OF1lMISASI DENOAN KENDALA
r~--···-,·-·
l ; ~ '"
OLEH:
TRIKUNCORO
Dibiayai oleh : DanaOPF
TabUn Anganm 1990/1991
Surat Keputuaan DeJean : Nomor : 31/SKD/90
TBIJ888l : 1 Nopember 1990
---1
FAKULTAS MA1EMATIKA DAN n.MU PENOETAHUAN ALAM UNIVERSITAS OADJAH MADA
DEPARTEMEN PENDIDIKAN DAN KEBUDAY AAN 1990
/c rc, r
~9 ·.:~r
1~'1 0 c. (
.. . ' .
i ;r·
KATA P ~NG/\N TAR
Asselam'mualaikum wr wb,
Puj i syuku r k ehadi rat lU 1 ah SIJT a tas p etunj uk dan hi dayah
NYA sehingga laporan penPlitian• ini dapat diselesaikan t~
pat pada waktunya.
Topik yang cfib8has dalam laporan penelitien ini adalah OE:_
TIMISASI DENGliN KEND.l\L.t\. Topik ini merupakan kelanjutan
dari topik penelitian yang berjudul OPTIMISASI LEIJAT METO
DA NUMERIS Y.~ng dilakukf"n oleh Drs. 8. Susanta dan penur-
lis sendirL Penelitian terdahulu membatasi pembahasan h.2.
nya pada optimalisasi fungsi-fungsi tanpa kendala, semen-
tara penelitian ini melengkapinya dengan membahas optima-
lisasi fungsi-fungsi dengan kendala.
Penulis menyadari' baht.ra 11'\poran penelitian ini niasih sa -
ngat jauh d8ri sempurna, untuk itu kriltik dan saran untuk
perbaikan sangat penulis har~pkan.
Kepada:
1 • Bapak
2. Bapak
3. Bepak
4. Bepak
Dekan FMIPA
Ketua kAgiatan Proyek OPF UGM
Ketua Juruscm Matematika FMIPA dan
Drs. 8. Susanta selaku pembimbing
penulis mengucapkan terima kasih atas segala bantuan, do-
rongan, bimbingan, ijin dan persetujuan pendanaannya.
\Jassalam'mualaikum wr wb.
INTI SARI
Optimisasi dengan kendala mempunyai beberapa metoda untuk
menemukan ni-lai optimalnya. Masing-masing_ metoda mempunyai
kekuatan dan kelemahan dalam memberikan arah menuju titik
konvergen atau nilai optimal.
Proses menuju konvergensi dan akhirnya mendapatkan nilai
optimal kadang-kadang memerlukan langkah-langkah perula -
ngan yangrcukup lama.Perull'!ngan ini biasanya lalu mengarah •
pada penghampiran numeris. Perhitungan secara m
TINJ AU AN PU STAK A
Program non linear dengan kendala mempunyai beberapa meta-
de P eny el esai an, y ai tu:
1. Untuk kendala bebbentuk persamaan:
1.1. Metoda Jacobian {Bronson, 1983], (Hamdy,1982),
[Beightler, 1979), (Mital, 1979),(Ravindran, 1976)
1.2. Metoda Lagrange l8ronson, 1983), lHamdy, 1982),
{Mital, 19791, (Ravindran, 1976)
1.3~ Metoda Newton Rhapson {Bronson, 1983), (Hamdy,1982)
tMi tal, 19791
1.4. fYletoda Fungsi Penalti (Bronson, 1983), {Hamdy,1982)
{JVlital, 1979), tRavindran, 1976)
2. Untuk Kendala berbentuk PP.rtidaksamaan:
2.1. Metoda Lagrange {Bronson, 1983), {Hamdy, 198?],
[fHtal, 1979), (Ravindran, 1976)
2.?. Metoda Kuhn-Tucker (Bronson, 1983), tHamdy, 1982)
[Mi ta-l, 1979)
Metoda Newton Rhapson dFllam Drograrn non linear dengan ken-.
dala bebbentuk persamaan ml'!rupakan metoda yang paling ce -
pat mengarah ke nilai optimal (Hamdy, 198?), [Kuester, 19731
sedangkan metoda-metoda yang lain relatif lebih lama lagi
untuk sampai ke nilai optimal.
Akan tetapi kecepatan memdapr:Jtkan nilai optimal juga sangat
tergantung kepada penentuan titik awal penghampiran {Hamdy,
1982), sedangkan ke empat metoda yang ada sama sekali ti-
dak memberikan informasi untuk penentuan titik awal tersee
but (Beightler, 1979), [Mital, 19791, tHamdy, 1982), ·(Ra-
vindren, 1976). !ienentuan daerah penyidikan yang mengarah
ke konvergensi I unimodal lebih banyak di dapatkan melalui mE'toda coba-coba (Hamdy, 19821, (Beightler, 1979), (Mital,
1979), lRavindran, 1976),lKuester, 1973).
Metoda Lagrange pada program non liner:~r dengan kendala ber-
bentuk pertidaksamaan relatif lpbih lemah dibanding metoda
Kuhn-Tucker (Bronson, 1983), (Hamdy, 198?), (Mital, 1979).
Penerjemahan kedalam program komputer untuk metoda pada-
D~.FTfl.R I SI
Kata pengantar . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intisari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tinjauan Pustak8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Daftar Isi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8118 I • Pencfahuluan
BAB II Pembahasan
BnB III Kesimpulan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Pberapa definisi dari istilah-istilah . . . . . . . . . . . . .L\1 go r i tm a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FloiJ Chart
Daftar Pustall:a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ii
iii
v
1
2
7
11
13
20
25
BAS I
PEN DAHULU AN
Secara garis besar, program non linear dapat dibeda -
kan menjadi dua, yaitu:
1. Program non linear tanpa kendala dan
2. Program non linear dPngan kendala.
Pembahasan mP.ngenai program non linear tanpa kendala
su dah dikup as di dal am pen eli ti an t er dahulu, m pl ipu ti top ik
mengenai ppnentuan daerah penyeligikan, metoda-metoda yang
ada, p~nghampiran numerisnya dan penyususnan program kompu-
ter.
Untuk melpngkapi penelitian terdahulu, dalam bab II
akan dibahas program non linear dengan kendala menyangkut
topik metoda-metoda yang ada, penghampiran numerisnya. dan
penyusunan program komputer. Penentuan daPrah penyelidik
akan dibahas didalam pembahasan masing-masing metodanya.
Pada bab III tentang Kesimpulan akan dicoba dikete -
ngahkan beberapa hasil yang didapatkan dari pembahasan pada
bab II. KAsimpulan itu menyangkut kekuatan dan kelemahan
masing-masing metoda yang ada, metoda yang paling cepat me
nuju ke konvergen I nilai optim?.l dan kpsulitan-kesulitan yang timbul pada saRt men,rj emahkan algoritme metoda-metoda
ke dalam program komputer.
Bahasa komputer yang dipakai untuk menyusuR~program -
komputernya dipilih bahasa PASCAL, dengan pertimbangan ka-
rena bahasa Pn.SCAL lebih efisien dan mempunyai tibgkat ke-
telitian tinggi. Tingkat ketelitian yang tinggi ini sangat
diperlukan pada program-program komputpr sem8cam ini kare-
na akan memberikan hasil penghampiran yang lebih akurat.
Perangkat keras yang digunakan untuk mencoba peogram kom-
putE!rnya adalah PC-AT 386/ex.
3
Metoda optimasi untuk program non line:!ar te~npa kendRla a-
dalah:
1. Untuk pro gram non 1 in ear tanpa kende~la satu p erubah:
1. 1. Me to de~ three paint interval
1.?. Metoda Fibonaci
1. 3. Metoda Go! den Mean
1.4. Metoda Rosen brock
1. 5. Meta da Bisection
1. 6. Meta da Fa! s e position
1.7.' Metoda Newton Rhapson . 2· Untuk program non linear tanpa k en d a 1 a p e r u bah banyak:
2. 1. Metoda Hooke Jeeves
2. 2. Metoda Axial.
2. 3. Meta da Steep est Ascent
2.4. Metoda Newton Rhap son
Pembahase~n mengenai program non linear tanpa kendala dan
metoda-mp,toda yang ada sudah dilakukan pade~ penelitian te!:,
dahulu.
II. PROGRAM NON LIN£"AR DENGAN KENO.QLA
Program non linear dengan kendala dapat dibedakan menjadi:
1. Program non linear dP.ngan kendala persamaan dan
2. Program non linear dengan kendala pertidaksamaan.
1. Program Non Linear dengan kendala persamaan
Bentuk umum:
M em ak s i m a 1 k an z = f(X) , untuk X En
Meminimalkan
dengan syarat gj(x) = 0 j = 1,2, ••• ,m ; m n
Metoda optimalisasi:
1.1. Metoda Oerivatir (Jacobian)
Oengan mengambil titik awal penghampiran Xo
Di su sun X = ( Y, Z) -'----- v - I ..• '
dfhi tung
Vf'(Y,Z) = ( Vyf', Vzf') Vg(Y,Z) = ( Vy9• Vzg)
d i d P. r in i s i k an J = Vyg = (9yg1, Vyg21 ••• ,
C = fJyg = ('Vyg1, Vyg2, ••• , dihitung
.
nilai (J- 1 c)X0
s cr = ('Vzr - 'Vyf J- 1 c). Cbz f>v =- J- 1 c.f>z
hasil perhitungan d'iatas r~kan mengakibatkan nilai SX d aP at di ten tu k an.
Selanjutnya dihi tung X1 = Xo + bX
Oengan memakai nilai X1, proses diulangi.
Demikian se>tPrusnya samp8i diperoleh nil;::Ji dengan ba-
tas ralat yang diinginkan/d~syaratkan.
2. 2. M e to d a L a gran g e
Oi su sun b en tu k :
F(X 1 L) = f(X) - l'G den gan m
L ' G = i: 1 . ~. (X) j=1 J J
Syarat perlu a·gar F(X,L) mencapai ekstrim adalah:
&F - = 0 1 i = 1 1 2, ••• 1 n·
- = 0 & 1.
1 j = 112, ••• ,m
J
2. 3. Metoda Newton Rhapson
Oisusun fungsi seperti dalam metoda Lagrange F(X,L),
kemudian dibentuk L(Z), sebagai bPrikut.:
L(Z) = F(X 1 L) L ( Z) = L ( x 1 1 x 2 1 • • , xn 1 11 1 1 2 1 • • 1 1m )
5
Deng;:m rumus iterasi berikut ini nilai z akan dapat dip erol eh
zk+1 = zk - (HL/Zk)-1_ L/Zk
Jika L(Z) konvergen akan diperoleh nilai Z yang op-
timal, itu berarti nilai X juga optimal.
2.4. Metoda Fungsi Penalti
Metoda ini member-ikan petunjuk dalam hal menentukan
nilai awal penghampiran, yaitu dengan mengambil
m 2 - 2: P· g .. (x)
1=1 ~ ~ z = r(x)
den gan · p•)' 0 konstanta (disebut tetapan penal-
ti).
Pr-oses sel anj u tny a men ggun ak an me to da-m eta da s eb elup_
nya.
2. Program Non LinPar dengan Kendala Pertidaksamaan
Ben tuk Umum:
Memak simal kan
Meminimalkan
Metoda optimalisasi:
2.1. Metoda Lagrange
z = f( X)
dengan sy ar at
gj(x) ~ o hk (X) = 0
, j = 1,2, ••• ,n , k = 1,2, ••• ,p
Oiambil suhtu kombinasi dari g.(X) = 0 yang diga-J
bungkan dengan hk(X) = 0, hasilnya diuji/dikaji di d'a 1 am g . ( X) ~ 0.
J Bila memenuhi kondisi fungsi g, berarti diperoleh
titik stasioner.
Proses diatas diulangi sehingga untuk semua kombi-
nasi ( satu unsur, dua unsur, ••• , atau n unsur )
y~nq munakin dari n unsur a.(X) = 0 semuanva su -
2.2~ Metoda Kuhn - Tucker
Syarat perlu agar ekstrim dapat di.tulis sebagai
b er iku t-:
gj (X) < 0 I j = 1121 ••• 1m hk (X) = 0 I k = 1,2, ••• ,p
1 . g. = 0 j = 1,2, ••• ,p J J I
di susun
z = m p
f(X) * 2" 1. g. (X) + ~ hk(X) j=1 J J k=1
5
· Oalam kond'i~i seperti diatas, syarat perlu akan
menjadi syarat cukup jika f(X) dan spmua gj(X) ko~
kaf, itu bere~rti z akan mencapai optimal (dalam -
hal ini z mencapai maksimal).
Nilai z mencapai optimal minimum jika f(X) konvex
dan g. ( x) konk ar. J
BAS III
KESIMPUL AN
Metoda-metoda optimisasi untuk program non linear
de>ngan kendala telah disajikan dalam bab II. Masing-ma-
sing metoda kemudian diterjemahkan ke dalam program kom-
puter. Pengujian dilakukan dengan mengambil nilai awal U!:!_
tuk penghampiran dengan nilai yang sama. PenP.ntuan nilai
awal menggunakan pro~edur y
8
Keterbuk~an nilai pendekatan yang ternyata masih
mP.mpunyai kemungkinan mengEJrah ke konvorge:on maupun
divergen, ak.gn membat.ra kit~ kedalam suatu kesulitan
karena perulangan itu tidak akan pernah selesai ji
k2 fTle:>mang kenyataannya fungal tersebut tidak opti-
mal.
Proses me:>ncari nilai optimal 8khirnya seperti sek.!:!_
dar melakukRn proses triRl ~nd error. Nilai opti -
mal akan berhasil jika fungsinya konvergen dengan
penetapan niL:oi e1wal penghr.:lmpitan SPCE~ra kebetulc>n
tepRt. Seb2liknyC1 jika fungsinya divergf?n dengan.
pemilih;:~n nilai aw81 tidak tepat, proses looping
tetap br?rj;:~l~n tanpa bise didet-:>ksi diwaktu kapan
seharusnya perulang,qn tersebut harus berhenti dan
eksekusi program komputer diangg?p cukup.
Seandainy~ program terpaksa dihentikan secara pak-
sa kita tirlak bida menarik kesimpulan b,qhwa fungsi
tersebut dinyatakan konvergen ;:~tau rlivergen.
Jika fungsinya sejak semula sudah diketahui konveL
gen, metoda ini cuku~ baik untuk digunAkan mencari
nilai optimr~l. Oe:>nr.:~::Jn meng8mbil nilai ::>wd menurut
arahan mptoda fun
9
hambPttan, sebalikmya jika pengambilannya sal~h a-
kan membunt pengujiannya menjadi tid;~k efisil!!n k.2,
renR k~sAlahan itu baru bisa disa~ari setelah p~
rulangan berlRngsung cukup lama. JikC'I kemungkinan
itu bP.nar-bpnar tP.rjadi, make~ nilai p harus diga!!,
ti dengan nilai p yang baru dan nilai inipuh be -
lum dapat rliketahui benar tidaknya.
Sehingga mp,tnr.la ini ~ianggap tidak begitl.J erisien
kpcuali jikr~ penggunar~n mptoda ini dikombinr~si dE'
ngan metoda yang lain.
Jika Penentuan nilai p ·tidak secera trial and error
mele~inkan dengan bat.asan-bateeen tertentu sehingga
selalu t~pat, metoda ini sr:~ngat baik k;uena perhi-
tungan manu
10
SE'f)r-!rtinyn mP.njildi tidnk br1ny;Jk meno]nng, l~1rena
bebP.repn tahe1p yang justru sCJngat rnenentukan ha-
ru~ rlihitung ~ecnrn m:=tnusl.
Uraian-uraian PndA keoup mPtod~ diatas membprikan ke -
simpulAn bnht.IFl pP.nyusunan progrBm komput~r untuk meto-
da optimasi P2ri8 progrr:!m non line;u dnng8n kendala Per.
tioAks;:~m8?n tidak banyak rnpmb2ntu pr>ngujien n1etoda se-
cara numerik. Bebl?rapa lnnokah P8dcarR mnnu:=~l atm1 sc~rn komputc>si.
BEBER~PA DEFINISI DARI ISTILAH-ISTILAH
1. Oefini t po si tip:
MRtrik M disebut definit positip jika untuk se-mua X'!- 0 dipenuhi baht..ra bF?ntuk kuadrat X'MX">O menj adi syaratnya.
2. Oefinit negatip:
Matrik L disPbut definit negatip jika untuk se-m u a V 'F 0 d i p en u h i b a h w
12
9. Fungsi Konvex:
Un tuk X E. S C En den gan S ad~l ah himpun an konv ex maka fungsi f(X) dis~but fungsl konvex bila un -tuk sebnrang dua titik X1 dan X2 dengan X1, X2 € S dan 0 < m ~ 1 akan dip enuhi
f(m.X1+(1-m).X2) ~ m.f(X1) + (1-m).f(X2) Catatan:
Jika sP.mua tanda diubah menjadi .ngan X G.S dan Shim-punan konves bila -f(X) konvex didalam s. Catatan:
Fungsi konkaf tegas didefinisikan sejalan d~ ngan pendefinisian konvex tegas.
11. Matrik Hessian: Oalam En, jikn fungsi f mempunyai derivatif kedu~ maka matrik Hessian untuk f adalah
1 2 • Teo rem a I :
't}·r Hf(X) =
den gan
f>x. &x. l. J
i = 1,?, ••• ,n j = 1,2, ••• ,n
Jika semua derivatif kedua fungsi f(X) ada dengan X E.S dan H(X) matrik Hessian untuk f maka f'ungsi f(X) disebut konkaf/konvex tegas dalam S bila dan hanya bila H(X) definit negatip atau definit posi tip untuk ·semua X didalam s.
1 3. Teo r em ~ I I : Jika semue derivatif k X didalam S dan H(X) m fungsi r(x) disebut ko· dan hanya bila H(X) s midefinit negatip untu
14. Teorema III:
dua fungsi f(X) ada dengan trik Hessian untuk f make kaf/konvex dalam S bila -i defini t po si ttip a tau se~
semu a X didal am s.
Jika fungsi f(X) konkaflkonvex dalam S maka seti-ap maksimum I minimum lokal dalam S akan merupaka kan maksimum I minimum global dalam s.
ALGORITMA METODA PEr.,IYELESAIAN SECARA UMUM
1. Menentukan nilai awal pendekatan ( Xo)
2. Menghitung nilai pendek?tan selanjutnya ( X1 )
3. Menguji apakah nilai X1 merupakan nilai optimal atau
tidak
4. Mengulangi proses jika ternyata nilai pendekatan yang
baru bukan merupakan nilai optimal.
' ALGORITMA UNTUK METODA OERIVATIF (JACOBIAN)
1. Menentukan nilai Xo
2. Menyusun Yo dan Zo sebagai beriku t Xo = (Yo, Zo) 3. Menghi tung df(Yo, Zo) = ( dyfo, dzfo) 4. Men ghi tung dg( Yo, Zo) = ( dyfo, dzfo) 5. Men ghi tung:
J = dygo = ( dyg10 J dy g2o, ... ' dygmo ) ' c = dzgo = ( d Z g 1 o , . d Z g 2o , • • • I dzgmo ) '
0
6. Menghitung invers J
7. Menghitung nilai J- 1.c untuk Xo
e. Men ghi tung Z* 9. Menghitung Y* = -1 -J .c.z* untuk Xo 10. Menentukan X* = (Y*,Z*)
1 'f. Menentukan X1 = Xo + X*
12. Mengul an g proses diatas sehingga dip erol eh X yang op-timal.
AL GORI TMA UN TUK M E:TODA lAGRANGE
1. Menentukan fa= ( x1a, x2a, •• , xna, 11a, 12a, •• , lma)
2. Menyusur.t:·. Fa(X,L) = f( Xo) - La'. G( Xo) 3. Men ghi tung
dx1f' dx2f' . . . , dxn f untuk nilai Xo d11 f' dl2f' . . . , dln f untuk nilai Xo
4. Menguji apakah masing-masing
~ d .f )o untuk i = 1,2, •• ,n X1 dan
( d 1 j f ) o u n tu k j = 1 , 2, •• , m
sama dengan nol atau tidak
5. Jika sama dengan no! maka program optimal
6. Jike tidak sama dengan nol, disusun
f1 = ( xio + (dxif)o , ljo + (d1 jf)o ) dengan
i = 1, 2, ••• , n
j = 1, 2, ••• , m
AL GO RI TM A UN TUK M ETO OA NEWTON RHAP SON
1. Menyusun Fo = (x1o, x2o, •• , xno, 11o, 12o, •• , lmo) 2. Menghitung (dr)o
3. Men en tukan der i vati f k edu a dari r y aitu ( d2r)o
4. Menyusun matrik Hessian H(X,L) berdasarkan derivatir
kedua dari F, sekaligus dihitung H(X,L)o
5. Mertcari invers dari H(X,L)o
6. M enyu susn
7. Mengulangi proses sehingga diperoleh Fn yang optimal.
/ /
1.
2.
3.
4.
s. 6.
ALGORITMA UNTUK METODA TITIK PELANA / fUNGSI PENAL TI
Men en tukan Xo dan po dengan pia 0 un tuk 1 = 1,2, •• ,m Men ghi tung G2o = G2 ( Xo)
Men ghi tung PGo = po. G2o Men ghi tung Zo = fo - P Go dengan fa = r( xo)
Men en tuk an X1 = Zo
Pro"ses diulangi sehingga dip eroleh Xn optimal.
ALGORITMA UNTUK METODA LAGRANGE PROGRAM NON LINEAR DENGAN KENDALA PERTIOAKSAMAAN
1. Menentuken Xo sehingga G(Xo) = 0 dan H(Xo) = 0
2. Menguji Xo apakah G(Xo) 0 atau tidak
3. Mengulangi proses untuk semua unsur dari kombinasi yang ada.
4. Mengambil kombinasi yang lain dan mengulang proses se-
b el"umny a sam ap ai dip ero 1 eh ni 1 ai optimal.
1\LGORITMA UNTUK METODA KUHN - TUCKER
PROGRAM NON LINEAR DENGAN KENDALA PERTIDAKSAMAAN
1. Menentukan Fo = (x1o, x2o, ••• , xno, 11o, 12o, •• , lmo) 2. Menghitung P
F 1 = f ( Xo ) + L o • G ( Xo ) + ~ H • ( Xo) i=1 1
3. Menguji apakah F1 optimal atr~u tidak .
4. Jika tidak proses diulangi sehingga diperoleh nilai op-
timal.
FLOW CHAin UNTUK MENCARlT HATRIK TRANPOS
matrik A(al,a2)
1:11 ~
1- AT(j,i)=A(i,j) I
.-------l~~~~·=~i~+~lr---~
- ....
FLOW CHARI' UNTUK P£RKALIAN DUA MATRIK
matrik A(nl,n2) dan B(n2,n3)
AB(i,j) = AB(i,j) + A(i,k)*B(k,j)
'>------.....;' k
j = j+ll;-----1
i = i + 1 1-------1
F'LOW CHART UNTUK Pl!:HJUHLAHAN HATRIK
A ( n , k ) , B{m , k )
i=l j=l
AB(i,j) = A(i,j) ± B(i,j)
/l ....__ J. =n .>-----
~/ L..----.-.J
.·
FLOW CIIART UNTUK HENENTUKAN INVERS HATRIK
jl+D-
u:~ __ ,;- .. i] _____ -=r--,~,j2) • a(1,j2)/a(1,1)
... -
...
N -----~~;·· ~ t 1 J--®
------·-
...... ' ... "' .
DAFTilR PlJSTI\KA
Beightler, C. s., D. T. Phillips, D.J. Wilde, 1979, "Founda-tions of Optimization", Prentice Hall, India
Bronson, Riche~rd, 1983, ''Operations Research", Schaum's
out-line Series, Singapore
Hamdy. A. Taha, 1982, "Operations ~esearch in Introduction"'
Macmillan Publishing CO INC, India
Kuester, J.L., JH MizP., 1rJ73, "Optimization Techniques with
~ORTRAN", Mac Graw Hill, New York
Mital, K.V., 1979, "Optimization Methods in Operations R-e-
search and Systems Analysis", Wiley Eastern Ltd, New York
Ravindran, A., o. T. Phillips, J.J. Solberg, 1976, ''Opera• t-ions Research, Principles e~nd Practice", John Wiley & Sons;
N etJ York.
