES

En el presente trabajo, se denota por N al conjunto de los numeros naturales;

incluido el cero. Ademas, se escribe con Z, R y C para describir a los conjuntos de los

numeros enteros, numeros reales y numeros complejos, respectivamente. Asimismo,

se designa por Z+ al conjunto de los enteros positivos. El conjunto de los numero

racionales se representa por Q y si un numero x es irracional se dice que x ∈ (R\Q).

Se tiene que Z+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R = Q ∪ (R \Q).

Si a, b ∈ R, entonces [a, b] denota el conjunto de todos los valores w ∈ R tales que

a ≤ w ≤ b, correspondientemente, [a, b) por a ≤ w < b; (a, b) por a < w < b y (a, b]

por a < w ≤ b.

La notacion f : A→ B indica que f es una funcion de A en B y b = f(a) como el

valor de f en a. La manera de definir una funcion f es la siguiente:

f : A → B

x 7→ f(x) := y,

donde := indica que se esta definiendo lo de la izquierda.

Se dice que f ∈ C(A), si f : A→ C es una funcion continua en A.

Dado el conjunto X, la σ−algebra X y la medida µ, se dice que (X,X, µ) es un

espacio de medida y se escribe por

M(X,X) :={f : X → C; f es X−medible

},

L(X,X, µ) :=

{f ∈M(X,X);

∫X

|f |dµ < +∞}.

Si f ∈ L(X,X, µ), se dice que f es integrable. Adicionalmente, si en M(X,X) se

1

establece la relacion de equivalencia ∼, donde para todo g, h ∈M(X,X),

g ∼ h si y solamente si g = h, µ− casi todas partes.

La clase de equivalencia de f ∈M(X,X) se nota por [f ] y se observa que

M(X,X)/∼ :={

[f ]; f ∈M(X,X)}.

Para todo p ∈ [1,+∞), se define el espacio

Lp(X,X, µ) :=

{[f ] ∈M(X,X)/∼; f ∈M(X,X),

∫X

|f |p dµ < +∞}.

Asimismo, se define la funcion (norma)

‖ · ‖ : Lp(X,X, µ) → [0,+∞)

[f ] 7→∥∥[f ]

∥∥ :=

(∫X

|f |pdµ) 1

p

.

En algunas ocasiones, cuando no hay peligro de confusion, se escribe Lp(X) en

lugar de Lp(X,X, µ). Ademas, se escribe f ∈ Lp(X,X, µ) para referirse a [f ] ∈

Lp(X,X, µ).

Adicionalmente, se denota por B(R) y L(R) a las σ−algebras de Borel y Lebes-

gue, respectivamente y λ es la medida de Lebesgue en la recta. Si restringimos la

medida λ al intervalo [0, 2π], esto es, λ|[0,2π] y se considera el espacio de medida([0, 2π],L([0, 2π]), λ|[0,2π]

), se tiene que

L1(

[0, 2π],L([0, 2π]), λ|[0,2π]

):=

{ζ ∈M

([0, 2π],L([0, 2π])

);

∫[0,2π]

|ζ| dλ < +∞}

Para todo ζ ∈ L1(

[0, 2π],L([0, 2π]), λ|[0,2π]

), se denota por S(ζ; ·) la serie de Fourier

generada por la funcion ζ y dado k ∈ N, la k−esima suma parcial de la serie de

Fourier de ζ se nota por Sk(ζ; ·).

2

INTRODUCCION

La posibilidad de representar una funcion por medio de una serie trigonometrica

fue considerada primero por Euler en 1753 en conexion con el trabajo de Daniel

Bernoulli Sur les cordes vibrantes, sin embargo, Euler noto que una de las afir-

maciones hecha por Bernoulli conducıa a resultados contradictorios para aquella

epoca. En 1822, la idea de una representacion, para las funciones, mediante series

trigonometricas fue nuevamente planteada por Fourier, problema que enfrenta en

su obra titulada Theorie analytique de la chaleur, donde realiza un planteamiento

formal de resultados existentes junto a metodos totalmente originales y novedosos,

contribuyendo enormemente al desarrollo de las series trigonometricas y lo que ac-

tualmente es llamada serie de Fourier y que forma parte de un area muy importante

de las Matematicas llamada Analisis de Fourier ([7]).

De manera general, el area de las series de Fourier esta fundamentalmente asociada

con las siguientes relaciones

S(f ; t) :=a02

++∞∑n=1

(an cos(nt) + bn sen(nt)

), (0.1)

donde para cada n ∈ {1, 2, . . .},

an =1

π

∫ 2π

0

f(x) cos(nx) dx, (0.2)

bn =1

π

∫ 2π

0

f(x) sen(nx) dx. (0.3)

Estas expresiones que pueden ser simplificadas mediante la identidad de Euler, la

cual para todo x ∈ R, establece que

eix = cos(x) + i sen(x), (0.4)

3

donde i representa la unidad imaginaria, con i2 = −1. De (0.4), se deducen las

siguientes identidades (ver pagina 56 de [13]), para todo x ∈ R,

cos(x) =eix + e−ix

2(0.5)

y

sen(x) =eix − e−ix

2i. (0.6)

Podemos observar que a partir de (0.5) y (0.6), la relacion (0.1) puede ser escrita

en la forma

S(f ; t) :=+∞∑

n=−∞

cneintdt, (0.7)

donde

c0 :=a02

y para todo n ∈ {1, 2, . . .},

cn :=an − ibn

2, c−n :=

an − ibn2

.

A continuacion, para todo n ∈ Z y para todo t ∈ R, se consideran las funciones

Ψn(t) = eint,

las cuales satisfacen las relaciones de ortogonalidad (ver Lema 2.11 de la pagina 66

de [12]), es decir,

(Ψk|Ψj) =

∫ 2π

0

Ψk(t)Ψj(t)dt =

∫ 2π

0

eikte−ijtdt =

0 , si j 6= k,

2π , si j = k.(0.8)

Si se supone ahora que la serie dada en (0.7) converge uniformemente a la funcion

f . De (0.8) y tomando en cuenta la Proposicion 2.11 de la pagina 67 de [12], se

tiene que

(f |Ψn) =+∞∑j=−∞

cj(Ψj|Ψn) = 2πcn

y por tanto

4

cn =1

2π(f |Ψn) =

1

2π

∫ 2π

0

f(t)e−intdt.

De (0.7), se tiene que

f(t) :=+∞∑

n=−∞

f(n)eintdt, (0.9)

donde

f(n) = cn =1

2π

∫ 2π

0

f(x)e−inxdx. (0.10)

Es importante precisar que el analisis de las series de Fourier trata de resolver

cuestiones como ¿Que tipo de funcion satisface (0.7), suponiendo que la serie tri-

gonometrica es convergente?, ¿En que sentido y bajo que condiciones la serie trigo-

nometrica representa (converge) a la funcion f?, ¿Cuando se puede calcular (0.8)?,

etc.

Es evidente que los problemas de la teorıa de series de Fourier estan estrechamente

ligados a la nocion de integracion. En la formula (0.8) tacitamente asumimos que

el producto fe−in· es integrable (¿en que sentido?). Ası, podemos considerar series

de Fourier-Riemann o series de Fourier-Lebesgue, de acuerdo al sentido en el cual

las integrales estan definidas ([20]). En este trabajo excepto cuando se mencione

lo contrario, las integrales son siempre en el sentido de Lebesgue y como no hay

peligro de confusion, unicamente se dice series de Fourier.

Cuando el problema de la representacion de funciones por series trigonometricas

fue planteado de forma precisa, los intentos de probar la convergencia de la serie de

Fourier aparecieron inmediatamente, Poisson y Cauchy publicaron algunas pruebas

incorrectas. En 1829, Dirichlet presenta el primer resultado concreto de convergencia

de series de Fourier, donde impuso ciertas restricciones a la funcion f . Al tener

la posibilidad de considerar integrales en el sentido de Lebesgue podemos hablar

de convergencia (o divergencia) en casi todo punto de las series de Fourier. En

1923 Kolmogorov demostro la existencia de una funcion integrable en el sentido de

Lebesgue cuya serie de Fourier diverge en casi todo punto en su artıculo Une serie

de Fourier-Lebesgue divergente presque partout ([14]). Luego, en 1926 fue capaz

de llevar la divergencia a todo punto en su trabajo Une serie de Fourier-Lebesgue

divergente partout ([15]). El presente trabajo pretende descifrar el resultado de

5

Kolmogorov de 1926.

En el Capıtulo I se muestra una breve descripcion del problema, su justificacion y

los objetivos de la presente investigacion. En el Capıtulo II, se presentan algunos

resultados importantes que seran utilizados en el Capıtulo III; en el cual se rea-

liza un analisis detallado del paper de Kolmogorov de 1926 ([15]) partiendo de la

construccion de una sucesion de polinomios trigonometricos (ϕn)n∈Z+ , cuyas propie-

dades permitiran determinar la existencia de funcion de Kolmogorov Φ cuya serie

de Fourier diverge en todas partes.

6

CAPITULO I

DEFINICION DEL PROBLEMA

“There is a familiar formula -perhaps the most compact and famous of all formulas-developed by Euler from a discovery of De Moivre: eiπ + 1 = 0.

...It appeals equally to the mystic, the scientist,the philosopher, the mathematician.”.

Edward Kasner, James R. Newman (1940)

1.1. Formulacion del problema

El principal proposito del presente trabajo de investigacion es construir una funcion

Φ : [0, 2π] → R tal que Φ ∈ L1([0, 2π]), cuya serie de Fourier diverge en todas

partes. Con el fin de esclarecer la problematica y haciendo hincapie en el paper de

Kolmogorov de 1926 ([15]), se abordan los siguientes cuatro puntos fundamentales.

1) La construccion de una sucesion (ϕn)n∈Z+ de polinomios trigonometricos no

negativos. Esto es, para todo n ∈ Z+, se tiene que

ϕn(x) ≥ 0, para todo x ∈ [0, 2π]

y adicionalmente, se verifica que

∫ 2π

0

ϕn(y)dy = π.

2) El analisis riguroso de la sucesion (ϕn)n∈Z+ , que incluye sus diversas formas de

representacion. Ademas, para todo n ∈ Z+ y para cierto l ∈ Z+, la formulacion

de una suma parcial Sl(·) asociada a la funcion ϕn. Se examina el comporta-

miento de las sumas parciales Sl y se determinan segmentos de la recta donde

estas poseen cierto tipo de acotaciones.

3) La existencia de una sucesion real(Qp

)∈Z+ tal que

7

lımp→+∞

Qp = +∞

y de una sucesion de numeros enteros(nm)m∈Z+ estrictamente creciente, que

satisface ciertas propiedades de crecimiento (suficientemente rapido).

A partir de las tres sucesiones mencionadas,((ϕn)n∈Z+ , (Qp)p∈Z+ y (nm)m∈Z+

),

se define la funcion de Kolmogorov Φ, por

Φ(x) :=+∞∑m=1

Mnmϕnm(x), para todo x ∈ [0, 2π],

donde para todo m ∈ Z+, Mnm :=1√Qnm

.

4) Para cierto n ∈ {2, 3, . . .} suficientemente grande. Se denota por vn ∈ Z+ el

orden del polinomio trigonometrico ϕn. Entonces, es posible determinar numeros

λn ∈ Z+ y un conjunto Fn ⊂ [0, 2π] tales que

i) F2 ⊂ · · · ⊂+∞⋃p=2

Fp = [0, 2π],

ii) lımn→+∞

λn = +∞ y

iii) para todo x ∈ Fn, existe un k := kx ∈ Z+ tal que λn ≤ k < vn y

Sk(ϕn;x) > Qn,

donde Sk(ϕn, ·), es la k−esima suma parcial de la serie de Fourier de la

funcion ϕn.

Las propiedades tanto de las funciones ϕn como de las sumas parciales Sl per-

miten concluir que efectivamente existe una funcion integrable Φ cuya serie de

Fourier S(Φ; .) diverge en todas partes, es decir, diverge en todos los puntos de

su dominio.

1.2. Justificacion del problema

Cuando Joseph Fourier mostro la idea de serie de Fourier a la comunidad matemati-

ca, el consideraba que cualquier funcion podrıa ser representada de tal manera (una

8

suma infinita de senos y cosenos), pero a falta de demostraciones generales de sus

resultados, lo que Fourier nos lego no fue un teorema sobre la representacion de

una funcion mediante una serie trigonometrica, sino un problema. Un problema

en el que estaban implicados los conceptos de funcion, integral, suma de series y,

posteriormente, tipo de convergencia. La influencia de este tipo de cuestiones en el

desarrollo de los conceptos del Analisis Matematico fue considerable ([9]).

Posteriormente, A. N. Kolmogorov publico alrededor de diez artıculos sobre la teorıa

de las series trigonometricas (series de Fourier) y series ortogonales. De hecho, cada

uno de ellos fue el comienzo de una investigacion a gran escala, que continua en la

actualidad. El numero de artıculos de otros autores cuyo contenido esta relacionado

con alguno de los trabajos de Kolmogorov en esta area es muy grande ([18]).

El famoso ejemplo de Kolmogorov [14] de una serie de Fourier divergente en ca-

si todas partes, sento las bases para una nueva direccion importante en la teorıa

de las series trigonometricas. Este ejemplo fue uno de los primeros resultados de

Kolmogorov; lo publico en 1923, siendo un estudiante de diecinueve anos. Un ejem-

plo verdaderamente sorprendente que aun atrae la atencion, por su profundidad

ideologica y claridad geometrica. Tres anos despues, y aun con la motivacion por

el estudio de las series trigonometricas, Kolmogorov mejora su resultado de 1923

y logra llevar la divergencia de las series de Fourier a todo punto y lo publica en

diciembre de 1926 en su trabajo [15].

Ahora, se cuenta con trabajos detallados sobre la teorıa de las series trigonometricas,

los cuales contienen necesariamente un ejemplo de Kolmogorov. Sin embargo, en los

conocidos trabajos de A. Zygmund ([20]) y N. K. Bary ([7]), que son las referencias

importantes del presente trabajo, la autenticidad y claridad geometrica del ejemplo

original de A. N. Kolmogorov [15] estan algo ocultas.

En vista de lo anterior, resulta oportuno brindar aquı una exposicion bastante

detallada de este ejemplo en la forma en que fue construido por primera vez por A.

N. Kolmogorov en 1926.

9

1.3. Objetivos

1.3.1. Objetivo General

Estudiar de manera detallada y rigurosa algunos de los pasos fundamentales en

el proceso de construccion de la funcion de Kolmogorov Φ y examinar su serie de

Fourier asociada.

1.3.2. Objetivos Especıficos

• Contruir la sucesion (ϕn)n∈Z+ y estudiar el comportamiento que esta posee

en sus diferentes formas de representacion.

• Establecer una sucesion real (Mp)p∈Z+ y una sucesion de numeros enteros

(nm)m∈Z+ adecuadas.

• Determinar la funcion de Kolmogorov Φ a partir de las sucesiones (ϕn)n∈Z+ ,

(Mp)p∈Z+ y (nm)m∈Z+ , estudiar su serie de Fourier y el conjunto de puntos en

la cual esta diverge.

10

CAPITULO II

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS IMPORTANTES

“Profound study of nature is the most fertilesource of mathematical discoveries”.

Joseph Fourier (1878)

Las identidades trigonometricas son igualdades matematicas que involucran fun-

ciones trigonometricas, por ejemplo, sen : R → [−1, 1], cos : R → [−1, 1] y

tan :(−π

2, π2

)→ R. En el presente capıtulo, se exponen algunas identidades tri-

gonometicas minuciosamente probadas que seran utilizadas en las demostraciones

de algunos resultados presentes en el Capıtulo 3. Las identidades trigonometricas

tratadas en este capıtulo y mas precisamente en la Seccion 2.1 guardan estrecha

relacion con el Nucleo de Dirichlet, el cual puede ser encontrado en las referencias

[12] y [13]. Ademas, algunos resultados similares se discuten en [7] y [20].

2.1. Relaciones con sumas trigonometricas

En esta seccion, se presentan resultados clasicos de sumas trigonometricas de las

funciones seno y coseno que seran utilizadas en las demostraciones de varias propo-

siciones y lemas sintetizados en las Secciones 3.1 y 3.2. Los lemas que se enuncian y

se demuestran aquı, se los realizan de manera totalmente diferente a los presentados

en referencias como [7] o [12].

En primer lugar, para todo L ∈ N, se presenta una identidad para la suma de

funciones de la forma cos(k·), con k ∈ {0, . . . , L}.

Lema 2.1. Para todo L ∈ N, se tiene que

11

L∑k=0

cos(kx) =

1

2+

sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) , si x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z},

L+ 1 , si x ∈ {2rπ; r ∈ Z}.

Demostracion. Sea L ∈ N. Se supone primero que x = 2rπ, para algun r ∈ Z.

Luego,L∑k=0

cos(kx) =L∑k=0

cos(2krπ) =L∑k=0

1 = L+ 1. (2.1)

Se supone ahora que x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z}. Usando (0.5), se tiene que

L∑k=0

cos(kx) =L∑k=0

eikx + e−ikx

2

=1

2

(L∑k=0

eikx +L∑k=0

e−ikx

)

=1

2

(1− ei(L+1)x

1− eix+

1− e−i(L+1)x

1− e−ix

)=

1

2

((1− e−ix)(1− ei(L+1)x) + (1− eix)(1− e−i(L+1)x)

(1− eix)(1− e−ix)

)=

1

2

(1− ei(L+1)x − e−ix + eiLx + 1− e−i(L+1)x − eix + e−iLx

1− eix − e−ix + 1

)=

1

2

(2 + (eiLx + e−iLx)− (ei(L+1)x + e−i(L+1)x)− (eix + e−ix)

2− (eix + e−ix)

)=

1

2

(2 + 2 cos(Lx)− 2 cos

((L+ 1)x

)− 2 cos(x)

2− 2 cos(x)

)

=1

2

(1 + cos(Lx)− cos

((L+ 1)x

)− cos(x)

1− cos(x)

)

=1

2

(1 +

cos(Lx)− cos((L+ 1)x

)1− cos(x)

)

=1

2+

1

2


)1− cos(x)

. (2.2)

De (2.2) y haciendo uso de las Identidades A.3 y A.4, se sigue que

L∑k=0

cos(kx) =1

2+

1

2

2 sen

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

)2 sen2

(1

2x

)12

=1

2+

sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) . (2.3)

De (2.1) y (2.3), el resultado se sigue.

Observacion 2.1. Para todo L ∈ Z+, se tiene del Lema 2.1 que

L∑k=1

cos(kx) =

−1

2+

sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) , si x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z},

L , si x ∈ {2rπ; r ∈ Z}.

El polinomio trigonometrico de la Observacion 2.1 esta relacionado con el Nucleo

de Dirichlet de orden L, el cual es notado por DL(·) (ver [12]).

Ahora, para todo L ∈ Z+, se establece una identidad para la suma de terminos de

la forma sen(k·), con k ∈ {1, . . . , L}.

Lema 2.2. Para todo L ∈ Z+, se tiene que

L∑k=1

sen(kx) =

cos

(1

2x

)− cos

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) , si x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z},

0 , si x ∈ {2rπ; r ∈ Z}.

Demostracion. Sea L ∈ Z+. En primer lugar, se supone que x = 2rπ, para algun

r ∈ Z. Luego,L∑k=1

sen(kx) =L∑k=1

sen(2krπ) =L∑k=1

0 = 0. (2.4)

Ahora, se supone que x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z}. Usando (0.5) y (0.6), se ve que

L∑k=1

sen(kx) =L∑k=1

eikx − e−ikx

2i

=1

2i

(L∑k=1

eikx −L∑k=1

e−ikx

)

13

=1

2i

(eix(1− eiLx)

1− eix− e−ix(1− e−iLx)

1− e−ix

)=

1

2i

((1− e−ix)(eix − ei(L+1)x)− (1− eix)(e−ix − e−i(L+1)x)

(1− eix)(1− e−ix)

)=

1

2i

(eix − ei(L+1)x − 1 + eiLx − e−ix + e−i(L+1)x + 1− e−iLx

1− e−ix − eix + 1

)=

1

2i

((eiLx − e−iLx)− (ei(L+1)x − e−i(L+1)x) + (eix − e−ix)

2− (eix + e−ix)

)=

1

2i

(2i sen(Lx)− 2i sen

((L+ 1)x

)+ 2i sen(x)

2− 2 cos(x)

)

=1

2

(sen(Lx)− sen

((L+ 1)x

)+ sen(x)

1− cos(x)

). (2.5)

De (2.5) y utilizando las Identidades A.3 y A.5, se tiene que

L∑k=1

sen(kx) =1

2

−2 cos

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

)+ 2 sen

(1

2x

)cos

(1

2x

)2 sen2

(1

2x

)

=

cos

(1

2x

)− cos

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) . (2.6)


El Lema 2.3 busca para todo L ∈ Z+ una identidad que represente la suma de

terminos de la forma k cos(k·), con k ∈ {1, . . . , L}


L∑k=1

k cos(kx) =

L sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) −sen2

(L

2x

)2 sen2

(1

2x

) , si x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z},

L(L+ 1)

2, si x ∈ {2rπ; r ∈ Z}.

Demostracion. Sea L ∈ Z+. Primero, se supone que x = 2rπ, para algun r ∈ Z.

Luego,

14

L∑k=1

k cos(kx) =L∑k=1

k cos(2krπ)

=L∑k=1

k(1)

=L(L+ 1)

2. (2.7)

Se supone ahora que x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z}. Se observa que

L∑k=1

k cos(kx) =L∑k=1

d

dx

(sen(kx)

)=

d

dx

(L∑k=1

sen(kx)

). (2.8)

De (2.8) y usando el Lema 2.2 y la Identidad A.3, se tiene que

L∑k=1

k cos(kx) =d

dx

cos

(1

2x

)− cos

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)

=

sen

(1

2x

)2 sen2

(1

2x

)(− 1

2sen

(1

2x

)+

2L+ 1

2sen

(2L+ 1

2x

))

−

1

2cos

(1

2x

)2 sen2

(1

2x

)( cos

(1

2x

)− cos

(2L+ 1

2x

))

=1

2 sen2

(1

2x

)(− 1

2sen2

(1

2x

)+

2L+ 1

2sen

(1

2x

)sen

(2L+ 1

2x

)

− 1

2cos2

(1

2x

)+

1

2cos

(1

2x

)cos

(2L+ 1

2x

))

=1

2 sen2

(1

2x

)(− 1

2+ L sen

(1

2x

)sen

(2L+ 1

2x

)

+1

2sen

(1

2x

)sen

(2L+ 1

2x

)+

1

2cos

(1

2x

)cos

(2L+ 1

2x

))

15

=

L sen

(1

2x

)sen

(2L+ 1

2x

)+

1

2cos

(2L+ 1

2x− 1

2x

)− 1

2

2 sen2

(1

2x

)

=

L sen

(1

2x

)sen

(2L+ 1

2x

)+

1

2cos(Lx)− 1

2

2 sen2

(1

2x

)

=

L sen

(1

2x

)sen

(2L+ 1

2x

)2 sen2

(1

2x

) −

1

2

(1− cos(Lx)

)2 sen2

(1

2x

)

=

L sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) −sen2

(L

2x

)2 sen2

(1

2x

) . (2.9)

De (2.7) y (2.9), se sigue el resultado.

De manera similar a lo realizado en el lema anterior, el siguiente lema propone,

para todo L ∈ Z+, una identidad para la suma de funciones de la forma k sen(k·),

con k ∈ {1, . . . , L}.


L∑k=1

k sen(kx) =

sen (Lx)

4 sen2

(1

2x

) − L cos

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) , si x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z},

0 , si x ∈ {2rπ; r ∈ Z}.

Demostracion. Sea L ∈ Z+. Se supone en primer lugar que x = 2rπ, para algun

r ∈ Z. Luego,

L∑k=1

k sen(kx) =L∑k=1

k sen(2krπ) =L∑k=1

k(0) = 0. (2.10)

Ahora, se supone que x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z}. Se observa que

L∑k=1

k sen(kx) =L∑k=1

(− d

dx

(cos(kx)

))= − d

dx

(L∑k=1

cos(kx)

). (2.11)

16

De (2.11) y haciendo uso de la Observacion 2.1, se sigue que

L∑k=1

k sen(kx) = − d

dx

−1

2+

sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)

= − 1

2 sen2

(1

2x

)(2L+ 1

2cos

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

)

− 1

2sen

(2L+ 1

2x

)cos

(1

2x

))

=1

2 sen2

(1

2x

)(− L cos

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

)

− 1

2cos

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

)+

1

2sen

(2L+ 1

2x

)cos

(1

2x

))

=1

2 sen2

(1

2x

)(− L cos

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

)

+1

2sen

(2L+ 1

2x− 1

2x

))

=1

2 sen2

(1

2x

)(1

2sen (Lx)− L cos

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

))

=sen (Lx)

4 sen2

(1

2x

) − L cos

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) . (2.12)

De (2.10) y (2.12), se sigue el resultado.

En resumen, la Seccion 2.1 presenta identidades para la suma de funciones trigo-

nometricas ( sen y cos). Estos resultados seran de gran utilidad en las demostracio-

nes de las Proposiciones 3.1, 3.8, 3.10 y del Lema 3.1, mas adelante.

17

2.2. Combinacion lineal de funciones trigonometricas

Esta seccion, se compone de resultados importantes que seran utilizados en la de-

mostracion de la Proposicion 3.7 y del Lema 3.2.

Definicion 2.1. Sea n ∈ Z+. Sean f1, . . . , fn : R −→ C funciones complejo-

valuadas y α1, . . . , αn ∈ C. Se define

n∑j=1

αjfj : R −→ C

x 7−→

(n∑j=1

αjfj

)(x) :=

n∑j=1

αjfj(x).

Se dice quen∑j=1

αjfj forma una combinacion lineal de las funciones f1, . . . , fn.

La siguiente proposicion es un resultado clasico de la combinacion lineal de las

funciones sen : R → [−1, 1] y cos : R → [−1, 1], la cual indica que esta suma es

equivalente a una sola onda sinusoidal con parametros adecuados.

Proposicion 2.1 (Combinacion lineal de seno y coseno). Para todo y, α, β ∈ R,

existen A, θ ∈ R tales que

α cos(y) + β sen(y) = A sen(y + θ). (2.13)

Demostracion. Sean y, α, β ∈ R. Se consideran los siguientes cuatro casos.

(a) Si α = 0 = β, entonces existen una infinidad de valores A, θ ∈ R tales que

α cos(y) + β sen(y) = 0 = A sen(y + θ).

Sin embargo, como se vera mas adelante, resulta conveniente tomar A := 0 y

θ :=π

2.

(b) Se supone ahora que α = 0 y β 6= 0. Tomando A := β y θ := 0, se sigue que

α cos(y) + β sen(y) = β sen(y) = A sen(y + θ).

18

(c) Se supone esta vez que α 6= 0 y β = 0. Usando el hecho que para todo z ∈ R,

cos(z) = sen(z + π2) y tomando A := α y θ :=

π

2, se tiene que

α cos(y) + β sen(y) = α cos(y) = α sen(y +

π

2

)= A sen(y + θ).

(d) Finalmente, se supone que α 6= 0 y β 6= 0. Ası, α2 + β2 > 0. Entonces,

α cos(y)+β sen(y) =√α2 + β2

(α√

α2 + β2cos(y) +

β√α2 + β2

sen(y)

). (2.14)

Ademas, se ve que

(α√

α2 + β2

)2

+

(β√

α2 + β2

)2

=α2

α2 + β2+

β2

α2 + β2= 1.

Luego, existe θ ∈ R tal que

sen(θ) =α√

α2 + β26= 0 (2.15)

y

cos(θ) =β√

α2 + β26= 0. (2.16)

Tomando A :=√α2 + β2 y usando (2.14)-(2.16), se tiene que

α cos(y) + β sen(y) =√α2 + β2

(sen(θ) cos(y) + cos(θ) sen(y)

)=√α2 + β2 sen(y + θ)

= A sen(y + θ).

A continuacion, se va a obtener un valor determinado para θ. Hasta el fin de

esta prueba, se considera la funcion arctan : R →(−π

2, π2

)como la funcion

inversa de tan :(−π

2, π2

)→ R.

i) Si β > 0, entonces cos(θ) > 0. Tomando θ ∈(−π

2, π2

), de (2.15) y (2.16),

se ve que θ := arctan

(α

β

).

19

ii) Si β < 0, entonces cos(θ) < 0. Tomando θ ∈(π2, 3π

2

), de (2.15) y (2.16), se

tiene que θ := arctan

(α

β

)+ π.

De i) y ii), se observa que

θ :=

arctan

(α

β

), si β > 0,

arctan

(α

β

)+ π , si β < 0.

(2.17)

Enseguida, se va a mostrar que θ dado en (2.17), satisface (2.15) y (2.16) arriba.

Primero, se considera el caso cuando β > 0, es decir, |β| = β. De (2.17) y

utilizando las Identidades A.6 y A.7, se tiene que

sen(θ) = sen

(arctan

(α

β

))

=

α

β√1 +

(α

β

)2

=

α

β√α2 + β2

|β|

=α√

α2 + β2

y

cos(θ) = cos

(arctan

(α

β

))=

1√1 +

(α

β

)2

=1√

α2 + β2

|β|

=β√

α2 + β2.

Ahora, si β < 0, es decir, |β| = −β, de (2.17) y utilizando nuevamente las

20

Identidades A.6 y A.7, se ve que

sen(θ) = sen

(arctan

(α

β

)+ π

)= sen

(arctan

(α

β

))cos(π) + cos

(arctan

(α

β

))sen(π)

= − sen

(arctan

(α

β

))

= −

α

β√1 +

(α

β

)2

= −

α

β√α2 + β2

|β|

=α√

α2 + β2

y

cos(θ) = cos

(arctan

(α

β

)+ π

)= cos

(arctan

(α

β

))cos(π)− sen

(arctan

(α

β

))sen(π)

= − cos

(arctan

(α

β

))= − 1√

1 +

(α

β

)2

= − 1√α2 + β2

|β|

=β√

α2 + β2.

En conclusion, de (a)-(d), se tiene que existen A, θ ∈ R tales que

α cos(y) + β sen(y) = A sen(y + θ),

donde

21

A :=

β , si α = 0 y β 6= 0,

α , si α 6= 0 y β = 0,√α2 + β2 , caso contrario

(2.18)

y

θ :=

arctan

(α

β

)+ π , si α 6= 0 y β < 0,

arctan

(α

β

), si α 6= 0 y β > 0,

π

2, si α ∈ R y β = 0,

0 , si α = 0 y β 6= 0.

(2.19)

Corolario 2.1. Para todo y, α, β ∈ R, existen B, γ ∈ R de manera que

α cos(y) + β sen(y) = B cos(y + γ).

Demostracion. Sean y, α, β ∈ R. A partir de la Propoicion 2.1, se tiene que existen

A, θ ∈ R tales que

α cos(y) + β sen(y) = A sen(y + θ),

donde A y θ estan dados en (2.18) y (2.19), respectivamente. Usando el hecho que

para todo z ∈ R, sen(z) = cos(z − π

2

), se tiene que existen B, γ ∈ R tales que

α cos(y) + β sen(y) = A sen(y + θ)

= A cos(y + θ − π

2

)= B cos(y + γ),

con

B := A :=

β , si α = 0 y β 6= 0,

α , si α 6= 0 y β = 0,√α2 + β2 , caso contrario

(2.20)

y

22

γ := θ − π

2:=

arctan

(α

β

)+π

2, si α 6= 0 y β < 0,

arctan

(α

β

)− π

2, si α 6= 0 y β > 0,

0 , si α ∈ R y β = 0,

−π2

, si α = 0 y β 6= 0.

(2.21)

23

CAPITULO III

ANALISIS DE LA FUNCION DE KOLMOGOROV

“Every mathematician believes that he is ahead over all others. The reason whythey don’t say this in public, is because they are intelligent people”.

Andrei Kolmogorov

La existencia de una funcion integrable cuya serie de Fourier diverge en todas partes

se publico por primera vez en [15] por Andrei Kolmogorov. En un trabajo anterior

([14]), Kolmogorov a la edad de 19 anos obtuvo un primer resultado significativo en

esta area, se exhiben los pasos que conducen a mostrar la existencia de una funcion

integrable en el sentido de Lebesgue cuya serie de Fourier diverge en casi todas

partes, es decir, excepto en un conjunto de medida cero. Un estudio detallado y

minucioso de [14] se puede encontrar en [12].

En el presente capıtulo se analiza el enunciado principal de [15], esto es, se estudia

en detalle el proceso fundamental para la construccion de una funcion integrable en

el sentido de Lebesgue cuya serie de Fourier diverge en todas partes. Vale la pena

mencionar que existen bosquejos de la demostracion de este resultado realizados por

N. K. Bary ([7]) y A. Zygmund ([20]) basados en la misma idea de Kolmogorov, sin

embargo, estas pruebas difieren esencialmente de los 5 puntos que se manifiestan

en el artıculo [15], pero brindan pautas importantes para la realizacion del presente

trabajo de investigacion.

En las siguientes cinco secciones, correspondientes a los cinco puntos fundamentales

descritos en [15], se pormenoriza la idea original plasmada por Kolmogorov.

24

3.1. Construccion de una sucesion (ϕn)n∈Z+ de polinomios

trigonometricos no negativos

El objetivo principal de esta seccion es demostrar detalladamente las aseveraciones

expuestas en el punto 1° de [15]. En otras palabras, para todo m ∈ Z+, se define

la funcion σm, la cual esta dada en (3.1) abajo, y se analizan algunas de sus ca-

racterısticas. A partir de la definicion de la funcion σm, para todo n ∈ Z+ y para

todo p ∈ {0, . . . , n}, se define la funcion auxiliar φp := φp,n, que esta dada en (3.8)

abajo. Luego, para todo n ∈ Z+, se define la funcion ϕn := φn,n, dada en (3.9) y se

estudian ciertas propiedades de esta funcion que permiten justificar prolijamente el

punto 1° de [15].

La funcion que se define a continuacion, corresponde a la funcion σm, con m ∈ Z+,

mencionada en el parrafo anterior y sera usada en la definicion de la funcion ϕn,

con n ∈ Z+ (Definicion 3.2), mas adelante.

Definicion 3.1. Para todo m ∈ Z+, se define la funcion

σm : R → R

x 7→ σm(x) :=1

2+

m∑k=1

m− km

cos(kx).(3.1)

El siguiente resultado sera utilizado en la Observacion 3.2.

Observacion 3.1. Para todo x ∈ R, se tiene que

σ1(x) =1

2.

Demostracion. Sea x ∈ R. De (3.1), se tiene que

σ1(x) :=1

2+

1∑k=1

1− k1

cos(kx)

=1

2+

1− 1

1cos(x)

=1

2.

25

A continuacion, para todo m ∈ Z+, se reescribe la funcion σm dada en (3.1), en una

forma conveniente de tal manera que resulte inmediato deducir que esta funcion es

no negativa.

Proposicion 3.1. Para todo m ∈ Z+, la funcion σm dada en (3.1) se puede rees-

cribir como

σm(x) =

sen2(m

2x)

2m sen2

(1

2x

) , si x ∈ R \ {2lπ; l ∈ Z},

m

2, si x ∈ {2lπ; l ∈ Z}.

Demostracion. Sea m ∈ Z+. Se supone primero que x = 2lπ, para algun l ∈ Z. De

(3.1), se ve que

σm(x) :=1

2+

m∑k=1

m− km

cos(2klπ)

=1

2+

m∑k=1

m− km

(1)

=1

2+

m∑k=1

1− 1

m

m∑k=1

k

=1

2+m− 1

m

m(m+ 1)

2

=1

2+m− 1

2

=m

2. (3.2)

Se supone ahora que x ∈ R \ {2lπ; l ∈ Z}. De (3.1), de la Observacion 2.1 y del

Lema 2.3, se tiene que

σm(x) :=1

2+

m∑k=1

m− km

cos(kx)

=1

2+

m∑k=1

cos(kx)− 1

m

m∑k=1

k cos(kx)

=1

2− 1

2+

sen

(2m+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) − 1

m

m sen

(2m+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) −sen2

(m2x)

2 sen2

(1

2x

)

26

=

sen

(2m+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) −sen

(2m+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) +sen2

(m2x)

2m sen2

(1

2x

)

=sen2

(m2x)

2m sen2

(1

2x

) . (3.3)


El siguiente resultado se desprende de la proposicion anterior y sera usado en las

demostraciones de la Proposicion 3.3 y de las Observaciones 3.4 y 3.5, mas adelante.

Proposicion 3.2. Para todo m ∈ Z+, la funcion σm dada en (3.1) cumple que

0 ≤ σm(x) ≤ m

2, para todo x ∈ R.

Demostracion. Sean m ∈ Z+ y x ∈ R. La funcion σm dada en (3.1) es no negativa.

En efecto, usando la Proposicion 3.1, se verifica de forma inmediata que

σm(x) ≥ 0. (3.4)

Ahora, de (3.4), (3.1) y usando el hecho que para todo z ∈ R, | cos(z)| ≤ 1, se

observa que

0 ≤ σm(x) = |σm(x)|

:=

∣∣∣∣∣12 +m∑k=1

m− km

cos(kx)

∣∣∣∣∣≤ 1

2+

m∑k=1

m− km

∣∣∣ cos(kx)∣∣∣

≤ 1

2+

m∑k=1

m− km

=1

2+

m∑k=1

1− 1

m

m∑k=1

k

=1

2+m− 1

m

m(m+ 1)

2

=1

2+m− 1

2

27

=m

2,

lo que muestra el resultado.

En la siguiente definicion, para todo n ∈ Z+, se determina la funcion ϕn. La sucesion

(ϕn)n∈Z+ representa la sucesion de polinomios trigonometricos que se manifiesta

en el enunciado de esta seccion y representan un fragmento importante dentro del

presente trabajo. Las caracterısticas de estas funciones resultan fundamentales para

determinar la existencia de la funcion de Kolmogorov cuya serie de Fourier diverge

en todo punto.

Definicion 3.2. Sea n ∈ Z+. Se determina la sucesion finita y creciente de enteros

positivos dada por

mj := mj,n := n4(j+1), para todo j ∈ {0, . . . , n}. (3.5)

Ademas, se establece

Aj := Aj,n :=4jπ

2n+ 1, para todo j ∈ {0, . . . , n}. (3.6)

Se observa que

An := An,n := 2π − 2π

2n+ 1. (3.7)

A partir de (3.5) y (3.6), para todo p ∈ {0, . . . , n}, se define la funcion φp := φp,n

dada por

φp : R → R

x 7→ φp(x) :=1

p+ 1

p∑j=0

σmj(Aj − x),(3.8)

donde para todo r ∈ Z+, la funcion σr esta dada en (3.1).

Usando (3.8), se define la funcion ϕn como

ϕn := φn,n : R → R

x 7→ ϕn(x) := φn,n(x) :=1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − x).(3.9)

28

En la siguiente observacion se examina el caso cuando n = 1 en (3.9).

Observacion 3.2. Para todo x ∈ R, se tiene que

ϕ1(x) =1

2.

Demostracion. Sea x ∈ R. De (3.9), (3.5) y haciendo uso de la Observacion 3.1, se

tiene que

ϕ1(x) :=1

2

1∑j=0

σmj(Aj − x)

=1

2

1∑j=0

σ1(Aj − x)

=1

2

1∑j=0

1

2

=1

2.

Hasta ahora, para todo n ∈ Z+, se ha definido la funcion ϕn, dada en (3.9) arriba.

En lo que sigue y hasta el final de esta seccion, para todo n ∈ Z+, se estudian

ciertas propiedades de la funcion ϕn, las cuales permiten justificar detalladamente

las afirmaciones expuestas en el punto 1° de [15].

La siguiente propiedad sera de gran utilidad para la demostracion de los resultados

presentados en la Seccion 3.5.

Proposicion 3.3. Para todo n ∈ Z+, la funcion ϕn dada en (3.9) es no negativa.

Demostracion. Sean n ∈ Z+ y x ∈ R. Usando la Proposicion 3.2, se observa que

para todo j ∈ {0, . . . , n},

σmj(Aj − x) ≥ 0.

Luego,n∑j=0

σmj(Aj − x) ≥ 0.

29

De (3.9), se ve que

ϕn(x) :=1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − x) ≥ 0.

Proposicion 3.4. Para todo n ∈ Z+, la funcion ϕn dada en (3.9) es 2π-periodica,

es decir, para todo x ∈ R, se tiene que

ϕn(x+ 2π) = ϕn(x).

Demostracion. Sean n ∈ Z+ y x ∈ R. De (3.9), (3.1) y usando el hecho que cos :

R→ [−1, 1] es 2π-periodica, se ve que

ϕn(x+ 2π) :=1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − (x+ 2π)

):=

1

n+ 1

n∑j=0

(1

2+

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x− 2π)

))

=1

n+ 1

n∑j=0

(1

2+

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x)− 2kπ

))

=1

n+ 1

n∑j=0

(1

2+

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x)

))

=:1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − x)

=: ϕn(x),

donde para todo j ∈ {0, . . . , n}, mj := mj,n y Aj := Aj,n estan dados en (3.5) y

(3.6), respectivamente.

Proposicion 3.5. Para todo n ∈ Z+, la funcion ϕn dada en (3.9) es continua.

Demostracion. Sean n ∈ Z+ y x0 ∈ R. Se va a probar que la funcion ϕn dada en

(3.9) es continua en x0. Primero, de (3.9), (3.1) y de la Identidad A.1, se sigue que

para todo x ∈ R,

30

∣∣ϕn(x)− ϕn(x0)∣∣ :=

∣∣∣∣∣ 1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − x)− 1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − x0)

∣∣∣∣∣=

1

n+ 1

∣∣∣∣∣n∑j=0

(σmj(Aj − x)− σmj(Aj − x0)

)∣∣∣∣∣:=

1

n+ 1

∣∣∣∣∣n∑j=0

(1

2+

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x)

)−1

2−

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x0)

))∣∣∣∣∣=

1

n+ 1

∣∣∣∣∣n∑j=0

mj∑k=1

mj − kmj

(cos(k(Aj − x)

)− cos

(k(Aj − x0)

))∣∣∣∣∣≤ 1

n+ 1

n∑j=0

mj∑k=1

mj − kmj

∣∣∣ cos(k(Aj − x)

)− cos

(k(Aj − x0)

)∣∣∣=

1

n+ 1

n∑j=0

mj∑k=1

mj − kmj

∣∣∣∣−2 sen

(1

2

(k(Aj − x) + k(Aj − x0)

))sen

(1

2

(k(Aj − x)− k(Aj − x0)

))∣∣∣∣=

1

n+ 1

n∑j=0

mj∑k=1

mj − kmj

2

∣∣∣∣ sen

(kAj −

k

2(x+ x0)

)∣∣∣∣∣∣∣∣ sen

(k

2(x0 − x)

)∣∣∣∣ , (3.10)



Ahora, usando el hecho que para todo z1 ∈ R, | sen(z1)| ≤ 1, se tiene que para todo

j ∈ {0, . . . , n}, para todo k ∈ {1, . . . ,mj} y para todo x ∈ R,∣∣∣∣ sen

(kAj −

k

2(x+ x0)

)∣∣∣∣ ≤ 1, (3.11)

donde mj := mj,n y Aj := Aj,n estan dados en (3.5) y (3.6), respectivamente.

Asimismo, tomando en cuenta que para todo z2 ∈ R, | sen(z2)| ≤ |z2|, se ve que

para todo j ∈ {0, . . . , n}, para todo k ∈ {1, . . . ,mj} y para todo x ∈ R,∣∣∣∣ sen

(k

2(x0 − x)

)∣∣∣∣ ≤ k

2|x− x0|, (3.12)

donde mj := mj,n esta dado en (3.5).

31

Ademas, para todo j ∈ {0, . . . , n} y para todo k ∈ {1, . . . ,mj},

mj − kmj

≤ 1, (3.13)

donde mj := mj,n esta dado en (3.5).

De (3.10)-(3.13), de (3.5) y del hecho que para todo j ∈ {0, . . . , n} y para todo

k ∈ {1, . . . ,mj}, k ≤ mj ≤ mn, se desprende que para todo x ∈ R,

|ϕn(x)− ϕn(x0)| ≤1

n+ 1

n∑j=0

mj∑k=1

2 · k2|x− x0|

≤ 1

n+ 1

n∑j=0

mj∑k=1

mn|x− x0|

=mn

n+ 1|x− x0|

n∑j=0

mj

≤ mn

n+ 1|x− x0|

n∑j=0

mn

=mn

2

n+ 1|x− x0|(n+ 1)

= mn2|x− x0|

= n8(n+1)|x− x0|. (3.14)

Sea ε > 0. Se toma δ := δ(ε, n) :=ε

n8(n+1)> 0. Para todo x ∈ R, si |x − x0| < δ,

usando (3.14), se tiene

|ϕn(x)− ϕn(x0)| ≤ n8(n+1)δ = ε.

Luego, ϕn es continua en x0. Como x0 ∈ R es fijo pero arbitrario, se concluye que

ϕn es continua.

Definicion 3.3. Sea n ∈ Z+. Se define la funcion ϕn como

ϕn := ϕn|[0,2π] : [0, 2π] → R

y 7→ ϕn(y) := ϕn|[0,2π](y) = ϕn(y),(3.15)

donde para todo n ∈ Z+, la funcion ϕn esta dada en (3.9).

32

Proposicion 3.6. Para todo n ∈ Z+, se tiene que

ϕn ∈ L([0, 2π]) (3.16)

y ademas ∫[0,2π]

ϕn dλ = π, (3.17)

donde λ es la medida de Lebesgue en la recta y para todo n ∈ Z+, la funcion ϕn

esta dada en (3.15).

Demostracion. Sea n ∈ Z+. Usando el ejercicio 9.V de [6], (3.15), (3.9), (3.1) y

dado que cos : R→ [−1, 1] es 2π-periodica, se tiene que

∫[0,2π]

ϕn dλ =

∫ 2π

0

ϕn(x) dx

=

∫ 2π

0

ϕn(x) dx

:=

∫ 2π

0

1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − x) dx

=1

n+ 1

n∑j=0

∫ 2π

0

σmj(Aj − x) dx

:=1

n+ 1

n∑j=0

∫ 2π

0

(1

2+

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x)

))dx

=1

n+ 1

n∑j=0

(π +

mj∑k=1

mj − kmj

∫ 2π

0

cos(k(Aj − x)

)dx

)

=1

n+ 1

n∑j=0

(π +

mj∑k=1

mj − kmj

∫ Aj−2π

Aj

(− cos(ky)

)dy

)

=1

n+ 1

n∑j=0

(π +

mj∑k=1

mj − kmj

∫ Aj

Aj−2πcos(ky) dy

)

=1

n+ 1

n∑j=0

(π +

mj∑k=1

mj − kmj

(sen(ky)

k

∣∣∣∣AjAj−2π

))

=1

n+ 1

n∑j=0

(π +

mj∑k=1

mj − kkmj

(cos(kAj)− cos

(k(Aj − 2π)

)))

=1

n+ 1

n∑j=0

(π +

mj∑k=1

mj − kkmj

(cos(kAj)− cos(kAj − 2kπ)

))

33

=1

n+ 1

n∑j=0

(π +

mj∑k=1

mj − kkmj

(0)

)

=1

n+ 1

n∑j=0

(π + 0)

=1

n+ 1(n+ 1)π

= π, (3.18)



Ahora, usando la Proposicion 3.5, el hecho que toda restriccion de una funcion

continua es continua (Teorema 1 de la pagina 176 de [16]) y el ejemplo 2.5-(c) de

[6], se ve que ϕn : [0, 2π]→ R es una funcion real-valuada B([0, 2π])-medible y por

tanto L([0, 2π])-medible.

Ademas, haciendo uso de la Definition 6.8 de [6], a partir de (3.18) y usando la

Proposicion 3.2, la cual permite ver que ϕn ≥ 0, se observa que

∫[0,2π]

∣∣ϕn∣∣ dλ = π < +∞,

de donde

[ϕn] ∈ L1([0, 2π],B([0, 2π]), λ|[0,2π])

⊂ L1([0, 2π],L([0, 2π]), λ|[0,2π])

=: L1([0, 2π]).

En conclusion, en la presente seccion se ha definido una sucesion de polinomios

trigonometricos (ϕn)n∈Z+ y se han probado en detalle algunas de sus propiedades.

De este modo, en esta seccion, se han justificado prolijamente las afirmaciones

presentadas en el punto 1° de [15].

34

3.2. Formulacion y analisis de una suma parcial asociada

a la funcion ϕn dada en (3.9)

En esta seccion se procede a examinar en detalle el punto 2° de [15]. Es decir, para

todo n ∈ Z+, se propone una representacion adicional para la funcion ϕn dada en

(3.9) y mediante esta nueva representacion, se formula y analiza una suma parcial

asociada a la funcion ϕn. De este manera, se justifica pormenorizadamente los pasos

necesarios para la deduccion de las Ecuaciones (1) y (2) de [15].

La siguiente proposicion, para todo n ∈ Z+, brinda una demostracion detallada de

una representacion alternativa de la funcion ϕn, dada en (3.9). Este resultado sera

de gran importancia a lo largo del trabajo, principalmente en la Seccion 3.5.

Proposicion 3.7. Para todo n ∈ Z+, la funcion ϕn dada en (3.9) satisface, para

todo x ∈ R, la siguiente representacion

ϕn(x) =

1

2, si n = 1,

1

2+

mn∑k=1

ak cos(kx+ λk) , si n ∈ {2, 3, . . .},(3.19)

donde mn := mn,n esta dado en (3.5) y para todo k ∈ {1, . . . ,mn}, ak := ak,n y

λk := λk,n estan dados en (3.28) y (3.29) abajo, respectivamente.

Demostracion. Sea x ∈ R. En primer lugar, se considera el caso cuando n = 1. De

la Observacion 3.2, se tiene que

ϕ1(x) =1

2. (3.20)

Se considera ahora el caso cuando n ∈ {2, 3, . . .}. Usando (3.9) y (3.1), se sigue que

ϕn(x) :=1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − x)

:=1

n+ 1

n∑j=0

(1

2+

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x)

))

=1

n+ 1

n∑j=0

1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x)

)35

=1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

mj∑k=1

mj − kmj

cos(k(Aj − x)

), (3.21)


(3.6), respectivamente y para todo r ∈ Z+, la funcion σr esta dada en (3.1).

Para todo j ∈ {0, . . . , n}, se definen los coeficientes

αj,k := αj,k,n :=

mj − kmj

, si k ∈ {1, . . . ,mj − 1},

0 , si k ∈ {mj, . . . ,mn},(3.22)

donde para todo j ∈ {0, . . . , n}, mj := mj,n esta dado en (3.5).

De (3.21) y (3.22), se ve que

ϕn(x) =1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

mn∑k=1

αj,k cos(k(Aj − x)

)=

1

2+

1

n+ 1

mn∑k=1

n∑j=0

αj,k cos(k(Aj − x)

)=

1

2+

1

n+ 1

mn∑k=1

n∑j=0

αj,k cos(kAj − kx

)=

1

2+

1

n+ 1

mn∑k=1

n∑j=0

αj,k

(cos(kAj) cos(kx) + sen(kAj) sen(kx)

)=

1

2+

mn∑k=1

[(1

n+ 1

n∑j=0

αj,k cos(kAj)

)cos(kx)

+

(1

n+ 1

n∑j=0

αj,k sen(kAj)

)sen(kx)

]. (3.23)

Ahora, para todo k ∈ {1, . . . ,mn}, se escribe

βk := βk,n :=1

n+ 1

n∑j=0

αj,k cos(kAj) (3.24)

y

γk := γk,n :=1

n+ 1

n∑j=0

αj,k sen(kAj), (3.25)

donde mn := mn,n esta dado en (3.5).

De (3.23)-(3.25), se tiene que

36

ϕn(x) =1

2+

mn∑k=1

(βk cos(kx) + γk sen(kx)

). (3.26)

Haciendo uso del Corolario 2.1, se tiene que para todo k ∈ {1, . . . ,mn}, existen

ak, λk ∈ R tales que

βk cos(kx) + γk sen(kx) = ak cos(kx+ λk), (3.27)

donde

ak := ak,n :=

γk , si βk = 0 y γk 6= 0,

βk , si βk 6= 0 y γk = 0,√βk

2 + γk2 , caso contrario

(3.28)

y

λk := λk,n :=

arctan

(βkγk

)+π

2, si βk 6= 0 y γk < 0,

arctan

(βkγk

)− π

2, si βk 6= 0 y γk > 0,

0 , si βk ∈ R y γk = 0,

−π2

, si βk = 0 y γk 6= 0.

(3.29)

Usando (3.26) y (3.27), se tiene que

ϕn(x) =1

2+

mn∑k=1

ak cos(kx+ λk). (3.30)


El siguiente lema sera usado en las demostraciones de las Proposiciones 3.8 y 3.10

abajo.


L∑k=1

k cos(kx) =

L sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) − LσL(x) , si x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z},

L(L+ 1)

2, si x ∈ {2rπ; r ∈ Z},

37


Demostracion. Sea L ∈ Z+. Primero, se considera el caso cuando x = 2rπ, para

algun r ∈ Z. Usando el Lema 2.3, se tiene que

L∑k=1

k cos(kx) =L(L+ 1)

2. (3.31)

Se supone ahora que x ∈ R \ {2rπ; r ∈ Z}. Del Lema 2.3 y de la Proposicion 3.1,

se ve que

L∑k=1

k cos(kx) =

L sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) −sen2

(L

2x

)2 sen2

(1

2x

)

=

L sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) − L

L

sen2

(L

2x

)2 sen2

(1

2x

)

=

L sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) − Lsen2

(L

2x

)2L sen2

(1

2x

)

=

L sen

(2L+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

) − LσL(x), (3.32)



La siguiente observacion sera de utilidad en el estudio de los dominios descritos en

los enunciados de las Proposiciones 3.8 y 3.10 abajo.

Observacion 3.3. Para todo z ∈ R, se ve que

sen

(1

2

(z − y

))= 0 si y solo si y = z − 2qπ, para algun q ∈ Z.

Demostracion. Sea z ∈ R. Se tiene que

38

sen

(1

2

(z − y

))= 0 si y solo si existe q ∈ Z tal que

1

2(z − y) = qπ.

Por lo tanto,

sen

(1

2

(z − y

))= 0 si y solo si y = z − 2qπ, para algun q ∈ Z.

La siguiente notacion esta directamente relacionada con la ecuacion (1) de [15] y

hace referencia a la suma parcial que se menciona en el enunciado de esta seccion.

Notacion 3.1. Sean n ∈ {2, 3, . . .} y k ∈ {1, . . . ,mn}, donde mn := mn,n esta

dado en (3.5). A partir de (3.19), se denota por Sk := Sk,n a la suma parcial dada

por

Sk(x) := Sk,n(x) :=1

2+

k∑l=1

al cos(lx+ λl), para todo x ∈ R, (3.33)

donde para todo l ∈ {1, . . . , k}, al := al,n y λl := λl,n, estan dados en (3.28) y


Hasta aquı, se ha probado que para todo n ∈ Z+, la funcion ϕn dada en (3.9) posee

la representacion adicional enunciada en (3.19), mientras que si n ∈ {2, 3, . . .}, se

ha formulado una suma parcial asociada a dicha funcion, dada en la Notacion 3.1.

A partir de ahora y hasta el final de esta seccion, los propositos principales sub-

siguientes son mostrar las Proposiciones 3.8 y 3.10. En la Proposicion 3.8, se va a

probar que para todo n ∈ {2, 3, . . .} y en el caso cuando k = n2 ∈ Z+, la suma

parcial Sk := Sk,n dada en (3.33) puede ser reescrita de una forma conveniente

como la expuesta en (3.39) abajo. Del mismo modo, en la Proposicion 3.10 se va

a mostrar que para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo p ∈ {0, . . . , n − 1}, para todo

k ∈ Z+ tal que mp ≤ k < mp+1 y para todo x ∈ R \ {Aj − 2qπ; q ∈ Z}, la suma

parcial Sk := Sk,n dada en (3.33), se puede reescribir en la forma (3.47) abajo.

Es importante indicar que la Proposicion 3.10 permite justificar en forma prolija,

la ecuacion (2) de [15], lo cual sera tratado en la Observacion 3.5, mas adelante.

Por otro lado, haciendo uso de la Proposicion 3.8, se demuestra minuciosamente

un resultado parecido al de la ecuacion (2) de [15] para el caso de la suma parcial

39

Sn2 := Sn2,n, con n ∈ {2, 3, . . .}, lo cual sera analizado en la Observacion 3.4.

Vale la pena senalar que las Observaciones 3.4 y 3.5, seran usadas para justificar

detalladamente los puntos 3° y 4° de [15], lo cual sera realizado en las Secciones 3.3

y 3.4, respectivamente.

Los siguientes dos lemas contribuyen a las demostraciones de las Proposiciones 3.8

y 3.10 abajo.

Lema 3.2. Para todo n ∈ {2, 3, . . .} y para todo k ∈ {1, . . . ,mn}, se tiene que

ak cos(kz + λk) = βk cos(kz) + γk sen(kz), para todo z ∈ R, (3.34)

donde mn := mn,n, ak := ak,n, λk := λk,n, βk := βk,n y γk := γk,n estan dados en

(3.5), (3.28), (3.29), (3.24) y (3.25), respectivamente.

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, k ∈ {1, . . . ,mn} y z ∈ R, donde mn := mn,n

esta dado en (3.5). Se consideran los siguientes cinco casos referentes a βk := βk,n

y γk := γk,n, los cuales estan dados en (3.24) y (3.25), respectivamente.

(a) Si βk = 0 = γk, de (3.28) y (3.29), se ve que

ak cos(kz + λk) =

√βk

2 + γk2 cos(kz)

= 0

= βk cos(kz) + γk sen(kz).

(b) Ahora, se supone que βk = 0 y γk 6= 0. Nuevamente, de (3.28) y (3.29), se

observa que

ak cos(kz + λk) = γk cos(kz − π

2

)= γk

(cos(kz) cos

(π2

)+ sen(kz) sen

(π2

))= γk sen(kz)


(c) Se supone esta vez que βk 6= 0 y γk = 0. Usando de nuevo (3.28) y (3.29), se

sigue que

40

ak cos(kz + λk) = βk cos(kz)


(d) Se supone ahora que βk 6= 0 y γk < 0(|γk| = −γk

). De (3.28), (3.29) y de las

Identidades A.6 y A.7, se tiene que

ak cos(kz + λk) =

√βk

2 + γk2 cos

(kz + arctan

(βkγk

)+π

2

)=

√βk

2 + γk2[cos

(kz + arctan

(βkγk

))cos(π

2

)− sen

(kz + arctan

(βkγk

))sen(π

2

)]=

√βk

2 + γk2[− sen

(kz + arctan

(βkγk

))]=

√βk

2 + γk2[− sen(kz) cos

(arctan

(βkγk

))− cos(kz) sen

(arctan

(βkγk

))]

=

√βk

2 + γk2

− sen(kz)1√

1 +

(βkγk

)2− cos(kz)

βkγk√

1 +

(βkγk

)2

=

√βk

2 + γk2

− sen(kz)1√

βk2 + γk2

|γk|

− cos(kz)

βkγk√

βk2 + γk2

|γk|

=

√βk

2 + γk2

(γk sen(kz)√βk

2 + γk2+

βk cos(kz)√βk

2 + γk2

)= βk cos(kz) + γk sen(kz).

(e) Por ultimo, se supone que βk 6= 0 y γk > 0(|γk| = γk

). Usando (3.28), (3.29) y

las Identidades A.6 y A.7, se observa que

ak cos(kz + λk) =

√βk

2 + γk2 cos

(kz + arctan

(βkγk

)− π

2

)=

√βk

2 + γk2[cos

(kz + arctan

(βkγk

))cos(π

2

)

41

+ sen

(kz + arctan

(βkγk

))sen(π

2

)]=

√βk

2 + γk2 sen

(kz + arctan

(βkγk

))=

√βk

2 + γk2[

sen(kz) cos

(arctan

(βkγk

))+ cos(kz) sen

(arctan

(βkγk

))]

=

√βk

2 + γk2

sen(kz)1√

1 +

(βkγk

)2+ cos(kz)

βkγk√

1 +

(βkγk

)2

=

√βk

2 + γk2

sen(kz)1√

βk2 + γk2

|γk|

+ cos(kz)

βkγk√

βk2 + γk2

|γk|

=

√βk

2 + γk2

(γk sen(kz)√βk

2 + γk2+

βk cos(kz)√βk

2 + γk2

)= βk cos(kz) + γk sen(kz).

De (a)-(e), se obtiene (3.34).

Lema 3.3. Para todo n ∈ {2, 3, . . .} y para todo k ∈ {1, . . . ,mn}, se tiene que la

suma parcial Sk := Sk,n, dada en (3.33), cumple

Sk(x) =1

2+

1

n+ 1

k∑l=1

n∑j=0

αj,l cos(l(Aj − x)

), para todo x ∈ R, (3.35)

donde mn := mn,n esta dado en (3.5) y para todo j ∈ {0, . . . , n} y para todo

l ∈ {1, . . . ,mn}, Aj := Aj,n y αj,l := αj,l,n estan dados en (3.6) y (3.22), respecti-

vamente.

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, k ∈ {1, . . . ,mn} y x ∈ R, donde mn := mn,n

esta dado en (3.5). De (3.33), se sigue que

Sk(x) := Sk,n(x) :=1

2+

k∑l=1

al cos(lx+ λl), (3.36)

donde para todo l ∈ {1, . . . , k}, al := al,n y λl := λl,n estan dados en (3.28) y (3.29),

42

respectivamente. Haciendo uso del Lema 3.2, se ve que para todo l ∈ {1, . . . , k},

al cos(lx+ λl) = βl cos(lx) + γl sen(lx), (3.37)

donde βl := βl,n y γl := γl,n estan dados en (3.24) y (3.25), respectivamente. De

(3.36) y (3.37), se sigue que

Sk(x) =1

2+

k∑l=1

(βl cos(lx) + γl sen(lx)

). (3.38)

De (3.38) y usando (3.24) y (3.25), se tiene que

Sk(x) =1

2+

k∑l=1

(1

n+ 1

n∑j=0

αj,l cos(lAj) cos(lx) +1

n+ 1

n∑j=0

αj,l sen(lAj) sen(lx)

)

=1

2+

1

n+ 1

k∑l=1

n∑j=0

αj,l

(cos(lAj) cos(lx) + sen(lAj) sen(lx)

)=

1

2+

1

n+ 1

k∑l=1

n∑j=0

αj,l cos(lAj − lx)

=1

2+

1

n+ 1

k∑l=1

n∑j=0


),

donde para todo j ∈ {0, . . . , n} y para todo l ∈ {1, . . . , k}, Aj := Aj,n y αj,l := αj,l,n

estan dados en (3.6) y (3.22), respectivamente. De esta manera se concluye la prueba

del lema.

A continuacion, se procede a enunciar y demostrar la Proposicion 3.8, la cual con-

siste en reescribir la suma parcial Sn2 := Sn2,n en forma adecuada; este resultado es

analogo al que se presentara en la Proposicion 3.10. La siguiente proposicion sera

usada posteriormente en la demostracion de la Observacion 3.4.

En la Seccion 3.3 se analiza esta suma parcial a partir de la Observacion 3.4 con el

objetivo de justificar detalladamente el punto 3° de [15].

Proposicion 3.8. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo j ∈ {0, . . . , n} y para todo

x ∈ R \ {Aj − 2qπ; q ∈ Z}, la suma parcial Sn2 := Sn2,n, dada en (3.33), cumple

43

Sn2(x) =1

n+ 1

n∑j=0

n2

mj

σn2(Aj − x)

+1

n+ 1

n∑j=0

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,

(3.39)



Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, j ∈ {0, . . . , n} y x ∈ R \ {Aj − 2qπ; q ∈ Z},

donde Aj := Aj,n esta dado en (3.6). De la Notacion 3.1 y del Lema 3.3, se tiene

que

Sn2(x) := Sn2,n(x) =1

2+

n2∑l=1

al cos(lx+ λl)

=1

2+

1

n+ 1

n2∑l=1

n∑j=0


), (3.40)

donde para todo l ∈ {1, . . . , n2} y para todo j ∈ {0, . . . , n}, al := al,n, λl := λl,n y

αj,l := αj,l,n estan dados en (3.28), (3.29) y (3.22), respectivamente.

Por otro lado, de (3.5), se observa que para todo j ∈ {0, . . . , n} y para todo l ∈

{1, . . . , n2},

1 ≤ l ≤ n2 < n4 =: m0 ≤ mj. (3.41)

De (3.41) y usando (3.22), se ve que

0 6= αj,l =mj − lmj

. (3.42)

De (3.40), (3.42) y haciendo uso de la Observacion 2.1 y del Lema 3.1, se sigue que

Sn2(x) =1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

n2∑l=1

mj − lmj

cos(l(Aj − x)

)=

1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

(n2∑l=1

cos(l(Aj − x)

)− 1

mj

n2∑l=1

l cos(l(Aj − x)

))

44

=1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

−1

2+

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)

− 1

mj

n2 sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) − n2 σn2(Aj − x)

=1

2− 1

n+ 1

n∑j=0

1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)

− 1

n+ 1

n∑j=0

n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) +1

n+ 1

n∑j=0

n2

mj

σn2(Aj − x)

=1

2− 1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)+

1

n+ 1

n∑j=0

n2

mj

σn2(Aj − x)

=1

n+ 1

n∑j=0

n2

mj

σn2(Aj − x)

+1

n+ 1

n∑j=0

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,

donde para todo r ∈ Z+, la funcion σr esta dada en (3.1). Con esto, el resultado

queda probado.

Observacion 3.4. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo j ∈ {0, . . . , n} y para todo

x ∈ R \ {Aj − 2qπ; q ∈ Z}, la suma parcial Sn2 := Sn2,n, dada en (3.33), satisface

Sn2(x) ≥ 1

n+ 1

n∑j=0

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,



45


donde Aj := Aj,n esta dado en (3.6). Haciendo uso de la Proposicion 3.8, se tiene

que

Sn2(x) =1

n+ 1

n∑j=0

n2

mj

σn2(Aj − x)

+1

n+ 1

n∑j=0

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,

(3.43)

donde para todo j ∈ {0, . . . , n}, mj := mj,n esta dado en (3.5) y para todo r ∈ Z+,

la funcion σr esta dada en (3.1). Por otro lado, de la Proposicion 3.2, se tiene que

para todo j ∈ {0, . . . , n},

σn2(Aj − x) ≥ 0,

de donde1

n+ 1

n∑j=0

n2

mj

σn2(Aj − x) ≥ 0. (3.44)

De (3.43) y (3.44), se sigue que

Sn2(x) ≥ 1

n+ 1

n∑j=0

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,

lo cual muestra el resultado.

El siguiente lema sera utilizado en la demostracion de la Proposicion 3.9 abajo.

Lema 3.4. Para todo n ∈ Z+ y para todo p ∈ {0, . . . , n}, se tiene que

p∑j=0

1

mj

=

p+ 1 , si n = 1,

n4(p+1) − 1

n4(p+1)(n4 − 1), si n ∈ {2, 3, . . .},


Demostracion. Sean n = 1 y p ∈ {0, . . . , n}. Usando (3.5), se ve que

46

p∑j=0

1

mj

=

p∑j=0

1

n4(j+1)

=

p∑j=0

1

14(j+1)

=

p∑j=0

1

= p+ 1. (3.45)

Ahora, sean n ∈ {2, 3, . . .} y p ∈ {0, . . . , n}. Nuevamente, haciendo uso de (3.5), se

observa que

p∑j=0

1

mj

=

p∑j=0

1

n4(j+1)

=1

n4

p∑j=0

1

n4j

=1

n4

1− 1

n4(p+1)

1− 1

n4

=

1

n4

(n4(n4(p+1) − 1)

n4(p+1)(n4 − 1)

)=

n4(p+1) − 1

n4(p+1)(n4 − 1). (3.46)


En la siguiente proposicion, para todo n ∈ {2, 3, . . .}, se estudia el valor de la suma

parcial Sn2 := Sn2,n, dada en (3.33), evaluada en aquellos puntos que no fueron

considerados en los dominios descritos en la Proposicion 3.8 arriba.

Proposicion 3.9. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo j ∈ {0, . . . , n} y para todo

x ∈ {Aj − 2qπ; q ∈ Z}, la suma parcial Sn2 := Sn2,n, dada en (3.33), obedece

Sn2(x) =1

2+ n2 − n4(n+1) − 1

2n4n+2(n+ 1)(n2 − 1),

donde para todo j ∈ {0, . . . , n}, Aj := Aj,n esta dado en (3.6).

47

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, j ∈ {0, . . . , n} y x = Aj − 2qπ, para algun

q ∈ Z, donde Aj := Aj,n esta dado en (3.6). Usando el Lema 3.3 y (3.42), se tiene

que

Sn2(x) =1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

n2∑l=1

mj − lmj

cos(l(Aj − (Aj − 2qπ)

))

=1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

n2∑l=1

mj − lmj

cos(2qlπ

)=

1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

n2∑l=1

mj − lmj

,

donde para todo j ∈ {0, . . . , n}, mj := mj,n esta dado en (3.5). De la ultima

igualdad y haciendo uso del Lema 3.4, se sigue que

Sn2(x) =1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

(n2∑l=1

1− 1

mj

n2∑l=1

l

)

=1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

(n2 − n2(n2 + 1)

2mj

)

=1

2+

1

n+ 1

n∑j=0

n2 − 1

n+ 1

n∑j=0

n2(n2 + 1)

2mj

=1

2+ n2 − n2(n2 + 1)

2(n+ 1)

n∑j=0

1

mj

=1

2+ n2 − n2(n2 + 1)

2(n+ 1)

(n4(n+1) − 1

n4(n+1)(n4 − 1)

)=

1

2+ n2 − n2(n2 + 1)

2(n+ 1)

n4(n+1) − 1

n2 n4n+2(n2 + 1)(n2 − 1)

=1

2+ n2 − n4(n+1) − 1

2n4n+2(n+ 1)(n2 − 1),


Se procede ahora a la enunciacion y demostracion de la Proposicion 3.10. Este

resultado, al igual que la Notacion 3.1, esta asociado a la ecuacion (1) de [15]. A

partir de la siguiente proposicion, se prueba mas adelante la Observacion 3.5

Proposicion 3.10. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo j ∈ {0, . . . , n}, para todo

x ∈ R\{Aj−2qπ; q ∈ Z}, para todo p ∈ {0, . . . , n−1} y para todo k ∈ Z+ tales que

48

mp ≤ k < mp+1, la suma parcial Sk := Sk,n, dada en (3.33), cumple la siguiente

igualdad

Sk(x) =1

n+ 1

p∑j=0

σmj(Aj − x) +1

n+ 1

n∑j=p+1

k

mj

σk(Aj − x)

+1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,

(3.47)




donde Aj := Aj,n esta dado en (3.6). Sean p ∈ {0, . . . , n − 1} y k ∈ Z+ tales que

mp ≤ k < mp+1, donde para todo j ∈ {0, . . . , n}, mj := mj,n esta dado en (3.5).

Usando la Notacion 3.1 y el Lema 3.3, se tiene que la suma parcial Sk := Sk,n, dada

en (3.33), cumple

Sk(x) =1

2+

k∑l=1

al cos(lx+ λl)

=1

2+

1

n+ 1

k∑l=1

n∑j=0


), (3.48)

donde para todo l ∈ {1, . . . , k} y para todo j ∈ {0, . . . , n}, al := al,n, λl := λl,n y

αj,l := αj,l,n estan dados en (3.28), (3.29) y (3.22), respectivamente. De (3.48), se

sigue que

Sk(x) =1

2+

1

n+ 1

k∑l=1

p∑j=0


)+

1

n+ 1

k∑l=1

n∑j=p+1


)=

1

2+

1

n+ 1

mp∑l=1

p∑j=0


)+

1

n+ 1

k∑l=mp+1

p∑j=0


)+

1

n+ 1

k∑l=1

n∑j=p+1


). (3.49)

49

Usando la funcion φp := φp,n, definida en (3.8) y ademas (3.21) y (3.22), se tiene

que

φp(x) :=1

p+ 1

p∑j=0

σmj(Aj − x) (3.50)

=1

2+

1

p+ 1

p∑j=0

mj∑l=1

mj − lmj

cos(l(Aj − x)

)=

1

2+

1

p+ 1

p∑j=0

mp∑l=1


), (3.51)

donde para todo j ∈ {0, . . . , p} y para todo l ∈ {1, . . . ,mp}, mj := mj,n, Aj := Aj,n

y αj,l := αj,l,n estan dados en (3.5), (3.6) y (3.22), respectivamente, y para todo

r ∈ Z+, la funcion σr esta dada en (3.5). De (3.50) y (3.51), se desprende que

p∑j=0

mp∑l=1


)=

p∑j=0

σmj(Aj − x)− p+ 1

2. (3.52)

Por otro lado, haciendo uso de (3.5), se ve que para todo j ∈ {0, . . . , p} y para todo

l ∈ {mp + 1, . . . , k},

mj ≤ mp < mp + 1 ≤ l ≤ k < mp+1 ≤ mn. (3.53)

De (3.53) y usando (3.22), se tiene que para todo j ∈ {0, . . . , p} y para todo

l ∈ {mp + 1, . . . , k},

αj,l = 0. (3.54)

Ahora, volviendo a usar (3.5) y considerando que k < mp+1, se observa que para

todo j ∈ {p+ 1, . . . , n} y para todo l ∈ {1, . . . , k},

1 ≤ l ≤ k < mp+1 ≤ mj. (3.55)

De (3.55) y usando otra vez (3.22), se sigue que para todo j ∈ {p+ 1, . . . , n} y para

todo l ∈ {1, . . . , k},

0 6= αj,l =mj − lmj

. (3.56)

50

De (3.49), (3.52), (3.54), (3.56) y utilizando la Observacion 2.1 y el Lema 3.1, se

tiene que

Sk(x) =1

2+

1

n+ 1

(p∑j=0


2

)

+1

n+ 1

n∑j=p+1

k∑l=1

mj − lmj

cos(l(Aj − x)

)=

1

2+

1

n+ 1

p∑j=0


2(n+ 1)

+1

n+ 1

n∑j=p+1

(k∑l=1

cos(l(Aj − x)

)− 1

mj

k∑l=1

l cos(l(Aj − x)

))

=1

2+

1

n+ 1

p∑j=0


2(n+ 1)

+1

n+ 1

n∑j=p+1

−1

2+

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)

− 1

mj

k sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) − k σk(Aj − x)

=1

2+

1

n+ 1

p∑j=0


2(n+ 1)

− 1

n+ 1

n∑j=p+1

1

2+

1

n+ 1

n∑j=p+1

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)

− 1

n+ 1

n∑j=p+1

k

mj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) +1

n+ 1

n∑j=p+1

k

mj

σk(Aj − x)

=1

n+ 1

p∑j=0

σmj(Aj − x) +1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)+

1

n+ 1

n∑j=p+1

k

mj

σk(Aj − x) +1

2− p+ 1

2(n+ 1)− n− p

2(n+ 1)

51

=1

n+ 1

p∑j=0

σmj(Aj − x) +1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)+

1

n+ 1

n∑j=p+1

k

mj

σk(Aj − x) +1

2− p+ 1 + n− p

2(n+ 1)

=1

n+ 1

p∑j=0

σmj(Aj − x) +1

n+ 1

n∑j=p+1

k

mj

σk(Aj − x)

+1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,

lo cual prueba el resultado.

El resultado de la siguiente observacion se desprende de las Proposiciones 3.2 y

3.10 y brinda una deduccion detallada de la ecuacion (2) de [15], con lo que se

completa la justificacion pormenorizada del punto 2° de [15]. Luego, se hara uso

de esta observacion para solventar las afirmaciones del punto 4° de [15], lo cual se

desarrolla en la Seccion 3.4, abajo.

Observacion 3.5. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo j ∈ {0, . . . , n}, para todo

x ∈ R \ {Aj − 2qπ; q ∈ Z}, para todo p ∈ {0, . . . , n − 1} y para todo k ∈ Z+ tales

que mp ≤ k < mp+1, la suma parcial Sk := Sk,n, dada en (3.33), satisface

Sk(x) ≥ 1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,




donde Aj := Aj,n esta dado en (3.6). Sean p ∈ {0, . . . , n − 1} y k ∈ Z+ tales que

mp ≤ k < mp+1, donde para todo j ∈ {0, . . . , n}, mj := mj,n esta dado en (3.5).

Usando la Proposicion 3.10, se tiene que

52

Sk(x) =1

n+ 1

p∑j=0

σmj(Aj − x) +1

n+ 1

n∑j=p+1

k

mj

σk(Aj − x)

+1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,

(3.57)


Ahora, usando la Proposicion 3.2, se observa que para todo j ∈ {0, . . . , n},

σmj(Aj − x) ≥ 0

y

σk(Aj − x) ≥ 0.

Luego,

1

n+ 1

p∑j=0

σmj(Aj − x) ≥ 0 (3.58)

y1

n+ 1

n∑j=p+1

k

mj

σk(Aj − x) ≥ 0. (3.59)

De (3.57)-(3.59), se tiene que

Sk(x) ≥ 1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ,


En conclusion, en la presente seccion, para todo n ∈ {2, 3, . . .} y para todo k ∈

{1, . . . ,mn}, con mn := mn,n dado en (3.5), se ha definido una suma parcial

Sk := Sk,n, dada en (3.33), la cual esta asociada a la funcion ϕn, dada en (3.9),

y se han demostrado en detalle los pasos que permiten justificar prolijamente las

Ecuaciones (1) y (2) de [15]. De este modo, en esta seccion, se han justificado

pormenorizadamente las aseveraciones expuestas en el punto 2° de [15].

53

3.3. Determinacion de cotas inferiores para la suma par-

cial Sn2 dada en (3.39)

En esta seccion, se analiza en detalle el punto 3° del paper de Kolmogorov de 1926

([15]), es decir, se determinan ciertos segmentos de la recta real contenidos en [0, 2π],

donde la suma parcial Sn2 , dada en (3.39) y estudiada en las Proposiciones 3.8, 3.9

y en la Observacion 3.4, puede ser acotada inferiormente y ademas cumple con la

desigualdad expuesta en la ecuacion (3) de [15].

En la siguiente notacion, se enuncian los intervalos presentes en el punto 3° de [15].

Notacion 3.2. Para todo n ∈ Z+ y para todo j ∈ {1, . . . , n}, se escribe

Ij := Ij,n :=

(Aj −

1

n3, Aj +

1

n3

), (3.60)

donde Aj := Aj,n esta dado en (3.6).

A continuacion, se realiza un estudio minucioso de los segmentos definidos en la

notacion anterior.

Lema 3.5. Para todo n ∈ Z+, se satisface que

A1 −1

n3> 0,

donde A1 := A1,n esta dado en (3.6).

Demostracion. Sea n ∈ Z+. Usando (3.6), se tiene que

A1 −1

n3:= A1,n −

1

n3

:=4π

2n+ 1− 1

n3> 0 ⇔ 4πn3 − 2n− 1

n3(2n+ 1)> 0

⇔ 4πn3 − 2n− 1 > 0. (3.61)

Para verificar que la desigualdad (3.61) es verdadera, se procede por induccion sobre

n. Primero, se analiza el caso cuando n = 1. Ası,

4πn3 − 2n− 1 = 4π(1)3 − 2(1)− 1 = 4π − 3 ≈ 9.566 > 0. (3.62)

54

Ahora, se supone que la desigualdad (3.61) es verdadera para n = k ∈ Z+, es decir,

se dispone de la siguiente hipotesis de induccion

HI: 4πk3 − 2k − 1 > 0. (3.63)

Se observa que

4π(k + 1)3 − 2(k + 1)− 1 = 4π(k3 + 3k2 + 3k + 1)− 2k − 2− 1

= 4πk3 + 12πk2 + 12πk + 4π − 2k − 3

= (4πk3 − 2k − 1) + (12πk2 + 12πk + 1)

+ (4π − 3).

De la ultima igualdad y usando (3.62) y (3.63), se tiene que

4π(k + 1)3 − 2(k + 1)− 1 > 0. (3.64)

De (3.62)-(3.64), se concluye que para todo m ∈ Z+,

4πm3 − 2m− 1 > 0,

lo que muestra el resultado.

Lema 3.6. Para todo n ∈ Z+, se verifica que

An +1

n3< 2π,

donde An := An,n esta dado en (3.7).

Demostracion. Sea n ∈ Z+. Haciendo uso de (3.7), se sigue que

An +1

n3:= An,n +

1

n3

:= 2π − 2π

2n+ 1+

1

n3< 2π⇔ − 2π

2n+ 1+

1

n3< 0

⇔ 2π

2n+ 1− 1

n3> 0

55

⇔ 2πn3 − 2n− 1

n3(2n+ 1)> 0

⇔ 2πn3 − 2n− 1 > 0. (3.65)

Se emplea induccion sobre n para verificar que la desigualdad (3.65) es verdadera.

En el caso cuando n = 1, se tiene que

2πn3 − 2n− 1 = 2π(1)3 − 2(1)− 1

= 2π − 3

≈ 3.283 > 0. (3.66)

Se supone ahora que la desigualdad (3.65) es verdadera cuando n = k ∈ Z+, esto

es,

HI: 2πk3 − 2k − 1 > 0. (3.67)

Ademas, se ve que

2π(k + 1)3 − 2(k + 1)− 1 = 2π(k3 + 3k2 + 3k + 1)− 2k − 2− 1

= 2πk3 + 6πk2 + 6πk + 2π − 2k − 3

= (2πk3 − 2k − 1) + (6πk2 + 6πk + 1)

+ (2π − 3).

De esta ultima igualdad y haciendo uso de (3.66) y (3.67), se sigue que

2π(k + 1)3 − 2(k + 1)− 1 > 0. (3.68)

De (3.66)-(3.68), se concluye que para todo m ∈ Z+,

2πm3 − 2m− 1 > 0, (3.69)

lo cual demuestra el resultado.

Lema 3.7. Para todo n ∈ {2, 3, . . .} y para todo j ∈ {1, . . . , n− 1}, se tiene que

Aj +1

n3< Aj+1 −

1

n3,

56


Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .} y j ∈ {1, . . . , n− 1}. Usando (3.6), se tiene que

Aj +1

n3< Aj+1 −

1

n3⇔ 4jπ

2n+ 1+

1

n3<

4(j + 1)π

2n+ 1− 1

n3

⇔ 4jπ

2n+ 1+

1

n3<

4jπ

2n+ 1+

4π

2n+ 1− 1

n3

⇔ 1

n3<

4π

2n+ 1− 1

n3

⇔ 4π

2n+ 1− 2

n3> 0

⇔ 4πn3 − 4n− 2

n3(2n+ 1)> 0

⇔ 4πn3 − 4n− 2 > 0

⇔ 2πn3 − 2n− 1 > 0.

Puesto que la ultima desigualdad se verifico en la prueba del Lema 3.5, el resultado

se sigue.

Observacion 3.6. Sea n ∈ Z+. A partir de la Notacion 3.2 y de los Lemas 3.5 y

3.6, se tiene que para todo j ∈ {1, . . . , n},

Ij := Ij,n :=

(Aj −

1

n3, Aj +

1

n3

)⊂ (0, 2π) ⊂ [0, 2π]. (3.70)

Luego,n⋃j=1

Ij ⊂ (0, 2π) ⊂ [0, 2π]. (3.71)

Ademas, usando el Lema 3.7, se observa que para todo n ∈ {2, 3, . . .},

0 < A1 −1

n3< A1 +

1

n3< · · ·

< An −1

n3< An +

1

n3< 2π

y asimismo para todo k, l ∈ {1, . . . , n}, con k 6= l,

Ik ∩ Il = ∅. (3.72)

De (3.71) y (3.72), se ve adicionalmente que

57

n⊎j=1

Ij ⊂ (0, 2π) ⊂ [0, 2π]. (3.73)

Los siguientes resultados seran usados en la demostracion de la Proposicion 3.11,

abajo.

Lema 3.8. Para todo n ∈ {2, 3, . . .} y para todo p ∈ {1, . . . , n}, se tiene que

mp − n2

mp

≥ 3

4, (3.74)

donde mp := mp,n esta dado en (3.5).

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .} y p ∈ {0, . . . , n}. Usando (3.5), se sigue que

n4(j+1) =: mp ≥ m0 := n4 ⇒ 1

mp

≤ 1

n4

⇒ n2

mp

≤ 1

n2

⇒ − n2

mp

≥ − 1

n2. (3.75)

Por otro lado, se observa que

n2 ≥ 4⇒ 1

n2≤ 1

4

⇒ − 1

n2≥ −1

4. (3.76)

De (3.75) y (3.76), se tiene que

mp − n2

mp

= 1− n2

mp

≥ 1− 1

4=

3

4,


Lema 3.9. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo j ∈ {1, . . . , n} y para todo x ∈

Ij \ {Aj}, se tiene que

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) >9

10n2, (3.77)

58

donde Aj := Aj,n e Ij := Ij,n estan dados en (3.6) y (3.60), respectivamente.

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, j ∈ {1, . . . , n} y x ∈ Ij\{Aj}, donde Aj := Aj,n

e Ij := Ij,n estan dados en (3.6) y (3.60), respectivamente. Usando (3.60), se sigue

que

x ∈ Ij ⇔ Aj −1

n3< x < Aj +

1

n3

⇔ − 1

n3< Aj − x <

1

n3. (3.78)

De (3.78), se observa que para todo k ∈ {1, . . . , n2},

− 1

n< k(Aj − x) <

1

n. (3.79)

De (3.79) y usando el hecho que para todo y ∈(− 1n, 1n

), cos(y) > cos

(1n

), se tiene

que para todo k ∈ {1, . . . , n2},

cos(k(Aj − x)

)> cos

(1

n

)≥ cos

(1

2

)≈ 0, 9999619213 > 0, 9 =

9

10. (3.80)

Usando la Observacion 2.1 y (3.80), se sigue que

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) =1

2+

n2∑k=1

cos(k(Aj − x)

)

>n2∑k=1

cos(k(Aj − x)

)>

n2∑k=1

9

10

=9

10n2,


El siguiente lema sera utilizado en la demostracion del Lema 3.12, abajo.

59

Lema 3.10. Para todo n ∈ Z+ y para todo x ∈ (0, 2π), se tiene que

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

1

2 sen

(1

2x

) . (3.81)

Demostracion. Sea n ∈ Z+ y x ∈ (0, 2π). Como para todo y ∈ R, | sen(y)| ≤ 1, se

tiene que ∣∣∣∣ sen

(2n+ 1

2x

)∣∣∣∣ ≤ 1. (3.82)

Por otro lado, se sabe que para todo z ∈ (0, π), sen(z) > 0, de donde

sen

(1

2x

)> 0⇒ 1

sen

(1

2x

) > 0. (3.83)


∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

1

2 sen

(1

2x

) .

El siguiente resultado se aplica en la demostracion del Lema 3.12.

Lema 3.11. Para todo x ∈(0, π

2

], se tiene que

sen(x)

x≥ 2

π. (3.84)

Demostracion. Se considera la siguiente funcion

u :(0, π

2

]→ R

t 7→ u(t) =sen(t)

t.

(3.85)

Se va a mostrar que la funcion u es decreciente en(0, π

2

]. Para esto, encontramos la

primera derivada de esta funcion y probaremos que para todo t ∈(0, π

2

], u′(t) ≤ 0.

En efecto,

u′(t) =t cos(t)− sen(t)

t2≤ 0⇔ t cos(t)− sen(t) ≤ 0. (3.86)

60

Ahora, se toma en cuenta la funcion

v :(0, π

2

]→ R

t 7→ v(t) = t cos(t)− sen(t).(3.87)

Para todo t ∈(0, π

2

], se ve que

v′(t) = −t sen(t) ≤ 0, (3.88)

lo cual indica que la funcion v es decreciente. Ademas, se observa que

lımt→0+

v(t) = lımt→0+

(t cos(t)− sen(t)

)= 0 (3.89)

y

v(π

2

)=π

2cos(π

2

)− sen

(π2

)= −1 < 0. (3.90)

De (3.88)-(3.90) y usando el hecho que v es continua, se sigue que para todo t ∈(0, π

2

],

v(t) = t cos(t)− sen(t) ≤ 0,

lo cual prueba (3.86).

Finalmente, de (3.86), se tiene que

x ∈(

0,π

2

]⇒ 0 < x ≤ π

2

⇒ u(x) ≥ u(π

2

)⇒ sen(x)

x≥

sen(π

2

)π

2

⇒ sen(x)

x≥ 2

π.

El Lema 3.12, que se presenta a continuacion, sera utilizado en la demostracion la

Proposicion 3.11.

61

Lema 3.12. Para todo n ∈ Z+ y para todo x ∈ R tal que 0 < |x| ≤ π, se tiene que

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

π

2|x|. (3.91)

Demostracion. Sean n ∈ Z+. Se supone primero el caso cuando x ∈ (0, π]. Usando

el Lema 3.10, se tiene que

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

1

2 sen

(1

2x

) . (3.92)

Por otro lado, utilizando el Lema 3.11, se ve que

1

2 sen

(1

2x

) ≤ π

2x. (3.93)


∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

π

2x=

π

2|x|. (3.94)

Ahora, se supo que x ∈ [−π, 0). Luego, −x ∈ (0, π]. Haciendo uso del Lema 3.10 y

tomando en cuenta que la funcion sen : R→ [−1, 1] es impar, se observa que

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n+ 1

2(−x)

)2 sen

(1

2(−x)

)∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

1

2 sen

(1

2(−x)

) . (3.95)

Asimismo, usando nuevamente el Lema 3.11, se sigue que

1

2 sen

(1

2(−x)

) ≤ π

2(−x). (3.96)


62

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n+ 1

2x

)2 sen

(1

2x

)∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

π

2(−x)=

π

2|x|. (3.97)

A partir de (3.94) y (3.97), el resultado se sigue.

El siguiente lema junto con el Lema 3.12 permiten acotar la suma parcial en la

Proposicion 3.11.

Lema 3.13. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo p ∈ {1, . . . , n}, para todo x ∈ Ip y

para todo j ∈ {0, 1, . . . , n}, se tiene que

|Aj − x| ≤ π ⇔ |j − p| ≤rn

2

z, (3.98)

donde Ip := Ip,n y Aj := Aj,n estan dados en (3.60) y (3.6), respectivamente y

J · K : R→ Z, es la funcion parte entera (ver Definicion C.1).

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, p ∈ {1, . . . , n}, x ∈ Ip y j ∈ {0, 1, . . . , n}. De

(3.60), se observa que

x ∈ Ip ⇔ Ap −1

n3< x < Ap +

1

n3

⇔ − 1

n3< Ap − x <

1

n3(3.99)

⇔ − 1

n3< x− Ap <

1

n3, (3.100)

donde Ap := Ap,n esta dado en (3.6).

Se supone primero que |Aj − x| ≤ π. De (3.100) y haciendo uso de (3.6), se ve que

|Aj − x| ≤ π ⇔ −π ≤ Aj − x ≤ π

⇔ x− Ap − π ≤ Aj − Ap ≤ x− Ap + π

⇒ − 1

n3− π ≤ Aj − Ap ≤

1

n3+ π

⇔ |Aj − Ap| ≤ π +1

n3

⇒∣∣∣∣ 4jπ

2n+ 1− 4pπ

2n+ 1

∣∣∣∣ ≤ π +1

n3

63

⇒ 4π

2n+ 1|j − p| ≤ π +

1

n3

⇒ |j − p| ≤ 2n+ 1

4π

(π +

1

n3

)⇒ |j − p| ≤ n

2+

1

4+

2n+ 1

4πn3. (3.101)

De (3.101) y utilizando el Lema B.1, se tiene que

|j − p| ≤rn

2

z, (3.102)

donde J · K : R→ Z, es la funcion parte entera (ver Definicion C.1).

Ahora, se supone que |j − p| ≤rn

2

z. Usando (3.6) y (3.99), se observa que

|j − p| ≤rn

2

z⇒ |j − p| ≤ n

2

⇒ −n2≤ j − p ≤ n

2

⇒ − 4π

2n+ 1

(n2

)≤ 4π

2n+ 1(j − p) ≤ 4π

2n+ 1

(n2

)⇒ − 2nπ

2n+ 1≤ 4jπ

2n+ 1− 4pπ

2n+ 1≤ 2nπ

2n+ 1

⇒ − 2nπ

2n+ 1≤ Aj − Ap ≤

2nπ

2n+ 1

⇒ Ap − x−2nπ

2n+ 1≤ Aj − x ≤ Ap − x+

2nπ

2n+ 1

⇒ − 1

n3− 2nπ

2n+ 1≤ Aj − x ≤

1

n3+

2nπ

2n+ 1

⇔ |Aj − x| ≤1

n3+

2nπ

2n+ 1. (3.103)

De (3.103) y utilizando el Lema B.2, se tiene que

|Aj − x| ≤ π. (3.104)

Usando (3.102) y (3.104), se concluye el resultado.

La siguiente observacion permite identificar los ındices de la sumatoria bajo los

cuales se pueden aplicar los Lemas 3.12 y 3.13 en la demostracion de la Proposicion

3.11

Observacion 3.7. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, p ∈ {1, . . . , n} y j ∈ {0, 1, . . . , n}, se

observa que

64

si 1 ≤ p ≤rn

2

zy 0 ≤ j ≤ p+

rn2

z, entonces |j − p| ≤

rn2

z,

ademas

sirn

2

z< p ≤ n y p−

rn2

z≤ j ≤ n, entonces |j − p| ≤

rn2

z,

donde J · K : R→ Z, es la funcion parte entera (ver Definicion C.1).

Observacion 3.8. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, p ∈ {1, . . . , n}, x ∈ Ip, con Ip := Ip,n dado

en (3.60), y j ∈ {0, . . . , n}. Si |Aj − x| > π, entonces

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) ≥ 0,


La siguiente proposicion hace referencia a la desigualdad expuesta en la ecuacion

(3) de [15] y sera de gran importancia en la demostracion de los resultados presentes

en la Seccion 3.5.

Proposicion 3.11. Existe una constante (absoluta) C1 > 0 tal que para todo n ∈

{2, 3, . . .}, para todo p ∈ {1, . . . , n} y para todo x ∈ Ip, se tiene que

Sn2(x) > C1 n, (3.105)

donde Ip := Ip,n esta dado en (3.60).

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .} y p ∈ {1, . . . , n}. En primer lugar, se supone

que x ∈ Ip \ {Ap}, donde Ap := Ap,n e Ip := Ip,n estan dados en (3.6) y (3.60),

respectivamente. Como x ∈ Ip \ {Ap}, de (3.73), se sigue que x /∈ {A0, . . . , An}. De

la Observacion 3.4, se ve que

Sn2(x) ≥ 1

n+ 1

n∑j=0

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) , (3.106)


65

A continuacion, en base a la Observacion 3.7, se consideran los siguientes casos

sobre p ∈ {1, . . . , n}.

a) Primero, se analiza el caso cuando 1 ≤ p ≤rn

2

z, donde J·K : R→ Z es la funcion

parte entera (ver Definicion C.1). De (3.106), se sigue que

Sn2(x) ≥ 1

n+ 1

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)

+1

n+ 1

mp − n2

mp

sen

(2n2 + 1

2(Ap − x)

)2 sen

(1

2(Ap − x)

)

+1

n+ 1

∑p+Jn2 K<j≤n

mj − n2

mj

sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) . (3.107)

Usando los Lemas 3.8 y 3.9 y la Observacion 3.8, de (3.107), se tiene que

Sn2(x) > − 1

n+ 1

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

mj − n2

mj

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)∣∣∣∣∣∣∣∣

+1

n+ 1

(3

4

)(9

10n2

)

= − 1

n+ 1

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

mj − n2

mj

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)∣∣∣∣∣∣∣∣

+n

n+ 1

(27

40n

). (3.108)

De (3.108), tomando en cuenta que para todo N ∈ {2, 3, . . .}, N

N + 1≥ 2

3y que

para todo j ∈ {0, . . . , n}, mj − n2

mj

≤ 1, se sigue que

66

Sn2(x) > − 1

n+ 1

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)∣∣∣∣∣∣∣∣+

2

3

(27

40n

)

= − 1

n+ 1

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

∣∣∣∣∣∣∣∣sen

(2n2 + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)∣∣∣∣∣∣∣∣+

9

20n. (3.109)

De (3.109), haciendo uso de la Observacion 3.7 y de los Lemas 3.13 y 3.12, se

ve que

Sn2(x) > − 1

n+ 1

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

π

2|Aj − x|+

9

20n. (3.110)

A partir de (3.110), tomando en consideracion que para todo q ∈ {0, . . . , n},

|Aq − x| ≥ 1

2|Ap − Aq| =

2π|p− q|2n+ 1

y el hecho que para todo N ∈ {2, 3, . . .},2N + 1

N + 1< 2, se tiene que

Sn2(x) > − 1

n+ 1

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

π

2

(2n+ 1

2π|j − p|

)+

9

20n

= − 2n+ 1

4(n+ 1)

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

1

|j − p|+

9

20n

> −1

2

∑0≤j≤p+Jn2 K

j 6=p

1

|j − p|+

9

20n

= −1

2

∑−p≤j−p≤Jn2 K

j−p 6=0

1

|j − p|+

9

20n

= −1

2

∑−p≤s≤Jn2 K

s 6=0

1

|s|+

9

20n

=1

2

−1∑s=−p

1

s− 1

2

Jn2 K∑s=1

1

s+

9

20n

= −1

2

p∑r=1

1

r− 1

2

Jn2 K∑s=1

1

s+

9

20n

67

≥ −1

2

Jn2 K∑r=1

1

r− 1

2

Jn2 K∑ 1

s+

9

20n

= −Jn2 K∑s=1

1

s+

9

20n

≥ −1− log(rn

2

z)+

9

20n, (3.111)

donde log : (0,+∞)→ R es la funcion logaritmo natural.

Tomando en cuenta que para todo N ∈ {2, 3, . . .}, 9

20N − 1 ≥ 1

20N , de (3.111),

se deduce que

Sn2(x) >1

20n− log

(rn2

z). (3.112)

De (3.112), se tiene que existe una constante (absoluta) C0 > 0 tal que

Sn2(x) > C0 n. (3.113)

b) En el caso cuandorn

2

z< p ≤ n, se procede de manera similar a lo realizado en

el ıtem a) y se prueba que existe una constante (absoluta) c0 > 0 tal que

Sn2(x) > c0 n. (3.114)

Se supone ahora que x = Ap ∈ Ip, donde Ap := Ap,n e Ip := Ip,n estan dados en

(3.6) y (3.60), respectivamente. Usando la Proposicion 3.9, se tiene que

Sn2(x) =1

2+ n2 − n4(n+1) − 1

2n4n+2(n+ 1)(n2 − 1).

De la igualdad anterior y usando el hecho que para todo N ∈ {2, 3, . . .}, N2 ≥ 2N

y − 1

N2 − 1≥ −1

3, se ve que

Sn2(x) =1

2+ n2 − n2

2(n+ 1)(n2 − 1)+

1

2n4n+2(n+ 1)(n2 − 1)

≥ 2n− n2

2(n+ 1)(n2 − 1)

≥ 2n− 1

6

(n

n+ 1

)n

68

> 2n− 1

6n

=11

6n, (3.115)

donde tambien se ha usado el hecho que para todo L ∈ Z+, − L

L+ 1> −1.

De (3.113)−(3.115) y tomando C1 := mın

{C0, c0,

11

6

}, se sigue que

Sn2(x) > C1 n, (3.116)


En resumen, en la presente seccion y mas precisamente en la Proposicion 3.11, se

ha presentado una demostracion detallada de la deduccion de la desigualdad dada

en la ecuacion (3) de [15]. De esta manera, en esta seccion, se ha expuesto las

justificaciones requeridas para solventar las afirmaciones expuestas en el punto 3°

[15].

3.4. Determinacion de cotas inferiores para la suma par-

cial Sk dada en (3.47)

En esta seccion se analiza pormenorizadamente el punto 4° del [15]. Esto es, se

determinan segmentos de la recta real contenidos en [0, 2π] donde para cierto k ∈

Z+, la suma parcial Sk := Sk,n dada en (3.47) y que fue estudiada en la Proposicion

3.10 y en la Observacion 3.5 puede ser acotada inferiormente y ademas satisface las

desigualdades expuestas en la ecuacion (4) de [15].

En la siguiente notacion, se determinan los intervalos enunciados en el punto 4° de

[15].

Notacion 3.3. Para todo n ∈ Z+ y para todo p ∈ {0, . . . , n− 1}, se escribe

Ep := Ep,n :=

[Ap +

1

n3, Ap+1 −

1

n3

], (3.117)

donde Ap := Ap,n esta dado en (3.6).

69

A continuacion, se realiza un estudio de los intevalos Ep dados en la notacion

anterior.

Lema 3.14. Para todo n ∈ Z+ y para todo p ∈ {0, . . . , n− 1}, se tiene que

Ap +1

n3< Ap+1 −

1

n3, (3.118)

donde Ap := Ap,n, esta dado en (3.6).

Demostracion. Sean n ∈ Z+ y p ∈ {0, . . . , n− 1}. De (3.6), se tiene que

Ap +1

n3< Ap+1 −

1

n3⇔ 4pπ

2n+ 1+

1

n3<

4(p+ 1)π

2n+ 1− 1

n3

⇔ 4pπ

2n+ 1+

1

n3<

4pπ

2n+ 1+

4π

2n+ 1− 1

n3

⇔ 1

n3<

4π

2n+ 1− 1

n3

⇔ 4π

2n+ 1− 2

n3> 0

⇔ 4πn3 − 4n− 2

n3(2n+ 1)> 0

⇔ 4πn3 − 4n− 2 > 0

⇔ 2πn3 − 2n− 1 > 0.

Haciendo uso de (3.69), la ultima desigualdad se verifica y el resultado se sigue.

Lema 3.15. Para todo n ∈ Z+, se cumple que

An −1

n3< 2π, (3.119)

donde An := An,n, esta dado en (3.7).

Demostracion. Sea n ∈ Z+. Utilizando (3.7), se sigue que

An −1

n3< 2π ⇔ 2π − 2π

2n+ 1− 1

n3< 2π

⇔ −2πn3 − (2n+ 1)

n3(2n+ 1)< 0

⇔ −2πn3 − (2n+ 1) < 0

⇔ 2πn3 + 2n+ 1 > 0.

70

Como la ultima desigualdad es verdadera, el resultado se sigue.

Lema 3.16. Para todo n ∈ Z+, se cumple que

A0 +1

n3> 0,

donde A0 := A0,n, esta dado en (3.6).

Demostracion. El resultado es inmediato.

Observacion 3.9. Sea n ∈ Z+. A partir de la Notacion 3.3 y de los Lemas 3.15 y

3.16, se tiene que para todo p ∈ {0, . . . , n− 1},

Ep := Ep,n :=

[Ap +

1

n3, Ap+1 −

1

n3

]⊂ (0, 2π) ⊂ [0, 2π]. (3.120)

Por lo tanto,

n−1⋃p=0

Ep ⊂ (0, 2π) ⊂ [0, 2π]. (3.121)

Ademas, tomando en cuenta que para todo j ∈ {0, . . . , n− 1},

Aj −1

n3< Aj +

1

n3,

se observa que para todo n ∈ {2, 3, . . .},

0 < A0 +1

n3< A1 −

1

n3< · · ·

< An−1 +1

n3< An −

1

n3< 2π

y tambien para todo j, p ∈ {0, . . . , n− 1}, con j 6= p,

Ej ∩ Ep = ∅. (3.122)

De (3.121) y (3.122), se ve finalmente que

n−1⊎p=0

Ep ⊂ (0, 2π) ⊂ [0, 2π]. (3.123)

71

La siguiente proposicion sera usada en la demostracion de la Proposicion (3.13)

mas adelante.

Lema 3.17. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo p ∈ {0, . . . , n − 1}, para todo

j ∈ {p+ 1, . . . , n} y para todo x ∈ Ep, se tiene que

1

sen

(1

2(Aj − x)

) >2n+ 1

4π(j − p)> 0,

donde Ep := Ep,n y Aj := Aj,n, estan dados en (3.117) y (3.6), respectivamente.

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, p ∈ {0, . . . , n− 1}, j ∈ {p+ 1, . . . , n} y x ∈ Ep,

con Ep := Ep,n dado en (3.117). De (3.117), se ve que

x ∈ Ep ⇔ Ap +1

n3

≤ x ≤ Ap+1 −1

n3

⇔ −Ap+1 +1

n3

≤ −x ≤ −Ap −1

n3

, (3.124)

donde para todo j ∈ {0, . . . , n}, Aj := Aj,n esta dado en (3.6).

Ahora, usando (3.6) y (3.124), se tiene que

0 ≤ 4π

2n+ 1

(j − (p+ 1)

)+

1

n3= Aj − Ap+1 +

1

n3

≤ Aj − x

≤ Aj − Ap −1

n3

< Aj − Ap

=4π

2n+ 1

(j − p

)<

4π

2n

(j − p

)=

2π

n

(j − p

)< 2π.

De la ultima cadena de desigualdades, se observa que

0 ≤ Aj − x <4π

2n+ 1

(j − p

)< 2π.

Por tanto,

72

0 ≤ 1

2(Aj − x) <

2π

2n+ 1

(j − p

)< π. (3.125)

Luego, de (3.125) y usando el hecho que para todo z ∈ [0, π], sen(z) < z, se sigue

que

0 ≤ sen

(1

2(Aj − x)

)<

2π

2n+ 1

(j − p

)< π.

Por ultimo,1

sen

(1

2(Aj − x)

) >2n+ 1

2π(j − p)≥ 0.

La siguiente proposicion sera utilizada en la demostracion de la Proposicion 3.13.

Este resultado hace referencia a la existencia de un ındice k ∈ Z+ tal que cumple

ciertas propiedades correspondientes a las afirmaciones de las lıneas 5−7 y 9 de la

segunda pagina del paper de Kolmogorov ([15]).

Proposicion 3.12. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo p ∈ {0, . . . , n − 1} y para

todo x ∈ Ep, es posible determinar un k := kx ∈ Z+ tal que

(a) 2k + 1 es multiplo de 2n+ 1,

(b) − sen

(2k + 1

2x

)≥ 1

2,

donde Ep := Ep,n esta dado en (3.117).

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, p ∈ {0, . . . , n − 1} y x ∈ Ep, con Ep := Ep,n

dado en (3.117). Haciendo uso de (3.6), se observa que

Ap+1 − x =4(p+ 1)π

2n+ 1− x

=4(p+ 1)π − (2n+ 1)x

2n+ 1

=

4π

(p+ 1− 2n+ 1

4πx

)2n+ 1

. (3.126)

Sea ω ∈ R dado por

ω := ωx := ωx,p,n := p+ 1− 2n+ 1

4πx. (3.127)

73

De (3.126) y (3.127), se tiene que

Ap+1 − x =4πω

2n+ 1. (3.128)

Por otro lado, usando (3.117), (3.6) y (3.127), se ve que

x ∈ Ep ⇔ x ∈[Ap +

1

n3, Ap+1 −

1

n3

]⇔ Ap +

1

n3≤ x ≤ Ap+1 −

1

n3

⇔ −Ap+1 +1

n3≤ −x ≤ −Ap −

1

n3

⇔ −4(p+ 1)π

2n+ 1+

1

n3≤ −x ≤ − 4pπ

2n+ 1− 1

n3

⇔ −(p+ 1) +2n+ 1

4πn3≤ −2n+ 1

4π≤< −p− 2n+ 1

4πn3

⇔ 2n+ 1

4πn3≤ p+ 1− 2n+ 1

4πx ≤ 1− 2n+ 1

4πn3

⇔ 2n+ 1

4πn3≤ ω ≤ 1− 2n+ 1

4πn3. (3.129)

Sean ξ ∈ R y T ⊂ R dados por

ξ := ξn :=2n+ 1

4πn3, (3.130)

T := Tn :=[ξ , 1− ξ

]:=

[2n+ 1

4πn3, 1− 2n+ 1

4πn3

]. (3.131)

De (3.129) y (3.131), se observa que

x ∈ Ep ⇔ ω ∈ T. (3.132)

Sea k ∈ Z+. Se supone la existencia de ρ ∈ Z+ (necesariamente impar), tal que

2k + 1 = ρ(2n+ 1). (3.133)

Usando (3.133), (3.126) y (3.6), se aprecia que

sen

(2k + 1

2(Ap+1 − x)

)= sen

(ρ(2n+ 1)

2

4πω

2n+ 1

)= sen (2πρω) (3.134)

74

y

sen

(2k + 1

2(Ap+1 − x)

)= sen

(2k + 1

2

(4(p+ 1)π

2n+ 1− x))

= sen

(2k + 1

2

4(p+ 1)π

2n+ 1− 2k + 1

2x

)= sen

(ρ(2n+ 1)

2

4(p+ 1)π

2n+ 1− 2k + 1

2x

)= sen

(2πρ(p+ 1)− 2k + 1

2x

)= sen

(−2k + 1

2x

)= − sen

(2k + 1

2x

). (3.135)

De (3.134) y (3.135), se tiene que

− sen

(2k + 1

2x

)= sen

(2k + 1

2(Ap+1 − x)

)= sen (2πρω) . (3.136)

A partir de (3.136) y (3.133), se establece que para probar el ıtem (b), es suficiente

mostrar que para todo ω ∈ T , existe ρ := ρω ∈ Z+ (impar) tal que

sen(2πρω) ≥ 1

2.

Para esto, tomamos ρ0 ∈ Z+ (impar) y se afirma que para todo ω ∈ T , existe

ρ := ρω ∈ Z+ (impar), con ρ ≥ ρ0, tal que

sen(2πρω) ≥ 1

2. (3.137)

En efecto, sean ω ∈ T y ρ ∈ Z+ (impar). Se observa que

sen(2πρω) ≥ 1

2⇔ sen

(2π(JρωK + {ρω}

))≥ 1

2

⇔ sen(

2πJρωK + 2π{ρω})≥ 1

2

⇔ sen(2π{ρω}

)≥ 1

2

⇔ π

6≤ 2π{ρω} ≤ 5π

6

75

⇔ 1

12≤ {ρω} ≤ 5

12,

donde J · K : R → Z y { · } : R → [0 , 1) son las funciones parte entera y parte

fraccionaria dadas en las Definiciones C.1 y C.2, respectivamente.

Sea V ⊂ R dado por

V :=

[1

12,

5

12

]. (3.138)

Ahora, se debe probar que dado ω ∈ T , existen infinitos numero de la forma

ω, 3ω, 5ω, . . ., cuyas partes fraccionarias estan en V , lo cual permite determinar

la existencia de ρ ∈ Z+ (impar), tal que (3.137) se cumple; y con esto culminarıa

la demostracion de esta proposicion. Para ello, se consideran los siguientes casos

sobre ω ∈ T .

A) Se analiza primero el caso cuando ω ∈(T \ Q

), es decir, ω ∈ T es irracional.

Haciendo uso del Corolario C.2, se observa que la sucesion(tr)+∞r=0

, donde para

todo r ∈ N, tr := tr,ω := (2r + 1)ω, es una sucesion equidistribuida, lo cual

indica que para todo α, β ∈ R, con 0 ≤ α < β ≤ 1, se verifica que

lımN→+∞

1

N

∣∣∣{{t0}, {t1}, . . . , {tN}} ∩ (α , β)∣∣∣ = β − α > 0,

donde { · } : R → [0 , 1) es la funcion parte fraccionaria, dada en la Definicion

C.2. En particular, tomando α =1

12y β =

5

12, de (3.138), se ve que

lımN→+∞

1

N

∣∣∣{{t0}, {t1}, . . . , {tN}} ∩ V ∣∣∣ =1

3. (3.139)

De (3.139), se puede determinar un λ ∈ N tal que tλ := tλ,ω := (2λ + 1)ω,

satisface que tλ ≥ ρ0 ω y1

12≤ {tλ} ≤

5

12. Luego, existe ρ := ρω :=

tλω

=

2λ+ 1 ∈ Z+ (impar) tal que cumple (3.137).

B) Se estudia ahora el caso cuando ω ∈(T ∩Q

), es decir, ω ∈ T es racional. Dicho

de otro modo, dados a := aω, b := bω ∈ Z+, con a < b, se tiene que ω =a

b(fraccion irreducible).

A continuacion, se analizan los siguientes dos casos sobre b ∈ Z+.

76

B.1) Se supone en primer lugar que b ∈ Z+ es impar. Luego, el conjunto W ⊂

Z+ de b elementos dado por

W ={ρ0 a, (ρ0 + 2)a, . . . , (ρ0 + 2(b− 1))a

}forma un Sistema Completo de Residuos modulo b (Ver Apendice D). Lo

cual indica que al dividir por b cada elemento del conjunto W y obtener

la parte fraccionaria, el resultate formara parte del conjunto

W =

{0,

1

b, . . . ,

b− 1

b

}.

Si 3 ≤ b ∈ Z+ (impar), al menos un elemento de W estara en V, lo cual

muestra que existe un s ∈ {0, . . . , b− 1} tal que us := (ρ0 + 2s)a, satisface

que us ≥ ρ0 a y1

12≤{usb

}≤ 5

12, donde

usb

:=(ρ0 + 2s)a

b= (ρ0 + 2s)

a

b= (ρ0 + 2s)ω.

Luego, existe ρ := ρω :=usb ω

=usa

= ρ0 + 2s ∈ Z+ (impar) tal que (3.137)

se cumple.

B.2) Finalmente, se supone que b ∈ Z+ es par, entonces a ∈ Z+ debe ser

necesariamente impar. Luego, el conjunto X ⊂ Z+ de b elementos dado

por

X ={ρ0 a, (ρ0 + 1)a, . . . , (ρ0 + b− 1)a

}forma un sistema Completo de Residuos modulo b (Ver Apendice D). Se

toma el subconjunto Y ⊂ X dado por

Y ={ρ0 a, (ρ0 + 2)a, . . . , (ρ0 + b− 2)a

}

y haciendo uso del Algoritmo de la Division, se tiene que para cada y ∈ Y

existen z, r ∈ Z+ tales que y = zb+r, con 0 ≤ r < b, donde r forzosamente

debe ser impar. Ahora, al dividir por b cada elemento de Y y obtener su

parte fraccionaria, esta formara parte del conjunto X dado por

77

X =

{1

b,3

b, . . . ,

b− 1

b

}.

Si 4 ≤ b ∈ Z+, al menos un elemento de X estara en V , lo cual muestra la

existencia de un s ∈ {1, 3, . . . , b− 1} tal que vs := (ρ0 + s− 1)a satisface

que vs ≥ ρ0 a y1

12≤{vsb

}≤ 5

12, donde

vsb

:=(ρ0 + s− 1)a

b= (ρ0 + s− 1)

a

b= (ρ0 + s− 1)ω.

Luego, existe ρ := ρω :=vsb ω

=vsa

= ρ0 + s − 1 ∈ Z+ (impar) tal que

cumple (3.137).

La siguiente observacion hace referencia a la existencia de un ındice k ∈ Z+ tal

que cumple con las desigualdades expuestas en la lınea 8 de la segunda pagina del

paper de Kolmogorov ([15]). Aquı, se presentan las ideas de la demostracion de

dicho resultado.

Observacion 3.10. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, p ∈ {0, . . . , n − 1} y x ∈ Ep, con Ep :=

Ep,n dado en (3.117). En base a la Proposicion 3.12, dado ρ0 ∈ Z+ (impar), se

puede garantizar, para todo ω ∈ T , la existencia de ρ := ρω ∈ Z+ (impar), con

ρ ≥ ρ0, tal que

sen(2πρω

)≥ 1

2, (3.140)

donde ω := ωx y T := Tn estan dados en (3.127) y (3.131), respectivamente. Lo

cual garantiza, para todo x ∈ Ep, la existencia de un k = kx ∈ Z+ tal que 2k + 1 =

ρ(2n+ 1) y

− sen

(2k + 1

2x

)≥ 1

2. (3.141)

Como ρ0 ∈ Z+ (impar) es arbitrario, se establece ρ0 de tal manera que

2mp + 1

2n+ 1≤ ρ0, (3.142)

donde para todo p ∈ {0, . . . , n}, mp := mp,n esta dado en (3.5).

Ademas, de (3.140) y tomando en cuenta que para todo ρ ∈ Z+ (impar), la funcion

78

sen(2πρ · ) : T → [−1, 1], es continua. Usando el Corolario de la pagina 176 de

[16], se tiene que existe δ > 0 tal que

sen(2πρν

)≥ 1

2, para todo ν ∈ (ω − δ , ω + δ), (3.143)

De (3.143) y haciendo uso del Teorema de Heine-Borel, es posible establecer la

existencia de una cota superior para {ρ ∈ Z+; ρ ≥ ρ0 y se cumple (3.140)} (ver

[20] pagina 315). Se nota por ρ1 ∈ Z+ a esta cota superior y se asume que

ρ1 ≤mp+1 + 1

2n+ 1, (3.144)

donde para todo p ∈ {0, . . . , n}, mp := mp,n esta dado en (3.5).

De (3.142) y (3.144), se desprende que

2mp + 1

2n+ 1≤ ρ0 ≤ ρ ≤ ρ1 ≤

mp+1 + 1

2n+ 1,

de donde

mp ≤ k ≤ mp+1

2.

La siguiente proposicion sintetiza los resultados probados en esta seccion y hace

referencia a la ecuacion (4) de [15].

Proposicion 3.13. Para todo n ∈ {2, 3, . . .}, para todo p ∈ {0, . . . , n − 1} y para

todo x ∈ Ep, es posible determinar un k = kx ∈ Z+ y una constante (absoluta)

C2 > 0, tales que

Sk(x) ≥ C2 log(n− p), (3.145)

donde Ep := Ep,n esta dado en (3.117).

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, p ∈ {0, . . . , n − 1} y x ∈ Ep, con Ep := Ep,n

dado en (3.117). Usando la Proposicion 3.12 y la Observacion 3.10, se cuenta con

la posibilidad de determinar un k := kx ∈ Z+ tal que

i) 2k + 1 es multiplo de 2n + 1, es decir, existe ρ ∈ Z+ (necesariamente impar)

tal que 2k + 1 = ρ(2n+ 1),

79

ii) − sen

(2k + 1

2x

)≥ 1

2,

iii) mp ≤ k ≤ mp+1

2,

donde mp := mp,n esta dado en (3.5).

Por otro lado, haciendo uso de la Observacion 3.5, tomando en cuenta el ıtem iii),

y el hecho que x /∈ {A1, . . . , An}, se tiene que

Sk(x) ≥ 1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2(Aj − x)

)2 sen

(1

2(Aj − x)

) , (3.146)

donde para todo k ∈ Z+, Sk := Sk,n esta dado en (3.33) y para todo j ∈ {0, . . . , n},

mj := mj,n y Aj := Aj,n estan dados en (3.5) y (3.6), respectivamente.

Usando (3.146), (3.6) y el ıtem i), se observa que

Sk(x) ≥ 1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2

(4jπ

2n+ 1− x))

2 sen

(1

2(Aj − x)

)

=1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2k + 1

2

4jπ

2n+ 1− 2k + 1

2x

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)

=1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(ρ(2n+ 1)

2

4jπ

2n+ 1− 2k + 1

2x

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)

=1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(2πjρ− 2k + 1

2x

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)

=1

n+ 1

n∑j=p+1

mj − kmj

sen

(−2k + 1

2x

)2 sen

(1

2(Aj − x)

)= sen

(−2k + 1

2x

)1

2(n+ 1)

n∑j=p+1

mj − kmj

1

sen

(1

2(Aj − x)

)

80

= − sen

(2k + 1

2x

)1

2(n+ 1)

n∑j=p+1

mj − kmj

1

sen

(1

2(Aj − x)

) . (3.147)

De (3.147), ii), del Lema 3.17 y tomando en cuenta quemj − kmj

≥ 1

2, se tiene que

Sk(x) >1

4(n+ 1)

n∑j=p+1

1

2

2n+ 1

4π(j − p)

=2n+ 1

32π(n+ 1)

n∑j=p+1

1

(j − p)

=2n+ 1

32π(n+ 1)

n−p∑s=1

1

s. (3.148)

A partir de (3.148), considerando que para todo N ∈ {2, 3, . . .}, 2N + 1

N + 1≥ 5

3y

haciendo uso del Lema 3.10 de la pagina 116 de [12], se desprende que

Sk(x) >1

32π

(5

3log(n− p+ 1)

)(3.149)

>5

96πlog(n− p+ 1), (3.150)

donde log : (0,+∞)→ R es la funcion logaritmo natural.

Finalmente, tomando C2 :=5

96π> 0, de (3.150), se concluye que

Sk(x) > C2 log(n− p), (3.151)


En conscuencia, en esta seccion y mas precisamente en la Proposicion 3.13, se ha

presentado una demostracion detallada de la deduccion de la desigualdad dada

en la ecuacion (4) de [15]. De esta manera se ha justificado minuciosamente las

afirmaciones expuestas en el punto 4° [15].

81

3.5. Existencia de una funcion integrable Φ cuya serie de

Fourier diverge en todas partes

La existencia de una funcion cuya serie de Fourier divergente en todo punto fue

descubierta en 1926 por Kolmogorov, pero en su paper ([15]) que contiene solo dos

paginas, unicamente se presentan las propiedades de los prolinomios trigonometricos

a partir de los cuales la funcion esta construida. Una descripcion mas detallada

puede ser encontrada en los trabajos de Zygmund ([20]) y Bary ([7]). Por su parte

Zygmund menciona que las modificaciones realizadas y presentadas en su texto le

fueron sugeridas por el mismo Kolmogorov y Bary realiza un desarrollo del ejemplo

de Kolmogorov a partir del trabajo de Zygmund. Sin lugar a duda, la labor realizada

por Zygmund brinda una mejor comprension de una funcion cuya serie de Fourier

diverge en todas partes, pero esta se aleja ingeniosamente de las ideas geometricas

propuestas inicialmente por Kolmogorov.

La idea de la presente investigacion es brindar una demostracion rigurosa de los

pasos a seguir para la construccion de la funcion de Kolmogorov, cuya serie de

Fourier diverge en todas partes, apegada ıntimamente a la idea original de [15],

rescatando los detalles y resultados fundamentales expuestos en el mismo, con el

fin de corroborar las afirmaciones y complementar algunas propiedades faltantes

para una comprension adecuada de este artıculo revolucionario. Hasta el momento

se han estudiado los puntos 1°−4° de dicho paper, logrando descifrar y comprender

muchas de las afirmaciones expuestas ahı.

En esta seccion se estudia el punto 5° del paper de Kolmogorov de 1926 ([15]). En

primer lugar, se determinan ciertos segmentos de la recta real contenidos en [0, 2π]

donde para cierto k ∈ Z+ la suma parcial Sk dada en (3.33) y estudiada en las tres

secciones anteriores (Secciones 3.2-3.4) puede ser acotada inferiormente y ademas

satisface la desigualdad dada en la lınea -6 de la segunda pagina de [15]. Luego, se

construye la funcion de Kolmogorov Φ y a traves de una recopilacion de resultados

de todo el trabajo realizado, se demuestra que la serie de Fourier de esta funcion

diverge en todas partes.

82

A continuacion, se describen los segmentos presentes en el punto 5° del paper de

Kolmogorov.

Notacion 3.4. Para todo n ∈ Z+, se escribe

Fn :=

[0, 2π − 1√

n

]=

[0,

2π

n

(n−√n

2π

)]. (3.152)

Es claro que

F1 ⊂ · · · ⊂ Fn ⊂ · · · ⊂ [0, 2π] (3.153)

y+∞⋃j=1

Fj = [0, 2π]. (3.154)

Proposicion 3.14. Sea n0 ∈ Z+ tal que n0 > (2π)4. Sea n ∈ Z+, tal que n ≥ n0

(suficientemente grande). Si x ∈ Fn, con Fn dado en (3.152), entonces existe p ∈

{1, . . . , n}, con p ≤ n− 1

2+ 4√n, tal que

x ∈ Ip o x ∈ Ep,

donde Ip := Ip,n y Ep := Ep,n estan dados en (3.60) y (3.117), respectivamente.

Demostracion. Sea n0 ∈ Z+ tal que n0 > (2π)4. Sean n ∈ Z+, tal que n ≥ n0

(suficientemente grande) y x ∈ Fn, con Fn dado en (3.152). Sea τ ∈ R. Se observa

que

2π

n

(n−√n

2π

)≤ 4π

2n+ 1(n− τ)⇔ (2n+ 1)

(n−√n

2π

)≤ 2n(n− τ)

⇔ 2n2 − n√n

π+ n−

√n

2π≤ 2n2 − 2nτ

⇔ 2nτ ≤ n√n

π+

√n

2π− n

⇔ τ ≤√n

2π+

√n

4πn− 1

2. (3.155)

Como n > (2π)4. De (3.155), se sigue que

4√n− 1

2≤√n

2π− 1

2<

√n

2π+

√n

4πn− 1

2,

de donde

83

2π − 1√n

=2π

n

(n−√n

2π

)≤ 4π

2n+ 1

(n+

1

2− 4√n

). (3.156)

De (3.155) y (3.156), si n > (2π)4, se tiene que

x ∈ Fn :=

[0, 2π − 1√

n

]⊂[0,

4π

2n+ 1

(n+

1

2− 4√n

)]. (3.157)

Haciendo uso de (3.157), (3.73) y (3.123), se ve que

x ∈

⊎1≤j≤n+ 1

2− 4√n

Ij

∪ ⊎

1≤j≤n+ 12− 4√n

Ej

,

donde Ij := Ij,n y Ej := Ej,n esta dados en (3.60) y (3.117), respectivamente. Luego,

existe p ∈ {0, . . . , n}, con p ≤ n+1

2− 4√n, tal que

x ∈ Ip o x ∈ Ep.

A continuacion, se presenta un resultado importante para el presente trabajo. Se

muestra la desigualdad expuesta en la lınea -6 de la segunda pagina de [15]. A

partir de esta proposicion sera posible establecer ciertos elementos necesarios en la

demostracion de la Proposicion 3.17.

Proposicion 3.15. Sea n0 ∈ Z+ tal que n0 > (2π)4. Para todo n ∈ Z+, con

n ≥ n0 (suficientemente grande), y para todo x ∈ Fn, es posible determinar un

ındice k ∈ Z+ y una constante (absoluta) C3 > 0, tales que

Sk(x) ≥ C3 log(n),

donde Fn esta dado en (3.152), la suma parcial Sk := Sk,n, esta dada en (3.33) y

log : R→ R, es la funcion logaritmo natural.

Demostracion. Sean n0 ∈ Z+ tal que n0 > (2π)4 y n ∈ Z+, con ≥ n0. Sea x ∈ Fn,

con Fn dado en (3.155). Si n > (2π)4, haciendo uso de la Proposicion 3.14, se tiene

que existe p ∈ {0, . . . , n}, con p ≤ n+1

2− 4√n, tal que x ∈ Ip o x ∈ Ep, donde para

84

Ip := Ip,n y Ep := Ep,n, estan dados en (3.60) y (3.117), respectivamente.

Se analizan los siguientes casos sobre x ∈ Fn.

Primero, se analiza el caso cuando x ∈ Ip. Usando la Proposicion 3.11, se

tiene que

Sn2(x) > C1 n > C1 log(n). (3.158)

Tomando k = n2 ∈ Z+, de (3.158), se sigue que

Sk(x) > C1 log(n). (3.159)

Ahora, si x ∈ Ep, haciendo uso de la Proposicion 3.13, mas precisamente de

(3.151), se tiene que existe un k ∈ Z+, tal que

Sk(x) > C2 log(n− p+ 1). (3.160)

De (3.160) y recordando que p ≤ n+1

2− 4√n, se observa que

Sk(x) > C2 log

(4√n+

1

2

)> C2 log

(4√n)

=C2

4log(n). (3.161)

Finalmente, de (3.159) y (3.161), se concluye que para todo x ∈ Fn, es posible

determinar un k ∈ Z+ y una constante (absoluta) C3 > 0, tal que

Sk(x) > C3 log(n). (3.162)

De (3.162), el resultado se sigue.

La siguiente proposicion sera usada en la demostracion de la Proposicion 3.17 y del

Teorema 3.1, abajo.

Proposicion 3.16. Para todo n ∈ {2, 3, . . .} y para todo k ∈ Z+, con k ≥ mn

(orden del polinomio trigonometrico), se cumple que

85

Sk(ϕn;x) = ϕn(x), para todo x ∈ [0, 2π],

donde Sk(ϕn; ·) es la k−esima suma parcial de la serie de Fourier de la funcion ϕn

definida en (3.9) y reescrita en la Proposicion 3.7. Ademas, mn := mn,n esta dado

en (3.5).

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .}, k ∈ Z+, con k ≥ mn y mn := mn,n dado en

(3.5). Sea x ∈ [0, 2π]. Usando el Lema 2.13 de la pagina 71 de [12], se observa que

Sk(ϕn;x) =1

2π

∫[0,2π]

ϕn(y)Dk(x− y)dy =1

2π

∫ 2π

0

ϕn(y)Dk(x− y)dy, (3.163)

donde Dk(·) es el Nucleo de Dirichlet de orden k (ver Definicion 2.11 y Lema 2.12

de la pagina 69 de [12]).

De (3.163) y usando la Proposicion 3.7, se tiene que

Sk(ϕn;x) :=1

2π

∫ 2π

0

(1

2+

mn∑l=1

al cos(ly + λl)

)Dk(x− y)dy

=1

2π

∫ 2π

0

(1

2Dk(x− y) +

mn∑l=1

al cos(ly + λl)Dk(x− y)

)dy

=1

4π

∫ 2π

0

Dk(x− y)dy +1

2π

mn∑l=1

al

∫ 2π

0

cos(ly + λl)Dk(x− y)dy, (3.164)

donde para todo l ∈ {1, . . . ,mn}, al y λl estan dados en (3.28) y (3.29), respecti-

vamente.

Haciendo uso del Lema B.4 y tomando en cuenta que para todo l ∈ {1, . . . ,mn},

k > l, se ve que ∫ 2π

0

cos(ly + λl)Dk(x− y)dy = 2π cos(lx+ λl). (3.165)

De (3.164), (3.165), utilizando el Lema B.3 y empleando nuevamente la Proposicion

3.7, se sigue que

Sk(ϕn;x) =1

4π(2π) +

1

2π

mn∑l=1

al(2π cos(lx+ λl)

)=

1

2+

mn∑l=1

al cos(lx+ λl)

=: ϕn(x).

86

Corolario 3.1. Para todo n ∈ {2, 3, . . .} y para todo k, l ∈ Z+, con k ≥ l, se

cumple que

Sk(Sl;x) = Sl(x), para todo x ∈ [0, 2π],

donde Sk(Sl; ·) es la k−esima suma parcial de la serie de Fourier de la suma parcial

Sl := Sl,n dada en (3.33).

La siguiente proposicion sera usada en la demostracion del Teorema de Kolmogorov

que afirma la existencia de una funcion integrable en el sentido de Lebesgue cuya

serie de Fourier diverge en todo punto, que sera demostrado en el Teorema 3.1,

abajo.

Proposicion 3.17. Existe una sucesion de polinomios trigonometricos(ϕn)+∞n=2

tal

que para todo n ∈ {2, 3 . . .}, cumple las siguientes propiedades:

A) ϕn ≥ 0, para todo x ∈ [0, 2π].

B)

∫[0,2π]

ϕndλ = π, donde λ es la medida de Lebesgue en la recta.

C) Sea vn ∈ Z+ el orden del polinomio trigonometrico ϕn. Entonces, es posible

determinar numeros Qn ∈ R, λn ∈ Z+ y un conjunto Fn ⊂ [0, 2π] tales que

C.i) lımn→+∞

Qn = +∞,

C.ii) F2 ⊂ · · · ⊂+∞⋃p=2

Fp = [0, 2π],

C.iii) lımn→+∞

λn = +∞ y

C.iv) para todo x ∈ Fn, existe un k := kx ∈ Z+ tal que λn ≤ k < vn y

Sk(ϕn;x) > Qn,

donde Sk(ϕn, ·), es la k−esima suma parcial de la serie de Fourier de la

funcion ϕn.

Demostracion. Sean n ∈ {2, 3, . . .} y x ∈ [0, 2π]. Se consideran los polinomios trigo-

nometricos construidos y estudiados en la Seccion 3.1. Mas precisamente, haciendo

uso de la Definicion 3.1, se tiene que

87

ϕn(x) =1

n+ 1

n∑j=0

σmj(Aj − x), (3.166)


(3.6), respectivamente y para todo r ∈ Z+, la funcion σr esta dada en (3.1). Usando

las Proposiciones 3.3 y 3.6, se observa que

ϕ(x) ≥ 0

y ∫[0,2π]

ϕ(x)dλ = π,

donde λ es la medida de Lebesgue en la recta. Ası, se satisfacen las condiciones A)

y B). Ahora, de (3.166) y utilizando la Proposicion 3.7, se sigue que

ϕn(x) =1

2+

mn∑l=0

al cos(lx− λl

), (3.167)

donde para todo l ∈ {1, . . . , k}, al := al,n y λl := λl,n estan dados en (3.28) y (3.29),

respectivamente. De (3.167), se tiene que el orden de cada polinomio trigonometrico

ϕn es mn, se escribe vn := mn ∈ Z+.

A continuacion, haciendo uso de la Notacion 3.4, se toma los conjuntos Fn, dados

en (3.152). Usando (3.153) y (3.154), se ve que

F2 ⊂ · · · ⊂+∞⋃q=2

Fq = [0, 2π],

lo cual satisface el ıtem C.ii).

Ahora, de (3.169) y haciendo uso de la Proposicion 3.15, se sigue que para para

todo x ∈ Fn, es posible determinar un k := kx, con mp ≤ k < 12mp+1, para algun

p ∈ {0, . . . , n− 1}, tal que

Sk(x) > C3 log(n), (3.168)

donde Sk := Sk,n es la suma parcial dada en (3.33).

Por medio del Corolario 3.1 y el Lema B.5, se sigue que la k−esima suma parcial

88

Sk(ϕn; ·), de la serie de Fourier de la funcion ϕn satisface

Sk(ϕn;x) = Sk

(Sk +

mn∑l=k+1

al cos(lx+ λl) ; x

)

= Sk(Sk;x) + Sk

(mn∑

l=k+1

al cos(lx+ λl);x

)

= Sk(Sk;x) + Skmn∑

l=k+1

al Sk(

cos(lx+ λl);x)

= Sk(Sk;x) + Skmn∑

l=k+1

al1

2π

∫ 2π

0

cos(ly + λl)Dk(x− y)dy

= Sk(x), (3.169)

donde Dk(·), es el Nucleo de Dirichlet de orden k (ver Definicion 2.11 y Lema 2.12


De (3.168) y (3.169), se sigue que

S(ϕn;x) > C3 log(n),

donde C3 > 0 es la constante (absoluta) de la Proposicion 3.15 y log : (0,+∞)→ R

es la funcion logaritmo natural.

Se escribe, Qn := C3 log(n) y λn := n2, se observa que λn ≤ k < vn y ademas

lımn→+∞

Qn = +∞

y

lımn→+∞

λn = +∞,

lo cual cumple con los ıtems C.i) y C.iii). Adicionalmente, se contempla que

Sk(ϕn;x) > Qn,

que corresponde a lo expuesto en el ıtem C.iv).

Teorema 3.1 (Teorema de Kolmogorov). Existe una funcion Φ ∈ L1([0, 2π]), tal

que su serie de Fourier diverge en todas partes.

89

Demostracion. Se considera la sucesion estrictamente creciente de numeros enteros(nα)α∈N, tal que n0 ≥ 2 y para todo α ∈ {1, 2, . . .}, se cumplen las siguientes

propiedades:

K-i) λnα > vnα−1 ,

K-ii) Qnα > 4Qnα−1 y

K-iii)√Qnα > vnα−1 ,

donde para todo s ∈ {2, 3, . . .}, λs, vs y Qs son los ındices de la Proposicion 3.17.

Para todo m ∈ Z+, se escribe Mnm :=1√Qnm

y se define la funcion Φ : [0, 2π]→ R,

dada por

Φ(x) :=+∞∑m=1

Mnmϕnm(x), para todo x ∈ [0, 2π], (3.170)

donde para todo s ∈ {2, 3, . . .}, la funcion ϕs esta dada en (3.1) y reescrita en la

Proposicion 3.7.

De K-ii), se ve que+∞∑m=1

Mnm < +∞. En efecto,

+∞∑m=1

Mnm =+∞∑m=1

1√Qnm

≤+∞∑m=1

1

2√Qnm−1

=1

2

+∞∑l=0

1√Qnl

=1

2√Qn0

+1

2

+∞∑l=0

1√Qnl

=1

2√Qn0

+1

2

+∞∑l=1

Mnl ,

de donde+∞∑m=1

Mnm ≤1

2√Qn0

< +∞. (3.171)

Haciendo uso de la Proposicion 3.3, se tiene que para todo m ∈ {1, 2, . . .}, la funcion

ϕnm es no negativa, por tanto, la funcion Φ, dada en (3.170), es no negativa. Ademas,

90

usando la Proposicion 3.6, el Teorema de Convergencia Monotona (Teorema 4.6 de

la pagina 31 de [6]) y (3.171), se sigue que∫[0,2π]

∣∣Φ∣∣dλ =

∫[0,2π]

Φdλ

=

∫[0,2π]

+∞∑m=1

Mnmϕnmdλ

=+∞∑m=1

Mnm

∫[0,2π]

ϕnmdλ

=+∞∑m=1

Mnm

(π)

= π

+∞∑m=1

Mnm < +∞. (3.172)

De (3.172), se tiene que Φ ∈ L([0, 2π]).

A continuacion, sean r ∈ {1, 2, . . .} y x ∈ Fnr , donde para todo s ∈ Z+, Fs esta

dado en (3.152). Haciendo uso del ıtem C) de la Proposicion 3.17, se tiene que existe

k := kx ∈ Z+, tal que

λnr ≤ k < vnr (3.173)

y adicionalmente

Sk(ϕnr ;x) > Qnr . (3.174)

Utilizando de la Definicion 2.11 y el Lema 2.12 de la pagina 69 de [12] y nuevamente

el Teorema de Convergencia Monotona (Teorema 4.6 de la pagina 31 de [6]), se sigue

que

Sk(Φ;x) =1

2π

∫[0,2π]

Φ(y)Dk(x− y)dy

=1

2π

∫ 2π

0

+∞∑m=1

Mnmϕnm(y)Dk(x− y)dy

=+∞∑m=1

Mnm

1

2π

∫ 2π

0

ϕnm(y)Dk(x− y)dy

=+∞∑m=1

MnmSk(ϕnm ;x)

=r−1∑m=1

MnmSk(ϕnm ;x) +MnrSk(ϕnr ;x) ++∞∑

m=r+1

MnmSk(ϕnm ;x). (3.175)

91

A partir del ıtem K-i) y de (3.173), se sabe que k ≥ λnr > vnr−1 , lo cual indica

que k es mayor que el orden del polinomio trigonometrico ϕnm , para todo m ∈

{1, . . . , r − 1}. Luego, haciendo uso de las Proposiciones 3.16 y 3.3, se observa que

para todo m ∈ {1, . . . , r − 1},

Sk(ϕnm ;x) = ϕnm(x) ≥ 0. (3.176)

Por otro lado, haciendo uso del Lema 2.23 de la pagina 95 de [12] y tomando en

cuenta las Proposiciones 3.3 y 3.6, se sigue que para todo m ∈ {r + 1, . . .},

∣∣Sk(ϕnm ;x)∣∣ ≤ 2k + 1

π

∫ 2π

0

∣∣ϕnm(x)∣∣dx

=2k + 1

π

∫ 2π

0

ϕnm(x)dx

=2k + 1

π

(π)

= 2k + 1. (3.177)

Con la ayuda de (3.177), (3.173) y de los ıtem K-ii) y K-iii), se observa que∣∣∣∣∣+∞∑

m=r+1

MnmSk(ϕnm ;x)

∣∣∣∣∣ ≤+∞∑

m=r+1

Mnm

∣∣Sk(ϕnm ;x)∣∣

≤+∞∑

m=r+1

Mnm

(2k + 1

)=(2k + 1

) +∞∑m=r+1

Mnm

=(2k + 1

) +∞∑m=r+1

1√Qnm

<(2vnr + 1

) +∞∑m=r+1

1√Qnm

< 3vnr

+∞∑m=r+1

1√Qnm

< 3√Qnr+1

+∞∑m=r+1

1√Qnm

< 3√Qnr+1

(1√Qnr+1

+1√Qnr+2

+1√Qnr+3

+ · · ·

)

92

= 3

(1 +

√Qnr+1√Qnr+2

+

√Qnr+1√Qnr+3

+

√Qnr+1√Qnr+4

+ · · ·

)

< 3

(1 +

√Qnr+2

2√Qnr+2

+

√Qnr+2

2√Qnr+3

+

√Qnr+2

2√Qnr+4

+ · · ·

)

= 3

(1 +

1

2+

√Qnr+2

2√Qnr+3

+

√Qnr+2

2√Qnr+4

+ · · ·

)

< 3

(1 +

1

2+

√Qnr+3

4√Qnr+3

+

√Qnr+3

4√Qnr+4

+ · · ·

)

= 3

(1 +

1

2+

1

4+

√Qnr+3

4√Qnr+4

+ · · ·

)

< 3

(1 +

1

2+

1

4+

√Qnr+4

8√Qnr+4

+ · · ·

)

< 3

(1 +

1

2+

1

4+

1

8+ · · ·

)...

< 3+∞∑j=0

1

2j

= 31

1− 1

2

= 6. (3.178)

De (3.175), (3.176), (3.174) y (3.178), se tiene que

Sk(Φ;x) > MnrQnr − 6

=1√Qnr

Qnr − 6

=√Qnr − 6. (3.179)

Como cada z ∈ [0, 2π] pertenece a todos los Enr , para todo para algun r ∈ {1, 2, . . .},

suficientemente grande, de (3.179) y usando la Proposicion 3.17, se concluye que la

serie de Fourier S(Φ; z) diverge en todo punto, lo cual muestra el resultado.

93

APENDICE A

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

“... an author never does more damage to his readersthan when he hides a difficulty”.

Evariste Galois (1908)

Existe un sinnumero de identidades trigonometricas, que pueden ser utilizadas para

la simplificacion y resolucion de diferentes problemas. A continuacion se enuncia

y se demuestra algunas de estas identidades que fueron imprescindibles para el

presente trabajo. Como punto de partida se asume que para todo x, y ∈ R

sen2(x) + cos2(x) = 1,

sen(x+ y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y),

sen(x− y) = sen(x) cos(y)− cos(x) sen(y),

sen(x+ y) = sen(x) cos(y)− cos(x) sen(y),

sen(x− y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y).

Identidad A.1. Para todo x, y ∈ R, se tiene que

cos(x)− cos(y) = −2 sen

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

).

Demostracion. Sean x, y ∈ R. Luego,

cos(x)− cos(y) = cos

(x+ y

2+x− y

2

)− cos

(x+ y

2− x− y

2

)= cos

(x+ y

2

)cos

(x− y

2

)− sen

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

)− cos

(x+ y

2

)cos

(x− y

2

)− sen

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

)= −2 sen

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

).

94

Identidad A.2. Para todo x, y ∈ R, se tiene que

sen(x)− sen(y) = 2 cos

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

)

Demostracion. Sean x, y ∈ R. Luego,

sen(x)− sen(y) = sen

(x+ y

2+x− y

2

)− sen

(x+ y

2− x− y

2

)= sen

(x+ y

2

)cos

(x− y

2

)+ cos

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

)− sen

(x+ y

2

)cos

(x− y

2

)+ cos

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

)= 2 cos

(x+ y

2

)sen

(x− y

2

).

Identidad A.3. Para todo x ∈ R, se tiene

1− cos(x) = 2 sen2

(1

2x

).

Demostracion. Sea x ∈ R. Se tiene que

1− cos(x) = 1− cos2(

1

2x

)+ sen2

(1

2x

)= sen2

(1

2x

)+ sen2

(1

2x

)= 2 sen2

(1

2x

).

Identidad A.4. Para todo L ∈ Z y para todo x ∈ R, se tiene


)= 2 sen

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

).

Demostracion. Sean L ∈ Z y x ∈ R. Usando la Identidad A.1, se tiene que


)= −2 sen

(Lx+ (L+ 1)x

2

)sen

(Lx− (L+ 1)x

2

)

95

= −2 sen

(2L+ 1

2x

)sen

(−1

2x

)= 2 sen

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

).

Identidad A.5. Para todo L ∈ Z y para todo x ∈ R, se tiene

sen(Lx)− sen((L+ 1)x

)= −2 cos

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

).

Demostracion. Sean L ∈ Z y x ∈ R. De la Identidad A.2, se ve que

sen(Lx)− sen((L+ 1)x

)= 2 cos

(Lx+ (L+ 1)x

2

)sen

(Lx− (L+ 1)x

2

)= 2 cos

(2L+ 1

2x

)sen

(−1

2x

)= −2 cos

(2L+ 1

2x

)sen

(1

2x

).

Identidad A.6. Para todo x ∈ R, se tiene que

cos(

arctan(x))

=1√

1 + x2,

donde arctan : R→(−π

2, π2

)es la funcion inversa de tan :

(−π

2, π2

)→ R.

Demostracion. Tomando tan :(−π

2, π2

)→ R, su funcion inversa se escribe arctan :

R→(−π

2, π2

). Sea x ∈ R. Como tan :

(−π

2, π2

)→ R es biyectiva, existe y ∈

(−π

2, π2

)tal que

tan(y) = x, (A.1)

lo cual es equivalente a

arctan(x) = y. (A.2)

De (A.1) y tomando sec :(−π

2, π2

)→ [1,+∞), se ve que

sec2(y) = tan2(y) + 1 = x2 + 1,

96

y ademas

cos2(y) =1

sec2(y)=

1

1 + x2.

De (A.2) y usando el hecho que para todo t ∈(−π

2, π2

), cos(t) > 0, se concluye que

cos(

arctan(x))

=1√

1 + x2.

Identidad A.7. Para todo x ∈ R, se tiene que

sen(

arctan(x))

=x√

1 + x2,

donde arctan : R→(−π

2, π2

)es la funcion inversa de tan :

(−π

2, π2

)→ R.

Demostracion. Se considera la funcion tan :(−π

2, π2

)→ R, cuya funcion inversa es

arctan : R→(−π

2, π2

). Sea x ∈ R. De la Identidad A.6, se observa que

x = tan(

arctan(x))

=sen(

arctan(x))

cos(

arctan(x)) =

sen(

arctan(x))

1√1 + x2

.

En consecuencia,

sen(

arctan(x))

=x√

1 + x2.

97

APENDICE B

RESULTADOS UTILIZADOS EN EL CAPITULO III

“So mathematical truth prefers simple words sincethe language of truth is itself simple”.

Tycho Brahe (1596)

En el presente apendice se exponen algunas desigualdades que ayudan a comprender

las demostraciones de ciertos resultados desarrollados en el Capıtulo III.

Lema B.1. Para todo n ∈ Z+, se tiene que

0 <2n+ 1

4πn3+

1

4<

1

2. (B.1)

Demostracion. Sea n ∈ Z+. Se verifica de forma inmediata que

2n+ 1

4πn3+

1

4> 0. (B.2)

Ahora, se observa que

2n+ 1

4πn3+

1

4<

1

2⇔ 2n+ 1

4πn3− 1

4< 0

⇔ 2n+ 1− πn3

4πn3< 0

⇔ 2n+ 1− πn3 < 0

⇔ πn3 − 2n− 1 > 0. (B.3)

Se procede a demostrar la desigualdad dada en (B.3). Para ello, se realiza induccion

sobre n. Ası, en el caso n = 1, se ve que

πn3 − 2n− 1 = π − 3 ≈ 0.14159 > 0. (B.4)

Ahora, se supone que la desigualdad (B.3) es valida para n = k ∈ Z+, esto es,

98

HI: πk3 − 2k − 1 > 0. (B.5)

De (B.4) y (B.5), se sigue que

π(k + 1)3 − 2(k + 1)− 1 = π(k3 + 3k3 + 3k + 1)− 2k − 2− 1

= πk3 + 3πk3 + 3πk + π − 2k − 3

= (πk3 − 2k − 1) + (3πk3 + 3πk + 1)

+ (π − 3) > 0. (B.6)

De (B.4)-(B.6), se concluye que para todo m ∈ Z+,

πm3 − 2m− 1 > 0, (B.7)


Lema B.2. Para todo n ∈ Z+, se tiene que

1

n3+

2nπ

2n+ 1< π. (B.8)

Demostracion. Sea n ∈ Z+. Se observa que

1

n3+

2nπ

2n+ 1< π ⇔ 1

n3+

2nπ

2n+ 1− π < 0

⇔ 2n+ 1 + 2πn4 − πn3(2n+ 1)

n3(2n+ 1)< 0

⇔ 2n+ 1− πn3

n3(2n+ 1)< 0

⇔ 2n+ 1− πn3 < 0

⇔ πn3 − 2n− 1 > 0. (B.9)

Usando (B.7), se tiene que la desigualdad (B.9) es verdadera, con lo cual se finaliza

la demostracion del lema.

Lema B.3. Para todo k ∈ Z+ y para todo x ∈ R, se tiene que

∫ 2π

0

Dk(x− y)dy = 2π,

99

donde Dk(·), es el Nucleo de Dirichlet de orden k (ver Definicion 2.11 y Lema 2.12


Demostracion. Sean k ∈ Z+ y x ∈ R. De la ecuacion (2.134) de [12], se cumple que

∫ 2π

0

Dk(x− y)dy =

∫ 2π

0

(1 + 2

k∑j=1

cos(j(x− y)

))dy

=

∫ 2π

0

dy + 2k∑j=1

∫ 2π

0

cos(j(x− y)

)dy

= 2π + 2k∑j=1

∫ jx−2πj

jx

cos(t)

(−dtj

)

= 2π + 2k∑j=1

1

j

∫ jx

jx−2πjcos(t)dt

= 2π + 2k∑j=1

1

j

(sen(t)

∣∣∣jxjx−2πj

)

= 2π + 2k∑j=1

1

j

(sen(jx)− sen(jx− 2πj)

)= 2π.

Lema B.4. Para todo k, l ∈ Z+, con k > l, y para todo x, w ∈ R, se tiene que

∫ 2π

0

cos(ly + w)Dk(x− y)dy = 2π cos(lx+ w),



Demostracion. Sean k, l ∈ Z+, con k > l. Sean x, w ∈ R. Haciendo uso de la

ecuacion (2.134) de [12], se ve que

∫ 2π

0

cos(ly + w)Dk(x− y)dy =

∫ 2π

0

cos(ly + w)

(1 + 2

k∑j=1

cos(j(x− y)

))dy

=

∫ 2π

0

cos(ly + w)dy

100

+ 2k∑j=1

∫ 2π

0

cos(ly + w) cos(j(x− y)

)dy

=sen(ly + w)

l

∣∣∣∣2π0

+ 2k∑j=1

∫ 2π

0

1

2

(cos(ly + w − jx+ jy)

+ cos(ly + w + jx− jy))dy

=1

l

(sen(2πl + w)− sen(w)

)+

k∑j=1

∫ 2π

0

cos((l + j)y + w − jx

)dy

+k∑j=1

∫ 2π

0

cos((l − j)y + w + jx

)dy

=k∑j=1

∫ 2π

0

cos((l + j)y + w − jx

)dy

+k∑j=1j 6=l

∫ 2π

0

cos((l − j)y + w + jx

)dy

+

∫ 2π

0

cos(w + lx

)dy

=k∑j=1

sen((l + j)y + w − jx

)l + j

∣∣∣∣2π0

+k∑j=1j 6=l

sen((l − j)y + w − jx

)l − j

∣∣∣∣2π0

+ cos(lx+ w

) ∫ 2π

0

dy

=k∑j=1

sen(2π(l + j) + w − jx

)− sen

(w − jx

)l + j

+k∑j=1j 6=l

sen(2π(l − j) + w + jx

)− sen

(w + jx

)l − j

+ 2π cos(lx+ w

)= 2π cos

(lx+ w

).

101

Lema B.5. Para todo k, l ∈ Z+, con k < l, y para todo x, w ∈ R, se tiene que

∫ 2π

0

cos(ly + w)Dk(x− y)dy = 0,



Demostracion. Se procede de manera similar a lo realizado en la demostracion del

Lema B.4

102

APENDICE C

EQUIDISTRIBUCION Y CRITERIO DE WEYL

“In these days the angel of Topology and the devil of Abstract Algebrafigh for the soul of each individual mathematical domain”.

Hermann Weyl (1939)

En el presente apendice se exponen las ideas basicas de una sucesion real equidistri-

buida o uniformamente distribuida modulo 1. Ademas, se enuncia un teorema muy

interesante conocido como el Criterio de Weyl, en honor a Hermann Weyl quien

lo formulo por primera vez (ver [19]), el cual caracteriza a este tipo de sucesiones.

Luego, se enuncia un corolario que sera de utilidad en la prueba de la Proposicion

3.12.

Las referencias principales de este apendice son [10] y [11], tambien puede encon-

trarse informacion referente al tema en [20], donde se realiza un enfoque de las

sucesiones equidistribuidas partiendo del Analisis de Fourier. Las demostraciones

de los resultados expuestos aquı pueden ser encontradas en las referencias antes

mencionadas.

Antes de definir una sucesion equidistribuida, se empieza con la definicion de las

funciones parte entera y parte fraccionaria.

Definicion C.1. La funcion parte entera J · K : R→ Z esta definida por

J · K : R → Z

x 7→ Jx K := max{n ∈ Z; n ≤ x}.

Definicion C.2. La funcion parte fraccionaria {·} : R→ [0, 1) esta definida por

{·} : R → [0, 1)

x 7→ {x} := x− Jx K.

Definicion C.3 ([10]). Se dice que la sucesion real (un)+∞n=1 es equidistribuida o

103

uniformemente distribuida modulo 1 si para todo α, β ∈ R, tales que 0 ≤ α < β ≤ 1,

se tiene que

lımN→+∞

1

N

∣∣∣{ {u1} , . . . , {uN}} ∩ (α, β)∣∣∣ = β − α > 0,

donde, {·} : R→ [0, 1), es la funcion parte fraccionaria.

Teorema C.1 (Criterio de Weyl ([10])). Sea(un)+∞n=1

una sucesion real. Las si-

guientes afirmaciones son equivalentes.

1.(un)+∞n=1

es una sucesion equidistribuida.

2. Para todo k ∈ Z, se tiene que

lımN→+∞

1

N

N∑n=1

e2πikun = 0.

3. Para todo f ∈ R([0, 1]), se tiene que

lımN→+∞

1

N

N∑n=1

f({un}) =

∫ 1

0

f(x) dx.

Corolario C.1. Para todo ω ∈ R \ Q, la sucesion real(vn)+∞n=1

, donde para todo

n ∈ Z+, vn = nω es una sucesion equidistribuida.

Corolario C.2. Para todo ω ∈ R \ Q, la sucesion real(tk)+∞k=0

, donde para todo

k ∈ N, tk = (2k + 1)ω es una sucesion equidistribuida.

104

APENDICE D

SISTEMA COMPLETO DE RESIDUOS MODULO h

“Mathematics is the queen of the sciences and Number Theory is the queen of mathematics.She often condescends to render service to astronomy and other natural sciences,

but in all relations she is entitled to the first rank”.

Carl Friedrich Gauss (1856)

En el presente apendice, se presenta la nocion de un conjunto llamado Sistema

Completo de residuos modulo h, con h ∈ {2, 3, . . .}, el cual como se menciona en

[17], juega un rol interesante en areas de la Matematica como la Teorıa de Numeros

y Algebra Abstracta. Se exponen ademas algunas propiedades sobre estos conjuntos

que seran de utilidad en las demostraciones de los resultados de la Seccion 3.4, mas

precisamente, en la prueba de la Proposicion 3.12.

La referencia principal de este apendice es [17], en donde se puede encontrar biblio-

grafıa que permite profundizar este tipo de conceptos. Ademas, las demostraciones

de los resultados que se exponen este apendice pueden ser encontradas en [17].

Se da comienzo con la definicion de Sistema Completo de residuos modulo h, con

h ∈ {2, 3, . . .}.

Definicion D.1. Sean h ∈ {2, 3, . . .}, R = {a0, a1, . . . , ah−1} ⊂ Z y R(h) =

{0, 1, . . . , h − 1}. Se dice que R es un Sistema Completo de residuos modulo h,

si la funcion f : R→ R(h), definida por

f : R → R(h)

ai 7→ f(ai) := j, con ai ≡ j mod (h)

es inyectiva.

Lema D.1. Sean a, b, k, m ∈ Z. Si gcd(k,m) = d, entonces ka ≡ kb mod (m) si

y solo si a ≡ b mod(md

).

Corolario D.1. Sean a, b, k, m ∈ Z. Si gcd(k,m) = 1, entonces ka ≡ kb mod (m)

si y solo si a ≡ b mod (m).

105

Lema D.2. Sean a, b, c, m ∈ Z. Entonces a ≡ b mod (m), si y solo si (a + c) ≡

(b+ c) mod (m).

Teorema D.1. Sean h ∈ {2, 3, . . .} y p ∈ Z. Si {a0, a1, . . . , ah−1} ⊂ Z, es un

Sistema Completo de residuos modulo h, entonces {pa0, pa1, . . . , pah−1} ⊂ Z es un

Sistema Completo de residuos modulo h si y solo si gcd(p, h) = 1.

Teorema D.2. Sean h ∈ {2, 3, . . .} y p, l ∈ Z. Si {a0, a1, . . . , ah−1} ⊂ Z, es un

Sistema Completo de residuos modulo h, entonces {pa0+l, pa1+l, . . . , pah−1+l} ⊂ Z

y {p(a0 + l), p(a1 + l), . . . , p(ah−1 + l)} ⊂ Z son Sistemas Completos de residuos

modulo h si y solo si gcd(p, h) = 1.

106

BIBLIOGRAFIA

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[21] Zygmund A. (1935). Trigonometrical Series. Warsaw-Lwow.

108

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