www.zlinskedumy.cz

Škola Střední průmyslová škola Zlín

Název projektu, reg. č. Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333

Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace (dle RVP)

Vzdělávací obor Matematika (vyučovací předmět)

Tematický okruh Posloupnosti a řady

Téma Posloupnosti a řady

Tematická oblast Posloupnosti a řady

Název Slovní úlohy na geometrickou posloupnost

Autor RNDr. Lenka Švehlíková

Vytvořeno, pro obor, ročník prosinec 2012, strojírenství, 3. roč.

Anotace Prezentace – výklad učiva, vzorové příklady

Přínos/cílové kompetence Pochopení základních pojmů z tematické oblasti posloupnosti a řady

VY_32_INOVACE_55_10

POSLOUPNOSTI A ŘADY

Slovní úlohy na geometrickou posloupnost

Využití geometrické posloupnosti ve slovních úlohách

Příklad 1

Určete čtyři čísla, která jsou prvními čtyřmi členy geometrické posloupnosti a jejichž dekadické logaritmy jsou prvními čtyřmi členy aritmetické posloupnosti s diferencí , přičemž součet těchto logaritmů je 22.

Řešení příkladu 1

+ +

+

Dekadické logaritmy členů posloupnosti jsou členy aritmetické posloupnosti s diferencí . Tato diference je podle zadání ., tj.

Dále platí: +++22

Závěr: Hledaná čísla jsou , , , .

Příklad 2

Frézka o šesti rychlostech má nejmenší počet otáček za minutu 25, největší počet otáček za minutu 500. Přitom poměr počtů dvou „sousedních“ otáček je konstantní. Určete ho.

Řešení příkladu 2

Poměr počtů dvou sousedních otáček je konstantní, to znamená, že počty otáček frézky o šesti rychlostech tvoří prvních šest členů geometrické posloupnosti, v níž

,

Využijeme vzorec 20 ,82

Závěr: Poměr počtů dvou sousedních otáček frézky je přibližně 1,82.

Příklad 3

Mezi kořeny rovnice vložte čtyři čísla tak, aby s kořeny kvadratické rovnice tvořila rostoucí geometrickou posloupnost.

Řešení příkladu 3

Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici Její kořeny jsou Mezi tato čísla máme vložit čísla, tzn. že kořeny jsou první a šestý člen rostoucí geometrické posloupnosti: ,

, , , ,

Závěr: Hledaná čtyři čísla jsou 1, 2, 4, 8.

Příklad 4

Odečteme-li postupně totéž číslo od čísel

29, 11, 5, dostaneme první tři po sobě jdoucí

členy geometrické posloupnosti.

Určete toto číslo.

Řešení příkladu 4

Zadaná čísla jsou 29, 11, 5.Hledané číslo označme První tři členy geometrické posloupnosti jsou: V geometrické posloupnosti platí:

Řešením této rovnice je

Závěr: Hledané číslo je 2.

Příklad 5

Určete všechny geometrické posloupnosti,

pro které platí

= , = , = ,.Určete číslo .

Řešení příkladu 5

Je dáno , , ,.Platí , tj. , tj. 6 561Dále platí , tj. , tj. 9 841 Odtud vyplývá:

Dosazením z první rovnice do druhé dostaneme:

Protože 6 561, dostaneme 6 561, což je Odtud , tj.

Závěr: Daným podmínkám vyhovuje právě jedna geometrická posloupnost = , = . Číslo p je 9.

Zdroje a prameny

Knihy:

• POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1991, 608 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-858-4978-X.

• JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Praha: Prometheus, c2000, 415 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus).ISBN 80-719-6165-5.

• KUBÁT, Josef. Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy . 1. vyd. Praha: Prometheus, 2004, 419 s. ISBN 80-719-6298-8.

• ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro střední odborné školy. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1991, 608 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-85849-91-7.

• KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 80-868-7303-X.

• PETÁKOVÁ, Jindra a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.