Matematická analýza

V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

Klasická algebra neumí dobře pracovat s nekonečny. Vektorové prostory sice mají nekonečně mnoho prvků a mohou mít nekonečné dimenze, ale sečíst nekonečně mnoho vektorů klasickými prostředky nelze.

Machrováním s nekonečny se lidé začali zabývat relativně nedávno – cca 400 let. Základy oboru, dnes nazývaného matematická analýza položili dva vědci – G. W. Leibnitz a I. Newton. Z Newtonovy strany analýza vznikla v přímé souvislosti s fyzikou.

Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 - 1716

Isaac Newton 1643 - 1727

Achilles a želva

Zeno Elejský 490 – 430 přnl.

Zeno Elejský byl před-sokratovský řecký filozof, člen Parmenidovy školy v jižní Itálii. Byl označen Aristotelem za zakladatele dialektiky, nicméně známější je díky svým para-doxům, například paradoxu o Achillovi a želvě.

Achilles honí želvu. Protože je dobrý běžec, dá ji náskok. Než ovšem uběhne tuto vzdálenost, želva se posune o kousek vpřed. Zatímco Achilles běží tuto novou vzdálenost, želva se dále pohybuje a opět se vzdálí (nově položená vzdálenost je sice menší, ale nenulová). Na základě této pokračující série dochází Zeno k tomu, že Achilles želvu nikdy nemůže dohonit. Myšlenka je ale v příkrém rozporu s pozorováním – je to tedy paradox?

Achilles a želva

tn , sn

vA vZ

tn+1 , sn+1

vA vZ

tn+2 , sn+2

vA

vZ

A

nn v

st

tvsvs

tts

v

Znn vts 1 nA

z

A

nz

A

nn t

vv

vtv

vs

t

11

Čas Achilla Nová vzdálenost želvy

Následující čas Achilla

6543210 tttttttt Čas pro chycení želvy

0000 t

vv

vv

vv

tvv

vv

tvv

ttA

Z

A

Z

A

Z

A

Z

A

Z

A

Z

00

432

0 1n

n

A

Z

A

Z

A

Z

A

Z

A

Z

vv

tvv

vv

vv

vv

tt

Je tento součet nekonečné

geometrické řady konečný, nebo ne?

Okolí bodu

Buď a bod z R, ε z R+. Otevřený intervalDefinice 60.

R aa ,nazýváme ε-okolím bodu a a značíme Ha(ε), stručněji Ha. Obdobně lze definovat levé a pravé okolí :

aa HaaHaa ,,

ε-okolí nekonečna definujeme jakoDefinice 61.

HH ,,

Buď a, b dva body z R. Ha, Hb označme jejich ε-okolí. Potom platí:Věta 21.

HaHbHbHab

Jsou-li a, b navíc různé, platí

0 HaHbHbHa

a b

a b

Limita posloupnosti

Pojem limita posloupnosti se týká chování posloupnosti, pokud sledujeme prvky s indexem neomezeně rostoucím – tedy v nekonečnu. Mají prvky následujících posloupností pro velmi vysoká nějakou tendenci?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2

neomezeně roste(nekonečná limita)

stále osciluje(limita neexistuje)

blíží se k šestce(limita je 6)

Limita posloupnosti

Buď an reálná posloupnost. Řekneme, že posloupnost má konečnou limitu a právě tehdy, platí-li

Definice 62.

),(0 00 aaannnn n

zkráceně

aa HnnnnH 00

Tj. ať si zvolíme libovolně malé okolí bodu a, vždycky najdeme prvek posloupnosti, od nějž všechny dál do okolí spadnou. Pak píšeme, že

a

ε

ε

ε

εεε

aann

lim

Limita posloupnosti

Buď an reálná posloupnost. Řekneme, že posloupnost má nekonečnou limitu (kladnou, resp. zápornou) právě tehdy, platí-li

Definice 63.

n

n

annnn

annnn

00

00

0

0

zkráceně

HannnnH n00

n

nalim

ε Pozn. : definice s okolími bodů je univerzální pro konečnou i nekonečnou limitu:

ana HannnnH 00

Limita posloupnosti

Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.Věta 22.

Důkaz provedeme sporem. Kdyby posloupnost měla dvě různé limity, třeba a a b, muselo by zároveň platit

aa HnnnnH 11

bb HnnnnH 22 Protože ale lze zvolit dvě okolí Ha, Hb tak, aby neměly žádný průnik, nelze najít takové n0 = max (n1, n2), aby všechny prvky od něj dále ležely jak v Ha, tak v Hb.

a

b

Limita posloupnosti

Buď an reálná posloupnost. Tuto posloupnost nazveme dle limity jakoDefinice 63.

R

aannlim konvergentní

n

nalim divergentní

nna

lim oscilujícíneexistuje

Buď an konvergentní reálná posloupnost s limitou a. Potom platí:Věta 22.

1) an je omezená (shora i zdola)

2) lim |an| = |a|

3) posloupnost anp vybraná z an má rovněž limitu a

Buď an divergentní reálná posloupnost s limitou plus resp. mínus nekonečno. Potom an je omezená zdola resp. shora.

Pozn. : změníme-li konečný počet členů posloupnosti jakkoliv, limita posloupnosti se nezmění.

Výpočty limit posloupnosti

Jaké limity mají základní posloupnosti?

n

nlim

εε

εε

01

lim nn

ε

ε

Tyto jednoduché limity je třeba dokázat z definice.

Výpočty limit posloupnosti

Pro potřeby limitních výrazů definujeme :

)(

)(

)(

)(

a

a

)()()()(

)()()()(

aaa

aaa

)()()(

)()()(

0

aa

Platí pro a > 0. Pro a < 0 se výsledná znaménka otáčejí.

Výrazy vychází přímo z definic limity a platí pro všechny posloupnosti nezávisle na konkrétní podobě an.

Výpočty limit posloupnosti

)(0),(0,0

,0

,,

,,,

Následující výrazy jsou neurčité – hodnota limity závisí na konkrétní podobě posloupnosti (tvaru an):

Buď an , bn dvě reálné posloupnosti, c reálné číslo a nechť limity obou posloupností existují. Za předpokladu, že výrazy napravo mají smysl, platí:

Věta 23.

Výpočty limit posloupnosti

nn

nn

nnn

baba

limlimlim

nn

nn

nnn

baba

limlimlim

nn

nn

acac

limlim

n

n

nn

n

n

n b

a

ba

lim

limlim

O dvou policajtech : Buď an , bn a cn tři reálné posloupnosti, nechť platí

Věta 24.

Výpočty limit posloupnosti

Raba nn

nn

limlim

nnn bcannNn 00

acnn

lim

1)

2)

Potom platí, že .

n0

Výpočty limit posloupnosti

VypočítejtePříklad

2lim nn

2

1lim

nn0

nn

n

1lim

2

1

lim 2n

nn

0

1

1lim 2

2

n

nn

1

12

13lim 3

23

n

nnn 2

3

Výpočty limit posloupnosti

VypočítejtePříklad

nnn

1lim 0

n

n

n

)2(lim neexistuje

125

2lim

n

n

n

11 3)2(

3)2(lim nn

nn

n 31

Výpočty limit posloupnosti

Ukažte, žePříklad 0!

lim n

an

n

Využijte přitom tvrzení, že pro posloupnost nenulových reálných čísel platí

0lim1lim 1

nn

n

n

na

a

a

Pozn. : z příkladu je vidět, že výraz n! roste nesmírně rychle – rychleji, než libovolná exponenciála!

Zajímavosti

Eulerovo číslo a další podobná jsou definována pomocí limit:

Pomocí limit posloupnosti je definována obecná mocnina:

59045 18284 2,718281

11

11

limlim

n

n

n

n nne

Buď an konvergentní racionální posloupnost, tj. pro kterou platíDefinice 64.

R

aannlim

buď x reálné číslo. Obecnou mocninu xa definujeme jako

Pozn. : k této definici je samozřejmě třeba ukázat, že tato limita existuje a že se neliší pro různé posloupnosti an se stejnou limitou a.

na

n

a xx

lim

Nekonečné řady

Buď an posloupnost reálných čísel. Nekonečnou řadou o členech an rozumíme formální výraz

Definice 65.

1

54321n

naaaaaa

Pozn. : nutnost přesné definice „sčítání donekonečna“ je zřejmá z následujícího příkladu. Sečtěte řadu čísel

11111111

Na problém můžeme nahlédnout různými způsoby:

0000)11()11()11()11( 1001)11()11()11(1

Který je asi „pravdivější“ ?

Součet nekonečné řady

Buď an posloupnost reálných čísel. VýrazDefinice 66.

n

iin aS

1

Nazveme n-tým částečným součtem příslušné řady. {Sn} rovněž tvoří posloupnost reálných čísel. Definujeme, že nekonečná řada má součet (konverguje), právě když

R

SSnnlim

n

nSlim

nnS

lim neexistuje

Definujeme, že řada má nekonečný součet (diverguje), právě když

Definujeme, že řada nemá nekonečný součet (osciluje), právě když

Součet geometrické řady

)()( 1 nn aqanq NR

1

11

q

qaS

n

n

Připomeňme si, co je geometrická posloupnost:

Částečný součet

qqq

qq nn

n

11

11lim

11

lim

Tedy

1 11

n

n

qq pro q < 1.

Součet nekonečné řady

Nutná podmínka konvergence řady : Nechť řada konver-guje. Potom

Věta 24.

0lim n

na

1nna

Jinými slovy toto je základní kritérium konvergence. Na to, abychom vůbec mohli uvažovat o tom, že řada má konečný součet, musí být limita jejích členů nulová (nutná podmínka). Podmínka ale není dostačující – je-li limita členů nulová, neznamená to automaticky, že řada má konečný součet!

Bolzanovo-Cauchyovo kritérium

Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Platí, že an je konvergentni, právě když

Věta 24.

npn aaNpnnNn 000

Pozn. : posloupnosti, které splňuje tuto podmínku se říká Cauchyovská. Věta platí pouze na úplných prostorech, například Cauchyovská posloupnost v prostoru racionálních čísel limitu mít nemusí.

Bolzanovo-Cauchyovo kritérium je nutnou a postačující podmínkou konvergence reálných (i komplexních) posloupností.

Kritérium lze samozřejmě použít i na konvergenci řad. Dosadíme-li místo an Sn, pak

npnpnpnnpn aaaaSS 21

Věta říká, že na to, aby posloupnost konvergovala, se musí se členy posloupnosti k sobě neomezeně blížit s rostoucím n. U řad pak platí, že součet libovolného počtu členů musí být neomezeně malý s rostoucím n.

Součet harmonické řady

Pomocí B.-C. kritéria ukažme, že řada je divergentní, a to i přes to, že

1

1

n n0

1lim

nn. Tato důležitá řada se nazývá harmonická.

Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že řada B.-C. kritérium splňuje, a pro libovolně zvolené ε absolutní hodnota součtu p členů od n0 výše je menší než toto ε. Zvolme například ε = ½. Pak existuje n0 takové, že pro všechny n>n0 a pro všechny p platí

21

21 npnpnpn aaaa

Zvolme n = p a zkoumejme, co to udělá:

21

21

21

211

11

21

nnnnnn

n-krát

Tedy jsme došli ke sporu:

21

21 npnpnpn aaaa

D’Alambertovo kritérium

D’Alembertovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Nechť existuje limita

Věta 25.

aa

a

n

n

n

1limPotom je-li

konverguje řada ,1)11

n

naa

diverguje řada ,1)21

n

naa

,1)3 a nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout

Raabeovo kritérium

Raabeovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Nechť existuje limita

Věta 26.

aa

an

n

n

n

11limPotom je-li

konverguje řada ,1)11

n

naa

diverguje řada ,1)21

n

naa

,1)3 a nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout

Pozn. : všiměte si, že oproti D’Alambertovu kritériu jsou nerovnítka obráceně! Toto kritérium ukazuje konvergenci všech řad se členy typu 1/n2, 1/n3, 1/n4, …

Součty nekonečných řad

Pokládejte na stůl libovolný počet hracích karet na sebe tak, aby se navzájem přesahovaly. Jak daleko můžete dosáhnout za okraj stolu, než se celá stavba zřítí?

Příklad

l = ?

Limita funkce

Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu c, právě když platí

Definice 67.

cfaac HxfaDHxHH )(}{

značíme

cxfax

)(lim

Limita funkce

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2

cfaac HxfaDHxHH )(}{

K čemu se blíží hodnota funkce, „lezeme-li“ po

definičním oboru k číslu 4?

2.3)(lim4

xfx

nehledě na to, zda je funkce v bodě 4 definována či nikoliv.

Limita funkce

Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu c, právě když platí

Definice 67.

cfaac HxfaDHxHH )(}{

značíme

cxfax

)(lim

Limita vyjadřuje chování funkce v blízkém okolí bodu a bez ohledu na to, zda je bod a v definičním oboru či nikoliv!

Pozn.: Body a a c mohou klidně být i nekonečna – definice okolí nekonečna je jasná.

Pozn.: Stejně jako limita posloupnosti je limita funkce jednoznačná – buď neexistuje, nebo je právě jedna (pro pevně daný bod).

Limita funkce

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2

?)(lim4

xfx

cxfx

)(lim4

?)(lim9

xfx

?)(lim5

xfx

Buď f , g dvě reálné funkcí, c reálné číslo. Nechť v bodě x, který je z definičního oboru f i g existují limity obou funkcí. Za předpokladu, že výrazy napravo mají smysl, platí:

Věta 27.

Výpočty limit funkcí

)(lim)(lim)()(lim000

xgxfxgxfxxxxxx

)(lim)(lim)()(lim000

xgxfxgxfxxxxxx

)(lim)(lim)()(lim000

xgxfxgxfxxxxxx

)(lim

)(lim

)(

)(lim

0

0

0 xg

xf

xg

xf

xx

xx

xx

Spojitost

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2

Lze funkci „nakreslit jedním tahem“?

Zde funkce není spojitá

Zde funkce je spojitá

cfaac HxfDHxHH )( )()(lim afxfax

Heineova věta

Věta 27.Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné bod a buď z definičního oboru. Pak cxf

ax

)(limprávě tehdy, když pro každou posloupnost xn s vlastnostmi

ax

axn

xn

nn

n

fn

lim)3

)()2

)()1 D

je limita

cxf nn

)(lim

Najdeme-li byť jen jedinou posloupnost výše uvedených vlastností, pro kterou výraz f(xn) nemá limitu c, limita funkce v bodě a neexistuje.

Výpočty limit funkcí

Ukažte, žePříklad

1sin

lim0

x

xx

ex

x

x

11lim

1)1ln(

lim0

x

xx

eex

x

lim

11

lim0

x

ex

xa

x

a x

xln

1lim

Shrnutí

• Okolí bodu

• Limita posloupnosti

• Výpočty limit posloupností

• Součty nekonečných řad

• Výpočty součtů, kritéria

• Limita funkce

• Výpočty limit funkcí

• Spojitost funkce

• Heineova věta