Výpocetní dynamika tekutin (Computational Fluid...

Výpočetnídynamika

tekutin (Com-putational

FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD

Matematickáformulace

Numerickáaproximace

Výpočetní dynamika tekutin(Computational Fluid Dynamics)

Tomáš Oberhuber

Faculty of Nuclear Sciences and Physical EngineeringCzech Technical University in Prague



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Cíle CFD

• výpočetní dynamika tekutin se zabývá počítačovýmsimulováním proudění tekutin

• hlavním cílem je napočítat vektorové pole rychlostiproudění

• stacionární (ustálené)• měnící se v čase

• často nás ale zajímají i další veličiny jako tlak, hustota,teplota apod.



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Projekt Manhattan

• první numerická schémata vznikala během projektuManhatten



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Letecký průmysl akosmonautika

• hlavním tahounem vývoje CFD byl v druhé polovině 20.století letecký průmysl

• počítá se hlavně proudění vzduchu podél profilu křídla

Figure: Hyper-X scramjet



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Letecký průmysl akosmonautika

• návrh proudových motorů

Figure: L. Panek



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Automobilový průmysl

• aerodynamika - "náhrada" za větrný tunel



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Energetický průmysl

• návrh turbín



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Medicína

• proudění krve v srdečních komorách



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Astrofyzika

• pohyb galaxií



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Matematický popis proudění

Claude-Louis Navier (1785–1836) Sir George Gabriel Stokes(1819–1903)



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Navierovy-Stokesovy rovnice

%

(∂v∂t

+ v · ∇v)

= −∇p +∇ ·T+ f,(∂%

∂t+ v · ∇%

)= −%∇ · v

Rovnice jsou odvozeny ze zákonu zachování:• hybnosti• hmoty

v – rychlost, % – hustota, p – tlak, T – tenzor napětí, f –objemová síla



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Vazkost

Výraz ∇ ·T se často aproximuje jako

∇ ·T = (λ+ µ)∇ (∇ · v) + µ∆v,

kde λ a µ jsou koeficienty popisující vazkost. Rovnice pakmají tvar:

%

(∂v∂t

+ v · ∇v)

= −∇p + (λ+ µ)∇ (∇ · v) + µ∆v + f,(∂%

∂t+ v · ∇%

)= −%∇ · v



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Eulerovy rovnice

Je-li λ = µ = 0, dostaneme Eulerovy rovnice pro nevazképroudění:

%

(∂v∂t

+ v · ∇v)

= −∇p + f,(∂%

∂t+ v · ∇%

)= −%∇ · v



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Nestlačitelné proudění

Je-li % (x) = %0, jde o nestlačitelné proudění:

%0

(∂v∂t

+ v · ∇v)

= −∇p + µ∆v + f, (1)

∇ · v = 0 (2)



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Reynoldsovo čísloPro převedení rovnic do bezrozměrného tvaru zavedeme:

• charakteristickou délku L• charakteristickou rychlost V

Ty pak definují časové měřítko T = L/U.Přejdeme k bezrozměrným veličinám:

• x′ = xL , v′ = vV , t

′ = tT

Nestlačitelné N.-S. rovnice pak mají tvar (s f = 0):

(∂v′

∂t ′+ v′ · ∇′v′

)= − 1

%0∇′p′ + ν

LV∆′v′, (3)

∇ · v′ = 0, (4)

kde ν = µ%0 .Definujeme Reynoldsovo číslo Re = LVν .



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Stokesova rovnice

Pro malá Reynoldsova čísla je 1/Re velké a lze uvažovatzjednodušenou Stokesovu úlohu:

∂v∂t

= −∇p + 1Re

∆v, (5)

(6)



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Řešení N.-S. rovnic

Matematická analýza i numerická aproximace N.-S. rovnicje velice komplikovaný úkol, dodnes nedořešený!!!Stokesova úloha je užitečná tím, že slouží jako mezikrok kN.-S.Dokázat existenci řešení N.-S. rovnic v R3 s danýmipočátečními podmínkami patří mezi největší problémysoučasné matematiky.



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Millennium Prize Problems

Těchto 7 úloh prohlásil Clayův matematický institut(Cambridge, Massachusetts) ze problémy tisíciletí:

1 Problém P versus NP2 Hodgeova domněnka3 Poincarého domněnka (vyřešena)4 Riemannova hypotéza5 Yangova-Millsova teorie a hypotéza hmotnostních

rozdílů6 Navierovy-Stokesovy rovnice7 Birchova a Swinnerton-Dyerova domněnka

Za vyřešení každého z nich je vypsána odměna 1,000,000$.



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD




Prof. RNDr. Jindřich Nečas DrSc.14. prosince 1929 v Praze - 5. prosince 2002



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD




Řešení N.-S. rovnic může vykazovat následující jevy:

• rázové vlny (nespojitosti)• turbulence



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Rázová vlna (shock wave)

R. v. vzniká, pokud se tekutina pohybuje rychleji než zvuk.Dochází k jejímu "trhání", což se projevuje jako nespojitosttlaku a rychlosti.



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Rázová vlna (shock wave)

U nespojitých veličin nemá derivace smysl. Přesto chcemetaková řešení studovat.Místo klasického řešení se studuje tzv. slabé řešení.



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Turbulence



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Turbulence

Vizualizace turbulence pomocí laserové fluorescence:



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Turbulence

Pro turbulence je typické velmi chaotické chování. Stáleneexistuje aparát pro pochopení turbulencí. To je jeden zhlavních problémů současné fyziky:"Is it possible to make a theoretical model to describe thestatistics of a turbulent flow (in particular, its internalstructures)? Also, under what conditions do smoothsolutions to the Navier-Stokes equations exist?"List of unsolved problems in physics, Wikipedia



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Turbulence – aplikace



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Numerická aproximace

Rovnice nelze řešit analyticky, lze jen hledat přibližnénumerické řešení.

• konstrukce numerické sítě• časová a prostorová diskretizace• řešení algebraické úlohy• řešení lineární úlohy• paralelizace pro velké superpočítače• vizualizace výsledků



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Numerická sít’

• celou výpočetní oblast pokryjeme nejčastěji sítítrojúhelníku (2D úloha) nebo čtyřstěnů (3D úloha)

• vektorové rychlostní pole (a tlak, hustotu, teplotu apod.)počítáme jen ve vrcholech sítě

• sít’ by se měla skládat s přibližně rovnostrannýchtrojúhelníků resp. čtyřstěnů



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Prostorová adaptivita

• chyba numerické aproximace závisí na jemnosti sítě• pomocí aposteriorních odhadů chyb lze přesně

napočítat chybu aproximace v daném místě• sít’ je pak možné zjemnit jen v místech s velkou chybou



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Prostorová diskretizace

V numerické matematice jsou nejčastěji používanénásledující metody:

• metoda konečných diferencí• metoda konečných objemů• metoda konečných prvků



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Metoda konečných diferencí

• patří mezi nejjednodušší metody• těžko se implementuje na nestrukturovaných sítích• pro řešení N.-S. rovnic není příliš vhodná



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Metoda konečných objemů

• byla navržena speciálně pro rovnice popisující proudění• aproximuje přímo toky různých veličin mezi jednotlivými

objemy• dává dobré výsledky• je náročnější na analýzu výsledných numerických

schémat



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Metoda konečných prvků

• je nejnáročnější na pochopení• řeší slabou formulaci úloh• je velice dobře zmatematizována, což usnadňuje

analýzu výsledných numerických schémat• ve své základní podobě nedává dobré výsledky (nebyla

navržena pro proudění)• stále probíhá aktivní výzkum, jak aplikovat tuto metodu

na problémy proudění• v současnosti patří mezi nejoblíbenější metody



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Metoda konečných prvků

Prof. Ing. Dr. Ivo Babuška DrSc. (* 22. března 1926, Praha)

„Will you sign the blueprint?“



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Řešení soustavy algebraickýchrovnic

• numerická diskretizace převede PDR na systémalgebraických rovnic.

• pokud nejsou lineární, provede se linearizace např.pomocí Newtonovy metody

• výsledkem je soustava s řídkou maticí



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Řešení soustavy lineárníchrovnic

• pro efektivní řešení je potřeba využít řídkou strukturu• lze použít přímé nebo iterativní řešiče



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Přímé řešiče

• jsou založeny na Gaussově eliminaci• při výpočtu LU rozkladu vznikají nové nenulové prvky

• jen mezi prvním a posledním nenulovým prvkem vřádku

• počet nových nenulových prvků lze snížit vhodnýmpřeuspořádáním matice

• Minimal Degree Ordering (Approximate Minimal DegreeOrdering) - teorie grafů

• i tak nejsou přímé řešiče vhodné pro 3D úlohy• momentálně asi nejlepší přímé řešiče jsou UMFPACK

nebo PARADISO



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Iterativní řešiče

• stacionární metody jako Gauss-Seidel nebo SORnejsou moc efektivní

• metody Krylovových podprostorů• CG, BiCG, BiCGStab, TFQMRES, GMRES

• jsou efektivnější, ale ne o moc• matice má podmínění ≈ 1/h2

• s jemnější sítí máme nejen větší matici, ale musímedělat více iterací

• pro jejich urychlení se používá vhodné předpodmínění



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Předpodmínění

Místo úlohy

Ax = b,

řešíme úlohu

MAx =Mb,

kdeM ≈ A−1. MA je pak lépe podmíněná.



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Neúplný LU rozklad

• jde o velmi účinné předpodmínění• počítá se běžný LU rozklad, ale malé prvky se nulují,

aby nedocházelo k zaplnění• v kombinaci s GMRES jde o velmi oblíbený a robustní

řešič• bohužel na naši úlohu není příliš efektivní• je to proto, že řešíme sedlovou úlohu, tj. matice má

kladná i záporná vl. čísla• běžné metody zde selhávají



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Multigridní techniky

• geometrický multigrid je postaven na Gauss-Seidelověmetodě

• lze ukázat, že tato metoda rychle vyhlazuje vysokéfrekvence rezidua, ale pomalu ty nízké

• nízké se proto vyhlazují na hrubších sítích, kde sestávají relativně vysokými, vůči velikosti oka sítě

• sestrojíme hierarchii sítí a provádíme projekce úlohy zjedné sítě na druhou

• multigrid velmi významně urychluje konvergenci• počet iterací nezávisí na h• jde asi o nejefektivnější metodu pro řešení lineárních

soustav spojených s PDR• hlavní nevýhodou je, že hodně závisí na řešené úloze a

je náročný na implementaci



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Algebraický multigrid

• snaží se napodobit geometrický multigrid bez nutnostivíce sítí

• je postaven pouze na znalosti matice a ne úlohysamotné

• fungoval by více jako blackbox, ale tyto metody sezatím jen rozvíjejí



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Řešiče pro sedlové úlohy

Náš lineární systém Ax = b lze zapsat blokově takto:(A BT

B −C

)(up

)=

(fg

)



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Schurův doplněk

Násobíme první řádek A−1(I A−1BT

B −C

)(up

)=

(g

A−1f

)Odečteme B-násobek prvního řádku od druhého:

(I A−1BT

0 −(C + BA−1BT

) )( up

)=

(A−1f

g − BA−1f

)



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Schurův doplněk

Označíme S = C + BA−1BT a řešíme soustavu:

Sp = BA−1f − g.

Je-li řešení rovno p∗, pokračujeme se systémem

Au = f − BT p∗

tj.

u = A−1(

f − BT p∗)



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Schurův doplněk

• pokud bychom měli A−1 uložené explicitně, výpočet byse výrazně zjednodušil

• to většinou nemáme, ale i tak jde o efektivnější postupnež použití obyčejného řešiče

• ve skutečnosti jde o to, že se nejprve napočítá tlak, apotom rychlost

• to dělali inženýři i bez znalosti Schurova doplňku

• výpočet A−1 většinou nahrazujeme iterativním řešičemse známou pravou stranou

• k tomu lze s výhodou využít multigrid

• pro sedlové úlohy existuje řada efektivníchpředpodmínění založených na blokové struktuře



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Modelování turbulencí pomocíDNS

• jedna z možností, jak simulovat turbulentní proudění jetzv. Direct Numerical Simulation

• N.-S. rovnice se "pouze" řeší na dostatečně jemné síti• dnes dokážeme počítat s řádově 109 − 1010 stupni

volnosti (DOF)• DNS pro reálné výpočty vyžaduje až 1020 stupňů

volnosti• to zřejmě nebude nikdy možné



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Modelování turbulencí pomocíDNS

• turbulentní víry mají význam disipace kinetické energie• pokud je nejsme schopni zachytit, energie se kumuluje

a řešení je až moc divoké• v současnosti se zkoumají možnosti, jak simulovat

turbulence na hrubších sítích• LES - large eddy simulation• k − � model• ...

• i tak ale potřebujeme být schopni řešit N.-S. rovnice smnohem větší přesností na jemnějších sítích

• to lze jen s pomocí paralelizace



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Paralelizace

Paralelizace řešičů pro CFD je poměrně komplikovaná:

• iterativní řešiče jsou omezovány datovou propustností,vícejádrové procesory příliš nepomáhají

• ILU předpodmínění prakticky nelze paralelizovat• Gauss-Seidelova metoda použitá v multigridu je též

netriviální pro paralelizaci• paralelizace na architekturách s distribuovanou pamětí

(klastry nebo superpočítače) je náročná a pro N.-S.rovnice stále nevyřešená

• doposud neumíme efektivně využít řádově 100 000jader pro řešení N.-S. rovnic



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD



Domain decomposition

Používá se pro výpočty na architekturách s distribuovanoupamětí



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD




A1 C14

A2 C24A3 C34

C41 C42 C43 C44

x1x2x3x4

=

b1b2b3b4

I A−11 C14I A−12 C24

I A−13 C34C41 C42 C43 C44

x1x2x3x4

=

A−11 b1A−12 b2A−13 b3

b4



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD




I A−11 C14

I A−12 C24I A−13 C34

S

x1x2x3x4

=

A−11 b1A−12 b2A−13 b3

d

kde

S = C44 − C41A−11 C14 − C42A−12 C24 − C43A

−13 C34

d = b4 − C41A−11 b1 − C42A−12 b2 − C43A

−13 b3



FluidDynamics)

TomášOberhuber

Aplikace CFD




• pro dobrou efektivitu je potřeba mít dobrépředpodmínění pro Sx4 = d

• např. metoda BDDC ale existuje jen pro Stokesovuúlohu, ne pro N.-S.

Aplikace CFDMatematická formulaceNumerická aproximace

Date post:	07-Feb-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Výpocetní dynamika tekutin (Computational Fluid...

Documents