Průmyslová střední škola Letohrad
Ing. Soňa Chládková
Sbírka příkladů
ze stavebních konstrukcí
©2014
Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů
EU (ESF) a ze státního rozpočtu ČR.
2
Ú V O D
Návod k použití
Sbírka je doplňkovým studijním materiálem k učebnicím stavebních konstrukcí.
Neobsahuje potřebné výňatky z norem (tabulky, grafy,...), proto doporučuji pracovat společně
s učebnicí.
Do sbírky jsou zařazeny typové příklady pro návrh a posouzení zděných konstrukcí,
betonových konstrukcí z prostého betonu a ţelezobetonu, ocelových a dřevěných konstrukcí.
Na konci jednotlivých kapitol jsou uvedeny kontrolní otázky z teorie, které shrnují danou
problematiku. Doporučuji k promyšlení.
Přeji vám dostatek píle a trpělivosti.
3
O B S A H
1. ZDĚNÉ KONSTRUKCE 4 Zděné konstrukce namáhané tlakem
Zděné konstrukce namáhané soustředěným tlakem
Zděné konstrukce namáhané tlakem a smykem
2. KONSTRUKCE Z PROSTÉHO BETONU 29 Tlačené konstrukce
Prvky namáhané tlakem a smykem
Za předpokladu vzniku trhlin
Bez trhlin
3. ŽELEZOBETONOVÉ KONSTRUKCE 32
Tlačené konstrukce
Prvky namáhané tlakem a smykem
Ţelezobetonová deska
Ţelezobetonový trám
4. OCELOVÉ KONSTRUKCE 41
Vzpěrný tlak – celistvé průřezy
Členěné pruty – s příhradovinou a rámovými spojkami
Ohýbané prvky – nosníky
5. DŘEVĚNÉ KONSTRUKCE 63 Tlačený členěný sloup
Tlačený celistvý sloup a otlačení
Ohýbané prvky – nosníky
Z D R O J E
Skripta Zděné konstrukce, Betonové konstrukce, Kovové konstrukce a Dřevěné konstrukce –
autor Ing. Ludvík Motyčka (Studijní materiál pro výuku Stavebních konstrukcí na SPŠ Letohrad).
4
1. ZDĚNÉ KONSTRUKCE
ZDĚNÉ KONSTRUKCE NAMÁHANÉ TLAKEM
PŘÍKLAD č. 1
Určete únosnost a posuďte obvodovou zeď v hlavě a patě, jednostranně
zatíţenou dřevěnou stropní konstrukcí.
zadání :
zdicí prvky – cihelné bloky CD INA (rozměry 365/245/140 mm)
P 10 – fb – pevnost zdicích bloků udaná výrobcem (MPa)
ρ = 1000 kg/m3 (objemová hmotnost zdiva)
skupina zdicích prvků 3; kategorie I
malta obyčejná (tl. spáry > 3mm) návrhová MVC 5 – pevnost –
fm
výška zdi h = 4,0m
vzdálenost ztuţujících stěn l = 5,0 m
návrhová hodnota zatíţení nad vyšetřovanou zdí
NEd = 150 kN
počáteční výstřednost e = 0,1 m (Mid/Nid)
nápověda :
Uvědomte si o jakou konstrukci jde, jakým způsobem je podepřená.
Proveďte rozbor vzorce pro výpočet únosnosti konstrukce –
maximální síly, kterou je konstrukce schopna přenést (NRd).
5
Ujasněte si význam veličin obsaţených i v ostatních vzorcích,
uvědomte si, na čem a jak únosnost konstrukce závisí.
řešení :
NRd i,m = Фi,m * b * t * fd
Nrdi,m – návrhová únosnost jednovrstvé stěny v tlaku
Фi,m – zmenšující součinitel vyjadřující vliv štíhlosti konstrukce
a výstřednosti zatíţení v hlavě a patě konstrukce (ei), ve
střední části výšky konstrukce (emk)
t – skutečná tloušťka stěny
b – šířka průřezu stěny
fd = = = 1,421 MPa
fk = K * fb0,7
* fm0,3
= 0,35 * 10 0,7
* 50,3
= 2,842 MPa
K = 0,35 (tabulková hodnota – skupina zdicích prvků 3,
obyčejná malta, bez podélné spáry)
γM = 2,0 (normová hodnota – kategorie zdicích prvků I, malta
návrhová)
NRd i = Фi * b * t * fd
= 0,425 * 1,0 * 0,365 * 1,421*103 = 220,432 kN
Фi = 1 – = 1 – = 0,425
ei – excentricita v hlavě a patě konstrukce
ei = + ehe + einit = 0,1 + 0 + 0,005 = 0,105 m
0,105 m ≥ 0,018 → dosazujeme větší hodnotu → ei = 0,105 m
na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehe = 0
einit – výstřednost od nepřesností
einit = = = 0,005 m
hef = ρn * h = 0,610 * 4 = 2,44 m
30 * 0,365 > 5 → 10,95 > 5
→ ρn = ρ4 (konstrukce je čtyřikrát podepřená)
ÚNOSNOST
ZDIVA
(obecně)
pevnost zdiva
návrhová
charakteristická
ÚNOSNOST
v hlavě a patě
PODMÍNKA
ei ≥ 0,05 * t
hef vzpěrná výška
ρn - součinitel
podepření
konstrukce
PODMÍNKA
30 * t > l
PODMÍNKA
h ≤ 1,15 *l
6
4 ≤ 1,15 *5 → 3,2 ≤ 5,75 →
4 2 = = 0,610
dřevěné stropní konstrukce → 2 = 1,0
Při výpočtu se vracíme zpět a doplňujeme vypočítané hodnoty jednotlivých
veličin.
závěr :
Únosnost tlačené zdi v hlavě nebo patě 220 kN.
NRdi ≥ NEdi
zatíţení hlavy konstrukce :
NEdi = 150 kN
zatíţení paty konstrukce :
NEdi = 150 + 1,0 * 0,365 * 4 * 10 * 1,35 = 169,71 kN
220 kN > 169,71 kN → konstrukce vyhovuje
závěr :
Zděná konstrukce v hlavě i patě vyhovuje.
PODMÍNKA
u ≥ t
u ≥ 85 mm
POZNÁMKA :
POSOUZENÍ
v hlavě a patě
PODMÍNKA
SPOLEHLIVOSTI
PŘÍKLAD č. 2
Posuďte únosnost střední zdi oboustranně zatíţené dřevěnými stropy
(dostředné zatíţení).
zadání
zdicí prvky – cihelné bloky CDm (rozměry 240/115/113 mm)
P 10 – fb – pevnost zdicích bloků udaná výrobcem (MPa)
ρ = 1800 kg/m3 (objemová hmotnost zdiva)
skupina zdicích prvků 2; kategorie I
MC 2,5 – malta obyčejná, předpisová – pevnost malty fm
h = 3,2m (výška vyšetřované zdi je stejná jako výška příčných
stěn)
l = 2,0 m – vzdálenost příčných stěn (délka vyšetřované stěny)
tp = 0,115 m – tloušťka krátké příčné stěny
lp = 1,20 m – délka příčné stěny
NEd = 200 kN – návrhová hodnota zatíţení nad vyšetřovanou zdí
7
nápověda:
V tomto případě je nutné pro výpočet prověřit a zhodnotit způsob podepření, je-li daná konstrukce podepřená třikrát nebo čtyřikrát. Je
třeba zjistit, zda můţeme krátkou příčnou stěnu povaţovat za
ztuţující.
Podmínky jsou uvedeny v učebnici na straně 4.
Při výpočtu postupujeme tak, ţe vycházíme ze základního vzorce a postupně dopočítáváme potřebné veličiny. Tím si ujasníme postup.
řešení :
NRd i,m = Фi,m * b * t * fd
fd = = = 1,349 MPa
fk = K * fb0,7
* fm0,3
= 0,45 * 10 0,7
* 2,50,3
= 2,969 MPa
ÚNOSNOST
ZDIVA
(obecně)
pevnost zdiva
návrhová
charakteristická
8
K = 0,45 (tabulková hodnota – skupina zdicích prvků 2, obyčejná malta,
bez podélné spáry) γM = 2,2 ( normová hodnota – kategorie zdicích prvků
I, malta předpisová)
NRd i = Фi * b * t * fd
= 0,9 * 1,0 * 0,24 * 1,349 *103 = 291,384 kN
Фi = 1 – = 1 – 0,9
ei – exentricita v hlavě a patě konstrukce
ei = + ehe + einit = 0 + 0 + 0,0022 = 0,0022 m
e init = = = 0,0022 m
0,05 * 0,24 = 0,012 > 0,0022
0,0022 m < 0,012 → ei = 0,012 m
hef = ρn * h = ρ4 * h = 0,313 * 3,2 = 1,002 m
1,2 ≥ 3,2 / 5
0,115 ≥ 0,3 * 0,24
1,2 > 0,64 0,115 > 0,072 → příčná stěna je ztuţující → ρ4
30 * 0,24 > 2 → 7 > 2 → ρn = ρ4
Konstrukce je čtyřikrát podepřená.
3,2 ≤ 1,15 *2 → 3,2 > 2,3 →
ρ4 = = = 0,313
závěr :
Únosnost tlačené zdi v hlavě nebo patě 291 kN (zaokrouhleno).
NRdi ≥ NEdi
291 kN > 218,662 kN → konstrukce vyhovuje
zatíţení hlavy konstrukce : NEdi = 200kN
zatíţení paty konstrukce :
NEdi = 200 + 1,0 * 0,24* 3,2 * 18 * 1,35 = 218,662 kN
závěr : Zděná konstrukce v hlavě i patě vyhovuje.
NRd m = Фm * b * t * fd
ÚNOSNOST
v hlavě a patě
PODMÍNKA
ei ≥ 0,05 * t
hef vzpěrná výška
PODMÍNKA
lp ≥ h / 5
tp ≥ 0,3*t
PODMÍNKA
30 * t > l
PODMÍNKA
h ≤ 1,15 *l
POSOUZENÍ
v hlavě a patě
PODMÍNKA
SPOLEHLIVOSTI
ÚNOSNOST
9
= 0,895 * 1,0 * 0,24 * 1,349*103 = 289,76 kN = 289 kN (zaokrouhleno)
Фm = 0,895
= 0,106 ; = = 0,0056
λ = = = 4,175 * 0,032 = 0,134
E = KE * fk = 1000 * 2,969 MPa
A1 = 1 – 2 * = 1 – 2 * = 0,9
emk – excentricita uprostřed výšky zdi
emk = em + ek
emk = 0,0022 + 0 = 0,0022m ≥ 0,05 * t = 0,012 m
emk = 0,012 m
ek – výstřednost od dotvarování
λ = hef / tef = 1,002 / 0,24 = 4,175 ; tef = t
λ < 15 → 4,175 < 15 → ek = 0
einit = 0,0022 m (z předchozího výpočtu)
em – výstřednost od zatíţení
em = + ehm + einit = 0 + 0 + 0,0022 = 0,0022 m
ehm – na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehm = 0
– počáteční výstřednost → = 0
0,0022 m 0,012 m→ dosazujeme větší hodnotu → emk = 0,012 m
závěr :
Únosnost uprostřed tlačené zdi je 289 kN.
NRdm ≥ NEdm
289 kN > 209,331 kN → konstrukce vyhovuje
zatíţení paty konstrukce v polovině výšky:
NEdm = 200 + 1,0 * 0,24 * 1,6 * 18 * 1,35 = 209,331 kN
závěr :
Zděná konstrukce v polovině výšky vyhovuje.
střední části
( e = 2,71828 )
KE
– učebnice str. 6
PODMÍNKA
emk ≥ 0,05 * t
PODMÍNKA :
λ < 15 → ek = 0
POSOUZENÍ
střední části PODMÍNKA
SPOLEHLIVOSTI
návrhová
hodnota
zatížení
10
PŘÍKLAD č. 3
zadání :
Zjistěte únosnost stěny zatíţené oboustranně ţb. stropy.
zdicí prvky – cihla plná (290/140/65 mm); P 15; kategorie I;
ρ = 1900 kg/m3
MVC 10 – malta obyčejná, návrhová
h = 2,6 m (výška vyšetřované zdi je stejná jako výška příčných
stěn)
l = 5,0 m – vzdálenost příčných stěn (délka vyšetřované stěny)
t = 0,3 m
zatíţení :
NEd1 = 200 kN
Ned2 = 300 kN
řešení :
p o d e p ř e n í
stěna s otvory
11
1,5 > → 1,5 > 1,5 > 0,52 → vyhovuje
0,9 ≥ ≥ t
0,9 ≥ ≥ 0,3
0,9 ≥ ≥ 0,3 → stěna s otvory je ztuţující
délka zdi
l ≤ 30 * t
5,0 ≤ 30 * 0,3
5,0 ≤ 9,0 → boční stěny jsou ztuţující → ρ4
e = 0,1 m > 0,25 * t
0,1 > 0,075 → ρ2 = 1,0
h ≤ 1,15 * l
2,6 ≤ 1,15 * 5,0
2,6 ≤ 5,75 → ρ4 = 2 = * 1,0 = 0,787
hef = ρn * h = ρ4 * h = 0,787 * 2,6 = 2,046 m
fd = = = 3,653 MPa
fk = K * fb0,7
* fm0,3
= 0,55 * 15 0,7
* 100,3
= 7,305 MPa
K = 0,55 (tabulková hodnota – skupina zdicích prvků 1,
obyčejná malta, bez podélné spáry)
γM = 2,0 (normová hodnota – kategorie zdicích prvků I, malta
návrhová)
N3 = 0,3 * 2,6 * 1,0 * 19 * 1,35 = 20,007 kN
Mid (v patě) = N1 * 0,1 – N2 * 0,1 + N3 * 0 = 200 * 0,1 – 300 * 0,1
Mid (v patě) = –10 kNm (umístění vpravo od osy zdi)
Nid = 200 + 300 + 20,007 = 520,007 kN
= = 0,0192 0,02 m
PODMÍNKA
PODMÍNKA
PODMÍNKA
PODMÍNKA
vzpěrná výška
hef
pevnost zdiva
návrhová
charakteristická
počáteční
výstřednost
zatíţení vlastní
tíhou zdi
statický moment
výslednice
výslednice
zatíţení
výstřednost
výslednice
12
V střední části zdi je počáteční excentricita přibliţně stejná.
NRd i = Фi * b * t * fd
= 0,833 * 1,0 * 0,3 * 3,653 *103 = 921 kN
Фi = 1 – = 1 – 0,833
ei – excentricita v hlavě a patě konstrukce
ei = + ehe + einit = 0,02 + 0 + 0,005 = 0,025 m
e init = = = 0,005 m
ei = 0,025 m > 0,05 * 0,30 = 0,015 → ei = 0,025 m
závěr :
Únosnost tlačené zdi v hlavě a patě je 921 kN.
NRd m = Фm * b * t * fd
= 0,808 * 1,0 * 0,3 * 3,653 *103 = 885 kN (zaokrouhleno)
Фm = 0,808
= 0,245 ; = = 0,03
λ = = = 6,82* 0,032 = 0,218
E = KE * fk = 1000 * 7,305 MPa
A1 = 1 – 2 * = 1 – 2 * = 0,833
emk = em + ek
emk = 0,025 + 0 = 0,025 m
ek – výstřednost od dotvarování
λ = = = 6,82 ; tef = t
λ < 15 → 6,82 < 15 → ek = 0
einit = 0,005 m (z předchozího výpočtu)
em – výstřednost od zatíţení
em = + ehm + einit = 0,02 + 0 + 0,005 = 0,025 m
ehm – na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehm = 0
0,025 m ≥ 0,015 → dosazujeme větší hodnotu → emk = 0,025 m
POZNÁMKA
ÚNOSNOST
v hlavě a patě
PODMÍNKA
ei ≥ 0,05 * t
ÚNOSNOST
ve střední části
( e = 2,71828 )
KE
– učebnice str. 6
emk – exentricita
střední část
PODMÍNKA :
λ < 15 → ek = 0
PODMÍNKA
emk ≥ 0,05 * t
13
závěr :
Únosnost tlačené zdi ve střední části je 885 kN.
PŘÍKLAD č. 4
Určete únosnost střední zdi oboustranně zatíţené dřevěnými stropy
(dostředné zatíţení).
zadání :
zdicí prvky – Porotherm 30 P+D (rozměry 300/240/248 mm)
P 15 – fb – pevnost zdicích bloků udaná výrobcem (MPa)
ρ = 900 kg/m3 (objemová hmotnost zdiva)
skupina zdicích prvků 3; kategorie II
tl.spáry = 12 mm) návrhová MVC 5 – pevnost – fm
výška zdi h = 3,0m
l = 2,35 m
návrhová hodnota zatíţení nad vyšetřovanou zdí :
NEd = 356 kN
nápověda :
Uvědomte si o jakou konstrukci jde, jakým způsobem je podepřená.
Proveďte rozbor vzorce pro výpočet únosnosti konstrukce (NRd).
řešení :
NRd i,m = Фi,m * b * t * fd
Nrdi,m – návrhová únosnost jednovrstvé stěny v tlaku
Фi,m – zmenšující součinitel vyjadřující vliv štíhlosti konstrukce
a výstřednosti zatíţení v hlavě a patě konstrukce (ei), ve
střední části výšky konstrukce (em)
t – skutečná tloušťka stěny
b – šířka průřezu stěny
fd = = = 1,510 MPa
fk = K * fb0,7
* fm0,3
= 0,35 * 15 0,7
* 50,3
= 3,776 MPa
K = 0,35 (tabulková hodnota – skupina zdicích prvků 3,
obyčejná malta, bez podélné spáry)
γM = 2,5 ( normová hodnota – kategorie zdicích prvků II)
ÚNOSNOST
ZDI
(obecně)
pevnost zdiva
návrhová
charakteristická
14
NRd i = Фi * b * t * fd
= 0,9 * 1,0 * 0,30 * 1,510 *103 = 407,7 ~ 407 kN
Фi = 1 – = 1 – = 0,9
ei – excentricita v hlavě a patě konstrukce
ei = + ehe + einit = 0 + 0 + 0,006 = 0,006 m ≥ 0,05 * 0,3
0,006 m ≥ 0,015 ei = 0,015 m
na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehe = 0
einit = = = 0,0056 m ~ 0,006 m (zaokrouhleno)
hef = ρn * h = 0,847 * 3,0 = 2,541 m
0,65 ≥ 0,65 ≥ 0,6 vyhovuje
0,24 ≥ 0,3 * 0,3 0,24 ≥ 0,09 vyhovuje
příčná stěna je ztuţující → ρ3
15 * 0,24 > 2,35 3,6 > 2,35 ρn = ρ3
Konstrukce je třikrát podepřená.
3 ≤ 3,5 *2,35 3 ≤ 8,225
3 * 2 = 1,0 = 0,847
závěr :
Únosnost tlačené zdi v hlavě nebo patě 407 kN.
NRd m = Фm * b * t * fd
= 0,858 * 1,0 * 0,3 * 1,510*103 = 388,67 kN = 388, kN (zaokrouhl.)
Фm = 0,858
= 0,30975 ~ 0,310 ;
= = 0,048
λ = = = 8,47 * 0,032 = 0,271
E = KE * fk = 1000 * 2,969 MPa
ÚNOSNOST
v hlavě a patě
výstřednost
v hlavě a patě
výstřednost
od nepřesností
einit
efektivní výška
PODMÍNKY
podepření
lp ≥ h / 5
tp ≥ 0,3*t
PODMÍNKA
15 * t > l
PODMÍNKA
h 3,5*l
ÚNOSNOST
střední části
( e = 2,71828 ) KE
– učebnice str. 6
výstřednost ve
střední části
15
A1 = 1 – 2 * = 1 – 2 * = 0,9
emk = em + ek
emk = 0,015 + 0 = 0,015m
ek – výstřednost od dotvarování
λ = hef / tef = 2,541 / 0,3 = 8,47 ; tef = t
λ < 15 → 8,47 < 15 → ek = 0
einit = 0,006m (z předchozího výpočtu)
em – výstřednost od zatíţení
em = + ehm + einit = 0 + 0 + 0,006 = 0,006 m
0,006 m ≥ 0,05 * 0,3 → dosazujeme větší hodnotu → em = 0,015 m
ehm – na konstrukce nepůsobí boční zatíţení → ehm = 0
– počáteční výstřednost → = 0
závěr :
Únosnost ve střední části zdi je 388 kN.
Jak se změní únosnost zdi pokud se změní délka zdi na 5,0 m ?
Jak se tato změna projeví ve výpočtu ?
emk
PODMÍNKA
λ < 15 → ek = 0
PODMÍNKA
emk ≥ 0,05 * t
OTÁZKY
k zamyšlení