1
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů
Přednáška 4.
P Ř E D N Á Š K A 4
S T A T I K A
ZATÍŽENÍ KONSTRUKCE
2
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 4.
Zjednodušení výpočtového modelu (idealizace):
nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami
3
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 4.
Zatížení jsou vnější silové účinky působící na danou konstrukci a dělí se:
• statické změna velikosti pomalá, nezpůsobuje zrychlení pohybu konstrukce
• dynamické mění svou velikost a polohu v čase, vyvolává zrychlení konstrukce, nelze zanedbat vliv setrvačných sil konce konstrukce
Zatížení nosníků:1. stálé nemění po celou dobu životnosti konstrukce svou velikost2. nahodilé mění se během životnosti konstrukce
• krátkodobé - vítr, sníh, ap.• dlouhodobé - tíha dlouhodobě skladovaných hmot a předmětů• mimořádné - exploze, zemětřesení
Ve statických výpočtech je nutno uvažovat (ČSN 730035):1. Výpočtové zatížení součin součinitele zatížení a normové zatížení.2. Součinitel zatížení veličina, která vyjadřuje možné odchylky od
normových hodnot.3. Normové zatížení je normou předepsaná hodnota zatížení (norma
uvádí také objemové tíhy hmot).
4
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 4.
Na konstrukci mohou působit jednotlivá zatížení v různých kombinacích, proto při výpočtu musíme uvážit jejich nejnepříznivější kombinaci:Základní kombinace: zatížení stálé + zatížení nahodilé dlouhodobé + zatížení nahodilé krátkodobé.Mimořádná kombinace: zatížení stálé + zatížení nahodilé dlouhodobé + některé zatížení nahodilé krátkodobé + 1 zatížení mimořádné
Zatížení z hlediska polohy břemen:Zatížení proměnné: mění se velikost břemene, nemění polohaZatížení pohyblivé: mění se poloha břemene, nemění velikost (např. kolové
tlaky vozidel nebo letadel)
5
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 4.
UŽITÍ NÁHRADNÍCH SIL V PŘÍPADĚ SPOJITÉHO ZATÍŽENÍ
Spojité rovnoměrné zatížení silové
12
2
1
xxfdxfFx
x
Velikost náhradní síly (břemene)
Poloha náhradní síly z momentového účinku ke zvolenému bodu (např. c)
c
2
e 2
1212
212
1
2
1
xxe xxf
xxfeFdxxxf
x
x
tj. stejná úloha jako zjištění polohy těžiště obrázku zatížení ve směru osy x
tj. formulace výpočtu obsahu obrázku zatížení.
Velikost náhradní síly se rovná obsahu obrázku zatížení - obdélníka.
Náhradní síla prochází těžištěm obrázku zatížení – obdélníka, tj. v polovině tzv. zatěžovací délky.
6
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 4.
Spojité rovnoměrné zatížení momentové
Velikost náhradního momentu
12
2
1
xxmdxmMx
x
mNm konstanta - m
Velikost náhradního momentu se rovná obsahu zatěžovacího obrázku.
7
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 4.
Spojité trojúhelníkové zatížení silové
12
1
2 xx
xx
xf
xf
12
12 xx
xxxfxf
Vyjádření intenzity zatížení
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
12
21
12
2
12
12 2
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xx
xfdxxx
xx
xfdx
xx
xxxfdxxfF
Velikost náhradní síly
2
122121
21
22
12
22121
21
22
12
2
222
222xf
xxxxxxx
xx
xfxxx
xx
xx
xf
Velikost náhradní síly se rovná obsahu obrázku zatížení - trojúhelníka.
8
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 4.
333
212
2
312
12
23
1
12
2
21
12
2
12
21
21
2
1
2
1
2
1
2
1
xxxf
xx
xx
xfxx
xx
xf
dxxxxx
xfdx
xx
xxxfdxxfxxeF
x
x
x
x
x
x
x
x
3
232
12
212
2212
xxe
xxxfexf
xxeF
Určení polohy náhradního síly
f (x)
dxx-x1
c
e
F
9
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 4.
3
232
12
212
2212
xxe
xxxfexf
xxeF
F
x2-x1
2(x2-x1)/3 (x2-x1)/3
T
Náhradní síla prochází těžištěm obrázku zatížení – trojúhelníka.
10
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů
Přednáška 5.
P Ř E D N Á Š K A 5
S T A T I K A
VNITŘNÍ SÍLY NOSNÍKU
11
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Konstrukce se skládají z jednotlivých konstrukčních částí – prvků (elementů) konstrukce. Jsou to v podstatě tělesa, které dělíme na:
Prut (přímý, zakřivený)
je konstrukční prvek u něhož jeden rozměr převládá nad dvěma zbývajícími.
Důležitou čárou je střednice prutu, která spojuje ve směru převládajícího rozměru těžiště všech příčných průřezů daného prutu.
12
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Stěna
je rovinný konstrukční prvek, jehož jeden rozměr je výrazně menší než zbývající dvěma rozměry. Zatížení působí ve střednicové rovině (paprsky sil leží v této rovině).
Deska
je rovinný konstrukční prvek se dvěma převládajícími rozměry, který je zatížen kolmo ke střednicové rovině.
13
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Skořepina
je konstrukční prvek se dvěma převládajícími rozměry a se zakřivenou střednicovou plochou.
14
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Rozdělení nosníků a zatížení nosníků (prutů)
Pruty podepřené vazbami se nazývají nosníky.
Pruty podle příčného řezu dělíme na prut:
– stálého průřezu ve směru střednice se nemění základní rozměry průřezu
– proměnného průřezu s náhlou změnou průřezu
– proměnného průřezu se spojitou změnou průřezu
15
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Zjednodušení výpočtového modelu (idealizace):
nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami
16
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
VNITŘNÍ SÍLY V PŘÍMÝCH NOSNÍCÍCH Nosník je zatížen silami F1, F2, F3 a reakcemi A, B. Vyšetříme následujícím postupem, jak se projeví účinky těchto sil v libovolném bodě střednice.
• Nosník rozdělený řezem na dvě části.• Rozdělíme nosník v kterémkoli místě střednice na dvě části. • Na levou část působí síly a reakce a jejich výslednicí je .• Na pravou část působí síla a reakce a jejich výslednicí je .• Reakce a vnější síly jsou v rovnováze, stejně tak obě výslednice jsou v rovnováze, tedy
PLPL RRRR 0
21, FFA
3FB
lPR
LR
17
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Zajímá nás účinek jedné části na druhou. Nejdříve budeme vyšetřovat účinek levé části na pravou.
• Soustavu sil působících na levou část jsme složili ve výslednici , která je obecně k bodu O excentrická.
• Je-li nahrazen nosník jeho střednicí, určíme účinek výslednice na pravou část v bodu O (tj. k těžišti průřezu). Redukujeme výslednici k bodu O.
• Sílu rozložíme v bodě o do 2 složek navzájem kolmých, tj. do normálové síly N – složka ve směru tečny ke střednici nosníku a do posouvající síly T – složka v rovině průřezu.
• Moment M nazýváme ohybovým momentem M v průřezu O a rovná se statickému momentu výslednice k bodu O.
LR
LR
LR
LR
LR
18
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Výslednice z pravé a levé části nosníku jsou si rovny: Účinek pravé části nosníku na levou je tedy stejné velikosti, ale opačného směru
(zákon akce a reakce).Z výše uvedeného vyplývá, že na levou část působí složky M, N, T stejných
velikostí, ale opačného směru.Složky M, N, T nazýváme vnitřními silami v průřezu prutu.
PL RR
Metoda řezu:
V každém zkoumaném řezu můžeme určit vnitřní síly M, N, T jako složky výslednice všech vnějších sil (zatížení + reakce) působících na nosník po jedné straně průřezu.
Posouvající síla T (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek vnějších sil kolmých k tečně střednice v místě průřezu (příčných složek) působících po jedné straně průřezu N.
Normálová síla N (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek vnějších sil rovnoběžných s tečnou střednice v místě průřezu a působících na nosník po jedné straně průřezu N.
Ohybový moment M (v daném průřezu) je roven algebraickému součtu statických momentů všech vnějších sil působících po jedné straně průřezu k těžišti průřezu Nm.
19
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Normálová síla je kladná je-li tah.
Znaménková konvence – úmluva o kladném smyslu vnitřních sil
T
T
N N M M
Účinky vnitřních sil na nosník
20
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
SCHWEDLEROVA VĚTA
Základní vztah mezi zatížením a vnitřními silami je odvozen z podmínek rovnováhy na prutovém elementu.
Dané spojité zatížení f(x) rozložíme do složky kolmé ke střednici ve směru tečny ke střednici.
dxfdxf NT a jsou náhradní břemena od těchto složek a působí v polovině délky dx elementu nosníku.
21
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Sestavení podmínek rovnováhy na elementu nosníku
0 dxfdNNN N
dx
dNf N
Ve směru normálové síly
Ve směru posouvající síly
0 dxfdTTT T
dx
dTfT
Momentová podmínka k bodu o
02
0
dx
dxfTdxdMMM T
dx
dMT
22
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Posouvající síla T se rovná derivaci ohybového momentu podle diferenciálu střednice. dx
dMT
Intenzita spojitého zatížení ve směru střednice se rovná záporné deviaci normálové síly podle diferenciálu střednice.
dx
dNf N
Intenzita spojitého zatížení ve směru kolmém ke střednici se rovná záporné derivaci posouvající síly podle diferenciálu střednice.
dx
dTfT
Schwedlerova věta
23
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
PRŮBĚHY VNITŘNÍCH SIL N, T, M
Ze vztahů uvedených VE Schwedlerově větě plyne určení stupně funkcí vnitřních sil T a M v jednotlivých intervalech.
Tfdx
Md
dx
dT 2
2
Intenzita zatížení
Funkce posouvající síly T
Funkce ohybového momentu M
0 konstantní lineární (1°)
konstantní lineární (1°) kvadratická (2°)
lineární kvadratická (2°) kubická (3°)
24
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Postup řešenípři určování vnitřních sil M, N a T v jednotlivých průřezech nosníku:
1. Posoudíme statickou a tvarovou určitost nosníku.2. Pro staticky určitý nosník vypočteme složky reakcí z podmínek
rovnováhy.3. Podle poloh působiště jednotlivých sil a rozsahu spojitých zatížení
rozdělíme střednici nosníku na jednotlivé intervaly. Krajními body úseků jsou body, kde se zatížení mění, např. osamělá síla, začátek a konec spojitého zatížení, působiště osamělého vnějšího momentu.
4. V těchto intervalech vyjádříme vnitřní síly (N, T, M) jako funkce proměnné x. Postupujeme podle jejich definice.
5. Vypočteme velikost vnitřních sil v průřezech na krajích intervalů.6. Nalezneme body, ve kterých je posouvající síla nulová nebo mění
znaménko. V těchto bodech vypočteme extrém ohybového momentu.7. Vykreslíme průběh jednotlivých vnitřních sil. Při určení stupně funkcí
vnitřních sil pro správné vykreslení postupujeme podle tabulky.
25
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
1. Prostý nosník je staticky určitý:
011213 rm
2. Výpočet reakcí
0xA
02
alQlAy 0
2
alaqlAy
l
alaq
Ay
2
02
aQlB 0
2
aaqlB
l
aqB
2
2
la
x
a/2Q=qa
Ax
Ay B
q
ab
1
Příklad
26
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
3 – 6. Průběh vnitřních sil
úsek 1,a
ax
a/2
Q=qa
Ax
Ay
q
a 1
x
Ax
Ay
a
q
0 xAN xqAT y 22
2xqxA
xxqxAM yy
bod a: 0x ya AT 0aM
bod 1: ax
Bl
aq
l
ala
alqaq
l
alaq
T
2
22
2
2
1
alBall
qa
l
alaqa
l
ala
laqa
aqa
l
alqa
M
22
22
22
22
22
2
2
1
x/2Qx=qx
27
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
b,1úsek
la
x
a/2Q=qa
Ax
Ay B
q
ab
1
0 xAN
aqAQAT yy
2
2
axaqxA
axQxAM
y
y
bod b: lx Bl
aqTb
2
2
02
2
alaql
l
alaq
M b
28
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Extrém funkce ohybového momentu je uvnitř intervalu v místě, kde posouvající síla T=0 (mění znaménko).
úsek 1,a
0dx
dMT
02200
xl
ala
xql
alaq
l
aa
l
aa
l
ala
x2
12
22
2
0
poloha „nebezpečného průřezu“ (protože je v něm extrém momentu)
Pro polohu nebezpečného průřezu se vypočítá maximální ohybový moment.
29
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Vynášení pořadnic vnitřních sil1.Kladné pořadnice posouvajících sil:při postupu zleva vynášíme vždy na stranu horních vláken (vždy označíme + nebo -)
2. Kladné pořadnice normálových sil:při postupu zleva vynášíme na stranu horních vláken (vždy označíme + nebo -)
3. Pořadnice ohybových momentů:vynášíme v daném průřezu vždy na stranu tažených vláken
30
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 5.
Q=qa
x0