THALETOVA VĚTA; THALETOVA KRUŽNICE

Matematická věta o velikosti úhlu trojúhelníku sestrojeného nad průměrem kružnice. Je pojmenována po Thalétovi (Thalés z Milétu v nynějším Turecku; řecký filosof, geometr a astronom, 624-547 př. n. l.), který ji jako první dokázal (jako první také používal při své práci kružítko a úhloměr).

Thaletova věta

Pro libovolný trojúhelník ABC platí:- jestliže je ABC pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB, leží vrchol C na kružnici „k“ s průměrem ABa- jestliže vrchol C leží na kružnici „k“ s průměrem AB, je trojúhelník ABC pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB

Kružnice, která je součástí konstrukce Thaletovy věty, se nazývá Thaletova kružnice. Jedná se o kružnici opsanou pravoúhlému trojúhelníku. Střed Thaletovy kružnice leží ve středu přepony pravoúhlého trojúhelníku. Máme-li např. trojúhelník ABC, říkáme, že Thaletova kružnice je sestrojena nad průměrem AB.

Ukázkový příklad:Sestrojíme libovolnou kružnici s průměrem „d“. Koncové body jejího průměru označíme A a B. Zvolíme libovolný bod C kdekoliv na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.

Takových trojúhelníků můžeme sestrojit libovolnémnožství.

Thaletova kružnice

Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.

Thaletovu větu a Thaletovu kružnici využijeme při konstrukcích pravoúhlého trojúhelníku, jestliže máme zadánu délku přepony a jedné z odvěsen, délku přepony a velikost vnitřního úhlu nebo pro konstrukci tečny z daného bodu ke kružnici.

př.: Sestroj pravoúhlý trojúhelník ABC: │AB│= 8 cm, │AC│= 3 cm. Strana AB je přepona.

Při řešení těchto příkladů postupujeme podobně jako u jiných konstrukčních úloh (např. v 6. a 7. třídě) tzn. uděláme rozbor úlohy, napíšeme postup konstrukce a trojúhelník narýsujeme = konstrukce.

Rozbor(črtáme tužkou, zadané údaje zvýrazňujeme v rozboru zeleně, zaznačujeme, jakým způsobem budeme úlohu řešit)

kružnice si můžeme označit libovolně

Postup konstrukce1) AB; │AB│= 8 cm (sestrojíme úsečku AB o délce 8 cm)2) S; S je střed úsečky AB (narýsujeme střed S úsečky AB; můžeme použít konstrukci pomocí

kružítka nebo jen zjistit polovinu zadané délky, pokud je to možné)3) k; k (S; │SA│) (narýsujeme kružnici „k“, se středem v bodě S a poloměrem délky

úsečky SA = Thaletova kružnice)4) h; h (A; 3 cm) (narýsujeme kružnici „h“, se středem v bodě A a poloměrem 3 cm;

nemusíme rýsovat celou kružnici, stačí nám pouze její část)5) C; C ∈ k ∩ h (bod C vznikne jako průsečík kružnic „k“ a „h“; náleží kružnici „k“ a

„h“)6) ∆ ABC (spojíme vrcholy; sestrojili jsme trojúhelník ABC)

Konstrukce

Při konstrukci vzniknou dva osově souměrné body

(C, C´) – rýsujeme pouze jedno řešení.př.: Sestroj pravoúhlý trojúhelník ABC: │AB│= 7 cm, α = 30°. Strana AB je přepona.

Rozbor

Při rozboru musíme brát v úvahu skutečnost, že potřebujeme popsat úhel u vrcholu A, což se v těchto příkladech dělá pomocí tří písmen a my je prozatím nemáme (vrchol C ještě „neexistuje). Proto si musíme zvolit libovolný bod (např. X), který vyznačíme na rameno úhlu (polopřímku) a díky kterému pak budeme moci úhel popsat do postupu konstrukce.

Postup konstrukce

1) AB; │AB│= 7 cm (úsečka AB, která má délku 7 cm)2) S; S ∈ AB; │SA│= │SB│ (střed S, který leží na úsečce AB; délka úsečky SA je shodná

s délkou úsečky SB; mohli bychom popř. zapsat také konkrétní délku úseček SA a SB)

3) k; k (S; │SA│) (kružnice „k“ se středem S a poloměrem SA; místo SA můžeme použít SB, protože jsou shodné nebo konkrétní rozměr tzn. v tomto příkladu 3,5 cm)

4) → AX; │∢BAX│= 30° (polopřímka AX; velikost úhlu BAX je 30°; místo značení úhlu můžeme zapsat XAB)5) C; C ∈k ∩ → AX (bod C vznikne jako průsečík kružnice „k“ a polopřímky AX – leží

na jejich průniku)6) ∆ ABC (sestrojili jsme trojúhelník ABC)

Konstrukce

př.: Sestroj tečny z bodu M ke kružnici k (S; 1,5 cm), │SM│= 5 cm.

Rozbor

- bod M se většinou črtá a poté rýsuje přibližně ve vodorovném směru – konstrukce je pak snazší- střed úsečky SM nemůžeme klasicky pojmenovat S, protože bod S již v rozboru máme (střed kružnice k)- Thaletova kružnice je v tomto příkladu pojmenována „h“ (protože obvyklé značení „k“ již má první kružnice) - úsečky ST1 a ST2 vyznačit nemusíme – můžeme ale díky

nim zkontrolovat správnost konstrukce – pravý úhel u T1 a T2

Postup konstrukce

1) k; k (S; 1,5 cm) (kružnice „k“ se středem S a poloměrem 1,5 cm)2) SM; │SM│= 5 cm (úsečka SM o délce 5 cm)3) O; O je střed úsečky SM (bod O, který je středem úsečky SM; můžeme pojmenovat i jinak)4) h; h (O; │OS│) (Thaletova kružnice „h“ se středem O a poloměrem OS; můžeme

napsat i OM nebo konkrétní velikost poloměru tzn. v tomto příkladu 2,5 cm)

5) T1; T1 ∈h ∩ k (bod dotyku T1, který vznikne jako průsečík kružnic „h“ a „k“)6) T2; T2 ∈h ∩ k (bod dotyku T2, který vznikne jako průsečík kružnic „h“ a „k“)7) t1; t1 je přímka MT1 (tečna t1, která je přímkou MT1)8) t2; t2 je přímka MT2 (tečna t2, která je přímkou MT2)

Konstrukce