Universita di Udine` - Dipartimento Politecnico di ... · Il contenuto di queste dispense e allo...

Università di UdineDipartimento Politecnico di Ingegneria e Architettura

Gadv,Hek−1,k THek−1 G

adv,Hek−1,k C

Hek −G

adv,Hek,k+1 G

adv,Hek,k+1 T

Hek+1

Φadv,Hek−1,k Φadv,Hek,k+1

Gcond,Hek−1,kNHek−1 N

Hek

Gcond,Hek−1,k NHek+1

Gi,Hek

Gl,ik−1,kNik−1 N ik

Gl,ik,k+1 Nik+1

Cik Pg,ik ṁ

Appunti diTeoria delle Reti Elettriche

Fabrizio Bellina

2

In copertina: Parte di una rete termica equivalente ad un canale di raffreddamento disuperconduttori armati mediante elio supercritico a 6 K.

18 novembre 2019

Avvertenze

Queste dispense sono state scritte ad integrazione del materiale didattico utilizzato nel corso diElettrotecnica per allievi ingegneri Elettronici e Gestionali dell’Informazione, Corso di LaureaTriennale. Esse non sostituiscono in alcun caso i testi ufficiali indicati dal docente, né gli appuntipresi dagli studenti durante le lezioni.

Il contenuto di queste dispense è allo stato di bozza ed alcune sue parti potrebbero esseremancanti o non adeguatamente corredate di disegni e testo. Per questo esso è soggetto a continuarevisione. Ogni segnalazione e suggerimento sono pertanto benvenuti1.

L’uso di questo materiale didattico è riservato gratuitamente agli studenti dell’Università diUdine. È vietato qualunque uso diverso del presente materiale. In particolare sono vietati l’usocommerciale e la riproduzione e la diffusione a terzi anche di parti del presente materiale senzaautorizzazione.

Si ringraziano gli studenti Sara Morgante Piano, Stefano Alloi, Raffaello Fornasiere edAndrea Agostini per la collaborazione nella stesura del testo sulla base degli appunti presi alezione.

1 Sono gradite segnalazioni all’indirizzo di posta elettronica [email protected]

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mailto:[email protected]

Indice

1 Nozioni preliminari 11.1 Generalità sulle reti elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Regime di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 La legge di continuità della carica elettrica . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Intensità di corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.3 L’amperometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Potenziale elettrico e tensione elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.1 Potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Tensione elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Il voltmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Proprietà e definizioni generali per i componenti di una rete elettrica . . . . . . 101.6 Potenza elettrica scambiata in regime stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Potenza elettrica scambiata da un n-polo . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.2 Potenza elettrica scambiata da un m-bipolo . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Convenzioni per tensioni e correnti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1 Convenzione dell’utilizzatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.2 Convenzione del generatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.3 Il wattmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Strumenti di misura ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Principi di Kirchhoff 212.1 Definizioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Primo principio di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Secondo principio di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Bipoli 253.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Bipoli in regime stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Bipoli in regime variabile quasi stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Bipoli affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5

6 INDICE

3.4.1 Bipoli resistori lineari e non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2 Generatori affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Connessioni tra bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.1 Serie di bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.2 Parallelo di bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.3 I partitori di tensione e corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Reti di bipoli in regime stazionario 534.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Grafo di una rete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1 Applicazione alle reti elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.2 Ortogonalità delle matrici delle reti elettriche . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Insiemi di equazioni di Kirchhoff indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.1 Albero e coalbero di un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.2 Costruzione delle maglie e insiemi di taglio fondamentali . . . . . . . . 59

4.4 Il metodo dei potenziali nodali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.1 Estensione del metodo dei potenziali nodali . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2 La conversione stella-poligono e triangolo-stella . . . . . . . . . . . . 67

4.5 Il metodo delle correnti di maglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5.1 Costruzione delle equazioni del metodo delle correnti di maglia median-

te le matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.2 Estensione del metodo delle correnti di maglia . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Applicazioni: i circuiti a ponte e potenziometrico . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6.1 Il circuito a ponte di Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6.2 Il circuito potenziometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7 Teoremi delle reti elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.7.1 Il principio di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.7.2 Il teorema di Tellegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.7.3 Principio di sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . . . . . 824.7.4 Teorema del generatore equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7.5 Il principio dell’adattamento del carico . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Doppi bipoli 915.1 Doppi bipoli in regime stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.1 Doppi bipoli affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.1.2 Determinazioni dei parametri dei doppi bipoli lineari . . . . . . . . . . 985.1.3 Sintesi dei doppi bipoli lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2 Generatori dipendenti (o pilotati) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2.1 Rappresentazione matriciale dei generatori dipendenti . . . . . . . . . 1075.2.2 Rappresentazione circuitale mediante generatori dipendenti delle quat-

tro matrici dei doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

INDICE 7

6 Reti in regime sinusoidale 1116.1 Generalità sulle grandezze periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Grandezze sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2.1 Uguaglianza tra due sinusoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.2 Operazioni sulle grandezze sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3 Rappresentazione simbolica delle grandezze sinusoidali . . . . . . . . . . . . . 1166.3.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3.2 Trasformata simbolica o di Steinmetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.4 Grandezze sinusoidali nelle reti elettriche lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4.1 Resistenze, induttanze e capacità a regime sinusoidale . . . . . . . . . 1196.4.2 Impedenza e Ammettenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.4.3 Serie di impedenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.4.4 Parallelo di ammettenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.4.5 Sintesi di impedenze ed ammettenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.4.6 Potenza in regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.4.7 Potenza in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.4.8 Calcolo della potenza nei bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.5 Risoluzione delle reti in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5.1 Formule di Millmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5.2 Sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5.3 Generatori equivalenti di Thevenin e Norton . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5.4 Doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.5.5 Generatori pilotati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.5.6 Teorema di Tellegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.6 Studio in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.6.1 Studio in frequenza di un bipolo RL serie . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.6.2 Studio in frequenza di un bipolo RL parallelo . . . . . . . . . . . . . . 1356.6.3 Studio in frequenza di un bipolo RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . 1366.6.4 Studio in frequenza di un bipolo RLC parallelo . . . . . . . . . . . . . 138

8 INDICE

Capitolo 1

Nozioni preliminari

1.1 Generalità sulle reti elettriche

Il modello a “rete elettrica” di una zona dello spazio, sede di un campo elettromagnetico, con-siste nel rappresentare le varie regioni dello spazio come un insieme di oggetti distinti, la cuiinterazione è descrivibile per mezzo di un certo numero finito di grandezze globali: le correntie le tensioni elettriche. Si rinuncia quindi a dare una descrizione dei campi elettromagnetico edi corrente in ogni punto dello spazio (descrizione locale) e si studiano le interazioni tra questioggetti solo a livello di tensioni e correnti. Naturalmente questo è possibile solo se risulta pos-sibile esprimere i legami tra tensioni e correnti per ognuno di questi oggetti, come vedremo nelseguito.

Aggiungiamo un’ulteriore ipotesi: i fenomeni elettrici (ad es. l’effetto resistivo, l’effetto in-duttivo, la generazione di potenza elettrica etc.) avvengono solo all’interno di queste regioni τi,denominate componenti della rete, che sono collegate tra loro solo mediante collegamenti filifor-mi, la cui geometria (ma non topologia) è ininfluente sul comportamento della rete. Si supponeanche che il materiale con cui questi collegamenti sono in realtà fatti sia un ottimo conduttore,cosı̀ da poter trascurare gli effetti resistivi in essi. Il movimento delle cariche elettriche da uncomponente all’altro della rete può avvenire solo lungo questi collegamenti filiformi. La retecosı̀ ottenuta è detta a parametri concentrati.

L’assumere inifluente la geometria, ma non la topologia, delle connessioni può essere giu-stificato dal seguente esempio pratico: consideriamo un sistema costituito da una batteria e unalampadina, collegate per mezzo di due fili elettrici in rame, di lunghezza non eccessiva e di se-zione non troppo piccola. Si può pensare che tale sistema sia una rete elettrica, costituita da uncomponente generatore (la batteria) e un componente resistore (la lampadina), collegati tra loromediante due connessioni filiformi. Se, dopo avere completato e acceso il circuito, si pieganofili, o li si avvolge per formare qualche spira, non si nota un apprezzabile cambiamento dellaluminosità della lampadina: i cambiamenti operati riguardano infatti la geometria delle connes-sioni che, però, vanno sempre dalla lampadina alla batteria. Se, invece, sconnettiamo uno deifili, o li colleghiamo tutti e due ad uno stesso morsetto della batteria, la lampadina si spegne:abbiamo operato una variazione della topologia delle connessioni. Quanto detto esclude ovvia-

1

2 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI

mente azioni quali ad es. sostituire un filo con uno di sezione trascurabile, o uno di lunghezzanotevolissima, tale quindi da non permettere più di trascurare la sua resistenza elettrica.

Per proseguire lo studio delle reti elettriche è ora opportuno richiamare le nozioni di regimedi funzionamento, corrente elettrica e di tensione elettrica.

1.2 Regime di funzionamento

Una rete elettrica può trovarsi in uno dei seguenti regimi:

• Regime stazionario: quando le grandezze elettriche (tensioni e correnti) non dipendonodal tempo. In questo caso esse sono talvolta dette continue.

• Regime variabile: quando le grandezze elettriche dipendono dal tempo. A sua volta, ilregime variabile si suddivide in due parti:

– regime quasi stazionario: quando il tempo caratteristico di variazione delle gran-dezze elettriche (ad esempio, il tempo intercorrente tra due picchi successivi di unatensione) è molto maggiore del tempo di propagazione dei segnali elettromagneticilungo la rete in esame (è noto infatti che la propagazione dei segnali elettrici avvienealla velocità della luce);

– regime non quasi stazionario: negli altri casi.

Il regime variabile può essere classificato anche in base ai tipi di andamenti che le gran-dezze elettriche in funzione del tempo. Si hanno infatti:

– regime periodico: quando tutte le grandezze elettriche sono funzioni periodiche deltempo;

– regime aperiodico: negli altri casi.

Un esempio importante di regime variabile periodico è dato dal regime sinusoidale, in cuile tensioni e le correnti variano nel tempo con legge sinusoidale: si tratta quindi di un regimeperiodico. A seconda del periodo di queste grandezze, il regime può essere considerato quasistazionario o meno. Ad esempio, la tensione sinusoidale della rete elettrica italiana ha unafrequenza di 50 Hz, corrispondenti ad un periodo temporale di 20 ms. In 20 ms un segnaleelettrico si propaga lungo una rete elettrica per circa 6000 km. In una rete le cui dimensioni sonodi qualche centinaio di chilometri il tempo di propagazione dei segnali sarà perciò trascurabilee la rete potrà essere considerata in regime variabile quasi stazionario. Se, invece, si consideraun segnale radio alla frequenza di 100MHz, esso ha una lunghezza d’onda di circa 3 m percui, in una rete avente anche solo qualche metro di estensione, l’effetto della velocità finita dipropagazione è sensibile.

1.3. CORRENTE ELETTRICA 3

1.3 Corrente elettrica

1.3.1 La legge di continuità della carica elettrica

Nei corsi di fisica si è appreso che i fenomeni elettromagnetici sono causati sia dalla presenzadi cariche elettriche in una certa regione dello spazio (ad esempio, nei fenomeni elettrostatici),che dal loro movimento (ad esempio, nei fenomeni resistivi o magnetici). I fenomeni studiatinella teoria delle reti elettriche sono tutti governati solo dal moto delle cariche: risulta pertan-to opportuno definire una grandezza che descriva tale moto in modo globale, considerando legrandezze d’interesse associate a regioni di volume finito o a superfici d’area finita. Non siamoinfatti interessati ad una descrizione locale del moto, quale ad esempio la velocità delle carichein un punto nello spazio.

1

2

34

Morsetti

5

6∂τ

un

Figura 1.1: Componente di una rete elettrica provvisto di n = 6 collegamenti filiformi esuperficie di controllo ∂τ orientata in modo uscente.

Consideriamo ora uno di questi componenti della rete, indicato come τ . Sia n il numero dicollegamenti filiformi tra esso e il resto della rete. Considerando ora una superficie di controlloorientata ∂τ che circonda il componente senza entrare al suo interno, essa interseca gli n collega-menti filiformi in n punti, detti morsetti o poli (figura 1.1). Le cariche elettriche possono entrareo uscire dal componente solo attraverso questi collegamenti. Nel corso di fisica si è studiata lalegge di continuità della carica elettrica, la quale afferma che non si crea, né si distrugge, caricaelettrica. Pertanto, se una certa regione τ dello spazio contiene una certa carica elettrica Q, essapuò essere dovuta ad esempio:

• all’ingresso della carica stessa attraverso la superficie di controllo ∂τ che la circonda,• all’uscita di una carica uguale e contraria attraverso la superficie di controllo ∂τ che la

circonda.

Non è quindi possibile che la carica in τ si sia spontaneamente generata dal nulla. È peròpossibile che una regione τ inizialmente neutra (quindi con una carica racchiusa complessiva-mente nulla), diventi carica con una carica Q 6= 0 perchè due cariche opposte +Q e −Q si sonoseparate in essa e la carica −Q ha abbandonato la regione uscendo attraverso ∂τ .


Si precisa inoltre che la carica Q è una grandezza algebrica, può essere pertanto sia positivache negativa.

Tornando ora ai due punti evidenziati sopra, si nota che cariche opposte con moti oppostisono equivalenti ai fini del bilancio delle cariche elettriche. Tale proprietà è verificata anche aifini del calcolo del campo magnetico e trae la sua origine dai principi fondamentali della fisica.

Assumendo ora per ∂τ una orientazione uscente, la legge di continuità della carica elettricapuò cosı̀ essere scritta nel caso più generale:

∆Qint[t1, t2] = Qint (t2)−Qint (t1) = −Qusc[t1, t2], (1.1)

dove t2 e t1 sono due qualsiasi istanti temporali eQint è la carica totale racchiusa in ∂τ , funzionedel tempo t, ∆Qint (∆t) la sua variazione temporale, definita nell’intervallo di tempo [t1, t2],Qusc è la differenza della carica positiva che, nell’intervallo [t1, t2], è uscita da ∂τ , e della caricanegativa che vi è entrata.

Nel caso delle reti elettriche, il fatto che la carica si possa muovere solo lungo le n connes-sioni filiformi, porta a riscrivere cosı̀ la (1.1):

∆Qint[t1, t2] = −n∑

k=1

Qusck [t1, t2], (1.2)

dove Qusck è la carica che ha attraversato la sezione trasversale di controllo posta sul k-esimocollegamento filiforme (figura 1.2), orientata in modo concorde a ∂τ .

!"k

n

Sk

nk

Figura 1.2: Dettaglio del kesimo morsetto di un componente. Un riferimento uscente è statoadottato anche per la connessione filiforme ad esso collegata.

1.3.2 Intensità di corrente elettrica

Si può ora considerare la quantità di carica che esce in corrispondenza del morsetto k-esimo,quando l’ampiezza dell’intervallo di tempo ∆t = t2 − t1 tende a zero. Se la carica è unafunzione continua del tempo, sarà anche Qusck → 0, ma il rapporto Qusck /∆t potrà tendere ad unvalore finito. Si definisce per questo l’intensità della corrente elettrica (nel nostro caso uscentedal morsetto k-esimo) in questo modo:

iusck (t)def= lim

t1,t2→tQusck [t1, t2]

∆t(1.3)

Si richiama l’attenzione su questi due fatti:

1.3. CORRENTE ELETTRICA 5

• Il segno della corrente elettrica dipende dal riferimento adottato. Per il morsetto k-esimoè possibile anche adottare un riferimento entrante, si ottiene in tal caso la corrente entrantenel morsetto, di valore opposto alla corrente uscente.

• La corrente, come la carica, è una grandezza algebrica, che può quindi assumere valori siapositivi che negativi. Se una data corrente, ottenuta con un dato riferimento, è negativa,non è assolutamente necessario cambiare il suo riferimento in modo da ottenere un numeropositivo.

In base alla definizione di corrente elettrica, si può allora cosı̀ esprimere la legge di continuitàin forma differenziale per una rete elettrica:

iusctot (t) =

n∑

k=1

iusck (t) = −dQint

dt(1.4)

Nella teoria delle reti elettriche si assume l’ipotesi restrittiva che la totale corrente uscente daogni componente sia nulla in ogni istante in ogni regime (purchè quasi stazionario). Ognicomponente della rete deve quindi poter essere circondato da una superficie chiusa ∂τ in cuivalga:

iusctot (t) =

n∑

k=1

iusck (t) = 0 ∀t (1.5)

Se tale superficie non esiste, l’oggetto non può far parte della rete elettrica. Ad esempio, unasingola armatura di un condensatore non può far parte, da sola, di una rete elettrica, dato cheesiste una corrente non nulla entrante attraverso il morsetto del condensatore (fig. 1.3 a). Ilcondensatore completo, formato dalle due armature, invece può far parte di una rete, dato che lecorrenti ai due morsetti i1 e i2 sono eguali (fig. 1.3 b).

i1 i1

i2

∂τ

a) b)

Figura 1.3: Condensatore. La parte entro la linea tratteggiata ∂τ : a) non può far parte di una reteelettrica, b) può far parte della rete.


Infine, si osserva che, quando si assume un riferimento uscente in alcuni dei morsetti e ilriferimento opposto per i rimanenti, nella (1.5) riferimenti opposti devono corrispondere a segniopposti davanti agli addendi:

iusctot (t) =∑

k

iusck (t)−∑

k

ientrk (t) = 0 ∀t (1.6)

1.3.3 L’amperometro

Nella teoria delle reti elettriche si considera uno strumento per la misura della corrente elettricalungo una connessione filiforme, detto amperometro, che è la schematizzazione di uno strumentodi misura reale. Tale strumento è dotato di due morsetti e può essere collegato direttamente a unmorsetto di un componente della rete oppure può essere posto lungo una delle sue connessionifiliformi. Poiché, per definire la corrente elettrica, si devono specificare la superficie attraversatadalle cariche e la sua orientazione, avremo:

• La posizione dello strumento lungo una connessione corrisponde alla posizione dellasuperficie di controllo, cioè la superficie attraversata dalle cariche.

• Per fissare l’orientamento della superficie si orienta lo strumento marchiando con il se-gno positivo (+) il morsetto da cui si contano positivamente le cariche positive entrantinello strumento, ed eventualmente con il segno negativo (−) l’altro morsetto. In tal mo-do, l’orientazione della superficie corrisponde al versore che va dal morsetto positivoal negativo (fig. 1.4). Strumenti montati con i morsetti invertiti corrispondono a correntimisurate con riferimenti opposti, quindi di segno opposto.

+

Morsetto d’ingresso

Amperometro

Morsetto d’uscita

Superficie di controllo

Versore di orientamento

Corrente misurata

Figura 1.4: Amperometro: vista dello strumento, delle sue connessioni e morsetti, ecorrispondenti versore di riferimento e superficie di controllo.

In alcuni strumenti il morsetto positivo non viene marchiato. Lo strumento è allora dotatodi due cavi di collegamento di colore diverso: il cavo rosso corrisponde al morsetto positivo, ilnero al negativo.

Salvo diverse indicazioni, nel seguito si supporrà che:

• Lo strumento fornisca il valore istantaneo di corrente attraverso la superficie di controllo,i(t).

1.4. POTENZIALE ELETTRICO E TENSIONE ELETTRICA 7

• Lo strumento non influisca sul comportamento della rete, limitandosi quindi alla sola mi-sura della corrente. Perchè tale proprietà sia verificata, è necessario che lo strumentoverifichi le caratteristiche descritte più avanti, in sezione 1.8.

1.4 Potenziale elettrico e tensione elettrica

1.4.1 Potenziale elettrico

Per poter dire che in una rete elettrica la geometria delle connessioni è ininfluente, oltre adassumere che esse abbiano resistenza trascurabile, è necessario che l’eventuale forza elettricache agisce lungo le connessioni sia conservativa nello spazio tra i componenti della rete: in talmodo il suo effetto (esprimibile mediante il lavoro che essa svolge sulle cariche in movimentotra un morsetto e l’altro) dipende solo dai punti di arrivo e di partenza, corrispondenti ai morsettidei componenti (figura 1.5).

Chiaramente, poiché si suppone che le connessioni siano di resistenza trascurabile, tale la-voro sarà sempre nullo lungo le connessioni filiformi, ma potrà essere non nullo considerandopercorsi nello spazio tra coppie di morsetti non collegati, quindi non lungo le connessioni dellarete.

Nella teoria delle reti elettriche si ammette che la forza elettrica specifica sia ovunque esempre conservativa nello spazio esterno alle superfici ∂τk che delimitano i componenti dellarete. Eventuali forze non conservative sono perciò presenti solo all’interno delle singole superfici∂τk. Se tale superficie non esiste per uno degli oggetti, l’oggetto non può far parte di una reteelettrica.

1

2

3

5

4

6

Γ1

Γ2

Figura 1.5: Se la forza elettrica è conservativa il lavoro lungo le connessioni Γ1 e Γ2 ha lo stessovalore (nullo), qualunque sia la geometria delle due connessioni tra gli stessi morsetti.

Ad esempio, quale superficie esterna ∂τ di un avvolgimento che genera un campo magneti-co, considerato come componente di una rete elettrica, si dovrà considerare una superficie suffi-cientemente lontana dall’avvolgimento, per far sı̀ che il flusso di induzione magnetica generatoall’interno dell’avvolgimento si richiuda per la massima parte dentro a ∂τ , lasciando all’esternodi questa superficie una parte assolutamente trascurabile (figura 1.6).


τ

Figura 1.6: Avvolgimento percorso da corrente, linee del vettore induzione magnetica e possibilesuperficie ∂τ del componente della rete.

Come secondo esempio, quale superficie esterna ∂τ che delimita una batteria, si potrà con-siderare il suo involucro esterno, dato che esso racchiude tutte le sostanze tra le quali avvengonole reazioni chimiche che danno origine alla f.e.m..

In elettrotecnica viene definito il vettore forza elettrica specifica come forza per unità dicarica, pari al quoziente tra la forza che agisce su una particella dotata di carica infinitesima ela carica stessa. Tale grandezza ha le dimensioni di (V/m). Quando la forza elettrica è con-servativa, si dimostra che la forza elettrica specifica corrispondente si riduce al campo elettricocoulombiano.

In tali condizioni, esiste un potenziale elettrico V (definito a meno di una costante additiva)che permette di esprimere il lavoro svolto dal vettore campo elettrico Ec, lungo una qualsiasilinea orientata Γ dello spazio, di estremi A (iniziale) e B (finale), come differenza di potenziale.Tale lavoro è chiamato il lavoro elettrico specifico Lsp e ha le dimensioni di (J/C)=(V):

LspAB,Γ =B∫

A,Γ

Ec · ut dl = ∆VAB = V (A)− V (B) (1.7)

Si noti che, nella differenza di potenziale, il potenziale viene preso con il suo segno per ilpunto di partenza (A) e con il segno opposto per il punto d’arrivo (B). Questo indipendentementedal valore del potenziale stesso, che può essere sia positivo che negativo. Si noti anche che,quando si considera la differenza ∆V , il primo pedice corrisponde al punto di partenza e ilsecondo al punto di arrivo.

Il potenziale, assieme al campo coulombiano, è definito in ogni punto dello spazio, nonsolo all’esterno delle superfici ∂τk. Il campo coulombiano agisce dunque anche all’interno deisingoli componenti della rete e, come vedremo più avanti, è responsabile del trasferimento dipotenza elettrica da un componente all’altro.

Nella teoria delle reti elettriche, essendo per ipotesi possibile solo una descrizione topologicae non geometrica della rete, non è possibile conoscere il valore del potenziale e del campoelettrico in un punto qualsiasi dello spazio. È possibile solamente conoscere il potenziale deimorsetti dei componenti ma, come vedremo, tale informazione è sufficiente per studiare la rete.

1.4. POTENZIALE ELETTRICO E TENSIONE ELETTRICA 9

1.4.2 Tensione elettrica

In elettrotecnica viene anche introdotto il concetto di tensione uAB , definita come il lavoro elet-trico specifico Lsp lungo una linea Γ orientata dello spazio, di estremi A (iniziale) e B (finale),svolto da tutte le forze elettriche specifiche. In generale la tensione non considera allora soloil contributo del campo coulombiano, ma tiene conto anche delle altre forze elettriche originatedai fenomeni magnetici, di natura non conservativa. Proprio per questo, in generale, la tensionedipende la percorso Γ. Nella teoria delle reti elettriche, l’ipotesi di conservatività della forzaelettrica nello spazio tra i componenti fa sı̀ che la tensione coincida con la differenza di poten-ziale, per cui non è più necessario specificare il percorso lungo il quale essa viene misurata,purchè sia tutto esterno ai componenti:

uAB = ∆VAB = V (A)− V (B) (1.8)

Il verso di percorrenza lungo la linea può essere espresso come sopra scritto, mediante i duepedici, di cui il primo corrisponde al punto iniziale e l’altro l punto finale, oppure marchiando ilpunto iniziale con un morsetto positivo e l’altro negativo (Fig. 1.7).

AB

UAB

+-

Figura 1.7: Riferimenti per la tensione tra due morsetti mediante due pedici o mediante morsettipositivo e negativo.

1.4.3 Il voltmetro

Nella teoria delle reti elettriche si fa uso di uno strumento per la misura della tensione elettricalungo una linea, detto voltmetro, che è la schematizzazione di uno strumento di misura reale.Tale strumento è dotato di due fili di connessione (cordoni), che vanno disposti lungo la linea Γdello spazio lungo la quale si vuole misurare la tensione1 Poichè la linea dello spazio è orientata,è necessario fissare l’orientamento dello strumento, marchiando con il segno positivo il morsettodello strumento collegato, mediante il cordone, al punto di partenza della linea, ed eventualmentecon il segno negativo l’altro morsetto.

1I cordoni del voltmetro fanno perciò parte dello strumento, a differenza dell’amperometro. In generale, quandoè presente una forza elettrica non conservativa, modificando la giacitura dei cordoni del voltmetro cambia la suaindicazione.


Per questo, strumenti montati con i morsetti invertiti, anche se i loro cordoni giaccionolungo la stessa linea, corrispondono a tensioni misurate con riferimenti opposti, quindi di segnoopposto.

+

Morsetto iniziale

Cordone d’ingresso

Strumento

Cordone d’uscita

Morsetto finale

Linea orientata Γ

A)

+

12

3 4 5

6

7

8

9

1011

u1-6

B)

Figura 1.8: A): Voltmetro: vista dello strumento, delle sue connessioni e morsetti. B): strumentoinserito tra due morsetti di una rete elettrica: la sua indicazione è pari alla tensione u1−6 e nondipende dalla giacitura dei cordoni, purchè esterna ai componenti. Si ricorda che i cordoni delvoltmetro non sono connessioni della rete.

In alcuni strumenti il morsetto positivo non viene marchiato. Lo strumento è allora dotatodi due cavi di collegamento di colore diverso: il cavo rosso corrisponde al cordone collegato alpunto d’inizio della linea, quindi al morsetto positivo, il nero al cordone collegato al punto finaledella linea, quindi al negativo.

Come sopra descritto, nella teoria delle reti elettriche la tensione tra due punti non dipendedal percorso, quindi non dipende dalla giacitura dei cordoni del voltmetro, ma solo dai morsettiai quali il voltmetro è collegato (figura 1.8). Si richiama l’attenzione sul fatto che i cordonidel voltmetro non sono connessioni filiformi tra i componenti della rete, essi servono solo perprelevare la grandezza da misurare.

Salvo diverse indicazioni, nel seguito si supporrà che, anche nel caso del voltmetro:

• Lo strumento fornisca il valore istantaneo di tensione tra i morsetti positivo e negativou(t).

• Lo strumento non influisca sul comportamento della rete, limitandosi quindi alla sola mi-sura della tensione. Perchè tale proprietà sia verificata, è necessario che lo strumentoverifichi le caratteristiche descritte più avanti, in sezione 1.8.

1.5 Proprietà e definizioni generali per i componenti di una reteelettrica

Riassumiamo ora le due proprietà, già viste, che devono essere soddisfatte dai componenti diuna rete elettrica, e aggiungiamo ulteriori definizioni e proprietà generali dei componenti di unarete elettrica.

1.5. PROPRIETÀ E DEFINIZIONI GENERALI PER I COMPONENTI DI UNA RETE ELETTRICA11

Ogni componente della rete elettrica può essere circondato da una superficie chiusa ∂τk taleche:

• il componente è dotato di un numero finito n di morsetti o poli in corrispondenza dei qualisono presenti correnti entranti o uscenti dal componente. La totale corrente uscente da∂τk è nulla in ogni istante e in ogni regime per ogni componente.

• la forza elettrica specifica è conservativa nello spazio esterno alle superfici ∂τk per cuiesiste un potenziale scalare il cui valore è assegnato per ogni morsetto di ogni componente.Le tensioni tra i morsetti della rete sono pari a differenze di potenziale.

A queste aggiungiamo il fatto che il comportamento dei componenti (ovvero le relazioni tratensioni e correnti ai morsetti) non deve essere influenzato dalle proprietà e dalla geometria deimateriali presenti all’esterno dei componenti stessi2.

Il generico componente della rete, dotato di n morsetti, è detto n-polo. Il caso più semplicedi n-polo è dato dal bipolo, in cui sono presenti due soli morsetti (figura 1.9 A). Tra i bipoli sianticipano poi il cortocircuito e il lato aperto. Il primo rappresenta un componente caratteriz-zato da tensione ai morsetti trascurabile (idealmente nulla) per qualunque valore di corrente, eviene rappresentato come una semplice connessione filiforme tra i due morsetti (figura 1.9 B).Il secondo invece rappresenta un componente che assorbe una corrente trascurabile (idealmentenulla) per ogni tensione presente ai suoi morsetti e viene rappresentato come una connessionefiliforme interrotta (figura 1.9 C).

Un altro n-polo importante è il nodo, definito come un n-polo i cui nmorsetti sono tutti sem-pre equipotenziali (figura 1.9 D). Nella maggior parte dei casi un nodo rappresenta un morsettoa cui sono collegati due o più collegamenti filiformi.

Consideriamo ora l’m-bipolo, che è un n-polo in cui gli n morsetti sono raggruppati in mcoppie (quindi n = 2m), dette porte elettriche, che verificano ognuna queste proprietà (figura1.9 E):

• fissato, per i due morsetti della porta, un comune riferimento per le correnti (ad esempioentrante), è nulla in ogni istante la corrente totale, pari alla somma delle due correnti aimorsetti.

• il comportamento elettrico del componente deve dipendere solo dalle tensioni esistenti trale coppie dei morsetti che formano le porte (tensioni di porta), mentre non si considerano,e non sono influenti, le tensioni eventualmente esistenti tra morsetti di porte diverse.

Si noti che quest’ultima condizione non sempre è una caratteristica intrinseca del componen-te, talvolta può essere imposta dalla struttura delle connessioni esistenti tra l’n-polo e gli altricomponenti della rete.

Dato un n-polo, esso può sempre essere pensato come un (n−1)-bipolo, ottenuto dall’n-poloconsiderando un morsetto come morsetto comune a tutte le porte, come illustrato in fig. 1.10.La corrente uscente dal morsetto comune (3) è infatti pari alla somma delle correnti entranti

2Ad esempio, considerando quale componente un avvolgimento in aria, se esso viene posto in vicinanza di unamassa ferromagnetica, l’effetto di deviazione delle linee del campo magnetico generato dall’avvolgimento deveessere trascurabile, cosı̀ da non alterare sensibilmente le proprietà elettriche del componente.


I1

I1'=I1

U1

+

-

A)

K K'I =I k' k

I k

D) E)

I1U1=0

+

-

B)

U1

+

-

C)

I1=0

Figura 1.9: A): Bipolo. Si noti la tensione U1 tra i due morsetti. B) Cortocircuito ideale. C) Latoaperto. D) Nodo a cui convergono più connessioni filiformi. E) m-bipolo, in cui è evidenziatala porta k-esima.

nei rimanenti morsetti. È inoltre possibile riferire i potenziali dei nodi 1 e 2 rispetto al nodo 3,considerando quindi le due porte 1-1’ e 2-2’.

1.6 Potenza elettrica scambiata in regime stazionario

1.6.1 Potenza elettrica scambiata da un n-polo

La trattazione seguente vale a rigore solamente in regime stazionario. Si ricorda che, in unarete elettrica, è dovunque presente la forza elettrica specifica, mentre solo all’interno degli n-poli potrà essere presente una forza non conservativa. Si consideri ora un n-polo, di cui ∂τ è lasuperficie esterna di confine, sulla quale si trovano gli nmorsetti. Il lavoro elettrico specifico cheil campo coulombiano subisce all’esterno dell’n-polo (comprendendo in questa regione tutto lospazio in cui si svolge il percorso delle linee di corrente, compresi anche gli altri n-poli dellarete), è pari al lavoro elettrico che esso svolge all’interno. Infatti il campo elettrico coulombianosvolge un lavoro globalmente nullo lungo una linea chiusa, qual è una linea di corrente in regimestazionario. Si può perciò calcolare il lavoro elettrico infinitesimo svolto dal campo coulombianoall’interno dell’n-polo (e perciò assorbito dall’n-polo) immaginando di portare, a partire da unpunto generico P esterno agli n-poli, un insieme di n cariche infinitesime qk agli n morsetti. La

1.6. POTENZA ELETTRICA SCAMBIATA IN REGIME STAZIONARIO 13

1

2

3

1

1'2

2'

A) B)

Figura 1.10: n-polo ed (n − 1)-bipolo equivalente. I morsetti 1’ e 2’ sono stati riportati perevidenziare le tensioni di porta equivalenti.

somma totale di queste cariche deve essere zero, per rispettare le proprietà dell’n-polo. Il lavoroelettrico infinitesimo Lass assorbito dall’n-polo vale:

Lass = −n∑

k=1

[VP − Vk] qk,

dove VP e Vk sono i potenziali rispettivamente del punto P e del k-esimo morsetto. Poiché∑nk=1 qk = 0, si ricava che:

Lass =n∑

k=1

Vkqk (1.9)

Per passare ora dal lavoro elettrico infinitesimo alla potenza assorbita Pass, dividiamo illavoro elettrico per il tempuscolo dt in cui si suppone sia avvenuto lo spostamento delle cariche.Si ricava infine:

Pass =

n∑

k=1

VkIk, (1.10)

dove Ik = dqk/dt sono le correnti entranti nell’n-polo.Si mettono in evidenza i seguenti aspetti:

• Per calcolare la potenza assorbita, nella (1.10) la corrente ai morsetti è stata considerataentrante, poiché le cariche sono state portate ai morsetti dell’n-polo dall’esterno. Se lacorrente viene considerata uscente, con la (1.10) si ottiene la potenza erogata dall’n-polo.Questo cambiamento equivale infatti ad avere cambiato il riferimento per il calcolo dellavoro delle forze elettriche.

• Il potenziale del punto P assunto come sorgente delle cariche è ininfluente, cosı̀ come ipotenziali Vk possono essere determinati a meno di una comune costante additiva. Infatti


se, al posto del generico potenziale Vk, si considerasse un potenziale Vk + V0, con V0uguale per tutti gli n morsetti, si otterrebbe:

Pass =n∑

k=1

(Vk + V0) Ik =n∑

k=1

VkIk + V0

n∑

k=1

Ik

In quest’espressione l’ultima sommatoria è evidentemente nulla.

1.6.2 Potenza elettrica scambiata da un m-bipolo

Per calcolare la potenza assorbita da un m-bipolo, si utilizza la (1.10), in cui viene messo inevidenza il contributo di entrambi i morsetti di ogni porta (figura 1.11):

Pass =

m∑

k=1

(VkIk + Vk′Ik′)

In questa formula viene sommato il contributo di tutte le porte e in essa si è assunto per Ik eIk′ il riferimento entrante, cosicché, per la k-esima porta si ha Ik + Ik′ = 0. Quindi:

Pass =m∑

k=1

(Vk − Vk′) Ik =m∑

k=1

UkIk, (1.11)

dove Uk = ∆Vkk′ = Vk − Vk′ è la tensione ai morsetti della porta k-esima, misurata a partiredal morsetto di ingresso per la corrente.

Ikk

k'

ingressoporta k-esima

uscitaporta k-esima

I =-Ik' k

Figura 1.11: Morsetti e correnti nella porta elettrica generica.

La totale potenza scambiata da un m-bipolo è quindi pari alla somma delle potenze scam-biate dalle sue m porte. Se, nella (1.11), si inverte il riferimento delle sole correnti o delle soletensioni, ragionando come già fatto a proposito dell’n-polo, si ottiene la potenza erogata. Lapotenza scambiata da un n-polo può essere calcolata anche usando la (1.11), considerando cheun n-polo è equivalente ad un (n− 1)-bipolo. Supponiamo infatti di considerare il morsetto n-esimo dell’n-polo come il morsetto comune a tutte le n−1 porte dell’(n−1)-bipolo equivalente.Si ha allora In = −

∑n−1k=1 Ik, da cui:

1.7. CONVENZIONI PER TENSIONI E CORRENTI 15

Pass =

n−1∑

k=1

(Vk − Vn) Ik =n−1∑

k=1

VkIk −n−1∑

k=1

VnIk =

n∑

k=1

VkIk,

ovvero la (1.10).

1.7 Convenzioni per tensioni e correnti

Nelle due sezioni precedenti si è parlato di potenza scambiata, mettendo in evidenza come, aseconda del riferimento di tensione e corrente, essa possa essere intesa come assorbita o erogata(indipendentemente dal segno risultante dal calcolo). Nella teoria delle reti elettriche si stabili-scono perciò due convenzioni, che fissano l’orientazione mutua del potenziale del morsetto (odella tensione di porta) e della corrente. Si noti che è possibile, per una porta elettrica, cambiaresimultaneamente i riferimenti di tensione e di corrente, senza che la potenza scambiata dallaporta cambi. Cambiano infatti di segno entrambi i fattori del prodotto.

1.7.1 Convenzione dell’utilizzatore

Quando si adotta la convenzione dell’utilizzatore, la potenza assorbita Pass è positiva quando ilcomponente o la porta sta fisicamente assorbendo potenza.

• Nel caso degli n-poli la convenzione prevede allora che tutti i riferimenti di corrente pergli n morsetti siano entranti (figura 1.12 A), e la potenza assorbita viene espressa ancoracon la (1.10).

• Nel caso della porta k-esima di un m-bipolo, il riferimento della corrente dovrà essereentrante in corrispondenza del morsetto assunto come punto di inizio per il calcolo dellatensione (e, quindi, marcato con il segno +) (figura 1.12 B), e la potenza assorbita dallaporta viene espressa ancora con la (1.11).

1

2

3

I1

2I

3I

A) B)Ik

k

k'

+

-

kU

Figura 1.12: Convenzione dell’utilizzatore: A) per gli n-poli, B) per un porta di un m-bipolo


1.7.2 Convenzione del generatore

Quando si adotta la convenzione del generatore, la potenza erogata Perog è positiva quando ilcomponente o la porta sta fisicamente erogando potenza al resto della rete.

• Nel caso degli n-poli la convenzione prevede allora che tutti i riferimenti di corrente pergli n morsetti siano uscenti (figura 1.13 A), e la potenza erogata viene espressa come la(1.10).

• Nel caso della porta k-esima di un m-bipolo, il riferimento della corrente dovrà essereuscente in corrispondenza del morsetto assunto come punto di inizio per il calcolo dellatensione (e, quindi, marcato con il segno +) (figura 1.13 B), e la potenza erogata dallaporta viene espressa come la (1.11).

1

2

3

I1

2I

3I

A) B)Ik

k

k'

+

-

kU

Figura 1.13: Convenzione del generatore: A) per gli n-poli, B) per un porta di un m-bipolo

Nel caso degli m-bipoli è possibile adottare una convenzione per alcune porte, e l’altra perle porte rimanenti. Di questo si deve tenere conto quando si calcola la totale potenza scambiatacome somma delle potenze delle singole porte.

Si osserva infine che, poiché il resistore è solamente in grado di trasformare lavoro elettricoin calore, esso avrà sempre una potenza assorbita positiva. Assumendo invece la convenzionedel generatore, la potenza scambiata sarà negativa.

1.7.3 Il wattmetro

Nella teoria delle reti elettriche si fa uso di uno strumento per la misura della potenza scambiatada una porta elettrica, detto wattmetro, che è la schematizzazione di uno strumento di misurareale.

Data una porta, una volta fissata la sua convenzione e assegnati coerentemente ad essa i valoridi tensione U e corrente I, si è visto che la potenza scambiata è pari a P = UI. Lo strumentoche la misura, quindi, deve misurare simultaneamente sia la corrente che la tensione, e pertantodeve possedere alcune caratteristiche sia dell’amperometro, per quanto riguarda la misura dellacorrente, che del voltmetro, per quanto riguarda la tensione. In generale, lo strumento dovràpossedere quattro morsetti, a cui saranno collegati:

• due fili di connessione voltmetrica (cordoni) per la misura della tensione, che vannodisposti lungo la linea orientata Γ dello spazio lungo la quale si vuole misurare la tensione.

1.7. CONVENZIONI PER TENSIONI E CORRENTI 17

• due fili di connessione amperometrica (cordoni) per la misura della corrente, che vannodisposti in modo da essere attraversati dalla corrente.

L’orientamento dello strumento è quindi definito una volta orientate entrambe le connessioni:

• Per la misura della corrente si marchia con il segno positivo (+) il morsetto dello strumen-to collegato da cui si contano positivamente le cariche positive entranti nello strumento,ed eventualmente con il segno negativo (−) l’altro morsetto. Si rinvia all’amperometroper i dettagli relativi a queste connessioni (sezione 1.3.3, pag. 6).

• Per la misura della tensione si marchia con il segno positivo il morsetto dello strumentocollegato, mediante il cordone, al punto di partenza della linea Γ, ed eventualmente conil segno negativo l’altro morsetto. Si rinvia al voltmetro per i dettagli relativi a questeconnessioni (sezione 1.4.3, pag. 9).

Anche nel caso del wattmetro, i cordoni voltmetrici fanno parte dello strumento. In generale,quando è presente una forza elettrica non conservativa, modificando la loro giacitura cambial’indicazione dello strumento. In teoria delle reti elettriche la tensione dipende solo dai puntiiniziale e finale della linea e dal suo orientamento, non dalla sua forma. Basterà quindi speci-ficare a quali morsetti vanno collegati i cordoni voltmetrici, specificando a quale va collegatoquello positivo (Fig. 1.14) Si osserva infine che, essendo la potenza pari al prodotto di tensione

+

Linea orientata Γ

Connessioni amperometriche

Connessioni voltmetriche

+

Corrente

Figura 1.14: Wattmetro: vista generica dello strumento, delle sue connessioni e morsetti.

per corrente, quando si scambiano tra loro i due morsetti delle connessioni voltmetriche, o quellidelle connessioni amperometriche, a parità di geometria, l’indicazione dello strumento cambiadi segno. Essa invece non cambia se vengono invertite simultaneamente sia le connessioni am-perometriche che voltmetriche. In Fig. 1.15 vengono riassunte le quattro possibili combinazionidi connessioni per misurare la potenza assorbita ed erogata

Salvo diverse indicazioni, nel seguito si supporrà che, anche nel caso del wattmetro:

• Lo strumento fornisca il valore istantaneo di potenza scambiata dalla porta p(t) = u(t) ·i(t).

• Lo strumento non influisca sul comportamento della rete, limitandosi quindi alla sola mi-sura simultanea della tensione e corrente. Perchè tale proprietà sia verificata, è necessarioche lo strumento verifichi le caratteristiche descritte nella sezione seguente.


++

u i+

-

P=u.i=Pass

A)

++

u i

+

-

P=u.i=Perog

B)

++

u i

+

-

P=u.i=Perog

C)

+

+

u i

+

-

P=u.i=Pass

D)

connessioni voltmetriche connessioni amperometriche

Figura 1.15: Effetto dell’orientazione delle connessioni del wattmetro: A-B): strumento chemisura la potenza assorbita da una porta. D-E) strumento che misura la potenza erogata da unaporta.

1.8 Strumenti di misura ideali

Siamo ora in grado di esprimere le condizioni perchè uno strumento di misura non perturbi larete in cui è inserito. Il principio fondamentale è che lo strumento non deve assorbire alcunapotenza, pertanto:

• Considerando l’amperometro come un bipolo, ed essendo in generale non nulla la correnteche lo attraversa, dovrà essere nulla la tensione ai suoi morsetti. Nella rete l’amperometroè quindi rappresentabile come un cortocircuito, ovvero un bipolo che ha tensione nulla aisuoi morsetti per qualunque corrente.

• Considerando il voltmetro come un bipolo, ed essendo in generale non nulla la tensioneai suoi morsetti, dovrà essere nulla la corrente che lo attraversa. Nella rete il voltmetroè quindi rappresentabile come un lato aperto, ovvero un bipolo che ha corrente nulla aisuoi morsetti per qualunque tensione.

• Considerando il wattmetro, essendo in generale non nulla la tensione lungo le connessio-ni voltmetriche, dovrà essere nulla la corrispondente corrente lungo queste. Dualmente,essendo in generale non nulla la corrente che attraversa lo strumento mediante le con-nessioni amperometriche, dovrà essere nulla la corrispondente tensione. Nella rete, perquanto riguarda le connessioni voltmetriche, il wattmetro è quindi rappresentabile co-me un lato aperto mentre, per quanto riguarda le connessioni amperometriche, esso èrappresentabile come un cortocircuito.

1.8. STRUMENTI DI MISURA IDEALI 19

Gli strumenti reali sono caratterizzati da un comportamento più o meno prossimo a quanto soprascritto. In particolare, un amperometro reale sarà caratterizzato da una, sia pur piccola, tensioneai morsetti, cosı̀ come un voltmetro assorbirà una sia pur piccola corrente. Nelle reti elettrichegli strumenti di misura reali vengono allora rappresentati mediante circuiti equivalenti compostida strumenti ideali e resistori.

Capitolo 2

Principi di Kirchhoff

2.1 Definizioni preliminari

Le ipotesi di base relative alle reti di n-poli a parametri concentrati possono essere espresse inmodo alternativo mediante i cosiddetti Principi di Kirchhoff. Prima di enunciarli è però neces-sario dare alcune definizioni. D’ora in poi useremo il termine lati della rete intendendo le sueconnessioni filiformi, oppure bipoli completi delle loro due connessioni con altri nodi della rete.

Una rete si dice connessa se, per ogni coppia di n-poli che la compongono, esiste almeno unpercorso (che si svolga lungo i lati o all’interno degli n-poli), che li collega (figura 2.1).

A) B)

Figura 2.1: A): Rete connessa. B): Rete non connessa

Si definisce insieme di taglio un sottoinsieme I dei lati della rete tale che:

• la rimozione di questi lati dalla rete, rende questa non connessa;

• la riaggiunta alla rete, anche di un solo lato dell’insieme di taglio, rende la rete nuovamenteconnessa.

21

22 CAPITOLO 2. PRINCIPI DI KIRCHHOFF

Ogni insieme di taglio corrisponde ad una superficie chiusa che interseca tutti e soli i latidell’insieme di taglio. Fissando un orientamento per tale superficie (per esempio uscente), tutti ilati dell’insieme di taglio potranno ricevere un orientamento comune, come rappresentato nellafigura 2.2.

Nella figura sono evidenziati i lati di un insieme di taglio di una rete. Si noti che, per unadata rete, gli insiemi di taglio possono esser più d’uno, inoltre un certo lato può far parte di piùdi un insieme di taglio. Infine, l’insieme di taglio può essere formato da connessioni che nonfanno capo allo stesso n-polo. Un insieme di taglio è formato solo da lati, non dalla superficiechiusa che ad esso corrisponde, né dai componenti della rete eventualmente racchiusi in essa.

Σ

Figura 2.2: Un insieme di taglio di una rete (le connessioni che lo formano sono rappresentatein linea più spessa) e superficie Σ chiusa che interseca gli elementi dell’insieme di taglio. I latidell’insieme di taglio sono orientati concordemente con la direzione uscente da Σ.

Si definisce maglia di una rete elettrica un qualunque percorso chiuso e non intrecciato, chesi svolge all’esterno dei componenti della rete. Dal punto di vista pratico hanno interesse le solemaglie che toccano i morsetti dei componenti o i nodi della rete e si può direttamente definireuna maglia come un insieme M di lati che formano un percorso chiuso, non intrecciato, e sichiama lato della maglia un tratto della maglia compreso tra due morsetti o nodi. Affermare cheil percorso non è intrecciato implica che ad ogni nodo o morsetto della maglia facciano caposolo due lati della maglia stessa. Ad esempio, in figura 2.3 è messa in evidenza una maglia,formata dai lati compresi tra i morsetti/nodi A, B, C, D, A.

La linea chiusa può essere dotata di un’orientazione, corrispondente ad uno o all’altro versodi percorrenza. Si possono allora orientare tutti i lati della maglia, assumendo per essi un orien-tamento concorde con il verso di percorrenza della maglia. Ad esempio, alla maglia di figura èstato attribuito il verso di percorrenza antiorario.

Una maglia può essere formata da alcuni lati corrispondenti a componenti o porte della retee da tratti non corrispondenti al alcun lato/porta.

2.2. PRIMO PRINCIPIO DI KIRCHHOFF 23

A

B

C

D

Figura 2.3: Una maglia della rete (i suoi lati sono rappresentati con la linea tratteggiata).

Ogni maglia corrisponde ad una linea chiusa, essa identifica quindi una superficie di cuiessa è il contorno. Se questa superficie non è attraversata da alcuna connessione della rete(escludendo la possibilità che la connessione venga “sfilata” dalla superficie, deformandola, masenza la necessità di aprirla), si dice che la maglia non concatena alcun lato ed è detta anello(figura 2.4).

B)

A

B C

D

E

F

G

H

A)

A

B C

D

E

F

G

H

Figura 2.4: A) lato EF della maglia EFHGE concatenato con la maglia ABCDA, B) anelloABCDA, dal quale si possono sfilare verso il basso i lati EF e HG della maglia EFHGE senzadoverli aprire.

2.2 Primo principio di Kirchhoff

Il primo principio di Kirchhoff afferma che, fissato un comune riferimento per tutti i lati cheformano un insieme di taglio I (ad es. tutti uscenti dalla superficie chiusa che lo identifica), èin ogni istante nulla la totale corrente su di essi.

24 CAPITOLO 2. PRINCIPI DI KIRCHHOFF

La validità di tale principio consegue dalla definizione stessa di n-polo: la superficie chiusaΣ che corrisponde ad un insieme di taglio racchiude uno o più n-poli. Essa identifica quindi unn′-polo (dove n′ è il numero di lati che formano l’insieme di taglio I), formato da tutti gli n-poliracchiusi e dai collegamenti tra loro. Per questo n′-polo vale allora ancora la 1.5. Se i riferimentidi alcune correnti fossero discordi con quello fissato, si cambieranno di segno le corrispondenticorrenti:

∑

k∈I±ik (t) = 0 ∀t (2.1)

2.3 Secondo principio di Kirchhoff

Il secondo principio di Kirchhoff afferma che, fissato un comune verso di percorrenza per tuttii lati di un insiemeM che formano una maglia (ad es. concorde con un verso di percorrenzadella maglia), in ogni istante, è nulla la somma delle tensioni lungo i lati della maglia.

La validità di tale principio consegue dalla conservatività della forza elettrica specifica nellospazio esterno ai componenti della rete. Risulta inoltre chiaramente indifferente l’ordine in cui sisommano le tensioni lungo i vari lati. Se i riferimenti di alcuni lati fossero discordi con il versodi percorrenza della maglia, si cambieranno di segno le corrispondenti tensioni. Si scriveràdunque:

∑

k∈M±uk (t) = 0 ∀t (2.2)

Nell’esempio della figura 2.3, si scriverà uAB(t) + uBC(t) + uCD(t) + uDA(t) = 0 ∀t. Se,ad esempio, la tensione sul latoBC avesse un riferimento opposto a quello della maglia, si avrà:uAB(t)− uCB(t) + uCD(t) + uDA(t) = 0.

Se un lato della maglia corrisponde ad una connessione filiforme tra due morsetti, ad es-so corrisponde una tensione nulla. Se, invece, il lato corrisponde ad un bipolo o non segueconnessioni, potrà essere presente una tensione non nulla.

Capitolo 3

Bipoli

3.1 Introduzione

Nella parte precedente abbiamo accennato al generatore ed al resistore, che sono componenticaratterizzati da due morsetti, e quindi sono dei bipoli. Esaminiamo ora in modo più sistematicole proprietà dei bipoli.

Innanzitutto affermiamo che, in una rete elettrica, i bipoli sono una rappresentazione equiva-lente di componenti reali, in base ad un loro modello accettabile per il tipo di studio da condurre.Uno stesso componente può infatti essere rappresentato da bipoli di tipo diverso a seconda del-le sue condizioni di funzionamento e delle sue caratteristiche. Ad esempio, un avvolgimentofatto di materiale molto resistivo potrà essere semplicemente rappresentato come un resistoreequivalente, trascurando le sue proprietà induttive (legate cioè alla sua capacità di generare uncampo magnetico). Lo stesso oggetto, quando lavora in regime periodico ad alta frequenza, puòvedere le sue proprietà induttive prevalere decisamente su quelle resistive, al punto da rendereaccettabile la sua rappresentazione mediante un induttore ideale, di cui si trascura la resistenza.Non si confondano quindi i componenti reali di una rete elettrica, con la loro rappresentazionemediante bipoli, n-poli o m-bipoli equivalenti.

Un bipolo corrisponde ad una porta elettrica e le sue condizioni di funzionamento sonoquindi descritte dalla corrente i(t) e dalla tensione u(t) di porta ai due morsetti, le quali possonoessere specificate usando riferimenti indipendenti, da specificare in uno di questi modi:

• Specificando i riferimenti di tensione e corrente mediante i pedici (figura 3.1 a). Ad esem-pio, per un bipolo collegato ai morsetti A e B si possono avere la corrente iAB , il cuiriferimento va dal morsetto A al morsetto B, e la tensione uAB , misurata partendo dalmorsetto A ed arrivando al morsetto B, lungo un percorso esterno al bipolo.

• Specificando quale dei due sia il morsetto positivo, e specificando la convenzione adottata(generatore o utilizzatore, come descritto a pag. 15) (figura 3.1 b).

Alcuni componenti a due morsetti, da schematizzare mediante bipoli, non hanno affatto lostesso comportamento se montati con i morsetti invertiti. Si pensi ad esempio all’effetto delmontaggio invertito di una batteria in un’apparecchiatura. Risulta allora necessario evitare di

25

26 CAPITOLO 3. BIPOLI

A BiAB

uAB+ -

A Bi

u+ -

Figura 3.1: A) Bipolo per il quale si fissano i riferimenti di tensione e corrente mediante i pedici.B) Bipolo per il quale si fissano il morsetto positivo e la convenzione.

poter scambiare tra loro i morsetti e ciò può essere ottenuto, per i due modi sopra descritti, mar-cando in modo permanente i morsetti del componente reale o contrassegnando il suo morsettopositivo.

3.2 Bipoli in regime stazionario

In regime stazionario le condizioni di lavoro di un bipolo sono determinate unicamente dai valoridi tensione U e corrente I ai morsetti. A seconda del tipo di bipolo, la relazione tra U ed I puòassumere le forme più varie. Nel seguito si supporrà che essa sia esprimibile mediante unafunzione implicita:

f (U, I) = 0 (3.1)

A questa curva corrisponde una curva nel piano U − I detta caratteristica statica del bipolo. Aseconda della forma della sua caratteristica statica, un bipolo è detto:

• Affine, quando la caratteristica è una retta, passante o meno per l’origine (figura 3.2 a):

αU + βI + γ = 0,

dove α, β e γ sono opportune costanti. Se la retta passa per l’origine (γ = 0) si diceanche che il bipolo è lineare, e solo in tal caso ad una combinazione lineare delle tensioniapplicate corrisponde una combinazione lineare delle correnti, con gli stessi pesi. I bipoliaffini sono trattati in dettaglio in sez. 3.4, pag. 33.

• Simmetrico, quando la caratteristica è simmetrica rispetto all’origine (figura 3.2 b). Inquesto caso i morsetti del bipolo possono essere scambiati senza che cambi la caratteristicadel bipolo:

f (U, I) = 0 ⇒ f (−U,−I) = 0

• Inerte, quando la caratteristica passa per l’origine (figura 3.2 c):

f (0, 0) = 0

3.2. BIPOLI IN REGIME STAZIONARIO 27

• Passivo, quando, assumendo la convenzione dell’utilizzatore, in ogni punto della caratte-ristica assorbe una potenza Pass = UI ≥ 0 ∀U ∀I (figura 3.2 d). In caso contrario èdetto attivo (esisteranno allora dei punti della caratteristica in cui il bipolo eroga potenza).La curva caratteristica di un bipolo passivo si estende quindi solamente al primo e terzoquadrante. Se si estende su entrambi, il bipolo passivo è anche inerte.

• Controllato in tensione e/o in corrente, quando la caratteristica può essere resa funzioneesplicita della tensione o, rispettivamente della corrente (figura 3.2 E):

I = f (U) oppure U = f (I)

Se la curva caratteristica è una funzione invertibile, il bipolo è controllato sia in tensioneche in corrente.

• Comandato, quando la caratteristica del bipolo dipende anche da una grandezza indipen-dente x, che può anche essere una grandezza elettrica, ma se lo è, è diversa da U ed I(figura 3.2 F). Questi bipoli sono descritti da una funzione implicita f(U, I, x) = 0, rap-presentabile come una famiglia di curve, ciascuna delle quali corrisponde ad un valoredella grandezza di comando.

3.2.1 Esempi

1. Un generatore ideale di tensione è un bipolo affine, non simmetrico, controllato in corren-te. Con riferimento alla figura 3.3, in cui la tensione impressa E ha il morsetto positivo incorrispondenza del morsetto A, il componente è sede di una tensione uAB = ∆VAB = Eper qualunque valore di corrente IE . Se la tensione impressa E è non nulla, il bipolonon è inerte. La caratteristica del generatore è rettilinea (figura 3.5 A), ma in generalenon è simmetrica rispetto all’origine (lo è solo se E = 0). Inoltre la tensione impressa èuna funzione costante della corrente: E = E (I) = costante. Infine, poiché, per E 6= 0,esistono dei valori di I per i quali la potenza erogata è positiva, il bipolo è attivo. Il gene-ratore ideale di tensione, come caso particolare di un generatore affine, è esaminato anchein sez. 3.4, pag. 33.

2. Un cortocircuito ideale è governato dalla caratteristica U (I) = 0, è pertanto un bipoloaffine, simmetrico, inerte controllato in corrente (figura 3.5 B). Il cortocircuito ideale puòessere anche pensato come un generatore di tensione nulla.

3. Un generatore ideale di corrente ( fig. 3.4), definito per dualità rispetto al generatore dif.e.m. ideale, è un bipolo affine, non simmetrico, controllato in tensione secondo la leggeIAB = I (U) = J = costante, non inerte ed attivo (figura 3.5 C).

4. Un lato aperto è governato dalla caratteristica I (U) = 0, è pertanto un bipolo affine,simmetrico, inerte, controllato in tensione (figura 3.5 D). Il lato aperto può essere anchepensato come un generatore di corrente nulla.


I

Ubipoloaffine

bipololineare

I

UA) B)

I

U

inerte

noninerte

I

U

passivo

attivo

C) D)

I

U

controllatoincorrente

controllatointensione

I

UE) F)

bipolo simmetrico

bipolo comandato

Figura 3.2: Classificazione dei bipoli in base alla loro caratteristica statica.

5. Un transistor a giunzione (fig. 3.6) è in realtà un componente a tre morsetti: emettitore(E), base (B) e collettore (C). Esso può essere pensato anche come un bipolo comandatodi cui, ponendo U = UCE pari alla tensione tra collettore ed emettitore, ed I = IE lacorrente all’emettitore, si può tracciare una famiglia di curveU(I) al variare della correntedi base Ib, che è la grandezza di comando. Esistono due tipi di questo transistor: il tiponpn e il tipo pnp.

6. Un potenziometro (fig. 3.7) è un tripolo formato da un resistore AB con un contattointermedio C, la cui posizione può essere variata con continuità o a gradini tra i morsettiA e B. La posizione del contatto intermedio determina la ripartizione della totale resistenzaRp del potenziometro in due resistenze: RAC e RCB = Rp − RAC. Il potenziometro puòessere anche visto come un doppio bipolo con porte AB e CD, qualora la topologia dellarete sia tale che il funzionamento del componente solo dalle tension i di porta. e non dalletensioni tra le porte.

3.2. BIPOLI IN REGIME STAZIONARIO 29

A + −uABi

B A −+

EIE B A

+ −E

IE

B

(a) (b) (c)

Figura 3.3: (a) Generatore ideale di tensione per il quale si fissano il morsetto positivo e laconvenzione. (b) e (c) simboli grafici.

A + −uABi

B B−+UJ

J

A A + −UJ

J

B

(a) (b) (c)

Figura 3.4: (a) Generatore ideale di corrente per il quale si fissano il morsetto positivo e laconvenzione. (b) e (c) simboli grafici.

I

UE

I

UA) B)

I

U

J I

UC) D)

Figura 3.5: Curve caratteristiche: A) generatore ideale di f.e.m, B) lato cortocircuitato, C)generatore ideale di corrente, D) lato cortocircuitato.

B

C

E

B

C

E

Figura 3.6: Transistor a giunzione: a sinistra: npn, a destra: pnp.


B

A

C

B B

AC

Figura 3.7: Sinistra: potenziometro. Destra: rappresentazione equivalente come doppio bipolocon le porte AB e CD.

3.3. BIPOLI IN REGIME VARIABILE QUASI STAZIONARIO 31

3.3 Bipoli in regime variabile quasi stazionario

In regime variabile quasi stazionario il comportamento di un bipolo è descritto ancora dalla ten-sione e dalla corrente ai morsetti (dopo aver contrassegnato i morsetti ed assunto per entrambeun riferimento, come descritto a pag. 25), ma queste grandezze saranno in generale delle fun-zioni del tempo: u(t) ed i(t). Non risulta, di norma, più possibile tracciare una caratteristicaesterna f (u, i) = 0, perché il legame tra u ed i, ad un certo istante, non dipende solo dal valoreattuale di queste grandezze, ma anche dai valori assunti negli istanti precedenti o dalle derivatedelle grandezze rispetto al tempo. Di solito risulta possibile legare tensione e corrente medianteuna relazione differenziale avente ordine n nella tensione ed m nella corrente:

f

(u,

du

dt,

d2u

dt2, . . . ,

dnu

dtn, . . . , i,

di

dt,

d2i

dt2, . . . ,

dmi

dtm

)= 0 (3.2)

Quando n = m = 0, la relazione tensione-corrente non è più differenziale. In quest’ipotesi,se i parametri del bipolo (quali, ad esempio, la sua resistenza, la corrente impressa...) non cam-biano nel tempo, la 3.2 coincide con la caratteristica statica (3.1). Nel seguito si considererannosolo bipoli in cui la 3.2 è una relazione algebrica o un’equazione differenziale nella sola tensioneo nella sola corrente. Se n è l’ordine di questa equazione differenziale, il bipolo sarà detto diordine n.

Il fatto che un bipolo sia di ordine 1 è di solito indice che, all’interno del bipolo, avvieneuna conversione del lavoro elettrico in energia immagazzinata in modo reversibile, come si avràmodo di approfondire studiando i fenomeni capacitivi ed induttivi.

In regime variabile si dà inoltre una diversa definizione di bipolo passivo: è passivo unbipolo che non può mai erogare più lavoro elettrico di quanta sia l’energia immagazzinata inmodo reversibile al suo interno. Dato un bipolo passivo, potranno quindi esistere degli istanti incui esso assorbe potenza ed altri in cui esso la eroga. Il bilancio energetico in ogni intervallo ditempo sarà comunque tale che il lavoro elettrico erogato durante l’intervallo in esame non saràmai superiore all’energia immagazzinata nel bipolo all’inizio dell’intervallo.

3.3.1 Esempi

1. Un resistore in regime variabile è governato dall’equazione

u(t) = Ri(t), (3.3)

esso è dunque un bipolo di ordine zero, passivo (se R > 0), dato che esso non immagaz-zina energia in modo reversibile (la conversione in calore è irreversibile non essendo ilresistore in grado di trasformare il calore in lavoro elettrico).

2. Un condensatore in regime variabile è governato dall’equazione

iC(t) = CduC(t)

dt, (3.4)

esso è dunque un bipolo di ordine uno, passivo, dato che il condensatore non può erogarepiù lavoro elettrico, a partire da un certo istante, di quanta sia l’energia elettrostaticaWC =Cu2C(t)/2 che esso immagazzina in quell’istante.


3. Un induttore in regime variabile è governato dall’equazione

uL(t) = LdiL(t)

dt, (3.5)

esso è dunque un bipolo di ordine uno, passivo, dato che l’induttore non può erogare piùlavoro elettrico, a partire da un certo istante, di quanta sia l’energia magnetica WL =Li2L(t)/2 che esso immagazzina in quell’istante.

3.4. BIPOLI AFFINI 33

(a)

I

U

U0

Ic

(b)

I

U

U0

(c)

I

U

Ri = 0Ri

Figura 3.8: (a): caratteristica statica di un bipolo affine controllato in corrente. (b) famiglia dicaratteristiche ottenuta variando la tensione a vuoto U0 del bipolo. (c) famiglia di caratteristicheottenuta variando la resistenza interna Ri del bipolo.

3.4 Bipoli affini

Si esaminano ora in dettaglio i bipoli affini. Si consideri un bipolo affine secondo la convenzionedell’utilizzatore, caratterizzato dall’equazione:

f(U, I) = αU + βI + γ = 0.

Si considerano i seguenti casi:

• Se α è diverso da zero allora il bipolo può essere controllato in corrente, di conseguenzasi può scrivere:

U = −βαI − γ

α= RiI + U0,

dove U0 = −γ/α è la tensione a vuoto, ossia la tensione ai morsetti del bipolo quandola corrente che lo attraversa è nulla e Ri = −β/α è la resistenza interna del bipolo, parialla pendenza (positiva per un resistore reale con la convenzione dell’utilizzatore) dellaretta ottenuta tracciando la caratteristica statica U = f(I) (Fig. 3.8 (a)). Il punto diintersezione tra la caratteristica e l’asse delle correnti è la corrente di cortocircuito Ic,ovvero la corrente nel bipolo quando la tensione ai suoi morsetti è nulla.

Si analizza ora il comportamento della caratteristica al variare, individualmente, dei pa-rametri U0 ed Ri. Dalla Fig. 3.8 (b) si vede come, crescendo la tensione a vuoto lacaratteristica trasli verso l’alto rimanendo parallela a se stessa mentre, crescendo la re-sistenza interna (Fig. 3.8 (c)), si ottenga un fascio di rette di pendenza crescente, tuttepassanti per il punto di funzionamento a vuoto. Da questo grafico si osserva anche che,quando Ri è nulla, la retta è orizzontale, cioè U = U0 ∀I: tale caratteristica definisce ilgeneratore ideale di tensione già descritto in sez. 3.2.1.


(a)

I

U

Ic

U0

(b)

I

U

Ic

(c)

I

UGi = 0Gi = 0Gi = 0Gi = 0

Gi

Figura 3.9: Caratteristica statica di un bipolo affine controllato in tensione. (a) famigliadi caratteristiche ottenuta variando la corrente di cortocircuito J del bipolo. (b) famiglia dicaratteristiche ottenuta variando la conduttanza interna Gi del bipolo.

• in modo duale, se β è diverso da zero il bipolo può essere controllato in tensione e lacaratteristica puó essere esplicitata rispetto alla corrente I:

I = −αβU − γ

β= GiU + J,

dove J = −γ/β = Ic è la corrente di corto circuito e Gi = −α/β è la conduttanzainterna del bipolo.

Variando, come nel caso precedente, indipendentemente i parametri J e Gi, si ottengonole famiglie di grafici riportate in Fig. 3.9.

In Fig. 3.9 (a) si vede come, crescendo la corrente di cortocircuito, la caratteristica trasliverso destra rimanendo parallela a se stessa, mentre, crescendo la conduttanza interna(Fig. 3.9 (b)), si ottenga un fascio di rette di pendenza decrescente, tutte passanti per ilpunto di funzionamento in cortocircuito. Da questo grafico si osserva anche che, quandoGi è nulla, la retta è verticale, cioè I = J ∀U : tale caratteristica definisce il generatoreideale di corrente: tale componente è in grado di imporre alla sua porta una correntecostante qualunque sia il valore della tensione ai suoi morsetti.

Si richiama l’attenzione sulla dualità del comportamento nei due casi sopra descritti:

• la tensione a vuoto è la duale della corrente di cortocircuito;

• la resistenza interna è la duale della conduttanza interna.

3.4.1 Bipoli resistori lineari e non lineari

Per la loro importanza nelle reti elettriche si esaminano in dettaglio i bipoli resistori, sia linea-ri che non lineari. Il comportamento del resistore ideale può essere ricavato immediatamente


considerando un generatore affine di tensione (sez. 3.4) avente tensione a vuoto nulla o ungeneratore di corrente avente corrente a vuoto nulla.

+ −uRiR

−+uR

iR

Figura 3.10: Rappresentazione circuitale di un resistore lineare (sinistra) e non lineare (destra).Si è adottata la convenzione dell’utilizzatore.

I simboli circuitali di questo componente sono riportati in fig. 3.10 per i casi lineare e nonlineare. Nel caso lineare, assumendo la convenzione dell’utilizzatore, la legge di bipolo puòessere scritta nelle due forme duali, che corrispondono alla stessa curva caratteristica, riportatain Fig. 3.11.

u(t) = R i(t), i(t) = Gu(t) (3.6)

La curva è una retta con pendenza positiva se si usa la convenzione dell’utilizzatore. Passandoalla convenzione del generatore, si invertono una tra tensione e corrente, ottenendo rispettiva-mente u(t) = −R i(t), e i(t) = −Gu(t), corrispondenti a una retta con pendenza negativa,come rappresentato nella medesima figura.

I

U Utilizzatore

Generatore

Figura 3.11: Caratteristica statica di un resistore lineare con le convenzioni dell’utilizzatore edel generatore.

Nel caso non lineare si distinguono le due condizioni di lavoro a corrente o a tensione im-pressa. Quando il resistore viene provato a corrente impressa, com’è noto, viene misurata laresistenza in quanto rapporto tra la grandezza misurata e la grandezza impressa. Dualmente, sesi lavora a tensione impressa la grandezza misurata è la conduttanza. Nel primo caso la ten-sione ai morsetti del componente potrà essere espressa in funzione della corrente mediante unosviluppo in serie di Taylor:

U(I) = U(I0) +dU(I0)

dI(I − I0) +

d2U(I0)

dI2(I − I0)

2!+ . . . ,


dove I0 è il punto di lavoro del componente, rispetto al quale si considerano le variazioni dicorrente (I − I0). Se questa variazione di corrente è abbastanza piccola è di solito sufficientearrestare lo sviluppo in serie al primo termine considerando:

U(I)− U(I0) ≈dU(I0)

dI(I − I0) = Rd(I0) (I − I0) .

La grandezza Rd(I0) = dU/ dI è la resistenza differenziale, avente le dimensioni di Ohm. Conquesto modello si studiano quindi le piccole variazioni rispetto a un punto di lavoro del circuito.Tale tipo di analisi è frequente in elettronica, quando si studia il comportamento dinamico deicircuiti con transistor o altri dispositivi a semiconduttore, per i quali sia stato fissato un punto dilavoro.

La resistenza differenziale ha un semplice significato geometrico: è la pendenza della rettatangente alla curva caratteristica della tensione in funzione della corrente in corrispondenza delpunto di lavoro (Fig. 3.12).

I

U

I0

U(I0)

Figura 3.12: Resistore non lineare: tensione in funzione della corrente e retta tangente nel puntodi lavoro.

In modo duale si procede in caso di alimentazione del resistore a tensione impressa. Espri-mendo la corrente in funzione della tensione ed arrestando lo sviluppo in serie di Taylor al primotermine, si ricava:

I(U)− I(U0) ≈dI(U0)

dU(U − U0) = Gd(U0) (U − U0) .

La grandezza Gd(U0) = dI/ dU è la conduttanza differenziale, avente le dimensioni di Sie-mens.

3.4.2 Generatori affini

I generatori ideali introdotti al paragrafo precedente non sono in pratica realizzabili. La loroidealità è legata all’assenza di un resistenza interna nel caso del generatore di tensione o all’as-senza di una conduttanza interna nel caso del generatore di corrente. I generatori reali sonoinvece caratterizzati da valori non nulli, anche se molto piccoli, rispettivamente di resistenza e


(a)

I

U(b)

I

U

U=U0

U=-RiI

Figura 3.13: Carattersitica di un generatore affine di tensione come somma grafica delle tensionidi un generatore ideale e di un resistore.

conduttanza. Torna allora utile definire i generatori affini di tensione e corrente. Nella trattazioneche segue viene adottata la convenzione del generatore.

Generatore affine di tensione

Precedentemente (sez. 3.4, pag. 33) è stata ricavata l’equazione di un bipolo affine controllatoin corrente secondo la convenzione dell’utilizzatore: U = U0 + RiI . Invertendo il riferimentodella corrente si ottiene la legge del generatore affine di tensione:

U = U0 −RiI = E −RiI (3.7)Considerando ora la Fig. 3.13 (a) come rappresentativa della caratteristica di questo genera-

tore, si vede come la caratteristica del generatore affine di tensione può essere considerata comela somma grafica della tensione di un generatore ideale di tensione e quella di un resistore colle-gati in serie (quest’ultimo, con la convenzione del generatore, ha infatti come caratteristica unaretta con pendenza negativa, pari a −Ri): come si vedrà in seguito, infatti, la tensione ai capi diun collegamento in serie è pari alla somma delle tensioni dei componenti collegati in serie. Loschema circuitale equivalente di un generatore affine di tensione è riportato in fig. 3.14 (a).

Generatore affine di corrente

In modo duale rispetto al generatore affine di tensione, si vede come la caratteristica del ge-neratore affine di corrente può essere considerata come la somma grafica della corrente di ungeneratore ideale di corrente e quella di una conduttanza collegati in parallelo (quest’ultima, conla convenzione del generatore, ha infatti come caratteristica una retta con pendenza negativa,pari a −Gi): come si vedrà in seguito, infatti, la corrente ai capi di un collegamento in paralleloè pari alla somma delle correnti dei componenti collegati in parallelo. Si ottiene la legge delgeneratore affine di corrente:

I = Ic −GiU = J −GiU (3.8)Lo schema circuitale equivalente di un generatore affine di corrente è riportato in fig. 3.14 (b).


+

E Ri

I

U+ -

J

GiU+ -

I

(a) (b)

Figura 3.14: Schemi circuitali equivalenti: (a) di un generatore affine di tensione (b) di ungeneratore affine di corrente.

(a)

I

U(b)

I

U

I=Ic

I=-GiU

Figura 3.15: Carattersitica di un generatore affine di corrente come somma grafica delle correntidi un generatore ideale e di una conduttanza.


Trasformazione di un generatore affine di tensione in uno di corrente e viceversa

Quando il generatore affine di tensione ha una resistenza interna non nulla, dalla (3.7) si puòricavare la corrente in funzione della tensione:

I =E

Ri− URi

= J −GiU. (3.9)

In modo duale, quando il generatore affine di corrente ha una conduttanza interna non nulla,dalla (3.8) si può ricavare la corrente in funzione della tensione:

U =J

Gi− IGi

= E −RiI. (3.10)


l1

l2 l4 l14

l6l16 l17 l18

l7

l8

l9

l10

l11

l12

l13

l15

n1

n2

n3

n4

n5

n6

n7

n8

n9

n10n11n12

Figura 3.16: Bipoli in serie in una rete. I bipoli sono racchiusi nella regione grigia e presentanoorientamenti discordi. I nodi di estremità sono i nodi n2 e n8.

3.5 Connessioni tra bipoli

Esaminiamo in questa sezione due importanti modi di collegare tra loro i bipoli: il collegamentoin serie e il collegamento in parallelo. Come vedremo, in regime stazionario e quando le ca-ratteristiche dei componenti lo consentono, tali collegamenti possono essere rappresentati da ununico bipolo equivalente. Altri due importanti schemi di collegamento sono il collegamento astella e a triangolo, descritti in sez. 4.4.2, pag. 67.

3.5.1 Serie di bipoli

Due o più bipoli sono connessi in serie quando formano, assieme ai nodi ad essi collegati e allerelative connessioni, una sottorete che verifica tutte queste condizioni (fig. 3.16):

• la sottorete è connessa ed è collegata al resto della rete in corrispondenza dei due soli nodi;

• esiste una e una e una sola sequenza in cui tutti i nodi della sottorete possono essereincontrati una sola volta seguendo le connessioni.

Ne segue che che i due nodi di interfaccia con la rete (nodi di estremità) sono ciascuno collegatoa un bipolo della serie, mentre tutti gli altri nodi (interni alla serie) sono ciascuno collegato adue e solo due bipoli della serie. Esaminiamo ora in dettaglio la serie dei componenti dellafigura 3.16 scegliendo alcuni tipi di bipoli a titolo di esempio. In fig. 3.17 sono riportati iriferimenti per le correnti e le tensioni dei singoli bipoli. Costruiamo il bipolo equivalente, chesarà caratterizzato da una sua caratteristica statica f(Ueq, Ieq). Per questo fissiamo in modoarbitrario un riferimento per la corrente Ieq e la tensione Ueq (Fig. 3.17 (a)). La fig. 3.17 (b)mostra il bipolo equivalente. Osserviamo che alcuni bipoli potranno avere il riferimento dellacorrente e/o della tensione concorde e altri discorde con il riferimento assunto per la corrente delbipolo equivalente.

3.5. CONNESSIONI TRA BIPOLI 41

i1 i6i16 i17 i18n1

n2 n8n10n11n12

(a)

ieq

+ ueq -

+ u1 - + u16 - - u17 + + u18 - - u6 +(b)

ieq+ ueq -

Figura 3.17: Bipoli in serie. (a) riferimenti per le tensioni e le correnti dei singoli bipoli. (b)bipolo equivalente e suo riferimento.

• Quando il riferimento di corrente in un bipolo è discorde (ad es. per il bipolo 1), al postodella caratteristica statica f(U, I) = 0 si dovrà considerare la caratteristica f(U,−Ieq) = 0.Ciò si ottiene ribaltando la caratteristica statica rispetto all’asse delle ordinate.

• Quando il riferimento di tensione in un bipolo è discorde (ad es. per il bipolo 16), al postodella caratteristica statica f(U, I) = 0 si dovrà considerare la caratteristica f(−U, I) = 0.Ciò si ottiene ribaltando la caratteristica statica rispetto all’asse delle ascissa.

• Quando entrambi i riferimenti sono discordi (ad es. per il bipolo 6), al posto della caratte-ristica statica f(U, I) = 0 si dovrà considerare la caratteristica f(−U,−Ieq) = 0. Ciò siottiene ribaltando la caratteristica statica rispetto all’origine.

Consideriamo ad esempio la serie di fig. 3.17, in cui consideriamo presenti i com-ponenti come in fig. 3.18, tra i quali figura un diodo reale.

Ieq = −i1 = i16 = i17 = i18 = −i6Ueq = u1 + u16 − u17 + u18 − u6

Le caratteristiche statiche originali dei componenti in termini di correnti Ik e ten-sioni Uk sono riportate in Fig. 3.19. Per uniformare i riferimenti dei bipoli (fig.3.19) a quelli scelti per il bipolo equivalente (fig. 3.18) , avremo:

i1 i6i16 i17 i18n1

n2 n8n10n11n12

+ u1 -

E1+

+ u16 -

Ud+

- u17 +

E2 +

+ u18 -

R1

- u6 +

R2

ieq+ ueq -

Figura 3.18: Esempio di componenti in serie.


(a)

I

UR

R1

R2

(b)

I

Ud (c)

I

U

E1

E2

Figura 3.19: Caratteristiche statiche originali dei componenti in serie.

(a)

I

U

R1

R2

−Ud

E1

−E2

(b)

Ieq

Ueq

Figura 3.20: (a) caratteristiche statiche dei componenti in serie uniformate alla convenzionescelta per il bipolo equivalente; (b) caratteristica risultante

resistore R1: i riferimenti non vanno rovesciati;resistore R2: entrambi i riferimenti vanno rovesciati; essendo tuttavia il compo-

nente simmetrico, la caratteristica non cambia;

diodo: entrambi i riferimenti vanno rovesciati;generatore E1: va rovesciato il riferimento per la corrente; essendo tuttavia la

caratteristica simmetrica rispetto alla corrente, la caratteristica non cambia;

generatore E2: va rovesciato il riferimento per la tensione.

Le caratteristiche dei bipoli uniformate alla convenzione scelta sono riassunte in fig.3.20 (a), mentre la caratteristica risultante è riportata in fig. 3.20 (b).

3.5.2 Parallelo di bipoli

Due o più bipoli sono connessi in parallelo quando formano, assieme ai nodi ad essi collegati ealle relative connessioni, una sottorete che verifica tutte queste condizioni (fig. 3.16):

3.5. CONNESSIONI TRA BIPOLI 43

l1

l2 l4 l14

l6l16 l17 l18

l7

l8 l10 l12

l13

l15

n1

n2

n3

n4

n5

n6

n7

n8

n9

n10n11n12

n13n14

Figura 3.21: Bipoli in parallelo in una rete. I bipoli sono racchiusi nella regione grigia epresentano orientamenti discordi.

• la sottorete è connessa ed è collegata al resto della rete solo mediante due morsetti;• tutti i nodi della sottorete possono essere raggruppati in due insiemi distinti di nodi tra

loro equipotenziali;

• ciascuno dei due insiemi di nodi contiene un solo nodo di interfaccia col resto della rete.Ne segue che un insieme di lati in parallelo fa

Date post:	23-Oct-2020
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