Post on 20-Feb-2020
transcript
Čtyřúhelník
25
Čtyřúhelník
O b s a h :
1. Jak definovat čtyřúhelník – základní vlastnosti
2. Názvy čtyřúhelníků
2.1. Deltoid
2.2. Tětivový čtyřúhelník
2.3. Tečnový čtyřúhelník
2.4. Rovnoběžník
2.4.1. Základní vlastnosti
2.4.2. Výšky a střední příčky rovnoběžníka
2.4.3. Pravoúhlý rovnoběžník
2.4.4. Kosodélník
2.5. Lichoběžník
3. Konstrukce čtyřúhelníka
4. Příklady k procvičení
Čtyřúhelník
26
1. Jak definovat čtyřúhelník – základní vlastnosti
Čtyřúhelník se na základní škole definuje pomocí svých základních vlastností.
Čtyřúhelník má čtyři vrcholy, čtyři strany, čtyři vnitřní úhly. Dvě strany, které mají
společný vrchol, jsou sousední. Dvě strany, které nemají společný vrchol, jsou protější.
Také dva vrcholy a dva vnitřní úhly čtyřúhelníku jsou buď sousední, nebo protější.
Úsečka, jejímiž krajními body jsou dva protější vrcholy čtyřúhelníku, nazývá se
úhlopříčka. Každý čtyřúhelník má dvě úhlopříčky.
Úhlopříčka rozdělí čtyřúhelník na dva trojúhelníky. Součet vnitřních úhlů
v každém trojúhelníku je 180o, proto součet vnitřních úhlů v každém čtyřúhelníku je
360o.
A, B; B, C; atd. sousední vrcholy
A, C; B, D protější vrcholy
a, b; b, c; atd. sousední strany
a, c; b, d protější strany
AC = e, BD = f úhlopříčky
, ; , ; atd. sousední vnitřní úhly
, ; , protější vnitřní úhly
N průsečík úhlopříček
= úhel u vrcholu A, = úhel u vrcholu B, = úhel u vrcholu C, = úhel u vrcholu D
2. Názvy čtyřúhelníků
Jestliže všechny body čtyřúhelníku leží v téže polorovině, jejíž hranice obsahuje
kteroukoli stranu čtyřúhelníka, pak se takový čtyřúhelník nazývá čtyřúhelník konvexní.
Není-li tomu tak, je to čtyřúhelník nekonvexní.
O b s a h
Čtyřúhelník
27
Podle vlastností stran a úhlů dáváme čtyřúhelníkům zvláštní jména.
Čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany různoběžné, se nazývá
různoběžník. Jestliže má čtyřúhelník dvě strany rovnoběžné a zbývající dvě strany
různoběžné, nazývá se lichoběžník. Čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou
rovnoběžné, je rovnoběžník.
2.1 Deltoid
Zvláštním případem různoběžníka je deltoid. Je
to různoběžník souměrný podle právě jedné úhlopříčky.
Skládá se ze dvou neshodných rovnoramenných
trojúhelníků se společnou základnou a z toho plynou
některé jeho vlastnosti:
a) dvě sousední strany jsou shodné, AB=BC,
zbývající dvě sousední strany jsou rovněž shodné,
AD=DC;
b) úhlopříčka DB půlí vnitřní úhly, jimiž prochází, a je osou souměrnosti
úhlopříčky AC i celého deltoidu;
c) úhly, jimiž prochází úhlopříčka AC, jsou shodné, tedy DAB=DCB (je-li
deltoid vepsán do kružnice, jsou tyto úhly pravé);
d) deltoidu lze vepsat kružnici, její střed O leží na osách shodných úhlů a na
úhlopříčce BD.
Příklad 1.1: a) Sestrojte deltoid ABCD, je-li dáno: a = 2,5 cm, b = 3,5 cm, = 145o
b) Sestrojte tomuto deltoidu kružnici vepsanou.
c) Lze mu také sestrojit kružnici opsanou? Kdy lze sestrojit kružnici
opsanou deltoidu?
Řešení 1.1:
O b s a h
Čtyřúhelník
28
2.2 Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník, jehož vrcholy leží na kružnici,
nazývá se čtyřúhelník tětivový. Součet velikostí
libovolných dvou jeho protilehlých úhlů je 180o.
O tětivovém čtyřúhelníku také platí tzv.
Ptolemaiova věta, která říká: V každém tětivovém
čtyřúhelníku je součin délek úhlopříček roven součtu
součinů délek protilehlých stran.
Příklad 1.2: Sestrojte čtyřúhelník ABCD tak, aby to byl tětivový čtyřúhelník, pro nějž
platí: úhel = 90o, = 60o, c = 2,75 cm, d = 4,9 cm.
Řešení 1.2:
Zápis konstrukce:
1. ; = XBY = 145o
2. k; k (B; a = 2,5 cm)
3. A; A k BX
4. l; l (B; b = 3,5 cm)
5. C; C l BY
6. m; m (A; |AB|)
7. n; n (C; |CB|)
8. D; D m n
9. deltoid ABCD
Zápis konstrukce:
1. CD; |CD| = 2,75 cm
2. p; p CD, C p
3. ; =CDX = 180o - 60o =120o
4. l; l (D; d=4,9 cm)
5. A; A l DX
6. q; q DA, A q
7. B; B p q
8. čtyřúhelník ABCD
9. O; O je průnik os stran ABCD
10. k; k (O; |OC|)
X
O b s a h
Čtyřúhelník
29
2.3 Tečnový čtyřúhelník
Čtyřúhelník, který je opsán kružnici, nazývá se
čtyřúhelník tečnový. Součty délek jeho protilehlých
stran se navzájem rovnají.
Příklad 1.3: Sestrojte čtyřúhelník ABCD tak, aby to byl tečnový čtyřúhelník.
Řešení 1.3:
2.4 Rovnoběžník
Čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné, nazývá se
rovnoběžník.
Podle úhlů se rovnoběžníky dělí na rovnoběžníky kosoúhlé (mají úhly kosé) a
rovnoběžníky pravoúhlé neboli pravoúhelníky (mají všechny úhly pravé).
Podle velikostí stran mají rovnoběžníky ještě zvláštní jména: kosodélník,
kosočtverec, obdélník, čtverec.
2.4.1 Základní vlastnosti
Základní vlastnosti každého rovnoběžníka:
Zápis konstrukce:
1. k; k (S; r = libovolně)
2. P4; P4 k
3. d; d SP4, P4 d
4. P3; P3 k
5. c; c SP3, P3 c
6. P2; P2 k
7. b; b SP2, P2 b
8. P1; P1 k
9. a; a SP1, P1 a
10. A; A a d
11. B; B a b
12. C; C c b
13. D; D c d
14. čtyřúhelník ABCD
O b s a h
Čtyřúhelník
30
a) každé dvě protější strany jsou navzájem rovnoběžné;
b) každé dvě protější strany jsou shodné
c) úhlopříčky se navzájem půlí.
Zjistíme-li, že daný čtyřúhelník má některou z uvedených vlastností, potom
je to rovnoběžník.
O vnitřních úhlech každého rovnoběžníka platí:
a) každé dva protější úhly jsou shodné;
b) součet velikostí každých dvou sousedních úhlů je 180o.
2.4.2 Výšky a střední příčky rovnoběžníka
Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy
rovnoběžných stran, je střední příčka rovnoběžníka.
Každý rovnoběžník má dvě střední příčky.
Rovnoběžník ABCD má střední příčky EF a
GH. Platí EF=AB=CD, EFABCD; GH=AD=BC,
GH ADBC.
Průsečík středních příček S splývá s průsečíkem úhlopříček a nazývá se
střed rovnoběžníka.
Vzdálenost přímek, v nichž leží protější strany rovnoběžníka, je jeho
výška. Rovnoběžník má tedy dvě výšky.
Příklad 1.4: Sestrojte obdélník ABCD, znáte-li velikosti středních příček (7 cm, 5cm).
Sestrojte kosodélník KLMN, který bude mít stejně dlouhé strany jako
obdélník ABCD, tzn. AB = KL, BC = LM. Porovnejte délky středních
příček.
Řešení 1.4:
Zápis konstrukce:
1. AB; |AB| = 7 cm
2. p; p AB, B p
3. k,l; k (B; |BC|=5cm), l (A; |BC|=5cm)
4. C; C k p
5. q; q BC, C q
6. D; D q l
7. obdélník ABCD
8. M; M k
9. s; s BM, A s
10. N; N s l
11. kosodélník KLMN
O b s a h
Čtyřúhelník
31
2.4.3 Pravoúhlý rovnoběžník
Jestliže má rovnoběžník jeden úhel pravý, má i všechny ostatní úhly
pravé, neboť protější úhly jsou shodné a součet každých dvou sousedních úhlů
rovnoběžníka je 180o. Takový rovnoběžník se nazývá pravoúhlý.
Má-li pravoúhlý rovnoběžník sousední strany shodné, jmenuje se
čtverec; nemá-li sousední strany shodné, nazývá se obdélník. V praxi dáváme
rozměrům obdélníka názvy šířka, délka, výška apod.
Každý pravoúhlý rovnoběžník má tyto vlastnosti:
a) každé dvě sousední strany jsou k sobě kolmé;
b) úhlopříčky jsou shodné;
c) pravoúhlému rovnoběžníku lze opsat kružnici;
d) má dvě osy souměrnosti (jsou jimi přímky, které obsahují střední
příčky).
Jestliže rovnoběžník má některou z uvedených čtyř vlastností, je
pravoúhlý.
Pravoúhlý rovnostranný rovnoběžník se nazývá čtverec. Má vlastnosti
každého pravoúhlého rovnoběžníka (obdélníka) a navíc některé další,
například:
a) všechny strany i obě střední příčky čtverce jsou shodné;
b) úhlopříčky čtverce stojí na sobě kolmo a půlí jeho vnitřní úhly;
c) čtverci lze opsat i vepsat kružnici;
d) čtverec má čtyři osy souměrnosti (jsou jimi přímky obsahující stření
příčky a přímky obsahující úhlopříčky).
Příklad 1.5: Sestrojte libovolný čtverec a obdélník. Sestrojte jejich kružnice opsané a
vepsané, jejich osy souměrnosti a vyzkoušejte, zda platí výše uvedená
pravidla.
Řešení 1.5:
O b s a h
Čtyřúhelník
32
2.4.4 Kosodélník
Kosodélník, který má všechny strany shodné, nazývá se kosočtverec;
nemá-li sousední strany shodné, nazývá se kosodélník.
Kosočtverec má všechny vlastnosti rovnoběžníka a kromě shodných
stran ještě další vlastnosti, například:
a) úhlopříčky kosočtverce jsou k sobě kolmé a půlí úhly, z nichž
vycházejí;
b) kosočtverec má právě dvě osy souměrnosti (jsou jimi přímky, které
obsahují úhlopříčky);
c) kosočtverci lze vepsat kružnici, jejím středem je průsečík úhlopříček.
Zápis konstrukce:
1. obdélník KLMN
2. S; S je průnik středních příček
3. k; k (S; |SN|) – kružnice opsaná
obdélníku KLMN
Zápis konstrukce:
1. čtverec ABCD
2. S; S AC BD
3. k1; k1 (S; |SC|) – kružnice
opsaná čtverci ABCD
4. k2; k2 (S; |ST|) - kružnice
vepsaná čtverci ABCD
T
O b s a h
Čtyřúhelník
33
Příklad 1.6: Sestrojte libovolný kosodélník KLMN a kosočtverec ABCD. Ověřte, zda
platí výše uvedené věty. Sestrojte jejich osy souměrnosti.
Řešení 1.6:
2.5 Lichoběžník
Čtyřúhelník, který má dvě protější strany
rovnoběžné a zbývající dvě strany různoběžné,
nazývá se lichoběžník. Rovnoběžné strany
mají vždy různé velikosti a jmenují se
základny, různoběžným stranám říkáme
ramena. Ramena lichoběžníka mohou, ale
nemusí být shodné úsečky. Vzdálenost
přímek, v nichž leží základny, je výška lichoběžníka.
Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy ramen, nazývá se střední příčka
lichoběžníka. Střední příčka lichoběžníka je rovnoběžná se základnami a její délka je
rovna polovině součtu délek obou základen. Označíme-li základny z1, z2 a střední
příčku p, platí:
p = (z1 + z2)/2
Součet velikostí vnitřních úhlů přilehlých k ramenu lichoběžníka je 180o.
Zápis konstrukce:
1. KL; |KL| = libovolně
2. t; t KL
3. N; N t
4. s; s KN, L s
5. M; M t s
6. kosodélník KLMN
Zápis konstrukce:
1. AB; |AB| = libovolně
2. p; p AB
3. k; k (A; |AB|)
4. D; D k p
5. q; q AD, B q
6. C; C q p
7. kosočtverec ABCD
O b s a h
Čtyřúhelník
34
Jestliže má lichoběžník jeden vnitřní úhel pravý, nazývá
se pravoúhlý lichoběžník. Protože součet úhlů při ramenu
je 180o, má pravoúhlý lichoběžník dva pravé úhly; jsou to
vždy úhly přilehlé k témuž ramenu.
Výška pravoúhlého lichoběžníka rovná se menšímu
ramenu.
Lichoběžník, jehož ramena jsou shodné
úsečky, nazývá se rovnoramenný lichoběž-
ník.
Kromě shodných ramen má rovnoramenný
lichoběžník tyto další vlastnosti:
a) Úhly při téže základně jsou shodné.
Při větší základně jsou úhly ostré, při
menší základně jsou úhly tupé.
b) Rovnoramenný lichoběžník má jednu osu souměrnosti; osou souměrnosti je
společná osa obou základen.
c) Úhlopříčky jsou shodné a protínají se na ose souměrnosti.
d) Rovnoramennému lichoběžníku lze opsat kružnici.
Jestliže má lichoběžník některou z uvedených vlastností, je rovnoramenný.
Příklad 1.7: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB délky
a = 10 cm a s úhlem DAB o velikosti 60o, jestliže úhlopříčka AC svírá
s ramenem BC pravý úhel.
Řešení 1.7:
Zápis konstrukce:
1. AB; |AB| = a = 10 cm
2. ; = BAX = 60o
3. S; S je střed strany AB
4. k; k (S; |AS|)
5. ; = ABY = 60o
6. C; C k BY
7. D; D k AX
8. lichoběžník ABCD
X Y
O b s a h
Čtyřúhelník
35
3. Konstrukce čtyřúhelníka
Postup pro sestrojení čtyřúhelníka je následující: Úhlopříčka rozdělí čtyřúhelník na
dva trojúhelníky, takže čtyřúhelník sestrojíme tak, že sestrojíme postupně oba tyto
trojúhelníky. Trojúhelník, který sestrojujeme nejdříve, je určen třemi prvky.
K sestrojení druhého trojúhelníka je třeba znát další dva prvky, neboť oba trojúhelníky
mají jednu stranu společnou. Je tedy čtyřúhelník určen pěti vhodnými prvky.
Příklad 1.8: Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: a = 4,5 cm, d = 3,8 cm, = 85o,
= 78o, = 115o.
Řešení 1.8:
Konstrukce rovnoběžníka - kosodélníka
Rovnoběžník se skládá ze dvou shodných trojúhelníků. Můžeme-li sestrojit jeden
z těchto trojúhelníků, můžeme sestrojit i druhý, proto rovnoběžník je určen třemi
vhodnými prvky. Velikosti daných prvků musí také vyhovovat vlastnostem
rovnoběžníka.
Příklad 1.9: Sestrojte kosodélník ABCD, znáte-li délky úseček AB = 5 cm, BC = 6 cm a
úhel = 60o.
Řešení 1.9:
Zápis konstrukce:
1. AB; |AB| = a = 4,5 cm
2. ; = BAX = 85o
3. ; = ABY = 78o
4. k; k (A; d = 3,8 cm)
5. D; D k AX
6. ; = ADZ = 115o
7. C; C DZ BY
8. čtyřúhelník ABCD
X Z
Y
Zápis konstrukce:
1. AB; |AB| = 5 cm
2. ; = BAX = 60o
3. p; p AX, B p
4. k; k (B; |BC| = 6 cm)
5. C; C k p
6. q; q AB, C q
7. D; D q AX
8. kosodélník ABCD
X
O b s a h
Čtyřúhelník
36
Konstrukce pravoúhlého rovnoběžníka - obdélníka
Pravoúhlý rovnoběžník rozdělí jeho úhlopříčka na dva pravoúhlé trojúhelníky.
Pravoúhlý trojúhelník je určen dvěma prvky, oba trojúhelníky jsou shodné, je tedy
pravoúhlý rovnoběžník určen dvěma vhodnými prvky.
Příklad 1.10: Sestrojte obdélník ABCD, znáte-li délky úseček AB = 4 cm, BC = 6 cm.
Řešení 1.10:
Konstrukce čtverce
Čtverec je určen jediným vhodným prvkem, neboť se skládá ze dvou shodných
pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků a pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník je
určen jediným prvkem. Určovacím prvkem čtverce nemůže být úhel.
Příklad 1.11: Sestrojte čtverec ABCD, je-li strana čtverce dána úsečkou AB = 5 cm.
Řešení 1.11:
Zápis konstrukce:
12. AB; |AB| = 4 cm
13. p; p AB, B p
14. k; k (B; |BC|=6 cm)
15. C; C k p
16. q; q BC, C q
17. s; s AB, A s
18. D; D q s
19. obdélník ABCD
Zápis konstrukce:
1. AB; |AB| = 5 cm
2. k; k (A; |AB|=5 cm)
3. p; p AB, B p
4. q; q AB, A q
5. D; D k q
6. s; s AD, D s
7. C; C p s
8. čtverec ABCD
O b s a h
Čtyřúhelník
37
Konstrukce kosočtverce
Úhlopříčka rozdělí kosočtverec na dva shodné rovnoramenné trojúhelníky.
Rovnoramenný trojúhelník je určen dvěma prvky, proto i kosočtverec je určen dvěma
vhodnými prvky. Dané prvky musí odpovídat vlastnostem kosočtverce.
Příklad 1.12: Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: a = 4,6 cm, = 60o.
Řešení 1.12:
Konstrukce lichoběžníka
Lichoběžník má dvě strany rovnoběžné a tato jeho vlastnost nahrazuje jeden
určovací prvek, takže lichoběžník je určen čtyřmi vhodnými prvky, které vyhovují
vlastnostem lichoběžníka. Lichoběžník rovnoramenný a lichoběžník pravoúhlý mají
další speciální vlastnosti a jsou proto určeny jen třemi prvky.
Příklad 1.13: Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno: a = 6,2 cm, b = 4 cm, e = 7,5 cm,
f = 5 cm.
Řešení 1.13:
Zápis konstrukce:
3. AB; |AB| = a = 4,6 cm
4. ; = BAX = 60o
5. p; p AX, B p
6. k; k (A; a = 4,6 cm)
7. D; D k AX
8. q; q AB, D q
9. C; C q p
10. kosočtverec ABCD
Zápis konstrukce:
1. AB; |AB| = a = 6,2 cm
2. k; k (B; b=4 cm)
3. l; l (A; e=7,5 cm)
4. C; C k l
5. m; m (B; f=5 cm)
6. p; p AB, C p
7. D; D m p
8. lichoběžník ABCD
O b s a h
Čtyřúhelník
38
4. Příklady k procvičení
Příklad 1.14: Konvexní čtyřúhelník pro který platí: |AB| = 10 cm, |CB| = 4 cm a délka
příčky SaSc je 4 cm. Dále víme, že v tomto čtyřúhelníku jsou dva
pravoúhlé trojúhelníky a to trojúhelník ABD s přeponou AB a ABC s
přeponou AB.
Příklad 1.15: Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno strany a, b, úhlopříčka e.
Příklad 1.16: Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno strana a = 4,2 cm, úhlopříčky
e = 5,4 cm, f.= 3,8 cm.
Příklad 1.17: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se stranami AB = 6 cm,
BC = 3,5 cm, CD = 3 cm.
Příklad 1.18: Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jehož všechny strany jsou navzájem
různoběžné (různoběžník), je-li dáno a = 5 cm, b = 3 cm, e = 5 cm,
f = 4,5 cm, = 60o.
Příklad 1.19: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník, jestliže je dána střední příčka
p = 4 cm, výška v = 5 cm a rameno r = 6 cm.
Příklad 1.20: Sestrojte lichoběžník se základnami AB = 8,5 cm, CD = 3,5 cm, znáte-li
v = 3,5 cm a velkost úhlu ABC = 60o.
Příklad 1.21: Sestrojte kosočtverec ABCD, jsou-li dány úhlopříčky e = 5,2 cm,
f = 3,6 cm.
Příklad 1.22: Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dána strana b = 5,4 cm, úhel = 120o.
Příklad 1.23: Sestrojte deltoid ABCD, jsou-li dány strany a = 2,5 cm, b = 3,5 cm, úhel
= 145o.
Příklad 1.24: Sestrojte deltoid ABCD, jsou-li dány strany a = 6 cm, b = 3 cm a
úhlopříčka f = 7 cm.
O b s a h