www.zlinskedumy.cz

Škola Střední průmyslová škola Zlín

Název projektu, reg. č. Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333

Vzdělávací oblast Matematické vzdělávání

Vzdělávací obor Matematika

Tematický okruh Analytická geometrie v rovině

Téma Analytická geometrie v rovině

Tematická oblast Analytická geometrie v rovině

Název Úhel dvou vektorů

Autor RNDr. Hana Dírerová

Vytvořeno, pro obor, ročník Říjení 2012, Strojírenství 2. ročník,Technické lyceum 2. ročník,Stavebnictví 2.ročník,Elektrotechnika 2.ročník

Anotace Prezentace –skalární součin,výpočet odchylky vektorů

Přínos/cílové kompetence Vypočítat skalární součin dvou vektorů,odchylku vektorů,určit kolmost vektorů

VY_32_INOVACE_01_12

Úhel dvou vektorů

Skalární součin vektorůÚhel dvou vektorůKolmost vektorů

Skalární součin vektorů

Jsou dány vektory u = (u₁,u₂) a v = (v₁,v₂).Skalárním součinem vektorů u,v ( zapisujeme u v ∙ )

nazýváme reálné číslo u₁ v₁ + u₂ v₂∙ ∙ .

u v = ∙ u₁ v₁ + u₂ v₂ ∙ ∙

Příklad : Vypočítejte skalární součin vektorů u,v : a) u = (-3,6) a v = (1,-4) b) u = (2,-5) a v = (10,4)

Řešení :

27vu

243vu

4613vu)a

0vu

2020vu

45102vu)b

Úhel dvou vektorů

x

y

0

U

u

V

v

Konvexní úhel UOV nazývámeúhlem vektorů u a v.

Velikost tohoto úhlu označujeme .

Jakých velikostí může nabývat úhel ?

0⁰≤ ≤180⁰

x

y

U Vu v

= 0⁰

x

y

UuV v

=180⁰

Svírají-li vektory úhel 0 nebo 180 ,pak jsou rovnoběžné. ⁰ ⁰

Výpočet velikosti úhlu dvou vektorů.

Jsou dány vektory u = (u₁,u₂) a v = (v₁,v₂).Velikost úhlu vektorů u,v vypočítáme ze vzorce :

22

21

22

21

2211

vvuu

vuvucos

vu

vucos

Příklad : Vypočítejte velikost úhlu vektorů u,v,je-li u = (-1,1) a v = (1,0) .

13522cos

21cos

121cos

0111

0111cos

vu

vucos

2222

Řešení :

Příklad : Vypočítejte velikost úhlu vektorů u,v,je-li u = (3,6) a v = (2,-1) .

Řešení :

90

0cos2250cos

54566cos

143691623cos

Svírají-li vektory úhel 90 ,pak jsou navzájem ⁰ kolmé.

Jakou podmínku musí splňovat vektory,aby byly kolmé ?

Dva vektory jsou kolmé,jestliže jejich skalární součin se rovná nule .

Podmínka kolmosti :

Jsou dány vektory u = (u₁,u₂) a v = (v₁,v₂).

0vuvu

Příklad : Jsou dány vektory u = (-4,12) a v = (-3,-1) . Zjistěte ,zda vektory u,v jsou kolmé.

Řešení :

0001212011234

0vuvu

Vektory u,v jsou kolmé.

Zdroje a prameny

2. Vlastní zdroje,Hana Dírerová

1. KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: analytická geometrie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 80-719-6120-5