Post on 23-Jul-2020
transcript
Uacutevodniacute informaceMatematickeacute modelovaacuteniacuteMatematickeacute metody pro ITS (11MAMY)
Jan Přikryl Bohumil Kovaacuteř
1 přednaacuteška 11MAMYčtvrtek 26 března 2020verze 2020-03-26 0147
Uacutestav aplikovaneacute matematikyČVUT v Praze Fakulta dopravniacute
1
Obsah přednaacutešky
O předmětu
Zaacutekladniacute organizačniacute informace
Seznam literatury
Hodnoceniacute předmětu
Vstupniacute znalosti
Vyacutestupniacute znalosti
2
Zaacutekladniacute informace
Přednaacutešejiacuteciacute
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)přednaacutešky nepravidelně blokově uacutetndashčt 945ndash1445 on-line
Cvičiacuteciacute
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)cvičeniacute nepravidelně blokově uacutetndashčt 945ndash1445 on-line
Garant předmětu
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)
3
Zaacutekladniacute informace ndash Pokračovaacuteniacute
Domovskaacute straacutenka předmětu 11MAMYhttpzolotarevfdcvutczmamy
Cvičeniacute Pravidla jsou na straacutenkaacutech předmětu
Cvičeniacute pro druhyacute zaacutepis Zatiacutem naštěstiacute nemaacuteme
4
Literatura i
1 VELTEN Kai Mathematical modeling and simulation introduction for scientistsand engineers John Wiley amp Sons 2009
2 OGATA Katsuhiko Modern control engineering Prentice Hall PTR 2001
3 OPPENHEIM Alan V Alan S WILLSKY a Syed Hamid NAWAB Signals andSystems 2 vyd Upper Saddle River Prentice Hall 1997 957 s ISBN01-381-4757-4
4 JAMES Gareth et al An introduction to statistical learning New York Springer2013
5 DANGELMAYR Gerhard a KIRBY Michael Mathematical Modeling ndash AComprehensive Introduction Upper Saddle River Prentice Hall 2005
5
Literatura ii
6 HEATH Michael T Scientific computing ndash An Introductory Survey 2 vyd NewYork McGraw-Hill 2002
7 BERTSEKAS Dimitri P Dynamic programming and optimal control BelmontMA Athena Scientific 1995
8 KARBAN Pavel Vyacutepočty a simulace v programech Matlab a Simulink BrnoComputer Press 2006
9 Informace o prostřediacute MATLABhttpzolotarevfdcvutczmnihttpzolotarevfdcvutczmsp
httpwwwfdcvutczpersonalnagyivanPrpStatPrpMatIntropdf
10 Matematika-opakovaacuteniacutehttpeulerfdcvutczpredmetyml1
6
Zaacutepočet a zkouška
Celkovyacute počet bodů ktereacute lze ziacuteskat je 40 Počet bodů ktereacute studenti mohou ziacuteskat zesemestru je 20 Zkouška sestaacutevaacute z piacutesemneacuteho testu (20 bodů)
Zaacutepočet udělujeme od 10 bodů ze semestru vyacuteše za předpokladu že studentu uspěje vuacutevodniacutem testu
Body jsou rozděleny naacutesledovně
bull 10 bodů za implementaci jednoducheacuteho modelu z oblasti ITS
bull 10 bodů za aktivitu v semestru
Semestraacutelniacute projekt je skupinovyacute ndash skupiny po maximaacutelně třech studentech
7
Znalosti vstupniacute
Toto jsou znalosti u nichž předpoklaacutedaacuteme že je ovlaacutedaacutete Jejich neznalost seneomlouvaacute
1 Znalost zaacutekladniacutech pojmů a operaciacute s vektory a maticemi
2 Znalost praacutece s komplexniacutemi čiacutesly a zaacutekladů funkciacute komplexniacute proměnneacute
3 Znalost vlastnostiacute trigonometrickyacutech hyperbolickyacutech exponenciaacutelniacutech funkciacute
4 Znalost vyacutepočtu součtů nekonečneacute řady derivace a integraacutelů funkce jedneacuteproměnneacute
5 Znalost praacutece se zlomky algebraickyacutemi vyacuterazy a běžneacute středoškolskeacute matematiky
6 Zaacutekladniacute znalosti algoritmizace a prostřediacute SCILABMATLAB (v rozsahu 14ALG a11STAT)
8
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Obsah přednaacutešky
O předmětu
Zaacutekladniacute organizačniacute informace
Seznam literatury
Hodnoceniacute předmětu
Vstupniacute znalosti
Vyacutestupniacute znalosti
2
Zaacutekladniacute informace
Přednaacutešejiacuteciacute
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)přednaacutešky nepravidelně blokově uacutetndashčt 945ndash1445 on-line
Cvičiacuteciacute
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)cvičeniacute nepravidelně blokově uacutetndashčt 945ndash1445 on-line
Garant předmětu
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)
3
Zaacutekladniacute informace ndash Pokračovaacuteniacute
Domovskaacute straacutenka předmětu 11MAMYhttpzolotarevfdcvutczmamy
Cvičeniacute Pravidla jsou na straacutenkaacutech předmětu
Cvičeniacute pro druhyacute zaacutepis Zatiacutem naštěstiacute nemaacuteme
4
Literatura i
1 VELTEN Kai Mathematical modeling and simulation introduction for scientistsand engineers John Wiley amp Sons 2009
2 OGATA Katsuhiko Modern control engineering Prentice Hall PTR 2001
3 OPPENHEIM Alan V Alan S WILLSKY a Syed Hamid NAWAB Signals andSystems 2 vyd Upper Saddle River Prentice Hall 1997 957 s ISBN01-381-4757-4
4 JAMES Gareth et al An introduction to statistical learning New York Springer2013
5 DANGELMAYR Gerhard a KIRBY Michael Mathematical Modeling ndash AComprehensive Introduction Upper Saddle River Prentice Hall 2005
5
Literatura ii
6 HEATH Michael T Scientific computing ndash An Introductory Survey 2 vyd NewYork McGraw-Hill 2002
7 BERTSEKAS Dimitri P Dynamic programming and optimal control BelmontMA Athena Scientific 1995
8 KARBAN Pavel Vyacutepočty a simulace v programech Matlab a Simulink BrnoComputer Press 2006
9 Informace o prostřediacute MATLABhttpzolotarevfdcvutczmnihttpzolotarevfdcvutczmsp
httpwwwfdcvutczpersonalnagyivanPrpStatPrpMatIntropdf
10 Matematika-opakovaacuteniacutehttpeulerfdcvutczpredmetyml1
6
Zaacutepočet a zkouška
Celkovyacute počet bodů ktereacute lze ziacuteskat je 40 Počet bodů ktereacute studenti mohou ziacuteskat zesemestru je 20 Zkouška sestaacutevaacute z piacutesemneacuteho testu (20 bodů)
Zaacutepočet udělujeme od 10 bodů ze semestru vyacuteše za předpokladu že studentu uspěje vuacutevodniacutem testu
Body jsou rozděleny naacutesledovně
bull 10 bodů za implementaci jednoducheacuteho modelu z oblasti ITS
bull 10 bodů za aktivitu v semestru
Semestraacutelniacute projekt je skupinovyacute ndash skupiny po maximaacutelně třech studentech
7
Znalosti vstupniacute
Toto jsou znalosti u nichž předpoklaacutedaacuteme že je ovlaacutedaacutete Jejich neznalost seneomlouvaacute
1 Znalost zaacutekladniacutech pojmů a operaciacute s vektory a maticemi
2 Znalost praacutece s komplexniacutemi čiacutesly a zaacutekladů funkciacute komplexniacute proměnneacute
3 Znalost vlastnostiacute trigonometrickyacutech hyperbolickyacutech exponenciaacutelniacutech funkciacute
4 Znalost vyacutepočtu součtů nekonečneacute řady derivace a integraacutelů funkce jedneacuteproměnneacute
5 Znalost praacutece se zlomky algebraickyacutemi vyacuterazy a běžneacute středoškolskeacute matematiky
6 Zaacutekladniacute znalosti algoritmizace a prostřediacute SCILABMATLAB (v rozsahu 14ALG a11STAT)
8
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Zaacutekladniacute informace
Přednaacutešejiacuteciacute
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)přednaacutešky nepravidelně blokově uacutetndashčt 945ndash1445 on-line
Cvičiacuteciacute
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)cvičeniacute nepravidelně blokově uacutetndashčt 945ndash1445 on-line
Garant předmětu
bull Dr Ing Jan Přikryl (prikrylfdcvutcz)
3
Zaacutekladniacute informace ndash Pokračovaacuteniacute
Domovskaacute straacutenka předmětu 11MAMYhttpzolotarevfdcvutczmamy
Cvičeniacute Pravidla jsou na straacutenkaacutech předmětu
Cvičeniacute pro druhyacute zaacutepis Zatiacutem naštěstiacute nemaacuteme
4
Literatura i
1 VELTEN Kai Mathematical modeling and simulation introduction for scientistsand engineers John Wiley amp Sons 2009
2 OGATA Katsuhiko Modern control engineering Prentice Hall PTR 2001
3 OPPENHEIM Alan V Alan S WILLSKY a Syed Hamid NAWAB Signals andSystems 2 vyd Upper Saddle River Prentice Hall 1997 957 s ISBN01-381-4757-4
4 JAMES Gareth et al An introduction to statistical learning New York Springer2013
5 DANGELMAYR Gerhard a KIRBY Michael Mathematical Modeling ndash AComprehensive Introduction Upper Saddle River Prentice Hall 2005
5
Literatura ii
6 HEATH Michael T Scientific computing ndash An Introductory Survey 2 vyd NewYork McGraw-Hill 2002
7 BERTSEKAS Dimitri P Dynamic programming and optimal control BelmontMA Athena Scientific 1995
8 KARBAN Pavel Vyacutepočty a simulace v programech Matlab a Simulink BrnoComputer Press 2006
9 Informace o prostřediacute MATLABhttpzolotarevfdcvutczmnihttpzolotarevfdcvutczmsp
httpwwwfdcvutczpersonalnagyivanPrpStatPrpMatIntropdf
10 Matematika-opakovaacuteniacutehttpeulerfdcvutczpredmetyml1
6
Zaacutepočet a zkouška
Celkovyacute počet bodů ktereacute lze ziacuteskat je 40 Počet bodů ktereacute studenti mohou ziacuteskat zesemestru je 20 Zkouška sestaacutevaacute z piacutesemneacuteho testu (20 bodů)
Zaacutepočet udělujeme od 10 bodů ze semestru vyacuteše za předpokladu že studentu uspěje vuacutevodniacutem testu
Body jsou rozděleny naacutesledovně
bull 10 bodů za implementaci jednoducheacuteho modelu z oblasti ITS
bull 10 bodů za aktivitu v semestru
Semestraacutelniacute projekt je skupinovyacute ndash skupiny po maximaacutelně třech studentech
7
Znalosti vstupniacute
Toto jsou znalosti u nichž předpoklaacutedaacuteme že je ovlaacutedaacutete Jejich neznalost seneomlouvaacute
1 Znalost zaacutekladniacutech pojmů a operaciacute s vektory a maticemi
2 Znalost praacutece s komplexniacutemi čiacutesly a zaacutekladů funkciacute komplexniacute proměnneacute
3 Znalost vlastnostiacute trigonometrickyacutech hyperbolickyacutech exponenciaacutelniacutech funkciacute
4 Znalost vyacutepočtu součtů nekonečneacute řady derivace a integraacutelů funkce jedneacuteproměnneacute
5 Znalost praacutece se zlomky algebraickyacutemi vyacuterazy a běžneacute středoškolskeacute matematiky
6 Zaacutekladniacute znalosti algoritmizace a prostřediacute SCILABMATLAB (v rozsahu 14ALG a11STAT)
8
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Zaacutekladniacute informace ndash Pokračovaacuteniacute
Domovskaacute straacutenka předmětu 11MAMYhttpzolotarevfdcvutczmamy
Cvičeniacute Pravidla jsou na straacutenkaacutech předmětu
Cvičeniacute pro druhyacute zaacutepis Zatiacutem naštěstiacute nemaacuteme
4
Literatura i
1 VELTEN Kai Mathematical modeling and simulation introduction for scientistsand engineers John Wiley amp Sons 2009
2 OGATA Katsuhiko Modern control engineering Prentice Hall PTR 2001
3 OPPENHEIM Alan V Alan S WILLSKY a Syed Hamid NAWAB Signals andSystems 2 vyd Upper Saddle River Prentice Hall 1997 957 s ISBN01-381-4757-4
4 JAMES Gareth et al An introduction to statistical learning New York Springer2013
5 DANGELMAYR Gerhard a KIRBY Michael Mathematical Modeling ndash AComprehensive Introduction Upper Saddle River Prentice Hall 2005
5
Literatura ii
6 HEATH Michael T Scientific computing ndash An Introductory Survey 2 vyd NewYork McGraw-Hill 2002
7 BERTSEKAS Dimitri P Dynamic programming and optimal control BelmontMA Athena Scientific 1995
8 KARBAN Pavel Vyacutepočty a simulace v programech Matlab a Simulink BrnoComputer Press 2006
9 Informace o prostřediacute MATLABhttpzolotarevfdcvutczmnihttpzolotarevfdcvutczmsp
httpwwwfdcvutczpersonalnagyivanPrpStatPrpMatIntropdf
10 Matematika-opakovaacuteniacutehttpeulerfdcvutczpredmetyml1
6
Zaacutepočet a zkouška
Celkovyacute počet bodů ktereacute lze ziacuteskat je 40 Počet bodů ktereacute studenti mohou ziacuteskat zesemestru je 20 Zkouška sestaacutevaacute z piacutesemneacuteho testu (20 bodů)
Zaacutepočet udělujeme od 10 bodů ze semestru vyacuteše za předpokladu že studentu uspěje vuacutevodniacutem testu
Body jsou rozděleny naacutesledovně
bull 10 bodů za implementaci jednoducheacuteho modelu z oblasti ITS
bull 10 bodů za aktivitu v semestru
Semestraacutelniacute projekt je skupinovyacute ndash skupiny po maximaacutelně třech studentech
7
Znalosti vstupniacute
Toto jsou znalosti u nichž předpoklaacutedaacuteme že je ovlaacutedaacutete Jejich neznalost seneomlouvaacute
1 Znalost zaacutekladniacutech pojmů a operaciacute s vektory a maticemi
2 Znalost praacutece s komplexniacutemi čiacutesly a zaacutekladů funkciacute komplexniacute proměnneacute
3 Znalost vlastnostiacute trigonometrickyacutech hyperbolickyacutech exponenciaacutelniacutech funkciacute
4 Znalost vyacutepočtu součtů nekonečneacute řady derivace a integraacutelů funkce jedneacuteproměnneacute
5 Znalost praacutece se zlomky algebraickyacutemi vyacuterazy a běžneacute středoškolskeacute matematiky
6 Zaacutekladniacute znalosti algoritmizace a prostřediacute SCILABMATLAB (v rozsahu 14ALG a11STAT)
8
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Literatura i
1 VELTEN Kai Mathematical modeling and simulation introduction for scientistsand engineers John Wiley amp Sons 2009
2 OGATA Katsuhiko Modern control engineering Prentice Hall PTR 2001
3 OPPENHEIM Alan V Alan S WILLSKY a Syed Hamid NAWAB Signals andSystems 2 vyd Upper Saddle River Prentice Hall 1997 957 s ISBN01-381-4757-4
4 JAMES Gareth et al An introduction to statistical learning New York Springer2013
5 DANGELMAYR Gerhard a KIRBY Michael Mathematical Modeling ndash AComprehensive Introduction Upper Saddle River Prentice Hall 2005
5
Literatura ii
6 HEATH Michael T Scientific computing ndash An Introductory Survey 2 vyd NewYork McGraw-Hill 2002
7 BERTSEKAS Dimitri P Dynamic programming and optimal control BelmontMA Athena Scientific 1995
8 KARBAN Pavel Vyacutepočty a simulace v programech Matlab a Simulink BrnoComputer Press 2006
9 Informace o prostřediacute MATLABhttpzolotarevfdcvutczmnihttpzolotarevfdcvutczmsp
httpwwwfdcvutczpersonalnagyivanPrpStatPrpMatIntropdf
10 Matematika-opakovaacuteniacutehttpeulerfdcvutczpredmetyml1
6
Zaacutepočet a zkouška
Celkovyacute počet bodů ktereacute lze ziacuteskat je 40 Počet bodů ktereacute studenti mohou ziacuteskat zesemestru je 20 Zkouška sestaacutevaacute z piacutesemneacuteho testu (20 bodů)
Zaacutepočet udělujeme od 10 bodů ze semestru vyacuteše za předpokladu že studentu uspěje vuacutevodniacutem testu
Body jsou rozděleny naacutesledovně
bull 10 bodů za implementaci jednoducheacuteho modelu z oblasti ITS
bull 10 bodů za aktivitu v semestru
Semestraacutelniacute projekt je skupinovyacute ndash skupiny po maximaacutelně třech studentech
7
Znalosti vstupniacute
Toto jsou znalosti u nichž předpoklaacutedaacuteme že je ovlaacutedaacutete Jejich neznalost seneomlouvaacute
1 Znalost zaacutekladniacutech pojmů a operaciacute s vektory a maticemi
2 Znalost praacutece s komplexniacutemi čiacutesly a zaacutekladů funkciacute komplexniacute proměnneacute
3 Znalost vlastnostiacute trigonometrickyacutech hyperbolickyacutech exponenciaacutelniacutech funkciacute
4 Znalost vyacutepočtu součtů nekonečneacute řady derivace a integraacutelů funkce jedneacuteproměnneacute
5 Znalost praacutece se zlomky algebraickyacutemi vyacuterazy a běžneacute středoškolskeacute matematiky
6 Zaacutekladniacute znalosti algoritmizace a prostřediacute SCILABMATLAB (v rozsahu 14ALG a11STAT)
8
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Literatura ii
6 HEATH Michael T Scientific computing ndash An Introductory Survey 2 vyd NewYork McGraw-Hill 2002
7 BERTSEKAS Dimitri P Dynamic programming and optimal control BelmontMA Athena Scientific 1995
8 KARBAN Pavel Vyacutepočty a simulace v programech Matlab a Simulink BrnoComputer Press 2006
9 Informace o prostřediacute MATLABhttpzolotarevfdcvutczmnihttpzolotarevfdcvutczmsp
httpwwwfdcvutczpersonalnagyivanPrpStatPrpMatIntropdf
10 Matematika-opakovaacuteniacutehttpeulerfdcvutczpredmetyml1
6
Zaacutepočet a zkouška
Celkovyacute počet bodů ktereacute lze ziacuteskat je 40 Počet bodů ktereacute studenti mohou ziacuteskat zesemestru je 20 Zkouška sestaacutevaacute z piacutesemneacuteho testu (20 bodů)
Zaacutepočet udělujeme od 10 bodů ze semestru vyacuteše za předpokladu že studentu uspěje vuacutevodniacutem testu
Body jsou rozděleny naacutesledovně
bull 10 bodů za implementaci jednoducheacuteho modelu z oblasti ITS
bull 10 bodů za aktivitu v semestru
Semestraacutelniacute projekt je skupinovyacute ndash skupiny po maximaacutelně třech studentech
7
Znalosti vstupniacute
Toto jsou znalosti u nichž předpoklaacutedaacuteme že je ovlaacutedaacutete Jejich neznalost seneomlouvaacute
1 Znalost zaacutekladniacutech pojmů a operaciacute s vektory a maticemi
2 Znalost praacutece s komplexniacutemi čiacutesly a zaacutekladů funkciacute komplexniacute proměnneacute
3 Znalost vlastnostiacute trigonometrickyacutech hyperbolickyacutech exponenciaacutelniacutech funkciacute
4 Znalost vyacutepočtu součtů nekonečneacute řady derivace a integraacutelů funkce jedneacuteproměnneacute
5 Znalost praacutece se zlomky algebraickyacutemi vyacuterazy a běžneacute středoškolskeacute matematiky
6 Zaacutekladniacute znalosti algoritmizace a prostřediacute SCILABMATLAB (v rozsahu 14ALG a11STAT)
8
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Zaacutepočet a zkouška
Celkovyacute počet bodů ktereacute lze ziacuteskat je 40 Počet bodů ktereacute studenti mohou ziacuteskat zesemestru je 20 Zkouška sestaacutevaacute z piacutesemneacuteho testu (20 bodů)
Zaacutepočet udělujeme od 10 bodů ze semestru vyacuteše za předpokladu že studentu uspěje vuacutevodniacutem testu
Body jsou rozděleny naacutesledovně
bull 10 bodů za implementaci jednoducheacuteho modelu z oblasti ITS
bull 10 bodů za aktivitu v semestru
Semestraacutelniacute projekt je skupinovyacute ndash skupiny po maximaacutelně třech studentech
7
Znalosti vstupniacute
Toto jsou znalosti u nichž předpoklaacutedaacuteme že je ovlaacutedaacutete Jejich neznalost seneomlouvaacute
1 Znalost zaacutekladniacutech pojmů a operaciacute s vektory a maticemi
2 Znalost praacutece s komplexniacutemi čiacutesly a zaacutekladů funkciacute komplexniacute proměnneacute
3 Znalost vlastnostiacute trigonometrickyacutech hyperbolickyacutech exponenciaacutelniacutech funkciacute
4 Znalost vyacutepočtu součtů nekonečneacute řady derivace a integraacutelů funkce jedneacuteproměnneacute
5 Znalost praacutece se zlomky algebraickyacutemi vyacuterazy a běžneacute středoškolskeacute matematiky
6 Zaacutekladniacute znalosti algoritmizace a prostřediacute SCILABMATLAB (v rozsahu 14ALG a11STAT)
8
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Znalosti vstupniacute
Toto jsou znalosti u nichž předpoklaacutedaacuteme že je ovlaacutedaacutete Jejich neznalost seneomlouvaacute
1 Znalost zaacutekladniacutech pojmů a operaciacute s vektory a maticemi
2 Znalost praacutece s komplexniacutemi čiacutesly a zaacutekladů funkciacute komplexniacute proměnneacute
3 Znalost vlastnostiacute trigonometrickyacutech hyperbolickyacutech exponenciaacutelniacutech funkciacute
4 Znalost vyacutepočtu součtů nekonečneacute řady derivace a integraacutelů funkce jedneacuteproměnneacute
5 Znalost praacutece se zlomky algebraickyacutemi vyacuterazy a běžneacute středoškolskeacute matematiky
6 Zaacutekladniacute znalosti algoritmizace a prostřediacute SCILABMATLAB (v rozsahu 14ALG a11STAT)
8
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Znalosti vyacutestupniacute
1 Znalost zaacutekladniacutech principů matematickeacuteho modelovaacuteniacute a matematickeacute teorie řiacutezeniacute
2 Zaacutekladniacute znalosti o typech modelů a jejich užitiacute
3 Zaacutekladniacute znalosti o měřeniacute a předzpracovaacuteniacute dat
4 Povědomiacute o lineaacuterniacute optimalizaci multikriteriaacutelniacute oprimalizaci a dynamickeacutemprogramovaacuteniacute
5 Znalost modelovaacuteniacute časovyacutech řad
6 Znalost prostřediacute MATLABSIMULINK pro modelovaacuteniacute dynamickyacutech systeacutemů ařešeniacute soustav nelineaacuterniacutech diferenciaacutelniacutech a diferenčniacutech rovnic
9
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modelovaacuteniacute je uměniacute kompromisu
Jakeacute ciacutele může modelovaacuteniacute dosaacutehnout
Klasifikace modelů
Faacuteze modelovaacuteniacute
Model systeacutemu
Vnějšiacute popis systeacutemů
Vnitřniacute popis systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
10
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Modely popisujiacute naše přesvědčeniacute o tom jak svět funguje
Provaacutezejiacute naacutes od nepaměti
bull obyčejnaacute mapa je dvourozměrnyacute model pohledu na krajinu
bull modely plaacutenovanyacutech budov ze saacutedry a dřeva
Většinou jde o zjednodušeniacute reality postihujiacute jen to co naacutes pro studium daneacutehoprobleacutemu opravdu zajiacutemaacute Pro naacutes nepodstatneacute detaily model zanedbaacutevaacute
11
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
V matematickeacutem modelovaacuteniacute naše přesvědčeniacute o fungovaacuteniacute světa překlaacutedaacuteme do jazykamatematiky
Maacute to řadu vyacutehod
1 Matematika je velmi přesnyacute jazyk
2 Matematika je vyacutestižnyacute jazyk s dobře definovanyacutemi pravidly pro manipulaci svyacuterazy
3 Všechny dřiacutevějšiacute vyacutesledky jsou naacutem k dispozici a můžeme je pro naacuteš model využiacutet
4 K provedeniacute numerickyacutech vyacutepočtů můžeme dnes použiacutet počiacutetače
12
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Značnou čaacutest matematickeacuteho modelovaacuteniacute tvořiacute kompromisy
Většina reaacutelnyacutech systeacutemů je přiacuteliš složitaacute
Kompromis 1 Snaha identifikovat nejdůležitějšiacute čaacutestiacute systeacutemu ndash ty budou do modeluzahrnuty zbytek bude zanedbaacuten
Matematicky lze v naprosteacute obecnosti dokaacutezat mnoho ale použitelnost vyacutesledků zaacutevisiacutekriticky na formě použityacutech rovnic K jejich vyčiacutesleniacute použiacutevaacuteme počiacutetače a ty nejsounikdy zcela přesneacute
Kompromis 2 Použijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytvaacuteřeneacuteho modelu počiacutetačnemusiacute to sice veacutest k elegantniacutem vyacutesledkům ale je to mnohem odolnějšiacute vůči změnaacutem
13
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Matematickeacute modelovaacuteniacute
1 Rozvoj vědeckeacuteho poznaacuteniacute ndash prostřednictviacutem kvantitativniacuteho vyjaacutedřeniacute současnyacutechznalostiacute o systeacutemu (stejně jako znaacutezornit to co viacuteme můžeme takeacute ukaacutezat coneviacuteme)
2 Testovaacuteniacute vlivu změn v systeacutemu
3 Ziacuteskat informace pro podporu rozhodovaacuteniacute včetně31 taktickyacutech rozhodnutiacute manažerů32 strategickyacutech rozhodnutiacute plaacutenovačů
14
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Modely
Deterministickeacute times stochastickeacute
Mechanistickeacute times empirickeacute
molekuly buňky orgaacuteny jedinec staacutedo
Niacutezkaacute Vysokaacute
15
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Klasifikace modelů
Empirickyacute MechanistickyacuteDeterministickyacute Předpověď růstu dobytka z re-
gresniacute zaacutevislosti na konzumaci po-travy
Pohyb planet založenyacute na Newto-novskeacute mechanice popsaneacute dife-renciaacutelniacutemi rovnicemi
Stochastickyacute Analyacuteza rozptylu vyacutenosů odrůdpřes lokality a roky
Genetika malyacutech populaciacute za-loženaacute na Mendelovskeacute dědič-nosti popsaneacute pravděpodobnost-niacutemi rovnicemi
16
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Faacuteze modelovaacuteniacute
Čtyři hlavniacute faacuteze
Modelovaciacute projekty nepostupujiacute plynule od faacuteze tvorby modelu až po jeho použitiacute
Pokud dojde ke jakyacutemkoliv změnaacutem modelu pak se faacuteze studia a testovaacuteniacute musiacuteopakovat
Sestaveniacute Studium Testovaacuteniacute Použitiacute
17
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Systeacutem
Definice (Systeacutem)Charakteristickeacute vlastnosti se kteryacutemi vystačiacuteme při modelovaacuteniacute
bull systeacutem považujeme za čaacutest prostřediacute kterou lze od jejiacuteho okoliacute oddělit fyzickounebo myšlenkovou hraniciacute
bull systeacutem se sklaacutedaacute z podsysteacutemů vzaacutejemně propojenyacutech součaacutestiacute
Je to čaacutest našeho světa kteraacute se svyacutem okoliacutem nějak interaguje napřiacutekladprostřednictviacutem vstupu a vyacutestupu
18
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Co je modelovaacuteniacute
ModelZa model můžeme poklaacutedat naacutehradu nebo zjednodušeniacute skutečneacuteho objektureaacutelneacuteho světa z hlediska jeho vlastnostiacute a funkčnosti
Modelovaacuteniacute je možneacute pouze pokud zavedeme určityacute stupeň abstrakce a aproximace
19
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Diskreacutetniacute a spojityacute model
Svstup vyacutestup
u(t) spojityacute systeacutem y(t)
u[n] diskreacutetniacute systeacutem y [n]
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
u[n] S y [n]
u[n]
n
y [n]
n
20
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Tvorba modelu
21
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Tvorba modelu
Při analyacuteze navrženeacuteho modelu chceme učinit co možnaacute nejsilnějšiacute rozhodnutiacute nazaacutekladě maleacuteho množstviacute dat Spraacutevnost našeho naacutevrhu je nutneacute statisticky vyhodnotit
Probleacutemy
1 Vyacuteznamneacute diference ve sledovanyacutech parametrech mohou byacutet způsobeny špatnyacutemnaacutevrhem modelu přiacutepadně měřeniacutem dat
2 Je těžkeacute rozlišit zda diference v datech jsou skutečneacute nebo způsobeneacute bdquonaacutehodnyacutemvlivemldquo
22
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Svět dopravy se neobejde bez měřeniacute
0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5minus08
minus06
minus04
minus02
0
02
04
06Akustickyacute signaacutelminus naacutekladniacute auto
a teď jeho zvuk zvuk auta
23
Proč modelovaacuteniacute systeacutemů
Otaacutezky
bull Jak ověřiacuteme spraacutevnost vyacutepočtu rychlosti šiacuteřeniacute ptačiacute chřipky
bull Jak ověřiacuteme pevnost noveacuteho mostu
bull Jak ověřiacuteme bezpečnost softwaru zabezpečovaciacuteho zařiacutezeniacute
bull Jak předpoviacuteme dopravniacute zaacutecpu na daacutelnici
bull Jak zajistiacuteme spolehlivou funkci navigace přiacute vyacutepadku signaacutelu GPS
Pokud nemůžeme předem prokaacutezat určiteacute vlastnosti na samotneacuteho systeacutemu prokaacutežemehledaneacute vlastnosti na jeho modelu
24
Modely reaacutelneacuteho světa
25
Modely reaacutelneacuteho světa
26
Modely reaacutelneacuteho světa
27
Dynamickeacute systeacutemy
Dynamickyacute systeacutem maacute v každeacutem okamžiku stav danyacute množinou reaacutelnyacutech čiacutesel Tentostav lze reprezentovat jako bod ve stavoveacutem prostoru (tedy jako vektor často x)
Evolučniacute pravidlo (rovnice vyacutevoje stavu) popisuje přechody mezi jednotlivyacutemi stavydynamickeacuteho systeacutemu
bull většinou deterministickeacute
bull může byacutet stochastickeacute
Pozor V matematice a fyzice tak nazyacutevaacuteme systeacutemy citliveacute na počaacutetečniacute podmiacutenky(dvojiteacute kyvadlo Lorenzův atraktor)
28
Dynamickeacute systeacutemy
θ +g
`sin θ = 0
29
Dynamickeacute systeacutemy
partρ
partt+nabla middot (ρu) = 0
DuDt
= Fminus nablapρ
By MannyMax (original) - ImageBernoullisLawDerivationDiagrampng CC BY-SA 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=2870495
30
Dynamickeacute systeacutemy
Exponenciaacutelniacute růst
N = rN
Logistickyacute růst
N = rN
(1minus N
K
)
31
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Modely reaacutelneacuteho světa
25
Modely reaacutelneacuteho světa
26
Modely reaacutelneacuteho světa
27
Dynamickeacute systeacutemy
Dynamickyacute systeacutem maacute v každeacutem okamžiku stav danyacute množinou reaacutelnyacutech čiacutesel Tentostav lze reprezentovat jako bod ve stavoveacutem prostoru (tedy jako vektor často x)
Evolučniacute pravidlo (rovnice vyacutevoje stavu) popisuje přechody mezi jednotlivyacutemi stavydynamickeacuteho systeacutemu
bull většinou deterministickeacute
bull může byacutet stochastickeacute
Pozor V matematice a fyzice tak nazyacutevaacuteme systeacutemy citliveacute na počaacutetečniacute podmiacutenky(dvojiteacute kyvadlo Lorenzův atraktor)
28
Dynamickeacute systeacutemy
θ +g
`sin θ = 0
29
Dynamickeacute systeacutemy
partρ
partt+nabla middot (ρu) = 0
DuDt
= Fminus nablapρ
By MannyMax (original) - ImageBernoullisLawDerivationDiagrampng CC BY-SA 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=2870495
30
Dynamickeacute systeacutemy
Exponenciaacutelniacute růst
N = rN
Logistickyacute růst
N = rN
(1minus N
K
)
31
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Modely reaacutelneacuteho světa
26
Modely reaacutelneacuteho světa
27
Dynamickeacute systeacutemy
Dynamickyacute systeacutem maacute v každeacutem okamžiku stav danyacute množinou reaacutelnyacutech čiacutesel Tentostav lze reprezentovat jako bod ve stavoveacutem prostoru (tedy jako vektor často x)
Evolučniacute pravidlo (rovnice vyacutevoje stavu) popisuje přechody mezi jednotlivyacutemi stavydynamickeacuteho systeacutemu
bull většinou deterministickeacute
bull může byacutet stochastickeacute
Pozor V matematice a fyzice tak nazyacutevaacuteme systeacutemy citliveacute na počaacutetečniacute podmiacutenky(dvojiteacute kyvadlo Lorenzův atraktor)
28
Dynamickeacute systeacutemy
θ +g
`sin θ = 0
29
Dynamickeacute systeacutemy
partρ
partt+nabla middot (ρu) = 0
DuDt
= Fminus nablapρ
By MannyMax (original) - ImageBernoullisLawDerivationDiagrampng CC BY-SA 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=2870495
30
Dynamickeacute systeacutemy
Exponenciaacutelniacute růst
N = rN
Logistickyacute růst
N = rN
(1minus N
K
)
31
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Modely reaacutelneacuteho světa
27
Dynamickeacute systeacutemy
Dynamickyacute systeacutem maacute v každeacutem okamžiku stav danyacute množinou reaacutelnyacutech čiacutesel Tentostav lze reprezentovat jako bod ve stavoveacutem prostoru (tedy jako vektor často x)
Evolučniacute pravidlo (rovnice vyacutevoje stavu) popisuje přechody mezi jednotlivyacutemi stavydynamickeacuteho systeacutemu
bull většinou deterministickeacute
bull může byacutet stochastickeacute
Pozor V matematice a fyzice tak nazyacutevaacuteme systeacutemy citliveacute na počaacutetečniacute podmiacutenky(dvojiteacute kyvadlo Lorenzův atraktor)
28
Dynamickeacute systeacutemy
θ +g
`sin θ = 0
29
Dynamickeacute systeacutemy
partρ
partt+nabla middot (ρu) = 0
DuDt
= Fminus nablapρ
By MannyMax (original) - ImageBernoullisLawDerivationDiagrampng CC BY-SA 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=2870495
30
Dynamickeacute systeacutemy
Exponenciaacutelniacute růst
N = rN
Logistickyacute růst
N = rN
(1minus N
K
)
31
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Dynamickeacute systeacutemy
Dynamickyacute systeacutem maacute v každeacutem okamžiku stav danyacute množinou reaacutelnyacutech čiacutesel Tentostav lze reprezentovat jako bod ve stavoveacutem prostoru (tedy jako vektor často x)
Evolučniacute pravidlo (rovnice vyacutevoje stavu) popisuje přechody mezi jednotlivyacutemi stavydynamickeacuteho systeacutemu
bull většinou deterministickeacute
bull může byacutet stochastickeacute
Pozor V matematice a fyzice tak nazyacutevaacuteme systeacutemy citliveacute na počaacutetečniacute podmiacutenky(dvojiteacute kyvadlo Lorenzův atraktor)
28
Dynamickeacute systeacutemy
θ +g
`sin θ = 0
29
Dynamickeacute systeacutemy
partρ
partt+nabla middot (ρu) = 0
DuDt
= Fminus nablapρ
By MannyMax (original) - ImageBernoullisLawDerivationDiagrampng CC BY-SA 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=2870495
30
Dynamickeacute systeacutemy
Exponenciaacutelniacute růst
N = rN
Logistickyacute růst
N = rN
(1minus N
K
)
31
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Dynamickeacute systeacutemy
θ +g
`sin θ = 0
29
Dynamickeacute systeacutemy
partρ
partt+nabla middot (ρu) = 0
DuDt
= Fminus nablapρ
By MannyMax (original) - ImageBernoullisLawDerivationDiagrampng CC BY-SA 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=2870495
30
Dynamickeacute systeacutemy
Exponenciaacutelniacute růst
N = rN
Logistickyacute růst
N = rN
(1minus N
K
)
31
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Dynamickeacute systeacutemy
partρ
partt+nabla middot (ρu) = 0
DuDt
= Fminus nablapρ
By MannyMax (original) - ImageBernoullisLawDerivationDiagrampng CC BY-SA 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=2870495
30
Dynamickeacute systeacutemy
Exponenciaacutelniacute růst
N = rN
Logistickyacute růst
N = rN
(1minus N
K
)
31
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Dynamickeacute systeacutemy
Exponenciaacutelniacute růst
N = rN
Logistickyacute růst
N = rN
(1minus N
K
)
31
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Dynamickeacute systeacutemy
By George Ioannidis - Own work CC BY 30httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=7920826
32
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Dynamickeacute systeacutemy
33
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Vnějšiacute popis dynamickyacutech systeacutemů
Vnějšiacute popis vychaacuteziacute z popisu systeacutemu vektorem vstupu u a vektorem vyacutestupu y
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Stavovyacute vektor systeacutemu x nepoužiacutevaacuteme Systeacutem chaacutepeme jako černou skřiacuteňku o jejiacutechžvlastnostech se dozviacuteme pouze tehdy jestliže budeme zkoumat jejiacute reakci na vnějšiacuteudaacutelosti (signaacutely data)
Vnějšiacute model popisujeme diferenciaacutelniacute rovniciacute pro systeacutemy se spojityacutem časem a diferenčniacuterovniciacute pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem Uvedenaacute rovnice je obecně vyššiacuteho řaacutedu než 1
34
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Vnitřniacute popis synamickyacutech systeacutemů
Vnitřniacute tzv stavovyacute popis systeacutemu použiacutevaacute k popisu dynamiky systeacutemu vektorvnitřniacutech stavů x
Vektor vstupů u a vektor vyacutestupniacutech veličin y jsou druhotneacute veličiny vnitřniacuteho popisu
u(t) x(t) =
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y(t)u(t)
t
y(t)
t
Stavoveacute modely popisujeme
bull soustavou diferenciaacutelniacutech rovnic prvniacuteho řaacutedu pro systeacutemy se spojityacutem časem abull soustavou diferenčniacutech rovnic prveacuteho řaacutedu pro systeacutemy s diskreacutetniacutem časem
35
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Role matematiky
Modelovaacuteniacute neniacute samospasitelneacute
bull model je pouze přibliacuteženiacutem reality
bull vyacutestupy modelu je proto vždy třeba ověřovat
bull možneacute chyby jsou jak v modelu tak i v jeho vyacutepočtu
Rozlišujeme dva kroky ověřeniacute
Verifikace Počiacutetaacuteme spraacutevnyacute model
Validace Model počiacutetaacute spraacutevně
36
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklady systeacutemů
R
Cu1(t) uC(t)
Napětiacute u1(t) na RC člaacutenku je součet napětiacute na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t)
u1(t) = uR(t) + uC(t)
37
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklady systeacutemů
Proud prochaacutezejiacuteciacute obvodem i(t) a časovyacute průběh napětiacute na rezistoru uR(t) je možnovyjaacutedřit jako
i(t) = Cddt
uC(t)
a proto
uR(t) = R middot i(t) = RCddt
uC(t)
38
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklady systeacutemů
Dosazeniacutem uR(t) ziacuteskaacuteme diferenciaacutelniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu pro časovyacute průběh napětiacute nakapacitoru uC(t)
RCddt
uC(t) + uC(t) = u1(t)
Řešeniacute uvedeneacute rovnice maacute pro všechna t ge 0
α =1RC
u1(t) = U0
a pro počaacutetečniacute hodnotu uC(0) = 0 tvar
uC(t) = U0(1minus eminusαt)
39
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
time [s]
u C [V
]
40
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnice nabiacutedkyNabiacutedka dnes zaacutevisiacute na včerejšiacute ceně a to tak že nabiacutedka stoupaacute s rostouciacute cenou ProC gt 0 platiacute
n[k] = Cc[k minus 1] +Au[k]
Rovnice poptaacutevkyPoptaacutevka dnes zaacutevisiacute na dnešniacute ceně a to tak že poptaacutevka klesaacute s rostouciacute cenou ProD gt 0 platiacute
p[k] = minusDc[k] + Bu[k]
41
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklady systeacutemů
Rovnost nabiacutedky a poptaacutevkyn[k] = p[k]
pak vede na diferenčniacute rovnici prvniacuteho řaacutedu
c[k] +CD c[k minus 1] =
B minusAD u[k]
42
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklady systeacutemů
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
43
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Rozdiacutel mezi lineaacuterniacutem a linearizovanyacutem
D1 D2 SP
QQ2Q1
P2
P1
44
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Iterace rovnice ceny
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu 45
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Iterace
Iteraciacute rozumiacuteme obecně opakovaacuteniacute nějakeacuteho postupu v matematice napřiacutekladopakovaneacute vyhodnoceniacute funkce Vyacutesledky z jedneacute iterace se použijiacute jako vstup pro dalšiacuteiteračniacute krok
Iteračně napřiacuteklad
bull hledaacuteme nuloveacute body funkce f (xlowast) = 0
bull simulujeme vyacutevoj diskretizovaneacuteho dynamickeacuteho systeacutemu
46
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Iterace
Diferenčniacute rovnici se vstupem u[n] a vyacutestupem y [n] můžeme přepsat do tvaru
y [n + 1] = f (y [n] y [n minus 1] u[n] u[n minus 1] )
stanovit tzv počaacutetečniacute podmiacutenky daneacute řaacutedem systeacutemu a potom napřiacuteklad pron = 2 3 s počaacutetečniacutemi podmiacutenkami y [0] y [1] y [2] iterativně počiacutetat vyacutestupydiskreacutetniacuteho systeacutemu y [3] y [4]
Podobnyacute postup se použiacutevaacute pro numerickou simulaci spojityacutech systeacutemů V tom přiacutepaděse systeacutemoveacute funkce vyhodnocujiacute v předem stanovenyacutech časovyacutech okamžiciacutech vyacutesledekneniacute tedy zcela přesnyacute
47
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Iterace rovnice ceny
Diferenčniacute rovnicic[k] +
CD c[k minus 1] =
B minusAD x [k]
odvozenou na předešlyacutech slajdech přepiacutešeme do kanonickeacuteho tvaru
y [k] + γy [k minus 1] = βu[k]
a postupnyacutemi iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a počaacutetečniacute podmiacutenku y [minus1] = 0
48
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Iterace rovnice ceny
Pro k = 0
y [0] + γy [minus1] = βu[0]
y [0] = β minus γy [minus1] = β
Pro k = 1
y [1] + γy [0] = βu[1]
y [1] = β minus γy [0] = β minus βγ
49
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Iterace rovnice ceny
Pro k = 2
y [2] + γy [1] = βu[2]
y [2] = β minus γy [1] = β minus βγ + βγ2
Pro obecneacute n
y [n] + γy [n minus 1] = βu[n]
y [n] = β minus γy [n minus 1] = β(1minus γ + γ2 + middot middot middot+ (minusγ)n
)
50
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Iterace rovnice ceny
y [n] = β
nsum
m=0
(minusγ)m = β1minus (minusγ)n+1
1 + γ=
β
1 + γ+
βγ
1 + γ(minusγ)n
0 1 2 3 4 5 695
100
105
110
115
120
125
cena
nabiacute
dka
a po
ptaacutev
ka
51
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
52
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Diracův impuls
Jednotkovyacute skok
Exponenciaacutela
Periodickeacute a harmonickeacute funkce
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
53
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Diracův impuls
Tato funkce je definovaacutena na časoveacutem intervalu pro všechna t a jejiacute nenulovou hodnotupředpoklaacutedaacuteme pouze v okoliacute bodu t = 0 Plocha těchto funkciacute je rovna 1 pro každeacuteε gt 0
δε(t)
tminusε +ε
12ε
δε(t)
t0 +ε
1ε
δε(t)
tminusε +ε
1ε
Funkci δ(t) definujeme jako δ(t) = limεrarr0 δε(t)
54
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Diracův impuls
Funkce δ(t) se nazyacutevaacute Diracův impuls Diracova δ-funkce nebo jednotkovyacute impulsHodnota δ(t) pro t 6= 0 je δ(t) = 0 Jejiacute hodnota v t = 0 neniacute definovaacutena jako funkcepoužiacutevaacute se integraacutelniacute definice
int infin
minusinfinδ(t) dt =
int ε
minusεδ(t) dt =
int 0+
0minusδ(t) dt = 1
pro každeacute ε gt 0
55
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Jednotkovyacute skok
Funkce jednotkoveacuteho skoku byacutevaacute obvykle značena 1(t) a je definovaacutena jako
1(t) =
1 pro t ge 0
0 pro t lt 0
1(t)
t
1
56
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Jednotkovyacute skok
Platiacuteδ(t) =
ddt
1(t)
1(t)
t
1
ε
57
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Exponenciaacutela
Uvažujme exponenciaacutelniacute funkcif (t) = eαt
kde α je reaacutelnaacute konstanta podle naacutesledujiacuteciacuteho obraacutezku
eαt
t
eαt
t
58
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Exponenciaacutela
Exponenciaacutelniacute funkcef (t) = A eαt
kde α isin C je zajiacutemavaacute hlavně v přiacutepadě kdy α = iω
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt)
59
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Periodickaacute funkce
O spojiteacutem signaacutelu f (t) řiacutekaacuteme že je periodickyacute s periodou T jestliže
forallt f (t + T ) = f (t)
a tedy takeacute pro libovolneacute k isin Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = middot middot middot = f (t + k middot T )
Nejmenšiacute možneacute T nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda značiacuteme T0
60
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Sinusovaacute funkce
f (t) = A sin (ωt + Φ)
A sin(ωt + Φ)
t
A
A sin(Φ)
T = 2πω
Konstanty A ω a Φ se nazyacutevajiacute amplituda uacutehlovaacute frekvence a faacutezovyacute posunSinusovka je periodickaacute se zaacutekladniacute periodou T = 2πω
61
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls a skok
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Odezva systeacutemu
62
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Vznik diskreacutetniacutech signaacutelů
Jak diskreacutetniacute signaacutely vznikajiacute
bull přirozeně (průměrneacute denniacute teploty denniacute kurzy počty studentů)
bull vzorkovaacuteniacutem spojityacutech signaacutelů (naměřeniacute teploty každou hodinu měřeniacutemprůtoku každyacutech 15 minut)
Diskreacutetniacute signaacutely jimiž se budeme v předmětu zabyacutevat jsou diskreacutetniacute v čase ale spojiteacuteve funkčniacute hodnotě
Digitaacutelniacute signaacutel je totiž často kvantovanyacute nabyacutevaacute tedy v každeacutem n pouze diskreacutetniacutemnožiny funkčniacutech hodnot napřiacuteklad 0 1 2 65535
63
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls
Diskreacutetniacute jednotkovyacute impuls δ[n] je definovaacuten vztahem
δ[n] =
1 pro n = 0
0 pro n 6= 0
δ[n]
n
δ[n minus 2]
n
64
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok
Diskreacutetniacute jednotkovyacute skok 1[n] je definovaacuten vztahem
1[n] =
1 pro n ge 0
0 pro n lt 0
1[n]
n
1[n minus 1]
n
65
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Diskreacutetniacute sinusovaacute posloupnost
Mějme sinusovyacute signaacutel f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2πωPokud tento signaacutel vzorkujeme s periodou Ts gt 0 ziacuteskaacuteme diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ)
kde n = 0 plusmn1 plusmn2 a ξ = ωTs
A sin(ξn + Φ)
t
66
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute signaacutel f [n] je periodickyacute jestliže existuje kladneacute celeacute čiacuteslo N takoveacute že platiacute
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = middot middot middot = f [n + k middot N]
pro všechna n isin Z (z intervalu (minusinfin infin)) a pro libovolneacute k isin Z N se nazyacutevaacute periodadiskreacutetniacuteho signaacutelu
Nejmenšiacute možneacute N nazyacutevaacuteme fundamentaacutelniacute perioda a značiacuteme N0
67
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Periodickyacute signaacutel
Diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel nemusiacute byacutet nutně periodickyacute zaacuteležiacute na volbě vzorkovaciacuteperiody Ts Pro periodickyacute diskreacutetniacute sinusovyacute signaacutel s periodou N musiacute platit
N = m middot 2πTs
kde m isin N Maacuteme i N isin N proto 2πTs musiacute byacutet racionaacutelniacute čiacuteslo
Přiacuteklad (Neperiodickyacute sinusovyacute signaacutel)Signaacutel
y [n] = sin n
neniacute pro Ts = 01 s periodickyacute protože 2πTs neniacute racionaacutelniacute čiacuteslo
68
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Obsah přednaacutešky
Matematickeacute modelovaacuteniacute systeacutemů
Iterace diferenčniacute rovnice
Uacutevod do teorie signaacutelů
Zaacutekladniacute spojiteacute signaacutely
Zaacutekladniacute diskreacutetniacute signaacutely
Odezva systeacutemu
Diskreacutetniacute systeacutem
Lineaacuterniacute a nelineaacuterniacute
Časově invariantniacute resp stacionaacuterniacute systeacutem
Kauzaacutelniacute přiacutečinnyacute systeacutem
Spojityacute systeacutem
Autonomniacute a neautonomniacute systeacutem
Stabilita
69
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Diskreacutetniacute systeacutem
u[n] LTI y [n]
u[n]
n
y [n]
n
70
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute impuls δ[n] budeme nazyacutevat impulsniacute odezva aznačit h[n]
h[n] = Sδ[n]h[nm] = Sδ[n minusm] (1)
71
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Diskreacutetniacute systeacutem
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1[n] budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s[n]
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
72
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Lineaacuterniacute systeacutem
Definice (Linearita)
V matematice označujeme funkci f (x) jako lineaacuterniacute v přiacutepadě že je
1 aditivniacute f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a
2 homogenniacute f (αx) = αf (x)
Obdobně to platiacute i pro lineaacuterniacute systeacutemy
Definice (Lineaacuterniacute systeacutem)
Systeacutem je lineaacuterniacute pokud pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
Su1[n] + u2[n] = Su1[n]+ Su2[n] Sαu[n] = αSu[n]
73
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva různeacute vstupniacute signaacutely u1[n] a u2[n] platiacute
y1[n] = Su1[n]y2[n] = Su2[n]
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] takeacute
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = Su[n] = Sαu1[n] + βu2[n]
Obecně platiacute
u[n] =sum
i
aiui [n] rarr y [n] =sum
i
aiyi [n] =sum
i
aiSui [n]
74
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Lineaacuterniacute systeacutem)Uvažujme systeacutem
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Je-li na vstupu lineaacuterniacute kombinace dvou různyacutech signaacutelů
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na vyacutestupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n minus 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n minus 1])
kde
y1[n] + a y1[n minus 1] = u1[n]
y2[n] + a y2[n minus 1] = u2[n] 75
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Nelineaacuterniacute systeacutem)Numerickyacute vyacutepočet druheacute odmocniny lze zapsat rekurentniacutem vztahem
y [n + 1] =12
(y [n] +
u[n]
y [n]
)
Odmocnina z čiacutesla 10 je s přesnostiacute na 10 desetinnyacutech miacutest rovnaradic10 = 316227766017 Pro u[n] = u[0] = 10 dostaacutevaacuteme postupně
n y [n] y2[n]
1 3 92 3165 100172253 3162278 10000002149284 3162277660 9999999999568
76
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Lineaacuterniacute systeacutem
Pro obecnyacute vstupniacute signaacutel u[n] je pak odezva lineaacuterniacuteho systeacutemu
y [n] = Su[n] = S infinsum
m=minusinfinu[m] δ[n minusm]
=infinsum
m=minusinfinu[m]Sδ[n minusm] =
infinsum
m=minusinfinu[m] h[nm]
Vidiacuteme že chovaacuteniacute systeacutemu je zcela určeno jeho odezvami na různě posunuteacutejednotkoveacute pulsy h[nm]
77
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Lineaacuterniacute systeacutem
Přechodovaacute odezva diskreacutetniacuteho lineaacuterniacuteho systeacutemu s[n] je daacutena prostyacutem součtemimpulsniacutech odezev pro 0 le m le n
s[n] = S1[n] = S
nsum
m=0
δ[n minusm]
=nsum
m=0
Sδ[n minusm] =nsum
m=0
h[nm]
Lze za nějakyacutech podmiacutenek zjednodušit h[nm]
78
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Časově invariantniacute systeacutem
Systeacutem se nazyacutevaacute časově invariantniacute jestliže jsou všechny udaacutelosti zaacutevisleacute pouze načasoveacutem intervalu (rozdiacutelu časovyacutech udaacutelostiacute) n minusm a nikoliv na každeacutem časoveacutemokamžiku n a m samostatně
dnes y [n] = S [u[n]]
včera y [n minus 1] = S [u[n minus 1]]
Potom takeacute rovnice pro impulsniacute odezvu přejde z maticoveacuteho tvaru na prostyacute vektorovyacutezaacutepis
h[nm]rarr h[n minusm] = Sδ[n minusm]
79
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Časově invariantniacute systeacutem
h[n]
n
u[n] LTI y [n]
y [n] = u[0] middot h[n]
u[n]
n
u[0] middot h[n]
n
y [n]
n80
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Konvoluce
V důsledku časoveacute invariance dostaacutevaacuteme z rovnice konvolučniacute sumu
y [n] =infinsum
m=minusinfinh[n minusm] middot u[m] =
infinsum
k=minusinfinh[k] middot u[n minus k]
kterou pro uacutesporu miacutesta značiacuteme
y [n] = h[n] lowast u[n]
Pozor nejde o naacutesobeniacute
h[n] 6= y [n]
u[n]
81
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově invariantniacute systeacutem)Uvažujme mikroekonomickyacute systeacutem variace ceny popsanyacute diferenčniacute rovnici
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
Protože jejiacute koeficienty nezaacutevisiacute na čase tj a je konstantniacute a neniacute funkciacute n zachovaacutevaacutetato rovnice tvar při zaacuteměně nrarr n minusm Impulsniacute odezva je potom
h[n] = (minusa)n1[n]
82
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Přiacuteklad
Přiacuteklad (Časově proměnnyacute systeacutem)Uvažujme nyniacute obměněnou diferenčniacute rovnici
y [n] + n middot y [n minus 1] = u[n]
Koeficient u y [n minus 1] zaacutevisiacute na čase a tato rovnice nezachovaacutevaacute tvar při zaacuteměněnrarr n minusm Impulsniacute odezvu lze psaacutet ve tvaru
h[n] = (minus1)n n 1[n]
83
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Kauzaacutelniacute systeacutem
Systeacutem je kauzaacutelniacute pokud jeho vyacutestup zaacutevisiacute pouze na současnyacutech a minulyacutechhodnotaacutech vstupů
Vyacutestupniacute signaacutel y [n] kauzaacutelniacuteho systeacutemu tedy zaacutevisiacute pouze nau[n] u[n minus 1] u[n minus 2] V konvolučniacute sumě proto
y [n] =infinsum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
=minus1sum
k=minusinfinh[k] u[n minus k]
︸ ︷︷ ︸0
+infinsum
k=0
h[k] u[n minus k]
musiacuteme položit všechny členy impulsniacute odezvy h[n] = 0 pro n lt 0
84
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Kauzaacutelniacute systeacutem
Konvolučniacute suma pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y [n] =infinsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =infinsum
k=0
u[k] middot h[n minus k]
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby foralln lt 0 u[n] = 0 y [n] = 0 (oba signaacutely mohou miacutet nenuloveacute členypouze pro n ge 0) potom platiacute
y [n] =nsum
k=0
h[k] middot u[n minus k] =nsum
k=0
h[n minus k] middot u[k]
85
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Spojiteacute systeacutemy
Definice (Impulsniacute odezva)
Odezvu systeacutemu na Diracův impuls δ(t) budeme nazyacutevat impulsniacute odezva a značith(t)
h(t) = Sδ(t)h(t τ) = Sδ(t minus τ)
Definice (Přechodovaacute odezva)
Odezvu systeacutemu na jednotkovyacute skok 1(t) budeme nazyacutevat přechodovaacute odezva aznačit s(t)
s(t) = S1(t) = Sint t
0δ(t minus τ) dt
86
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Spojiteacute systeacutemy
V přiacutepadě spojiteacuteho casu postupujeme podobně a odvodiacuteme pro lineaacuterniacute časověinvariantniacute systeacutem konvolučniacute integraacutel
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ)u(t minus τ) dτ =
int infin
minusinfinh(t minus τ) middot u(τ) dτ
Operaci často zapisujeme ve zjednodušeneacute formě jako
y(t) = h(t) lowast u(t)
Opět připomiacutenaacuteme že se v tomto zaacutepisu nejednaacute o naacutesobeniacute
87
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Spojiteacute systeacutemy
88
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Spojityacute systeacutem
Pro u(t) = δ(t) platiacute pro lineaacuterniacute a časoveacute invariantniacute systeacutem samozřejmě
y(t) = Su(t) =
int infin
minusinfinh(τ) middot δ(t minus τ) dτ = h(t)
89
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Spojiteacute systeacutemy
Vyacutestupniacute signaacutel y(t) spojiteacuteho kauzaacutelniacuteho systeacutemu zaacutevisiacute pouze na hodnotaacutech vstupůpro předešleacute časoveacute okamžiky Z důvodu ktereacute klademe na kauzaacutelniacute chovaacuteniacute systeacutemupřejde konvolučniacute integraacutel na tvar
y(t) =
int infin
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
=
int 0
minusinfinh(τ) u(t minus τ) dτ
︸ ︷︷ ︸0
+
int infin
0h(τ) u(t minus τ) dτ
a hodnoty impulsniacute odezvy pro t lt 0 uvažujeme opět h(t) = 0
90
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Spojiteacute systeacutemy
Konvolučniacute integraacutel pro lineaacuterniacute časově invariantniacute a kauzaacutelniacute systeacutem maacute tvar
y(t) =
int infin
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int infin
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
Jestliže naviacutec budeme požadovat aby vstupniacute a vyacutestupniacute signaacutely měly dobře definovanyacutepočaacutetek tj aby forallt lt 0 u(t) = 0 y(t) = 0 (oba signaacutely mohou byacutet nenuloveacute členypouze pro t ge 0) potom platiacute
y(t) =
int t
0h(τ) middot u(t minus τ) dτ =
int t
0u(τ) middot h(t minus τ) dτ
91
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Charakteristiky systeacutemů
Definice (Autonomniacute systeacutem)Za autonomniacute systeacutem považujeme takovyacute kteryacute nemaacute vstup Diskreacutetniacute autonomniacutesysteacutem je popisuje tedy napřiacuteklad diferenčniacute rovnice vnějšiacuteho popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0
Vyacutestup autonomniacuteho systeacutemu je odezvou na počaacutetečniacute podmiacutenky
V přiacutepadě že systeacutem maacute vstup u[n] tedy
y [n] + a y [n minus 1] = u[n]
systeacutem poklaacutedaacuteme za neautonomniacute
92
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Definice stability
BIBO stabilita ndash bounded input bounded output
Odezva na omezenyacute vstupniacute signaacutel musiacute byacutet vždy omezenaacute ndash systeacutem je BIBO stabilniacute
Odezva systeacutemu je kombinaciacute
bull odezvy na vstupniacute signaacutel
bull odezvy na počaacutetečniacute podmiacutenky
93
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Stabilita systeacutemů
Impulsniacute odezvu spojiteacuteho LTI systeacutemu lze vždy zapsat jako součet exponenciel ve tvaru
h(t) =nsum
micro=0
kmicroepmicrot
kde pmicro jsou tzv poacutely přenosoveacute funkce systeacutemu
Pro pmicro isin R je h(t) reaacutelnaacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin buď roste nade všechny meze(pmicro gt 0) nebo klesaacute k nule (pmicro lt 0)
Pro pmicro isin C je h(t) komplexniacute exponenciela kteraacute pro t rarrinfin kmitaacute a buď roste nadevšechny meze nebo klesaacute k nule zaacuteležiacute na ltpmicro
94
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95
Stabilita systeacutemů
Z vyacuteše uvedeneacute uacutevahy vyplyacutevaacute jak z polohy poacutelů přenosoveacute funkce jednoduše odvodiacutemetvar impulsniacute odezvy a tedy stabilitu (limtrarrinfin h(t) = 0) respektive nestabilitu(limtrarrinfin h(t) =infin) systeacutemu
bull Pro stabilniacute systeacutem platiacute limtrarrinfin h(t) = 0
bull V impulsniacute odezvě se nachaacuteziacute minimaacutelně jedna rostouciacute exponenciela jež budehodnotě h(t) postupně dominovat a je tedy limtrarrinfin h(t) =infin
bull Systeacutem může byacutet ale nestabilniacute i v jinyacutech přiacutepadech kdy takeacute limtrarrinfin h(t) =infin
95