Vektory a matice

Aplikovana matematika I

Dana Rıhova

Mendelu Brno

Obsah

1 Vektory

Zakladnı pojmy a operaceLinearnı zavislost a nezavislostvektoru

2 Matice

Zakladnı pojmy, druhy maticOperace s maticemiHodnost matice

Carl Friedrich Gauss

Vektory

Definice (vektor)

Necht’ n je pevne zvolene prirozene cıslo. Cıselnym vektorem ~a rozumımeusporadanou n-tici realnych cısel, znacıme

~a = (a1, a2, . . . , an).

Cısla a1, . . . , an se nazyvajı slozky (souradnice) vektoru ~a, prirozene cıslo n senazyva rozmer (dimenze) vektoru ~a.

Prıklad (vektor)

~a = (2,−1), ~b = (1,−5, 4), ~c = (−2, 1, 0, 4,−3, 1)

Poznamka (sloupcovy vektor)

Jednotlive slozky vektoru lze usporadat nejen do radku, ale i do sloupce. Takovyvektor se nazyva sloupcovy vektor.

~a =

a1

a2

...an

.

Definice (nulovy vektor)

Vektor ~o = (0, 0, . . . , 0) se nazyva nulovy vektor.

Poznamka (geometricky vyznam vektoru)

Vektory rozmeru 2 a 3 lze zobrazit jako orientovane usecky s pocatecnım bodemv pocatku souradnicoveho systemu a koncovym bodem o souradnicıch [a1, a2]resp. [a1, a2, a3].

Prıklad (znazornenı vektoru v rovine)

znazornenı vektoru~a = (3, 2), ~b = (1, 4)v rovine

0 1 2 3 4 x

1

2

3

4

y

~a

~b

Operace s vektory

Definice (operace s vektory)

Souctem vektoru ~a = (a1, a2, . . . , an), ~b = (b1, b2, . . . , bn) stejneho rozmeru

nazyvame vektor ~a + ~b, pro ktery platı

~a + ~b = (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn).

Nasobenı vektoru ~a = (a1, a2, . . . , an) realnym cıslem c definujeme jako

c ~a = c(a1, a2, . . . , an) = (ca1, ca2, . . . , can).

Prıklad (scıtanı vektoru a nasobenı vektoru realnym cıslem)

Jsou dany vektory ~a = (1, 3, 2), ~b = (3,−1,−2), ~c = (7,−3, 0,−1). Pak

~a + ~b = (1, 3, 2) + (3,−1,−2) = (1 + 3, 3−1, 2−2) = (4, 2, 0)

−3~a = −3(1, 3, 2) = (−3 · 1,−3 · 3,−3 · 2) = (−3,−9,−6)

5~a + 2~b = (5, 15, 10) + (6,−2,−4) = (5 + 6, 15− 2, 10− 4) = (11, 13, 6)

0~c = (0 · 7, 0 · (−3), 0 · 0, 0 · (−1)) = (0, 0, 0, 0)

Soucet ~a + ~c nelze provest, protoze vektory ~a, ~c majı ruzny rozmer

Definice (opacny vektor, rozdıl vektoru)

Opacnym vektorem k vektoru ~a = (a1, a2, . . . , an), nazyvame vektor

−~a = (−1)~a = (−a1,−a2, . . . ,−an).

Rozdılem vektoru ~a, ~b rozumıme vektor

~a− ~b = ~a + (−~b) = (a1 − b1, a2 − b2, . . . , an − bn).

Prıklad (opacny vektor, rozdıl vektoru)

Jsou dany vektory ~a = (1, 3, 2,−4), ~b = (3,−1,−2, 2), ~c = (7,−3, 0).

−~a = (−1,−3,−2,+4)

−~c = (−7, 3, 0)

~a− ~b = (1, 3, 2,−4)− (3,−1,−2, 2) = (1− 3, 3 + 1, 2 + 2,−4− 2) =

= (−2, 4, 4,−6)

Rozdıl ~a− ~c nelze provest, protoze vektory ~a, ~c majı ruzny rozmer

Definice (skalarnı soucin)

Skalarnım soucinem vektoru ~a = (a1, a2, . . . , an), ~b = (b1, b2, . . . , bn) nazyvamerealne cıslo

~a · ~b = a1 · b1 + a2 · b2 + · · ·+ an · bn.

Vektory se nazyvajı ortogonalnı, prave kdyz ~a · ~b = 0.

Prıklad (skalarnı soucin)

Jsou dany vektory ~a = (1, 3, 2,−1), ~b = (3,−1,−2, 0).

~a · ~b = 1 · 3 + 3 · (−1) + 2 · (−2) + (−1) · 0 = 3− 3− 4 + 0 = −4

Definice (velikost vektoru)

Velikostı vektoru rozumıme realne cıslo

|~a| =√a2

1 + a22 + · · ·+ a2

n.

Prıklad (velikost vektoru)

Je dan vektor ~a = (−2, 5,−1, 3). Vypoctete jeho velikost.

|~a| =√

(−2)2 + 52 + (−1)2 + 32 =√

4 + 25 + 1 + 9 =√

39.

= 6, 24

Veta

Necht’ ~a = (a1, a2, . . . , an), ~b = (b1, b2, . . . , bn), ~c = (c1, c2, . . . , cn) jsou vektorystejne dimenze n ∈ N a necht’ k ,m ∈ R jsou realna cısla. Potom pro operaciscıtanı vektoru a operaci nasobenı vektoru realnym cıslem platı

~a + ~b = ~b + ~a zakon komutativnı pro scıtanı

~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c zakon asociativnı pro scıtanı

k · ~a = ~a · k zakon komutativnı pro nasobenı konstantou

k · (m · ~a) = (k ·m) · ~a zakon asociativnı pro nasobenı konstantou

(k + m) · ~a = k · ~a + m · ~a zakon distributivnı

k · (~a + ~b) = k · ~a + k · ~b zakon distributivnı

Linearnı kombinace

Definice (linearnı kombinace)

Rıkame, ze vektor ~b je linearnı kombinacı vektoru ~a1, ~a2, . . . , ~ak ∈ Rn, existujı-litakova realna cısla c1, c2, . . . , ck , ze platı

~b = c1~a1 + c2~a2 + · · ·+ ck~ak .

Prıklad (linearnı kombinace)

Mejme vektory ~a = (2,−3, 1), ~b = (1, 2,−3), ~c = (1, 2, 1). Vektory ~d = (4,−6, 6),

~e = (0, 7,−7), ~o = (0, 0, 0) jsou linearnımi kombinacemi vektoru ~a, ~b, ~c :

~d = 2~a− 1~b + 1~c = (4,−6, 2)− (1, 2,−3) + (1, 2, 1) = (4,−6, 6)

~e = −1~a + 2~b + 0~c = (−2, 3,−1) + (2, 4,−6) + (0, 0, 0) = (0, 7,−7)

~o = 0~a + 0~b + 0~c = (0, 0, 0)

Poznamka (trivialnı linearnı kombinace)

Jsou-li vsechna realna cısla c1, c2, . . . , ck v linearnı kombinaci rovna nule,dostavame trivialnı linearnı kombinaci. Nulovy vektor tak muze byt vzdy vyjadrenjako linearnı kombinace libovolnych vektoru.

Prıklad (linearnı kombinace)

Vyjadrete vektor ~d = (8, 2, 4) jako linearnı kombinaci vektoru ~a = (2, 2, 0),~b = (−1, 1,−1), ~c = (1, 1, 1).

~d = c1~a + c2~b + c3~c

(8, 2, 4) = c1(2, 2, 0) + c2(−1, 1,−1) + c3(1, 1, 1)

Dostavame soustavu trı linearnıch rovnic.2c1 − c2 + c3 = 82c1 + c2 + c3 = 2− c2 + c3 = 4

Resenı je c1 = 2, c2 = −3, c3 = 1.

Mame tedy ~d = 2~a− 3~b + ~c .

Linearnı zavislost a nezavislost vektoru

Definice (linearnı zavislost a nezavislost)

Rıkame, ze vektory ~a1, ~a2, . . . , ~ak ∈ Rn jsou linearne zavisle, jestlize existujıtakova realna cısla c1, c2, . . . , ck , ze alespon jedno z nich je nenulove a platı

c1~a1 + c2~a2 + · · ·+ ck~ak = ~o.

V opacnem prıpade (c1 = c2 = · · · = ck = 0) rıkame, ze vektory jsou linearnenezavisle.

Prıklad (linearnı zavislost a nezavislost)

Vektory ~a = (2,−2, 0), ~b = (0,−2, 1), ~c = (2, 4,−3) jsou linearne zavisle,protoze

1~a + (−3)~b + (−1)~c = ~o.

Vektory ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1) jsou linearne nezavisle,protoze

0~e1 + 0~e2 + 0~e3 = ~o.

Veta (souvislost linearnı kombinace a linearnı zavislosti)

Vektory ~a1, ~a2, . . . , ~ak ∈ Rn jsou linearne zavisle, prave kdyz alespon jedenz nich je linearnı kombinacı ostatnıch vektoru.

Jestlize zadny vektor nenı linearnı kombinacı ostatnıch vektoru, jsou vektorylinearne nezavisle.

Prıklad (overenı linearnı zavislosti pomocı linearnı kombinace)

Vektory ~a = (2,−1, 3), ~b = (1, 1, 2), ~c = (3,−3, 4) jsou linearne zavisle, protoze

2~a− ~b − ~c = (4,−2, 6)− (1, 1, 2)− (3,−3, 4) = ~o.

V tomto prıpade lze dokonce kazdy z nich vyjadrit jako linearnı kombinaciostatnıch dvou vektoru:

~a =1

2~b +

1

2~c , ~b = 2~a− ~c , ~c = 2~a− ~b.

Poznamka (linearnı zavislost)

Dva vektory jsou linearne zavisle, prave kdyz jeden z vektoru je nasobkemdruheho.

Je-li mezi vektory nektery vektor nasobkem jineho vektoru, jsou tyto vektorylinearne zavisle.

Je-li mezi vektory nektery vektor nulovy, pak jsou tyto vektory linearnezavisle.

Je-li pocet vektoru vetsı, nez je rozmer vektoru, pak jsou tyto vektorylinearne zavisle.

O linearnı zavislosti a nezavislosti vektoru budeme moci rozhodnout pomocıhodnosti matice sestavene z danych vektoru.

Prıklad (linearnı zavislost a nezavislost)

Vektory

~a = (1,−3, 0, 2), ~b = (−2, 6, 0,−4) jsou linearne zavisle, protoze

~b = (−2, 6, 0,−4) = (−2) · (1,−3, 0, 2) = −2~a,

~a = (5, 2), ~b = (−5, 1) jsou linearne nezavisle,

~a = (1,−3, 0, 2), ~b = (−3, 8,−5, 0) jsou linearne nezavisle,

~a = (2, 1,−4), ~b = (1, 0, 2), ~c = (4, 2,−8) jsou linearne zavisle, protoze

~c = (4, 2,−8) = 2 · (2, 1,−4) = 2~a,

~a = (5, 1,−3), ~b = (−3, 4, 2), ~c = (0, 0, 0) jsou linearne zavisle, protoze jemezi nimi nulovy vektor,

~a = (−1, 2, 5), ~b = (3, 0, 2), ~c = (0,−1, 4), ~d = (1, 1, 1) jsou linearnezavisle, protoze jejich pocet je 4, ale rozmer je 3.

Vektorovy prostor

Definice (vektorovy prostor)

Mnozinu Vn vsech n-rozmernych realnych vektoru, ktera

obsahuje nulovy vektor ~o,

s libovolnymi vektory ~a1, ~a2, . . . , ~ak obsahuje take jejich linearnı kombinaci

c1~a1 + c2~a2 + · · ·+ ck~ak ,

nazyvame vektorovym prostorem dimenze n.

PoznamkaVektorovy prostor dimenze n obsahuje

s libovolnym vektorem ~a take vsechny jeho nasobky c ~a,

s libovolnymi vektory ~a, ~b obsahuje jejich soucet ~a + ~b.

Definice (baze vektoroveho prostoru)

Kazda skupina linearne nezavislych vektoru

~e1, ~e2, . . . , ~en ∈ Vn

takova, ze kazdy vektor z Vn je na nı linearne zavisly, se nazyva bazevektoroveho prostoru Vn. Znacıme ji B = 〈~e1, ~e2, . . . , ~en〉.

PoznamkaVe vektorovem prostoru dimenze n

existuje alespon jedna n-tice linearne nezavislych vektoru (baze),

mezi libovolnymi vektory ~a1, ~a2, . . . , ~ak ∈ Vn, k ≥ n, je nejvyse n linearnenezavislych. Zbyvajıcıch k − n vektoru je na nich linearne zavislych.

Prıklad

Vektory ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1) tvorı bazi vektoroveho prostorudimenze 3.Kazdy vektor tohoto vektoroveho prostoru je linearnı kombinacı vektoru baze.Naprıklad pro vektor ~a = (−3, 2, 1) platı ~a = −3~e1 + 2~e2 + 1~e3.

Matice

Definice (matice)

Maticı typu (m, n) rozumıme obdelnıkove schema m · n realnych cısel sestavenychdo m radku a n sloupcu

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

.

Cısla aij , (i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n) nazyvame prvky matice A.

Poznamka (matice)

Prvek aij lezı v i-tem radku a j-tem sloupci matice A.

i = 1, 2, . . . ,m je radkovy index, j = 1, 2, . . . , n je sloupcovy index.

Radky nebo sloupce matice lze chapat jako vektory.

Druhy matic

Definice (ctvercova a obdelnıkova matice)

Je-li m = n, pak matice A se nazyva ctvercova matice radu n. Prvkya11, a22, . . . , ann, tj. prvky se stejnym radkovym a sloupcovym indexem, senazyvajı prvky hlavnı diagonaly.

Je-li m 6= n, matice A se nazyva obdelnıkova matice.

Prıklad (ctvercova a obdelnıkova matice)

Obdelnıkove matice A typu (2, 4) a B typu (4, 3), ctvercova matice C radu 3:

A =

(1 −2 3 −15 0 1 2

), B =

−2 5 1

3 −1 05 2 20 −1 4

, C =

−6 2 −34 −2 01 3 6

Matice typu (1, n) se nazyva radkovy vektor.

Matice typu (m, 1) se nazyva sloupcovy vektor.

Definice (nulova matice)

Matice, jejız vsechny prvky jsou nulove, se nazyva nulova matice a znacı se O.

Definice (jednotkova matice)

Ctvercova matice radu n, ktera ma na hlavnı diagonale jednicky a vsude jindenuly, se nazyva jednotkova matice radu n. Znacı se I nebo In.

Definice (diagonalnı matice)

Ctvercova matice, ktera ma vsechny prvky krome hlavnı diagonaly rovny nule, senazyva diagonalnı matice.

Prıklad (nulova, jednotkova a diagonalnı matice)

O =

(0 0 00 0 0

), I2 =

(1 00 1

), I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, A =

3 0 0 00 −1 0 00 0 2 00 0 0 −2

.

Definice (transponovana matice)

Matice transponovana k matici A = (ai j) typu (m, n) je matice AT = (aj i ) typu(n,m), ktera vznikne z matice A zamenou radku za sloupce v temze poradı.

Prıklad (transponovana matice)

A =

4 3 0 42 0 −2 1−3 2 1 −2

, AT =

4 2 −33 0 20 −2 14 1 −2

.

Definice (symetricka matice)

Matice A se nazyva symetricka matice, platı-li AT = A.

Prıklad (symetricka matice)

B =

2 −3 1−3 5 −1

1 −1 0

, BT =

2 −3 1−3 5 −1

1 −1 0

.

Operace s maticemi

Definice (rovnost dvou matic)

Dve matice A,B stejneho typu (m, n) si jsou rovny, majı-li vsechny odpovıdajıcıprvky stejne, tj.

aij = bij

pro vsechna i , j (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n). Pıseme A = B.

Definice (soucet matic)

Souctem matic A a B stejneho typu (m, n) rozumıme matici C typu (m, n), projejız prvky platı

cij = aij + bij

pro vsechna i , j . Pıseme C = A + B.

Prıklad (soucet matic)

Mejme matice

A =

3 2 12 0 −11 −1 3

, B =

−5 1 −21 −1 20 2 −3

, C =

−3 10 12 −3

.

A + B =

3 2 12 0 −11 −1 3

+

−5 1 −21 −1 20 2 −3

=

3−5 2 + 1 1−22 + 1 0−1 −1 + 21 + 0 −1 + 2 3−3

=

−2 3 −13 −1 11 1 0

,

soucet A + C nelze urcit, protoze matice A a C nejsou stejneho typu

Definice (nasobenı matice realnym cıslem)

Soucinem realneho cısla α a matice A typu (m, n) rozumıme matici B typu(m, n), pro jejız prvky platı

bij = α · aijpro vsechna i , j . Pıseme B = αA.

Poznamka (rozdıl matic)

Rozdılem matic A, B rozumıme matici

A− B = A + (−1)B.

Prıklad (rozdıl matic, nasobenı matice realnym cıslem)

Mejme matice

A =

(3 2 12 0 −1

), B =

(−3 1 1

1 −1 1

).

3A− 2B =

(3 · 3 3 · 2 3 · 13 · 2 3 · 0 3 · (−1)

)−(

2 · (−3) 2 · 1 2 · 12 · 1 2 · (−1) 2 · 1

)=

(9 6 36 0 −3

)−(−6 2 2

2 −2 2

)=

(15 4 1

4 2 −5

),

O − 2I3 =

0 0 00 0 00 0 0

− 2 · 1 0 0

0 2 · 1 00 0 2 · 1

=

−2 0 00 −2 00 0 −2

.

Veta (scıtanı matic)

Pro scıtanı matic platı

A + B = B + A zakon komutativnı

(A + B) + C = A + (B + C ) zakon asociativnı

A + O = O + A = A existence nulove matice

A + (−A) = (−A) + A = O existence opacne matice (−A) k matici A

Veta (nasobenı matic realnym cıslem)

Pro nasobenı matic realnym cıslem platı

α · A = A · α zakon komutativnı

α1 · (α2 · A) = (α1 · α2) · A = α1 · α2 · A zakon asociativnı

(α1 + α2) · A = α1 · A + α2 · A zakon distributivnı

α · (A + B) = α · A + α · B zakon distributivnı

Nasobenı matic

Definice (nasobenı matic)

Necht’ matice A je typu (m, n) a matice B je typu (n, p). Soucinem matic A a B(v tomto poradı) rozumıme matici C typu (m, p), pro jejız prvky platı

ci j = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

pro i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , p. Pıseme C = A · B (resp. C = AB).

Poznamka (nasobenı matic)

Soucin A · B lze slovne charakterizovat radek krat sloupec. Radky matice Anasobıme (skalarnım soucinem) sloupci matice B.Prvek ci j matice C se rovna skalarnımu soucinu i-teho radku matice A aj-teho sloupce matice B.

Pocet sloupcu prvnı matice A se musı rovnat poctu radku druhe matice B!

Pro nasobenı matic neplatı komutativnı zakon: obecne A · B 6= B · A.Existuje-li soucin A · B, nemusı soucin B · A existovat.

Chceme-li zduraznit poradı matic v soucinu A · B, rıkame, ze matici Anasobıme zprava maticı B nebo, ze matici B nasobıme zleva maticı A.

Prıklad (nasobenı matic)

Mejme matice

A =

2 −1 13 1 0−2 0 2

, B =

3 20 12 1

.

A · B =

2 −1 13 1 0−2 0 2

3 20 12 1

=

2 · 3− 1 · 0 + 1 · 2 2 · 2− 1 · 1 + 1 · 13 · 3 + 1 · 0 + 0 · 2 3 · 2 + 1 · 1 + 0 · 1−2 · 3 + 0 · 0 + 2 · 2 −2 · 2 + 0 · 1 + 2 · 1

=

8 49 7−2 −2

B · A =

3 20 12 1

2 −1 13 1 0−2 0 2

nenı definovan

VetaPro nasobenı matic platı

A(BC ) = (AB)C zakon asociativnı

(A + B)C = AC + BC zakon distributivnı zprava

A(B + C ) = AB + AC zakon distributivnı zleva

α(AB) = (αA)B = A(αB) pro libovolne α ∈ R

PoznamkaProtoze pro soucin matic neplatı komutativnı zakon, rozlisujeme dva distributivnızakony pro nasobenı maticı zprava a zleva.Stejne tak musıme rozlisovat mezi vytykanım matice doprava a doleva.

Definice (k-ta mocnina matice)

Soucin A · A · A · · ·A (k-krat) oznacme Ak a nazveme jej k-tou mocninoumatice A.

Prıklad (nasobenı matic)

Pro A =

(2 1−1 1

)je A2 = A · A =

(2 1−1 1

)(2 1−1 1

)=

(3 3−3 0

)

Veta (vlastnost jednotkove matice)

Pro ctvercovou matici A a jednotkovou matici I stejneho radu platı

AI = IA = A.

Prıklad (vlastnost jednotkove matice)

AI =

(2 −3−4 5

)(1 00 1

)=

(2 −3−4 5

)= A

IA =

(1 00 1

)(2 −3−4 5

)=

(2 −3−4 5

)= A

Hodnost matice

Definice (hodnost matice)

Hodnostı matice A rozumıme maximalnı pocet linearne nezavislych radkumatice. Hodnost matice A znacıme h(A).

Poznamka (hodnost matice)

Matice A ma hodnost h(A) = k, jestlize mezi radky teto matice existuje k linearnenezavislych radku, ale kazdych k + 1 radku matice je jiz linearne zavislych.

Prıklad (hodnost matice)

Matice

1 2 −10 −3 12 4 −2

ma hodnost 2, protoze

vektory ~a = (1, 2,−1), ~b = (0,−3, 1) jsou linearne nezavisle, ale

vektory ~a = (1, 2,−1), ~b = (0,−3, 1), ~c = (2, 4,−2) jsou linearne zavisle,nebot’ ~c = 2~a.

Definice (schodovity tvar matice)

Rekneme, ze matice A je ve schodovitem tvaru, jestlize prıpadne nulove radkyjsou usporadany na konci matice a nenulove jsou usporadany tak, ze kazdynasledujıcı radek zacına vetsım poctem nul nez predchozı radek.

Prıklad (schodovity tvar matice)

Matice ve schodovitem tvaru−1 0 2 −1 4

0 0 3 0 10 0 0 2 −10 0 0 0 0

,

0 2 5 2 −1 −1 20 0 0 −1 0 −2 10 0 0 0 0 0 3

.

Matice, ktera nenı ve schodovitem tvaru5 2 1 −2 40 0 2 0 10 0 3 −1 00 0 0 0 7

Veta (hodnost matice ve schodovitem tvaru)

Hodnost matice, ktera je ve schodovitem tvaru, je rovna poctu nenulovych radkuteto matice.

Prıklad (hodnost matice ve schodovitem tvaru)

Mejme matice

A =

−1 5 2 0 3

0 2 2 −1 −10 0 0 2 00 0 0 0 0

, B =

2 0 0 00 1 0 00 0 3 00 0 0 1

.

Matice A ma hodnost h(A) = 3.

Matice B ma hodnost h(B) = 4.

Ekvivalentnı radkove upravy

Definice (ekvivalentnı radkove upravy)

Nasledujıcı upravy se nazyvajı ekvivalentnı radkove upravy:

1 zamena poradı radku,

2 vynasobenı radku nenulovym cıslem,

3 prictenı nasobku jednoho radku k jinemu radku,

4 vynechanı nuloveho radku,

5 vynechanı radku, ktery je nasobkem jineho radku.

Definice (ekvivalentnı matice)

Matice A, B nazveme ekvivalentnı a znacıme A ∼ B, jestlize matici A lze prevestna matici B konecnym poctem ekvivaletnıch radkovych uprav.

VetaEkvivalentnı radkove upravy zachovavajı hodnost matice.

Ekvivalentnı matice majı stejnou hodnost.

VetaLibovolnou nenulovou matici lze konecnym poctem ekvivalentnıch radkovychuprav prevest na matici ve schodovitem tvaru.

Poznamka (urcenı hodnosti matice)

Pri urcovanı hodnosti matice, prevedeme danou matici pomocı ekvivalentnıchradkovych uprav na schodovity tvar. Hodnost puvodnı matice se potom rovnapoctu nenulovych radku matice ve schodovitem tvaru.

Poznamka (klıcovy prvek)

Klıcovym prvkem rozumıme nenulovy prvek matice, pomocı nehoz ekvivalentnımiradkovymi upravami vytvarıme ve sloupci pod nım nuly.Radek a sloupec obsahujıcı klıcovy prvek se nazyvajı klıcovy radek a klıcovysloupec.

Uprava matice do schodoviteho tvaru

Postup upravy matice do schodoviteho tvaru1 Zacneme s nenulovym sloupcem nejvıce vlevo, tzv. klıcovy sloupec. V tomto

sloupci vybereme nenulovy prvek, tzv. klıcovy prvek. Vyhodne je za klıcovyprvek zvolit cıslo 1 nebo −1.

2 Klıcovy radek premıstıme pomocı zameny radku na pozici prvnıho radkuv matici.

3 Pomocı ekvivalentnıch radkovych uprav vytvorıme pod klıcovym prvkem nuly- vhodne nasobky klıcoveho radku pricteme ke vhodnym nasobkum radku podnım. Vznikne-li nulovy radek nebo radek, ktery je nasobkem jineho radku,vynechame ho.

4 Upravy 1–3 pouzijeme znovu na podmatici, ktera vznikne z puvodnı maticevynechanım klıcoveho radku.

5 Postup opakujeme tak dlouho, az dostaneme matici ve schodovitem tvaru.

Prıklad (hodnost matice)

Ucete hodnost matice A.3 −2 1 0 1−2 8 −1 −1 3

1 2 0 −1 2−1 2 0 1 0

←−

←− ∼

1 2 0 −1 2−2 8 −1 −1 33 −2 1 0 1−1 2 0 1 0

←−2

+

←−−−−

−3

+

←−−−−−−−+

∼

1 2 0 −1 20 12 −1 −3 70 −8 1 3 −5

0 4 0 0 2

←−←−

∼

1 2 0 −1 2

0 4 0 0 20 −8 1 3 −50 12 −1 −3 7

←−2

+

←−−−−

−3

+

∼

1 2 0 −1 20 4 0 0 20 0 1 3 −10 0 −1 −3 1

∼1 2 0 −1 2

0 4 0 0 20 0 1 3 −1

Ekvivalentnı matice ve schodovitem tvaru ma tri nenulove radky, proto hodnostmatice A je h(A) = 3.

VetaTransponovanı matice nemenı jejı hodnost, tj. pro libovolnou matici A platı

h(A) = h(AT ).

Poznamka (hodnost matice)

Vsechny uvedene ekvivalentnı radkove upravy muzeme provadet nejens radky, ale i se sloupci, a to aniz by se tım zmenila hodnost matice.

Hodnost matice lze chapat take jako maximalnı pocet linearne nezavislychsloupcu matice.

Poznamka

Ma-li matice A typu (m, n) hodnost h(A) = k, pak zrejme platı

k ≤ min{m, n}.

Linearnı zavislost, nezavislost vektoru pomocı hodnosti

Poznamka (linearnı zavislost a nezavislost vektoru)

O linearnı zavislosti ci nezavislosti vektoru muzeme rozhodnout pomocı hodnostimatice.Mejme m vektoru stejneho rozmeru n. Tyto vektory zapıseme do matice A tak, zejejı radky budou tvorit dane vektory. Dostaneme matici A typu (m, n). Vektoryjsou

linearne nezavisle, pokud h(A) = m,

linearne zavisle, pokud h(A) < m.

Prıklad (linearnı zavislost a nezavislost vektoru)

Rozhodnete o linearnı zavislosti ci nezavislosti vektoru~a = (0, 0, 2, 1,−2), ~b = (3, 4, 5, 0, 1), ~c = (0, 1, 3,−2,−2), ~d = (0, 0, 0, 4, 3)

A =

0 0 2 1 −23 4 5 0 10 1 3 −2 −20 0 0 4 3

∼ 3 4 5 0 1

0 1 3 −2 −20 0 2 1 −20 0 0 4 3

Hodnost matice A je h(A) = 4, proto jsou vektory linearne nezavisle.

Prıklad (linearnı zavislost a nezavislost vektoru)

Rozhodnete o linearnı zavislosti ci nezavislosti vektoru ~a = (2,−5, 1,−2, 2),~b = (2, 1,−1, 2,−3), ~c = (3,−2,−1, 1,−2), ~d = (3,−1, 0, 1,−2).

2 −5 1 −2 22 1 −1 2 −33 −2 −1 1 −23 −1 0 1 −2

←−−1

+

| · 2| · 2

←−

−3

+

←−−−−−

−3

+

∼

∼

2 −5 1 −2 20 6 −2 4 −50 11 −5 8 −100 13 −3 8 −10

←−

−1

+

∼

2 −5 1 −2 20 6 −2 4 −50 11 −5 8 −10

0 2 2 0 0

| · 1

2

←−−−−−

←−

∼

∼

2 −5 1 −2 2

0 1 1 0 00 11 −5 8 −100 6 −2 4 −5

←−−11

+

←−−−−−

−6

+

∼

2 −5 1 −2 20 1 1 0 00 0 −16 8 −100 0 −8 4 −5

Hodnost matice A je h(A) = 3, proto jsou vektory linearne zavisle.