Funkce

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Mgr. Jaroslava Vrbková

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Aritmetická posloupnost

VY_32_INOVACE_05_2_15_M2

1

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost je posloupnost čísel, ve které je mezi kaţdým členem a

jeho následovníkem nenulový konstantní rozdíl. Tento rozdíl značíme obvykle d a

nazýváme ho diference.

Např. posloupnost čísel: 4, 8, 12, 16, 20.....

Tato posloupnost je aritmetická, protoţe rozdíl dvou sousedících členů je 4.

Diference je tedy d = 4.

2

Předpis pro aritmetickou posloupnost by tedy mohl vypadat takto:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, ...... a1 + n.d

Vztah pro (n+1) -ní člen: an + 1 = an + d

Výpočet diference pomocí dvou členů za sebou: d = an + 1 - an

Vztah pro n-tý člen: an = a1 + ( n - 1)d

Vztah pro dva libovolné členy, kde r, s∈: ar = as + (r - s)d

Vztah pro součet prvních n členů: sn = 𝑛

2 (a1 + an)

Pro n > 1 platí: an = 𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+1

2 (aritmetický průměr)

Grafem aritmetické posloupnosti je vţdy mnoţina izolovaných bodů, které leţí na

téţe přímce.

3

Př.

V aritmetické posloupnosti je dáno: a1 = -4, d = 3. Určete prvních pět členů, dále

určete dvacátý člen.

pro a2 aţ a5 pouţijeme vztah an + 1 = an + d

a2 = a1 + d a2 = -4 + 3 = -1

a3 = a2 + d a3 = -1 + 3 = 2

a4 = a3 + d a4 = 2 + 3 = 5

a5 = a4 + d a5 = 5 + 3 = 8 a20 = a1 + (n - 1)d a20 = -4 + (20 - 1) 3 = 53

4

Př.

V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, je-li a14 = 3 a23 = 21.

Vyuţijeme vztah: a23 = a14 + 9d a14 = a1 + 13d

21 = 3 + 9d 3 = a1 + 26

d = 2 a1 = - 23

5

Př.

Určete pět prvních členů aritmetické posloupnosti, ve které platí

a3 + a12 + 8 = 0

a8 + a1 - a4 = 1

všechny členy nahradíme pomocí a1 a diference d

a1 + 2d + a1 + 11d + 8 = 0

a1 + 7d + a1 - (a1 + 3d) = 1

řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých

2 a1 + 13d + 8 = 0 2 a1 - 26 + 8 = 0

a1 + 4d -1 = 0 /(-2) 2 a1 = 18

5d + 10 = 0 a1 = 9

d =- 2

Prvních pět členů posloupnosti je: 9,7,5,3,1.

6

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ:

1) V aritmetické posloupnosti určete první člen posloupnosti a diferenci, je-li:

a) a7 = 21, a13 = 15

b) a9 = 6, a16 = -8

c) a11 = 9, a19 = 33

7

2) V aritmetické posloupnosti je a1 = 20, d = 4.

a) kolikátý člen je roven číslu 100?

b) kolikátý člen je roven číslu 150?

8

3) Určete první člen a diferenci posloupnosti, ve které platí:

a) a4 = 9; a10 = 21

b) a1 + a3 = 2

a2 + a7 = - 8

c) 2a2 - a3 = 20

a4 - 5a1 = - 95

d) a3 = 2a4

a2 = - a8

9

4) Mezi kořeny kvadratické rovnice x2 -10x + 16 = 0 vloţte čtyři čísla tak, aby

spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické

posloupnosti.

10

Součet n- členů aritmetickém

posloupnosti

Př.

V aritmetické posloupnosti je dáno: a6 = 9 , a17 = 20. Určete s200.

s200 = 200

2( a1 + a200), musíme určit a1, a200

a17 = a6 + 11d a6 = a1 + 5d a200=a1 + 199d

20 = 9 + 11d 9 = a1 + 5 a200 =4 + 199

d = 1 a1 = 4 a200 = 203

s200 = 200

2( 4 + 203)

s200 =20 700

11

Př.

Kolik prvních členů aritmetické posloupnosti dává součet 250, je-li a3 = 5, d = 1.

sn = 𝑛

2 (a1 + an) sn = 250, určíme a1, a3 = a1 + 2d, an = a1 + (n-1)d

5 = a1 + 2 → a1 = 3

an = 3 + n – 1 → an = 2 + n

250 = 𝑛

2 ( 3 + 2 + n)

500 = 5n + n2

n2 + 5n - 500 = 0, n1 = 20 n2 = -25 n ∈ N, proto vyhovuje pouze n1.

Součet 250 dává prvních dvacet členů aritmetické posloupnosti.

12

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ:

Př. Ţelezné trubky jsou srovnané do osmi řad tak, ţe vrchní řada má 13 trubek

a kaţdý další o trubku víc. Kolik je všech trubek?

Př. V trojúhelníku úhly tvoří aritmetickou posloupnost. Určitě ostatní úhly, pokud

nejmenší úhel má velikost 20°.

Př. Hrany kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jaké

jsou velké, pokud jejich součet je 24 cm a objem kvádru je 312 cm3? Ukaţ

řešení / Ukaţ všechna řešení.

13

Př. Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Delší

odvěsna má 24 cm. Vypočítejte obvod trojúhelníku.

Př. Zjistěte součet přirozených čísel 1+2+3+4+5+6+7+.............+100.

Př. V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, víte-li, ţe platí:

a) a6 = - 1

3 a16 s26 = 104

b) s5 = 60 s10 = 170

c) s10 = s11 = 165