Matemática Financiera - Rentas constantes

Marek Šulista

Jihočeská univerzita v Českých BudějovicíchEkonomická fakulta

Katedra aplikované matematiky a informatiky

Universidad de Bohemia SurFaculdad de Economía

Departmento de Matemática y Informática Aplicada

Universitat de Lleida, 2007

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 1 / 24

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 2 / 24

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 2 / 24

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 2 / 24

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 2 / 24

Gran problema financiero

Milan Baroš ha colocado, durante 5 aňos, 300 EURal final de cada mes en una cuenta a un interés al1,5% anual capitalizable mensualmente. Hace 5 aňosMilan Baroš depositó también 5.000 EUR en lacuenta. Ahora, él querría compar un piso en Lleidade 100.000 EUR para su viejo amigo Pavel Nedvěd.

Milan no ha conseguido ahorrar ese importe.Para financiar la diferencia, solicita un préstamohipotecario al 4,75% de interés capitalizable mensu-almente. Determinad:

1 Cuánto es el nominal de la hipotéca?2 Cuánto es la correspondiente mensualidad?

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 3 / 24

Gran problema financiero

Milan Baroš ha colocado, durante 5 aňos, 300 EURal final de cada mes en una cuenta a un interés al1,5% anual capitalizable mensualmente. Hace 5 aňosMilan Baroš depositó también 5.000 EUR en lacuenta. Ahora, él querría compar un piso en Lleidade 100.000 EUR para su viejo amigo Pavel Nedvěd.

Milan no ha conseguido ahorrar ese importe.Para financiar la diferencia, solicita un préstamohipotecario al 4,75% de interés capitalizable mensu-almente. Determinad:

1 Cuánto es el nominal de la hipotéca?2 Cuánto es la correspondiente mensualidad?

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 3 / 24

Gran problema financiero

Milan Baroš ha colocado, durante 5 aňos, 300 EURal final de cada mes en una cuenta a un interés al1,5% anual capitalizable mensualmente. Hace 5 aňosMilan Baroš depositó también 5.000 EUR en lacuenta. Ahora, él querría compar un piso en Lleidade 100.000 EUR para su viejo amigo Pavel Nedvěd.

Milan no ha conseguido ahorrar ese importe.Para financiar la diferencia, solicita un préstamohipotecario al 4,75% de interés capitalizable mensu-almente. Determinad:

1 Cuánto es el nominal de la hipotéca?2 Cuánto es la correspondiente mensualidad?

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 3 / 24

Definición y características de las rentas

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 4 / 24

Definición y características de las rentas

Se denomina renta a un conjunto de capitales con diferimientosperiódicos, o sea, cada capital se recibe en un período distinto aunquelos períodos deben de ser constantes.

Las rentas son fruto de la renuncia de un capital en el momentoactual, para describir distintos capitales en un número de períodosposteriores, que son los que determinan esta operación financiera.

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 5 / 24

Definición y características de las rentas

Se denomina renta a un conjunto de capitales con diferimientosperiódicos, o sea, cada capital se recibe en un período distinto aunquelos períodos deben de ser constantes.

Las rentas son fruto de la renuncia de un capital en el momentoactual, para describir distintos capitales en un número de períodosposteriores, que son los que determinan esta operación financiera.

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 5 / 24

Clases de rentas

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 6 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 7 / 24

Rentas constantes

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 8 / 24

Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 9 / 24

Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 9 / 24

Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 9 / 24

Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C

valor final

valor actual

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 9 / 24

Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C

valor final

valor actual

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 9 / 24

Rentas constantes

Valor final - rentas temporales

VF = C · (1+ i)n−1 + · · ·C · (1+ i)2 + C · (1+ i) + C =

= C ·[(1+ i)n−1 + · · ·+ (1+ i)2 + (1+ i) + 1

]progresión geometrica: VF = C · 1 · 1− (1+ i)n

1− (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 10 / 24

Rentas constantes

Valor final - rentas temporales

VF = C · (1+ i)n−1 + · · ·C · (1+ i)2 + C · (1+ i) + C =

= C ·[(1+ i)n−1 + · · ·+ (1+ i)2 + (1+ i) + 1

]progresión geometrica: VF = C · 1 · 1− (1+ i)n

1− (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 10 / 24

Rentas constantes

Valor final - rentas temporales

VF = C · (1+ i)n−1 + · · ·C · (1+ i)2 + C · (1+ i) + C =

= C ·[(1+ i)n−1 + · · ·+ (1+ i)2 + (1+ i) + 1

]progresión geometrica: VF = C · 1 · 1− (1+ i)n

1− (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 10 / 24

Rentas constantes

Valor final - rentas temporales

VF = C · (1+ i)n−1 + · · ·C · (1+ i)2 + C · (1+ i) + C =

= C ·[(1+ i)n−1 + · · ·+ (1+ i)2 + (1+ i) + 1

]progresión geometrica: VF = C · 1 · 1− (1+ i)n

1− (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 10 / 24

Rentas constantes

VF = C · 1 · 1− (1+ i)n−1

1− (1+ i)= C · (1+ i)n − 1

i

(1+ i)n − 1i

= skei ⇒ VF = C · skei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 11 / 24

Rentas constantes

VF = C · 1 · 1− (1+ i)n−1

1− (1+ i)= C · (1+ i)n − 1

i

(1+ i)n − 1i

= skei ⇒ VF = C · skei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 11 / 24

Rentas constantes

VF = C · 1 · 1− (1+ i)n−1

1− (1+ i)= C · (1+ i)n − 1

i

(1+ i)n − 1i

= skei ⇒ VF = C · skei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 11 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300,

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 ,

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60,

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267,

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267, C0 = 5.000

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267, C0 = 5.000

VF = C · sneim = 300 · 62, 267 = 18.680, 08

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267, C0 = 5.000

VF = C · sneim = 300 · 62, 267 = 18.680, 08

Cn = C0 · (1+ im)n ⇒ C60 = 5.000 · (1+ 0,01512 )60 = 5.389, 17

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267, C0 = 5.000

VF = C · sneim = 300 · 62, 267 = 18.680, 08

Cn = C0 · (1+ im)n ⇒ C60 = 5.000 · (1+ 0,01512 )60 = 5.389, 17

VF + Cn = 24.069, 25

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 12 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas temporales

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·+ C

(1+ i)n=

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·+ (1+ i)−n

]progresión geométrica: VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 13 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas temporales

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·+ C

(1+ i)n=

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·+ (1+ i)−n

]progresión geométrica: VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 13 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas temporales

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·+ C

(1+ i)n=

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·+ (1+ i)−n

]progresión geométrica: VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 13 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas temporales

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·+ C

(1+ i)n=

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·+ (1+ i)−n

]progresión geométrica: VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 13 / 24

Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

1− (1+ i)−n

i= anei ⇒ VA = C · anei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 14 / 24

Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

1− (1+ i)−n

i= anei ⇒ VA = C · anei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 14 / 24

Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

1− (1+ i)−n

i= anei ⇒ VA = C · anei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 14 / 24

Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

1− (1+ i)−n

i= anei ⇒ VA = C · anei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 14 / 24

Rentas constantes

Problema 2

Calcular la mensualidad de una hipotéca de EUR 75.930,75 para 15 anosa un interés del 4,75% p.a.

VA = C · anei ⇒ C =VAanei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 15 / 24

Rentas constantes

Problema 2

Calcular la mensualidad de una hipotéca de EUR 75.930,75 para 15 anosa un interés del 4,75% p.a.

VA = C · anei ⇒ C =VAanei

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 15 / 24

Rentas constantes

Problema 2

Calcular la mensualidad de una hipotéca de EUR 75.930,75 para 15 anosa un interés del 4,75% p.a.

VA = C · anei ⇒ C =VAanei

VA = 75.930, 75,

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 15 / 24

Rentas constantes

Problema 2

Calcular la mensualidad de una hipotéca de EUR 75.930,75 para 15 anosa un interés del 4,75% p.a.

VA = C · anei ⇒ C =VAanei

VA = 75.930, 75, im = 0,047512 ,

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 15 / 24

Rentas constantes

Problema 2

Calcular la mensualidad de una hipotéca de EUR 75.930,75 para 15 anosa un interés del 4,75% p.a.

VA = C · anei ⇒ C =VAanei

VA = 75.930, 75, im = 0,047512 , n = 180,

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 15 / 24

Rentas constantes

Problema 2

Calcular la mensualidad de una hipotéca de EUR 75.930,75 para 15 anosa un interés del 4,75% p.a.

VA = C · anei ⇒ C =VAanei

VA = 75.930, 75, im = 0,047512 , n = 180, aneim =

1−(1+ 0,047512 )−180

0,047512

= 128, 56

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 15 / 24

Rentas constantes

Problema 2

Calcular la mensualidad de una hipotéca de EUR 75.930,75 para 15 anosa un interés del 4,75% p.a.

VA = C · anei ⇒ C =VAanei

VA = 75.930, 75, im = 0,047512 , n = 180, aneim =

1−(1+ 0,047512 )−180

0,047512

= 128, 56

C =75.930, 75128, 56

= 590,61

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 15 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas perpetuas

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·

]progresión geométrica infinita: VA = C · (1+ i)−1 · 1

1− (1+ i)−1=Ci

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 16 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas perpetuas

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·

]progresión geométrica infinita: VA = C · (1+ i)−1 · 1

1− (1+ i)−1=Ci

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 16 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas perpetuas

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·

]progresión geométrica infinita: VA = C · (1+ i)−1 · 1

1− (1+ i)−1=Ci

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 16 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas perpetuas

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·

]progresión geométrica infinita: VA = C · (1+ i)−1 · 1

1− (1+ i)−1=Ci

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 16 / 24

Rentas constantes

Valor actual - rentas perpetuas

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·

]progresión geométrica infinita: VA = C · (1+ i)−1 · 1

1− (1+ i)−1=Ci

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 16 / 24

Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

limn→∞

1− (1+ i)−n

i=1− 0i

=1i

VA =Ci

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 17 / 24

Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

limn→∞

1− (1+ i)−n

i=1− 0i

=1i

VA =Ci

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 17 / 24

Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

limn→∞

1− (1+ i)−n

i=1− 0i

=1i

VA =Ci

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 17 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)

rentas perpetuas: VA =Ci

· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 18 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 19 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Problema 1:Confeccionar el cuadro de capitalización de una renta postpagable,inmediata, mensual de EUR 300 a un interés del 1,5% p.a. y undepósitode EUR 5.000.

mes depósito cuota de interest saldo1 5.000 6,25 5.006,252 300 6,63 5.312,883 300 7,02 5.619,90...

......

...59 300 29,26 23.439,5760 300 29,67 23.769,25

300 0 24.069,25

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 20 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Problema 2:Confeccionar el cuadro de amortización de un prestáno de EUR 100.000a amortizar en 15 anos a un interés del 4,75% p.a.

mes mensualidad cuota de cuota de saldointerest amortisación

75.930,751 590,61 300,56 290,05 75.640,702 590,61 299,41 291,20 75.349,503 590,61 298,26 292,35 75.057,15...

......

......

299 590,61 4,65 585,96 589,22300 591,55 2,33 589,22 0,00

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 21 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Gran problema financiero

Milan solicita un préstamo hipotecario al 4,75% de interés capitalizablemensualmente. Determinad:

Cuántos meses han pasado si ya ha amortizado la mitad del nominal?Si el tipo de interés pasa a ser del 5,2% capitalizable mensualmentecuando han transcurrido dos anos,

cuánto será entonces la correspondiente mensualidad si se mantiene elmismo período de amortización?Si mantenemos la mensualidad inicial, cuántos meses hay que seguirpagandola hasta tener el préstamo completamente amortizado?

Consideremos ahora la situación inicial, al 4,75% de interéscapitalizable mensualmente. Si transcurridos 5 anos se realiza laamortización anticipada de 10.000 EUR, cuál será entonces el númerode meses necesario para amortizar el préstamo? Consideramos que sesigue pagando la misma mensualidad.

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 22 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Gran problema financiero

Milan solicita un préstamo hipotecario al 4,75% de interés capitalizablemensualmente. Determinad:

Cuántos meses han pasado si ya ha amortizado la mitad del nominal?Si el tipo de interés pasa a ser del 5,2% capitalizable mensualmentecuando han transcurrido dos anos,

cuánto será entonces la correspondiente mensualidad si se mantiene elmismo período de amortización?Si mantenemos la mensualidad inicial, cuántos meses hay que seguirpagandola hasta tener el préstamo completamente amortizado?

Consideremos ahora la situación inicial, al 4,75% de interéscapitalizable mensualmente. Si transcurridos 5 anos se realiza laamortización anticipada de 10.000 EUR, cuál será entonces el númerode meses necesario para amortizar el préstamo? Consideramos que sesigue pagando la misma mensualidad.

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 22 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Gran problema financiero

Milan solicita un préstamo hipotecario al 4,75% de interés capitalizablemensualmente. Determinad:

Cuántos meses han pasado si ya ha amortizado la mitad del nominal?Si el tipo de interés pasa a ser del 5,2% capitalizable mensualmentecuando han transcurrido dos anos,

cuánto será entonces la correspondiente mensualidad si se mantiene elmismo período de amortización?Si mantenemos la mensualidad inicial, cuántos meses hay que seguirpagandola hasta tener el préstamo completamente amortizado?

Consideremos ahora la situación inicial, al 4,75% de interéscapitalizable mensualmente. Si transcurridos 5 anos se realiza laamortización anticipada de 10.000 EUR, cuál será entonces el númerode meses necesario para amortizar el préstamo? Consideramos que sesigue pagando la misma mensualidad.

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 22 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Gran problema financiero

Milan solicita un préstamo hipotecario al 4,75% de interés capitalizablemensualmente. Determinad:

Cuántos meses han pasado si ya ha amortizado la mitad del nominal?Si el tipo de interés pasa a ser del 5,2% capitalizable mensualmentecuando han transcurrido dos anos,

cuánto será entonces la correspondiente mensualidad si se mantiene elmismo período de amortización?Si mantenemos la mensualidad inicial, cuántos meses hay que seguirpagandola hasta tener el préstamo completamente amortizado?

Consideremos ahora la situación inicial, al 4,75% de interéscapitalizable mensualmente. Si transcurridos 5 anos se realiza laamortización anticipada de 10.000 EUR, cuál será entonces el númerode meses necesario para amortizar el préstamo? Consideramos que sesigue pagando la misma mensualidad.

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 22 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Gran problema financiero

Milan solicita un préstamo hipotecario al 4,75% de interés capitalizablemensualmente. Determinad:

Cuántos meses han pasado si ya ha amortizado la mitad del nominal?Si el tipo de interés pasa a ser del 5,2% capitalizable mensualmentecuando han transcurrido dos anos,

cuánto será entonces la correspondiente mensualidad si se mantiene elmismo período de amortización?Si mantenemos la mensualidad inicial, cuántos meses hay que seguirpagandola hasta tener el préstamo completamente amortizado?

Consideremos ahora la situación inicial, al 4,75% de interéscapitalizable mensualmente. Si transcurridos 5 anos se realiza laamortización anticipada de 10.000 EUR, cuál será entonces el númerode meses necesario para amortizar el préstamo? Consideramos que sesigue pagando la misma mensualidad.

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 22 / 24

Calculo del problema de rentas en MS Excel

Muchas gracias por vuestra atención.

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 23 / 24