Základy matematického modelování a simulování doc. Dr. Ing. Ivana Kabelková Modelovani a simulovani -1- Základy modelování 1. Základní pojmy při modelování 2. Stavba modelu, simulace 3. Druhy matematických modelů 4. Užívání matematických modelů 5. Simulační program 6. Integrované modelování 1. Základní pojmy Modelování je proces, při němž se reálnému systému (objektu) přiřazuje jiný systém, fyzický nebo abstraktní, nazývaný model. Fyzický (fyzikální) model - model vytvořený přirozeným nebo umělým hmotným systémem. Abstraktní model - tvořen nehmotným systémem a může mít slovní, grafickou či matematickou podobu. Základní pojmy Matematický model - vztahy mezi vstupy a výstupy definovány pomocí matematických rovnic. Simulace - zobrazení chování systému pomocí matematického modelu Simulační program - počítačový program, který řeší matematické rovnice definovaného modelu a stanovuje formu vstupních a výstupních dat Základní pojmy při modelování Systém Systém = ohraničená část reálného světa. Hranice systému voleny s ohledem na řešený problém. Často vhodné rozdělení na dílčí systémy (subsystémy).
Transcript
Základy matematického modelování a simulování
doc. Dr. Ing. Ivana Kabelková
Modelovani a simulovani
-1-
Základy modelování
1. Základní pojmy při modelování 2. Stavba modelu, simulace
3. Druhy matematických modelů
4. Užívání matematických modelů
5. Simulační program
6. Integrované modelování
1. Základní pojmy Modelování je proces, při němž se reálnému
systému (objektu) přiřazuje jiný systém, fyzický nebo abstraktní, nazývaný model.
Fyzický (fyzikální) model - model vytvořený přirozeným nebo umělým hmotným systémem.
Abstraktní model - tvořen nehmotným systémem a může mít slovní, grafickou či matematickou podobu.
Základní pojmy Matematický model - vztahy mezi vstupy a
výstupy definovány pomocí matematických
rovnic.
Simulace - zobrazení chování systému pomocí
matematického modelu
Simulační program - počítačový program, který řeší matematické rovnice definovaného modelu a stanovuje formu vstupních a
výstupních dat
Základní pojmy při modelování Systém
Systém = ohraničená část reálného světa.
Hranice systému voleny s ohledem na řešený problém.
Často vhodné rozdělení na dílčí systémy (subsystémy).
Systém vodního hospodářství
Pramen
Podzemní voda
Úprava
Vodojem
Vodní nádrž
Déšť
ČOV
Kalové hospodářství
Skládka
Zemědělství
Recipient
Sídliště
Dešťový odtok Zasakování
Dešťová nádrž
Průmysl
Modelovani a simulovani
-2-
2. Stavba matematického modelu
Koncepční model
souhrn myšlenek a hypotéz o chování zkoumaného systému
Veličiny Extenzivní veličiny: hmotnost průtok objem povrch
Intenzivní veličiny: koncentrace, tlak
teplota, rychlost
Externí veličiny
Působí na intenzivní veličiny systému
Procesy lze charakterizovat nezávisle na systému
Druhy procesů – Transportní procesy - přemístění látky na jiné místo
– Transformační procesy - změna chemické identity látky (např. chemickou nebo biochemickou reakcí)
– Fyzikální procesy - změna fyzikálních stavových veličin, např. teploty
– (Výměnné procesy – přemístění do jiného kompartmentu či fáze)
Procesy Matematický model
Matematická formulace procesů
Sestavení bilančních rovnic
Počáteční a okrajové podmínky
Vstupní data
Řešení bilančních rovnic
– přímé řešení - přesné analytické přímou integrací nebo úpravou
– numerické řešení - MKD, MKP, metoda
charakteristik
Schéma systému pro bilancování
Objem V Koncentrace c Reakční rychlost r
Systém Přítok
Odtok Qin, cin
Qout, cout
jednoduchého
Množství látky: M = V.c
Akumulace = dM/dt = d(V.c)/dt = V.dc/dt + c.dV/dt
V.dc/dt + c.dV/dt = Qin.cin - Qout.cout + r.V Akumulace Přítok Odtok Reakce
Modelovani a simulovani
-4-
Kalibrace modelu
Typy veličin v mat. modelu:
1. Proměnné - vstupy, výstupy, stavy
2. Konstanty - hodnota je konstantní ve všech aplikacích modelu
3. Parametry - hodnota musí být stanovena pro každou specifickou aplikaci modelu
Kalibrace modelu
„Realita“
Model
Měřené vstupy
Měřené
výstupy
Předpověděné
výstupy
Chyby v
předpovědi
Kalibrace parametrů
proces hledání hodnot parametrů, které vedou k co nejlepší shodě výsledků modelu s měřenými daty, často metoda „pokusů a omylů“
Odhad parametrů
„Realita“
Model
Měřené vstupy Měřené výstupy
Předpověděné výstupy
Chyby v
předpovědi
Odhad parametrů
Neměřené vstupy
Chyby v měření
A
l
g
o
r
i
t
m
u
s
hledání hodnot parametrů pomocí některé ze statistických metod (maximalizace nebo minimalizace některého z kritérií -
např. minima čtverců)
Odhad parametrů
n
i iměř
iiměř pffp
1
2
,
,2
kde p=(p1,….pm) pole m parametrů
fměř,i naměřená hodnota datového bodu
fi(p) vypočtená hodnota datového bodu
měř,i standardní odchylka fměř,i
2,,
2
,,. iměř
r
iměřa
iměřiměř f
Hodnoty vypočtených χ2 musí být menší než hodnoty χ2směrodatné pro daný počet stupňů volnosti a zvolenou úroveň spolehlivosti modelu (v učebnicích statistiky).
Analýza identifikovatelnosti modelu
součást hledání parametrů modelu
vyhodnocení, zda parametry modelu
odhadnuté/určené z měřených dat jsou unikátní (existuje jen jedno řešení)
nástroj: standardní odchylky parametrů, korelace parametrů, citlivostní analýza
Citlivostní analýza
p
fp
ra
pf
,,
Absolutní-relativní citlivostní funkce, která ukazuje absolutní
změnu proměnné f při 100% změně parametru p:
Čím vyšší jsou hodnoty citlivostních funkcí, tím přesněji lze daný parametr identifikovat.
Má-li model více parametrů, musí být jejich citlivostní funkce lineárně nezávislé (v čase nebo prostoru). Jinak totiž parametry nejsou individuálně identifikovatelné, protože změna jednoho parametru může být kompenzována změnami jiných parametrů.
Modelovani a simulovani
-5-
Citlivostní analýza
Citlivostní analýza
Citlivostní analýza
Verifikace, validace, ověření modelu
Přezkoušení modelu pro jiná období a zatížení systému než při kalibraci, nezávislá
řada vstupních a výstupních dat nelze prokázat, že je model správný
lze zvýšit věrohodnost modelu
Validace ≈ verifikace
– Validace = ověření pro omezený rozsah aplikací (např. období, rozsah průtoků…)
– Verifikace = ověření pro širší rozsah aplikací
Kalibrace a verifikace
Důležité otázky: – Jaká data a kolik použít pro kalibraci a
verifikaci?
– Jaké rozdíly vypočtených a referenčních (měřených) hodnot je možno tolerovat?
– Jaká přesnost je požadována pro praktické užití?
Na co se kalibruje a verifikuje Porovnání měřených a vypočtených
hodnot:
– objem vody
– hladina vody
– rychlost vody
– průběhy veličin (hydrogramy, případně polutogramy)
– maximální hodnota hydrogramu nebo
polutogramu
– hmotnost znečištění, resp. látkové množství – …
Modelovani a simulovani
-6-
Minimální nároky na kalibraci
srážkoodtokového modelu v Rakousku
Kalibrace na základě:
Vstupní data pro simulaci
Měřená data
Ročních řad
Min. jednoletá řada dešťů měřená současně
s průtoky
nebo
Min. jednoletá řada dešťů převzatá ze stanice se srovnatelným ročním
úhrnem
Přítok na ČOV
a
Doba trvání a četnost přepadů za rok
nebo Roční odlehčená
množství
Jednotlivých událostí
Min. 3 relevantní nezávislé
srážkové události s významným dešťovým odtokem a překročením
škrceného odtoku na ČOV
Výšky vodní hladiny v retenčním prostoru a/nebo výšky vodní hladiny na přelivné
hraně, škrcený odtok
Kalibrace a verifikace - pomůcky
systematická odchylka
– systematické nadhodnocování
/podhodnocování
průměrná odchylka
– přesnost výpočtu vzhledem k referenčním hodnotám
kvadratická odchylka
– přesnost výpočtu vzhledem k referenčním hodnotám
ri-rozdíl mezi vypočtenou a naměřenou hodnotou (%) n – počet událostí
Kalibrace a verifikace v městském odvodnění - doporučení
Verifikace, validace, ověření modelu
Neúspěšnost kalibrace či verifikace
– změna struktury modelu
– změna matematické formulace procesů
– hledání dodatečných informací
Nekalibrovaný model je přípustné použít jen pro orientační srovnání variant v relativních číslech!
3. Druhy matem. modelů
Podle zahrnutí nejistot
Podle popisu jevů
Podle proměnlivosti v čase
Podle diskretizace
…..
Modely podle zahrnutí nejistot
Deterministické nezahrnují žádné nejistoty
Stochastické zahrnují nejistoty
parametry, vstupy a výstupy jako statistická rozdělení
Modely podle zahrnutí nejistot
Modelovani a simulovani
-7-
Zdroje nejistot/chyb v modelu
1. Struktura modelu
• chyby v zohlednění důležitých proměnných a procesů
• chyby ve formulaci procesů
• špatné rozlišení prostorové a časové variability
2. Vstupní data
• náhodnost jevů a chyby v měření 3. Parametry
• standardní odchylka
Propagace nejistot modelem
Linear error propagation
– výpočet standardní odchylky simulované proměnné na základě nejistých parametrů modelu + jejich standardních odchylek
Monte Carlo simulace (nelineární)
– výpočet hustoty pravděpodobnosti výstupů modelu na základě hustoty pravděpodobnosti hodnot parametrů
– stovky – tisíce simulací (podle počtu parametrů)
Monte Carlo simulace
při laboratorním zpracování makrozoobentosu
1. Reference = all 100 cells
2. Simplifiication = Monte Carlo simulations
statistical
analysis
PRO
BA
BIL
ITY
VALUE
m, 2 Monte
Carlo
Simul. CHARACTERISTIC / INDEX
SUBSAMPLER
X=5
….
Result 1000
Result 1 Result 2 Result 3
Y=1000
4
8
12
16
20
24
0 20 60 80 100
No. of processed cells
No
. of
sp
ec
ies
Re
lati
ve
un
ce
rta
inty
mean
reference value
+90% confidence int.
-90% confidence int.
40
-80%
-70%
-60%
-50%
-40%
-30%
-10%
0%
10%
-20%
Monte Carlo simulace
při laboratorním zpracování makrozoobentosu
Skutečný systém
Deterministický model
Stochasticko-pravděpodobnostní model
• Variabilita
• Variabilita
• Nejistoty
kritická událost
kritická událost
pravděpodobnost
četnost
četnost
četnost
kritická událost
Od
ezva
sys
tém
u
např.
Qm
ax
událo
stí
Od
ezva
mo
de
lu
nap
ř. Q
max
událo
stí
Od
ezva
mo
de
lu
např.
Qm
ax
událo
stí
Pro
měn
ný
za
těžu
jícífa
kto
r, n
ap
ř. dešť
ový
odto
k
Skutečný systém
Deterministický model
Stochasticko-pravděpodobnostní model
• Variabilita
• Variabilita
• Nejistoty
kritická událost
kritická událost
pravděpodobnost
četnost
četnost
četnost
kritická událost
Od
ezva
sys
tém
u
např.
Qm
ax
událo
stí
Od
ezva
mo
de
lu
nap
ř. Q
max
událo
stí
Od
ezva
mo
de
lu
např.
Qm
ax
událo
stí
Pro
měn
ný
za
těžu
jícífa
kto
r, n
ap
ř. dešť
ový
odto
k
Modely podle zahrnutí nejistot
Po
žad
avk
y b
ud
ou
sp
lněn
y
velm
i pra
vděp
odobn
ěm
álo
pra
vděp
odobn
ě
pra
vděp
od
obn
ě
Po
žad
avk
y b
ud
ou
sp
lněn
y
velm
i pra
vděp
odobn
ěm
álo
pra
vděp
odobn
ě
pra
vděp
od
obn
ě
Pravděpodobnost dodržení požadavků
Návrh opatření podle stochasticko-
pravděpodobnostní simulace
Modelovani a simulovani
-8-
Pravděpodobnost dodržení požadavků vs. náklady
Návrh opatření podle stochasticko-
pravděpodobnostní simulace
Modely podle popisu jevů
Matematické modely
empirické „black box“
fyzikální „white box“
jasná představa o procesech
žádná představa o procesech
polo-fyzikální “grey box“
empirické, statistické vyhodnocení jevů
fenomenologický popis jevů
mechanistický popis jevů
částečně jasná představa o procesech
Modely podle popisu jevů
Modely podle proměnlivosti v čase
Statické (steady-state) vstupní data a stavy systému
jsou v čase neproměnná
Dynamické vstupní data nebo stavy systému se
mění v čase
Modely podle proměnlivosti v čase
Modely podle diskretizace
Prostorově diskrétní bez gradientů stavových proměnných formulovány pomocí diferenciálních rovnic
Prostorově kontinuální s gradienty stavových proměnných
formulovány pomocí parciálních diferenciálních rovnic
Modely podle diskretizace
Časově diskrétní formulovány pomocí diferenčních rovnic
Časově kontinuální formulovány pomocí diferenciálních
rovnic
Modely podle linearity
Lineární analytické řešení
Nelineární numerické řešení
Modely podle linearity
Modelovani a simulovani
-9-
Modely podle míry schematizace
Lumped hrubá schematizace
Distributed podrobná schematizace
Modely podle míry schematizace
4. Užívání matematických modelů
Prognózy – chování systému za odlišných okrajových podmínek
Plánování pokusů – předběžný model na základě a priori znalostí – známe nutná data
– citlivostní analýza
– optimalizace pokusu
Analýza dat, porozumění systému – sestavení mat. modelu = porozumění mechanismům
– testování hypotéz
Řízení v reálném čase
Matematické modelování jako
nástroj
Zvyš
ujíc
í se
kom
plex
nost
1. Modely pro plánování - analýza hypotetické situace v budoucnu, vstupy jsou
velmi nejisté – jednoduchý model
2. Modely pro koncepční porozumění - jednoduše formulovaný model zaměřený na analýzu
základních vztahů
3. Modely pro návrh - zpravidla statické modely
4. Modely pro řízení v reálném čase - jednoduchý model, aby výpočty mohly být
provedeny v potřebném časovém kroku
5. Modely pro analýzu - analýza konkrétního problému
6. Detailní modely pro výzkum - komplexita musí odpovídat požadavkům
Komplexnost modelů podle užití Prognózovatelnost procesů
Úloha Prognózovatelnost
Modelování hydrauliky systému velmi dobrá
Modelování osudu jednotlivých látek seznámými transformačními rychlostmi
poměrně dobrá
Modelování komplexníchbiochemických systémů
velmi problematická
Zásady výběru a užívání modelů Definujte problém, stanovte jaké informace potřebujete a jaké
otázky mají být zodpovězeny. Použijte nejjednodušší metodu, která dává odpovědi na vaše
otázky.
Použijte nejjednodušší model, který pracuje s dostatečnou přesností.
Nesnažte se “napasovat” problém na model, ale vyberte model, který “pasuje” problému.
Nepleťte si komplexitu s přesností. Vždy si klaďte otázku, zda zvýšená přesnost stojí za zvýšenou
námahu a náklady.
Nezapomínejte na zjednodušující předpoklady, na nichž je model založen, a nepřikládejte výsledkům simulace více důležitosti, než v nich skutečně je.
Modelovani a simulovani
-10-
Komplexita modelu a nejistota
předpovědi
Zásady užívání modelů kalibrace a verifikace nutná => možnost posouzení
přesnosti výpočtu
nepřesnosti výpočtu – dochází k nim i při použití správných formulací (např. schematizace systému, záměrné zjednodušení procesů, nepřesnost hodnot modelových parametrů a konstant) = přípustné pokud jsou známy příčiny a je možné je kvantifikovat
simulační model ≠ skutečnost
Kritický přístup
5. Simulační model a program
nezaměňovat model a program ! odlišný vývoj v posledních 20.letech
velký rozvoj programů – souvisí s
rychlostí vývoje informačních technologií pomalejší vývoj modelů – souvisí s
pomalejším pokrokem znalostí procesů
Základní kroky vytvoření simulačního programu
1.stanovení cílů programu
2.vypracování způsobu vkládání vstupních dat a formy výstupů (výsledků)
3. řešení matematických výrazů použitých při matematickém popisu procesů (= numerický výpočet); algoritmizace
4.vlastní programování ve zvoleném
programovacím jazyce
5. ladění a testování programu
6.uvedení do praxe
Užívání simulačních modelů ve VH praxi
Volba simul. modelu/programu + příprava dat Stavba modelu x zadávání dat (zejm.
systémových)
Druhy dat v simulačních modelech:
– vstupní data,
– systémová data,
– hodnoty modelových konstant a parametrů, – data pro kalibraci a verifikaci modelů.
Různé VH úlohy, různé druhy simulačních modelů, různé požadavky na data.
Modelovani a simulovani
-11-
Vodohospodářská úloha
Ohraničení systému
Schematizace systému
Výběr modelu
Kalibrace modelu
Verifikace modelu
Stanovení požadavků na přesnost modelu
(přípustné odchylky)
Odchylky
Použití modelu
1. sada měřených dat
2. sada měřených dat
velké
malé
Generace simulačních modelů
1.generace (60.léta 20.st.)
2.generace (60.-70.léta 20.st.)
analogové počítače a kalkulátory
izolovaná vědecká centra
specifické obory (ne VH)
v MO pouze pro urychlení a automatizaci výpočtu jednoduchých funkcí (např. racionální metoda)
numerické algoritmy (MKP, MKD)
aplikace v hydrodynamice a hydrologii
problémy se stabilitou (uživatel = programátor)
Praotec (1946) ENIAC – University of Pennsylvania
30 tun, 6000 přepínačů, 19 000 elektronek
výpočty pro sestrojení vodíkové pumy
Generace simulačních modelů
1.generace (60.léta 20.st.)
2.generace (60.-70.léta 20.st.)
analogové počítače a kalkulátory
izolovaná vědecká centra
specifické obory (ne VH)
v MO pouze pro urychlení a automatizaci výpočtu jednoduchých funkcí (např. racionální metoda)
numerické algoritmy (MKP, MKD)
aplikace v hydrodynamice a hydrologii
problémy se stabilitou (uživatel = programátor)
Praotec (1946) ENIAC – University of Pennsylvania
30 tun, 6000 přepínačů, 19 000 elektronek
výpočty pro sestrojení vodíkové pumy
4.generace (80.léta - současnost)
Generace simulačních modelů
3.generace (70.léta 20.st.) snížení nákladů na výpočetní prostředky
počátek průmyslového vývoje modelů
snaha o standardizaci
uživatel = zpracovatelský tým
nekompabilita hardwaru, operačních systémů
nástup osobních počítačů (PC) zlevnění investičních a provozních nákladů
Internet
geografické informační systémy (GIS) zaškolování uživatelů
propojení numerických systémů s expertními systémy (plánování, provoz, management)
důraz na zahrnutí ekologických a ekonomických aspektů
stavebnicové systémy – tvorba vlastního simulačního prostředku, odpovídajícího řešenému problému (MATLAB)
rozvoj Real Time Control – on-line sběr dat, jejich vyhodnocení, tvorba scénářů, výběr vhodného scénáře a provedení opatření – to vše v reálném čase
příklon ke stochastickým modelům, větší důraz na nejistoty
6. Integrované modelování
Modelovani a simulovani
-12-
Integrované modelování Sekvenční
Model A Model B
Model C
Integrované modelování Simultánní
Model A Model B
Model C
Integrované modelování
Problémy:
– různá časová měřítka procesů
– různé numerické formulace
– různá charakterizace komponent kvality vody
– kalibrace
– software
Problémově orientované modelování
Literatura
KREJČÍ V. a kol. (2000) – Odvodnění urbanizovaných území – koncepční přístup, NOEL 2000
ABBOTT M.B. (1991) – Hydroinformatics – Information Technology and the Aquatic Environment, Avebury Technical, Aldershot
CARSTENSEN a kol. (1997) – Terminology and methodology for water quality management – a discussion starter, Water Science & Technology, 36(5), pp. 157-168
HARREMOËS P., MADSEN H. (1999) – Fiction and Reality in the Modelling World – Balance between Simplicity and Complexity, Calibration and Identifiability, Verification and Falsification, Water Science & Technology, 39(9), pp. 1-8
