Addison Rı́os Bolı́var

x(t) = A( )x(t) + B( )

u(t)

y(t)= C( )x(t)

u(t) = K y(t)

CONTROL DE SISTEMAS LINEALES:

Realimentando la Salida

Editorial Académica Española

Mérida, Junio 2014

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Addison Rı́os Bolı́varNacido en Upata, estado Bolı́var, Venezuela, obtuvo su grado de Ingeniero Elec-

tricista (1987), y el grado del Magister Scientiae en Sistemas de Control (1994) en laUniversidad de Los Andes, Mérida, Venezuela. El ha obtenido su grado Doctor en Sis-temas Automáticos (2001), en la Université Paul Sabatier, Toulouse, Francia; y el gradode Doctor en Ciencias Aplicadas (2003), en la Universidad de Los Andes, Venezuela.

Actualmente es Profesor Titular en el Departamento de Sistemas de Control de laFacultad de Ingenierı́a, Universidad de Los Andes. Ha publicado mas de 300 artı́cu-los cientı́ficos en Revistas, Libros y Actas de conferencias. El es co-autor de los librosintitulados: “Sistemas MultiAgentes y sus Aplicaciones en Automatización Indus-trial”, e “Implementando Técnicas de Control Acotado: Un Enfoque Basado enTolerancia a Fallos”. Forma parte de varios comités editoriales para revistas y con-ferencias. Ha sido jurado para adjudicar premios cientı́ficos, y para la evaluación detrabajos de grados de maestrı́a y doctorado, tanto a nivel nacional como internacional.

Dr. Rı́os ha desarrollado varias herramientas para la supervisión de procesos técni-cos para la empresa petrolera venezolana, PDVSA. Ası́ como asesorı́as a diferentes em-presas del sector minero siderúrgico.

Ha sido reconocido por el Programa de Promoción a la Investigación del Fonacit ydel CDCHTA de la Universidad de Los andes, también por el Programa de Estı́muloa la Investigación e Innovación del Observatorio Nacional de Ciencia, Tecnologı́a eInnovación.

Sus áreas de interés de investigación son: Control Automático, Detección y Diagnós-tico de Fallas, Control Robusto, Automatización.

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Primera Edición, 2014© Addison Rı́os Bolı́var, 2014.

Titulo de la obra:

CONTROL DE SISTEMAS LINEALESRealimentando la Salida

Autor:

Addison RIOS BOLIVAR, Dr.

Diseño gráfico:

Ing. Paola Rivero

HECHO EL DEPÓSITO DE LEY

Depósito Legal: lf07420136204553

ISBN: 978-3-8484-7104-1

Dedicado

Para todos aquellos que saben apreciar la aplicabilidad de los funda-mentos de una teorı́a en la solución de problemas prácticos.

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iv

Agradecimientos

El progreso y la finalización de este trabajo ha sido posible gracias al apoyo finan-ciero del CDCHTA-ULA, a través del Proyecto No. I-1302-12-02-B, por lo que se lebrinda el más sincero agradecimiento.

Dr. Orestes Llanes Santiago, Decano del Instituto Superior Politécnico “José An-tonio Echeverrı́a”, CUJAE, Facultad de Ingenierı́a Eléctrica, Departamento de Automáti-ca y Computación, La Habana, Cuba, (orestes@electrica.cujae.edu.cu); quien se ha de-dicado, desde su valioso tiempo y de manera desinteresada, a la revisión sistemáticadel material, aportando comentarios que han enriquecido y mejorado este documento.

Dr. Francico Herrera Fernández, Profesor Titular de la Universidad Central de LasVillas, (herrera@uclv.edu.cu), quien ha tenido la gentileza y la dedicación para haceruna revisión de lo escrito, realizando una serie de sugerencias y comentarios orientadosal mejoramiento de lo que se pretende transmitir con estas notas.

Les expreso un profundo reconocimiento a todos mis estudiantes quienes, por me-dio de sus proyectos de grado y tesis, han permitido el desarrollo y culminación de estedocumento.

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vi

Índice general

Acrónimos xiv

Prefacio xvii

I Bases Fundamentales 1

1. Sistemas no lineales 31.1. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Métodos de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Método directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Método indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. La visión algebraica diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Diseño de observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Sistemas Lineales 212.1. Nociones de linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1. Linealización Extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Los Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo, LTV . . . . . . . . . . . . 262.3. La matriz de transición de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Propiedades de los sistemas LTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1. Alcanzabilidad y Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5. Observabilidad y Reconstructibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6. Construcción de los Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7. Los sistemas lineales invariantes en el tiempo, LTI . . . . . . . . . . . . 49

2.7.1. La Condición de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7.2. La Condición de Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.7.3. Detectabilidad de los sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3. Sistemas LPV 613.1. IDL politópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2. Estabilidad de Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Comentarios concluyentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

II Sı́ntesis de Controladores por Realimentación de la Salida 69

4. Control por SOF 714.1. Introducción: Realimentación de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. Control por SOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.1. Control por RDS via SOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

vii

viii ÍNDICE GENERAL

4.3. Control por SOF Extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5. Control óptimo robusto 935.1. Regulador Lineal Cuadrático (LQR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2. Solución del Problema del LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.1. Método del Principio de Mı́nimo de Pontryagin . . . . . . . . . . 945.2.2. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3. Solución de la Ecuación de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3.1. Selección de las matrices M , Q y R . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3.2. LQR con realimentación de la salida . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.4. Regulador Cuadrático Lineal Gaussiano (LQG) . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.1. Filtro de Kalman-Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4.2. Solución del LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4.3. Principio de Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4.4. Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5. Control óptimo en H2-H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.5.1. Control óptimo en H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.5.2. Cálculo de la norma H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.5.3. Cálculo de controladores óptimos en H2 . . . . . . . . . . . . . . 1145.5.4. Controladores óptimos en H2 basados en LMI . . . . . . . . . . . 1155.5.5. Control óptimo en H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.5.6. Cálculo de la norma H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.5.7. Cálculo de controladores óptimos en H∞ . . . . . . . . . . . . . . 1205.5.8. Controladores óptimos en H∞ basados en LMI . . . . . . . . . . 1215.5.9. Control con asignación de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5.10. Control óptimo robusto multiobjetivos . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.6. Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.7. Control Robusto H2-H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.7.1. Control robusto por realimentación de estados . . . . . . . . . . 1435.7.2. Control robusto H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.7.3. Control robusto H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.7.4. Control robusto H2 −H∞ multiobjetivos . . . . . . . . . . . . . . 1505.7.5. Estabilización robusta por SOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.8. Control Robusto H2-H∞ por SOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.8.1. Control robusto H2 por SOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.8.2. Control robusto H∞ por SOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.8.3. Control robusto H2 −H∞ multiobjetivos por SOF . . . . . . . . . 164

5.9. Control Robusto por SOF Extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.9.1. Control robusto en H2 por SOF extendida . . . . . . . . . . . . . 1725.9.2. Control robusto en H∞ por SOF extendida . . . . . . . . . . . . . 1735.9.3. Control robusto por RDS mediante SOF . . . . . . . . . . . . . . 177

5.10.Control de sistemas no lineales: Un enfoque de LPV . . . . . . . . . . . 1825.10.1. Control de un levitador magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.10.2. Control de un manipulador robótico . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.10.3. Control de un fermentador continuo . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.11.Comentarios concluyentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

ÍNDICE GENERAL ix

III Anexos 209

A. Algebra Diferencial 211A.1. Las Estructuras Algebraicas de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

A.1.1. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211A.1.2. Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213A.1.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.2. Las Anillos Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215A.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

A.3. Los Cuerpos Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.4. Teorema de Wei-Norman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.5. Teorema de Eliminación de Estado de Diop . . . . . . . . . . . . . . . . 219

B. Espacio de Señales y Normas 221B.1. Señales y Normas de Señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221B.2. Sistemas y Normas de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

B.2.1. La Norma H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223B.2.2. La Norma H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

C. Las LMI 227C.1. Las LMI’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227C.2. Resultados importantes con LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

C.2.1. Problemas de autovalor (eigenvalue problems) . . . . . . . . . . . 229C.2.2. Lema Real Acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230C.2.3. Norma H2 como LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230C.2.4. Desempeño H2 relajado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

x ÍNDICE GENERAL

Índice de figuras

1. Modelos de Sistemas: Exactitud -vs- Complejidad. . . . . . . . . . . . . xviii

1.1. AlexanderMihailovich LYAPUNOV. Nació en Yaroslavl, Rusia, 6-6-1857.Murió en Odessa, el 3-11-1918. Creador de la Teorı́a General de Estabi-lidad de Sistemas Dinámicos: “The General Problem of Stability of Mo-tion”(1892). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Xss Lyapunov estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Xss asintóticamente estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Xss inestable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. La salida verdadera ( — ) y la salida estimada (- - -) . . . . . . . . . . . . 181.6. El error de las salidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Rudolf Emil KÁLMÁN. Nacido en Budapest, 19-05-1930. Pionero en laintroducción de métodos modernos en Teorı́a de Sistemas, incluyendoconceptos de controlabilidad, observabilidad, filtrado y estructuras al-gebraicas. Ha sido una de las personalidades mas influyente en la Teorı́ade Sistemas y Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Carl Gustav Jacob Jacobi. Nacido el 10 de diciembre de 1804 en Potsdam,Prusia (Alemania). Muere el 18 de febrero de 1851, en Berlı́n, Alemania.Famoso por sus trabajos sobre: Órbitas y gravitación. Relatividad gene-ral. Matrices y determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Métodos de linealización realimentada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4. Diagrama de implantación del observador de Luenberger . . . . . . . . 58

3.1. Conjunto convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Conjunto no convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1. La realimentación de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. La realimentación dinámica de la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3. Simulación para el Ejemplo 4.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4. El control del Ejemplo 4.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5. La salida controlada del Ejemplo 4.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6. El control del Ejemplo 4.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7. La salida controlada del Ejemplo 4.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.8. El control del Ejemplo 4.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.9. La salida controlada del Ejemplo 4.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1. Lev Semenovich PONTRYAGIN. Nacido en Moscú, 3-09-1908. Murió el3-05-1988. A pesar de su ceguera, ha sido considerado como uno delos mas grandes matemáticos del siglo xx. Su Principio de Máximo esfundamental en la Teorı́a Moderna de Optimización. . . . . . . . . . . . 93

5.2. Diagrama de bloques para el LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3. Realización del Estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4. Realización Cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.5. Simulación para el LQR de Horizonte Finito . . . . . . . . . . . . . . . . 106

xi

xii ÍNDICE DE FIGURAS

5.6. Simulación para el LQR de Horizonte Infinito . . . . . . . . . . . . . . . 1085.7. Simulación para el LQR por SOF del Ejemplo 5.4.3. . . . . . . . . . . . 1095.8. Resultados para el LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.9. Diagrama esquemático para el control óptimo por realimentación dinámi-

ca de la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.10.Regiones básicas para la ubicación de los polos en el plano s. . . . . . . 1245.11. Salida controladas z1,2(t) y z3,4(t) del Ejemplo 5.6.2. . . . . . . . . . . . . 1345.12.Diagrama de valores singulares para el Ejemplo 5.6.2. . . . . . . . . . . 1345.13. Salidas controladas: Altitud relativa y1(t), Velocidad y2(t) para el Ejem-

plo 5.6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.14. Salida controlada: Ángulo de elevación y3(t). Diagrama de valores sin-

gulares para el Ejemplo 5.6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.15. Salidas controladas: z1(t), z2(t) del Ejemplo 5.6.4 . . . . . . . . . . . . . 1415.16.Polos de lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.17.Diagrama de valores singulares para el Ejemplo 5.6.4. . . . . . . . . . . 1425.18.Los polos en lazo cerrado del Ejemplo 5.7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.19.Variación de los parámetros para el Ejemplo 5.7.1. . . . . . . . . . . . . 1455.20.El control para el Ejemplo 5.7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.21.Los estados del Ejemplo 5.7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.22.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.23.Variaciones de ρ para el Ejemplo 5.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.24.La señal de control del Ejemplo 5.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.25.La salida controlada del Ejemplo 5.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.26.Los polos del error de observación del Ejemplo 5.7.3. . . . . . . . . . . . 1565.27.Los estados y su estimación del Ejemplo 5.7.3. . . . . . . . . . . . . . . . 1565.28.Error de estimación del Ejemplo 5.7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.29.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.7.4. . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.30.Variaciones paramétricas en el Ejemplo 5.7.4. . . . . . . . . . . . . . . . 1605.31.El control u(t) del Ejemplo 5.7.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.32. Salida y(t) del Ejemplo 5.7.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.33.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.34.Variaciones de ρ para el Ejemplo 5.8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.35.La señal de control del Ejemplo 5.8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.36.La salida controlada del Ejemplo 5.8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.37.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.38.Variaciones de ρ para el Ejemplo 5.8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.39.El ruido del Ejemplo 5.8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.40.La salida medida del Ejemplo 5.8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.41.La salida controlada del Ejemplo 5.8.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.42.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.43.Variaciones de ρ para el Ejemplo 5.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.44.El ruido del Ejemplo 5.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.45.La salida medida del Ejemplo 5.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.46.La salida controlada del Ejemplo 5.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.47.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.48.Variación de ρ en el Ejemplo 5.9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.49.El control en el Ejemplo 5.9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.50.La salida en el Ejemplo 5.9.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.51. Sistema de control no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.52.El levitador magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.53.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.10.1. . . . . . . . . . . . . . . . 1845.54.Variaciones de U para el Ejemplo 5.10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.55.El control del Ejemplo 5.10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.56.La salida del Ejemplo 5.10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.57.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.10.2. . . . . . . . . . . . . . . . 1865.58.El control del Ejemplo 5.10.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.59.La salida del Ejemplo 5.10.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.60.Manipulador robótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.61.Polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.10.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.62.El control para el Ejemplo 5.10.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.63.La salida y U del Ejemplo 5.10.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.64.Un fermentador continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.65.Los polos del lazo cerrado del Ejemplo 5.10.4. . . . . . . . . . . . . . . . 1945.66.Parámetro SF del Ejemplo 5.10.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.67.El control u(t) del Ejemplo 5.10.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.68. Salida y(t) del Ejemplo 5.10.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

xiv

xv

Notación y acrónimos

Rn×n Matrices reales de dimensión n

Sn×n Matrices simétricas de dimensión n

Cn×n Matrices complejas de dimensión n

Diag([a1, . . . , an]) Matriz diagonal formada por los argumentos

AT Transpuesta de la matriz A

A−1 Matriz inversa de A, AA−1 = I

In Matriz identidad de dimensión n.

0m×n Matriz nula de m filas y n columnas.

‖G‖2 {12π

∫ ∞−∞

tr[G(jω)GT (−jω)]dω}1/2

‖G‖∞ supω σ(G(jω)

)σ,σ Valor singular máximo y mı́nimo

⊗ Producto tensorial o de Kronecker

λi(A) i-ésimo autovalor de A

A(i) i-ésima fila de A

≺ x,y � Producto interno de los vectores x,y

M† Inversa Moore-Penrose de la matriz M

rango(A) Dimensión del espacio rango de la matriz A

ker(A) Espacio nulo o kernel de A

Im(A) Espacio imagen de la matriz A

dim(A) Dimensión de A

F(x) > 0 Función definida positiva tal que zT F(x)z > 0,∀z � 0 ∈ Rn[A BC D

]Función de transferencia G(s) = C(sI−A)−1B

H∞ Conjunto de funciones G(s) asintóticamente estables, con∥∥∥G∥∥∥∞

xvi Notación y acrónimos.

ID Inclusión diferencial.

IDL Inclusión diferencial lineal.

RDS Realimentación dinámica de la salida.

SOF Realimentación estática de la salida.

LMI Desigualdad matricial lineal.

EVP Problema de Autovalores.

BRL Lema real acotado.

LFT Transformación lineal fraccional.

FDI Detección y aislamiento de fallas.

Prefacio

Los sistemas de control han jugado, y siguen jugando, un creciente rol para el avan-ce y desarrollo de las tecnologı́as de automatización industrial. Ası́, la ingenierı́a decontrol mediante el modelado, análisis y diseño, hace uso de señales realimentadaspara mejorar el desempeño de los sistemas controlados. En ese contexto, las áreas dela teorı́a de control actual son amplias e incluyen, el control clásico, control robusto,control adaptativo, control óptimo, control no lineal, redes neuronales, lógica difusa yel control inteligente.

Aunque la teorı́a de control, sobre la base de sus áreas de estudio, proporcionanumerosas herramientas de diseño para mejorar la respuesta de un sistema dinámico,a partir de ı́ndices de desempeño, no siempre es posible alcanzar los requerimientosde desempeño deseados, debido a la complejidad del modelo (dinámica no modelada,incertidumbres), o a la carencia de técnicas adecuadas de diseño, particularmente enel caso de los sistemas no lineales.

Durante varios años se ha incrementado la actividad de investigación en el análisisy sı́ntesis de los sistemas no lineales. El mayor reto es el de tratar de minimizar lascomplejidades que se definen a partir de la exactitud de los modelos, lo cual trae comoconsecuencia que el diseño de los sistemas de control sea muy exigente, más aún si setoma en cuenta las facilidades de implantación en ambientes prácticos. Tal como semuestra en la Figura 1, el diseño de sistemas de control depende en gran medida dela exactitud del modelo, que a su vez impone niveles de complejidad en la técnica desı́ntesis requerida.

En términos de las consideraciones prácticas, las complejidades de los sistemas acontrolar han dado al traste con todo lo desarrollado en la teorı́a de control de siste-mas lineales, ya que la gran mayorı́a de los sistemas de producción son no lineales,con parámetros variantes, con retardos de tiempo, entre otros aspectos, además de laslimitaciones y funcionamiento en ambientes ruidosos, lo cual imponen fuertes restric-ciones para la implantación práctica de los sistemas de control lineales.

En el caso de los sistemas no lineales, sus dinámicas son muy ricas en complejida-des; por lo tanto el procedimiento de formular una ley de control con un mecanismode diseño estándar exige una comprensión más profunda y una mayor sofisticación.De manera resumida, las propiedades de los sistemas no lineales se pueden enumeraren lo siguiente:

1. Tiempo finito de escape: El estado de un sistema no lineal puede ir al infinito entiempo finito.

2. Equilibrios múltiples: Un sistema no lineal puede tener puntos de equilibrio aisla-dos múltiples.

3. Ciclos lı́mites: Los sistemas no lineales pueden entrar en una oscilación de am-plitud y frecuencia fija independientemente de las condiciones iniciales o de losvalores propios linealizados del sistema.

4. Oscilaciones periódicas: Un sistema no lineal bajo excitación periódica puede osci-lar con frecuencias que sonmúltiplos de la frecuencia de la entrada de excitación.

xvii

Prefacio. xix

sistema no lineal a lo largo de las trayectorias de algún parámetro. Además, a partirde un modelo LPV se puede describir una dinámica LTI, bajo la consideración de unparámetro constante. Esto ha permitido el desarrollo de métodos y técnicas para elcontrol de sistemas complejos haciendo uso del amplio conocimiento que se tiene delos sistemas lineales, que se explica como el paradigma de control robusto de sistemasLPV.

En este contexto, este trabajo tiene la intención de constituir una base para el diseñode controladores, mediante realimentación de la salida, para sistemas dinámicos condescripción LPV. Está estructurado en dos partes. La primera parte establece las basesfundamentales para el análisis de los sistemas dinámicos. Esta parte está conformadapor tres capı́tulos que, según la complejidad de los sistemas, se inicia con el estudio delos sistemas no lineales (ver el Captı́tulo 1). Mediante aproximaciones, los sistemas nolineales se expresan como sistemas lineales.

Los sistemas lineales son analizados en el Capı́tulo 2. El estudio se realiza sobrela base de la estructura de los sistemas, utilizando los fundamentos geométricos, aobjeto de describir sus propiedades fundamentales. En la Sección 2.1 se describen, enforma resumida, las nociones de linealización, a partir de la cual se obtiene modelosrepresentativos LTV y LTI de sistemas no lineales. Los sistemas LTV son estudiado enla Sección 2.2, mientras que los sistemas LTI se analizan en la Sección 2.7.

Para concluir la primera parte, el Capı́tulo 3 está dedicado al análisis de los mo-delos LPV. Allı́ se explica como las inclusiones diferenciales lineales son una herra-mientas para expresar modelos LPV, que representan la descripción de sistemas nolineales. Si el modelo no lineal se formula como un sistema lineal parametrizado, don-de la parametrización es dependiente de los estados, permite que una descripción LPVrepresente un sistema no lineal no localmente, tomando ventaja de las propiedadesfundamentales de los sistemas lineales LPV para el diseño de controladores.

En consecuencia, la representación LPV de un sistema no lineal describe una clasede sistemas mayor que el sistema no lineal original. De modo que un sistema LPV esuna inclusión diferencial lineal, donde las no linealidades del procesos original soncapturadas por un vector de parámetros, que conduce a la sı́ntesis de controladoresrobustos.

La segunda parte de este texto está dedicada a la sı́ntesis de controladores por re-alimentación de la salida. Está constituida por el Capı́tulo 4, en el cual se trata larealimentación estática de la salida (SOF), partiendo de una introducción a la reali-mentación de estados. Allı́ se desarrolla la base fundamental de la SOF. Se explicacomo una realimentación dinámica de la salida se puede caracterizar como un diseñopor SOF. Finalmente se expone una SOF extendida, al realimentarse la salida y su de-rivada, mediante una justificación de esta técnica.

A continuación, en el Capı́tulo 5 se desarrolla el control óptimo robusto de sis-temas lineales, considerando el regulador lineal cuadrático, el regulador cuadráticogaussiano, para luego estudiar el diseño de controladores óptimo robusto de sistemaspolitópicos, mediante la estabilización y desempeño robusto, a partir de la evaluaciónde las normas H2 −H∞ de sistemas. La técnica de diseño se basa en la caracterizaciónde dichas normas como desigualdades matriciales lineales. La sı́ntesis de los controla-dores robustos siguen el procedimiento de realimentación de estados y de SOF, y SOFextendida.

xx Prefacio

Finalmente, en la Sección 5.10 se hace una evaluación del desempeño de contro-ladores para sistemas LPV, obtenidos por linealización extendida de una dinámica nolineal, aplicados al sistema no lineal original. La evaluación se realiza para las diferen-tes metodologı́as de sı́ntesis de controladores.

Oportuno señalar que, este documento espera, en primer lugar, dar luces sobre eldiseño de controladores por realimentación de la salida, cuando la dinámica repre-sentativa del proceso, contiene incertidumbres y perturbaciones. En segundo lugar,ser una inspiración para la evaluación, mediante comparación u otra metodologı́a, deldesempeño de controladores robustos, concebidos para sistemas LPV politópicos, yaplicados a sistemas no lineales.

Mérida, Addison Rı́os Bolı́varMayo 2014 ULA