Obrázek: http://web.utah.edu/thorne

Vlny uvnitř ZeměOndřej ČadekKatedra geofyziky MFF

Chvála vlnám?

Vlna – wave – Welle – vague– волна – val – våg – onda

@2u

@x2=

1

c2

@2u

@t2@2u

@x2=

1

c2

@2u

@t2Vlnová rovnice:

Vlnová rovnice: @2u

@x2=

1

c2

@2u

@t2@2u

@x2=

1

c2

@2u

@t2

@u

@x= cos(x+ct);

@2u

@x2=

@

@xcos(x+ct) = ¡ sin(x+ct)

@u

@x= cos(x+ct);

@2u

@x2=

@

@xcos(x+ct) = ¡ sin(x+ct)

u(x; t) = sin(x+ct)u(x; t) = sin(x+ct)

@u

@t= c cos(x+ct);

@2u

@t2= c

@

@xcos(x+ct) = ¡c2 sin(x+ct)

@u

@t= c cos(x+ct);

@2u

@t2= c

@

@xcos(x+ct) = ¡c2 sin(x+ct)

@2u

@x2= ¡ sin(x+ct)

@2u

@x2= ¡ sin(x+ct)

1

c2

@2u

@t2=

1

c2

£¡c2 sin(x+ct)

¤= ¡ sin(x+ct)

1

c2

@2u

@t2=

1

c2

£¡c2 sin(x+ct)

¤= ¡ sin(x+ct)

Vlnová rovnice:

@2ux

@x2+

@2ux

@y2+

@2ux

@z2=

1

c2

@2ux

@t2@2ux

@x2+

@2ux

@y2+

@2ux

@z2=

1

c2

@2ux

@t2

@2uy

@x2+

@2uy

@y2+

@2uy

@z2=

1

c2

@2uy

@t2@2uy

@x2+

@2uy

@y2+

@2uy

@z2=

1

c2

@2uy

@t2

@2uz

@x2+

@2uz

@y2+

@2uz

@z2=

1

c2

@2uz

@t2@2uz

@x2+

@2uz

@y2+

@2uz

@z2=

1

c2

@2uz

@t2

r2~u =1

c2

@2~u

@t2r2~u =

1

c2

@2~u

@t2

Vlnová rovnice:

@2ux

@x2+

@2ux

@y2+

@2ux

@z2=

1

c2

@2ux

@t2@2ux

@x2+

@2ux

@y2+

@2ux

@z2=

1

c2

@2ux

@t2

@2uy

@x2+

@2uy

@y2+

@2uy

@z2=

1

c2

@2uy

@t2@2uy

@x2+

@2uy

@y2+

@2uy

@z2=

1

c2

@2uy

@t2

@2uz

@x2+

@2uz

@y2+

@2uz

@z2=

1

c2

@2uz

@t2@2uz

@x2+

@2uz

@y2+

@2uz

@z2=

1

c2

@2uz

@t2xx

yy

rf(x; y)rf(x; y)gradient:

r2~u =1

c2

@2~u

@t2r2~u =

1

c2

@2~u

@t2

Vlnová rovnice:

@2ux

@x2+

@2ux

@y2+

@2ux

@z2=

1

c2

@2ux

@t2@2ux

@x2+

@2ux

@y2+

@2ux

@z2=

1

c2

@2ux

@t2

@2uy

@x2+

@2uy

@y2+

@2uy

@z2=

1

c2

@2uy

@t2@2uy

@x2+

@2uy

@y2+

@2uy

@z2=

1

c2

@2uy

@t2

@2uz

@x2+

@2uz

@y2+

@2uz

@z2=

1

c2

@2uz

@t2@2uz

@x2+

@2uz

@y2+

@2uz

@z2=

1

c2

@2uz

@t2

r ¢ ~u(x; y)r ¢ ~u(x; y)divergence:

r2~u =1

c2

@2~u

@t2r2~u =

1

c2

@2~u

@t2

Vlnová rovnice:

@2ux

@x2+

@2ux

@y2+

@2ux

@z2=

1

c2

@2ux

@t2@2ux

@x2+

@2ux

@y2+

@2ux

@z2=

1

c2

@2ux

@t2

@2uy

@x2+

@2uy

@y2+

@2uy

@z2=

1

c2

@2uy

@t2@2uy

@x2+

@2uy

@y2+

@2uy

@z2=

1

c2

@2uy

@t2

@2uz

@x2+

@2uz

@y2+

@2uz

@z2=

1

c2

@2uz

@t2@2uz

@x2+

@2uz

@y2+

@2uz

@z2=

1

c2

@2uz

@t2

r£ ~u(x; y)r£ ~u(x; y)rotace:

r2~u =1

c2

@2~u

@t2r2~u =

1

c2

@2~u

@t2

Newton (1687)

Euler (kolem 1740)

Cauchy (po 1815)

~F~F

mm ~F = m~a = md~v

dt= m

d2~u

dt2~F = m~a = m

d~v

dt= m

d2~u

dt2

½½~f~f

~t~t

~f =~F

V; ½ =

m

V~f =

~F

V; ½ =

m

V

~n~n

½; ~f;~t(~n)½; ~f;~t(~n)r ¢ ¾ + ~f = ½

d~v

dtr ¢ ¾ + ~f = ½

d~v

dt

ZV

~fdV +

ZS

~tdS =d

dt

ZV

½~vdV

ZV

~fdV +

ZS

~tdS =d

dt

ZV

½~vdV

r ¢ ¾ + ~f = ½d2~u

dt2r ¢ ¾ + ~f = ½

d2~u

dt2

F = k¢l

lF = k

¢l

l

¾ = ¸(r ¢ ~u)I + ¹£r~u + (r~u)T

¤¾ = ¸(r ¢ ~u)I + ¹

£r~u + (r~u)T

¤

r ¢©¸(r ¢ ~u)I + ¹

£r~u + (r~u)T

¤ª= ½

d2~u

dt2r ¢

©¸(r ¢ ~u)I + ¹

£r~u + (r~u)T

¤ª= ½

d2~u

dt2

~u : Á = r ¢ ~u; ~Ã = r£ ~u~u : Á = r ¢ ~u; ~Ã = r£ ~u

¸ + 2¹

½r2Á =

@2Á

@t2¹

½r2 ~Ã =

@2 ~Ã

@t2¸ + 2¹

½r2Á =

@2Á

@t2¹

½r2 ~Ã =

@2 ~Ã

@t2

Objemová (P) vlna Střižná (S) vlnacp =

s¸ + 2¹

½cp =

s¸ + 2¹

½cs =

r¹

½cs =

r¹

½

Obrázek: http://web.utah.edu/thorne

P a S vlny

Obrázek: http://web.utah.edu/thorne

pohyby zeměpodložka pevně přichycená k zemi

drát

závažírám

seismogramválecrotující pero

seismogram vzdáleného zemětřesení

Seismograf …           a seismogram

čas: 0               +10 min          +20 min      +30 min   

vlna P            vlna S                         

Hloubka ohniska (km)

Zdroj: Tectonics Observatory, Caltech 

FF

Fs = kGFs = kG

GG

F < FsF < Fs

F > FsF > Fs

F ¼ FsF ¼ Fs

… objekt zůstává v klidu

… objekt se pohybuje

Ochrana před zemětřesenímOchrana před zemětřesením• Monitorování zlomů• Stavební opatření

Ochrana před zemětřesením

Zdroj: USGS

Ochrana před zemětřesením• Monitorování zlomů• Stavební opatření• Systémy rychlého varování

tuhévnitřníjádro

kapalné vnější jádro

plášť

PS

Hloub

ka (k

m)

Rychlost (km/s)

Plášť

Vnější jádro

Vnitřní jádro

S‐vlny P‐vlny

seismické rychlosti 

minerálová fyzika

materiálové složení Země

tuhévnitřníjádro

kapalné vnější jádro

plášť

PS Úhlová vzdálenost (°)

Čas šíře

ní (m

in)

tuhévnitřníjádro

kapalné vnější jádro

plášť

PS Úhlová vzdálenost (°)

Čas šíře

ní (m

in)

Úhlová vzdálenost (°)

Čas šíře

ní (m

in)

Úhlová vzdálenost 

Čas šíře

ní 

Seismická tomografie

tuhévnitřníjádro

kapalné vnější jádro

plášť

PS

Seismická tomografievyužívá vln vznikajícíchpři zemětřesení k určenítřírozměrné struktury 

zemského tělesa 

Umožňuje určit teplotní a mineralogické 

anomálie v Zemia tedy také to, jak se Země 

deformuje a chladne. 

Termální konvekce Anomálie seismických rychlostí

Bijwaard et al., 1998

studené

horké

Termální konvekce Anomálie seismických rychlostí

Bijwaard et al., 1998

studené

horké

Země

Merkur, Venuše, Mars

Apollo 11, 12, 14, 15 a 16měření do září 1977

Plášťnatavená oblast pláště

kapalné vnější jádro

tuhé vnitřní jádro

Měsíc               • shodné izotopové složení jako Země

• liší se obsahem některých majoritních elementu (více Fe)  

• stejný podíl vody vázané v minerálech   jako na Zemi 

Plášťnatavená oblast pláště

kapalné vnější jádro

tuhé vnitřní jádro

Proto‐Země

Theia

Obří srážka

Země a Měsíc

Chvála seismických vlnDíky nim: 

známe složení a strukturu Země       a můžeme studovat její termální vývoj

máme nástroj, který lze použít při výzkumudalších terestrických těles 

Znalosti fyzikálních zákonitostí, které řídí vznik zemětřesení a šíření seismických vln, nám pomáhajíeliminovat škody, které při zemětřeseních vznikají.