Post on 28-Feb-2019
transcript
Od motýlích
křídel ke
kvantovému
Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky
Matematicko-fyzikální fakulta UK Praha
Brno 2016
Lorenzo Lotto (1480-1557), Magnum Chaos
(Basilica di Santa Maria Maggiore, Bergamo
chaosu
Fyzika 2. druhu: „dekódování“
Henri Poincaré (1854-1912)
ij
ij ij
ji nrr
mG
dt
rd
)(
22
2
||
}3,2,1{, ji
problém 3 těles
Hamiltonovská mechanika
1 3
4
5
6
x
y
z
7
2
Polohy (x, y, z) a hybnosti (px ,py ,pz ) pro 7 částic
Stav fyzikálního systému složeného z N
částic je v každém okamžiku plně určen
výčtem všech souřadnic a hybností
3N + 3N
Můžeme si ho představit jako
jediný bod v 6N-rozměrném
fázovém prostoru.
Při zachování energie je pohyb omezen
na (6N–1)-rozměrnou „plochu“
počet stupňů volnosti f
Dim = 42 = 21 + 21 = f + f
Znalost stavu v daném čase t
umožňuje odvodit
stavy ve všech
ostatních
časech
(t ± Δt )
William Hamilton
(1805–1865)
N = 7
Hamiltonovská mechanika
Stav fyzikálního systému složeného z N
částic je v každém okamžiku plně určen
výčtem všech souřadnic a hybností
3N + 3N
Můžeme si ho představit jako
jediný bod v 6N-rozměrném
fázovém prostoru.
Při zachování energie je pohyb omezen
na (6N–1)-rozměrnou „plochu“
počet stupňů volnosti f
Znalost stavu v daném čase t
umožňuje odvodit
stavy ve všech
ostatních
časech
(t ± Δt )
William Hamilton
(1805–1865)
Intelekt, jenž by v jistém okamžiku znal všechny síly, které uvedly přírodu do pohy-bu, a polohy všech věcí, z nichž se příroda skládá, … by v jediné formuli obsáhl pohyby největ-ších těles vesmíru i pohyby těch nejmenších atomů; pro takový intelekt by nic nebylo nejisté a před jeho očima by se zpřítom-ňovala budoucnost stejně jako minulost …
Pierre-Simon Laplace
(1749–1827)
Klasické pohybové rovnice
vyjadřují tok ve fázovém prostoru 2/ mlp
f=2 f=1
Řešitelné systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů,
pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit:
např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo
Keplerův systém…
© Renčín
Každým bodem
fázového prostoru
prochází právě
jedna trajektorie
Znalost stavu v daném čase t
umožňuje odvodit
stavy ve všech
ostatních
časech
(t ± Δt )
Klasické pohybové rovnice
vyjadřují tok ve fázovém prostoru 2/ mlp
f=2 f=1
Integrabilita: Systém s f stupni volnosti má f
integrálů pohybu (zachovávajících se veličin)
I1, I2… If . Trajektorie takového systému ve fáz.
prostoru leží na plochách podobných torům.
Pro f =1 jsou všechny
systémy integrabilní
„tory = kružnice“
Pro f =2 integrabilita vyžaduje
existenci dodatečného
integrálu pohybu
Řešitelné systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů,
pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit:
např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo
Keplerův systém…
1 integrál pohybu = energie ),( qpH
t
Pohybové rovnice zachovávají
objem buňky fázového prostoru
– představují tok „nestlačitelné
kapaliny“. Tvar buňky fázového
prostoru se ale může stávat velmi komplikovaným
existence chaotických řešení vykazujících
exponenciální citlivost k počátečním podmínkám…
„efekt motýlího křídla“
= exponenciální vzdalování některých trajektorií
t t
Ostatní (neřešitelné) systémy Učebnice fyziky si všímají především těch systémů,
pro něž se pohybové rovnice se dají analyticky vyřešit:
např. matematické kyvadlo, harmonický oscilátor nebo
Keplerův systém… Ale naprostá většina skutečných
systémů taková není !
Klasické pohybové rovnice
vyjadřují tok ve fázovém prostoru
t
= exponenciální vzdalování některých trajektorií
t t
Nestabilita dynamiky
Edward Lorenz (1917-2008)
„efekt motýlího křídla“
Edward Lorenz (přednáška 1979)
“Predictability: Does the flap of
a butterfly’s wings in Brazil set
off a tornado in Texas?” t
Problém 3 těles
P. Hut, J.N. Bahcall, Astrophys. J. 268, 319 (1983)
Existence chaotických řešení a jejich fatální
důsledky pro Laplaceův determinismus
byly demonstrovány teprve
v roce 1890
Dnešní příklad:
výpočet chaotického gravitačního rozptylu 3 těles
Henri Poincaré (1854-1912)
V roce 1885 vyhlašuje švédský & norský král Oscar II.
u příležitosti svých 60. narozenin vědeckou soutěž
(ceny: zlatá medaile a 2500 zlatých korun) s cílem nalezení
obecného analytického řešení (ve formě konvergující řady)
dynamiky systému mnoha těles v nebeské mechanice. V roce1888 se do soutěže přihlašuje Henri Poincaré (34 let) prací
nazvanou „O problému tří těles a rovnicích dynamiky“. Komise
soutěže (Karl Weierstrass, Charles Hermite, Gösta Mittag-Leffler) jej vyhlašuje
vítězem (i když plné řešení zadaného problému nepředložil). Když má být jeho 160 stránková
práce publikována, editor upozorňuje na určité nejasnosti.
Po dlouhém mlčení nachází Poincaré fatální chybu. Stahuje
mezitím již vytištěné vydání práce a v roce 1890 publikuje
novou práci v rozsahu 270 stránek na vlastní náklady >2500 korun
(také zlatá medaile mu byla později ukradena). Její výsledky odhalují do
té doby převážně skrytou bohatost a složitost řešení dynamic-
kých rovnic klasické mechaniky a ukazují jejich nestabilitu.
Nová práce pokládá
základy pozdějšího
studia chaosu
a komplexity ve
fyzice i mimo ni…
Problém 3 těles – z historie
Henri Poincaré (1854-1912)
© Wikipedia
Problém 3 těles – zjednodušení
0,0 321 mmm & )0,,(),,( yxzyx
Vyřeším pohyb těles 1+2 (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb
tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles 1+2 => započtení odstředivé + Coriolisovy síly
Pohyb těles 1+2
problém má 2 stupně volnosti
Redukovaný problém 3 těles nekonečně malá 3.hmotnost rovinný pohyb
Problém 3 těles – zjednodušení
0,0 321 mmm & )0,,(),,( yxzyx
Vyřeším pohyb těles 1+2 (rotace kolem těžiště) a hledám pohyb
tělesa 3 v rotující soustavě v gravitačním poli těles 1+2 => započtení odstředivé + Coriolisovy síly
Vhodnou volbou jednotek lze dosáhnout:
a za předpokladu kruhového pohybu těles
1+2 nabývají dynamické rovnice tvaru:
, kde:
11 1 xm
yU
dtdx
xU
dt
dy
y
x
dt
d
2
22
2
2222
22
)1()(
1
2),(
yxyx
yxyxU
Existuje 1 integrál pohybu (Jacobiho energie):
122 xm&
),(])()[( 22
21 yxUE
dt
dy
dtdx
problém má 2 stupně volnosti
L1
L4
m1 m2
L1, L2, L3, L4, L5 – Lagrangeovy body nestabilní rovnováha tělesa 3
3
2
4.0
2
1
m
m
© R.Moeckel
L5
L3 L2
Země-Měsíc: μ=0.01215
Redukovaný problém 3 těles nekonečně malá 3.hmotnost rovinný pohyb
Problém 3 těles – vizualizace
Všechny trajektorie leží na 3D
„ploše“ E=const ve 4D
fázovém prostoru
xx
0y
• Pokud by existoval 2. integrál
pohybu, body patřící stejným
trajektoriím by v rovině řezu
ležely na křivkách – průsečících
řezu s tory (integrabilní systém)
• Každý bod řezu protíná právě
1 trajektorie (díky zachování E)
• Pokud 2. integrál pohybu
neexistuje, může řez vypadat
třeba i takto:
Poincarého mapa: Poincaré vynalezl způsob vizualizace
dynamiky obecného systému pomocí zobrazení opakovaných
průchodů trajektorií řezem fázového prostoru („strobo-
skopické zobrazení“, „návratová mapa“). Pro konzervativní
(E=const) systém se 2 stupni volnosti je mapa 2-rozměrná…
x
x rovina
řezu:
y=0
© Pavel Stránský
směr
průchodu
Problém 3 těles – vizualizace
1
59.1 LEEZemě - Měsíc
μ=0.01215
Vznik chaosu
Vladimir
Arnold (1937-2010)
George
Birkhoff (1884-1944)
Jürgen
Moser (1928-1999)
Andrej
Kolmogorov (1903-1987)
Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je
fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků
je úchvatný !
kanonická poruchová teorie, KAM teorie…
stabilita diferenciálních rovnic…
disipativní systémy, atraktory…
proudění, turbulence…
symbolická dynamika, diskrétní mapy…
ergodická teorie…
Vznik chaosu
1) Kolmogorov-Arnold-Moserův (KAM)
teorém (1954,63,62): racionální tory umírají
nejdřív, silně iracionální tory přežívají nejdéle
2D:
1
2,2,1, 212
22
1 const
mm
mm
m
>0
2) Poincaré-Birkhoffův teorém (1912,35):
zánikem toru vzniká 2n periodických orbit, n
z nich je stabilních, n nestabilních
1) 2) 3)
3) „Heteroklinická změť“
(1890): stabilní a nestabil-
ní nadplochy kolem ne-
stabilní orbity vytvářejí
komplikovaný propletenec
Proces vzniku chaosu při narušení integrabilního systému je
fascinující a na jeho pochopení pracují generace matematiků
A. Chenciner: Seminaire Poincaré XVI(2012)45
Simulace C.Simó (ilustrativní příklad)
je úchvatný ! „Člověk je ohromen složitostí tohoto obrázku,
který se zde ani neodvažuji nakreslit…“
Modelování chaosu Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací)
222
0
2322
22
21
)()3()( yxCxyxByxA
ppH yxM
Hénon-Heilesův model (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)
0
E=23
A=–0.84, B,C,M=1
E=1.42
E=24.4
A=–2.6, B,C,M=1
x
x
Potenciál pro A=–0.84, B,C,M=1
x
yPoincarého mapy
pro řez y=0
Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie:
Geometrický model atomového jádra (schematický popis jaderných vibrací)
222
0
2322
22
21
)()3()( yxCxyxByxA
ppH yxM
Hénon-Heilesův model (schematický popis pohybu hvězd kolem centra galaxie)
0
E=23
A=–0.84, B,C,M=1
E=1.42
E=24.4
A=–2.6, B,C,M=1
x
yPotenciál pro A=–0.84, B,C,M=1
P h y s i c a
Magia Maxima
Modelování chaosu
Vysoká variabilita chování při změnách parametrů a energie:
Bernoulliova posloupnost
)1(mod21 nn xx
0001001110010110110011101.0
0001101110010110110011101.0
0
0
x
x
54321,0 bbbbbxn
V dvojkovém zápisu je tato posloupnost vyjádřena
opakovaným ciferným posunem doleva o jedno místo:
1. cifra lokalizuje bod v levé/pravé ½ intervalu [0,1]
2. cifra ……………………………………… daného ½-intervalu
3. cifra ……………………………………… daného ¼-intervalu ...
pravá1
levá0kb
Bernoulliova transformace generuje chaotické „trajektorie“!
0 1 ½ ¼ ¾
½
½
Např. 2 posloupnosti vycházející z těchto počátečních bodů jsou
ve 24. kroku v opačných ½-intervalech:
4
4
3
3
2
2
1
1
0 22222
0 bbbb1mod
2222 14
4
13
3
12
2
11
1
bbbb
Rekurentní vztah
Př.: 0.1101000110101 → 0.1010001101011 → 0.0100011010110 → ……
654321 ,0 bbbbbxn
Algoritmická složitost Složitost S(Bn) sekvence , , je rovna minimální
bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat… },,,,,{ 4321 n
n bbbbb B
„jednoduché“ sekvence: např. for i=1 to n print 1 nS nn
2log)( B
Složitost nekonečné
sekvence: )(
)( B
BK
n
S nn
„složité“ sekvence: výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }
0 jednoduché
≠0 složité sekvence
J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40
& Am.J.Phys. 60 (1992) 1086
nS nn )(B
19...85A308D3133.243F6A88
10...71693993757950288419462643383235897932383.14159265
1...101101000101000100001101010100000111111011.0010010
dvojková soustava
desítková soustava
šestnáctková soustava (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15)
Např. Ludolfovo číslo je algoritmicky jednoduchá sekvence
Ludolph van Ceulen (1540–1610)
}1,0{ib):-O
Existuje algoritmus umožňující jednotlivé cifry čísla π v šestnáctkové soustavě
počítat nezávisle, tj. bez znalosti předchozích cifer…
(hlasováním zvolená nejošklivější formulka všech dob)
Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40
& Am.J.Phys. 60 (1992) 1086
Např. Bernoulliova posloupnost vytváří složité sekvence
Složité sekvence jsou
z praktického hlediska
zcela „náhodné“!
Sekvence je tvořena např. první cifrou dvojkového
rozvoje jednotlivých členů xn posloupnosti
Složitost S(Bn) sekvence , , je rovna minimální
bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat… },,,,,{ 4321 n
n bbbbb B }1,0{ib
1.cifra=0 1.cifra=1
„jednoduché“ sekvence: např. for i=1 to n print 1 nS nn
2log)( B
Složitost nekonečné
sekvence: )(
)( B
BK
n
S nn
„složité“ sekvence: výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }
0 jednoduché
≠0 složité sekvence
nS nn )(B
Algoritmická složitost J. Ford, G.Mantica, Physics Today 1983, p.40
& Am.J.Phys. 60 (1992) 1086
Např. Bernoulliova posloupnost vytváří složité sekvence
Klasická mechanika vytváří složité (tedy „náhodné“) sekvence
#i0
#ik
Rozdělení fázového prostoru na očíslované
buňky. Sledujeme sekvenci buněk
#i0,#i1,…, #ik ,… kterými prochází
trajektorie z definovaného
počátečního bodu…
fázový prostor
t
Složitost S(Bn) sekvence , , je rovna minimální
bitové délce počítačového programu schopného tuto sekvenci vygenerovat… },,,,,{ 4321 n
n bbbbb B }1,0{ib
Dim = 6N
„jednoduché“ sekvence: např. for i=1 to n print 1 nS nn
2log)( B
Složitost nekonečné
sekvence: )(
)( B
BK
n
S nn
„složité“ sekvence: výčet elementů: print { b1, b2,……, bn }
0 jednoduché
≠0 složité sekvence
nS nn )(B
Kvantová evoluce není chaotická! Vývoj stavu v kvantové fyzice nevykazuje motýlí efekt:
malá změna počátečního stavu vede ke stejně malé změně
koncového stavu, odchylka se nezesiluje.
Dim ~ exp N
Kvantová mechanika je „algoritmicky jednoduchá“ (sic ) !!!
prostor Aproximace stavového vektoru v čase 0
na dané úrovni přesnosti umožňuje
predikce pro libovolné časy t na
stejné úrovni přesnosti !
t
Schrödingerova
rovnice
je lineární!
Existuje chaos na kvantové úrovni?
Michael Berry
(*1941)
Neexistuje kvantový chaos ve smyslu exponen-ciální citlivosti k počátečním podmínkám, ale existuje řada kvantových fenoménů, které odrážejí přítomnost klasického chaosu. Studium těchto fenoménů nazývám kvantovou chaologií.
#i0
#ik vlnových funkcí
regulární biliár
E
Es
nE
1nE
2nE
3nE
En
erg
ie
chaotický biliár
Regularita/chaoticita klas. dynamiky má zásadní vliv na
vzájemné korelace mezi hladinami kvantových spekter…
Např. rozdělení norma-
lizovaných vzdáleností
s mezi sousedními
energetickými hladinami
„Kvantový chaos“
2
4e)(2
sssP
ssP e)(
střední
vzdálenost
hladin
v dané
oblasti
spektra
Poissonovo rozdělení
Wignerovo rozdělení
absence
korelací mezi
hladinami silné korelace
mezi hladinami
A.Bäcker (2007)
Fenomén odpuzování hladin v chaotických systémech
ΔE
Niels Bohr (1936)
Eugene Wigner (1955)
Oriol Bohigas et al. (1982)
Vzdálenost
jaderných rezonancí (1726 experimentálních
hodnot)
energie
po absorpci
neutronu
„Kvantový chaos“ Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter
a jsou popsány teorií náhodných matic
156Gd
Spektrum
atomového
jádra
Atom H v silném
mg.poli (num.
výpočet)
Wintgen, Friedrich (1987)
Ellegaard et al. (1996)
Elastomechanické
módy nepravidelného
krystalu Si (experiment)
Neutrální atomy
Hf, Ta, W, Re, Os, Ir
(exp.data)
Rosenzweig, Porter (1960)
dá se aplikovat v různých
fyzikálních systémech
Wigner
Šeba et al. (2000)
Vzdálenost autobusů
MHD (v Mexiku)
Puebla
Cuernavaca
„Kvantový chaos“ bez kvant
Korelace ve spektrech chaotických systémů mají univerzální charakter
a jsou popsány teorií náhodných matic přesah do mnoha oblastí
daleko mimo fyziku
Šeba (2003)
Vzdálenost vlastních hodnot
autokorelačních matic
EEG signálu
Vzdál. vl.hodnot korel.
matic pro různé meteo-
rologické veličiny
Santhanam et al. (2002)
Vzdál. vl.hodnot korel.matic
pro fluktuace
cen akcií
Plerou et al. (2002)
Potestio et al. (2009)
Vzdál.vl.hod.korel.matic
pro posunutí molekul
v proteinech
Riemannova hypotéza Nuly zeta funkce v komplexní
rovině proměnné z se všechny
(kromě tzv. “triviálních nul”
z = –2,–4,–6, …) nacházejí na
přímce z = ½ + i y
Toto tvrzení má zásadní důsledky pro
mnoho různých odvětví matematiky !!!
Numerické výsledky pro
N≈1020 komplexních nul
perfektně souhlasí s předpovědí
teorie náhodných matic
│ς│
y
B. Cipra: A prime case of chaos (AMS, 1999)
Existuje kvantově
chaotický systém,
jehož energetické
spektrum je určeno
nulami zeta funkce
??????
Riemannova zeta funkce
)1)(1)(1)(1(
1
4
1
3
1
2
1
1
1)(
7
1
5
1
3
1
2
1zzzz
zzzzz
prvočísla
Bernhard Riemann
(1826 – 1866)
x
y
z=x+iy
Kosmos = Sfairos + Chaos výsledek Lásky výsledek Sváru
A tato věčná změna nikdy neustává,
hned Láska všechno spojí v jednotu,
hned se zas všecko rozkotá řáděním Sváru.
Tak tedy vzniká jednota z mnohosti
a mnohost zase z trosek jednoty…
… nezáří ti tu do očí
údy hbitého slunce
ani hrubá síla země ani moře.
Tak spočívá v pevném skrytu Harmonie
kulový Sfairos,
jenž vládne s hrdostí v samotě vůkol…
… brzy se zase rozpadnou zásahem zlého Sváru.
Tak se vše trmácí —
i ryby, jež v hlubinách sídlí,
zvěř z hor i chocholaté potápky…
O PODSTATĚ SVĚTA (z řečtiny přeložil Jaroslav Pokorný, 1944)
Empedokles z Akragantu (cca 480-420 BC)