Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni...

ZŠ a MŠ Ostrava Záb řeh, Kosmonaut ů 15, příspěvková organizace

Mgr. Jan Pavelka

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ

Poznámka autora

Následující studijní materiál slouží jako pom ůcka p ři výuce vybraných kapitol u čiva matematiky na základních školách. Jelikož se domnívám, že na geometrii je kladen minimální d ůraz, věnuji se především n ěkterým obtížn ějším kapitolám z planimetrie.

ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka, učitel matematiky II.st. [email protected]

1

OBSAH STUDIJNÍHO MATERIÁLU

1. SOUMĚRNOST...................................................................................2

2 SHODNOST................................................................................. 2

3 SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ..................................................... 3

4 VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ (SSS, SUS, USU)......... 4

5 OSOVÁ SOUMĚRNOST.............................................................12

6 OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY...................................................14

7 STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST ......................................................14

8 STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY............................................16

2. TROJÚHELNÍK..................................... ..............................................17

9 VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ..................................................18

10 DRUHY TROJÚHELNÍKŮ ...........................................................19

11 VÝŠKY TROJÚHELNÍKU............................................................20

12 TĚŽNICE TROJÚHELNÍKU.........................................................21

13 STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU ..........................................23

14 KRUŽNICE VEPSANÁ TROJÚHELNÍKU....................................23

15 KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU......................................25

16 OBVOD TROJÚHELNÍKU...........................................................26

17 OBSAH TROJÚHELNÍKU ...........................................................27

3. ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI.......................... .................................27

18 DRUHY ÚHLŮ.............................................................................28

19 DVOJICE ÚHLŮ..........................................................................29

20 OSA ÚHLU..................................................................................30

21 OPERACE S ÚHLY.....................................................................32

22 MĚŘÍCÍ PŘÍSTROJE...................................................................33

23 POČÍTÁME S ÚHLY A PŘEVODY JEDNOTEK ..........................33

24 SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ÚHLŮ ......................................................35

4. PŘEHLED ROVINNÝCH OBRAZCŮ ................................................36

5. PŘEHLED TĚLES A JEJICH PLÁŠT Ě.............................................38

6. METODICKÁ PŘÍRUČKA - HODINOVÉ DOTACE ..........................41

7. POUŽITÁ LITERATURA.............................. .....................................42

8. PŘÍKLADY NA PROCVI ČENÍ - PRACOVNÍ LISTY .........................43


2

1. SOUMĚRNOST

2 SHODNOST Shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které se po posunutí

na sebe navzájem kryjí . Několik rovinných útvarů je shodných, jestliže jsou každé dva z nich shodné.

Na papíře stačí jeden útvar vystřihnout a položit na druhý. Jestliže se přesně kryjí,

jsou shodné. Ne vždy však můžeme útvar vystřihnout, pomůžeme si tedy takzvanou

"Průsvitkovou metodou" . Ta spočívá v tom, že jeden z útvarů obkreslíme na

průsvitku a vzniklý obrys přesuneme na druhý útvar. Jestliže se obrysy obou útvarů

přesně překrývají, můžeme říct, že jsou útvary shodné.

Nezapomeňte, že shodné útvary mohou být umístěny v různých polohách. Mohou být

různě otočeny nebo převráceny. I vy tedy průsvitkou otáčejte a převracejte ji!

ZNAK SHODNOSTI…..

Dvě úsečky jsou shodné, mají-li stejnou délku!

│AB│ │CD│


3

Dva úhly jsou shodné, mají-li stejnou velikost!

│AVB│ │ ECD │

3 SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ Trojúhelníky ABC a KLM jsou shodné: │ABC│ │ KLM │

Zápis zárove ň ukazuje, že p ři přemístění průsvitkou p řejde

bod A do bodu K (první bod zápisu do prvního bodu)

bod B do bodu L (druhý bod do druhého bodu)

bod C do bodu M (t řetí bod do t řetího bodu)

∆ A B C ∆ K L M

Pak pro strany těchto trojúhelníků platí: a = k, b = l, c = m

Je skoro jasné, že při tomto přemístění se tedy nemění ani délky úseček ani velikosti

úhlů, proto pro naše dva shodné trojúhelníky platí:

pro úhly pak


4

4 VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ

• Věta SSS

Shodují-li se dva trojúhelníky ve všech třech stranách, pak jsou shodné.

• Věta SUS

Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou

shodné.

,

• Věta USU

Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých, pak jsou

shodné. ,

TĚCHTO VLASTNOSTÍ BUDEME VYUŽÍVAT P ŘI KONSTRUKCI TROJÚHELNÍK Ů.

VŽDY JE DŮLEŽITÉ VYUŽÍT SPRÁVNOU VĚTU (SSS, SUS, USU)!!!


5

Jak na to? Co je t řeba při rozhodování o shodnosti trojúhelník ů zapot řebí?

Snad vám pomůže následující postup:

1. Řádně prozkoumat zadání.

2. Rozmyslet si, co je zadáno, co není zadáno, co všechno je potřeba k vyřešení.

3. Na základě zadaných a známých hodnot (nejlépe v jednom trojúhelníku) se

rozhodnout pro jednu z výše uvedených vět a zjistit, zda platí potřebné tři rovnosti;

pokud ano, pak jsou trojúhelníky shodné.

Jak bude vypadat správné řešení víte, tudíž si vyzkoušíme všechny tři věty v praxi.

Příklad Sestroj trojúhelník ABC, který má délky stran a = 35 mm, b = 28 mm, c = 46 mm. Dle předcházejícího postupu nejdříve musíme rozmyslet, zda je vše podstatné

zadáno, abychom mohli tento trojúhelník sestrojit, zda platí trojúhelníková nerovnost

(popřípadě zda součet vnitřních úhlů nepřesáhl 180°)…

K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu SSS, jelikož známe všechny tři strany

trojúhelníku.

1) ROZBOR, kde si vše načrtneme a popíšeme, jak to zřejmě bude vypadat

v konstrukci.

2) POSTUP KONSTRUKCE, je přesný postup zapsaný pomocí

matematických značek (celosvětově uznávané).

3) KONSTRUKCE, přesně provedena (s využitím měřidel, úhloměru, tužky)

1) ROZBOR

A c = 46 mm

a = 35 mm

b = 28 mm


6

Platí tedy tři nerovnosti : a + b > c a + c > b b + c > a

Pro náš ABC : 35 + 28 > 46 35 + 46 > 28 28 + 46 > 35

Trojúhelník ABC všechny tyto nerovnosti splňuje , lze jej tedy sestrojit!

2) POPIS KONSTUKCE

1. AB; │ AB│ = c = 46 mm

2. k; k ( A; b = 28 mm)

3. l; l ( B; a = 35 mm)

4. C; C k l náleží (leží na)

5. ∆ ABC průnik, pr ůsečík

3) KONSTRUKCE - pozor popis bod ů, kružnice (bez rozm ěrů…)

Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu…

1) .

2)

3)


7

4)

5)

Výsledek konstrukce!

Příklad Sestroj ∆ ABC, který má délky stran b = 28 mm, c = 46 mm a úhel α = 49°. K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu SUS, jelikož známe dvě strany a úhel

jimi sevřený.


8

1) ROZBOR

α < 180° (součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°) lze tedy ∆ ABC sestrojit!

2) POPIS KONSTUKCE

1. AB; │ AB│ = c = 46 mm

2. BAX; │ BAX│= 50°

3. k; k ( A; b = 28 mm)

4. C; C k AX náleží (leží na)

5. ∆ ABC průnik, pr ůsečík

AX polop římka AX

3) KONSTRUKCE - pozor popis bod ů, kružnice (bez rozm ěrů…)


1)

2)


9

3)

4)

5)

Výsledná

konstrukce!

Příklad Sestroj ∆ ABC, který má délku strany c = 46 mm a úhly α = 49° a β = 37°. K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu USU, jelikož známe stranu a oba úhly

jsou k ní přilehlé.

1) ROZBOR

α + β < 180° (součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°) lze tedy ∆ ABC sestrojit!


10

2) POPIS KONSTUKCE)

1) AB; │ AB│ = c = 46 mm

2) BAX; │ BAX│= 50°

3) ABY; │ ABY│= 37°

4) C; C BY AX náleží (leží na)

5) ∆ ABC průnik, pr ůsečík

AX polop římka AX

3) KONSTRUKCE - pozor popis bod ů (bez rozm ěrů…)


1)

2)

3)


11

4) a 5)

Výsledná

konstrukce!

PRO ZOPAKOVÁNÍ Každé dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se: a) ve všech t řech stranách - v ěta sss b) ve dvou stranách a úhlu jimi sev řeném - věta sus c) ve stran ě a dvou úhlech k ní p řilehlých - v ěta usu

Zápis: ABC A´B´C´ čteme trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem A´B´C´ .

a) SSS b) SUS c) USU

5 OSOVÁ SOUMĚRNOST


12

Osová souměrnost je zobrazení v rovině, které překlápí vzory přes osu. Jednoduše si

jej lze představit, jako obtisk po přeložení listu papíru. Osovou souměrností vznikne

tedy obraz, který je shodný se vzorem a převrácený ve směru kolmém na osu.

Původní obrazec nazýváme VZOR, ten který vznikne zobrazením nazýváme OBRAZ ,

ten označujeme většinou jako vzor s čárkou (A →A΄). Přímku, přes kterou se vzor

překlápí nazýváme Osa soum ěrnosti .

Všechny body, které leží na ose souměrnosti, zůstávají namístě a tedy i průsečíky

vzorů s osou souměrnosti se kryjí se svými obrazy. Takové body, jejichž vzory se kryjí

se svými obrazy nazýváme samodružné body (P = P´) .

Konstrukce obrazu v osové soum ěrnosti

Zadání : Sestrojte obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o.

Postup konstrukce:

Sestrojíme obrazy bodů A,B a spojíme v úsečku A'B'. Obrazy nalezneme tak, že

spustíme vždy ze vzoru kolmici na osu souměrnosti. Tím získáme bod P - patu

kolmice o kterém víme, že leží ve středu úsečky vzor obraz.

Nyní si ukážeme p řesný postup, krok po kroku!

1. Sestrojíme kolmici k ose z bodu A.


13

2. Sestrojíme bod A´ tak, aby bod P byl st ředem úse čky AA´.

3. Získali jsme obraz bodu A

4. Stejným zp ůsobem sestrojíme obraz

bodu B.

5. Získali jsem obraz úse čky AB v osové soum ěrnosti s osou o.

6 OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY


14

Osově soum ěrný útvar se dá rozdělit přímkou na dvě shodné části, pro které platí:

Když překlopíme jednu část podle této přímky, kryje se přesně s druhou částí.

U geometrických útvarů rozhodneme o jejich souměrnosti snadno. Setkali jsme se již

s úhlem a jeho osou souměrnosti (osou úhlu) a víme i že každá úsečka má svou osu

souměrnosti a to osu úsečky.

Osově souměrné útvary však neexistují pouze v geometrii, ale setkáváme se s nimi

denně. Příkladem může být tento motýl, některé dopravní značky a další předměty.

Útvary mohou mít i více než jednu osu soum ěrnosti!!

7 STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST

Středová souměrnost je, stejně jako souměrnost osová, zobrazení v rovině, které

převádí vzory na obrazy. Rozdíl oproti osové

souměrnosti je v tom, že překlopení vzoru probíhá

přes jediný bod, který nazýváme střed soum ěrnosti .

Konstrukce obrazu ve st ředové

soum ěrnosti


15

Zadání: Sestrojte obraz ∆ ABC ve st ředové soum ěrnosti se st ředem S.

Postup konstrukce:

Postupně vyneseme polopřímky AS, BS, CS a sestrojíme body A', B', C' tak, aby bod

S byl vždy středem úsečky vzor-obraz. Obrazy bodů A,B,C spojíme v trojúhelník,

čímž dostaneme obraz ABC ve středové souměrnosti se středem v bodě S.

Celý postup si nyní detailně rozklíčujeme.

1. Sestrojíme útvar, spojíme vrchol A s bodem S (st ředem soum ěrnosti)

polop římkou AS

2. Sestrojíme bod A´ tak, aby bod S byl st ředem úse čky AA´.

3. Postup opakujeme


16

i u bodu B. Vytvo říme jeho obraz B´.

4. Postup opakujeme i u bodu C. Vytvo říme jeho obraz C´.

5. Vytvo řené obrazy spojíme.

8 STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY

Středově soum ěrný útvar je vždy souměrný podle vlastního středu S. To znamená,

že ke každému bodu nalezneme jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S,

který rovněž náleží tomuto útvaru (střed S je samodružný bod).


17

2. TROJÚHELNÍK

Trojúhelník je mnohoúhelník s právě třemi vrcholy. Tato trojice bodů nesmí ležet na

jedné přímce.

Základní pojmy

Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníka . Úhly, které svírají

strany, se nazývají vnit řní úhly trojúhelníka. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se

nazývají vnější úhly trojúhelníka .

Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vrcholy, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého

vrcholu dva).

Znázorn ění a zápis

Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým

tiskacím písmenem , strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu

vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem . Trojúhelník se zapisuje

symbolem ∆ následovaným výčtem všech vrcholů.


18

9 VLASTNOSTI TROJÚHELNÍK Ů

Trojúhelníková nerovnost

Libovolný trojúhelník musí vždy splňovat trojúhelníkovou nerovnost.

Součet dvou libovolných stran je vždy delší než strana třetí, neboli

a + b > c

a + c > b

b + c > a , kde a, b, c jsou strany trojúhelníka.

Součet všech vnit řních úhl ů je v každém trojúhelníku 180°!!!

Dále platí: Sou čet vnit řního a p říslušného vn ějšího úhlu je 180°.


19

10 DRUHY TROJÚHELNÍKŮ

Podle stran

obecný trojúhelník (též různostranný) - žádné dvě strany nejsou shodné

rovnoramenný trojúhelník - dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou

shodné s třetí stranou

rovnostranný trojúhelník - všechny strany jsou shodné

Podle úhl ů

ostroúhlý trojúhelník - všechny vnitřní úhly jsou ostré

pravoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré

tupoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré


20

11 VÝŠKY TROJÚHELNÍKU Výška je kolmice spušt ěná z vrcholu na prot ější stranu.

Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky .

Každý trojúhelník má tři výšky. Výšky se označují malým písmenem v s dolním

indexem příslušné strany (vc).

V následujících krocích můžete podrobně sledovat jednotlivé kroky při sestrojování

výšek v trojúhelníku ABC.

1. Sestrojíme trojúhelník ABC, podle v ěty SSS.


21

2. Přiložíme trojúhelník ryskou ke stran ě c. Poté sestrojíme kolmici tak,

že spojíme vrchol C s touto stranou. Postup opakuje me u strany a i b.

12 TĚŽNICE TROJÚHELNÍKU Těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice.

Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá TĚŽIŠTĚ.

Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2:1, přitom vzdálenost těžiště

od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Těžnice se označují

malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany.

2 díly : 1 dílu (každý díl = 3

1 tb)


22

V následujících krocích můžete podrobně sledovat jednotlivé kroky při sestrojování

těžnic v trojúhelníku ABC.

1. Sestroj trojúhelník ABC

2. Sestroj st ředy všech stran

3. Spoj vždy st řed strany s

prot ějším vrcholem

4. Výsledné t ěžnice ozna č (ta, tb, tc)


23

13 STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU

Střední p říčka je spojnice středů dvou stran. Každý trojúhelník má tři střední příčky.

Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné

strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky.

Střední příčky se označují malým písmenem s s dolním indexem příslušné strany.

14 KRUŽNICE VEPSANÁ TROJÚHELNÍKU

Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran

trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v

průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné

strany.


24

Střed kružnice vepsané je průsečíkem všech 3 os úhlů trojúhelníku.

1. Máme trojúhelník ABC .

2. Sestrojíme osu o 1 úhlu α.

3. Sestrojíme osu o 2 úhlu β.

4. Průsečík os o 1 a o2 je st řed S kružnice vepsané k. Tuto kružnici

sestrojíme, její polom ěr je dán vzdáleností st ředu S a libovolné strany

(určíme jej po sestrojení kolmice ze st ředu S na libovolnou stranu).


25

15 KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy

trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v

průsečíku os stran. Poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu.

Střed kružnice opsané je průsečíkem všech 3 os stran trojúhelníku.

1. Máme trojúhelník ABC .

2. Sestrojíme osu o 1 úsečky AB.


26

3. Sestrojíme osu o 2 ús. AC

4. Průsečík os o 1 a o2 je st řed S kružnice opsané k. Tuto kružnici

sestrojíme, její polom ěr je dán vzdáleností st ředu S a libovolného

vrcholu.

16 OBVOD TROJÚHELNÍKU Obvod trojúhelníka o se vypočte jako součet všech jeho stran:

O = a + b + c a, b, c jsou strany trojúhelníka

B

A

C


27

17 OBSAH TROJÚHELNÍKU Obsah trojúhelníka S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní

příslušné výšky:

S = 2

CVC • kde vc je výška příslušná straně c, NEBO S =

2BVB •

S = 2

AVA•

3. ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI Co je to úhel?

Úhel je část roviny omezená dv ěma polop římkami se spole čným po čátkem.

Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají ramena úhlu, společný

počáteční bod polopřímek se nazývá vrchol úhlu.

Znázorn ění a zápis

Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi

kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu.

Zápis úhlu se provádí pomocí řeckého písmene

nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí:

pomocný bod na prvním rameně - vrchol -

pomocný bod na druhém rameně.

• konvexní úhel AVB s označením AVB


28

• nekonvexní úhel AVB s označením AVB.

18 DRUHY ÚHLŮ

• Nulový úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě. Mezi rameny není nic = 0°.

• Ostrý úhel je úhel menší než pravý úhel.

• Pravý úhel je polovina přímého úhlu. Všimněte si na obrázku, že pravý úhel se

označuje tečkou v obloučku = 90° .

• Tupý úhel je větší než pravý úhel.

• Přímý úhel je úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky = 180°.

• Plný úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě, za úhel se považuje celá rovina

kolem nich = 360°.

• Konvexní úhel je úhel přímý nebo menší než přímý ≤ 180°

• Konkávní úhel je větší než přímý úhel ≥ 180°


29

19 DVOJICE ÚHLŮ • Vrcholové úhly jsou dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky.

Vrcholové úhly jsou shodné.

• Vedlejší úhly jsou dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena

jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.

• Souhlasné úhly jsou dva úhly, jejichž


30

první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom

směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou shodné.

• Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá

ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý).

Střídavé úhly jsou shodné.

20 OSA ÚHLU

Všechny úhly jsou osově souměrné, osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel

na dvě shodné části (poloviny úhlu). αα

Podrobný postup p ři


31

sestrojování OSY ÚHLU!

1. Je dán úhel AVB .

2. Z bodu V sestrojíme oblouk

kružnice, která protne obě

ramena úhlu - dostaneme

body X a Y.

3. Z bodů X a Y sestrojíme dva stejné oblouky kružnice (se stejným

poloměrem), které se protnou uvnitř úhlu AVB → vznikne bod Z.

4. Sestrojíme polopřímku VZ → úhel ZVB je polovinou úhlu AVB.


32

21 OPERACE S ÚHLY

• SČÍTÁNÍ ÚHLŮ

Dva úhly se sečtou tak, že se jedním ramenem přiloží zvenku k sobě a výsledný

úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí sečíst velikosti úhlů.

PRAKTICKY ŘEČENO:

1) Grafické sečtení úhlů a + b provedeme tak, že nejprve k jednomu rameni úhlu

a přeneseme úhel b mimo úhel a. To znamená, že se oba úhly nepřekrývají, pokud

jejich součet nepřesáhl 360o. Jejich součet je tedy úhel, který vymezila jejich

nesouhlasná ramena.

Při odečítání úhlů a - b postupujeme obdobně, pouze úhel b přeneseme dovnitř

úhlu a. Výsledný úhel opět vytyčují nespolečná ramena obou úhlů.

• ODČÍTÁNÍ ÚHLŮ

Dva úhly se odečtou tak, že se jedním ramenem přiloží dovnitř sebe a výsledný

úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí odečíst velikosti úhlů.


33

• NÁSOBENÍ ÚHLŮ PŘIROZENÝM ČÍSLEM

Násobení úhlu přirozeným číslem se převádí na opakované sčítání téhož úhlu tolikrát,

kolik je dané přirozené číslo. Početně se vynásobí velikost úhlu daným přirozeným

číslem.

• DĚLENÍ ÚHLŮ DVĚMA

Úhel se dělí dvěma sestrojením osy úhlu. Početně se vydělí velikost úhlu dvěma

22 MĚŘÍCÍ PŘÍSTROJE

Měřené úhlů je v praxi velmi důležité. Využívá je astronomie, geodézie a mnoho

dalších oborů. Proto se také vyvinula řada měřících přístrojů. Úhloměr je i základem

mnoha druhů dálkoměrů.

• úhlom ěr - nejjednodušší měřidlo - jedná

se o polokruhovou desku se stupnicí po

obvodu. Složitější přístroje mají pohyblivé

rameno.

23 POČÍTÁME S ÚHLY A PŘEVODY JEDNOTEK

Při počítání s úhlovými jednotkami bývá obvyklým problémem převod jednotek v dané

soustavě (šedesátkové). Všechny minuty i vteřiny větší než 59 musíme převádět.


34

• ZE STUPŇŮ NA MINUTY

Při převodu velikosti úhlu na minuty musíme vědět, že 1o = 60'. Vynásobíme tedy

stupně šedesáti a zbylé minuty k nim přičteme.

Př.: Převeďte 21o 15' na minuty.

21o 15' = 21o . 60 + 15' = 1 260' + 15' = 1 275'

• Z MINUT NA STUPNĚ

Při převodu velikosti úhlu z minut na stupně a minuty postupujeme přesně naopak

než v předchozím příkladě. Dělíme celočíselně, tudíž může po vydělení zůstat i

zbytek!!

Př.: Zapište úhel o velikosti 2421' ve stupních.

2421' : 60 = 40° a zbytek 21'

• VYJÁDŘENÍ ÚHLU DESETINNÝM ČÍSLEM

Stačí si připomenout, že 1o = 60'. To znamená že počet minut musíme tímto číslem

vydělit.

Př.:Vyjádřete velikost úhlu 12o 15' 18" desetinným číslem ve stupních.

12o 15' = 12o + 15o: 60 = 12o + 0,25o = 12,25o

• Z DESETINNÉHO ČÍSLA NA STUPNĚ

Opačný postup je poněkud složitější, avšak budeme jej jistě potřebovat. Leckdy bývají

naměřené velikosti úhlů v desetinném tvaru.

Zkusme tedy převést např. 42,4o na stupně, minuty:

1. Oddělíme celé stupně 42,4o = 42o + 0,4o

2. Desetinnou část vynásobíme 60ti (počtem minut) 0,4o.60 = 24'

3. Zapíšeme výsledek. 42,4o = 42o 24'


35

24 SČÍTÁNÍ A ODEČÍTÁNÍ ÚHLŮ

• SČÍTÁNÍ ÚHLŮ

Jsou-li velikosti úhlů udány ve stupňové míře a v případě že minuty nepřekročí

šedesátku, nemusíme si dělat žádné starosti. Sečteme zvlášť stupně a minuty:

12o 30' + 60o 20' = (12o+60o) + (30'+20') = 72o 50'

Problém nastane, pokud při součtu minut dostaneme více než 60'!

Pak nesmíme zapomenout opět převést do základního tvaru!!

Př: Sečtěte : 10o 50' + 40o 29'

Sčítat začneme odzadu, tzn. od minut po stupně, aby se nám lépe převádělo:

50' + 29' = 79' = 60' + 19' = 1o 19'

20' můžeme opět zapsat do výsledku a nesmíme zapomenout 1o přičíst ke stupňům:

10o + 40o + 1o = 51o

10o 50' + 40o 29' = 51o 19'

• ODEČÍTÁNÍ ÚHLŮ

Odečítání velikostí úhlů musíme věnovat zvýšenou pozornost. Jestliže jsou všechny

části menšence větší než příslušné části menšitele, jednoduše je od sebe můžeme

odečíst:

Př.: 50o 40' - 20o 12' = (50o -20o ) + (40' - 12') = 30o 28'

Pokud však menšenci přísluší menší počet minut, než menšiteli, pak si můžeme

jednoduše potřebný počet stupňů menšence převést na minuty tak, aby výsledně byl

celkový počet minut menšence větší, než menšitele.

Př.: 159°12' - 38°36' = ( 158°+1° +12') - 38°36' = ( 158° + 60' + 12') - 38°36' =

158°72' - 38°36' = 120°36'


36

4. PŘEHLED ROVINNÝCH OBRAZCŮ

• TROJÚHELNÍK

S = 2

ava •

O = a + b + c

• ČTVEREC

S = a · a = a2

O = 4 · a

• OBDÉLNÍK

S = a · b

O = 2 · (a + b) = 2 · a + 2 · b

• ROVNOBĚŽNÍKY (KOSODÉLNÍK)

S = a · va

O = 2 · (a + b) = 2 · a + 2 · b

(KOSOČTVEREC)

S = a · va

O = 4 · a

a

a

va


37

• KRUH

S = π · r2

O = 2 · π · r

• LICHOBĚŽNÍK

S = 2

)( avca •+

O = a + b + c + d

• PRAVIDELNÝ ŠESTIÚHELNÍK

S = 2

6 ava •• = 3 · a · va

O = 6 · a

VYSVĚTLIVKY

O obvod

S obsah (obrazce), povrch (t ělesa)

V objem

a, b, c, d ozna čení stran

v, va výška, výška na stranu a

π Ludolfovo číslo (3,14159)

Spl obsah plášt ě

r polom ěr

Sp obsah podstavy

a

a


38

5. PŘEHLED TĚLES A JEJICH PLÁŠT Ě

• KRYCHLE

S = 6 · a · a = 6 · a2

V = a · a · a = a3

• KVÁDR

S = 2 · (a · b + b · c + a · c)

V = a · b · c

• HRANOL - DLE PODSTAVY NAP Ř. TROJBOKÝ , ŠESTIBOKÝ

S = 2 · Sp + Spl

V = Sp · v


39

• VÁLEC

S = 2 · π · r2 + 2 · π · r ·v

V = π · r2 · v

• PRAVIDELNÝ JEHLAN - ČTYŘBOKÝ

S = a2 + Spl

V = 3

2 va •


40

• PRAVIDELNÝ JEHLAN - TROJBOKÝ

S = a2 + Spl

V = 3

2 va •

• ROTAČNÍ KUŽEL

S = π · r · (r + s)

V = 3

2 vr ••π

• KOULE

S = 4 · π · r2

V = 3

4 3r••π


41

6. METODICKÁ PŘÍRUČKA

• Téma: SHODNOST

Ročník: 6.

Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR,

Mezipředmětové vazby: VV, FY

• Téma: SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ, VĚTY SSS, SUS, USU

Ročník: 7.

Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO

Mezipředmětové vazby: ICT - GRAFIKA, FY, PČ

• Téma: OSOVÁ SOUMĚRNOST, OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY

Ročník: 6.


Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY

• Téma: STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST, STŘED. SOUM. ÚTVARY

Ročník: 7.


Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY, FY

• Téma: STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST, STŘED. SOUM. ÚTVARY

Ročník: 7.


Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY

• Téma: VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ, VLASTNOSTI

TROJÚHELNÍKŮ, DRUHY TROJÚHELNÍKŮ, VÝŠKY, TĚŽNICE, STŘEDNÍ PŘÍČKY

TROJÚHELNÍKU, KRUŽNICE VEPSANÁ A OPSANÁ TROJÚHELNÍKU

Ročník: 6.


Mezipředmětové vazby: PČ, FY, ICT

• Téma: OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU

Ročník: 5. - 7.

Pomůcky: PRAVÍTKO, KALKULAČKA

Mezipředmětové vazby: PČ, FY


42

• Téma: ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI - CELÁ KAPITOLA

Ročník: 6.

Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA

Mezipředmětové vazby: PČ, FY

• Téma: ROVINNÉ OBRAZCE - N - ÚHELNÍKY, KRUH, KRUŽNICE

Ročník: 4. - 7.

Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA

Mezipředmětové vazby: PČ, VV

• Téma: TĚLESA A JEJICH PLÁŠTĚ - KRYCHLE, KVÁDR, JEHLANY..

Ročník: 6. - 9.

Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA,

KOSTKY, KRABIČKY OD ZÁPALEK…

Mezipředmětové vazby: PČ, FY, ICT, DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE,

7. POUŽITÁ LITERATURA [1] Odvárko Oldřich, Kadleček Jiří: Matematika pro 6. ročník základní školy [3] Prometeus 1997; ISBN 80 - 7196 - 092 - 6 [2] Odvárko Oldřich, Kadleček Jiří: Matematika pro 7. ročník základní školy [3] Prometeus 1999; ISBN 80 - 7196 - 129 - 9 [3] Běloun František a kolektiv: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ SPN 1992, 6.vydání; ISBN 80 - 04 - 26365 - 8 [4] Mikulčák Jiří a kol.: Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro SŠ SPN 1988; ISBN 14 - 257 - 89 [5] http://www.e-matematika.cz/ [6] http://cs.wikipedia.org [7] http://www.math.muni.cz/~rvmo/ [8] http://www.scio.cz


43

8. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ (A) Dopočítej velikosti všech chybějících úhlů v obrázku :

(B) Sestroj trojúhelník ABC : a = 7,4 cm (náčrt, konstrukce, rozbor) b = 9 cm

c = 14 cm V tomto trojúhelníku ABC sestroj těžnice. (C) Sestroj trojúhelník KLM : k = 8 cm l = 12 cm m = 9 cm Sestroj kružnici opsanou tomuto trojúhelníku KLM. (D) Sestroj trojúhelník ABC : a = 6 cm b= 12 cm c = 7 cm Sestroj kružnici vepsanou tomuto trojúhelníku.


44

A

B

C

(E) Sestroj výšky v následujícím trojúhelníku: (F) Rozhodni který z následujících trojúhelníků je: Rovnoramenný Rovnostranný Pravoúhlý Ostroúhlý Tupoúhlý

1

3

2

4

5


45

(G) Vypočítej obsah trojúhelníku z následujícího obrázku:

(H) Narýsuj trojúhelník s délkami stran: a= 4,5 cm b = 6 cm c = 5,7 cm Potom změř jeho výšku a vypočítej obvod a obsah trojúhelníku. (I) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku MNP

(J) Sestroj výšky v následujícím trojúhelníku:

M

N

P

D E

F


46

(K) Rozhodni zda platí: Bod F patří úhlu: α, DVC, AUC, BUC Bod E patří úhlu: α, β, DVC, AVC, DVB,

Vrchol úhlu ADC je bod: A, C, B

(L) Sestroj osu konvexního úhlu KLM:

(M) Změř velikosti úhlů v trojúhelníku ABC

K

M

L

L

K M

A B

C


47

(N) Rozhodni co platí: A) úhly α a γ jsou vrcholové

B) úhly β a δ jsou vedlejší

C) úhly γ a δ jsou vrcholové

D) úhly β a α jsou vedlejší

(O) Graficky sečti úhel β a KLM:

(P) Sestroj rozdíl úhlů KLM a β:

(Q) Sestroj rozdíl úhlů KLM a β:

K

M

L

K

γ

α

δ

β

K

M

L

β

β


48

(R) Sestroj osy následujících úhlů: α =90° β = 60°

(S) Narýsuj si libovolný ostrý úhel α . Graficky sestroj: A) 2 • α

B) 2

α

Jaké druhy úhlů Ti vyšly?? Pojmenuj je…

(T) Bez měření zapiš velikosti úhlů α, β a γ.

(U) Známe úhly α =137° 35´ a β = 69° 58´

β

β

β

α

39°

γ


49

Vypočítej α + β α – β 2 α + ½ β Výsledky převeď do základního tvaru ( > 60°)

(V) V osové souměrnosti s osou o sestroj obraz

(W) Ve středové souměrnosti se středem v bodě D sestroj následující obraz

(X) Sestrojte β menší než 90°. Sestroj osu β.

(Y) Jaký je objem kvádru, který má výšku 18 dm,

délku 6 dm a úhlopříčku dolní podstavy 10 dm?

(Z) Kolik středů souměrnosti má osa úsečky?

OBTÍŽNĚJŠÍ ÚLOHY NA PROCVIČENÍ

o

D


50

(AA) Obrazec na obrázku je vytvořen ze dvou shodných malých půlkruhů a jednoho velkého půlkruhu. Obvod obrazce je 219,8cm. Vypočítej poloměr r. Výsledek zaokrouhli na celé centimetry

(BB) Kolik sloupků je potřeba na oplocení čtvercové zahrádky o výměře 1 aru, je-li mezi sloupky plotu vzdálenosti 2 m?

(CC) Vypočítej obsah obruče, která je na obrázku vyznačena černou barvou. Vnější průměr je 560 mm a vnitřní průměr 480 mm.

(DD) Který z následujících útvarů má největší součet os souměrnosti se středy souměrnosti?

� čtverec � pravidelný šestiúhelník � rovnostranný trojúhelník � kruh

(EE) Z kruhové desky o poloměru 16 cm má být vyříznuta část tvaru čtverce (viz. obrázek). Jakou bude mít čtverec plochu?

(FF) Bedna ve tvaru kvádru s rozměry 120 cm, 96 cm, 144 cm je přesně zaplněna krabičkami tvaru krychle o hraně 24 cm. Kolik nejvíce krabiček se vejde do bedny?


51

(GG) Vypočítej kolik zaplatíme za barvu na bazén, když víš, že jeho rozměry jsou 22 m x 12 m a hloubka je 1,5 m. Na 5 m2 vystačí jedna plechovka barvy za 136 Kč.

(HH) Vypočítej povrch válce, jehož poloměr je 5 cm a jeho objem je 345 cm3. ¨

(II) Terasa má tvar rovnoramenného lichoběžníku má délku 10,4 m, délka ramene je 5,7 m a velikost vnitřního úhlu mezi ramenem a základnou je 65°.

a) Urči přibližně, kolik čtverečných metrů dlaždic bude potřeba na vydláždění terasy. b) Podél obou „ramen“ a kratší „základny“ lichoběžníkové terasy bude zábradlí. Urči jeho délku.

(JJ) Obsah rovnoběžníku EFGH je 56 cm2. Vypočítej jeho výšky, když víš, že délky jeho sousedních stran jsou e = 7 cm, f = 14 cm.

(KK) Jehlan s obdélníkovou podstavou o rozměrech 6 dm a 8 dm má boční hranu dělky 13 dm. Vypočítejte povrch a objem tohoto jehlanu a načrtněte jeho síť.


52

A

C

(LL) Vypočítejte povrch a objem rotačního kužele, jehož obvod podstavy je 125,6 cm a strana má délku 25 cm.

(MM) Vypočítej obsah pravidelné čtyřcípé hvězdy, když víš, že její obvod je 120 cm a vzdálenost bodů IACI = 5 cm je

(vhodně rozděl na trojúhelníky a …)

(NN) Kolik litrů vody může maximálně za jednu sekundu odvádět koryto, jehož průřezem je půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost toku vody 80 cm / s?

(OO) Vypočitej objem hranolu s kosočtvercovou podstavou, jehož jedna uhlopříčka podstavy má délku 20 cm a hrana podstavy má délku 26 cm. Délka hrany podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3.

(PP) Pan Dvořák postaví u svého nového domu místo obyčejněho plotu zeď z cihel. Zeď bude dlouhá 47 m, vysoká 2,5 m a 29 cm široká. Cihla má rozměry 29 cm, 14 cm a 6,5 cm. Pan Dvořák objednal 5000 cihel. Vypočítej, zda mu budou stačit na celou zeď.

(QQ) Sníh napadl 3 dm 5 cm vysoko. Jak velký zaujímá prostor na dvoře 18 m širokém a 26 m dlouhém? Kolik sněhu je potřeba odházet na cestičku 1,5 m širokou ve směru délky?

Date post:	05-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	14 times
Download:	0 times

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni...

Documents