Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport

Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.

BIOMECHANIKA10, Dynamika pohybu II. (Setrvačnost rotujících těles,

moment setrvačnosti, energie tuhého tělesa

Coriolisova síla, moment hybnosti, zákon zachování

hybnosti)

SETRVAČNOST ROTUJÍCÍCH TĚLES

SETRVAČNOST ROTUJÍCÍCH TĚLES

U těles, která mají více rotační setrvačnosti, je

energeticky náročnější zvýšit nebo snížit

úhlovou rychlost nebo změnit polohu osy rotace

těchto těles.

Míra setrvačnosti však není dána pouze

hmotností těles, ale také tím, jak je hmotnost

těles rozložena vůči ose rotace

MOMENT SETRVAČNOSTI

Kvantitativní vyjádření míry setrvačnosti rotujícího tělesa

Když používáme sportovní náčiní (pálky, rakety, hole a další), vytváříme

takovou sílu, která otáčí náčiní kolem osy, která neprochází těžištěm těchto

náčiní. Takovýto moment setrvačnosti je potom možné vypočítat takto:

MOMENT SETRVAČNOSTI

Když budete ve sportovní praxi kvalitativně

hodnotit odpor tělesa ke změně rotace,

vzdálenost hmoty tělesa od osy rotace je

nejdůležitější faktor ovlivňující setrvačnost

daného rotujícího tělesa.

Každé těleso má nekonečně mnoho možných

momentů setrvačnosti, protože může rotovat

kolem nekonečně mnoha os otáčení

MOMENT SETRVAČNOSTI A POSUVNÁ RYCHLOST

MOMENT HYBNOSTI

Moment hybnosti L je definován jako součin

momentu setrvačnosti J (kg·m2) vzhledem k ose

otáčení a úhlové rychlosti ω (rad/s) rotujícího

tělesa:

MOMENT SETRVAČNOSTI A MOMENT HYBNOSTI

INTERPRETACE 1. NEWTONOVA ZÁKONA

Moment hybnosti daného

tělesa zůstává konstantní,

dokud na těleso nezačne

působit nenulový výsledný

vnější moment síly.

Gymnasté, lyžaři, tanečníci,

krasobruslaři, atleti a další

sportovci kontrolují rychlost

otáčení svého těla pomocí

změny momentu setrvačnosti

svého těla vzhledem k ose

otáčení (sbalení - rozbalení,

abdukce-addukce a další).

INTERPRETACE 2. NEWTONOVA ZÁKONA

Změna momentu hybnosti se může projevit takto:

1. Snížení nebo zvýšení úhlové rychlosti.

2. Změna polohy osy rotace.

3. Změna momentu setrvačnosti.

INTERPRETACE 2. NEWTONOVA ZÁKONA

IMPULS MOMENTU SÍLY A MOMENT HYBNOSTI

INTERPRETACE 3. NEWTONOVA ZÁKONA

Moment síly, kterým působí první těleso na těleso druhé, vytváří

stejně velký moment síly, jimž působí druhé těleso na první ve

stejném čase, ale v opačném směru (momenty síly mají stejnou

osu rotace). Nesmíme zapomenout, že tyto momenty síly mají

stejnou osu rotace.

Např. Provazochodec a tyč

1, Zvýší se moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení, což má

za následek snížení úhlové rychlosti vychýlení a tím má

provazochodec více času na nabití rovnováhy.

2, Sníží těžiště

3, Pokud akrobat padá, působí na tyč momentem síly v jednom

směru a ta zase na něj ve směru opačném

ZÁKON ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI

J0 . ω0 = J1 . ω1

KINETICKÁ ENERGIE TUHÉHO ROTUJÍCÍHO

TĚLESA

Tuhé těleso může vykonávat pohyb posuvný nebo rotační. Při posuvném

pohybu je celková kinetická energie tělesa rovna součtu

kinetických energií jednotlivých bodů tělesa. Při posuvném pohybu se

pohybují všechny body tělesa stejnou rychlostí, tedy:

Při otáčivém pohybu tuhého tělesa kolem nehybné osy se všechny body

pohybují po kružnicích, jejichž středy leží na ose otáčení, stejnou úhlovou

rychlostí. Kinetickou energii tělesa určíme opět jakou součet kinetických

energií jednotlivých bodů tělesa. Můžeme proto psát:

KINETICKÁ ENERGIE TUHÉHO ROTUJÍCÍHO

TĚLESA

Koná-li těleso současně posuvný pohyb

a otáčivý pohyb kolem osy procházející těžištěm

tělesa, je kinetická energie dána součtem

energie posuvného a otáčivého pohybu:

[J]

Př. Tuto energii má např. kolo automobilu: otáčí se kolem své osy a zároveň

se pohybuje ve směru rychlosti automobilu.

MOMENTY SETRVAČNOSTI TĚLES

PŘÍKLAD

O kolik procent „nabere“ koule na konci kopce

vyšší rychlost, ze kterého sjíždí, než válec? Odpor

prostředí zanedbejme.

CORIOLISOVA SÍLA

CORIOLISOVA SÍLA

Coriolisova síla na Zemi, pohybuje-li se těleso:

- na severní polokouli v S-J směru, je strháváno vlivem FC vpravo

od svého původního pohybu

- na jižní polokouli v S-J směru, je strháváno vlivem FC vlevo od

svého původního pohybu

- překračuje-li těleso rovník v S-J směru, je FC = 0 N (vektor v je

rovnoběžný s osou!)

CORIOLISOVA SÍLA

V důsledku existence Coriolisovy síly dochází k řadě jevů:

1. Např. při střelbě na velké vzdálenosti, kulka vypálená z hlavně

pušky bude odkláněna od svého původního směru.

2. Dochází k většímu opotřebovávání pravých (resp. levých)

kolejnic jednosměrných tratí.

3. Dochází k většímu podemílání pravých (resp. levých) břehů řek.

4. Tornáda, pasáty, vodní vír

1. CVIČENÍ

Vypočtěte moment setrvačnosti Země o

hmotnosti m = 6 . 10 24 kg.

Výsledek: 9,76 . 10 37 kg

2. CVIČENÍ

Člověk stojí s upaženýma rukama na vodorovné

desce, která bez tření rotuje s frekvencí 1,2 ot./s.

V každé ruce drží závaží. Moment setrvačnosti

člověka, závaží a desky vzhledem k ose otáčení je

J0 = 6,0 kg/m2 . Člověk připaží a zmenší tak

moment setrvačnosti na J1 = 2,0 kg/m2 . Jak se

změní frekvence rotace desky?

Výsledek: f = 3,6 ot./s

3. CVIČENÍ

Koule o poloměru r = 0,5 m a o hmotnosti 20 kg

se valí po rovině. Před ní je kopeček o výšce h =

15 m . Jak rychle se musí pohybovat těžiště

koule, aby vyjela na kopeček?

Výsledek: v = 14,49 m/s

4. CVIČENÍ

Člověk vlezl do zorbingové koule, která se následně

vlastní vahou začala kutálet (bez prokluzu) po nakloněné

rovině až do místa, kde se nakloněná rovina změní ve

vodorovnou. Určete rychlost těžiště koule v a dobu t, za

kterou tohoto místa koule dosáhla.

m = 100 kg

r = 130 cm

h = 55 m

α = 30º

Výsledek: v = 27,76 m/s, t = 7,93 s