Žitný prezentace 3.9 .201 4

• Žitný prezentace 3.9.2014RZ7

Světelná mikroskopieKolagen barvený alciánovou modří

Transmisní elektronová mikroskopie kolagenu

SQUEEZing flowGAČR = kolagen

Diplomová práce M. Barhoň: Radiální vytěsňovací tok vazkých kapalin. 1989

Vedoucí DP J.Šesták, konzultant R.Žitný, oponent M.Houška

FObecná závislost mezi silou F, okamžitou vzdáleností h(t), okamžitou rychlostí ú=dh/dt, okamžitým poloměrem R (kde působí atmosférický tlak, což je v případě vpravo poloměr disku) a parametry modelu K,m (smykový tok-mocninový model) a K‘,m‘ (mocninový model prvního rozdílu normálových napětí)


0=1𝑟𝜕𝜕𝑟

(𝑟 𝜏𝑟𝑟 )+𝜕𝜏𝑧𝑟𝜕 𝑧

−𝜏𝜑𝜑𝑟−𝜕𝑝𝜕𝑟→

𝜕𝜕𝑟

(𝜏𝑟𝑟−𝑝 )=−𝜕𝜏𝑧𝑟𝜕 𝑧

−τ rr−τ φφr

𝑁1=𝜏𝑟𝑟−𝜏𝑧𝑧= 𝜏𝑟𝑟−𝜏𝜑𝜑⏟𝑁2=𝜏 𝑧𝑧−𝜏𝜑𝜑=0

=𝐾 ′ 𝑚 ′

Neznámé: tlak p , normálová extra napětí rr, zz a smykové napětí rz (5 neznámých).

Stačí jediná rovnice rovnováhy ve směru r (pro známá vazká napětí určuje rovnice rovnováhy radiální profil tlaku),

Dále dvě rovnice pro rozdíly normálových napětí: první diference N1 = (napětí ve směru toku minus napětí kolmé na směr toku a ve smykové rovině) a druhá diference N2 (rozdíl napětí v rovině kolmé na směr toku). První diference se aproximuje funkcí smykové rychlosti (např. kvadratická nebo mocninová funkce - Barhoň). Druhá diference je výrazně menší (přibližně nulová, Barhoň přesně nulová)

Smykové napětí aproximujeme mocninovým modelem

𝜏𝑟𝑧≅ 𝐾 𝑚

Rovnici rovnováhy v axiálním směru odpovídá předpoklad, že tlak p nezávisí na z (konstantní po průřezu). A to je ta pátá rovnice pro 5 neznámých komponent napětí.


𝐹=2𝜋∫0

𝑅

(𝜏 ¿¿ 𝑧𝑧−𝑝 )¿𝑧=h𝑟𝑑𝑟=2𝜋∫0

𝑅

(𝜏𝑟𝑟−𝑝⏟𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠

−𝑁 1)¿𝑧=h𝑟𝑑𝑟 ¿

𝐹=𝜋 [𝑅2 (𝜏𝑟𝑟−𝑝 )⏟𝑝𝑎=0

¿𝑟=𝑅−∫0

𝑅

𝑟2𝜕𝜕𝑟

(𝜏𝑟𝑟−𝑝 )¿𝑧=h𝑑𝑟 ]−2𝜋∫0𝑅 𝑟 𝑁1 ¿𝑧=h𝑑𝑟

Síla působící na kruhový disk

𝐹=𝜋∫0

𝑅

𝑟2(𝜕𝜏𝑧𝑟𝜕 𝑧

+𝜏𝑟𝑟−𝜏𝜑𝜑

𝑟)¿𝑧=h𝑑𝑟 −2𝜋∫

0

𝑅

𝑟 𝑁1 ¿𝑧=h𝑑𝑟=𝜋∫0

𝑅

(𝑟 ¿¿2𝜕𝜏 𝑧𝑟

𝜕𝑧+𝑟 𝑁1)¿𝑧=h𝑑𝑟−2𝜋∫

0

𝑅

𝑟 𝑁 1¿𝑧=h 𝑑𝑟=𝜋∫0

𝑅

(𝑟2 𝜕𝜏 𝑧𝑟

𝜕𝑧−𝑟 𝑁1)¿𝑧=h𝑑𝑟 ¿

Dosazení z rovnice rovnováhy ve směru toku

Finální rovnice

𝐹=𝜋∫0

𝑅

(𝑟 2 𝜕𝜏𝑧𝑟𝜕 𝑧−𝑟 𝑁 1)¿𝑧=h𝑑𝑟

Myslím si, že je to dost obecné a platí to i pro stlačitelné tekutiny

Diplomová práce M. Barhoň: Newtonská kapalina

Případ Newtonské nestlačitelné kapaliny. Lze zanedbat normálová napětí?

0=1𝑟𝜕𝜕𝑟

(𝑟 𝜏𝑟𝑟 )−𝜏𝜑𝜑𝑟⏟

≅ 0

+𝜕𝜏𝑧𝑟𝜕 𝑧

−𝜕𝑝𝜕𝑟

𝜏𝑟𝑟=2𝜇𝜕𝑢𝑟𝜕𝑟

𝜏𝜑𝜑=2𝜇𝑢𝑟𝑟

𝜏 𝑧𝑟=𝜇(𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑟+𝜕𝑢𝑟

𝜕 𝑧 )≅ 𝜇𝜕𝑢𝑟

𝜕 𝑧=𝐾 (𝜕𝑢𝑟𝜕 𝑧 )

𝑚

1𝑟𝜕𝜕𝑟 (𝑟 𝜏𝑟𝑟 )−

𝜏𝜑𝜑𝑟

=2𝜇 ( 1𝑟 𝜕𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑢𝑟𝜕𝑟 )− 𝑢𝑟𝑟2 )=2𝜇(𝜕

2𝑢𝑟𝜕𝑟2

+ 1𝑟𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟−𝑢𝑟𝑟2 )=2𝜇(0− 1

2𝑟𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧+ 12𝑟

𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧 )=0

Pro nestlačitelnou kapalinu a za předpokladu, že uz je nezávislé na poloměru (to platí přesně na obou discích), můžeme vyjádřit radiální rychlost z rovnice kontinuity 𝑢𝑟 (𝑟 ,𝑧 ,𝑡 )=− 1

2𝑟𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧

Z toho plyne, že členy normálových napětí se v rovnici rovnováhy opravdu vyruší

Diplomová práce M. Barhoň: Mocninová kapalina

U mocninové kapaliny je to trochu složitější

Druhý invariant tenzoru rychlosti deformace

𝜏=2𝐾 (2 𝑑 : 𝑑)𝑚− 12 𝑑

𝑑 :

𝑑=𝑑𝑟𝑟

2 +𝑑𝑧𝑧2 +𝑑𝜑𝜑

2 +2 (𝑑𝑟 𝑧2 +𝑑 𝑧𝜑

2 +𝑑𝑟 𝜑2 )=( 𝜕𝑢𝑟𝜕𝑟 )

2

+( 𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧 )2

+(𝑢𝑟𝑟 )2

+ 12 (𝜕𝑢𝑟

𝜕 𝑧+𝜕𝑢𝑧𝜕𝑟 )

2

≅ 12 ( 𝜕𝑢𝑟𝜕 𝑧 )

2

𝜏 ≅ 2𝐾 (𝜕𝑢𝑟

𝜕 𝑧 )𝑚−1

𝑑

1𝑟𝜕𝜕𝑟 (𝑟 𝜏𝑟𝑟 )−

𝜏𝜑𝜑𝑟

=−𝐾 𝑚−1𝑟 (𝜕𝑢𝑟

𝜕 𝑧 )𝑚−1 𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧

𝜏𝑟𝑟=2𝐾 ( 𝜕𝑢𝑟𝜕 𝑧 )𝑚− 1 𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟𝜏𝜑𝜑=2𝐾 ( 𝜕𝑢𝑟𝜕 𝑧 )

𝑚− 1 𝑢𝑟𝑟

Na rozdíl od Newtonských kapalin pak ovšem členy normálových napětí z rovnice bilance hybnosti ve směru r nevypadnou (pro index toku m různý od jedné), viz

Většina prací ale tento rozdíl normálových napětí u mocninových nebo HB kapalin ignoruje, např. Laun et al. „Analytical solutions for squeezing flow with partial wall slip“, J.Non-Newtonian Fluid Mech. 1999, nebo Adams et al „An experimental and theoretical study of the squeeze film deformation and flow of elastoplastic fluids“. J.Non-Newtonian Fluid Mech. 1994

Diplomová práce M. Barhoň: Mocninová kapalina - nestlačitelná aproximace

0=𝜕𝜏𝑧𝑟𝜕 𝑧

−𝜕𝑝𝜕𝑟

Mocninový rychlostní profil je tedy i u neelastické kapaliny jen aproximací

0= 𝜕𝜕 𝑧 (𝐾 (𝜕𝑢𝑟𝜕𝑧 )

𝑚

)− 𝜕𝑝𝜕𝑟 𝑢𝑟=𝑚𝑚+1 ( 1𝐾 𝜕𝑝

𝜕𝑟 )1𝑚 (|𝑧− h2|¿¿𝑚+1

𝑚−|h2|

𝑚+1𝑚 )¿

Integrací rychlostního profilu získáme objemový průtok pláštěm o výšce h na poloměru r

(𝑟 )=4𝜋𝑟 𝑚2𝑚+1 (− 1𝐾 𝜕𝑝

𝜕𝑟 )1𝑚 ( h2 )

2𝑚+1𝑚 =− 𝜋𝑟2 h𝑑

𝑑𝑡

To je obyčejná diferenciální rovnice pro radiální profil tlaku. Okrajovou podmínkou je atmosférický tlak pa na obvodu disku R a nulová první derivace pro r=0 (symetrie)

𝜕𝑝𝜕𝑟

=𝐾 ( 2h )2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

𝑟 h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚

𝑝 (𝑟 )= 𝐾𝑚+1 ( 2h )

2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚

(𝑅𝑚+1−𝑟𝑚+1 )+𝑝𝑎

𝜕𝑢𝑟𝜕 𝑧

=(− 1𝐾 𝜕𝑝𝜕𝑟 |𝑧− h2|)

1𝑚

Interpretace znamének dp/dr je záporné, stejně jako dh/dt. Vzhledem k reálnému exponentu je třeba brát absolutní hodnoty.

Diplomová práce M. Barhoň: Viskoelastická kapalina - nestlačitelná aproximace

𝜕𝑝𝜕𝑟

=𝐾 ( 2h )2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚


𝑚

≅𝜕𝜏𝑟𝑧𝜕𝑧

𝐹=𝜋∫0

𝑅

(𝑟 2 𝜕𝜏𝑧𝑟𝜕 𝑧−𝑟 𝑁 1)¿𝑧=h𝑑𝑟Výslednou sílu tedy získáme integrací přesného vztahu

do kterého dosadíme mocninovou aproximaci axiální derivace smykového napětí a mocninovou aproximaci N1

𝐹=(− 𝑑h

𝑑 𝑡)𝑚

h2𝑚+1 ( 2𝑚+1𝑚 )

𝑚 2𝜋 𝐾 𝑅𝑚+3

𝑚+3+

(− 𝑑 h𝑑𝑡

)𝑚′

h2𝑚′ ( 2𝑚+1

𝑚 )𝑚′

𝜋 𝐾 ′ 𝑅𝑚′+2

𝑚 ′+2

𝑁1=𝐾 ´ (𝜕𝑢𝑟

𝜕 𝑧 )𝑚 ′

=𝐾 ′ (− 𝑑h𝑑𝑡 𝑟h2 2𝑚+1𝑚 )

𝑚 ′

𝐹=(− 𝑑h

𝑑 𝑡)𝑚

h2𝑚+1 ( 2𝑚+1𝑚 )


𝑚+3+𝜋𝜏 𝑦 𝑅

3

h

Tento vztah lze porovnat s výsledkem pro Herschel Bulkley model, který odvodil Covey, Stannmore „Use of the parallel plate plastometer for the characterisation of viscous fluids with yield stress“, J.Non-Newtonian Fluid Mech., 1981

To je asymptotické řešení pro velké rychlosti

𝑆=− h𝑑𝑑𝑡

𝑅h2 ( 𝐾𝜏 𝑦

)1𝑚≫1

…možná by stálo za to zkusit HB jako alternativní model

Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace

Pokus o rozšíření práce Barhoň

Návaznost na experimenty zaměřené na vyhodnocení stlačitelnosti kolagenu

Návaznost na metodiku vyhodnocování dat z kapilárního reometru při uvažování stlačitelnosti

Hledal jsem „squeezing compressible fluid“ a téměř NIC, snad jen Mohite, S.S, Sonti, V.R. ; Pratap, R. A Compact Squeeze-Film Model Including Inertia, Compressibility, and Rarefaction Effects for Perforated 3-D MEMS Structures. Microelectromechanical System.. Volume:17 Issue:3


𝐹=𝜋∫0

𝑅

𝑟2 𝜕𝑝𝜕𝑟

𝑑𝑟−𝜋 𝐾 ′( h2𝐾 )𝑚 ′𝑚∫

0

𝑅

𝑟 (𝜕𝑝𝜕𝑟 )𝑚 ′𝑚 𝑑𝑟

Bez újmy na obecnosti lze axiální sílu vyjádřit integrálem radiálního gradientu tlaku (to plyne jen z rovnice rovnováhy v radiálním směru a z mocninového modelu N1).

Problém se tím vlastně redukuje na stanovení radiální profilu gradientu tlaku. Dříve odvozený vztah

𝜕𝑝𝜕𝑟

=−𝐾 ( 2h )2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚


𝑚

opravdu dává po dosazení předchozí vztah pro axiální sílu F, jenomže ten vztah byl odvozen z rovnice kontinuity pro nestlačitelnou kapalinu.

Stlačitelnost můžeme vyjádřit stejným způsobem jako u extruze (viz. REOM), tj na základě představy dvoufázového systému jemných rozptýlených bublinek vzduchu v nestlačitelné kapalné fázi. O hmotnostním podílu bublinek předpokládáme, že je konstantní

𝜔𝑔=𝑀𝑔

𝑀 𝑙

Rovnice kontinuity tedy stále ještě není ve hře, takže tento vztah pro sílu F platí i pro stlačitelnou tekutinu.


Objem vzorku s hmotností kolagenu Ml

𝑉=𝑀 𝑙 (𝜔𝑔

𝜌𝑔+ 1𝜌𝑙 )=𝑀𝑙 ( 𝜔𝑔

𝑝𝑅𝑔𝑇

+ 1𝜌 𝑙 )=𝑀 𝑙

𝜌𝑙 (1+ Ω𝑝 ) Ω=𝜔𝑔𝑅𝑔𝑇 𝜌 𝑙kde je konstantní koeficient.

Hmotnost vzorku kolagenu (hmotnost vzduchu zanedbáme) ve válci o výšce h a o poloměru R je za předpokladu, že tlak p(r) nezávisí na z

𝑀 𝑙=∫0

𝑅 2𝜋 h𝑟 𝜌𝑙𝑑𝑟

1+Ω𝑝

𝑑𝑀 𝑙

𝑑𝑡≅−∫

0

𝑅 2𝜋𝑟h𝑑𝑑𝑡

𝜌𝑙𝑑𝑟

1+ Ω𝑝⏟

akumulace ve v á lci

=𝑝𝑎𝜌 𝑙 𝑝𝑎+Ω⏟

vý tok po obvodu

=4𝜋 𝑅𝑚

2𝑚+1 ( 1𝐾 𝜕𝑝𝜕𝑟 )

1𝑚 ( h2 )

2𝑚+1𝑚

⏟𝑝𝑎𝜌 𝑙

𝑝𝑎+Ω

−h𝑑𝑑𝑡∫0

𝑅𝑟𝑑𝑟

1+ Ω𝑝 (𝑟 )

= 2𝑚𝑅2𝑚+1 (− 1𝐾 𝜕𝑝

𝜕𝑟 )1𝑚 ( h2 )

2𝑚+1𝑚 1

1+ Ω𝑝𝑎

Hmotnostní bilance (akumulace=-výtok)

Výsledkem je rovnice vyjadřující souvislost mezi pohybem desek (h) a tlakem p. Pravá strana je gradient tlaku pro r=R


Možné námitky

Levá strana: časová derivace je aplikována jen na vzdálenost disků h(t) a neuvažuje časovou proměnnost tlaku

Pravá strana: neuvažuje závislost konzistence na tlaku (velikosti bublin). Koeficient K odpovídá atmosférickému tlaku

𝑝 (𝑟 )=𝝋 𝐾𝑚+1 ( 2h )

2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚

⏟𝑍


Cílový vztah pro radiální průběh tlaku můžeme aproximovat funkcí odvozenou pro nestlačitelnou kapalinu upravenou korekcí


𝑅𝑟𝑑𝑟

1+ Ω𝑝 (𝑟 )

= 2𝑚𝑅2𝑚+1 (− 1𝐾 𝜕𝑝

𝜕𝑟 )1𝑚 ( h2 )

2𝑚+1𝑚 1

1+ Ω𝑝𝑎


𝑅𝑟𝑑𝑟

1+ Ω

𝑝𝑎+𝜑 𝑍 (𝑅𝑚+1−𝑟𝑚+ 1)

=2𝑚𝑅2

2𝑚+1 (−𝜑 (1+𝑚)𝑍𝐾 )

1𝑚 ( h2 )

2𝑚+1𝑚 1

1+ Ω𝑝𝑎

po dosazení

Z této rovnice je třeba stanovit korekci (v závislosti na h, dh/dt) což je korekce potřebná ke stanovení tlakového profilu a tedy i axiální síly. Je to vlastně jen algebraická rovnice, kterou je třeba řešit numericky.


Integrál na levé straně nelze vyčíslit analyticky, ale

∫0

𝑅𝑟𝑑𝑟

1+ Ω

𝑝𝑎+𝜑 𝑍 (𝑅𝑚+1−𝑟𝑚+1 )

=∫0

𝑅

𝑟𝑓 (𝑟 ) 𝑑𝑟 ≅∫0

𝑅

( 𝑓 (𝑅 )+ 𝜕 𝑓(𝑅 )

𝜕𝑟(𝑅−𝑟 ))𝑟𝑑𝑟

𝑓 (𝑟 )= 1

1+Ω

𝑝𝑎+𝜑 𝑍 (𝑅𝑚+1−𝑟𝑚+1 )

𝑓 (𝑅 )= 1

1+Ω𝑝𝑎

𝜕 𝑓 (𝑅 )𝜕𝑟

=Ω𝜑 𝑍 (𝑚+1)𝑅𝑚

(1+ Ω𝑝𝑎)2

𝑝𝑎2

∫0

𝑅

( 𝑓 (𝑅 )+ 𝜕 𝑓 (𝑅 )𝜕𝑟

(𝑅−𝑟 ))𝑟𝑑𝑟= 𝑅2

2(1+ Ω𝑝𝑎) (1+Ω𝜑 𝑍 (𝑚+1)𝑅𝑚+1

3 (1+ Ω𝑝𝑎)𝑝𝑎

2 )

Následující graf byl získán pro parametry R=0.1 m=0.9, Z=100000, pa=100000, =+1=2

∫0

𝑅

𝑟𝑓 (𝑟 )𝑑𝑟

Ω [Pa]

Hmotnost kolagenu ve stlačovaném prostoru s rostoucím podílem vzduchu klesá


Je až podezřelé jak přesně aproximace integrálu hmotnosti kolagenu funguje:

Relativní chyba

Ω [Pa]

Následující graf byl získán v Excelu numerickou integrací (2000 bodů) pro parametry R=0.1 m=0.9, Z=100000, pa=100000, =+1=2

I při vysokém podílu vzduchu je chyba aproximace integrálu menší než procento.


−h𝑑𝑑𝑡 (1+Ω𝜑 𝑍 (𝑚+1)𝑅𝑚+1

3 (1+ Ω𝑝𝑎)𝑝𝑎2 )= 4𝑚

2𝑚+1 (−𝜑 (1+𝑚)𝑍𝐾 )

1𝑚 ( h2 )

2𝑚+1𝑚

Výsledkem analytické aproximace integrálu je algebraická rovnice pro , která se ale také nedá řešit analyticky

𝑍= 𝐾𝑚+1 ( 2h )

2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚

kde

Pro malé hodnoty Ω je možné použít aproximaci řešení

1𝜑

=1−𝐾 ( 2h )2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚 Ω𝑅𝑚+1

3(1+ Ω𝑝𝑎)𝑝𝑎

2

𝑝 (𝑟 )=

𝐾𝑚+1 ( 2h )

2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚

1−𝐾 ( 2h )2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚 Ω𝑅𝑚+1


2


a jí odpovídající aproximaci tlaku


𝐹=𝜋∫0

𝑅

𝑟2 𝜕𝑝𝜕𝑟

𝑑𝑟−𝜋 𝐾 ′( h2𝐾 )𝑚 ′𝑚∫

0

𝑅

𝑟 (𝜕𝑝𝜕𝑟 )𝑚 ′𝑚 𝑑𝑟

𝜕𝑝𝜕𝑟

=−𝐾 ( 2h )

2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚

𝑟𝑚

1−𝐾 ( 2h )2𝑚+1

(− 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚 Ω𝑅𝑚+1

3 (1+ Ω𝑝𝑎)𝑝𝑎

2

Derivací předchozího vztahu p(r)

Dosazením do vztahu pro axiální sílu

𝐹=𝜋−𝐾 ( 2h )

2𝑚+1

( 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚 𝑅𝑚+ 3

𝑚+3

1−𝐾 ( 2h )2𝑚+1

( 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚 Ω𝑅𝑚+1


2

−𝜋 𝐾 ′( h2𝐾 )𝑚 ′𝑚 ( −𝐾 ( 2h )

2𝑚+1

( 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚

1−𝐾 ( 2h )2𝑚+1

( 2𝑚+14𝑚

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑚 Ω𝑅𝑚+1


2

)𝑚 ′𝑚

𝑅𝑚′+ 2

𝑚′+2

To je finální vztah pro sílu, kde jsem se ale ztratil ve znaméncích (třeba opravit!!)

Laun – mocninová kapalina a skluz na stěně

Laun et al. „Analytical solutions for squeezing flow with partial wall slip“, J.Non-Newtonian Fluid Mech. 1999

Laun – mocninová kapalina a skluz na stěně

Článek řeší squeezing nestlačitelné mocninové kapaliny mezi kruhovými disky přičemž uvažuje skluz na stěně (speciální případ jsou mazané disky, kdy úplně vymizí smykové síly a projevuje se jen elongační tok).

Pozor na interpretraci výsledků a vztahů: počátek souřadného systému (souřadnice z=0) není na dolním pevném disku, ale uprostřed – vlastně se předpokládá, že oba disky se pohybují proti sobě. Symbol h je jen poloviční vzdálenost desek H=2h.

Základní rovnicí je rovnice kontinuity a rovnováhy v radiálním směru (kde jsou mlčky zanedbána normálová napětí)

1𝑟

𝜕 (𝑟 𝑢𝑟 )𝜕𝑟

+𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧=0 −

𝑑𝑝𝑑𝑟

+𝜕𝜏𝑟𝑧𝜕 𝑧

=0 𝜏𝑟𝑧=𝐾 (𝜕𝑢𝑟

𝜕 𝑧 )𝑛

Ať už je konstitutivní model jakýkoliv, je radiální rychlost vždy typu ur(r,z)=r g(z) . Pro mocninovou kapalinu je radiální profil tlaku vždy typu p=A+B rn+1. Co je zajímavé: rychlostní pole vůbec nezávisí na koeficientu konzistence (ale závisí na indexu toku). Další fakt: Rychlost skluzu je přímo úměrná radiální souřadnici.

Relativní skluz (vs – skluzová rychlost na okraji disku r=R) je vyjádřen bezrozměrným parametrem

𝛿=h𝑣𝑠

(− h𝑑𝑑𝑡 )𝑅 0≤ 𝛿≤0.5 =0 nulový skluz (řešení Scott 1931), =0.5 úplný skluz, čistě

elongační deformace s konstantní radiální rychlostí po celém průřezu

Laun – mocninová kapalina a skluz na stěně (parametry K, Ke, n, )

Výsledné rychlostní pole𝑢𝑧=(− h𝑑

𝑑𝑡 )(− 2𝑛+1𝑛+1

(1−2𝛿 )( 𝑧h − 𝑛2𝑛+1 ( 𝑧h )

2𝑛+1𝑛 )−2 𝛿 𝑧h )

𝑢𝑟=(− h𝑑𝑑𝑡 ) 𝑟h (𝛿− 2𝑛+1

2(𝑛+1)(1−2𝛿 )(1−( 𝑧h )

2𝑛+1𝑛 ))

Z rychlostního pole se počítají rychlosti smyku a rychlosti elongace v radiálním a axiálním směru

𝑟𝑧=𝜕𝑢𝑟𝜕𝑧

𝑟𝑟=𝜕𝑢𝑟𝜕𝑟

𝑧𝑧=𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧

Konstitutivní model mocninové kapaliny uvažuje dva různé koeficienty konzistence (K-pro smykový tok a Ke pro elongační tok), ale stejný index toku n

𝜏𝑟𝑧=𝐾 (𝜕𝑢𝑟

𝜕 𝑧 )𝑛

𝜏 𝑧𝑧=𝐾 𝑒(𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧 )𝑛

𝜏𝑟𝑟=𝐾 𝑒(𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟 )𝑛

Pro nestlačitelnou kapalinu plyne z rovnice kontinuity 𝑟𝑟=−

𝑧𝑧2

Laun – mocninová kapalina a skluz na stěně (parametry K, Ke, n, )

𝐹=2𝜋∫0

𝑅

(𝑝−𝑝𝑎+𝜏 𝑧𝑧 )𝑟𝑑𝑟=𝐹 𝑠+𝐹𝑒

Axiální sílu může vyjádřit jako součet komponenty odpovídající smykovému Fs a elongačnímu Fe toku

Výsledek (po dosazení z konstitutivní rovnice a integraci)

𝐹 𝑠=(− h𝑑𝑑𝑡 )

𝑛 𝜋 𝐾 𝑅𝑛+ 3

h2𝑛+1(𝑛+3) ( 2𝑛+12𝑛 )

𝑛

(1−2𝛿 )𝑛

𝐹 𝑒=(− 32h

h𝑑𝑑𝑡 )

𝑛

𝜋 𝐾 𝑒𝑅2(2( 4 𝛿3 )

𝑛

+( 2 (2𝑛+1 )−4 𝛿3 (𝑛+1) )

𝑛

)Pro H<<R lze elastický člen zanedbat (výsledkem je tzv. rovnice Rady-Laun)

𝐹=(− 𝑑𝐻𝑑𝑡 )𝑛 2𝜋 𝐾 𝑅𝑛+3

𝐻2𝑛+ 1(𝑛+3) ( 2𝑛+1𝑛 )

𝑛

(1−2 𝐻 𝒗 𝒔

(− 𝑑𝐻𝑑𝑡 𝑅))𝑛

𝐹=(− 𝑑h

𝑑 𝑡)𝑚

h2𝑚+1 ( 2𝑚+1𝑚 )


𝑚+3+𝜋𝜏 𝑦 𝑅

3

hPorovnej s výsledkem Covay pro Herschel Bulkley kapalinu

N.Phan-Thien, R.I.Tanner – Maxwellův model kapaliny


Článkům pana N.Phan-Thiena (ani jeho knížkám) moc nerozumím (prof.Biomechanics v Singapore “erythrocytes”).

V tomto článku uvádí Thien výchozí rovnice (Upper Convective Maxwell UCM) jen v symbolickém tvaru a konkrétní formulace analyzuje jen v kartézském souřadném systému. Výchozí rovnice UCM pro cylindrický souřadný systém Thien neuvádí, jen jejich obecné řešení. Formulaci rovnic pro extranapětí je třeba hledat jinde, např. u Tannera

𝜕𝜏𝑟𝑟𝜕𝑡

+𝑢𝑟

𝜕𝜏𝑟𝑟𝜕𝑟

+𝑢𝑧

𝜕𝜏𝑟𝑟𝜕 𝑧

−2(𝜏𝑟𝑟 𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟+𝜏𝑟 𝑧

𝜕𝑢𝑟𝜕 𝑧 )+𝜏𝑟𝑟𝜆 =2𝜇

𝜆𝜕𝑢𝑟𝜕𝑟

𝜕𝜏𝑟 𝑧𝜕𝑡

+𝑢𝑟𝜕𝜏𝑟 𝑧𝜕𝑟

+𝑢𝑧

𝜕𝜏𝑟 𝑧𝜕 𝑧

−(𝜏𝑧𝑧 𝜕𝑢𝑟𝜕 𝑧+𝜏𝑟 𝑟

𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑟−𝑢𝑟

𝑟 )+𝜏𝑟 𝑧𝜆 =𝜇𝜆 (𝜕𝑢𝑟𝜕 𝑧

+𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑟 )𝜕𝜏𝜑𝜑𝜕𝑡

+𝑢𝑟

𝜕𝜏𝜑𝜑𝜕𝑟

+𝑢𝑧

𝜕𝜏𝜑𝜑𝜕 𝑧

−2𝜏𝜑𝜑𝑢𝑟𝑟

+𝜏𝜑𝜑𝜆

=2𝜇𝜆𝑢𝑟𝑟

𝜕𝜏𝑧𝑧𝜕𝑡

+𝑢𝑟𝜕𝜏 𝑧𝑧

𝜕𝑟+𝑢𝑧

𝜕𝜏 𝑧𝑧

𝜕 𝑧−2(𝜏𝑟 𝑧 𝜕𝑢𝑧

𝜕𝑟+𝜏 𝑧 𝑧

𝜕𝑢𝑧

𝜕 𝑧 )+𝜏 𝑧𝑧

𝜆=2𝜇

𝜆𝜕𝑢𝑟

𝜕𝑟

Pozn. Thien používá trochu jinou symboliku, místo používá S, místo času t bezrozměrné , místo z používá bezrozměrnou souřadnici . Bezrozměrná vzdálenost desek H=h/h0. Radiální souřadnice r zůstává rozměrová.

Prof.Roger Tanner University of Sydney “Mullins effect, viscoelasticity of suspensions”


Analytické řešení rychlostního pole je stejně jako dříve definované jedinou funkcí f(z,t)

𝑢𝑟=−12𝑉𝑟

𝜕 𝒇 (𝒛 ,𝒕 )𝜕 𝑧

𝑢𝑧=𝑉 𝒇 (𝒛 ,𝒕)kde V je referenční rychlost

Extranapětí (řešení Maxwellova modelu) se hledají prostřednictví funkcí jen proměnné z a času t (nejsou tedy funkcí poloměru)

𝜏𝑟𝑟=𝑅1 (𝑧 )+𝑟 2𝑅2 (𝑧 )𝜏𝜑𝜑=Θ (𝑧 )𝜏 𝑧𝑧=𝑍 (𝑧 )𝜏𝑟𝑧=𝑟 𝑇 (𝑧 )

Dosazením těchto a rychlostí (tedy funkce f) do UCM získáme soustavu hyperbolických diferenciálních rovnic

𝑅1+𝑊𝑖 (1+ 𝑓 𝑅1′ + 𝑓 ′𝑅1 )=− 𝑓 ′

Θ+𝑊𝑖 ( Θ+ 𝑓 Θ′+ 𝑓 ′Θ )=− 𝑓 ′𝑍+𝑊𝑖 ( + 𝑓 𝑍 ′−2 𝑓 ′ 𝑍 )=−2 𝑓 ′

𝑇 +𝑊𝑖( − 𝑓 ′𝑇+ 𝑓 𝑇 ′+ 12𝑓 ′ ′ 𝑍 )=− 12 𝑓 ′ ′

Tyto rovnice jsou stejné, takže stačí počítat R1=

Tečka nad symbolem je derivace dle bezrozměrného času apostrof je derivace dle

𝑊𝑖=𝜆𝑉h0

je Weissenbergovo číslo

Zvláštní je to, že Thien rozděluje UCM rovnici pro radiální směr na dvě rovnice. Dělá to tak i v jiných článcích, asi proto, aby vymýtil ze všech rovnic souřadnici r (zůstává jen )


Máme tedy 4 rovnice pro 4 neznámé funkce času a axiální souřadnice popisující extranapětí =R1, R2, T, Z. Funkce f(,) je řešením rovnice, která patrně plyne z Cauchyho rovnice rovnováhy ve směru r (Thien neuvádí odvození, zase jen výsledek)

=0

Perturbační řešení těchto diferenciálních rovnic je pro malé hodnoty Weissenbergova čísla Wi a malé hodnoty Reynoldsova čísla a pro osově symetrický případ vyjádřeno takto

𝑓 (𝜉 ,𝜏 )= 𝑓 0+𝑅𝑒 𝑓 10+𝑊𝑖 𝑓 01

𝑓 0=𝑑𝐻𝑑𝜏

( 3𝜉2

𝐻 2 −2𝜉 3

𝐻 3 )

𝑓 01=−6( 𝑑𝐻𝑑𝜏 )2 1𝐻 ( 𝜉3𝐻3 −

𝜉 4

𝐻4 +2𝜉5

5𝐻5 )+ 65 ( 𝑑𝐻𝑑𝜏 )2 1𝐻 ( 𝜉3𝐻3+

𝜉 2

𝐻2 )

, H=

𝑓 10=𝑑2𝐻𝑑𝑡2 ( 𝜉 4

4𝐻 2−𝜉5

10𝐻3 )−(𝑑𝐻𝑑𝜏 )2( 𝜉4

2𝐻3 −3𝜉 5

10𝐻4 +𝜉 6

10𝐻5−𝜉 7

35𝐻 6 )+… moc složité a stejně zanedbané pro Re=0


Pro velké hodnoty Weissenbergova čísla se uvádí numerické řešení rovnice

metodou sítí (kterému také moc nerozumím, Thien ho stejně uvádí jen pro kartézský souřadný systém. Problém je v tom, že nevím co je to Rouse-matrix a Kramer-matrix a na operacích s těmito maticemi se numerické řešení točí)

=0

Ze stanovené funkce f se dá odvodit rozložení tlaku a kýžená závislost mezi axiální silou a rychlostí stlačování. Síla F (v článku je označována symbolem W) je vyjádřena bezrozměrným zatěžovacím faktorem

𝑤=4𝑊 h0

3

𝜋𝜇𝑉 𝑅4=−6𝐻3

𝑑𝐻𝑑𝜏

−𝑊𝑖( 425𝐻4 (𝑑𝐻𝑑𝜏 )2

−6𝐻3

𝑑2𝐻𝑑𝜏2 )−𝑅𝑒( 35𝐻 𝑑2𝐻

𝑑𝜏2−

1514𝐻2 (𝑑𝐻𝑑𝜏 )

2)Za povšimnutí snad stojí to, že i když je zanedbaná setrvačnost (Re=0) ovlivňuje axiální sílu i druhá derivace H, tj. zrychlení disku.

𝐹=− 32𝑑𝐻𝑑𝑡

𝜋 𝜇𝑅4

𝐻 3Porovnej se Scott pro Newtonskou kapalinu

N.Phan-Thien – Mooney+Maxwell LAOS


V principu jde o model viskoelasticity typu Kelvin, protože tenzor výsledných napětí odpovídá paralelnímu řazení elastické pružiny (Moore) a seriově uspořádané pružiny s tlumičem (UCM Upper Convected Maxwell)

𝑺=𝑺𝐸+𝑺𝑉

𝑺𝐸=𝐺𝐸 𝑭 𝑭𝑇⏟𝐵=𝐹𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟

Tenzor elastických napětí je dán neo-Hookovským modelem s jediným parametrem - modulem tuhosti ve smyku GE

Kinematiku deformace popisuje Fingerův tenzor odvozený z tenzoru deformačního gradientu 𝑭=𝜕𝒙𝜕𝑿

𝐵𝑖𝑗=𝐹 𝑖𝑘𝐹 𝑗𝑘=𝜕 𝑥 𝑖𝜕 𝑋𝑘

𝜕𝑥 𝑗

𝜕 𝑋𝑘

Vektor X=(R,,Z) je poloha materiálového bodu v referenčním souřadném systému (odpovídá výchozímu stavu v čase t=0) a x=(r,,z) je poloha téhož bodu, ale v aktuálním čase t.


Deformační tenzor je v cylindrickém souřadném systému vyjádřen takto

𝑭= 𝜕𝒙𝜕𝑿

=(𝜕𝑟𝜕𝑅

1𝑅𝜕𝑟𝜕Θ

𝜕𝑟𝜕𝑍

𝑟𝜕𝜃𝜕𝑅

𝑟𝑅𝜕𝜃𝜕Θ

𝑟𝜕𝜃𝜕𝑍

𝜕 𝑧𝜕𝑅

1𝑅𝜕𝑧𝜕Θ

𝜕 𝑧𝜕𝑍

) 𝑭− 1=𝜕𝑿𝜕𝒙

=(𝜕𝑅𝜕𝑟

1𝑟𝜕𝑅𝜕𝜃

𝜕𝑅𝜕 𝑧

𝑅𝜕Θ𝜕𝑟

𝑅𝑟𝜕Θ𝜕 𝜃

𝑅𝜕Θ𝜕𝑍

𝜕𝑍𝜕𝑟

1𝑟𝜕𝑍𝜕𝜃

𝜕𝑍𝜕 𝑧

)


Lze ukázat, že zcela přesný popis deformace lze zajistit dvojicí funkcí f(z,t) a g(z,t) které nejsou funkcí poloměru

𝑅=𝑟𝑓 (𝑧 , 𝑡) Z

Okrajové podmínky 𝑓 (0 , 𝑡 )= 𝑓 (h ,𝑡 )=1𝑔 (0 ,𝑡 )=0𝑔 (h , 𝑡 )=𝐻

Deformační tenzor

𝑭− 1=𝜕𝑿𝜕𝒙

=( 𝑓 =𝜕𝑅𝜕𝑟

0 𝑟 𝑓 ′=𝜕𝑅𝜕 𝑧

0 𝑓 0

0 0 𝑔 ′=𝜕𝑍𝜕 𝑧

)Fingerův tenzor a elastická napětí

Inverzí matice 𝑭=𝜕𝒙𝜕𝑿

=( 𝑓 𝑔 ′ 0 −𝑟 𝑓 𝑓 ′

0 𝑓 𝑔 ′= 𝑟𝑅𝜕𝜃𝜕Θ

0

0 0 𝑓 2)

=𝜃

𝑺𝐸=𝐺𝐸𝑭 𝑭 𝑇=𝐺𝐸( 𝑓2 (𝑔′2+𝑟 2 𝑓 ′2 ) 0 −𝑟𝑓 ′ 𝑓 3

0 𝑓 2𝑔 ′2 0−𝑟𝑓 ′ 𝑓 3 0 𝑓 4 )


Funkce f,g (a transformace mezi referenční a aktuální konfigurací) definují i rychlostní pole.

𝑅=𝑟𝑓 (𝑧 , 𝑡) Z

Klíčová rovnice 𝜕𝑿 (𝒙 ,𝑡)𝜕𝑡

+𝜕𝑿 (𝒙 , 𝑡)

𝜕𝒙∙𝜕𝒙 ( 𝑿 ,𝑡 )

𝜕𝑡=0

𝜕𝑿 (𝒙 ,𝑡)𝜕𝑡

+𝑭 −1 ∙𝒖=0 𝒖=−𝐹𝜕𝑿 (𝒙 ,𝑡)

𝜕𝑡 (𝑢𝑟𝑢𝜃

𝑢𝑧)=−( 𝑓 𝑔 ′ 0 −𝑟𝑓 𝑓 ′

0 𝑓 𝑔′ 00 0 𝑓 2 )(

𝜕𝑅𝜕𝑡

=𝑟 𝜕 𝑓𝜕𝑡

𝜕Θ𝜕𝑡𝜕 𝑔𝜕𝑡

)𝑢𝑟=𝑟𝑓 𝑓

′ 𝜕𝑔𝜕𝑡−𝑟

𝜕 𝑓𝜕𝑡

𝑓 𝑔 ′ 𝑢𝑧=− 𝑓2 𝜕𝑔𝜕𝑡

Thien uvádí řešení zavedením pomocné funkce F

Jenže pak nesouhlasí radiální rychlost ?

Rozpor je možné odstranit z podmínky nestlačitelnosti, Jakobián transformace F=1. Determinant je součin diagonálních prvků

𝐹 (𝑧 , 𝑡)= 𝑓 2𝜕𝑔𝜕𝑡 𝑢𝑧=−𝐹 𝑢𝑟=

12𝑟 𝐹 ′

𝑢𝑟=12𝑟 𝐹 ′=𝑟𝑓 𝑓 ′ 𝜕𝑔

𝜕𝑡+ 12𝑟 𝑓 2 𝜕𝑔

′

𝜕𝑡

’ =1 2 𝑓 𝑔′ 𝜕 𝑓𝜕𝑡

+ 𝑓 2 𝜕𝑔′

𝜕𝑡=0 1

2𝑟 𝑓 2 𝜕𝑔

′

𝜕𝑡=−𝑟 𝜕 𝑓

𝜕𝑡𝑓 𝑔′


Rychlosti u vyjádřené funkcí F se použijí v diferenciálních rovnicích UCM 𝑢𝑧=−𝐹 𝑢𝑟=12𝑟 𝐹 ′

…je to prakticky stejné jako u předchozího článku Thien Tanner.

I metody řešení jsou podobné, pro malé deformace a numerické pro velké deformace. (takže opět mně neznámé Rouse-matrix, Kramer-matrix …)

Výsledky jsou použité pro vyhodnocování LAOS oscilačních experimentů při velkých amplitudách.

Laudarin electrorheological fluid

Khan variační metoda (Wangova transformace)

Ceterum censeo… že bude třeba napsat tyto články

o Thixotropic properties of collageno Assessment of viscoelastic properties in a capillary rheometer with converging/diverging slito Rheometry of compressible collagenous materials (capillary rheometers, squeezing)o Rheological properties of collagenous materials I. Effect of irradiation o Rheological properties of collagenous materials II. Effect of concentrationo Rheological properties of collagenous materials III. Electric and rheological propertieso Wagner model of collagen identified by squeezing, extrusion and rotational LAOS experiments.

Tým sedmi lidí : Houška, Landfeld, Žitný, Skočilas, Štancl, Dostál, Chlupby během 3 let řešení grantu měl vygenerovat alespoň 7 článků v časopisech

Date post:	02-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	neil-weaver
View:	36 times
Download:	6 times

Žitný prezentace 3.9 .201 4

Documents