Protokol – „SADA DUM“ · Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list –...

Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro

vzdělávání na středních školách.

Stránka 1 z 1

Protokol – „SADA DUM“

Číslo sady DUM: VY_42_INOVACE_MA_2

Název sady DUM: Funkce a rovnice I.

Název a adresa školy: St řední pr ůmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Registra ční číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

Číslo a název šablony: IV/2 Inovace a zkvalitn ění výuky sm ěřující k rozvoji

matematické gramotnosti žák ů SŠ

Obor vzd ělávání: 26-41-M/01 Elektrotechnika, 23-41-M/01 Strojírenství

Tématická oblast ŠVP: Počítačové řídicí systémy – Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Výrobní a informační systémy - Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Předmět a ročník: Matematika, 1.-4. ro čník Autor: Mgr. Lucie Pošvá řová, Mgr. Vladimír Klikar

Použitá literatura: Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo; RNDr. BOČKOVÁ, Jana; RNDr. CHARVÁT, CSc., Jura. Matematika pro gymnázia Rovnice a nerovnice. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-001-2,

Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7,

RNDr. HRUBÝ, Dag; RNDr. KUBÁT, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4

Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4

Datum vytvo ření: leden – říjen 2013

Anotace Využití ve výuce

Sada obsahuje prezentace, pracovní listy, testy a

hru– funkční rozcvička.

Vysvětlení nového učiva i možné samostudium,

které je podpořeno názornými ukázkami na

obrázcích a příkladech. Seznámení s novými

pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené

látky na příkladech.

5.2.2014

1

VY_42_INOVACE_MA_2_01

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováLeden 2013

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Vlastnosti funkcí


Leden 2013

Klesající funkce

( )

( ) ( )( ). klesá , rostoucím S

.pak , li-je

:platí , všechnapro když právě ,intervalu vklesající

nazývá se Funkce

. interval a funkce dána Je

2121

21

xfx

xfxfxx

JxxJ

f

fDJf

><∈

⊆

Rostoucí funkce( )

( ) ( )( ). roste , rostoucím S

.pak , li-je

:platí , všechnapro když právě ,intervalu vrostoucí

nazývá se Funkce

. interval a funkce dána Je

2121

21

xfx

xfxfxx

JxxJ

f

fDJf

<<∈

⊆

5.2.2014

2

Prostá funkce( )

( ) ( ).pak , li-je

:platí, všechnapro když právě prostá, nazývá se Funkce

2121

21

xfxfxx

fDxxf

≠≠∈

ANO

NE

!

Sudá funkce

( ) ( )( ) ( ) ( ). je každé Pro 2.

takéje každé Pro 1.

:zároveň platí když právě sudá, nazývá se Funkce

xfxffDx

fDxfDx

f

=−∈∈−∈

Lichá funkce

( ) ( )( ) ( ) ( ). je každé Pro 2.

takéje každé Pro 1.

:zároveň platí když právě lichá, nazývá se Funkce

xfxffDx

fDxfDx

f

−=−∈∈−∈

Prameny a literatura

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7


1

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910

VY_42_INOVACE_MA_2_02 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM

A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY


2

Vlastnosti funkcí - Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Určete, které z níže uvedených grafů funkcí představují funkci prostou na celém

definičním oboru. a) b)

c) d)


3

2. Určete, která z níže uvedených funkcí je klesající na intervalu ( )2;∞− a která je

rostoucí na intervalu ( )∞;2 . a) b)

c) d)

3. Dokončete graf funkce tak, aby funkce byla: a. sudá b. lichá


4

Vlastnosti funkcí

- Pracovní list – řešení

1. a) prostá b) není prostá c) prostá d) prostá

2. a) klesající na intervalu ( )2;∞−

d) rostoucí na intervalu ( )∞;2

3. sudá lichá


5

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).


1






2

Vlastnosti funkcí – test Skupina A Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 5;0∈x ,

pak jej doplňte pro )0;5−∈x tak, aby se jednalo o funkci sudou.


3

Vlastnosti funkcí – test Skupina B Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 0;5−∈x ,

pak jej doplňte pro ( 5;0∈x tak, aby se jednalo o funkci lichou.


4


8.2.2014

1




V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Lineární funkce


Leden 2013

Lineární funkce je funkce daná předpisem:

baxy += ℜ∈ba,

0≠a

.

-grafem lineární funkce je přímka , která je různoběžná s osou y

[ ]0;xPx [ ]yPy ;0 [ ]bPy ;0

- pro načrtnutí grafu nám tedy stačí určit dva body

- průsečíky s osami soustavy souřadnic:

?

- průsečík s osou y0=b přímá úm ěra axy =

Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic.

xyf =:1

xyf

xyf

xyf

2

1:

5:

2:

4

3

2

=

==

Čím vetší je číslo , atím strmější je přímka.

8.2.2014

2

0=b přímá úm ěra axy =Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic.

xyf −=:1

xyf

xyf

xyf

2

1:

5:

2:

4

3

2

−=

−=−=

0≠b baxy +=Graf je rovnoběžný s grafem funkce y = ax a prochází na ose y bodem b.

42:

12:

62:

82:

4

3

2

1

−=−=+=+=

xyf

xyf

xyf

xyf

xyf 2: =

f

0=a Konstantní funkce by =Grafem je přímka rovnoběžná s osou x a procházející na ose y bodem b.

0:

7:

5:

3

2

1

=−=

=

yf

yf

yf

osa x

Lineární funkce - shrnutí

baxy +=ℜ∈ba, 0≠a

. - průsečík s osou y

0>a 0<a

- rostoucí - klesající

8.2.2014

3


Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol

a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za

použití programu Funkce 2.01 (Freeware).



1






2

Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí daných předpisem: a. xyf =:1

xyf

xyf

2

1:

3:

3

2

−=

=

b. 12:1 += xyg

32:2 −= xyg


3

2. Načrtněte graf funkce a určete obor hodnot: a. ( 1;323: −∈∧−−= xxyf

b. (

)(

∞∈−

∞−∈−=

;0,32

1

0;,3:

xx

xyg


4

Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list – řešení

1.a 1.b 2.a 2.b

( ) )7;5−=fH ( ) )∞−= ;3gH


5



1






2

Lineární funkce – graf lineární funkce – Test Skupina A

1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy:

53:

53:

2

1

−−=+=xyf

xyf

2. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce 2: −= xyf , ℜ∈x .


3

Lineární funkce – graf lineární funkce – Test Skupina B

1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy:

53:

53:

2

1

+−=−=xyf

xyf

2. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce 2: +−= xyf , ℜ∈x .


4



1






2

Lineární funkce a rovnice – grafické řešení lineárních rovnic Lineární rovnice o jedné neznámé ℜ∈x je rovnice ve tvaru:

0=+ bax , kde ℜ∈ba, .

Taková rovnice může mít:

1. Jedno řešení ve tvaru a

bx −= pro 0≠a .

Jednotlivé strany rovnice můžeme chápat jako dvě funkce. Levou stranu jako lineární funkci baxy += . Protože 0≠a , jedná se o přímku různoběžnou s osou x . Pravá strana představuje konstantní funkci 0=y , jejímž grafem je osa x . Řešení rovnice je vlastně hledání společného bodu těchto dvou přímek, tedy průsečíku přímky

baxy += a osy x . Ukážeme si to na příkladu. Př. Řešte graficky rovnici pro ℜ∈x :

042 =+x 1. Načrtneme si tyto funkce: 42:1 += xyf a 0:2 =yf 2. Určíme jejich průsečík. 3. Množinu řešení zapíšeme jako { }2−=K

2. Nekonečně mnoho řešení, je-li 00 =∧= ba . Rovnice má tvar 00 = , obě strany představují tutéž přímku, osu x . Mají tak přímku společných bodů, osu x . Množinu řešení zapíšeme jako ( )∞∞−= ;K .


3

3. Prázdnou množinu řešení. (Rovnice nemá řešení.) Tento případ nastane, pokud je 00 ≠∧= ba . Dostaneme tak například rovnici 06 =− . První funkce má předpis

6−=y . Je to přímka rovnoběžná s osou x . Nemají tedy žádný společný bod.

Výsledek zapíšeme jako { }=K nebo jako K=Ø.


4

Pozn. Rovnice nemusí být v základním tvaru. Může být například zadaná takto: 2314 −=− xx

Potom načrtneme dvě přímky: 14:1 −= xyf a 23:2 −= xyf . Řešením je opět jejich

průsečík, { }1−=K .


5



1






2

Lineární funkce a rovnice – grafické řešení soustav lineárních rovnic Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Pokud řešíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, nejprve si z každé rovnice vyjádříme y v závislosti na x . Potom můžeme každou rovnici chápat jako lineární funkci, jejímž grafem je přímka. Hledání řešení soustavy je tak vlastně určení průsečíku těchto přímek. Mohou nastat tři případy, které si popíšeme na příkladech:

1. Přímky budou různoběžné a soustava bude mít jedno řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :

0

0624

=−=++

yx

yx

Nejprve z každé rovnice vyjádříme y :

xy

xy

=−−= 32

Načrtneme grafy příslušných funkcí a určíme souřadnice průsečíku. Výsledek zapíšeme jako [ ]{ }1;1−−=K .


3

2. Pokud budou přímky rovnoběžné různé, nebudou mít žádný společný bod a soustava nebude mít řešení. Výsledek zapíšeme jako { }=K nebo jako K=Ø. Tento případ můžeme demonstrovat na následujícím příkladu:

Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :

02

0624

=+=++

yx

yx

Pokud vyjádříme y , dostaneme funkce:

xy

xy

2

32

−=−−=

3. Pokud budou přímky rovnoběžné totožné, bude mít soustava jednoparametrické řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :

032

0624

=++=++

yx

yx

Vyjádříme-li y , dostaneme funkce:

32

32

−−=−−=

xy

xy

Je tedy patrné, že obě rovnice představují tutéž přímku. Můžeme si ji načrtnout.


4

Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení, protože tyto dvě přímky mají nekonečně mnoho společných bodů. Ale ne ledajakých bodů. Tyto body leží na přímce dané předpisem 32 −−= xy . Souřadnice těchto bodů jsou tak na sobě závislé. Tuto závislost vyjádříme pomocí parametru a tím dostaneme již zmíněné jednoparametrické řešení. Za x zvolíme parametr, například t . Druhou souřadnici všech bodů, které jsou řešením soustavy vypočítáme jako 32 −− t . Řešení zapíšeme jako [ ]{ }32; −−= ttK ,

ℜ∈t .


5


5.2.2014

1


AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY


V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kvadratická funkce


Posuny na grafech

Leden 2013

23xy =•každou funkční hodnotu funkce y=x2 vynásobíme 3

030 =⋅�co bylo v nule, zůstane v nule

331 =⋅�co bylo v 1, přejde do 3

933 =⋅�co bylo ve 3, přejde do 9

52 −= xy•každou funkční hodnotu funkce y=x2 posuneme o 5 dolu ve směru osy y

5.2.2014

2

( )25−= xy•dané funkční hodnoty funkce y=x2 budeme dostávat pro x o 5 větší než původní

•graf y=x2 se nám tak posune o 5 doprava po ose x („proti znaménku“)






1






2

Kvadratická funkce – posuny na grafech - Pracovní list, záznamový arch

Vycházíme ze základního grafu kvadratické funkce 2: xyf = . Načrtněte následující funkce:

2xy −= 222

4

1;4;2 xyxyxy ===

12 += xy 32 −= xy


3

( )22+= xy ( )24−= xy

( ) 23 2 −+= xy


4

( ) 315

1 2 +−−= xy


5

Kvadratická funkce – posuny na grafech - Výsledky


6


7


1





Funkce absolutní hodnota


Leden 2013

Nejprve si připomeneme definici absolutní hodnoty.

Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo,pro které platí:

aaa =≥ pak ,0 li-je

aaa −=< pak ,0 li-je

Funkce absolutní hodnota

- je dána předpisem

xy =

2

Graf se bude skládat ze dvou částí:

) xyx =∞∈ funkce bude to;0 pro

y=x y=-x

)( xyx −=∞−∈ funkce bude to0; pro

Graf funkce absolutní hodnota






1






2

Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí:

xyf 2:1 =

22:2 += xyf

42:3 −= xyf


3

2. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: xyg =:1

xyg −=:2

2:3 −= xyg


4

3. Řešte graficky rovnici pro ℜ∈x : 332 −+=+− xx


5

Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list – řešení

1. 2.

3. Každá strana rovnice nám představuje jednu funkci:

2: +−= xyf

33: −+= xyg

gf =

{ }1;4−=K


6



1






2

Funkce s absolutními hodnotami – Test

Skupina A

1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.1): 5:1 −= xyf

7:2 −= xyf

85:3 −+= xyf

2. Dokreslete do grafu k dané funkci ( )xf (Obr.2) funkci ( )xf :

Obr.1 Obr.2

3. Řešením rovnice 64 +−=+ xx je:

a. { }5;1=K

b. { }1;5−=K

c. { }5;1;5−=K

d. 1;5−=K


3

Skupina B

1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.1): 5:1 += xyf

2:2 += xyf

85:3 −−= xyf

2. Dokreslete do grafu k dané funkci ( )xf (Obr.2) funkci ( )xf :

Obr.1 Obr.2

3. Řešením rovnice 64 +−=− xx je:

a. 6;6−=K

b. { }5;1=K

c. { }5;1−=K

d. { }5;1;1−=K


4


5.2.2014

1



Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováÚnor 2013

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Funkční rozcvička


Než začneme cvičit…

• postavte se, prosím• udělejte si kolem sebe místo na rozpažení

• vaše tělo představuje osu y• vaše paže jsou grafem funkce• panáček k vám stojí zády

Naznačte pažemi rostoucí funkci.

5.2.2014

2

Naznačte pažemi klesající funkci. Naznačte pažemi konstantní funkci.

Naznačte pažemi tyto funkce:

xy =


xy ⋅= 2

5.2.2014

3


xy −=


2=y


2−=y


xy =

5.2.2014

4


xy −=


2−= xy


2−= xy


2xy =

5.2.2014

5


2xy −=


12 += xy


( )21+= xy

Dodělejte funkci, aby byla sudá:

5.2.2014

6

Dodělejte funkci, aby byla lichá: Naznačte pažemi ve trojicích tyto funkce:

tgxy =)π2;0∈x

Naznačte pažemi ve dvojicích tyto funkce:

gxy cot=( )π2;0∈x


xy sin=ππ ;−∈x

5.2.2014

7


3xy =


3xy −=


xey =





1




V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Mocninné funkce


Únor 2013

Mocninné funkce s přirozeným exponentem

• n liché

nxy =Nn ∈

xyf =:3: xyg =5: xyh =

Mocninné funkce s přirozeným exponentem

• n sudé

nxy =Nn ∈

2: xyf =4: xyg =6: xyh =

2

Mocninné funkce s celým exponentem

• specifický případ• nemůžeme na nultou

umocnit nulu• definiční obor jsou

všechna reálná čísla, kromě nuly

nxy =0=n

0: xyf =( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD


• -n liché• můžeme také psát jako:

nxy =−∈ Zn

1: −= xyf 3: −= xyg 5: −= xyh

nxy −= 1

( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD


• -n sudé• můžeme také psát jako:

nxy =−∈ Zn

2: −= xyf 4: −= xyg 6: −= xyh

nxy −= 1

( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD

Přehlednxy =

4xy =

3xy =

2−= xy

3−= xy

3

Mocninné funkce

Změny na grafech

4

2

1: −= xyf můžeme také psát:

42

1:

xyf =

( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fDkaždou funkční hodnotuvynásobíme 0,5

1: 7 += −xyf můžeme také psát: 11

:7

+=x

yf

( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD

posune se o 1 nahoru

( ) 21: −+= xyf můžeme také psát:

( )21

1:

+=

xyf

( ) ( ) ( )∞−∪−∞−= ;11;fD

posune se o 1 doleva

4

5: xyf = ( ) ( )∞∞−= ;fD

záporné funkční hodnoty se stanou kladnými

Pro zajímavost

4)2(3: 6 +−−= xyf

( ) ( )∞∞−= ;fD






1


VY_42_INOVACE_MA_2_16 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596




2

Mocninné funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Načrtněte grafy daných funkcí:

2−−= xy 222

4

1;4;2 −−− === xyxyxy

12 += −xy 32 −= −xy


3

( ) 22 −+= xy ( ) 24 −−= xy

( ) 23 2 −+= −xy


4

2. Pomocí grafu vhodné mocninné funkce porovnejte následující čísla:

a. ( ) 32 −−=A 32−=B

b. ( )79,0−=A

( )78,0=B


5

Mocninné funkce – Pracovní list – řešení


6


7


1




V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kvadratické nerovnice


Únor 2014

Kvadratickou nerovnicí o jedné neznámé je každá nerovnice,

kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů:

02 ≤++ cxbxa

02 <++ cxbxa

02 ≥++ cxbxa

02 >++ cxbxa

Řešení kvadratické nerovnice

0652 ≤+− xx

0652 =+− xx( )( ) 032 =−− xx

21 =x 32 =x

3;2∈x

nejprve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici

kořeny této rovnice jsou průsečíkypříslušné funkce s osou x

kvadratická funkce y=x2-5x+6 je konvexní,

protože koeficient u kvadratického členu je kladný

zjistíme, kdy jsou funkční hodnoty záporné nebo rovny nule- když parabola protíná osu x nebo je pod osou x

+

-

- to je pro

2

Další příklady na procvičení

04

054

02510

0107

2

2

2

2

≥−−

≥++<−+−

>++

x

xx

xx

xx

01072 >++ xx

01072 =++ xx

( )( ) 052 =++ xx

21 −=x

52 −=x

( ) ( )∞−∪−∞−∈ ;25;x

025102 <−+− xx

025102 =−+− xx

( ) 05 2 =−x

521 == xx

( ) ( )∞∪∞−∈ ;55;x

025102 =+− xx

Další možnosti

025102 ≤−+− xx

ℜ∈x

3

Další možnosti

025102 >−+− xx

∈x

NIC

Ø

Další možnosti

025102 ≥−+− xx

{ }5∈x

0542 ≥++ xx

ℜ∈x

0542 =++ xx

cabD 42 −=420165416 −=−=⋅−=D

kvadratická rovnice nemá řešení

-příslušná kvadratická funkcenemá průsečíky s osou x

- protože koeficient u kvadratického členu je kladný, kvadratická funkce y=x2+4x+5 je konvexní

- parabola bude celá nad osou x

0542 >++ xx

ℜ∈x

Další možnosti

4

0542 <++ xx

Další možnosti

NIC

∈x Ø

0542 ≤++ xx

Další možnosti

NIC

∈x Ø

042 ≥−− x

042 =−− x ( )1/ −⋅

042 =+x

42 −=xkvadratická rovnice nemá řešení

- příslušná kvadratická funkcenemá průsečíky s osou x

- protože koeficient u kvadratického členu je záporný,kvadratická funkce y= - x2 - 4 je konkávní

- parabola bude celá pod osou x

NIC

∈x Ø






1


VY_42_INOVACE_MA_2_18 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596




2

Inverzní funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch

U následujících grafů funkcí určete definiční obor ( )fD , obor hodnot ( )fH , načrtněte

k funkci f inverzní fukci 1−f (pokud existuje) a napište její definiční obor ( )1−fD , obor

hodnot ( )1−fH . a)

b)


3

c)

d)


4

e)

f)


5

Inverzní funkce – Pracovní list – řešení

a) b)

funkce není prostá, neexistuje k ní inverzní funkce

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=

∞∞−=

∞∞−=∞∞−=

−

−

;

;

;

;

1

1

fH

fD

fH

fD

( ) ( )( ) )∞=

∞∞−=;0

;

fH

fD

c) d)

( ) )( ) )( ) )( ) )∞=

∞=

∞=

∞=

−

−

;0

;0

;0

;0

1

1

fH

fD

fH

fD

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=

∞−=

∞−=∞∞−=

−

−

;

;4

;4

;

1

1

fH

fD

fH

fD


6

e) f)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=

∞=

∞=∞∞−=

−

−

;

;0

;0

;

1

1

fH

fD

fH

fD

( ) (( ) )( ) )( ) ( 3;

;4

;4

3;

1

1

∞−=

∞−=

∞−=

∞−=

−

−

fH

fD

fH

fD


7


5.2.2014

1



Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováBřezen 2013


Logaritmy

Intelektuální čísla


Březen 2013

Od námořní dopravy k logaritmům

� Tycho de Brahe (1546 – 1601)

� dánský astronom

� kreslil nejpřesnější mapy v 16. stol.

Logaritmické pravítko

5.2.2014

2

Logaritmické tabulky

� Stránka s logaritmickými tabulkami pocházející z díla

„Mirifici logarithmorum canonis constructio“ Johna Napiera

� Napierovy tabulky byly prvními logaritmickými tabulkami

� s nadšením přijaty námořníky a astronomy

Logaritmické tabulky

� nutnost v mnoha vědních oborech

� nejlepší tabulky sestavil anglický matematikMichael Taylor

� (1756 – 1789)� obsahují logaritmy

101000 přirozených čísel

Ještě že máme... Johannes Kepler

� svým dílem přispěl k rozšíření pojmu logaritmus

v Německu

5.2.2014

3

Logaritmická spirála

� Vzniká pohybem daného bodu konstantní úhlovou rychlostí kolem jiného bodu a zároveň se exponenciálně zvětšuje poloměr otáčení

Určování síly zemětřesení Intenzita zvuku

5.2.2014

4

Definice logaritmu

lnz =lognz l =

0>z1≠z

0>n

logaritmus n o základu z

Hodnoty logaritmu

=zzlog

1

=1log z 0=a

z zlog

a

lnz =log nz l =nápověda:

Dekadický logaritmus

lnn == 10loglog

nl =100>n

Přirozený logaritmus

lnn e == logln

…28718,2=e

0>n

ne l =Eulerovo číslo

5.2.2014

5

nn =log10

ne n =ln

Vlastnosti logaritmů

( ) baba zzz logloglog +=⋅Tento obrázek nyní nelze zobrazit.

bab

azzz logloglog −=

ana zn

z loglog ⋅=





Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0821-2 (č.9)

1




V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Exponenciální funkce


Graf a vlastnosti

Březen 2013

Exponenciální funkce o základu a

xayf =:

0>a1≠a

( ) ( )∞∞−= ;fD

Exponenciální funkce o základu axay =( )1;0∈a

x

yf

=9

8:

x

yg

=5

4:

x

yh

=3

1:

2

Exponenciální funkce o základu axay =( )∞∈ ;1a

( )xyf 3: =

x

yg

=2

3:

x

yh

=10

11:

Exponenciální funkce o základu 10

xy 10=

Exponenciální funkce o základu e

xey =

…28718,2=e

Eulerovo číslo

xay =( )1;0∈a ( )∞∈ ;1a( ) ( )∞∞−= ;fD

( ) ( )∞= ;0fH

Je rostoucína celém definičním oboru.

Je klesajícína celém definičním oboru. Je prostá.

( ) 10 =f

3





1




V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Logaritmická funkce


Graf a vlastnosti

Březen 2013

Logaritmická funkce o základu a

xyf alog:1 =−

0>a1≠a

( ) ( ) ( )∞∞−==− ;1 fHfD

je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu

xayf =:

Logaritmická funkce o základu axy alog=

( )1;0∈ax

yf

=5

4:

xyf5

41 log: =−

2

Logaritmická funkce o základu axy alog=

( )∞∈ ;1a

xyf 2: =

xyf 21 log: =−

Logaritmická funkce o základu 10

xy 10log=

xy log=

Dekadický logaritmus

Logaritmická funkce o základu e

xy ln=

…28718,2=e

Eulerovo číslo

xy elog=

Přirozený logaritmus

xy alog=

( )1;0∈a ( )∞∈ ;1a( ) ( )∞= ;0fD

( ) ( )∞∞−= ;fH

Je rostoucína celém definičním oboru.

Je klesajícína celém definičním oboru. Je prostá.

( ) 01 =f

3






1






2

Exponenciální funkce – využití grafu v úlohách - Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí:

a. 12

36,0

<

b. 12

36,0

>

2. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a. 8,0

6,0

3,0

3,0

==

B

A

b. 8,3

6,3

8

13

8

13

=

=

B

A


3

3. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

a. nm

>

8

5

8

5

b. nm

<

5

8

5

8

4. Rozhodněte, jaký je základ a exponenciální funkce xay = , pokud platí:

a. 35 −− < aa

b. 3

4

4

5

aa >


4

Exponenciální funkce – využití grafu v úlohách - Řešení

1. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí:

12

36,0

<

2. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a. 8,0

6,0

3,0

3,0

==

B

A

b. 8,3

6,3

8

13

8

13

=

=

B

A


5

3. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

a. nm

>

8

5

8

5

b. nm

<

5

8

5

8

4. Rozhodněte, jaký je základ a exponenciální funkce xay = , pokud platí:

a. 35 −− < aa S rostoucím x …… 35 −<− , roste y ……( 35 −− < aa ).

Funkce xay = je rostoucí, 1>a .

b. 3

4

4

5

aa >

S rostoucím x ……3

4

4

5 < ,

klesá y ……( 3

4

4

5

aa > ).

Funkce xay = je klesající, ( );10∈a .


6



1






2

Logaritmická funkce – využití grafu v úlohách - Pracovní list – zadání, záznamový arch

1. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí:

a. 02log 3,0 <

b. 02log 3,0 >

2. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a. 6log

5log

4

4

==

B

A

b. 6log

5log

5

4

5

4

=

=

B

A


3

3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

a. nm8

5

8

5 loglog >

b. nm5

8

5

8 loglog >

4. Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce xy alog= , pokud platí:

a. 5log3log aa <

b. 3

4log

4

5log aa >


4

Logaritmická funkce – využití grafu v úlohách - Řešení

1. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí:

02log 3,0 <

2. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a. 6log

5log

4

4

==

B

A

b. 6log

5log

5

4

5

4

=

=

B

A


5

3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

a. nm8

5

8

5 loglog >

b. nm5

8

5

8 loglog >

4. Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce xy alog= , pokud platí:

a. 5log3log aa < S rostoucím x …… 53 < , roste y ……( 5log3log aa < ).

Funkce xy alog= je rostoucí, 1>a .

b. 3

4log

4

5log aa >

S rostoucím x ……3

4

4

5 < ,

klesá y ……(3

4log

4

5log aa > ).

Funkce xy alog= je klesající, ( );10∈a .


6


5.2.2014

1




V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Exponenciální rovnice


Březen 2013

Řešte v R exponenciální rovnici:

93 =x

233 =x

2=x

{ }2=K

Graficky: Početně:

Protože exponenciální funkce

je prostá!

Řešte v R exponenciální rovnici:16

2

153

=+x

( ) 4153 22 =−+x

{ }3−=K


453 22 =−− x

453 =−− x

93 =− x

3−=x

5.2.2014

2

Řešte v R exponenciální rovnici: 065,025,0 =−+ xx

062

1

4

1 =−

+

xx

{ }1−=KSubstituce:

062

1

2

12

=−

+

xx

062

1

2

12

=−

+

xx

yx

=

2

1

062 =−+ yy

( ) ( ) 023 =−⋅+ yy

31 −=y 22 =y

22

1 =

x

NEVYHOVUJE

1

2

1

2

1−

=

x

1−=x

0>xa

Řešte v R exponenciální rovnici: 065,025,0 =−+ xx

{ }1−=K

Graficky:





5.2.2014

1





Logaritmické a exponenciální rovnice


Březen 2013

Řešte v R logaritmickou rovnici: ( ) ( )xx 5log14log 32

3 −=−

xx 5142 −=−

71 −=x

{ }7−=K

Protože logaritmická funkce je prostá:

01452 =−+ xx

( ) ( ) 027 =−⋅+ xx

22 =x

0142 >−x 05 >− x

( ) ( ) 01414 >−⋅+ xx 0<x

Podmínky:

∧

∧

( ) ( )∞∪−∞−∈ ;1414;x

( )0;∞−∈x

průnik

( )14;−∞−∈x

NEVYHOVUJE

Řešte v R exponenciální rovnici: 06loglog2 =−+ xx

{ }2=K

Substituce: yx =log

062 =−+ yy

( ) ( ) 023 =−⋅+ yy

31 −=y

22 =y

NEVYHOVUJE

Podmínky: 0>x

5.2.2014

2

Řešte v R exponenciální rovnici:17

2

153

=+x( ) 172153 =−+x

17log2log 53 =−− x

( ) 17log2log53 =−− x

•číslo 17 nelze napsat jako mocninu dvou

•celou rovnici zlogaritmujeme

2log

17log53 =+− x

52log

17log3 −=− x

2log

2log517log3

−=− x

2log3

17log2log 5

⋅−=x

32log17

25log

=x

8log17

25log

=x

=8log

17

25log

K





1



Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováČerven 2013

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Jednotková kružnice


Červen 2013

Jednotková kružnice je kružnice o poloměru jedna.

( )1; =rSk

délka jednotkové kružnice je: ro ⋅⋅= π2π⋅= 2o

(

délka kružnicového oblouku AB je:

=⋅360

2 π180

π

2

stupňová míra – velikost úhlu – ve stupních- stupně – minuty – vteřiny

0360061 ′′=′=�

oblouková míra – velikost úhlu – v radiánech

rad1Radián je středový úhel, který na jednotkové kružnici přísluší oblouku o délce 1.

nemusí se psát

Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti.

π2 π

2

π π2

3

Příklad: Doplňte tabulku.

αx

�0 �30 �45 �60 �90 �180 �270 �360

0 6

π4

π3

π2

π π π2

3 π2

Orientovaný úhel

- uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem

- víme, které rameno je počáteční a které koncové

3

Základní velikost orientovaného úhluje velikost toho z úhlů,který opíše polopřímka VA při otočení kolem vrcholu Vz počátečního ramene VA do koncového ramene VBv kladném smyslu

má základní velikost .Nulový orientovaný úhel rad00 =�

- pro základní velikost orientovaného úhlu platí:

πα 20 <≤�� 3600 <≤ α

Velikost orientovaného úhlu

je každé číslo , , kde je základní velikost.πα 2⋅+ k αZk ∈�360⋅+ kα

Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti.

π4

π3−

π2

7




Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4

5.2.2014

1





Funkce sinus a kosinus na jednotkové kružnici


Červen 2013

- soustava souřadnic, jednotková kružnice

- pravoúhlý trojúhelník ABC:

( ) [ ]0;0,1; SrSk =[ ] xCkBA ∈∈ ,,0;0

[ ]abB ;

c

a=αsin

a=αsin

c

b=αcos

b=αcos

[ ]αα sin;cosB

- rozšíříme definici funkcí sinus a kosinus pro R na 2

;0 ∈

∈ απα

[ ]LL yxL ;

[ ]xxL sin;cos

5.2.2014

2

αsin

αcos

α2

;0π ππ

;2

ππ2

3; ππ 2;

2

3

Roste nebo klesá?

roste klesá rosteklesá

klesá klesá roste roste

αsin

αcos

α

2;0π

ππ;

2

ππ2

3;

ππ 2;2

3

+

Kladné nebo záporné?

+ - -

+ - - +

Periodické

( ) xkx sin2sin =⋅+ π

( ) xkx cos2cos =⋅+ πPerioda je π2

αsin

αcos

α 0 2

π π π2

3

Doplň hodnoty!

0

1

0

1−0

01

1−

Sudá nebo lichá?

( ) xx sinsin −=−

( ) xx coscos =−

lichá

sudá





5.2.2014

1




V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Graf funkce sinus


Červen 2013

xy sin=

SINUSOIDA

( ) RfD =

( ) 1;1−=fH

xy sin5=Načrtněte graf funkce

xay sin=

mění obor hodnot

( ) aafH ;−=

( ) 5;5−=fH

amplituda

5.2.2014

2

Načrtněte graf funkce

xy sin2

1=

( )2

1;

2

1−=fH

xy sin=Načrtněte graf funkce

( ) 1;0=fH

dvoucestně usměrněný signál

xy 2sin=Načrtněte graf funkce

bxy sin=

mění periodu

b

π2

do původního grafu se vejde b změněných

xy2

1sin=


5.2.2014

3


−=4

sinπ

xy

posouvá graf ve směru osy x„proti“ znaménku

fázový posun

( )cxy += sin

3sin += xy


dxy += sin

posouvá graf po ose y„po“ znaménku

stejnosměrná složka

1sin −= xy


stejnosměrná složka





5.2.2014

1




V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Graf funkce kosinus


Červen 2013

xy cos=KOSINUSOIDA

( ) RfD =

( ) 1;1−=fH

- posuny na grafu jsou stejnéjako u funkce sinus

xy cos=

xy sin=

xy cos=

xy sin=)

2(sincos

π+= xx

5.2.2014

2





5.2.2014

1





Funkcetangens a kotangensna jednotkové kružnici


Červen 2013

- soustava souřadnic, jednotková kružnice ( ) [ ]0;0,1; SrSk =xy tg=

5.2.2014

2

- soustava souřadnic, jednotková kružnice ( ) [ ]0;0,1; SrSk =xy cotg=

αtg

αcotg

α2

;0π ππ

;2

ππ2

3; ππ 2;

2

3

Roste nebo klesá?

roste roste rosteroste

klesá klesá klesá klesá

αtg

αcotg

α

2;0π

ππ;

2

ππ2

3;

ππ 2;2

3

+

Kladné nebo záporné?

- + -

+ - + -

Periodické

( ) tgxkxtg =⋅+ π

( ) xkx cotgcotg =⋅+ π Perioda je π

αtg

αcotg

α 0 2

π π π2

3

Doplň hodnoty!

0

*

0

*

0

0*

*

5.2.2014

3

Sudá nebo lichá?

( ) tgxxtg −=−

( ) xx cotgcotg −=−

lichá

lichá





5.2.2014

1





Graf funkcetangens a kotangens


Červen 2013

x

xtgx

cos

sin=

0cos ≠x( )

212

π+≠ kx

Zk ∈

2

πliché násobky

x

xx

sin

coscotg =

0sin ≠x

π⋅≠ kx

celé násobky π

Zk ∈

5.2.2014

2

x

xtgx

cos

sin=x

xx

sin

coscotg =

xx

tg

1cotg =

xtgx

cotg

1=

1cotgtg =⋅ xx

xy tg=

( )2

12π+≠ kx

liché násobky

2

π

xy cotg=

π⋅≠ kx

celé násobky π





1



Vytvořil: Mgr. Vladimír KlikarSrpen 2013

V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Goniometrické rovnice


Červen 2013

Řešte v R goniometrickou rovnici: 5,0sin −=x

5,0sin =x

ππkx 2

60 +=Graficky:

Početně:

v I. kv.

ve III. kv. 01 xx += π

πππ kx 261 ++=

ππ kx 26

71 +=

ve IV. kv. 02 2 xx −= π

πππ kx 26

22 +−=

ππ kx 26

112 += ∪

Zk

kkK∈

++= ππππ 2

6

11;2

6

7

5,0sin −=x

2

Řešte v R goniometrickou rovnici: ( ) 13sin2 −=+ πx

yx =+ π3substituce: 1sin2 −=y

2

1sin −=y

podle předchozího příkladu:

ππ ky 26

71 += ππ ky 2

6

112 +=

πππ kx 26

73 1 +=+

πππ kx 26

73 1 +−=

ππkx 2

63 1 +=

ππkx

3

2

181 +=

πππ kx 26

113 2 +=+

πππ kx 26

113 2 +−=

ππ kx 26

53 2 +=

ππ kx3

2

18

52 +=

y∪

Zk

kkK∈

++= ππππ

3

2

18

5;

3

2

18

Řešte v R goniometrickou rovnici: 03cos7cos2 2 =+− xx

ux =cossubstituce:

0372 2 =+− uu

252449 =−=D

nevyhovuje

2

1cos =x

34

571 =+=u

2

1

4

572 =−=u

u u

Proč?

Řešení

3

Zpět

3

5,0cos =x


v I. kv. ππkx 2

31 +=

ve IV. kv. 12 2 xx −= π

πππ kx 23

22 +−=

ππ kx 23

52 +=

5,0cos =x

∪Zk

kkK∈

++= ππππ

23

5;2

3





Date post:	27-Nov-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	12 times
Download:	0 times

Protokol – „SADA DUM“ · Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list –...

Documents