www.zlinskedumy.cz

Škola Střední průmyslová škola Zlín

Název projektu, reg. č. Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333

Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace (dle RVP)

Vzdělávací obor Matematika (vyučovací předmět)

Tematický okruh Posloupnosti a řady

Téma Posloupnosti a řady

Tematická oblast Posloupnosti a řady

Název Slovní úlohy na aritmetickou posloupnost

Autor RNDr. Lenka Švehlíková

Vytvořeno, pro obor, ročník prosinec 2012, strojírenství, 3. roč.

Anotace Prezentace – výklad učiva, vzorové příklady

Přínos/cílové kompetence Pochopení základních pojmů z tematické oblasti posloupnosti a řady

VY_32_INOVACE_55_06

POSLOUPNOSTI A ŘADY

Slovní úlohy na aritmetickou posloupnost

Využití aritmetické posloupnosti ve slovních úlohách

Příklad 1

Určete všechny konvexní n-úhelníky,

jejichž velikosti vnitřních úhlů jsou po sobě

jdoucími čísly aritmetické posloupnosti,

rozdíl dvou bezprostředně následujících členů

je a nejmenší úhel má velikost .

Řešení příkladu 1

Vzhledem k tomu, že v úloze jsou všechny úhly vyjádřeny pouze ve stupních, nebudeme značku pro stupeň ve výpočtech uvádět.

,

velikost největšího úhlu je n-tým členem, tedy Velikost každého vnitřního úhlu konvexního n-úhelníku musí být menší než , tedy <, tedy

Otázka:

Víme, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je, součet vnitřních úhlů obdélníku je Jaký je součet velikostí všech úhlů konvexního n-úhelníku?

Řešení příkladu 1 – pokračováníOdpověď:Konvexní n-úhelník můžeme rozdělit na n trojúhelníků, které mají dohromady stupňů, z toho 360 stupňů netvoří vnitřní úhly n-úhelníku, takže je odečteme:součet všech vnitřních úhlů n-úhelníku je stupňů.

Součet všech vnitřních úhlů n-úhelníku je současně součet prvních členů aritmetické posloupnosti=+)Porovnáním dostaneme rovnici

s kořeny ,

Závěr: Podmínkám úlohy vyhovuje jen osmiúhelník, protože řešení nevyhovuje podmínce .

360°

Příklad 2

Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří

tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.

Delší odvěsna má délku 24 cm.

Vypočítejte obsah trojúhelníku.

Řešení příkladu 2

Protože tři strany trojúhelníku tvoří tři členy aritmetické posloupnosti,můžeme psát:, ,

Z Pythagorovy věty dostaneme:=+Řešením této rovnice dostaneme , délky stran jsou tedy:, ,

Obsah trojúhelníku

Závěr: Délky stran trojúhelníku jsou 24 cm, 18 cm, 30 cm.Obsah trojúhelníku je 215 cm2.

.

24-d24+d

24

Příklad 3

Vypočítejte součet prvních lichých čísel.

Řešení příkladu 3

První člen dané posloupnosti má hodnotu diference a platí vztah mezi n-tým a prvním členem proto()=

Závěr:Součet prvních lichých čísel je .

Tento zajímavý výsledek ilustruje obrázek pro kde

Příklad 4

Volně padající těleso urazí za první sekundu

dráhu , v každé další sekundě urazí dráhu

o g větší než v předešlé sekundě.

Jakou dráhu urazí těleso za čas t?

Řešení příkladu 4

Dráhy, které volně padající těleso urazí v jednotlivých sekundách, tvoří aritmetickou posloupnost s prvním členem a diferencí .

V t-té sekundě urazí těleso dráhu

Za t sekund urazí těleso dráhu)=

Závěr: Těleso urazí za čas t dráhu .

Příklad 5

Dělník vyrobí za směnu 35 součástek. Kolik

součástek by vyrobil za 16 dní, kdyby zvyšoval

svůj výkon denně o 2 součástky?

Řešení příkladu 5

Když dělník vyrobí každý den jen 35 součástek, vyrobí za 16 dní 560 součástek. Když ale bude zvyšovat svůj výkon o 2 součástky denně, vyrobí jich víc.

Počet součástek, které dělník vyrobí v jednotlivých dnech při zadaném zvyšování výkonu, tvoří aritmetickou posloupnost.

,

Za 16 dní vyrobí)= součástek

Závěr:Kdyby dělník zvyšoval svůj výkon o 2 součástky denně, vyrobil by 800 součástek.

Zdroje a prameny

Knihy:

• POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1991, 608 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-858-4978-X.

• JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

• HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Praha: Prometheus, c2000, 415 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus).ISBN 80-719-6165-5.

• KUBÁT, Josef. Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2004, 419 s. ISBN 80-719-6298-8.

• ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro střední odborné školy. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1991, 608 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-85849-91-7.

• KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 80-868-7303-X.

• PETÁKOVÁ, Jindra a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.

Obrázky:

• vlastní, vytvořené v programu PowerPoint