Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Nosné stavební konstrukce

Výpočet reakcí

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

• Prut(geometrický popis, vnější vazby, nehybnost, silové zatížení, složky reakcí)

• Reálné zatížení nosných stavebních konstrukcí

• Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku

2

Nosná stavební konstrukce

Nosná stavební konstrukce slouží k přenosu zatížení objektu do horninového masívu, na němž je objekt založen. Musí mít dostatečnou únosnost a dlouhodobou použitelnost (blíže předmět Pružnost a plasticita).

Kongresové centrum, Brno

Skládá se z horníkonstrukce a ze základové konstrukce

3

Třídění nosných konstrukcí podle geometrického tvaru

1 . Prutový konstrukční prvek (prut) – délka je výrazně větší než dva příčnérozměry, idealizace dokonale tuhou čarou (přímá nebo zakřivená)

Konstrukce je obecně složena z konstrukčních prvků:

2 . Plošný konstrukční prvek – tloušťka je výrazně menší než zbývající dvarozměry, idealizace rovinným nebo prostorově zakřiveným obrazcem.

3 . Masivní trojrozměrný konstrukční prvek

Dělí se na stěny (zatížení ve vlastní rovině), desky (zatížení kolmok rovině) a skořepiny (zakřivený plošný prvek).

Nosnou konstrukci může tvořit jediný konstrukční prvek, zpravidla je tvořena několika konstrukčními prvky – soustavakonstrukčních prvků.

Nosná konstrukce z lepeného lamelového dřeva, soustava prutových prvků a desky, Lahti, Finsko,

foto: Ing. Antonín Lokaj, Ph.D.

4

Zatížení nosné konstrukce

Rozdělení zatížení:

a) silové - vnější síly a momentyb) deformační - oteplení, sedání, poddolování

a) statické - velikost, směr a umístění sil se v čase nemění,např. zatížení obytných budov

b) dynamické - vyvoláno rychlou změnou velikosti, polohynebo směru sil, vede k rozkmitání konstrukce, např. zatížení mostů jedoucími vozidly

a) deterministické - vlastnosti jednoznačně vymezeny normou,např. měrné tíhy staviv

b) stochastické (pravděpodobnostní přístup) – velikost zatížení nenípředepsáno jednou hodnotou, nýbrž pravděpodobnostní funkcí

5

Základní pojmy:

+z

+y +x

a b

l

h

d

F2

F1=2F

FF

1 2

Rovina souměrnosti prutu

Řídící čára, osa prutu (přímý prut), střednice(přímý i zakřivený prut)

P1 P2

1 2

Raz Rbz

Rax

a b

l

Statické schéma –statický model nosnékonstrukce

Těžiště průřezu

Prut - geometrický popis prutu, idealizace

1,0,

≅l

dh

Průřez prutu

Prut rovinně nebo prostorově lomený.

6

• volný hmotný bod v rovině: nv=2

(posun v obecném směru rozložen do 2 kolmých směrů – osy souřadného systému)

• volný tuhý prut (deska) v rovině:nv=3 (posun ve dvou osách a pootočení)

• volný hmotný bod v prostoru:nv=3 (posun rozložen do tří os)

• tuhé těleso v prostoru: nv=6 ( obecný posun a pootočení)

Pohybové možnosti volných hmotných objektů

+x

+z

m[xm,zm]

x’

z’

γ

Stupeň volnosti nv : možnost vykonat jednu složku posunu v ose souřadného systému nebo pootočení.

7

Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti.

Název vazby Násobnost vazby Označení vazby a reakce

Kyvný prut

Posuvná kloubovápodpora

Pevný kloubovápodpora

Posuvné vetknutí

Dokonalé vetknutí

Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině

n–násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti.

Raz

Raz

Raz

Rax

Raz

Rax

Ma

Raz

Ma

1

2

2

3

1

nebo

nebo

Raz

Raz

Rax

8

Zajištění nehybnosti prutu

K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily všechny stupně volnosti nv.

v = nvPodepření objektu je kinematicky určité, zajištěna nehybnost objektu, použitelná jako stavební konstrukce.

v < nvPodepření objektu je kinematicky neurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební konstrukce nepřípustná(nedostatečný počet vazeb).

v > nvPodepření objektu je kinematicky přeurčité, nehybnost objektu zajištěna, použitelná jako stavební konstrukce(větší počet vazeb než je nezbytně nutné).

Vazby musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případ kinematicky určiténebo přeurčité konstrukce.

9

321 .3.2 aaav ++=

a1 ... počet jednonásobných vazeb

a2 ... počet dvojnásobných vazeb

a3 ... počet trojnásobných vazeb

nv = v

nv < v

nv > v

staticky i kinematicky určitá soustava

staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava

staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava

Stupeň statické neurčitosti nosníku v rovině

3=vn

Stupeň statické neurčitosti s = v - nv

v = ve ... počet vnějších vazeb nosníku nv ... počet stupňů volnostinosníku v rovině

10

Kinematicky i staticky určitá konstrukce

Podepření objektu je kinematicky určité

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

v = nv

v = 3, nv = 3Prut je staticky určitý(3 složky reakcí, 3 podmínky rovnováhy)

Prostý nosník:

Konzola:

11

Kinematicky přeurčitá, staticky neurčitá konstrukce

kinematicky přeurčité, staticky neurčité podepření

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

Rbx

Rbz

Rbx

Mby

b

v > nv

v = 4

nv = 3

s = 1

v = 6

nv = 3

s = 3

Stupeň statické neurčitosti: s = v - nv

12

Kinematicky neurčitá konstrukce

b

Rbz

a

Raz

P1 P2

Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení

Ve stavební praxi nepoužitelné.

kinematicky neurčité podepřenív < nv

13

Výjimkové případy podepření

Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkovépřípady podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné.

b Rbxa

Raz

Rax

P1 P2

P1 P2

c

Rcz

a

Raz Rbz

b

Determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ.14

Idealizované silové zatížení prutů

Bodové momentyObr. 6.11. / str. 81

Bodová zatíženíObr. 6.10. / str. 81

(a)

(b)

(c) (b)

(a)

Bodová síla F (P)[kN], [N]

Bodový moment M[kNm], [Nm]

a) kroutícíb) ohýbající

Nejčastěji vzniká při přeloženíexcentrické síly do působiště na ose prutu (obr.6.10.c)

15

Liniová zatížení

Příklad příčného silového

liniového zatížení nosníkuObr. 6.12. / str. 82

Silové liniové zatížení – příčné p[kN/m], [N/m]

Příklady:

• tíha zděné příčky působící na stropnínosník

• nahodilé zatížení stropu [kN/m2]soustředěné na nosník formousběrného pásu

16

Příklad stropní konstrukce

Stropní konstrukce výzkumného energetického centra VŠB-TU Ostrava

17

Staticky určitá konstrukce

Prut je staticky určitý3 neznámé složky reakcí lze vypočítat ze 3 podmínek rovnováhy.

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

v = nv (v rovině: v = 3, nv = 3)

18

Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil

3) Užívané jsou také 3 momentové podmínky ke třem libovolným momentovým středům, které nesmí ležet v jedné přímce

Soustava je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x a z a součet všech momentů k libovolnému momentovému středu s je roven 0.

3 podmínky rovnováhy 1) 2 silové, 1 momentová: 0.1

1

, =∑=

n

i

xiP 0.21

, =∑=

n

i

ziP 0.31

, =∑=

m

i

siM

2) V praktických aplikacích je často výhodnější sestavit 2 momentovépodmínky k momentovým středům a, b:

Tyto podmínky se doplní třetí podmínkou - silovou:

pokud je v ose x pouze jedna neznámá složka reakce

0.1 , =∑ aiM 0.2 , =∑ biM 0.3 , =∑ ciM

0.31

, =∑=

n

i

xiP

0.1 , =∑ aiM 0.2 , =∑ biM

0.31

, =∑=

n

i

ziPpokud je v ose z pouze jedna neznámá složka reakce

19

Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil

P1 P2

1 2

Ra,z Rb,z

Ra,x a b

l

0=∑ ixP

0=∑ iaM

0=∑ ibM

P1

P2

1

2

Ra,x

Rb,x

Ra,z

a

b

l

0=∑ izP

0=∑ iaM

0=∑ ibM

Například :

aRa

P1P2

s1

Rc

b

Rb

01

=∑ sM

02

=∑ sM

03

=∑ sM

s3

s2

0: =∑ izPKontrola

0: =∑ ixPKontrola20

Příklad 1: PROSTÝ NOSNÍK

0F x,i =∑

0F z,i =∑

3 3

P =6kN

Snaha odhadnout směr reakcí

Rbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

Silová ve směru, ve kterém působípouze jedna složka reakce

0M a,i =∑ Momentová k jednomu podporovému bodu

0M b,i =∑ Momentová k druhému podporovému bodu

Kontrola: Silová ve směru, ve kterém působíobě složky reakcí

Po dosazení:

Rbx

RbzRaz

P

=

Rbx = 0kN

Rbz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm.

Raz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm.

21

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

l = 6m

Snaha odhadnout směr reakcíRbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Kontrola:

M=12kNm

Příklad 2: PROSTÝ NOSNÍK

+

Rbx = 0

-M + 6.Rbz = 0 Rbz = 2 kN ( ) skut. směr

-M + 6.Raz = 0 Raz = 2kN ( ) skut. směr

Raz - Rbz = 0

22

Příklad 3: PROSTÝ NOSNÍK – superpozice předešlých úloh

3 3

P=6kN

Rbz,P = 3kNRaz,P = 3kN

a b

M=12kNm

Rbz,M = 2kNRaz,M = 2kN

3 3

P=6kN

Rbz,cel = 5kNRaz,cel =1kN

a b

M=12kNm

=

Popřemýšlet … , závěr ?

23

0F x,i =∑

0F z,i =∑

3 3

P=6kN Rbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

0M a,i =∑

0M b,i =∑Kontrola:

M=12kNm

Rbx = 0kN

Rbz = 5kN ( ) skut.směr

Raz = 1kN ( ) skut.směr

Příklad 4: PROSTÝ NOSNÍK – doma – doplňte podmínky rovnováhy a vyřešte reakce

+

24

Rax - Px = 0 Rax = 60,62 kN ( ) skut. směr

-2.Pz + 6.Rbz = 0 Rbz = 11,67 kN ( ) skut. směr

4.Pz - 6.Raz = 0 Raz = 23,33kN ( ) skut. směr

- Raz - Rbz + Pz = 0

Px = 60,62 kNPz = 35 kN

a bc

Rax

Raz Rbz

P = 70 kN

Px

Pz

2 46

60° 60°

Px

Pz

P

γ

γ

cos

sin

⋅=

⋅=

PP

PP

z

x

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 5: PROSTÝ NOSNÍK

+

25

Rax = 0

- Q.6,5 + Rbz .10 = 0 Rbz = 13,65 kN ( )

Q.3,5 – Raz .10 = 0 Raz = 7,35 kN ( )

- Raz- Rbz + Q = 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

73

10

a bRax

RazRbz

q = 3kN/mQ = 3.7 = 21kN

náhradní břemeno

Příklad 6: PROSTÝ NOSNÍK

+

26

Rax = 0

- Q.6 + Rbz .9 = 0 Rbz = 12 kN ( )

Q.3 – Raz .9 = 0 Raz = 6 kN ( )

∑ Fiz = 0: - Raz- Rbz + Q = 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

9

a bRax

RazRbz

q = 4kN/mQ =0,5 .4.9 =18 kN

36

náhradní břemeno

Příklad 7: PROSTÝ NOSNÍK

+

27

Rax = 0

- Q.5 + Rbz .8 = 0 Rbz = 15 kN ( )

- Raz .8 + Q.3 = 0 Raz = 9 kN ( )

- Raz- Rbz + Q = 0

Q = 2,4 . 10 = 24 kNnáhradní břemeno:

8 2

10

a b

Rax

Raz Rbz

q = 2,4 kN/m

5 5

Q

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 8a: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM

+

28

Rax = 0

Rbz . 8 – Q1 . 4 – Q2 . 9 = 0 Rbz = 15 kN ( )

- Raz . 8 + Q1 . 4 – Q2 . 1 = 0 Raz = 9 kN ( )

- Raz- Rbz + Q1+ Q2 = 0

Q1 = 2,4 . 8 = 19,2 kN

Q2 = 2,4 . 2 = 4,8 kN

8 2

10

a b

Rax

Raz Rbz

q = 2,4 kN/m4 1

Q1 Q2

náhradní břemena:

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 8b: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM

+

29

Rax - Px = 0 Rax = 6,36kN ( )

- Raz + Pz = 0 Raz = 6,36kN ( )

Ma – Pz .5 = 0 Ma = 31,82kNm ( )

Ma – Raz . 5 = 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Rax

a b

Raz

Ma 45°P = 9kN

Pz

Px

5

Px = Pz = 6,36kN

Příklad 9: KONZOLA

+

30

Rbx = 0 kN

- Rbz+ Q = 0 Rbz = 12 kN ( )

- Mb + Q .6 = 0 Mb = 72 kNm ( )

- Mb + Rbz . 9 – Q.3 = 0

Rbx

a

Rbz

Mb

b

9

6 3

q = 2 kN/mQ = 12kN

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ biM

:0, =∑ aiM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 10: KONZOLA

+

31

3 3 P1 = 4kN

Rax

RbzRaz

a b

M = 3kNmP2 = 6kN

2 1

q = 4 kN/m

Příklad 11: NOSNÍK S PŘEVISLÝMI KONCI

Rax – P1 = 0 Rax = 4 kN ( ) skut. směr

-M + Rbz . 6 – Q1 . 2 – Q2 . 4,5 – P2 .7 = 0 Rbz = 18,5 kN ( )

-M - Raz . 6 + Q1 . 4 + Q2 . 1,5 – P2.1 = 0 Raz = 5,5 kN ( )

- Raz- Rbz + Q1+ Q2 + P2= 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Q1 = 6kN (umístit do těžiště obrazce)

Q2= 12kN

+

32

Vnitřní síly

• Prut v rovině – 3°volnosti

• Podepření - 3 vazby, odebrány 3°volnosti, staticky určitá úloha

• Vnější zatížení a reakce – musí být v rovnováze, 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé reakce

• Vnější zatížení a reakce se nazývají vnější síly

• Uvnitř nosníku působením vnějších sil vznikají vnitřní síly

• Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky –• v ose x - normálová síla• v ose z - posouvající síla• ohybový moment

33

Výpočet nosníku v osové úloze

Výpočet reakce a normálové síly v osové úloze Obr. 7.1. / str. 90

(a)

(b)

(c)

(d)

Působí-li zatížení pouze v ose nosníku. Jedna vnější vazba v ose x z podmínky rovnováhy:

RR0RR0RR

:0F

axaxax

x,i

=⇒=−⇒=+−

=∑

Složka vnitřních sil v ose nosníku – normálová síla N.

34

Normálová síla N

ba

F

+

ba

-

tah

tlak

FRax

Rax

NN

NN

N N osa nosníku

Normálová síla N v libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících v ose nosníku zleva nebo zprava od x.

Kladná normálovásíla vyvozuje v průřezu x tah a působí z průřezu. V opačném případěje normálová síla záporná a vyvozuje tlak.

+Vnější síly

35

Příklad – N síly

Řešení příkladu 4.2 Obr. 7.3. / str. 91

Zadání: sestrojit průběh normálových sil N

Průběh normálových sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu(grafu).

ba

b

a

F3 =16F1 =18

F3 =10

F2 =12

F1 =12 F2 =16Rax=18kN

Rbx=10kN

kladné normálové síly N sevynášejí nahoru, záporné dolů

36

Výpočet nosníku v příčné úloze

Zatížení – síly v ose z a momentové zatížení.

l/2 l/2

P Rbx=0

RbzRaz

a b

M

V příčné úloze dva druhy vnitřních sil: posouvající síla a ohybový moment.

37

Posouvající síla V v libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících kolmo k ose nosníku zleva nebo zprava od x.

Kladná posouvající síla počítána zleva směřuje nahoru. V opačném případě je záporná.

Kladná posouvající síla počítána zprava směřuje dolů. V opačném případěje záporná.

Posouvající síla V

ba

VV

Rb

Ra

F

VV-+

+V

V

osa nosníku

Vnější síly

38

Příklad – V síly

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2

c d e

2 2

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kNF3=2kN

2 2c d e

2 2

kladné posouvající síly V se vynášejí nahoru, záporné dolů

Doplňte hodnoty V sil a znaménka:

V

…… s podporami

…… bez podpor, jen síly

-10

24 24

-16 -16

2 2+

-

+

-

39

Ohybový moment M v libovolném průřezu x nosníku je roven algebraickému součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x.

Kladný ohybový moment počítaný zleva otáčí po směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Kladný ohybový moment počítaný zprava otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Kladným ohybovým momentem jsou dolní vlákna tažena a hornítlačena (nosník je prohýbán směrem dolů). U záporného ohybového momentu je to naopak.

Ohybový moment M

M M

b

Rb

a

Ra

FM M

b

Rb

a

Ra FM M

tah

tah

tlak

tlak

-

+

+

osa nosníku

40

Příklad – ohybové momenty M

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2

c d e

2 2

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kNF3=2kN

2 2c d e

2 2

Doplňte hodnoty M a znaménka:

M

…… s podporami

…… bez podpor, jen síly

ohybové momenty M se vynášejí na stranu tažených vláken, u nosníku nahoru záporné, dolů kladnéhodnoty+

-

-

-20

28

-4

00

1°

41

M M

+V

V

N N

M M

-V

V

N N

Směr působení vnitřních sil

Kladné směry vnitřních sil:

Záporné směry vnitřních sil:

42

Schwedlerovy vztahy -Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové úloze

N N+dNx1

x2 x

x dx

z

n

-N + (N+dN) + n.dx = 0

→ nx

N−=

d

d

Rx = 0:

Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:

43

Schwedlerovy vztahy –Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze

V

V+dV

M M+dM

x1

x2x

x dx

z

m

q

dQ = q.dx

-V + (V+dV) + q.dx = 0

-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0

→ qx

V−=

d

d

→ mVx

M−=

d

d

Rz = 0:

Σ Mi,x2 = 0:

Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:

pro m=0: Vx

M=

d

d

+

44

Závěry ze Schwedlerových vztahů – extrémní hodnoty vnitřních sil

Závěry:( )

0d

d=

x

xfExtrém funkce f(x):

0d

d=−= q

x

V

0d

d== V

x

M

Extrém posouvajících sil Vje v průřezu, kde q=0

Extrém ohybových momentůM je v průřezu, kde V=0

nebo mění znaménko

→

→

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

Derivačně – integrační schéma

pro m=0:

qx

V−=

d

d

Vx

M=

d

d

Schwedlerovy vztahy

Johann Wilhelm Schwedler (1823-1894)významný německý inženýr

nx

N−=

d

d.1 q

x

V−=

d

d.2 V

x

M=

d

d.3

pro m=0:

45

Extrém M může vzniknout:a) v podporových bodechb) v působištích osamělých sil

(znaménko V se mění skokem)c) pod spojitým zatížením v místě,

kde je V=0

Shrnutí - určení extrémních hodnot vnitřních sil

n = nebezpečný (kritický) průřez

0d

d== V

x

M Extrém M v průřezu, kde V=0 nebomění znaménko

→

1º

n

Mmax2º

+

+

-

Mmax

M

Vn

1º

0º

+

+

-

46

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103

qx

V−=

d

d

d

dV

x

M=

Závěry:

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech

2. místa extrému u V(x) a M(x)

47

7,35

Raz

Pravidla, která je nutno dodržet při řešení vnitřních sil

a b

Rax

Rbz

q = 3 kN/m

c

1° 2°

xnL

-13,65

22,05

xnP

Mmax = 31,05 kNm

Výpočet reakcídodržet všechna pravidla:3 podmínky rovnováhy + 1 kontrolní, zřetelné značení skutečného směru

d

n

n

(29,4)

1°

= 0N

V

M

Vnitřní síly- vykreslit schéma pro všechny 3 vnitřní síly (i nulové)- N,V kladné nad osu, M na stranu tažených vláken- vlevo od každého schématu označit, o kterou vnitřnísílu se jedná. Značení v kroužku, např. N

- v každém obrazci zřetelné znaménko vnitřní síly- obrazce buď šrafovat kolmo na osu nosníku nebo ponechat prázdné

- značení stupňů polynomů- značení bodu, kde se mění stupeň polynomů (bod c)- všechny potřebné hodnoty vnitřních sil do obrázku:

v místě změny zatížení (bod c), minimálně 1 hodnota Mv poli pod spojitým zatížením (bod d), extrémní moment

- označit a okótovat místo nebezpečného průřezu- u V,N stačí potřebné hodnoty v obrázku, nejsou nutnérovnice výpočtu

- výpočet polohy nebezpečného průřezu - nutná rovnice- výpočet momentů – pro všechny hodnoty nutné rovnice

48

příklad 1 – normálové síly

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN60°

2 4

6

a bcRax

Px

N

Nac = - Rax

Ncb = - Rax + Px

Nbc = 0

Nca = - Px

- 60,62

+ hodnoty kreslit nad osu

- 60,62 = Nca

+ +

+

+zleva:

zprava:

Ncb = 0

49

příklad 1 – posouvající síly

a bc

Raz Rbz

V

23,33

- 11,67 = Vcb

Pz = 35 kN Vac = Raz

Vcb = Raz - Pz

Vbc = - Rbz

Vca = - Rbz + Pz

- 11,67

23,33 = Vca

+ hodnoty kreslit nad osu+ +

+

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN

60°

2 4

6

+

zprava:

zleva:

+

50

zprava:Mb = 0

Mx = Rbz . x

Mc = Rbz . lbc

Mx = Rbz . x - Pz . (x - lbc)

Ma = Rbz . l - Pz . lac= 0

zleva:Ma = 0

Mx = Raz . x

Mc = Raz . lac

Mx = Raz . x - Pz . (x - lac)

Mb = Raz . l - Pz . lcb = 0

Raz

příklad 1 – ohybové momenty

a

bc

RbzPz = 35 kN

M

46,67 ( Raz . lac = Rbz . lbc )

oh.momenty vynášet na stranu

tažených vláken (dole + znaménko)

V

- 11,67

23,33

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN60°

lac = 2 lbc = 4

6

+

Rax

+

+

51

Rax = 6,36kN

bRaz = 6,36kN

Ma = 31,82kNm 45°P = 9kNPz=6,36

Px=6,36

5

xP

M(x)P = - Pz . xL

-6,36

6,36

-31,82

M(x)L = Raz . xP - Ma

xL

a

N

V

M

a b

Raz=6,36kN

Ma=31,82kNm45°

P = 9kN

5

x

Rax=6,36kN

zadání

příklad 2

řešení

52

příklad 3

M = 3kNm

6 39

a b

Raz = 0,333kN Rbz=0,333kN

-0,333

Mca =-2

Mcb =1

(- Raz . x)

czleva:

- úsek acMa = 0

Mx = - Raz . x

Mca = - Raz . 6

Mcb = - Raz . 6 + M

- úsek cbMx = - Raz . x + M

Mb = - Raz . l + M = 0

zprava:- úsek cb

Mb = 0

Mx = Rbz . x

Mcb = Rbz . 3

Mca = Rbz . 3 – M

- úsek caMx = Rbz . x - M

Mb = Rbz . l - M = 0

xL (zleva) xP (zprava)

v bodě c počítat hodnotu momentu 2krát!!! – momentový skok

= 0N

V

M

53

Příklad 4 – odhadněte reakce a vykreslete průběh N,V,M

a bc

Px = 10 kN

Pz = 9 kN

2 4

6

M M

+V

V

N N

+

54

Příklad 4 – řešení

a bc

Px = 10 kN

Pz = 9 kN

2 4

6

Rbx

NM M

+V

V

N N

+

V

M

Raz Rbz

55

a

F2 =20kN

3

bF1 =18kN

test 2 – spočtěte reakce a vykreslete průběh N,V,M

M M

+V

V

N N

+

ba

F=100kN

l = 6m

33

c

A

B

F2 = 10 kN

56

Rbz

a

F2 =20kN

3

b

Mb

-

-

-20

-60

M

V

N

-18

F1 =18kN

-

test 2 – výsledek A

M M

+V

V

N N

+Rbx

57

b

Rbz

a

Raz

F1=100kN

l=6m

-

+

+M

V

33

Rax

N

c

M M

+V

V

N N

+

50

-50

150

test 2 – výsledek B

F2 = 10 kN

10+

58

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

• Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku

• Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vztahy, využití

• Určení extrémních hodnot vnitřních sil

• Zatížení nosných stavebních konstrukcí

• Zajištění nehybnosti prutu, kinematická a statická určitost, neurčitost, přeurčitost, stupeň statické neurčitosti

• Typy podpor, složky reakcí ve vnějších vazbách

• Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů