Protokol – „SADA DUM“ · Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list –...

transcript

Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro

vzdělávání na středních školách.

Stránka 1 z 1

Protokol – „SADA DUM“

Číslo sady DUM: VY_42_INOVACE_MA_2

Název sady DUM: Funkce a rovnice I.

Název a adresa školy: St řední pr ůmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Registra ční číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

Číslo a název šablony: IV/2 Inovace a zkvalitn ění výuky sm ěřující k rozvoji

matematické gramotnosti žák ů SŠ

Obor vzd ělávání: 26-41-M/01 Elektrotechnika, 23-41-M/01 Strojírenství

Tématická oblast ŠVP: Počítačové řídicí systémy – Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Výrobní a informační systémy - Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Předmět a ročník: Matematika, 1.-4. ro čník Autor: Mgr. Lucie Pošvá řová, Mgr. Vladimír Klikar

Použitá literatura: Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo; RNDr. BOČKOVÁ, Jana; RNDr. CHARVÁT, CSc., Jura. Matematika pro gymnázia Rovnice a nerovnice. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-001-2,

Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7,

RNDr. HRUBÝ, Dag; RNDr. KUBÁT, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4

Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4

Datum vytvo ření: leden – říjen 2013

Anotace Využití ve výuce

Sada obsahuje prezentace, pracovní listy, testy a

hru– funkční rozcvička.

Vysvětlení nového učiva i možné samostudium,

které je podpořeno názornými ukázkami na

obrázcích a příkladech. Seznámení s novými

pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené

látky na příkladech.

5.2.2014

VY_42_INOVACE_MA_2_01

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováLeden 2013

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Vlastnosti funkcí

Leden 2013

Klesající funkce

( ) ( )( ). klesá , rostoucím S

.pak , li-je

:platí , všechnapro když právě ,intervalu vklesající

nazývá se Funkce

. interval a funkce dána Je

xfxfxx

Rostoucí funkce( )

( ) ( )( ). roste , rostoucím S

.pak , li-je

:platí , všechnapro když právě ,intervalu vrostoucí

nazývá se Funkce

. interval a funkce dána Je

xfxfxx

5.2.2014

Prostá funkce( )

( ) ( ).pak , li-je

:platí, všechnapro když právě prostá, nazývá se Funkce

xfxfxx

≠≠∈

Sudá funkce

( ) ( )( ) ( ) ( ). je každé Pro 2.

takéje každé Pro 1.

:zároveň platí když právě sudá, nazývá se Funkce

xfxffDx

fDxfDx

=−∈∈−∈

Lichá funkce

( ) ( )( ) ( ) ( ). je každé Pro 2.

takéje každé Pro 1.

:zároveň platí když právě lichá, nazývá se Funkce

xfxffDx

fDxfDx

−=−∈∈−∈

Prameny a literatura

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910

VY_42_INOVACE_MA_2_02 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM

A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vlastnosti funkcí - Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Určete, které z níže uvedených grafů funkcí představují funkci prostou na celém

definičním oboru. a) b)

2. Určete, která z níže uvedených funkcí je klesající na intervalu ( )2;∞− a která je

rostoucí na intervalu ( )∞;2 . a) b)

3. Dokončete graf funkce tak, aby funkce byla: a. sudá b. lichá

Vlastnosti funkcí

- Pracovní list – řešení

1. a) prostá b) není prostá c) prostá d) prostá

2. a) klesající na intervalu ( )2;∞−

d) rostoucí na intervalu ( )∞;2

3. sudá lichá

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

Vlastnosti funkcí – test Skupina A Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 5;0∈x ,

pak jej doplňte pro )0;5−∈x tak, aby se jednalo o funkci sudou.

Vlastnosti funkcí – test Skupina B Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 0;5−∈x ,

pak jej doplňte pro ( 5;0∈x tak, aby se jednalo o funkci lichou.

8.2.2014

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Lineární funkce

Leden 2013

Lineární funkce je funkce daná předpisem:

baxy += ℜ∈ba,

-grafem lineární funkce je přímka , která je různoběžná s osou y

[ ]0;xPx [ ]yPy ;0 [ ]bPy ;0

- pro načrtnutí grafu nám tedy stačí určit dva body

- průsečíky s osami soustavy souřadnic:

- průsečík s osou y0=b přímá úm ěra axy =

Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic.

xyf =:1

Čím vetší je číslo , atím strmější je přímka.

8.2.2014

0=b přímá úm ěra axy =Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic.

xyf −=:1

−=−=

0≠b baxy +=Graf je rovnoběžný s grafem funkce y = ax a prochází na ose y bodem b.

−=−=+=+=

xyf 2: =

0=a Konstantní funkce by =Grafem je přímka rovnoběžná s osou x a procházející na ose y bodem b.

Lineární funkce - shrnutí

baxy +=ℜ∈ba, 0≠a

. - průsečík s osou y

0>a 0<a

- rostoucí - klesající

8.2.2014

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol

a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za

použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí daných předpisem: a. xyf =:1

b. 12:1 += xyg

32:2 −= xyg

2. Načrtněte graf funkce a určete obor hodnot: a. ( 1;323: −∈∧−−= xxyf

∞∈−

∞−∈−=

Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list – řešení

1.a 1.b 2.a 2.b

( ) )7;5−=fH ( ) )∞−= ;3gH

Lineární funkce – graf lineární funkce – Test Skupina A

1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy:

−−=+=xyf

2. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce 2: −= xyf , ℜ∈x .

Lineární funkce – graf lineární funkce – Test Skupina B

1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy:

+−=−=xyf

2. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce 2: +−= xyf , ℜ∈x .

Lineární funkce a rovnice – grafické řešení lineárních rovnic Lineární rovnice o jedné neznámé ℜ∈x je rovnice ve tvaru:

0=+ bax , kde ℜ∈ba, .

Taková rovnice může mít:

1. Jedno řešení ve tvaru a

bx −= pro 0≠a .

Jednotlivé strany rovnice můžeme chápat jako dvě funkce. Levou stranu jako lineární funkci baxy += . Protože 0≠a , jedná se o přímku různoběžnou s osou x . Pravá strana představuje konstantní funkci 0=y , jejímž grafem je osa x . Řešení rovnice je vlastně hledání společného bodu těchto dvou přímek, tedy průsečíku přímky

baxy += a osy x . Ukážeme si to na příkladu. Př. Řešte graficky rovnici pro ℜ∈x :

042 =+x 1. Načrtneme si tyto funkce: 42:1 += xyf a 0:2 =yf 2. Určíme jejich průsečík. 3. Množinu řešení zapíšeme jako { }2−=K

2. Nekonečně mnoho řešení, je-li 00 =∧= ba . Rovnice má tvar 00 = , obě strany představují tutéž přímku, osu x . Mají tak přímku společných bodů, osu x . Množinu řešení zapíšeme jako ( )∞∞−= ;K .

3. Prázdnou množinu řešení. (Rovnice nemá řešení.) Tento případ nastane, pokud je 00 ≠∧= ba . Dostaneme tak například rovnici 06 =− . První funkce má předpis

6−=y . Je to přímka rovnoběžná s osou x . Nemají tedy žádný společný bod.

Výsledek zapíšeme jako { }=K nebo jako K=Ø.

Pozn. Rovnice nemusí být v základním tvaru. Může být například zadaná takto: 2314 −=− xx

Potom načrtneme dvě přímky: 14:1 −= xyf a 23:2 −= xyf . Řešením je opět jejich

průsečík, { }1−=K .

Lineární funkce a rovnice – grafické řešení soustav lineárních rovnic Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Pokud řešíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, nejprve si z každé rovnice vyjádříme y v závislosti na x . Potom můžeme každou rovnici chápat jako lineární funkci, jejímž grafem je přímka. Hledání řešení soustavy je tak vlastně určení průsečíku těchto přímek. Mohou nastat tři případy, které si popíšeme na příkladech:

1. Přímky budou různoběžné a soustava bude mít jedno řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :

=−=++

Nejprve z každé rovnice vyjádříme y :

=−−= 32

Načrtneme grafy příslušných funkcí a určíme souřadnice průsečíku. Výsledek zapíšeme jako [ ]{ }1;1−−=K .

2. Pokud budou přímky rovnoběžné různé, nebudou mít žádný společný bod a soustava nebude mít řešení. Výsledek zapíšeme jako { }=K nebo jako K=Ø. Tento případ můžeme demonstrovat na následujícím příkladu:

Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :

Pokud vyjádříme y , dostaneme funkce:

−=−−=

3. Pokud budou přímky rovnoběžné totožné, bude mít soustava jednoparametrické řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :

=++=++

Vyjádříme-li y , dostaneme funkce:

−−=−−=

Je tedy patrné, že obě rovnice představují tutéž přímku. Můžeme si ji načrtnout.

Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení, protože tyto dvě přímky mají nekonečně mnoho společných bodů. Ale ne ledajakých bodů. Tyto body leží na přímce dané předpisem 32 −−= xy . Souřadnice těchto bodů jsou tak na sobě závislé. Tuto závislost vyjádříme pomocí parametru a tím dostaneme již zmíněné jednoparametrické řešení. Za x zvolíme parametr, například t . Druhou souřadnici všech bodů, které jsou řešením soustavy vypočítáme jako 32 −− t . Řešení zapíšeme jako [ ]{ }32; −−= ttK ,

ℜ∈t .

5.2.2014

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kvadratická funkce

Posuny na grafech

Leden 2013

23xy =•každou funkční hodnotu funkce y=x2 vynásobíme 3

030 =⋅�co bylo v nule, zůstane v nule

331 =⋅�co bylo v 1, přejde do 3

933 =⋅�co bylo ve 3, přejde do 9

52 −= xy•každou funkční hodnotu funkce y=x2 posuneme o 5 dolu ve směru osy y

5.2.2014

( )25−= xy•dané funkční hodnoty funkce y=x2 budeme dostávat pro x o 5 větší než původní

•graf y=x2 se nám tak posune o 5 doprava po ose x („proti znaménku“)

Kvadratická funkce – posuny na grafech - Pracovní list, záznamový arch

Vycházíme ze základního grafu kvadratické funkce 2: xyf = . Načrtněte následující funkce:

2xy −= 222

1;4;2 xyxyxy ===

12 += xy 32 −= xy

( )22+= xy ( )24−= xy

( ) 23 2 −+= xy

( ) 315

1 2 +−−= xy

Kvadratická funkce – posuny na grafech - Výsledky

Funkce absolutní hodnota

Leden 2013

Nejprve si připomeneme definici absolutní hodnoty.

Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo,pro které platí:

aaa =≥ pak ,0 li-je

aaa −=< pak ,0 li-je

Funkce absolutní hodnota

- je dána předpisem

Graf se bude skládat ze dvou částí:

) xyx =∞∈ funkce bude to;0 pro

y=x y=-x

)( xyx −=∞−∈ funkce bude to0; pro

Graf funkce absolutní hodnota

Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí:

xyf 2:1 =

22:2 += xyf

42:3 −= xyf

2. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: xyg =:1

xyg −=:2

2:3 −= xyg

3. Řešte graficky rovnici pro ℜ∈x : 332 −+=+− xx

Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list – řešení

3. Každá strana rovnice nám představuje jednu funkci:

2: +−= xyf

33: −+= xyg

{ }1;4−=K

Funkce s absolutními hodnotami – Test

Skupina A

1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.1): 5:1 −= xyf

7:2 −= xyf

85:3 −+= xyf

2. Dokreslete do grafu k dané funkci ( )xf (Obr.2) funkci ( )xf :

Obr.1 Obr.2

3. Řešením rovnice 64 +−=+ xx je:

a. { }5;1=K

b. { }1;5−=K

c. { }5;1;5−=K

d. 1;5−=K

Skupina B

1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.1): 5:1 += xyf

2:2 += xyf

85:3 −−= xyf

2. Dokreslete do grafu k dané funkci ( )xf (Obr.2) funkci ( )xf :

Obr.1 Obr.2

3. Řešením rovnice 64 +−=− xx je:

a. 6;6−=K

b. { }5;1=K

c. { }5;1−=K

d. { }5;1;1−=K

5.2.2014

Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováÚnor 2013

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Funkční rozcvička

Než začneme cvičit…

• postavte se, prosím• udělejte si kolem sebe místo na rozpažení

• vaše tělo představuje osu y• vaše paže jsou grafem funkce• panáček k vám stojí zády

Naznačte pažemi rostoucí funkci.

5.2.2014

Naznačte pažemi klesající funkci. Naznačte pažemi konstantní funkci.

Naznačte pažemi tyto funkce:

xy ⋅= 2

5.2.2014

xy −=

2−=y

5.2.2014

xy −=

2−= xy

5.2.2014

2xy −=

12 += xy

( )21+= xy

Dodělejte funkci, aby byla sudá:

5.2.2014

Dodělejte funkci, aby byla lichá: Naznačte pažemi ve trojicích tyto funkce:

tgxy =)π2;0∈x

Naznačte pažemi ve dvojicích tyto funkce:

gxy cot=( )π2;0∈x

xy sin=ππ ;−∈x

5.2.2014

3xy −=

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Mocninné funkce

Únor 2013

Mocninné funkce s přirozeným exponentem

• n liché

nxy =Nn ∈

xyf =:3: xyg =5: xyh =

Mocninné funkce s přirozeným exponentem

• n sudé

nxy =Nn ∈

2: xyf =4: xyg =6: xyh =

Mocninné funkce s celým exponentem

• specifický případ• nemůžeme na nultou

umocnit nulu• definiční obor jsou

všechna reálná čísla, kromě nuly

nxy =0=n

0: xyf =( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD

• -n liché• můžeme také psát jako:

nxy =−∈ Zn

1: −= xyf 3: −= xyg 5: −= xyh

nxy −= 1

( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD

• -n sudé• můžeme také psát jako:

nxy =−∈ Zn

2: −= xyf 4: −= xyg 6: −= xyh

nxy −= 1

( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD

Přehlednxy =

2−= xy

3−= xy

Mocninné funkce

Změny na grafech

1: −= xyf můžeme také psát:

( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fDkaždou funkční hodnotuvynásobíme 0,5

1: 7 += −xyf můžeme také psát: 11

( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD

posune se o 1 nahoru

( ) 21: −+= xyf můžeme také psát:

( ) ( ) ( )∞−∪−∞−= ;11;fD

posune se o 1 doleva

5: xyf = ( ) ( )∞∞−= ;fD

záporné funkční hodnoty se stanou kladnými

Pro zajímavost

4)2(3: 6 +−−= xyf

( ) ( )∞∞−= ;fD

VY_42_INOVACE_MA_2_16 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

Mocninné funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Načrtněte grafy daných funkcí:

2−−= xy 222

1;4;2 −−− === xyxyxy

12 += −xy 32 −= −xy

( ) 22 −+= xy ( ) 24 −−= xy

( ) 23 2 −+= −xy

2. Pomocí grafu vhodné mocninné funkce porovnejte následující čísla:

a. ( ) 32 −−=A 32−=B

b. ( )79,0−=A

( )78,0=B

Mocninné funkce – Pracovní list – řešení

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kvadratické nerovnice

Únor 2014

Kvadratickou nerovnicí o jedné neznámé je každá nerovnice,

kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů:

02 ≤++ cxbxa

02 <++ cxbxa

02 ≥++ cxbxa

02 >++ cxbxa

Řešení kvadratické nerovnice

0652 ≤+− xx

0652 =+− xx( )( ) 032 =−− xx

21 =x 32 =x

3;2∈x

nejprve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici

kořeny této rovnice jsou průsečíkypříslušné funkce s osou x

kvadratická funkce y=x2-5x+6 je konvexní,

protože koeficient u kvadratického členu je kladný

zjistíme, kdy jsou funkční hodnoty záporné nebo rovny nule- když parabola protíná osu x nebo je pod osou x

- to je pro

Další příklady na procvičení

≥−−

≥++<−+−

01072 >++ xx

01072 =++ xx

( )( ) 052 =++ xx

21 −=x

52 −=x

( ) ( )∞−∪−∞−∈ ;25;x

025102 <−+− xx

025102 =−+− xx

( ) 05 2 =−x

521 == xx

( ) ( )∞∪∞−∈ ;55;x

025102 =+− xx

Další možnosti

025102 ≤−+− xx

ℜ∈x

Další možnosti

025102 >−+− xx

Další možnosti

025102 ≥−+− xx

{ }5∈x

0542 ≥++ xx

ℜ∈x

0542 =++ xx

cabD 42 −=420165416 −=−=⋅−=D

kvadratická rovnice nemá řešení

-příslušná kvadratická funkcenemá průsečíky s osou x

- protože koeficient u kvadratického členu je kladný, kvadratická funkce y=x2+4x+5 je konvexní

- parabola bude celá nad osou x

0542 >++ xx

ℜ∈x

Další možnosti

0542 <++ xx

Další možnosti

∈x Ø

0542 ≤++ xx

Další možnosti

∈x Ø

042 ≥−− x

042 =−− x ( )1/ −⋅

042 =+x

42 −=xkvadratická rovnice nemá řešení

- příslušná kvadratická funkcenemá průsečíky s osou x

- protože koeficient u kvadratického členu je záporný,kvadratická funkce y= - x2 - 4 je konkávní

- parabola bude celá pod osou x

∈x Ø

VY_42_INOVACE_MA_2_18 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

Inverzní funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch

U následujících grafů funkcí určete definiční obor ( )fD , obor hodnot ( )fH , načrtněte

k funkci f inverzní fukci 1−f (pokud existuje) a napište její definiční obor ( )1−fD , obor

hodnot ( )1−fH . a)

Inverzní funkce – Pracovní list – řešení

funkce není prostá, neexistuje k ní inverzní funkce

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=

∞∞−=

∞∞−=∞∞−=

( ) ( )( ) )∞=

∞∞−=;0

( ) )( ) )( ) )( ) )∞=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=

∞−=

∞−=∞∞−=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=

∞=∞∞−=

( ) (( ) )( ) )( ) ( 3;

∞−=

5.2.2014

Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováBřezen 2013

Logaritmy

Intelektuální čísla

Březen 2013

Od námořní dopravy k logaritmům

� Tycho de Brahe (1546 – 1601)

� dánský astronom

� kreslil nejpřesnější mapy v 16. stol.

Logaritmické pravítko

5.2.2014

Logaritmické tabulky

� Stránka s logaritmickými tabulkami pocházející z díla

„Mirifici logarithmorum canonis constructio“ Johna Napiera

� Napierovy tabulky byly prvními logaritmickými tabulkami

� s nadšením přijaty námořníky a astronomy

Logaritmické tabulky

� nutnost v mnoha vědních oborech

� nejlepší tabulky sestavil anglický matematikMichael Taylor

� (1756 – 1789)� obsahují logaritmy

101000 přirozených čísel

Ještě že máme... Johannes Kepler

� svým dílem přispěl k rozšíření pojmu logaritmus

v Německu

5.2.2014

Logaritmická spirála

� Vzniká pohybem daného bodu konstantní úhlovou rychlostí kolem jiného bodu a zároveň se exponenciálně zvětšuje poloměr otáčení

Určování síly zemětřesení Intenzita zvuku

5.2.2014

Definice logaritmu

lnz =lognz l =

0>z1≠z

logaritmus n o základu z

Hodnoty logaritmu

=zzlog

=1log z 0=a

z zlog

lnz =log nz l =nápověda:

Dekadický logaritmus

lnn == 10loglog

nl =100>n

Přirozený logaritmus

lnn e == logln

…28718,2=e

ne l =Eulerovo číslo

5.2.2014

nn =log10

ne n =ln

Vlastnosti logaritmů

( ) baba zzz logloglog +=⋅Tento obrázek nyní nelze zobrazit.

azzz logloglog −=

ana zn

z loglog ⋅=

Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0821-2 (č.9)

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Exponenciální funkce

Graf a vlastnosti

Březen 2013

Exponenciální funkce o základu a

xayf =:

0>a1≠a

( ) ( )∞∞−= ;fD

Exponenciální funkce o základu axay =( )1;0∈a

Exponenciální funkce o základu axay =( )∞∈ ;1a

( )xyf 3: =

Exponenciální funkce o základu 10

xy 10=

Exponenciální funkce o základu e

…28718,2=e

Eulerovo číslo

xay =( )1;0∈a ( )∞∈ ;1a( ) ( )∞∞−= ;fD

( ) ( )∞= ;0fH

Je rostoucína celém definičním oboru.

Je klesajícína celém definičním oboru. Je prostá.

( ) 10 =f

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Logaritmická funkce

Graf a vlastnosti

Březen 2013

Logaritmická funkce o základu a

xyf alog:1 =−

0>a1≠a

( ) ( ) ( )∞∞−==− ;1 fHfD

je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu

xayf =:

Logaritmická funkce o základu axy alog=

( )1;0∈ax

41 log: =−

Logaritmická funkce o základu axy alog=

( )∞∈ ;1a

xyf 2: =

xyf 21 log: =−

Logaritmická funkce o základu 10

xy 10log=

xy log=

Dekadický logaritmus

Logaritmická funkce o základu e

xy ln=

…28718,2=e

Eulerovo číslo

xy elog=

Přirozený logaritmus

xy alog=

( )1;0∈a ( )∞∈ ;1a( ) ( )∞= ;0fD

( ) ( )∞∞−= ;fH

Je rostoucína celém definičním oboru.

Je klesajícína celém definičním oboru. Je prostá.

( ) 01 =f

Exponenciální funkce – využití grafu v úlohách - Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí:

2. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a. 8,0

b. 8,3

3. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

4. Rozhodněte, jaký je základ a exponenciální funkce xay = , pokud platí:

a. 35 −− < aa

Exponenciální funkce – využití grafu v úlohách - Řešení

1. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí:

2. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a. 8,0

b. 8,3

3. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

4. Rozhodněte, jaký je základ a exponenciální funkce xay = , pokud platí:

a. 35 −− < aa S rostoucím x …… 35 −<− , roste y ……( 35 −− < aa ).

Funkce xay = je rostoucí, 1>a .

S rostoucím x ……3

klesá y ……( 3

aa > ).

Funkce xay = je klesající, ( );10∈a .

Logaritmická funkce – využití grafu v úlohách - Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí:

a. 02log 3,0 <

b. 02log 3,0 >

2. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a. 6log

b. 6log

3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

a. nm8

5 loglog >

b. nm5

8 loglog >

4. Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce xy alog= , pokud platí:

a. 5log3log aa <

5log aa >

Logaritmická funkce – využití grafu v úlohách - Řešení

1. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí:

02log 3,0 <

2. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a. 6log

b. 6log

3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

a. nm8

5 loglog >

b. nm5

8 loglog >

4. Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce xy alog= , pokud platí:

a. 5log3log aa < S rostoucím x …… 53 < , roste y ……( 5log3log aa < ).

Funkce xy alog= je rostoucí, 1>a .

5log aa >

S rostoucím x ……3

klesá y ……(3

5log aa > ).

Funkce xy alog= je klesající, ( );10∈a .

5.2.2014

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Exponenciální rovnice

Březen 2013

Řešte v R exponenciální rovnici:

233 =x

{ }2=K

Graficky: Početně:

Protože exponenciální funkce

je prostá!

Řešte v R exponenciální rovnici:16

( ) 4153 22 =−+x

{ }3−=K

453 22 =−− x

453 =−− x

93 =− x

3−=x

5.2.2014

Řešte v R exponenciální rovnici: 065,025,0 =−+ xx

1 =−

{ }1−=KSubstituce:

062 =−+ yy

( ) ( ) 023 =−⋅+ yy

31 −=y 22 =y

NEVYHOVUJE

1−=x

Řešte v R exponenciální rovnici: 065,025,0 =−+ xx

{ }1−=K

Graficky:

5.2.2014

Logaritmické a exponenciální rovnice

Březen 2013

Řešte v R logaritmickou rovnici: ( ) ( )xx 5log14log 32

3 −=−

xx 5142 −=−

71 −=x

{ }7−=K

Protože logaritmická funkce je prostá:

01452 =−+ xx

( ) ( ) 027 =−⋅+ xx

0142 >−x 05 >− x

( ) ( ) 01414 >−⋅+ xx 0<x

Podmínky:

( ) ( )∞∪−∞−∈ ;1414;x

( )0;∞−∈x

průnik

( )14;−∞−∈x

NEVYHOVUJE

Řešte v R exponenciální rovnici: 06loglog2 =−+ xx

{ }2=K

Substituce: yx =log

062 =−+ yy

( ) ( ) 023 =−⋅+ yy

31 −=y

NEVYHOVUJE

Podmínky: 0>x

5.2.2014

Řešte v R exponenciální rovnici:17

=+x( ) 172153 =−+x

17log2log 53 =−− x

( ) 17log2log53 =−− x

•číslo 17 nelze napsat jako mocninu dvou

•celou rovnici zlogaritmujeme

17log53 =+− x

17log3 −=− x

2log517log3

−=− x

17log2log 5

⋅−=x

32log17

8log17

Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováČerven 2013

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Jednotková kružnice

Červen 2013

Jednotková kružnice je kružnice o poloměru jedna.

( )1; =rSk

délka jednotkové kružnice je: ro ⋅⋅= π2π⋅= 2o

délka kružnicového oblouku AB je:

=⋅360

2 π180

stupňová míra – velikost úhlu – ve stupních- stupně – minuty – vteřiny

0360061 ′′=′=�

oblouková míra – velikost úhlu – v radiánech

rad1Radián je středový úhel, který na jednotkové kružnici přísluší oblouku o délce 1.

nemusí se psát

Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti.

π2 π

π π2

Příklad: Doplňte tabulku.

�0 �30 �45 �60 �90 �180 �270 �360

π π π2

Orientovaný úhel

- uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem

- víme, které rameno je počáteční a které koncové

Základní velikost orientovaného úhluje velikost toho z úhlů,který opíše polopřímka VA při otočení kolem vrcholu Vz počátečního ramene VA do koncového ramene VBv kladném smyslu

má základní velikost .Nulový orientovaný úhel rad00 =�

- pro základní velikost orientovaného úhlu platí:

πα 20 <≤�� 3600 <≤ α

Velikost orientovaného úhlu

je každé číslo , , kde je základní velikost.πα 2⋅+ k αZk ∈�360⋅+ kα

Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti.

π3−

Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4

5.2.2014

Funkce sinus a kosinus na jednotkové kružnici

Červen 2013

- soustava souřadnic, jednotková kružnice

- pravoúhlý trojúhelník ABC:

( ) [ ]0;0,1; SrSk =[ ] xCkBA ∈∈ ,,0;0

[ ]abB ;

a=αsin

b=αcos

[ ]αα sin;cosB

- rozšíříme definici funkcí sinus a kosinus pro R na 2

;0 ∈

∈ απα

[ ]LL yxL ;

[ ]xxL sin;cos

5.2.2014

;0π ππ

3; ππ 2;

Roste nebo klesá?

roste klesá rosteklesá

klesá klesá roste roste

ππ 2;2

Kladné nebo záporné?

+ - - +

Periodické

( ) xkx sin2sin =⋅+ π

( ) xkx cos2cos =⋅+ πPerioda je π2

α 0 2

π π π2

Doplň hodnoty!

Sudá nebo lichá?

( ) xx sinsin −=−

( ) xx coscos =−

lichá

5.2.2014

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Graf funkce sinus

Červen 2013

xy sin=

SINUSOIDA

( ) RfD =

( ) 1;1−=fH

xy sin5=Načrtněte graf funkce

xay sin=

mění obor hodnot

( ) aafH ;−=

( ) 5;5−=fH

amplituda

5.2.2014

Načrtněte graf funkce

xy sin2

1−=fH

xy sin=Načrtněte graf funkce

( ) 1;0=fH

dvoucestně usměrněný signál

xy 2sin=Načrtněte graf funkce

bxy sin=

mění periodu

do původního grafu se vejde b změněných

5.2.2014

posouvá graf ve směru osy x„proti“ znaménku

fázový posun

( )cxy += sin

3sin += xy

dxy += sin

posouvá graf po ose y„po“ znaménku

stejnosměrná složka

1sin −= xy

stejnosměrná složka

5.2.2014

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Graf funkce kosinus

Červen 2013

xy cos=KOSINUSOIDA

( ) RfD =

( ) 1;1−=fH

- posuny na grafu jsou stejnéjako u funkce sinus

xy cos=

xy sin=

xy cos=

xy sin=)

2(sincos

π+= xx

5.2.2014

Funkcetangens a kotangensna jednotkové kružnici

Červen 2013

- soustava souřadnic, jednotková kružnice ( ) [ ]0;0,1; SrSk =xy tg=

5.2.2014

- soustava souřadnic, jednotková kružnice ( ) [ ]0;0,1; SrSk =xy cotg=

αcotg

;0π ππ

3; ππ 2;

Roste nebo klesá?

roste roste rosteroste

klesá klesá klesá klesá

αcotg

ππ 2;2

Kladné nebo záporné?

+ - + -

Periodické

( ) tgxkxtg =⋅+ π

( ) xkx cotgcotg =⋅+ π Perioda je π

αcotg

α 0 2

π π π2

Doplň hodnoty!

5.2.2014

Sudá nebo lichá?

( ) tgxxtg −=−

( ) xx cotgcotg −=−

lichá

5.2.2014

Graf funkcetangens a kotangens

Červen 2013

0cos ≠x( )

π+≠ kx

Zk ∈

πliché násobky

coscotg =

0sin ≠x

π⋅≠ kx

celé násobky π

Zk ∈

5.2.2014

coscotg =

1cotg =

1cotgtg =⋅ xx

xy tg=

12π+≠ kx

liché násobky

xy cotg=

π⋅≠ kx

celé násobky π

Vytvořil: Mgr. Vladimír KlikarSrpen 2013

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Goniometrické rovnice

Červen 2013

Řešte v R goniometrickou rovnici: 5,0sin −=x

5,0sin =x

ππkx 2

60 +=Graficky:

Početně:

v I. kv.

ve III. kv. 01 xx += π

πππ kx 261 ++=

ππ kx 26

ve IV. kv. 02 2 xx −= π

πππ kx 26

22 +−=

ππ kx 26

112 += ∪

kkK∈

++= ππππ 2

5,0sin −=x

Řešte v R goniometrickou rovnici: ( ) 13sin2 −=+ πx

yx =+ π3substituce: 1sin2 −=y

1sin −=y

podle předchozího příkladu:

ππ ky 26

71 += ππ ky 2

112 +=

πππ kx 26

73 1 +=+

πππ kx 26

73 1 +−=

ππkx 2

63 1 +=

ππkx

181 +=

πππ kx 26

113 2 +=+

πππ kx 26

113 2 +−=

ππ kx 26

53 2 +=

ππ kx3

kkK∈

++= ππππ

Řešte v R goniometrickou rovnici: 03cos7cos2 2 =+− xx

ux =cossubstituce:

0372 2 =+− uu

252449 =−=D

nevyhovuje

1cos =x

571 =+=u

572 =−=u

Proč?

Řešení

5,0cos =x

v I. kv. ππkx 2

ve IV. kv. 12 2 xx −= π

πππ kx 23

22 +−=

ππ kx 23

5,0cos =x

kkK∈

++= ππππ

Protokol – „SADA DUM“ · Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list –...

Documents