Masarykova univerzitaProdovdeck fakulta

Bakalsk prce

Wirtingerova nerovnost

Anna Vymtalov

Vedouc prce: doc. RNDr. Bedich Pa, CSc.

Studijn program: APLIKOVAN MATEMATIKA

Studijn obor: MATEMATIKA - EKONOMIE

jaro 2011

Podkovn

Chtla bych podkovat panu doc. RNDr. Bedichovi Povi Csc. za v-br zajmavho tmatu a za cenn rady pi zpracovn bakalsk prce.

Prohen

Prohlauji, e jsem svou bakalskou prci napsala samostatn a v-hradn s pouitm citovanch pramen.

V Brn, dne

Anna Vymtalov

Nzev prce: Wirtingerova nerovnostAutor: Anna VymtalovVedouc bakalsk prce: doc. RNDr. Bedich Pa, CSc.stav matematiky a statistiky Prodovdeck fakulty, MU

Abstrakt: Tmatem tto bakalsk prce je Wirtingerova nerovnost, inte-grln nerovnost se irokm pouitm v oblasti matematick analzy. V prcije zpracovn vvoj a pvod tto nerovnosti a jsou zde uvedeny nerovnostiblzk, vetn diskrtnho tvaru, nerovnosti pro funkci vce promnnch,Opialovy nerovnosti a dal. Podrobn jsou zpracovny tyi dkazy Wir-tingerovy nerovnosti vyuvajc rznch nstroj matematick analzy. Po-sledn st se zabv vyuitm Wirtingerovy nerovnosti pro dkaz jinchnerovnost vetn izoperimetrick nerovnosti a pouitm v teorii diferencil-nch rovnic. Dodatek zahrnuje monosti rozen prce.

Klov slova: Wirtingerova nerovnost, izoperimetrick nerovnost, Fourie-rovy ady, periodick funkce, integrln nerovnosti

Title: Wirtingers inequalityAuthor: Anna VymtalovSupervisor: doc. RNDr. Bedich Pa, CSc.Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU

Abstract: The topic of this bachelor thesis is Wirtingers inequality - inte-gral inequality with wide range of use in calculus. The history of Wirtingersinequality is analyzed and some close inequalities are considered, includingdiscrete analogue of Wirtingers inequality, inequality for function of seve-ral variable, Opial inequality and others. Wirtingers inequality is provedusing four different methods of calculus. The last part deals with use ofWirtingers inequality for prooving another inequalities including isoperi-metric inequality and the application in the theory of differential equations.Addendum discusses possibilities of extending the thesis.

Keywords: Wirtingers inequality, isoperimetric inequality, Fourier series,periodic function, integral inequalities

Obsah

vod 6

1 Vvoj Wirtingerovy nerovnosti 7

2 Dkaz Wirtingerovy nerovnosti 142.1 Dkaz pomoc Fourierovch ad . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Lewyho dkaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Modifikovan dkaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Dkaz pomoc Cauchy-Schwarzovy nerovnosti . . . . . . . . 21

3 Pbuzn nerovnosti 233.1 Diskrtn podoba Wirtingerovy nerovnosti . . . . . . . . . . 233.2 Wirtingerova nerovnost pro vy d derivace a vy mocninu 253.3 Poincarho nerovnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Wirtingerova nerovnost pro funkce na sfe . . . . . . . . . . 273.5 Opialova nerovnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Aplikace 304.1 Dkaz jinch nerovnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Izoperimetrick nerovnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Diferenciln rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Dodatek 35

Literatura 36

5

vod

S Wirtingerovou nerovnost se nejastji setkme v publikacch zame-nch na diferenciln rovnice. Vtinou se vak jedn jen o krtkou zmnkus uvedenm nerovnosti a s odkazem na dkaz nebo se strunm popisemdkazu. Pitom jako Wirtingerova nerovnost bvaj oznaeny rzn nerov-nosti lic se zpravidla v podmnkch na funkci, v mezch uritho integrlunebo v uren ppadu rovnosti. Clem tto prce je systematicky shrnoutpoznatky, kter lze najt o tto nerovnosti v literatue, a podrobn zpracovatjej dkaz.

Prce je rozdlena do ty kapitol. Prvn kapitola se vnuje historickmuvvoji Wirtingerovy nerovnosti a vychz pedevm z prac [19] a [20]. Vedruh kapitole jsou podrobn zpracovny dkazy ty nerovnost Wirtinge-rova typu. Postupy dkaz vychzej z popis v [6], [11], [14] a [8]. Tetkapitola uvd nerovnosti pbuzn. Jedn se o Wirtingerovu nerovnost dis-krtnho typu ([1], [9]), Wirtingerovu nerovnost pro vy d derivace avy mocninu ([4], [5]), Wirtingerovu nerovnost pro funkci dvou a vce pro-mnnch ([8], [10], [19], [20]) a Opialovu nerovnost [3]. V posledn kapitolejsou uvedeny monosti pouit Wirtingerovy nerovnosti, a to pouit pro d-kaz jinch integrlnch nerovnost [9], pro dkaz izoperimetrick nerovnosti[12], [23] a pro diferenciln rovnice.

6

Kapitola 1

Vvoj Wirtingerovy nerovnosti

V literatue se meme setkat s nkolika rznmi integrlnmi nerov-nostmi, kter nesou jmno Wirtingerova nerovnost. Tato kapitola se zabvhistorickm vvojem Wirtingerovy nerovnosti, tedy tm, kdy a km bylaprvn publikovna, dokzna a z jakho dvodu je takto oznaovna. Bu-deme vychzet z prac [19], [20], kter se tomuto tmatu podrobn vnuj.

Uveme nerovnost, kter bv obvykle oznaovna jako Wirtingerova:

Vta 1.1 (Wirtingerova nerovnost). Nech f je periodick funkce s periodou2p, jej derivace je integrovateln v druh mocnin. Plat-li, e

2p

0

f(x)dx = 0,

pak

2p

0

(f(x))2 dx 2p

0

(f (x))2 dx. (1.1)

Rovnost nastane prv tehdy, kdy f(x) = A cosx + B sin x, kde A,Bjsou konstanty.

Vtina nerovnost nese sv jmno podle matematika, kter ji nebo jejdkaz prvn publikoval. V pracch Wilhelma Wiritingera vak tuto nerov-nost nenajdeme. Avak jeho k, Wilhelm Blaschke, tto nerovnosti ve svpublikaci Kreis und Kugel z roku 1916 Wirtingerovo jmno piadil, a do-konce napsal, e za dkaz tto nerovnosti vd W. Wirtingerovi. Zejmprv proto se oznaen ujalo. Je vak nutno podotknout, e podobn ne-rovnosti byly dokzny ji ped rokem 1916. A a natolik vznamn autoijako Hardy, Littlewood a Plya [11], Beckenbach a Bellman [4] nerovnost(1.1) oznauj jako Wirtingerovu, podle Mitrinovie [19], [20] francouzsk aitalsk odborn publikace nerovnost (1.1) s Wirtingerovm jmnem plinespojuj.

7

1. VVOJ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

Historickmu vvoji integrlnch nerovnost zahrnujcch mocninu funkcea mocninu jej derivace (takovto nerovnosti meme souhrnn oznait jakonerovnosti Wirtingerova typu) se vnuj ji ve zmnn publikace [19],[20], a to od roku 1885 a do konce osmdestch let dvactho stolet:

Prvn dkaz Wirtingerovy nerovnosti v podob (1.1) meme datovatrokem 1916, kdy poprv vychz Blaschkeho kniha Kreis und Kugel [6], tedyest let pot, co Blaschke na Vdesk univerzit zskal doktorsk titul podWirtingerovm vedenm, kter zde v letech 1903-1935 psobil. Nicmnnerovnosti Wirtingerova typu byly publikovny a dokzny ji dve. Na-pklad nerovnost (1.2) byla dokzna a publikovan L. Scheefferem v roce1885. Dal pravu podmnek tto nerovnosti provedl W. Stekloff.

Vta 1.2. Nech funkce f a jej prvn derivace f jsou spojit na uzavenmintervalu a, b a plat, e f(a) = f(b) = 0. Pak

(p

b a)2 b

a

(f (x))2 dx b

a

(f (x))2 dx. (1.2)

Podobnou nerovnost (1.3) s upravenmi podmnkami v roce 1905 dok-zal E. Almansi.

Vta 1.3. Nech f je spojit funkce a f jej spojit derivace. Pokud plat,

e f(a) = f(b) ab

af(x)dx = 0, pak

( 2pb a

)2 ba

(f (x))2 dx b

a

(f (x))2 dx. (1.3)

Podmnky dle oslabili i E. E. Levi v roce 1911 a L. Tonelli v roce 1914.Uvaujeme-li mnoinu funkc, kter spluj podmnky vty 1.2 i vty 1.3,

pak je nerovnost (1.3) silnj, nebo konstanta ped integrlnm vrazemje u tto nerovnosti vt.

Krom nerovnost obsahujc prvn derivace a druh mocniny funkce bylydokazovny nerovnosti s derivacemi a mocninami vyho (sudho) du.V publikaci J. D. Tamarkina z roku 1910 meme najt nerovnost, kter jeekvivalentem nerovnosti (1.2) pro druhou derivaci funkce. Obdobn v pub-likaci N. M. Kriloffa z roku 1915 meme najt nerovnost ekvivalentn ne-rovnosti (1.3). Jeliko nerovnost dokzan Kriloffem se od Tamarkinovy lipouze v hodnot konstanty a dodaten podmnce na stejnomrnou kon-vergenci Fourierovy ady funkce f , uvedeme pouze nerovnost dokzanouTamarkinem (1.4).

Vta 1.4. Nech f(x) je funkce s absolutn spojitou prvn derivac na in-

tervalu (a, b). Pokud f(a) = f(b) ab

af(x)dx = 0, pak

(p

b a)4 b

a

(f (x))2 dx b

a

(f (x))2 dx. (1.4)

8

1. VVOJ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

Vzhledem k tomu, e hodnota Kriloffovy konstanty je(

2pba

)4, je pro

funkce splujc podmnky Tamarkinovy i Kriloffovy nerovnosti Kriloffovakonstanta lep, protoe uruje silnj nerovnost. Hledn lep, poppadnejlep konstanty se objevuje u vvoje mnoha integrlnch nerovnost.

Pokud se pi hledn pedchdc Wirtingerovy nerovnosti neomezmena explicitn vyjden nerovnosti, meme zmnit i dlo . Picarda. Tense ji na konci devatenctho stolet dotkl podmnek na spojitost funkcef a jej prvn derivace a rovnosti f(a) = f(b), a to pi hledn funkce fmaximalizujc vraz

b

ap(x) (f(x))2 dxb

a(f (x))2 dx

,

kde p je kladn spojit funkce promnn x na intervalu (a, b). S maximalizackomplikovanjho vrazu, kter zahrnuje funkce dvou promnnch p(x, y) af(x, y), dvojn integrly a druh mocniny parcilnch derivac funkce f(x, y)ve jmenovateli, se meme setkat i v dle H. A. Schwarze z roku 1885 neboH. Poincarho z roku 1894. Ve zmnn E. E. Levi se tak vnoval pod-mnkm pro maximalizaci podobnch vraz, dky emu ve svch pracchz let 1906 a 1913 dokzal dokonce nkolik nerovnost zahrnujcch stejn in-tegrln vrazy jako Wirtingerova nerovnost (1.1) a uvedl i dal nerovnosti.Pklad takovto nerovnosti uvd i Mitrinovi:

Vta 1.5. Nech f je funkce splujc nsledujc podmnky:derivace funkce f je ohranien na intervalu (a, b),f(a) = f(b) = 0,|f(x)| < a.Rozdlme-li interval (a, b) do dvou doplkovch mitelnch podmnoin

k1 a k2, pak

b

a

(f(x))2 dx (b a)2

8

k1

(f (x))2 dx+ a(b a)

k2

|f (x)|dx,

b

a

|f(x)f (x)|dx (b a)2 + 8

16

k1

(f (x))2 dx+ a(b a

2 + 1)

k2

|f (x)|dx.

V publikacch M. Janeta, A. Pleijela a G. Cimmina z prvn poloviny dva-ctho stolet se objevuj dal nerovnosti Wirtingerova typu, kter zahrnuj2piperiodickou funkci, jej derivace je integrovateln ve druh mocnin.

V roce 1934 vychz prvn vydn knihy Inequalities [11]. Autory ttoknihy jsou G. H. Hardy psobc pevn na Cambridgesk a Oxfordsk

9

1. VVOJ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

univerzit, J. E. Littlewood psobc na Cambridgesk univerzit a G. Plya,kter absolvoval na univerzit Etvse Lornda v Maarsku, a dle psobilpostupn na ETH Zrich ve vcarsku a Stafordov univerzit ve Spojenchsttech. Za Wirtingerovu nerovnost je zde oznaena nerovnost ve tvaru (1.1)(Th. 258) a nsledujc nerovnost (Th.257):

Vta 1.6 (Th.257). Pokud funkce f spluje f(0) = f(pi) = 0 a jej derivaceje integrovateln ve druh mocnin, pak

pi

0

f(x)2dx pi

0

f (x)2dx. (1.5)

Rovnost nastane, prv kdy f(x) = C sin x

Dal zajmavou nerovnost v Inequalities [11] je nsledujc nerovnost:

Vta 1.7 (Th. 256). Jestlie f(0) = 0 a 2k je kladn sud slo, pak

1

0

f(x)2kdx C1

0

f (x)2kdx, (1.6)

kde

C = 12k 1(

2kpi

sin pi2k

)2k.

Rovnost nastv jen pro uritou hypereliptickou kivku.

Pro k = 1 zskme nerovnost

1

0

f(x)2dx 4pi2

1

0

f (x)2dx.

Th. 257 je pak specilnm ppadem Scheefferovy nerovnosti (1.2) promeze uritho integrlu 0, pi a uren rovnosti pro f(x) = C sin x.

V roce 1938 publikoval V. Levin prci zabvajc se integrlnmi nerov-nostmi [18], kde rozvd nkter vsledky z Inequalities [11]. Pracuje hlavns temi nsledujcmi nerovnosti:

1

0

f(x)yk(x)dx 1

0

(y(x))k dx, (1.7)

1

0

g(x)z2q(x)dx 1

0

(z(x))2q dx, (1.8)

1

0

h(x)wk(x)dx 1

0

(w(x))k dx. (1.9)

10

1. VVOJ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

Nerovnosti plat pro k sud, jestlie

f(x) = (k 1) ((x))k2(x)((x))k1 , I ,g(x) = (2q 1) ((x))2q2(x)((x))2q1 , II ,h(x) = (k 1) ((x))k2(x)((x))k1 , III ,

kde napklad I znamen, e pat do tdy funkc I , tzn. jedefinovna pro x 0, 1 a plat: (0) = (1) = 0; (x) existuje skorovude na (0, 1), ale nen toton s nulovou funkc; (x) je integrovatelnv k-t mocnin a (1+(x))je integrovateln v k-t mocnin pro nekonenmal (podrobnji Levin [18]). Levin se obzvl vnuje hledn nejlepkonstanty a ppadm, kdy nastane rovnost.

V roce 1940 publikoval E. Schmidt prci, na kterou pozdji navzalR. Bellman. Dokzali sloitj nerovnost, kter obsahuje krom integrlmocnin funkce a integrl mocnin jejich derivac i funkci dvou promnnchH(u, v), kter je definovna mimo jin i za pomoci gama funkce. Upravme-li podmnky kladen na tuto nerovnost a uvaujeme-li speciln ppad taktoupraven nerovnosti, zskme nerovnost (1.10), kter se bl Wirtingerov(1.1).

Vta 1.8. Nech f je funkce spojit na intervalu 0, a, pro kterou plat:

f(0) = f(a),a

0

f(x)dx = 0.

Pokud je jej derivace f spojit s vjimkou nejve spoetn mnoha boda funkce f , f jsou integrovateln v absolutn hodnot, pak

a

0

(f(x))2 dx a2

4pi2

a

0

(f (x))2 dx a(m+M

2

)2, (1.10)

kde

m = min0xa

f(x),M = max0xa

f(x).

R. Bellman dle rozvedl v roce 1943 prci D. H. Northcotta z roku1939, dky emu mohl dokzat nerovnost zahrnujc obecnou n-tou deri-vaci funkce a jej sudou mocninu. Tuto nerovnost meme povaovat zaekvivalent Wirtingerovy nerovnosti pro vy d derivace.

Dal autor, P. R. Beesack, se vnoval nerovnostem tvaru

+aap(x) (f(x))2 dx

+aa

(f (x))2 dx,

11

1. VVOJ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

+aap(x) (f(x))2 dx

+aa

(f (x))2 dx,

a spojitostem mezi diferencilnmi rovnicemi a Wirtingerovou nerovnost[20]:

Vta 1.9. Pedpokldejme, e diferenciln rovnice

y(x) + p(x)y(x) = 0,kde p(x) je funkce spojit na intervalu (a, a), m een y1(x) > 0 pro

x (a, a) a plat+aap(x)dx 0.

Pokud je f(a) = f(a) a f je integrovateln na intervalu (a, a), pak+aap(x) (f(x))2 dx

+aa

(f (x))2 dx. (1.11)

Rovnost nastane prv tehdy, kdy f(x) = Ay1(x), piem A = 0 pokudy1(a) 6= 0 nebo pokud y1(a) 6= 0.

Beesack se zabval ppady, kdy ve Wirtingerov nerovnosti dojde k rov-nosti, a tak dokzal nerovnost blzkou nerovnosti (1.6).

Vta 1.10. Nech f je integrovateln v 2k mocnin na intervalu pi, pi aplat f(pi) = f(pi) ,

pi

pif(x)2k1dx = 0.

Pak plat nerovnostpi

pif(x)2kdx 12k 1

(k sin pi2k

)2k pipif (x)2kdx. (1.12)

Tak se zabval ppady, kdy dojde k rovnosti.I dal autoi se vnovali nerovnostem s funkc p(x) podobnm nerovnosti

(1.11) (napklad W. J. Coles, B. A. Troesch). V edestch letech dokzaliJ. B. Diaz a F. T. Metcalf srii integrlnch nerovnost i s ppady rov-nosti. V tchto nerovnostech je konstanta ped integrlnm vrazem urenamaximem hodnot promnnch. Pkladem me bt nsledujc nerovnost:

12

1. VVOJ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

Vta 1.11. Nech je f funkce reln promnn spojit diferencovateln naintervalu konen dlky a, b. Pokud pro reln sla t1, t2 a t1 t2 bplat f(t1) = f (t2), pak

b

a

(f(x) f(t1))2 dx 4pi2C

b

a

(f (x))2 dx,

kde C = max(

(t1 a)2 , (b t2)2 ,(t2t1

2

)2).

Tyto nerovnosti dle roziovali dal autoi (I. Halperin, H. Pitt, A. M. Pfe-ffer aj.). Weinstein, Levi, Poincar a zejm i dal se vnovali studiu podlI/H, I/D, D/H, kde

H =

T

f(x, y)2dxdy, (1.13)

D =

T

(fx

)2+(f

y

)2 dxdy, (1.14)I =

T

(f

x+ fy

)2dxdy. (1.15)

Jak je vidt, podly D/H nebo I/H mohou vst k uren Wirtingerovynerovnosti pro funkci dvou promnnch. D. M. Mangeron pak pracoval s ob-dobnmi podly pro funkci f (x1, . . . xn) n promnnch, piem zde figurujfunkce p (x1, . . . xn), q (x1, . . . xn) obdobn jako funkce p(x) v (1.11).

13

Kapitola 2

Dkaz Wirtingerovynerovnosti

V literatue lze najt nkolik dkaz Wirtingerovy nerovnosti, kter vy-uvaj rznch postup.

asto je odkazovno na dkaz pomoc rozvoje funkc f(x), f (x) doFourierovch ad. Hlavn body tohoto dkazu uvd napklad Blaschke [6].

Dalm asto zmiovanm dkazem je dkaz v knize Inequalities [11],kter autoi pisuzuj matematikovi Hansi Lewymu.

Jednoduch dkaz dostaneme pouitm Cauchy-Schwarzovy nerovnostinebo vyjdenm pvodn funkce f(x) pomoc g(x) = f(x)sin(x) .

Beckenbach a Bellman v [4] uvdj dal dva dkazy Wirtingerovy ne-rovnosti; prvn vyuv Sturm-Liouvillev problm a dokazovan nerovnostspe Wirtingerovu nerovnost pipomn, ne e by se za ni dala pmo ozna-it. Nerovnost toti vyjaduje vztah mezi

2pi

0

p (f(x))2 dx a2pi

0

(f (x))2 dx,

kde p je omezen kladn funkce. Jedn se tedy o obdobnou nerovnost,jako je (1.11). Druh dkaz vychz z een Riccatiho diferenciln rovnice.

Tak jednotliv dokazovan nerovnosti se li, a to napklad v mezchuritho integrlu, v podmnkch na funkci f(x) nebo v hodnot konstantyped integrlnm vrazem.

2.1 Dkaz pomoc Fourierovch adMetodou rozvoje funkc f(x), f (x) do Fourierovch ad dokeme pmo

vtu 1.1. Vychzme z Blaschkeho [6] popisu dkazu.

Dkaz. Proveme rozvoj funkc f(x), f (x) do Fourierovch ad. Koeficientypak jsou

14

2. DKAZ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

f (x) : an =1pi

2pi

0

f (x) cosnxdx, bn =1pi

2pi

0

f (x) sinnxdx

f(x) : n =1pi

2pi

0

f(x) cosnxdx, n =1pi

2pi

0

f(x) sinnxdx.

Upravme integrly v an, bn metodou per partes, abychom zjistili vz-jemn vztahy mezi Fourierovmi koeficienty ad funkc f(x), f (x):

an =1pi

2pi

0

f (x) cosnxdx u = f (x) u = f(x)v = cosnx v = n sinnx

== 1

pi[f(x) cosnx]2pi0 +

n

pi

2pi

0

f(x) sinnxdx =

= 1pi

(f(2pi) f(0)) + n 1pi

2pi

0

f(x) sinnxdx = nn,

bn =1pi

2pi

0

f (x) sinnxdx u = f (x) u = f(x)v = sinnx v = n cosnx

== 1

pi[f(x) sinnx]2pi0

n

pi

2pi

0

f(x) cosnxdx = nn.

Vztahy mezi Fourierovmi koeficienty jsou tedy n = bnn a n = ann .leny a0 = 0 = 0 z podmnek vty. Fourierova ada funkc f(x), f (x)

je tvaru:

f(x) =n=1

(n cosnx+ n sinnx) ,

f (x) =n=1

(nn cosnx nn sinnx) .

Pouijeme Besselovu nerovnost, respektive vzhledem k plnosti systmutrigonometrickch funkc Parsevalovu rovnost [17]:

a202 +

n=1

(a2n + b2n

)= 1pi

2pi

0

(f(x))2 dx.

Protoe a0 = 0 = 0 a a2n = n22n, b2n = n22n, Parsevalovy rovnosti profunkce f(x) a f (x) jsou:

15

2. DKAZ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

1pi

2pi

0

(f(x))2 dx =n=1

(2n + 2n

),

1pi

2pi

0

(f (x))2 dx =n=1

(a2n + b2n

)=n=1

n2(2n + 2n

).

Je tedy zejm, e

2pi

0

(f(x))2 dx 2pi

0

(f (x))2 dx,

piem rovnost nastane prv tehdy, kdyn=1

(2n + 2n

)=n=1

n2(2n + 2n

).

Rovnost tedy nastane, pokud:1) n = 1, pak

f(x) =n=1

(1 cosx+ 1 sin x) =

= 1pi

2pi

0

f(x) cosnxdx cosx+ 1pi

2pi

0

f(x) sinnxdx sin x.

Hodnoty uritch integrl jsou reln sla, tzn.

f(x) = A cosx+B sin x, A,B konstanty.

2) Je-li n 2, pak rovnost nastane pouze, kdy n = n = 0, tedy kdyf(x) 0. Jedn se o zvltn ppad pedchozho, kdy A = 0 B = 0.2.2 Lewyho dkaz

Provedeme dkaz vty 1.1 tak, jak je schematicky naznaeno v Inequa-lities [11], kde autoi pisuzuj dkaz Hansi Lewymu:

Dkaz. Nadefinujeme novou funkci g(x) = f(x+ pi) f(x).Funkce f(x) je 2pi periodick, tzn. pro kad x a k Z plat f(x) =

f(x+ 2kpi).Pak tedy plat

g(x+ pi) = f(x+ 2pi) f(x+ pi) = f(x) f(x+ pi),

16

2. DKAZ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

z eho plyne, e funkce g(x) nabv opanch hodnot pro x a x + pi.Proto existuje njak (minimln jedno) a 0, pi) takov, e g(a) = 0.Ozname jako hodnotu funkce f(x) v bod a, tedy f(a) = .

Plat f(a+ pi) = g(a) + f(a) = .Pouijeme vraz

(f(x) )2 cotg(x a), (2.1)kter je limitn roven nule pro x = a a x = a + pi, nebo pouitm

LHospitalova pravidla zskme:

limxa (f(x) )

2 cotg(x a) = limxa

(f(x) )21

cotg(xa)=

= limxa

2 (f(x) ) f (x)1

cos2(xa)= 0,

limxa+pi (f(x) )

2 cotg(x a) = limxa+pi

(f(x) )21

cotg(xa)=

= limxa+pi

2 (f(x) ) f (x)1

cos2(xa)= 0.

Derivujeme vraz (2.1):[(f(x) )2 cotg(x a)

]= 2 (f(x) ) f (x)cotg(x a) (f(x))2sin2 x .

Plat tedy

2pi

02 (f(x) ) f (x)cotg(x a) (f(x))2sin2 x dx =

=[(f(x) )2 cotg(x a)

]2pi0

=

= (f(2pi ))2 cotg(2pi a) (f())2 cotg(a) = 0.

Protoe

(f(x) )2sin2 x =

(sin2(x) + cos2(x)) (f(x) )2sin2 x =

= (f(x) )2 + cotg2(x) (f(x) )2 ,

pak2pi

02 (f(x) ) f (x)cotg(x a) (f(x))2sin2 x dx =

17

2. DKAZ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

=2pi

02 (f(x) ) f (x)cotg(xa)(f(x) )2cotg2(x) (f(x) )2 dx =

=2pi

0(f (x))2 (f(x) )2 [f (x) (f(x) ) cotg(x a)]2 dx.

Protoe2pi

0(f (x))2 (f(x) )2 [f (x) (f(x) ) cotg(x a)]2 dx =

=2pi

0(f (x))2(f(x))2+2f(x)2[f (x) (f(x) ) cotg(x a)]2 dx

= 0,

a protoe z pedpokladu na funkci z vty (1.1) plat2pi

0f(x)dx = 0, pak

2pi

0(f (x))2 (f(x))2 dx =

= 2a2pi

0f(x)dx+

2pi

02dx+

2pi

0[f (x) (f(x) ) cotg(x a)]2 dx =

= 2pi2 +2pi

0[f (x) (f(x) ) cotg(x a)]2 dx.

Protoe integrl na prav stran je nezporn slo, je i vraz nezporn:

2pi

0

(f (x))2 (f(x))2 dx 0,

piem rovnost nastane prv tehdy, kdy

2 = 0 f (x) = (f(x) ) cotg(x a).Proto rovnost nastane prv tehdy, kdy plat

f (x) = f(x)cotg(x a).

eme diferenciln rovnici metodou separovanch promnnch:

18

2. DKAZ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

f (x) = f(x)cotg(x a)df(x)dx = f(x)cotg(x a)

df(x)f(x) = cotg(x a)dx f(x) 6= 0 1

f(x)df(x) = cos (x a)

sin (x a)dx sin x = tdx = dtcosx

ln |f(x)| = ln |sin (x a)|+ C [C R]|f(x)| = |sin (x a)| C

[C R+

]f(x) = C sin (x a)f(x) = D sin (x a) [D R \ {0}]

pro f(x) = 0 rovnice tak plat, proto je eenm

f(x) = D sin (x a) [D R] .Ze vzorce pro sinus soutu hl vyplv

D sin (x a) = D (sin x cos a cosx sin a) == A sin x+B cosx [A,B R] .

2.3 Modifikovan dkazPomocnou funkc dokeme Th, 257 v Inequalities [11], respektive vtu

1.6, a to vetn ppadu rovnosti f(x) = C sin x.

Dkaz. Definujme novou pomocnou funkci

g(x) = f(x)sin x.

Pak tedy f(x) = g(x) sin x. Dosadme do prav strany Wirtingerovynerovnosti (1.5):

pi

0

(f (x))2 dx =pi

0

((g sin x)

)2dx =

pi

0

(g(x) sin x+ g cosx)2 dx =

=pi

0

(g(x))2 sin2 xdx+ 2pi

0

g(x)g(x) sin x cosxdx+pi

0

(g(x))2 cos2 xdx.

19

2. DKAZ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

Pomoc metody per partes upravme prostedn integrln vraz. Vyui-jeme pitom vlastnosti funkce f(0) = f(pi) = 0:

2pi

0

g(x)g(x) sin x cosxdx u = g(x)g(x) u = (g(x))

2

2v = sin x cosx v = cos2 x sin2 x

=

= 2[

(g(x))2

2 sin x cosx]pi

0 2

pi

0

(g(x))2

2(cos2 x sin2 x

)dx =

=pi

0

(g(x))2(sin2 x cos2 x)

)dx.

Dosazenm tedy zskvme nsledujc vztahpi

0(f (x))2 dx =

=pi

0(g(x))2 sin2 xdx+

pi

0(g(x))2 (sin2 x cos2 x)) dx+

pi

0(g(x))2 cos2 xdx =

=pi

0(g(x))2 sin2 xdx+

pi

0(g(x))2 sin2 xdx.

Vidme, e integrand druhho lenu je druh mocnina funkce f(x). Na-hrazenm vznikne rovnost

pi

0

(f (x))2 dx =pi

0

(g(x))2 sin2 xdx+pi

0

(f(x))2 dx,

ve kter prvn len na prav stran zejm neme bt zporn. Pak tedyplat, e

pi

0

(f (x))2 dx pi

0

(f(x))2 dx,

piem rovnost nastv tehdy, kdypi

0

(g(x))2 sin2 xdx = 0.

Integrl je roven nule, prv kdy g(x) = 0 na intervalu 0, 2pi, coznamen, e g(x) = C. Protoe plat f(x) = g(x) sin x, pak rovnost nastvprv tehdy, kdy f(x) = C sin x.

20

2. DKAZ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

2.4 Dkaz pomoc Cauchy-Schwarzovy ne-rovnosti

Pro dkaz Wirtingerovy nerovnosti lze elegantn pout integrln tvarznm Cauchy-Schwarzovy nerovnosti. Dokeme Wirtingerovu nerovnostpodobnou nerovnosti (1.3) ve vt 1.3, kterou dokzal Almansi.

Vta 2.1 (Wirtingerova nerovnost). Nech f : a, b R je hladk funkcesplujc f(c) = 0 pro dan c a, b. Pak

b

a

(f(x))2 dx 4(b a)2b

a

(f (x))2 dx.

Vimnme si, e podmnka f(c) = 0 tto vty je slab, ne obdobnpodmnka Almansiho vty, nebo plat

b

a

f(x)dx = 0 = c a, b : f(c) = 0.

Dle je vak v Almansiho vt navc podmnka f(a) = f(b), tud nelzejednoznan ci, e z platnosti jedn nerovnosti plyne nerovnost druh. Alepokud mme funkci, kter spluje podmnky vty 1.3 i podmnky vty 2.1,pak je konstanta u Almansiho nerovnosti lep, nebo je men, tedy urujesilnj nerovnost.

Dkaz. Plat((f(x))2

)= 2f(x)f (x). Integrovnm a pouitm pedpo-

kladu f(c) = 0 zskme nsledujc rovnost

(f(x))2 = 2x

c

f(x)f (x)dx x a, b . (2.2)

Pouijeme Cauchy-Schwarzovu nerovnost pro urit integrl, kter v li-teratue (nap. [17]) me bt oznaena i jako Cauchy-Bunjakovskho ne-rovnost, Schwarzova-Cauchyova-Bunjakovskho nerovnost aj.:

b

a

f(x)g(x)dx

2

b

a

|f(x)|2dxb

a

|g(x)|2dx. (2.3)

Odmocnnm Cauchy-Schwarzovy nerovnosti vznikne nerovnost, kterv literatue nese jmno Bunjakovskho-Schwarzova (nap. [4]). Dosazenmg(x) = f (x) a upravenm mez zskme nsledujc nerovnost:

x

c

f(x)f (x)dx

x

c

|f(x)|2dx

12

x

c

|f (x)|2dx

12

. (2.4)

Slouenm (2.2) a pedchoz nerovnosti (2.4) vznikne:

21

2. DKAZ WIRTINGEROVY NEROVNOSTI

(f(x))2 = 2

x

c

f(x)f (x)dx

2x

c

f(x)2dx

12x

c

f (x)2dx

12

.

Integrand je kladn funkce, pokud tedy nahradme meze integrlu zaa, b, vznikl integrl se neme zmenit, proto plat:

(f(x))2 2

b

a

f(x)2dx

12

b

a

f (x)2dx

12

.

Integrujeme nerovnost podle x

b

a

(f(x))2 dx 2b

a

b

a

f(x)2dx

12

b

a

f (x)2dx

12

dx.

Vyuijeme toho, eb

af(x)2dx,

b

af (x)2dx jsou konstanty. Protoe plat

b

aCdx = C(b a) C R, pak tedy i

b

a

b

a

f(x)2dx

12

b

a

f (x)2dx

12

dx = (ba)

b

a

f(x)2dx

12

b

a

f (x)2dx

12

.

Dosazenm do nerovnosti a umocnnm zskme

b

a

f(x)2dx

2

4(b a)2

b

a

f(x)2dx

b

a

f (x)2dx

.pravou dostvme poadovanou nerovnost z vty 2.1

b

a

f(x)2dx 4(b a)2b

a

f (x)2dx.

22

Kapitola 3

Pbuzn nerovnosti

V tto kapitole uvedeme nkolik nerovnost, kter jsou s Wirtingerovounerovnost zce spjaty. Nejprve ukeme pklady Wirtingerovy nerovnostidiskrtnho typu, dle Wirtingerovu nerovnost pro vy mocninu a vy dderivace. Wirtingerova nerovnost pro funkce vce promnnch je zastoupenaPoincarho nerovnost a Wirtingerovou nerovnost pro sfrick funkce.

Posledn nerovnost, kterou se tato kapitola zabv, je Opialova nerov-nost. Jedn se o integrln nerovnost, jej slab podobu lze za pomociWirtingerovy nerovnosti dokzat.

3.1 Diskrtn podobaWirtingerovy nerovnostiKrom integrlnch (spojitch) tvar Wirtingerovy nerovnosti meme

najt i jej diskrtn verzi. Nkolik takovch nerovnost uvd Fan, Taussky,Todd [9] vetn dkaz:Vta 3.1. Nech x1, x2, . . . xn jsou reln sla a x1 = 0. Pak

n1i=1

(xi xi+1)2 4 sin2 pi2(2n 1)ni=2x2i ,

piem rovnost nastane prv tehdy, kdy

xi = C sin(i 1)pi2n 1 , i = 1, 2, . . . n.

Derivace je tedy dle oekvn v diskrtnm ppad nahrazena rozdlemxi xi+1, meze integrlu hranicemi sumace.

Upravenm podmnek zskme jinou nerovnost:Vta 3.2. Nech x1, x2, . . . xn jsou reln sla, pak

ni=0

(xi xi+1)2 4 sin2 pi2(n+ 1)ni=0x2i ,

kde x0 = xn+1 = 0. Rovnost nastane prv tehdy, kdy

xi = C sinipi

n+ 1 , i = 1, 2, . . . n.

23

3. PBUZN NEROVNOSTI

Diskrtn nerovnost meme definovat i pomoc funkce. Tmto zpsobemby vypadala obdoba pedchoz nerovnosti [1]:

Vta 3.3. Mjme funkci f(n), n N (0, N + 1) splujc f(0) = f(N+1) =0, pak

4 cos2 pi2(N + 1)

Nl=0f 2(l)

Nl=0

(4f(l))2 4 sin2 pi2(N + 1)Nl=0f 2(l).

Rovnost pro ob uveden nerovnosti nastane prv tehdy, kdy

f(n) = C sin npiN + 1 .

Diskrtn tvar, kter se nejvce bl Wirtingerov nerovnosti (1.1), na-

hrazuje pvodn podmnku2pi

0f(x)dx = 0 vrazem

ni=1xi = 0. Ppad rov-

nosti je opt linern kombinac sin a kosin:

Vta 3.4. Nech x1, x2, . . . xn, xn+1 jsou reln sla a plat

x1 = xn+1,ni=1xi = 0,

pakni=0

(xi xi+1)2 4 sin2 pin

ni=1x2i .

Rovnost nastane prv tehdy, kdy

xi = A cos2piin

+B sin 2piin, i = 1, 2, . . . n.

Jako meme najt ekvivalenty Wirtingerovy nerovnosti pro druh deri-vace funkc, lze najt i obdobnou diskrtn podobu, piem druh derivacevychz analogicky z derivace prvn takto:

(xi) = (xi xi+1) = (xi xi+1) (xi+1 xi+2) = xi 2xi+1 + xi+2.

Vta 3.5. Nech x1, x2, . . . xn jsou reln sla (n 3) a platni=1xi = 0,

pak

n1i=0

(xi 2xi+1 + xi+2)2 16 sin4 pi2nnx2i

i=1,

kde x0 = x1, xn+1 = xn.Rovnost nastane prv tehdy, kdy

xi = C cos(2i 1)pi

2n , i = 1, 2, . . . n.

24

3. PBUZN NEROVNOSTI

3.2 Wirtingerova nerovnost pro vy d de-rivace a vy mocninu

Za Wirtingerovu nerovnost s obecnou (sudou) mocninou meme pova-ovat napklad nerovnost v Th. 256 (vta 1.7) z Inequalities [11], poppadobdobnou, kterou dokzal Beesack (1.12) nebo Levinovy nerovnosti (1.7),(1.8), (1.9). Wirtingerovu nerovnost pro druh d derivace dokzali na-pklad Tamarkin (vta 1.4), Kriloff a Beesack. Kombinaci obou vsledk,tj. nerovnost zahrnujc 2k-nsobnou mocninu a n-tou derivaci, uvd Ri-chard Bellman [4], [5], kter vychz z Northcottovch vsledk. Northcotta Bellman uvaovali vztah

max |f(x)| an maxf (n)(x) ,

kter meme povaovat za limitn ppad nsledujc vty:

Vta 3.6. Mjme funkci f(x), jej derivace n-tho stupn je integrovatelnv 2k mocnin, pro kterou plat f(x) = f(x+ 2p) appf(x)dx = 0. Pakpp

(f(x))2k dx a2knpp

(f (n)(x)

)2kdx,

kde k,n N a an jsou konstanty (a1 = p2 , a2 = p8 , a3 = p24 ,...).Uvaujeme-li zvltn ppad tto nerovnosti, kdy k = n = 1, pak je

konstanta rovna p24 . Protoe je vt ne konstanta v (1.1), nen nejlepmon.

3.3 Poincarho nerovnostEkvivalentem Wirtingerovy nerovnosti pro funkci dvou promnnch se

zd bt nerovnost, kter nese jmno matematika H. Poincarho. Ten stu-doval v padestch letech dvactho stolet podl D/H, tedy podl (1.14) a(1.13).

Vta 3.7 (Poincarho nerovnost). Nech je omezen, souvisl, otevenmnoina na Euklidovskm prostoru R2. Pak existuje konstanta c zvisejcna takov, e

(f(x, y))2 dxdy c

|f(x, y)|2dxdy, (3.1)

kde

f(x, y) =(f(x, y)x

,f(x, y)y

),

pro vechny funkce s Dirichletovm integrlem nad v td funkc .

25

3. PBUZN NEROVNOSTI

Poincar dokzal, e (3.1) plat, pokud je prostorem zahrnujcm relnfunkce se spojitmi derivacemi na a nabvajcmi nulovch hodnot nahranici . Nerovnost (3.1) tak plat, pokud se prostor funkc skld zevech relnch funkc a je omezen a je sjednocenm konenho potujinch konvexnch oblast. Nerovnost (3.1) tak plat, pokud

f(x, y)dxdy = 0.

Tuto podmnku meme povaovat za dvourozmrnou obdobu podmnkyve vt 1.1.

Cavallini a Crisciani [8] ve svm lnku uvdj jako dvojrozmrnou Po-incarho nerovnost nsledujc:

Vta 3.8 (Poincarho nerovnost). Nech D R je omezen mnoina, je-j hranice D je Jordanova kivka. Pedpokldejme, e existuje bod O le-c mimo D takov, e prnik D a libovoln pmky vedouc bodem O jebu przdn mnoina nebo segment. Dle pedpokldejme, e existuje ob-louk AB D takov, e hel AOB obsahuje D. Pak existuje konstanta Ctakov, e

D

(f(x, y))2 dxdy C

D

|f(x, y)|2 dxdy

pro libovolnou hladkou funkci f(x, y) nulovou na oblouku AB.

Cavallini a Crisciani [8] pouili pedchoz nerovnost pi modelovn mo-skch proud. Z velk sti lze toti cirkulaci v horn vrstv ocenu popsattakzvanou kvazi-geostrofickou rovnic. Tato diferenciln rovnice zahrnujeproudovou funkci dvou promnnch (x, y), Jacobiho opertor, namhnvtrem a okrajovou podmnku. Cavallini a Crisciani ukazuj, e pokudmoe D spluje podmnky pedchoz vty 3.8, pak een vyplvajc ze sm-ench okrajovch podmnek pro proudovou funkci na pobe a na hranicimoe spluje dv podmnky na kinetickou energii libovolnho proudu namoi D.

Pokud bychom hledali Wirtingerovu nerovnost pro funkci n promnnch,meme uvst nerovnost, kterou dokzal nejmenovan autor, a kter bylapublikovna v roce 1929:

Vta 3.9. Nech funkce f (x1, . . . xn) a jej parciln derivace fx1 , . . .fxn

jsou spojit a konen na oblasti T , kter je omezen a miteln. Pokuddle plat, e funkce f nabv nulovch hodnot na hranici T , pak

T

f (x1, . . . xn) dT 1n

(D

pi

)2T

( fx1

)2+ . . .+

(f

xn

)2 dT,kde D zna prmr T .

26

3. PBUZN NEROVNOSTI

3.4 Wirtingerova nerovnost pro funkce nasfe

Jak bylo ukzno v sti 3.3, Wirtingerovu nerovnost lze definovat i projin prostory, ne je dvourozmrn rovina. Dalm takovm prostorem mebt napklad kulov plocha (sfra). Penesenm Wirtingerovy nerovnosti nasfru se vnoval ji Blaschke [6]. Wirtingerovu nerovnost pro funkce na koulidimenze d, respektive na sfe dimenze d 1, uvd i Groemer [10]:Vta 3.10. Nech F je dvakrt spojit diferencovateln funkce na Sd1aplat

Sd1

F (u)d(u) = 0,

pak

F2 1d 1 0F

2 = 1d 1 F,40F . (3.2)

Rovnost nastane prv tehdy, kdy F je sfrick harmonick funkce prv-nho du.

Pokud navc plat

Sd1

F (u)ud(u) = 0,

pak

F2 12d 0F2 = 12d F,40F . (3.3)

Rovnost nastane prv tehdy, kdy F je sfrick harmonick funkce dru-hho du.

Plat nsledujc znaen:

Bd jednotkov koule na Ed se stedem v o a polomrem 1

Sd1 (d 1) dimenzionln jednotkov sfra, hranice Bd

Lebesgueova mra na Sd1

F,G skalrn souin definovn jako F,G = Sd1

F (u)G(u)d(u)

F norma funkce F L2Sd1 definovan jako F = F, F 1/2

4 Laplacev opertor, = 2x21

+ . . .+ 2x2

d

gradient, = e1 x1 + . . .+ ed xd , ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0) Eds jednikou na i-t pozici

27

3. PBUZN NEROVNOSTI

f restrikce funkce f na Sd1

F radiln rozen funkce F na Ed \ {o}40 Laplacev-Beltramiho opertor (Beltramiho opertor), plat

40F = (4F )0 gradient, plat 0F = (F )Z pedchozch definic a F,40F = 0F2 ([10]) meme nerovnost(3.2) pepsat jako

Sd1

|F (u)|2 d(u) 1d 1

Sd1

|0F |2 d(u) =

Sd1

F (u)40Fd(u),

tedy

Sd1

|F (u)|2 d(u) 1d 1

Sd1

(F )2 d(u),kde je Wirtingerova nerovnost zejm.

3.5 Opialova nerovnostOpialova nerovnost (3.4) je zejm Wirtingerov nerovnosti nejbli.

Jedn se o nerovnost, kterou v roce 1960 dokzal polsk matematik ZdislawOpial. Podle [3] lze slab podobu tto nerovnosti odvodit za pomoci Wir-tingerovy a Cauchy-Schwarzovy nerovnosti nebo Hardyho nerovnosti (Sin-namonovo zobecnn Opialovy nerovnosti), proto je hlavnm pnosem ur-en nejlep konstanty, tedy nejlepho koeficientu ped integrlnm vra-zem. Podobn jako u Wirtingerovy nerovnosti dochzelo k pravm podm-nek a formulovn jednoduch dkaz. Odstrann nadbytench podm-nek na funkci a zjednoduen dkazu provedl C. Olech, dal zjednoduendkazu pak napklad P. R. Beesack.

Vta 3.11 (Opialova nerovnost). Nech f(x) C(1) 0, h a f(0) = f(h) =0, f(x) > 0 na intervalu (0, h). Pak plat nsledujc nerovnost:

h

|0

f(x)f (x)| dx h4

h

0

(f (x))2dx, (3.4)

kde konstanta h/4 je nejlep mon.

Odvodit slab podobu Opialovy nerovnosti lze pouitm Wirtingerovya Cauchy-Schwarzovy nerovnosti. Pouijeme Wirtingerovu nerovnost v po-dob dokzan Scheefferem (1.2) pro meze a = 0, b = h:

h

0

(f(x))2 dx h2

p

2

h

0

(f (x))2 dx.

28

3. PBUZN NEROVNOSTI

Pouijeme integrln Cauchy-Schwarzovu nerovnost (2.3) pro meze in-tegrlu a = 0, b = h. Odmocnnm vznikne Bunjakovskho-Schwarzovanerovnost, pro g(x) = f (x) pak plat:

h

0

f(x)f (x)dx

h

0

|f(x)|2dx

12

h

0

|f (x)|2dx

12

.

Lev strana tohoto tvaru Cauchy-Schwarzovy nerovnosti je takt le-vou stranou Opialovy nerovnosti (3.4). Pouitm Wirtingerovy nerovnostiupravme st prav strany:

h

0

|f(x)|2dx

12

h2p

2

h

0

(f (x))2 dx

12

dosazenm do vzorce vznikne Opialova nerovnost:

h

0

f(x)f (x)dx

h2p

2

h

0

(f (x))2 dx

12

h

0

|f (x)|2dx

12

= hpi

h

0

(f (x))2 dx.

Konstanta hpi> h4 , nen tedy nejmen, proto ani nejlep mon.

29

Kapitola 4

Aplikace

4.1 Dkaz jinch nerovnostWirtingerovu nerovnost lze pout pi dkazu jinch integrlnch nerov-

nost, jak je ukzno v sti 3.5 pro Opialovu nerovnost. Nsledujc nerov-nost s druhm dem derivace dokeme za pomoci Wirtingerovy nerovnostitvaru (1.5) (z Th. 257 v [11]), kterou jsme dokzali v sti 2.3.

Vta 4.1. Pokud f(0) = f(pi) = 0 a funkce f je integrovateln ve druhderivaci, pak

pi

0

f(x)2dx pi

0

f (x)2dx.

Rovnost nastane, prv kdy

f(x) = C sin x.

Dkaz. Pedpokldejme, e funkce f(x) spluje podmnky vty 4.1.Rozme vraz

pi

0f (x)2 f(x)2dx:

pi

0

f (x)2f(x)2dx =pi

0

f (x)2+f(x)22f(x)2+2f (x)f(x)2f (x)f(x) dx =

=pi

0

(f (x) + f(x))2 dx 2pi

0

f (x)f(x)dx 2pi

0

f(x)2dx.

Integrac prostednho vrazu pomoc metody per partes pak zskmepi

0

(f (x) + f(x))2 dx 2pi

0

f (x)f(x)dx 2pi

0

f(x)2dx =

30

4. APLIKACE

=pi

0

(f(x) + f(x))2 dx [2f (x)f(x)]pi0 + 2pi

0

f (x)2dx 2pi

0

f(x)2dx.

Prostedn vraz je roven nule, nebo f(0) = f(pi) = 0. Pouijeme Wir-tingerovu nerovnost ve tvaru (1.5). Plat tedy, e

2pi

0

f (x)2 f(x)2dx > 0, rovnost pro f(x) = C sin x. (4.1)

Je zejm, e

pi

0

(f (x) + f(x))2 dx > 0, rovnost pro f (x) + f(x) = 0. (4.2)

Pouijeme (4.2) pro prvn vraz a (4.1) pro posledn dva vrazy. Paktedy plat

pi

0

f (x)2 f(x)2dx 0,

piem rovnost nastane prv pro f(x) = C sin x.

4.2 Izoperimetrick nerovnostIzoperimetrick nerovnost vychz z lohy o hledn obrazce s nejvt-

m obsahem pi danm obvodu. Jejm eenm je tvrzen, e mezi vemiobrazci ohranienmi jednoduchou kivkou se stejnou dlkou m nejvtobsah kruh. Jednou z nejstarch geometrickch loh je napklad lohaprincezny Dido. Je zaloen na povsti o budouc kartgsk krlovn, ktermla zskat zem ne vt, ne jak dokou obklopit psy hovz ke s tm,e jedna strana tohoto obrazce je tvoena lini pobe.

Izoperimetrickou nerovnost lze pro obrazce v rovin R2 definovat nap-klad takto [14]:

Vta 4.2 (Izoperimetrick nerovnost). Mjme C jednoduchou uzavenourovinou kivku. Pro jej dlku L a obsah plochy A, kterou kivka ohraniuje,plat

4piA L2,piem rovnost nastane prv tehdy, kdy je kivka C krunic.

31

4. APLIKACE

Izoperimetrickou nerovnost vak lze zobecnit i pro Rn, dokonce i propovrchy zakivench tles.

Wirtingerovu nerovnost lze pro dkaz izoperimetrick nerovnosti pout.Tento dkaz meme nazvat Hurwitzv dkaz izoperimetrick nerovnosti([11], [12], [23]), pokud vyuijeme pro dkaz Wirtingerovy nerovnosti roz-voje do Fourierovy ady - tak, jak to udlal Adolf Hurwitz v roce 1902. Jehodkaz je zejm prvn, kter e ist geometrick problm pouitm Fourie-rovch ad [10]. Nejstar dkazy izoperimetrick nerovnosti vak pochzejzejm z antickho ecka a vychzely z porovnn krunice s mnohohel-nky. Jednalo se o ist geometrick dkazy, bez jednoznan definovanchpojm obsah a obvod. Prvn korektn dkaz proto meme datovat a 19.stoletm. Mezi novj dkazy izoperimetrick nerovnosti meme zaaditnapklad geometrickou metodu Steinerovy symetrizace, poprv demonstro-vanou J. Steinerem v roce 1938. Dal dkazy izoperimetrick nerovnosti seodvjej od jej definice. Meme najt Knotheho dkaz, Hadwigerv dkaznebo dkaz pomoc Bonnesenovy nerovnosti a aproximace mnohohelnky.Izoperimetrickou nerovnost lze pout pro uren vztahu mezi Wirtingerovoua Brunn-Minkowskho nerovnost.

Provedeme dkaz izoperimetrick nerovnosti, pi kterm vyuijeme Wir-tingerovy nerovnosti.

Dkaz. Umstme kivku vhodn do kartzskho systmu souadnic s osamix a y. Pevn zvolme bod P na kivce a pohybujme se po C v pevn zvolenmsmru (proti smru hodinovch ruiek). Pi pohybu od P zaznamenvejmehodnoty na ose x a y a dlku kivky s. Vimnme si, e jedn hodnot spslu prv jedna hodnota x a jedna hodnota y. Mme spojit funkce x(s)a y(s) neprost, dokonce Lperiodick, nebo po obhu cel kivky dlky L(od bodu P k bodu P) zskme stejn hodnoty x a y. Pro nekonen malsek dlky s plat

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 ,respektive

(dxds

)2+(dyds

)2= 1

(x(s))2 + (y(s))2 = 1.

Pro pouit Wirtingerovy nerovnosti vak potebujeme, aby funkce byly2piperiodick. Proto definujme nov funkce:

f() = x(L

2pi

), g() = y

(L

2pi

).

Periodicitu meme jednodue ovit

f(2kpi) = x(L2kpi

2pi

)= x (kL) .

32

4. APLIKACE

Pouijeme vzorec pro derivaci sloen funkce a zskme

(f ())2 + (g())2 =(dx(L2pi )d

)2+(dy(L2pi )d

)2=

=(x(L

2pi) L2pi

)2+(y(L

2pi) L2pi

)2=

= L2

4pi2

((x(L

2pi))2

+(y(L

2pi))2)

=

= L2

4pi2 .

Pouitm Greenovy vty pro vpoet plochy [21]

C

xdy =

C

ydx = 12

C

(ydx+ xdy) = 12

2pi

0

(xy yx) ds

vypoteme

2A = 22pi

0

f()g()d =2pi

0

f 2() + 2f()g() + (g())2 f 2() (g())2 d

=2pi

0

f 2() + (g())2 (f() g())2 d.

Posledn len je nezporn slo. Porovnnm prvnho lenu s Wirtinge-rovou nerovnost vznikne nsledujc nerovnost:

2A 2pi

0

(f ())2 + (g())2 d =2pi

0

L2

4pi2d =L2

2pi ,

co je izoperimetrick nerovnost. Rovnost nastane prv tehdy, kdyf() spluje podmnky na rovnost ve Wirtingerov nerovnosti

f() = A sin +B cos a zrove, kdy

(f() g())2 = 0,co plat pro

g() = A sin +B cos ,respektive

33

4. APLIKACE

g() = A cos B sin .A protoe plat (f ())2 + (g())2 = L24pi2 , pak

(A cos B sin )2 + (A sin +B cos )2 = L2

4pi2

A2 +B2 = L2

4pi2 .

To znamen, e (x(s), y(s)) je kruh o polomru L2pi .

4.3 Diferenciln rovniceSpojitost mezi Wirtingerovou nerovnost a diferencilnmi rovnicemi

meme najt nkolik, jak pro jej spojit i diskrtn tvar.Pkladem me bt samotn definovn Wirtingerovy nerovnosti po-

moc diferencilnch rovnic, jak ukazuje vta 1.9. Obdobn lze Wirtingerovunerovnost definovat za pomoci diferenciln rovnice n-tho du

y(n)(x)p(x) p(x)y(x) = 0.Stejn tak meme pipomenout monost dkazu obdoby Wirtingerovy

nerovnosti vyuvajc diferenciln rovnice, jak uvd Beckenbach a Bellmanv [4]. Wirtingerova nerovnost nachz tak uplatnn v dkazech vt i lem-mat tkajcch se diferencilnch rovnic. Jako pklad uveme prce [15] a[16], kde je napklad v [16] nerovnost pouita v dkazu vty o podmnkchexistence jedinho een lohy

dx(t)dt = p(x)(t) + q(t),

l(x) = c0.

Caada [7] pouv Wirtingerovu nerovnost pro neoscilan kritria. Ob-doba Wirtingerovy nerovnosti (1.11) je v [2] pouita pro dkaz vty o vlast-nostech een (dan) okrajov lohy.

Vhodou pouit Wirtingerovy nerovnosti pro diferenciln rovnice mebt napklad jej definovn pro periodick funkce, nebo monost urit pod-mnky na funkci, pro kterou nastv rovnost.

34

Dodatek

Tato bakalsk prce si nekladla za cl bt zcela vyerpvajcm zdrojeminformac o Wirtingerov nerovnosti, proto existuj monosti jejho rozen.Zkladem byla integrln podoba Wirtingerovy nerovnosti, tud byly zane-dbny definice Wirtingerovy nerovnosti pomoc norem. Samotn definice aprce s normami pak umouje irok zbr nerovnosti.

Historick st vnujc se vvoji Wirtingerovy nerovnosti by byla celist-vj, pokud by zahrnovala odkazy na vechny pvodn zdroje jednotlivchautor a dkazy uvedench nerovnost. Pvodn zdroje je mono najt v se-znamu pouit literatury v [19], [20]. Bylo by tak mon se podrobnjivnovat problmu hledn nejlep konstanty a funkc, pro kter nastvv dan nerovnosti rovnost. Tmto tmatem se z uvedench autor zabvalnapklad Levin, Beesack a Bellman.

V prci byly podrobn zpracovny tyi dkazyWirtingerovy nerovnosti.Tyto byly vybrny proto, e primrn vyuvaj nstroj vysvtlovanchv zkladnch kurzech matematick analzy. Dkazovou st by bylo mononapklad rozit o dkazy, kter uvd Beckenbach a Bellman [4] nebo odkazy diskrtnch podob.

Do kapitoly o pbuznch nerovnostech je mono zaadit dal integrlnnerovnosti, jako me bt Hardyho, Sobolevova aj. Vybran nerovnost -Opialova - byla zvolena pro svj neju vztah s Wirtingerovou nerovnost apro demonstraci dkazu. Zejm by bylo mon uvst aplikace nerovnost,obzvl u diskrtn podoby Wirtingerovy nerovnosti, ale i u vcerozmrnnerovnosti nebo nerovnosti s vy derivac (mocninou).

Jist by ly najt v literatue dal aplikace Wirtingerovy nerovnosti. Na-jt jednoduchou geometrickou interpretaci Wirtingerovy nerovnosti zejmnebude mon, obdobn asi ani nelze pedpokldat pouit Wirtingerovynerovnosti pro vymezen horn (doln) hranice integrlu vych transcen-dentnch funkc. Tato snaha by zejm selhala na druh, respektive sudmocnin, kter se ve Wirtingerov nerovnosti vyskytuje a pi derivaci zp-sob, e vy transcendentn funkce z integrlu nezmiz. Rozen uvede-nch aplikac je ale mon: lze najt jin, obdobn nerovnosti, kter se dajdokzat pomoc Wirtingerovy nerovnosti. st vnujc se diferencilnmrovnicm sestv spe z odkaz na zdroje, nebo tma jako takov je plirozshl.

35

Literatura

[1] AGARWAL, Ravi P. Difference equations and inequalities : theory, me-thods, and applications. 2nd ed., rev. and expanded. New York : MarcelDekker, 2000. 971 s.

[2] AGARWAL, Ravi P; GRACE, Said R; OREGAN, Donald. Oscillationtheory for second order linear, half-linear, superlinear and sublinear dy-namic equations. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2002. 672 s.

[3] AGARWAL, Ravi P.; PANG, Peter Y. H. Opial inequalities with appli-cations in differential and difference equations. [Netherlands] : KluwerAcademic Publishers, 1995. 393 s.

[4] BECKENBACH, Edvin F.; BELLMAN, Richard. Inequalities. Berlin :Springer, 1961. 198 s.

[5] BELLMAN, Richard. A note on periodic functions and their derivati-ves. Journal of the London Mathematical Society. 1943, Volume s1-18,Issue 3, s. 140-142.

[6] BLASCHKE, Wilhelm. Kreis und Kugel. Leipzig : Veit & Comp., 1916.169 s.

[7] CAADA, A.; DRBEK, P.; FONDA, A. Handbook of DifferentialEquations : Ordinary Differential Equations. Volume I. Amsterdam :Elsevier North Holland, 2004. 698 s.

[8] CAVALLINI, Fabio; CRISCIANI, Fulvio. A Generalized 2-D PoincarInequality. Journal of Inequalities and Applications. 2000, Vol.5, s. 343-349.

[9] FAN, Ky; TAUSSKY, Olga; TODD, John. Discrete analogs of inequali-ties of Wirtinger. Monatshefte fr Mathematik. 1954, Zeitschriftenband59, s. 73-90.

[10] GROEMER, H.Geometric Appliactions of Fourier Series and SphericalHarmonics. Cambridge : Cambridge University Press, c1996. 329 s.

[11] HARDY, Godfrey Harold; LITTLEWOOD, John E.; PLYA, George.Inequalities. 2nd ed. Cambridge : Cambridge University Press, 2001.324 s.

36

LITERATURA

[12] HOFFMANN, Jan. Izoperimetrick nerovnost. [s.l.], 2009. 37 s.Bakalsk prce. Univerzita Karlova, Matematicko-fyziklnfakulta, Katedra matematick analzy. Dostupn z WWW:.

[13] HORNICH, Hans. Wilhelm Wirtinger. Monatshefte fr Mathematik.1948, Zeitschriftenband 52, s. 1-12.

[14] JEEK, Frantiek. Diferenciln geometrie : Pomocn uebn text[online]. Plze, 4. nora 2010 [cit. 2011-04-23]. Dostupn z WWW:.

[15] KIGURADZE, Ivan. Okrajov lohy : pro systmy linernch obyej-nch diferencilnch rovnic. 1. vyd. Brno : Masarykova univerzita, 1997.183 s.

[16] KIGURADZE, Ivan; PA, Bedich. Boundary value problems for sys-tems of linear functional differential equations. 1st ed. Brno : MasarykUniverzity, 2003. 108 s.

[17] KOLMOGOROV, A. N.; FOMIN, S. V. Zklady teorie funkc a funk-cionln analzy. Vyd. 1. Praha : SNTL - Nakladatelstv technick li-teratury, 1975. 581 s.

[18] LEVIN, V. I. O neravenstvach. II : Ob odnom klasse integral-nych neravenstv.Matematieskij sbornik (Recueil Mathmatique). N.S.,4(46):N.2 (1938), s. 309324.

[19] MITRINOVI, Dragoslav S; FINK, Arlington M; PEARI, J.Inequalities involving functions and their integrals and derivatives. Dor-drecht : Kluwer, 1991. 587 s.

[20] MITRINOVI, Dragoslav S; VASI, Petar M. An integral inequalityascribed to Wirtinger and its variations and generalizations, PublikacijeElektrotehnikog fakulteta Univerziteta u Beogradu : Serija: matematikai fyzika. 1969, No 247 - No 273, s. 157-170.

[21] STEWART, James. Multivariable Calculus. USA : Brooks/Cole, Cen-gage Learning, 2011. 600 s.

[22] The Mathematics Genealogy Project [online]. 2011 [cit. 2011-05-08].John Edensor Littlewood; George (Gyrgy) Plya; G. H. (Godfrey Ha-rold) Hardy. Dostupn z WWW: .

[23] TREIBERGS, Andrejs. Inequalities that Imply the IsoperimetricInequality. [online]. University of Utah, 2002 [cit. 2011-03-05]. Dostupnz WWW:.

37