Obtékání těles

M. Jahoda

Hydromechanické procesy

Klasifikace těles 2

dvourozměrné

osově symetrické

třírozměrné (s/bez osy symetrie)

Typy externích toků

nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické

Odpor a vztlak 3

Síly působící na povrch obtékaného tělesa - pomocí napětí: smykové napětí ( vazké síly)

normálové napětí (tlak)

Obě složky mění velikost i směr => obtížně zjistitelné rozdělení podél povrchu

- výsledné síly lze získat integrací elementárních sil

- celková síla ve směru toku: odpor (anglicky drag),

- celková síla v normálovém směru: vztlak (anglicky lift),

tlaková síla

třecí síla

výsledná síla

Odpor a vztlak 4

Síly působící na povrch obtékaného tělesa - pomocí napětí: obtížné => zavedení bezrozměrných součinitelů

Součinitel odporu:

Součinitel vztlaku:

- hodnoty lze určit z rozměrové analýzy, numericky nebo experimentem

- při obtékání reálných těles konečné tloušťky, symetrických k vektoru rychlosti,

je vztlak nulový, vyskytuje se pouze odporová síla

Odpor těles 5

Odpor tělesa tlakový (tvarový) odpor

třecí odpor

úplav

- důsledek separace proudnic

od povrchu a vytvoření úplavu

=> naruší se symetrie tlakových

sil na těleso

- výsledný účinek tečných

napětí na povrch tělesa

mezní vrstva

Ve většině se vyskytuje výsledný odpor složený z třecího a tlakového a nelze

je určit odděleně.

Plocha je určena jako příčný

průřez, půdorysný průmět, nebo

plocha, která se dotýká tekutiny

(podle dohody).

0 % 100 %

10 % 90 %

90 % 10 %

100 % 0 %

Odpor těles 6

úplav

Základní charakteristiky obtékání 7

Bezrozměrová kritéria

- pro dané těleso závisí charakter proudění na velikosti (tvaru) tělesa, jeho poloze

vůči toku, na rychlosti a vlastnostech tekutin.

Reynoldsovo: Froudeovo:

Machovo:

Charakter toku v závislosti na Re

- charakteristická délka:

- rychlost:

- tekutiny: vzduch, voda

- dominují setrvačné síly

- dominují viskózní (třecí) síly viskózní síly

setrvačné síly

Základní charakteristiky obtékání 8

Charakter toku v závislosti na Re

dominují viskózní síly

dominují setrvačné síly

- tenká deska s proudem tekutiny ve směru jejího povrchu

Základní charakteristiky obtékání 9

Charakter toku v závislosti na Re - válec

symetrie

Základní charakteristiky obtékání 10

Charakter toku v závislosti na Re

Mezní vrstva 11

Historie: Ludwig Prandtl

Prandtl

1904

(1875 – 1953)

- německý fyzik

- aerodynamika a hydrodynamika

- teorie mezní vrstvy (1904)

- turbulentního proudění (1910, Prandtlovo číslo)

- podzvukové proudění (1922)

- nadzvukové proudění (1927)

- aerodynamické tunely, měření dynamického tlaku proudění

Mezní vrstva 12

Mezní vrstva 13

- v proudovém poli vně vrstvy: převažují setrvačné síly nad silami vazkými

-> k popisu můžeme použít Eulerovu rovnici

- proudění uvnitř mezní vrstvy: setrvačné a vazké síly jsou přibližně stejného řádu

-> k popisu používáme Navierovy-Stokesovy rovnice

Analytické řešení obtížné

=> zjednodušující předpoklady

• Prandtl navrhl předpoklady

• Blasius (Prandtlův student) v roce 1908 udělal analytické řešení

pro tok v mezní vrstvě podél rovinné stěny

• Kármán integrální rovnice

y

x

d

Mezní vrstva – tloušťka MV 14

1. Definice standardní tloušťky

Tloušťka mezní vrstvy:

2. Vytěsňovací tloušťka

- průtok průřezem b-b je nižší než průžezem a-a

v důsledku poklesu rychlosti v MV

- zvýšíme-li výšku desky v případě a-a o d*,

bude průtok oběma průřezy stejný

kde b je šířka desky

d* je tloušťka, o níž musí být zvětšena tloušťka

tělesa, aby průtok při toku ideální tekutiny byl

roven skutečnému průtoku vazké tekutiny

Mezní vrstva – tloušťka MV 15

3. Hybnostní tloušťka

- protože dochází v mezní vrstvě k poklesu

rychlosti v0 – v, je v průřezu b-b nižší tok hybnosti

než v průžezu a-a:

který je roven toku hybnosti v případě plochého rychlostního profilu v0 a tloušťky q

V praxi se užívají všechny tři definice tloušťky mezní vrstvy: d, d* a q.

Vždy předpokládáme tenkou vrstvu.

V kterémkoliv místě desky platí:

Mezní vrstva – Prandtlovy/Blasiusovy rovnice toku

Výsledky řešení

Blasius

Lineární rychlostní profil

Parabolický rychlostní profil

Kubický rychlostní profil

Sinusová aproximace

16

Mezní vrstva – laminární obtékání

Integrální rovnice (von Kármán)

- určení smykového napětí u povrchu obtékaného tělesa a odporu způsobeném

smykovým napětím z momentové rovnice

Blasius:

Lineární rychlostní profil:

Parabolický rychlostní profil:

Kubický rychlostní profil:

Sinusová aproximace:

součinitel odporu

lokální součinitel odporu (vzhledem k x)

délka desky

17

Mezní vrstva – odtržení proudu

- dochází při obtékání zaoblených těles

Mezní vrstva – přechod k turbulentnímu obtékání 19

Přechod mezi laminární a turbulentní mezní vrstvou dává kritické

Reynoldsovo kritérium:

kde xk je vzdálenost od náběžné hrany, ve které laminární mezní vrstva

přechází do turbulentní.

v závislosti na drsnosti povrchu

a míře turbulence v přicházejícím proudu

Nejsou reálné teorie pro přechodnou

mezní vrstvu.

Turbulentní mezní vrstva je složitá,

podobný charakter jako u turbulentního

proudění trubkou. Neznáme analytické

řešení: na rozdíl od laminární MV

neznáme korektní vyjádření tw

lze užít někeré rovnice a teorie z toku trubkou

Mezní vrstva – přechod k turbulentnímu obtékání 20

Analogie k Moodyovu diagramu

e – drsnost plochy

Mezní vrstva – přechod k turbulentnímu obtékání 21

- deska

Mezní vrstva – přechod k turbulentnímu obtékání 22

Mezní vrstva – přechod k turbulentnímu obtékání 23

Odpor při obtékání 24

- závislost na tvaru tělesa

Re > 104

Odpor při obtékání 25

Odpor při obtékání 26

- závislost na tvaru tělesa (válec)

laminnární MV

(široký úplav)

turbulentní MV

(úzký turbulentní úplav)

nestabilní vírové pole

ustálené odtržení

Odpor při obtékání 27

- závislost na tvaru tělesa (válec)

• Nízké hodnoty Reynoldsova čísla (Re < 1),

setrvačné síly jsou relativně malé ve srovnání se

silami viskózními a tlakovými. V tomto režimu

toku je součinitel odporu nepřímo úměrný

Reynoldsovu číslu. Na příklad součinitel odporu

pro kouli je roven 24/Re.

Odpor při obtékání 28

- závislost na tvaru tělesa (válec)

nestabilní vírové pole

ustálené odtržení

• V přechodové oblasti proudění

(1<Re<103), tok se začíná

oddělovat a začínají vznikat

periodické formace ve formě

Karmánových vírů

turbulentní MV

(úzký turbulentní úplav)

Odpor při obtékání 29

- závislost na tvaru tělesa (válec)

laminnární MV

(široký úplav)

• Při vyšších hodnotách Reynoldsova kritéria (103 < Re < 105) je tok zcela

oddělen. Vzniká opačný gradient tlaku v zadní části válce, který způsobuje

prudký nárůst laminární mezní vrstvy a její odtržení.

• Při zvyšování hodnoty Reynoldsova kritéria laminární mezní vrstva přechází do

turbulentní, odtržení mezní vrstvy je zpožděné a výsledkem je prudký pokles

součinitele odporu.

Odpor při obtékání 30

- drsnost povrchu

• V některých sportech je dovoleno

snižovat součinitel odporu míčů

prostřednictvím drsnosti povrchu.

• Hodnota Reynoldsova kritéria (ne

pouze rychlostI) určuje, zda-li je

mezní vrstva laminární nebo

turbulentní. Tak čím je větší míč, tím

se snižuje rychlost při které hrubý

povrch pomůže snížit součinitel

odporu.

Kármánova vírová cesta 31

Kármánova vírová cesta 32

Vlastní frekvence

tuhost tělesa

hmotnost tělesa

Je nutné zajistit, aby nebyla stejná vlastní frekvence a frekvence odtrhávaných vírů.

Most Tacoma

Příklad