Obsah 1 Měření hustoty pevných látek a kapalin 2 2 Měření momentu setrvačnosti 8 3 Měření pomocí matematického kyvadla 11 4 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 13 5 Závislost doby kyvu fyzického kyvadla na tíhovém zrychlení - Machovo kyvadlo 16 6 Mechanická hystereze 18 7 Balistické kyvadlo 20 8 Tříosý gyroskop 25 9 Stanovení různých rezonančních frekvencí Helmholtzova rezonátoru v závislosti na objemu 28 10 Měření Youngova modulu pružnosti 31 11 Studium mechanických kmitů – Pohlovo kyvadlo 33 12 Druhý Newtonův pohybový zákon a zákony zachování hybnosti a kinetické energie 40 A Určování nejistot měřených veličin 47 1 Poslední změna: 18. května 2020
Transcript
Obsah
1 Měření hustoty pevných látek a kapalin 2
2 Měření momentu setrvačnosti 8
3 Měření pomocí matematického kyvadla 11
4 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 13
5 Závislost doby kyvu fyzického kyvadla na tíhovém zrychlení - Machovo kyvadlo 16
6 Mechanická hystereze 18
7 Balistické kyvadlo 20
8 Tříosý gyroskop 25
9 Stanovení různých rezonančních frekvencí Helmholtzova rezonátoru v závislosti na objemu 28
10 Měření Youngova modulu pružnosti 31
11 Studium mechanických kmitů – Pohlovo kyvadlo 33
12 Druhý Newtonův pohybový zákon a zákony zachování hybnosti a kinetické energie 40
A Určování nejistot měřených veličin 47
1 Poslední změna: 18. května 2020
Úloha 1 Měření hustoty pevných látek a kapalin
Hustota homogenního tělesa je dána jako poměr hmot-nosti tělesa a jeho objemu ρ =
mV. Jednotkou hustoty
v soustavě SI je kg·m−3. Hmotnost tělesa lze určit pomocívážení s velkou přesností, pro určení objemu existuje řadametod:
1. Má-li těleso jednoduchý geometrický tvar, tj. ob-jem lze vyjádřit jako funkci určitých délek, je ur-čení objemu převedeno na měření délek, které lzeprovádět běžnýmimechanickými pomůckami –mi-krometrem, posuvným měřítkem apod.
2. Lze-li objem zaujímaný tělesem naplnit kapalinouo známé hustotě (např. vodou), lze objem stanovitpomocí vážení.
3. Objem lze určit na základě Archimedova zákona.Objem tělesa je stanoven pomocí vážení ve dvourůzných prostředích (např. ve vzduchu a ve vodě).Hustota pevných těles je jen málo závislá na teplotěa tlaku, proto není třeba provádět korekce.
Hustota homogenního tělesa je dána jako poměr hmot-nosti tělesa a jeho objemu
1.1 Měření hustoty pevných látek přímou metodou
Určování hustoty tělesa přímou metodou lze využítu těles pravidelného tvaru, kdy lze určit objem na zá-kladě definičního vztahu. Budeme určovat hustotu tělesave tvaru válečku. Objem válce je dán jako
V = πr2h, (1.1)
kde r je poloměr válečku a h jeho výška. Výšku h měříme
posuvným měřítkem, mikrometrem změříme průměr dválečku, z něhož vypočteme poloměr r . Hmotnost m vá-lečku určíme vážením na laboratorních (popř. digitálních)vahách. Při určování hmotnosti provedeme redukci na va-kuum. Podle vzorce vypočteme hustotu měřeného tělesaa nejistotu měření.
Postup měření
1. měření výšky h válečku – zkontrolujeme nulovou polohu posuvného měřítka. V případě použitídigitálního měřítka nastavíme nulu před měřením. Výšku měříme desetkrát vždy v jiné osovérovině. Výsledky měření zapíšeme do tabulky, kde budou uvedeny také odchylky a druhé mocninyodchylek od aritmetického průměru z naměřených hodnot h. Střední nejistotu určíme z druhýchmocnin odchylek. Výsledek uvedeme ve tvaru h = (... ± ...)m.
2. určení poloměru r – měření provedeme pomocí mikrometru. Nejprve určíme nulovou polohu mik-rometru d0. Odhadujeme desetiny nejmenších dílků stupnice. Odchylku nulové polohy odhadneme(nejčastěji to bude méně než polovina nejmenšího dílku stupnice). Nyní změříme desetkrát průměrválečku d1 (opět v různých průměrech válečku). Měření zapíšeme do tabulky, kde budou uvedenynulová poloha mikrometru, odchylky a druhé mocniny odchylek, průměry d1 válečku, odchylky adruhé mocniny odchylek vztažené k průměrné hodnotě do resp. d1. Výsledky zapíšeme ve tvarud0 = (. . . ± . . . ) cm, d1 = (. . . ± . . . ) cm. Skutečný průměr válečku je d = d1 − d0. Střední ne-
jistotu v určení d zjistíme pomocí vztahu σd =√(σd1)2 + (σd0)2. Poloměr r =
d2, střední nejistota
σr =σd2. Všechny naměřené hodnoty převedeme na metry a dosadíme do vztahu pro výpočet
2
objemu. Střední nejistotu objemu určíme pomocí vztahu σV = V
√(2σr
r
)2+
(σhh
)2. Nejistotu v
určení objemu zaokrouhlíme na jedno platné místo, analogicky zaokrouhlíme vypočítaný objem avýsledek zapíšeme ve tvaru V = (... ± ...)m3.
3. určení hmotnosti m – váleček zvážíme na laboratorních vahách, hmotnost převedeme na kilogramy.Nejistotu v určení hmotnosti zanedbáme vzhledem k chybě v určení objemu.
4. Vypočteme hustotu tělesa – naměřené hodnoty dosadíme do vztahu ρ =mV, nejistotu v určení
hustoty vypočteme podle vztahu σρ = ρσVV
. Výsledek zapíšeme ve tvaru ρ = (... ± ...) kg · m−3.Takto určenou hodnotu hustoty porovnáme pro daný materiál s tabelovanou hodnotou, popřípaděpodle tabulek odhadneme, z jakého materiálu bylo těleso zhotoveno.
1.2 Měření hustoty pevných látek hydrostatickou metodou.
Je-li těleso, jehož hustotu určujeme, nepravidelnéhotvaru, postupujeme metodou dvojího vážení (hydrosta-tická metoda). Jedná se o srovnávací metodu – tělesozvážíme nejprve na vzduchu a potom je vážíme ponořenédo kapaliny o známé hustotě. Hustotu vypočteme pomocíhmotností vyvažujících závaží a hustoty kapaliny. Pro-tože vyvažující závaží klademe vždy na stejnou miskuvah, je vážení správné i v případě nerovnoramennostivah. Při prvním vážení vyvážíme těleso, jehož hustotuměříme, na vzduchu závažím Z . Označíme-li V objemtělesa, je hustota dána jako ρ =
ZV. Druhé vážení slouží
k určení objemuV – těleso ponoříme do kapaliny o známéhustotě (destilovaná voda) a vyvážíme závažím Z1. Pro-tože platí Archimédův zákon, bude závaží Z1 v důsledkuvztlakové síly menší právě o hmotnost vody stejného ob-jemu V jaký má těleso. Je-li ρ1 hustota destilované vody,bude její hmotnost dána
m1 = Z − Z1 = ρ1V . (1.2)
Odtud hledaný objem
V =Z − Z1ρ1
. (1.3)
Nyní stačí dosadit takto určený objem V do vztahu provýpočet hustoty tělesa ρ a máme
ρ =Z
Z − Z1ρ1. (1.4)
Při tomto měření je třeba provádět opravu na vztlakvzduchu. Označíme-li ρv hustotu vzduchu, ρz hustotu zá-važí a ρ hustotu tělesa, pak platí pro těleso vyváženéna vzduchu rovnice
m(1 −
ρvρ
)= Z
(1 −
ρvρz
), (1.5)
pro těleso vyvážené v kapalině
m(1 −
ρvρ1
)= Z
(1 −
ρvρz
). (1.6)
Obě rovnice vydělíme a pro hledanou hustotu dostaneme
ρ =Z
Z − Z1(ρ1 − ρv) + ρv. (1.7)
Postup měření
1. Nad misku vah upevníme drátek, na který budeme zavěšovat zkoumaný předmět, vyvážíme jej(tárou) a určíme nulovou polohu vah.
2. Zavěsíme zkoumané těleso a vyvážíme jej závažím Z .
3
3. Těleso ponoříme do destilované vody tak, aby se nedotýkalo stěn ani dna nádoby, nebyly na němbublinky vzduchu a vyvážíme jej závažím Z1. Vážení realizujeme tak, že přes misku vah dámemůstek, na něj postavíme kádinku s destilovanou vodou.
4. Určíme teplotu kapaliny a její hustotu najdeme v tabulkách.
5. Vypočteme hustotu tělesa – nejprve přibližně bez redukce na vakuum, potom výsledek upřesnímepomocí redukce na vakuum. Hustota závaží je 8500 kg · m−3. Hustotu vzduchu vypočítáme nebonajdeme pro danou teplotu v laboratoři v tabulkách.
1.3 Měření hustoty pevných látek pyknometrem
Metoda je určena pro stanovení hustoty drobných tě-lísek nepravidelného tvaru. Je to metoda srovnávací, za-ložená na trojím vážení.
Vyvážíme-li měřená tělíska závažím Z , jejich objemjeV a hustota ρ =
ZV. Pro určení objemuV naplníme pyk-
nometr destilovanou vodou a vyvážíme závažím Z1. Dopyknometru nasypeme tělíska. Z pyknometru vyteče vodao objemu rovném objemu tělísek. Nyní pyknometr vyvá-žíme závažím Z2. Hmotnost vody, která vytekla z pykno-metru, je m = Z + Z1 − Z2.
Určíme objem tělísek ze vztahu
V =mρ1=
Z + Z1 − Z2ρ1
, (1.8)
kde ρ1 je hustota vody.
Hustotu zkoumaných tělísek zjistíme po dosazenípodle vztahu
ρ =Z
Z + Z1 − Z2ρ1. (1.9)
Pro přesnější měření je třeba provést opět redukci na va-kuum, hustota tělísek je potom určena pomocí vztahu
ρ =Z
Z + Z1 − Z2(ρ1 − ρv) + ρv, (1.10)
kde ρv je hustota vzduchu.
Postup měření
1. Pyknometr nejprve propláchneme, poté naplníme destilovanou vodou asi do poloviny hrdla a opatrnězasuneme zátku.
2. Kapilárou v zátce vyteče přebytečná kapalina, kterou otřeme filtračním papírem.
3. Pyknometr vždy držíme za hrdlo, abychom jej nezahřívali. Uvnitř pyknometru nesmí být vzduchovébubliny, kapilára musí být naplněna vodou.
4. Pyknometr s vodou vyvážíme závažím Z1.
5. Zvolený počet tělísek vyvážíme závažím Z .
6. Vyjmeme zátku pyknometru, odvážená tělíska do něj opatrně nasypeme. Pyknometr uzavřemezátkou a osušíme filtračním papírem.
7. Pyknometr s tělísky vyvážíme závažím Z2.
8. Změříme teplotu vody v pyknometru a v tabulkách najdeme její hustotu.
9. Hustotu tělísek vypočítáme bez redukce na vakuum.
10. Měření opakujeme pětkrát, vždy pro jiný počet tělísek.
4
11. Naměřené hodnoty a vypočtené hustoty zapíšeme do přehledné tabulky:
N Z [kg] Z1 [kg] Z2 [kg] ρ [kg·m−3] ∆ρ [kg·m−3] ∆2ρ [kg2·m−6]
1
2...
5
ρ =∑∆ρ =
∑∆2ρ =
12. Vypočteme střední hodnotu hustoty a nejistotu měření. Výsledek redukujeme na vakuum.
13. Určenou hodnotu hustoty zapíšeme ve tvaru ρ = (. . . ± . . . ) kg · m−3 a porovnáme s hodnotou,kterou pro daný materiál udávají tabulky, popř. výsledek porovnáme s hustotou určenou jinýmimetodami.
1.4 Měření hustoty kapalin metodou spojitých nádob
Jedná se opět o metodu srovnávací. Na základě rov-nosti hydrostatických tlaků srovnáváme hustotu ρ2 ne-známé kapaliny s hustotou ρ1 kapaliny známé (destilo-vaná voda). Jestliže se měřené kapaliny spolu nemísí,stačí použít jednoduché trubice ve tvaru U, do níž na-lijeme nejprve jednu kapalinu a potom druhou. Když sehladiny ustálí, jsou hydrostatické tlaky v rovině společ-ného rozhraní stejné. Jsou-li h1 a h2 výšky kapalinovýchsloupců měřených od rozhraní, lze psát
h1ρ1g = h2ρ2g, (1.11)
odkud vyjádříme hledanou hustotu
ρ2 =h1h2ρ1. (1.12)
V případě, že se jedná o kapaliny, které se spolu mísí,použijeme zařízení podle obrázku 1.1. Do jedné z obouU-trubic nalijeme kapalinu o neznámé hustotě ρ2, do druhétrubice známou kapalinu (destilovaná voda) o hustotě ρ1.Je-li kohout ve společné části otevřen, jsou hladiny v oboutrubicích ve stejné výši. Vyvoláme-li nyní ve společnéčásti přetlak, hladiny ve vnitřních ramenech klesnou a vevnějších vystoupí. Změříme-li nyní rozdíl hladin v obou
trubicích, lze přetlak p vyjádřit pomocí hydrostatickýchtlaků kapalinových sloupců
p = h1ρ1g = h2ρ2g. (1.13)
Odtud vyjádříme hustotu neznámé kapaliny
ρ2 =h1h2ρ1. (1.14)
Obrázek 1.1: Spojité nádoby - schéma.
5
Postup měření
1. U zařízení podle obrázku 1.1 otevřeme kohout K a do jedné U-trubice nalijeme zkoumanou látkuasi do poloviční výšky ramen. Do druhé U-trubice nalijeme stejný objem destilované vody.
2. Pomocí gumového balónku vyvoláme přetlak p – hladiny se rozestoupí (asi na 10 cm). Uzavřemekohout K a počkáme, až se rozdíl hladin ustálí.
3. Odečteme výšky hladin v obou ramenech trubice. Jsou-li polohy hladin destilované vody l1 a l2 ,je rozdíl hladin h1 = l2 − l1 . Podobně u neznámé kapaliny h2 = l ′2 − l ′1 . Vypočteme jejich poměr
a =h1h2
.
4. Měření opakujeme 10-krát, výsledky zapíšeme do tabulky.
5. Vypočteme aritmetický průměr poměru výšek a střední chybu měření σa. V tabulkách vyhledámehustotu destilované vody ρ1 pro danou teplotu.
6. Vypočteme hustotu neznámé kapaliny podle vztahu ρ2 =h1h2ρ1 = a · ρ1.
7. Stanovíme nejistotu v určení hustoty σρ2 =σaaρ2. Nejistota v určení hustoty vody je zanedbatelně
malá.
1.5 Měření hustoty kapalin Mohrovými vážkami
Měření hustoty kapalin Mohrovými-Westphalovýmivážkami je založeno na metodě ponorného tělíska. Mo-hrovy vážky jsou nerovnoramenné pákové váhy (viz ob-rázek 1.2).Na konci delšího ramene je zavěšeno skleněnétělísko (obvykle je to teploměr, který umožní okamžité ur-čení teploty zkoumané kapaliny), rameno od tělíska k oseje rozděleno na 10 dílků. Je-li tělísko zavěšeno, jsou váhyv rovnováze. Ponoříme-li tělísko do kapaliny, rovnováhase poruší, neboť na tělísko působí vztlaková síla, jejíž veli-kost je přímo úměrná hustotě kapaliny. Rovnováhu obno-víme pomocí jezdců, které klademe na rozdělené rameno.Hmotnost jezdců je volena tak, že ponoříme-li tělísko dodestilované vody o teplotě 4 C, vyrovná se vztlaková sílanejvětším jezdcem, zavěšeným přímo nad tělísko (10. dí-lek).
Hmotnost jezdce je tedy rovna hmotnosti destilovanévody ( o teplotě 4 C) stejného objemu, jako je objem tě-líska. Hustota vody při této teplotě je ρ1 = 1000 kg ·m−3 .
Vyrovnáme-li při ponoření tělíska do jiné kapaliny vztla-kovou sílu zavěšením jezdce na n-tý dílek ramene, je hus-tota této kapaliny ρ = n · 100 kg ·m−3. K pohodlnémua přesnějšímu vyvažování slouží další dva jezdci, jejichžhmotnost je 10-krát a 100-krát menší než hmotnost zá-kladního jezdce. Hustotu kapaliny můžeme určit s přes-ností 1 kg ·m−3.
Obrázek 1.2: Mohrovy vážky.
6
Postup měření
1. Váhy vyjmeme ze skříňky a jejich podstavec zasuneme do bajonetového držáku na horní desceskříňky. Nasadíme vahadlo a na jeho delší rameno zavěsíme skleněné tělísko. Stavěcím šroubemnastavíme nulovou polohu .
2. Tělísko ponoříme do měřené kapaliny tak, aby bylo zcela ponořeno a nedotýkalo se stěn nádoby.
3. Pomocí jezdců obnovíme rovnováhu a zapíšeme hustotu ρ′ kapaliny.
4. Změříme teplotu kapaliny.
5. Při přesnějším měření je třeba provést kontrolu Mohrových vážek. Tuto kontrolu provedeme změ-řením hustoty destilované vody. Je-li při ponoření tělíska do destilované vody změřena její hustotaρ′1, pak vážky jsou správné, shoduje-li se tato hustota s hodnotou udávanou pro danou teplotutabulkami. Jestliže se hustota ρ′1 liší od správné hustoty ρ1, vypočteme správnou hustotu ρ měřenékapaliny ze vztahu ρ =
ρ1ρ′1ρ′
7
Úloha 2 Měření momentu setrvačnosti
Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose je defino-ván vztahem
J =∑i
mir2i , (2.1)
kde mi jsou hmotnosti jednotlivých elementů a ri vzdá-lenosti těchto elementů od osy. Jednotkou momentu setr-vačnosti je kg·m2. Pro tělesa se spojitě rozloženou hmotouje moment setrvačnosti dán vztahem
J =∫m
r2 dm =∫V
ρr2 dV , (2.2)
kde dm je hmotnost elementu o objemu dV , ρ hustotalátky, r vzdálenost elementu od osy. U pravidelného ho-
mogenního tělesa lze určit moment setrvačnosti JT vzhle-dem k ose jdoucí těžištěm tělesa a pro výpočet momentusetrvačnosti vzhledem k ose rovnoběžné s touto osou po-užít Steinerovy věty
J = JT + md2, (2.3)
kde d značí vzdálenost obou os. Vzdálenost od osy, v nížby musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa m,aby její moment setrvačnosti byl stejný jako při danémrozdělení hmoty, se nazývá poloměr setrvačnosti (gyrační
poloměr) R. Potom J = mR2, odtud R =
√Jm.
2.1 Měření momentu setrvačnosti přímou metodou
Přímoumetodu pro výpočet momentu setrvačnosti lzepoužít v případě, že známe hmotnost tělesa a jeho délkovérozměry. Touto metodou určíme moment setrvačnosti ob-délníkové desky, pro kterou je vzhledem k ose jdoucí
středem desky kolmo k její rovině
JT =112
m(a2 + b2), (2.4)
kde m je hmotnost desky, a, b délky jejích stran.
Postup měření
1. Délkové rozměry desky měříme vždy desetkrát měřítkem děleným na milimetry, odhadujeme de-setiny milimetru a měříme v různých místech desky a při různé poloze měřítka vzhledem k desce.Určíme chybu měření ze součtu kladných odchylek od aritmetického průměru.
2. Hmotnost desky určíme vážením na technických vahách. Chybu v určení hmotnosti můžeme za-nedbat.
3. Vypočteme moment setrvačnosti obdélníkové desky dosazením do vztahu (2.4). Střední chybav určenímomentu setrvačnosti obdélníkové desky je určena vztahemσJT =
m6√(a · σa)2 + (b · σb)2.
V případě skutečně homogenní desky o stejnoměrné tloušťce je určení momentu setrvačnosti přímoumetodou velmi přesné.
8
2.2 Měření momentu setrvačnosti z doby kyvu
Pro dobu kyvu fyzického kyvadla kolem vodorovnéosy procházející ve vzdálenosti d od těžiště platí vztah
T = π
√J
mgd, (2.5)
kde J je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení a mje hmotnost kyvadla. Odtud vyjádříme moment setrvač-
nosti
J =T2
π2 mgd. (2.6)
Pomocí Steinerovy věty pak vypočteme moment setrvač-nosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm
JT = J − md2. (2.7)
Postup měřeníDeska, jejíž moment setrvačnosti měříme, je opatřena kruhovými otvory, do nichž zasunujeme troj-
boký hranol, jehož břit určuje osu otáčení. Předpokládáme, že těžiště desky je totožné s jejím středem,vliv kruhových otvorů zanedbáme.
1. Pětkrát změříme vzdálenost d osy od těžiště.
2. Postupnou metodou po deseti kyvech změříme pro danou osu dobu kyvu T (celkem měříme100 kyvů). Výsledky měření zapíšeme do tabulky (viz tabulka 2.1). Určíme nejistotu měřeníσd a σ(50 T), dále určíme dobu jednoho kyvu, její nejistotu a vypočítáme moment setrvačnosti
vzhledem k dané ose. Střední nejistota výsledku je dána vztahem σJ = J
√(σdd
)2+
(2σTT
)2,
kde σT = σ(50 T)/50. Nejistotu v určení hmotnosti zanedbáváme.
Tabulka 2.1: Vzor tabulky pro zápis naměřených hodnot.
N d [cm] ∆d [cm] t1 [s] t2 [s] 50 T = t2 − t1 [s] ∆50T [s] ∆250T [s2]
1 10 T 60 T
2 20 T 70 T...
5 50 T 100 T
50 T =∑∆50T =
∑∆2
50T =
3. Pomocí Steinerovy věty vypočteme moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm.
4. Určíme nejistotu výrazu md2 a JT pomocí vztahů:
σ(md2) = md2 ·2σd
d= 2mdσd, (2.8)
σJT =
√(σJ)2 +
[σ(md2)
]2. (2.9)
5. Měření opakujeme pro několik různých vzdáleností osy od těžiště a výsledky měření sestavímedo přehledné tabulky.
6. Ze všech vypočtených hodnot JT určíme aritmetický průměr a jeho chybu. Jestliže jsme měřili připěti nebo více vzdálenostech osy od těžiště, počítáme střední nejistotu ze součtu čtverců odchylek
9
jednotlivých hodnot JT od aritmetického průměru. V tomto případě není třeba určovat nejistoty σJ,σ(md2), σJT pro jednotlivá měření. Je-li měření méně než pět, vypočteme střední nejistotu výsledkuze vztahu σJT =
1n
√(σJT1)
2 + . . . + (σJTn )2, kde n je počet měření.
2.3 Měření momentu setrvačnosti pomocí přídavného tělíska
Metoda se používá v případě, že osa otáčení tělesaprochází těžištěm. Samotné těleso (bez přídavného tě-líska) nekývá, protože je v indiferentní poloze. Aby tělesokývalo, je třeba k němu připevnit další těleso, jehož mo-ment setrvačnosti J1 známe. Moment setrvačnosti tělesavyjádříme pomocí Steinerovy věty J1 + m1d2
1 , kde m1 jehmotnost přidaného tělesa, d1 je vzdálenost těžiště přida-ného tělesa od osy otáčení. Celkový moment setrvačnostiobou těles vzhledem k ose otáčení je JT + J1 + m1d2
1 .
Hmotnost obou těles je m +m1, vzdálenost těžiště od osy
otáčení je d =m1d1
m + m1. Pro dobu kyvu potom platí
T = π
√JT + J1 + m1d2
1m1gd1
(2.10)
a odtud pro hledaný moment setrvačnosti máme
JT =T2
π2 m1gd1 − J1 − m1d21 . (2.11)
Postup měření
1. Vážením na technických vahách určíme hmotnost přídavného tělíska m1.
2. Posuvným měřítkem změříme průměr přídavného tělíska, určíme jeho poloměr.
3. Vypočteme moment setrvačnosti J1 podle vztahu J1 =12 m1r2 (tělísko má tvar válce).
4. Změříme vzdálenost d1 těžiště tělíska od osy otáčení, tělísko upevníme a změříme dobu kyvu T .Všechny délky měříme pětkrát, dobu kyvu měříme postupnou metodou po 10 kyvech (celkem100 kyvů).
5. Měření provedeme pro různé vzdálenosti přídavného tělíska od osy otáčení. Výsledky měřenízapíšeme do tabulky.
6. Vypočítáme průměrnou hodnotu JT a stanovíme její střední nejistotu.
10
Úloha 3 Měření pomocí matematického kyvadla
Úkoly:
1. Pro malé výchylky Φ určete dobu kmitu kyvadla v závislosti na jeho délce a vyneste graf této závislosti. Nazákladě tohoto měření určete délku sekundového kyvadla.
2. Určete graf závislosti doby kmitu T kyvadla na výchylce Φ, tj. T(
sin2 Φ2
).
3. Určete hodnotu tíhového zrychlení g z doby kyvu T = π√
lg .
Matematickým kyvadlem rozumíme hmotný bod mupevněný na nehmotném závěsu. Přibližně lze matema-tické kyvadlo realizovat pomocí malé kuličky upevněnéna tenké, dokonale pevné niti (rybářské vlákno) uchycenév pevném bodě.
Je-li kyvadlo vychýleno o úhel Φ z rovnovážné po-lohy, rozloží se tíha na dvě složky - normálovou složkuFn = mg cosΦ mající směr závěsu a napíná jej. Nemápohybový účinek. Druhá složka je Ft = −mg sinΦ (smě-řuje k rovnovážné poloze A). Síla Ft je kvazielastickáa pro malé výchylky je pohyb kuličky harmonický. Lzejej proto popsat pohybovou rovnicí ve tvaru
md2sdt2 = −mg sinΦ, (3.1)
kde s = l · Φ,d2sdt2 = l
d2Φ
dt2 .
Dále tedy máme
d2Φ
dt2 = −g
lsinΦ. (3.2)
Pro malé výchylky je sinΦ ≈ Φ a rovnice přejde na tvar
d2Φ
dt2 = −g
lΦ = −ω2
Φ, (3.3)
kde ω =√
g
l. Odtud ω = 2π f =
2πT⇒ T = 2π
√lg.
Délku l kyvadla nelze přímo stanovit, proto nejdříveurčíme dobu kyvu T1 pro délku závěsu l. Potom kyva-dlo zkrátíme o délku d, kterou lze stanovit velmi přesně.
Doba kyvuT2 kyvadla o délce l−d je dánaT2 = π
√l − dg
.
Úpravou obou rovnic (umocnění, odečtení) dostaneme provyjádření g výraz
g =π2d
T21 − T2
2=
π2d(T1 − T2)(T1 + T2)
. (3.4)
Postup měření
1. Tenké dlouhé vlákno vedeme přes závěs upevněný na stěně, délka vlákna je volitelná. Polohu kuličkyodečítáme pomocí vodorovného ukazatele na měřítku.
2. Kuličku zajistíme v dané poloze a odečteme desetkrát její polohu d1 vzhledem k pevnému měřítku.Vypočteme střední nejistotu výsledku.
3. Kyvadlo rozkýváme tak, aby výchylka nebyla větší než 5 a postupnou metodou měříme dobu kyvu(měříme po 10 kyvech, celkem 200 kyvů). Výsledky zapíšeme do tabulky. Určíme dobu kyvu T1.
4. Kyvadlo zkrátíme (o 60 až 80 cm) a desetkrát odečteme polohu d2. Vypočteme střední nejistotuměření.
5. Změříme dobu kyvu kyvadla T2 pro délku d2.
11
6. Délka d = d1 − d2, střední chyba σd =√(σd1)2 + (σd2)2. Střední nejistoty v určení součtu a
rozdílu dob kyvu jsou si rovny σ(T1 + T2) = σ(T1 − T2) =√(σT1)2 + (σT2)2 a střední nejistota v
určení gravitačního zrychlení je dána σg = g
√(σdd
)2+
[σ(T1 + T2)
T1 + T2
]2+
[σ(T1 − T2)
T1 − T2
]2. Dbejte na
co nejpřesnější určení dob kyvu T1 a T2, které se od sebe liší jen málo. Vzhledem k tomu, že přivýpočtu střední nejistota měření závisí na relativní nejistotě rozdílu, pro málo přesná měření mánejistota velkou hodnotu.
7. Vypočítejte systematickou chybu měření související s tím, že kyvadlo není ideálně matematické aamplituda kmitů je konečná.
Postup: Obecně platí pro dobu kmitu T vztah (*) T = 2π√
Jmgd
(1 +
14
sin2 Φ
2
). V případě ma-
tematického kyvadla uvažujeme, že se jedná o hmotný bod a vlákno má zanedbatelnou hmotnost.
Upravujeme T 2π
√ml2
mgl
(1+
14
sin2 Φ
2
)= 2π
√lg
(1+
14
sin2 Φ
2
); pro Φ ≤ 2 dostáváme použitý
vztah T = 2π√
lg. Vezmeme-li v úvahu, že r < 1 cm, vlákno má délku l = 1 m, úhel Φ je maxi-
málně 1,5, potom lze g určit na základě vztahu g =4π2lT2 . Avšak při opravě je nutno určit moment
setrvačnosti J a dosadit do vztahu (*). Moment setrvačnosti J = JT+md2, JT koule je JTk =25
mr2 a
moment setrvačnosti JT tyče je JTt =1
12ml2. Opravenou hodnotu porovnejte s výsledky předchozích
měření.
12
Úloha 4 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem
Tíhová síla je síla, které hmotný bod (těleso) podléháv zemském tíhovém poli. Je složena ze dvou sil: gra-vitační síly Fg, která v daném bodě zemského povrchumíří do středu Země, a odstředivé síly Fod, která je kolmána osu rotace Země. Jejich složením získáme výslednousílu, která je závislá jak na vzdálenosti od středu Země,tak i na zeměpisné šířce.
Při určení gravitační síly vycházíme zNewtonova gra-vitačního zákona ve tvaru:
®Fg = κmMz
r2 ·®rr, (4.1)
kde m je hmotnost studovaného hmotného bodu, resp. tě-lesa, Mz je hmotnost Země, r je vzdálenost tělesa o hmot-nostim od středu Země a κ je gravitační konstanta, která jenezávislá na prostředí ve kterém se hmotnosti přitahují.
Velikost gravitačního zrychlení pak je:
g = κMz
(Rz + h)2, (4.2)
kde Rz je poloměr Země a h je výška nad povrchem. Sa-mozřejmě, že Rz není konstantní a zrychlení g pro h = 0roste od rovníku k pólům.
Vztah pro gravitační zrychlení g lze pro h Rz upra-vit na tvar:
g = κMz
R2z
(1 −
2hRz
). (4.3)
Odstředivá síla působící na těleso vlivem zemské ro-tace závisí na vzdálenosti tělesa od osy rotace
®Fod = m · ®aod = m · ®r · ω2z, (4.4)
pro velikost odstředivého zrychlení pak platí vztah:
®aod = Rz · cosα · ω2z, (4.5)
kde α odpovídá zeměpisné šířce studovaného bodu.Tíhové zrychlení je v daném bodě pro všechna tělesa
stejné. K jeho měření lze využít reverzní kyvadlo - toje zvláštní typ fyzického kyvadla. Fyzické kyvadlo je tě-leso, které se v tíhovém poli kýve kolem vodorovné osyneprocházející jeho těžištěm.
Na kyvadlo působí moment tíhové síly:
M = −m · g · a · sin ϕ, (4.6)
kde m je hmotnost kyvadla, a je vzdálenost těžiště od osyotáčení a φ je okamžitá výchylka z rovnovážné polohy.Znaménko minus značí, že tento moment působí protivýchylce, tj. snaží se kyvadlo vrátit zpět do rovnovážnépolohy.
Pro těleso otáčející se kolem pevné osy platí:
J · ε = Jd2ϕ
dt2 = M, (4.7)
kde ε je úhlové zrychlení kyvadla a J je moment setrvač-nosti kyvadla kolem zvolené osy. Dosadíme-li do před-chozí rovnice moment setrvačnosti M , získáme pro našekyvadlo pohybovou rovnici:
d2ϕ
dt2 +m · g · a
Jsin ϕ = 0. (4.8)
Pro malé výchylky z rovnovážné polohy můžeme po-ložit sin ϕ = ϕ (pro ϕ = 5 se dopouštíme chyby asi0,05%), čímž získáme rovnici :
d2ϕ
dt2 + ω2ϕ = 0, (4.9)
kde ω2 =m · g · a
Jje kvadrát kruhové frekvence kyvadla.
Doba kyvu τ (polovina doby kmitu) kyvadla je rovna:
T =1f=
2πω, (4.10)
ω =
√MJ=
√mga
J, (4.11)
τ =T2= π
√J
mga= π
√lg. (4.12)
Zde lze zavést pojem redukovaná délka fyzického ky-vadla - to je délka matematického kyvadla, které má shod-nou dobu kyvu s daným fyzickým kyvadlem. Z toho pakplyne předchozí vztah:
τ = π
√J
mga= π
√lg. (4.13)
Reverzní kyvadlo (obrázek 4.1) je fyzické kyvadlo,které je opatřeno dvěma rovnoběžnými osami s břity protisobě. Na jednom konci je závaží, které lze posouvat podél
13
tyče. Pro dobu kyvu platí vztah τ = π√
Jmgd
, kde J jemo-
ment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose jdoucí závěsemkolmo k rovině kyvů, m hmotnost kyvadla, d vzdálenostosy od těžiště, g tíhové zrychlení.
Délka l matematického kyvadla, které má stejnoudobu kyvu jako dané fyzické kyvadlo, je tzv. redukovanádélka fyzického kyvadla. Vyneseme-li na spojnici osy atěžiště tuto redukovanou délku, dostaneme bod, tzv. středkyvu. Vedeme-li tímto bodem osu rovnoběžnou s původní
osou, pak doba kyvu kyvadla kolem této osy je stejná jakokolem osy původní. Najdeme-li tedy na fyzickém kyvadledvě takové osy (různě vzdálené od těžiště), pro které jedoba kyvu stejná, rovná se jejich vzdálenost l redukovanédélce fyzického kyvadla. Pro dobu kyvu potom platí vztah
τ = π
√lg. Protože vzdálenost os na reverzním kyvadle je
stálá, hledáme takovou polohu posuvného závaží (válce),pro kterou je doba kyvu kolem obou os stejná. Vzdálenostbřitů je pak rovna redukované délce.
Obrázek 4.1: Reverzní kyvadlo
Postup měřeníTíhové zrychlení budeme určovat ze vztahu g =
π2lτ2 a bude tedy potřeba najít správnou polohu závaží,
a tím vzdálenost a0, pro kterou budou doby kyvu kolem obou os stejné. Hledat polohu a0 zkusmo jezdlouhavé a málo přesné, volíme proto následující postup:
1. Závaží upevníme v určité vzdálenosti a od konce tyče a změříme dobu kyvu τ1 kolemosy vzdálenější;potom kyvadlo obrátíme a změříme dobu kyvu τ2 kolem osy bližší k závaží (rozkyv nesmí být většínež 5). Je-li doba kyvu kolem osy bližší větší než kolem osy vzdálenější, posuneme závaží asi o2 cm blíže ke středu. Tím se obě doby kyvu zkrátí, více však pro osu bližší. Postup opakujeme takdlouho, až v určité poloze závaží je doba kyvu kolem osy bližší menší než kolem osy vzdálenější.Závaží posuneme ještě dvakrát směrem ke středu. Z naměřených dob kyvu sestavíme tabulku asestrojíme graf (obrázek 4.2), kde na osu x nanášíme vzdálenost a [cm] a na svislou osu doby kyvu.Body τ1 proložíme jednu křivku (tj.doby kyvu pro vzdálenější osu a různé polohy závaží) a druhoukřivku proložíme body τ2. Z průsečíku obou křivek určíme vzdálenost a0.
Doby kyvu měříme pomocí digitálního čítače kmitů – nastavíme dobu měření 4 T a měření opaku-jeme dvacetkrát. Vypočítáme průměrnou hodnotu doby trvání 4 kyvů, odtud dobu trvání jednohokyvu. Chyby měření počítáme ze součtu čtverců odchylek od aritmetického průměru. Při přesném
14
Obrázek 4.2: Určení vzdálenosti a0.
měření by se doby kyvu τ1 a τ2 neměly lišit více než v mezích pozorovacích chyb. Jako správnouhodnotu doby kyvu bereme τ =
12(τ1 + τ2), střední nejistota στ =
12√(στ1)2 + (στ2)2
2. Změříme vzdálenost břitů měřítkem děleným na milimetry. Měříme v různých polohách měřenédélky vzhledem k měřítku, přičemž odečítáme polohy obou břitů. Měření zapíšeme do tabulky.Hledaná vzdálenost l = l2 − l1 . Odečítání opakujeme desetkrát. Střední nejistotu měřené délkyvypočítáme pomocí součtu čtverců odchylek od aritmetického průměru.
3. Vypočítáme tíhové zrychlení a střední chybu výsledku σg = g
√(σll
)2+
(2σττ
)2.
15
Úloha 5 Závislost doby kyvu fyzického kyvadla na tíhovémzrychlení - Machovo kyvadlo
Doba kyvu fyzického kyvadla s vodorovnou osou je
dána vztahemT = π√
Jmgd
. Ze vztahu je zřejmé, že doba
kyvu je nepřímo úměrná odmocnině z tíhového zrychlení.Tíhové zrychlení je pro dané místo konstantní (nemůžemeje běhemměření měnit), můžeme všakměnit rovinu kyvu.Odkloníme-li rovinu kyvu o úhel ϕ od svislého směru,uplatní se jen složka g′ tíhového zrychlení, která leží vrovině kyvu.
Podle obrázku 5.1 je g′ = g cos ϕ. Doba kyvu skloně-
ného kyvadla je
T ′ = π
√J
mg′d= π
√J
mgd cos ϕ. (5.1)
Podíl dob kyvu svislého a skloněného kyvadla je
TT ′=√
cos ϕ. (5.2)
Naším úkolem bude experimentální ověření tohoto vztahupomocí Machova kyvadla.
Obrázek 5.1: Kyvadlo v náklonu.
Postup měřeníMachovo kyvadlo ustavíme pomocí libely a úhloměrné stupnice do svislé polohy. Pomocí protizávaží
nastavíme vhodnou dobu kmitu. Dobu kyvu T změříme postupnou metodou. Měření zapisujeme dotabulky.
Tabulka 5.1:Měření doby kmitu - vzorová tabulka.
N t1 [s] t2 [s] 50 T = t2 − t1 [s] ∆50T [s] ∆250T [s2]
1 10T 60T
2 20T 70T...
5 50T 100T
50 T =∑∆50T =
∑∆2
50T =
16
Vypočteme chybu měření a zapíšeme výsledek 50 T = (. . . ± . . . ) s, po vydělení 50-ti máme dobujednoho kyvu a příslušnou střední chybu T = (. . . ± . . . ) s. Dobu kyvu T pro kyvadlo ve svislé polozeměřte s co největší přesností!
Nyní skloníme kyvadlo o 10 od svislé roviny aměříme postupnoumetodou dobu kyvuT ′. Sklon zvět-šujeme po 10 až do 70. Při větších sklonech kyvadla se bude kmitání více tlumit, budememísto postupnémetody měřit pětkrát 20 nebo 10 kyvů. Vypočteme doby kyvu T ′ a jejich střední nejistoty. Pro jednot-
livé sklony kyvadla vypočteme poměrTT ′
. Střední nejistota poměru je σ(
TT ′
)=
TT ′
√(σTT
)2+
(σT ′
T ′
)2.
Vypočtené poměry dob kyvu porovnáme s hodnotami √cos ϕ. Sestavíme tabulku:
sklon kyvadla doba kyvu poměr dob kyvu
ϕ [] T ′ ± σT ′ [s] TT ′ ± σ
TT ′ [–]
√cos ϕ [–]...
......
...
Hodnoty v posledních dvou sloupcích by měly být stejné, odchylky by měly být v mezích pozorovacíchnejistot. Pro názornost provedeme ještě grafické srovnání. Na vodorovnou osu vyneseme sklon kyvadla vestupních, na svislou osu příslušné hodnoty √cos ϕ a proložíme křivku. Nyní do grafu vyneseme hodnotyTT ′
získané měřením. Těmito hodnotami již křivku neprokládáme.
17
Úloha 6 Mechanická hystereze
Když síly působí na pevné těleso, to se deformuje,např. smykové napětí vyvolává smykovou deformaci. Ho-okův zákon vystihuje lineární závislost mezi napětím adeformací. U pevných látek existuje oblast, kdy závislostmezi napětím a deformací není již lineární, ale deformaceje stále do určité míry vratná. Limit této oblasti je nazývánmezí pružnosti. Deformace se stává plastickou - trvalou,je-li napětí větší než uvedená mez. Deformace tyče nenípotom úplně vratná, jen ve stavu bez namáhání. Jelikožjev plasticity souvisí s přemístěním atomů, uplatní se vlivteploty a časový faktor.
Jestliže po odtížení deformace ihned nezmizí, nýbržjen její část, a zbytek až po nějaké době, říkáme tomutojevu dopružování (elastická hystereze). Křivky napínánía stlačování tvoří křivku (smyčku), která se nazývá hyste-rezní křivkou. V souladu s Hookovým zákonem je vztahmezi napětím a deformací dán vztahem
τ = G · γ, (6.1)
kde G je modul pružnosti ve smyku.Modul pružnostiG patří k důležitým charakteristikám
materiálů v technické praxi. Jednotkou modulu pružnostiv soustavě SI je N ·m2. Modul pružnosti lze měřit static-kými nebo dynamickými metodami.
Drát, který je na jednom konci upevněn, se působe-ním momentu síly M na druhém konci stočí o úhel ϕ, prokterý lze z Hookova zákona odvodit vztah
ϕ =2πlM
G(πr2)2, (6.2)
kde l je délka drátu a r poloměr jeho kruhového průřezu.Moment působící síly vypočteme jednoduše dle vztahu
M = F · d, (6.3)
kde d je kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od osyotáčení, nazývaná rameno síly. Moment síly leží v oseotáčení a jeho směr je dán pravidlem pravé ruky. Z před-chozích vztahů vyjádříme modul pružnosti jako
G = F2πldϕ(πr2)2
. (6.4)
Vyneseme-li do grafu na osu x úhel stočení ϕ
a na osu y odpovídající moment síly, který zvyšujemedo určité hodnoty ϕm, poté zmenšujeme přes nulu dohodnoty −ϕm, a nakonec zvýšíme zpět na ϕm, obdržímetzv. hysterezní křivku, ze které je patrné, že i za nulovévelikosti působící síly zůstává drát deformován.
Je-li kov zatížen v oblasti plastické deformace a je mudána určitá doba na relaxaci, vrátí se opět do oblasti, kdeplatí Hookův zákon, avšak s novou rovnovážnou polo-hou. Je třeba si uvědomit, že u tyčí je deformace vnějšíchvrstev větší než vrstev vnitřních. Vnější vrstvy se mohouod určitého úhlu torze nacházet v oblasti plastické defor-mace, zatímco vnitřní vrstvy jsou ještě v oblasti pružnédeformace.
Obrázek 6.1: Experimentální sestava.
18
Postup měření
1. Určíme délku l a průměr tyče 2r , ze kterého určíme jeho poloměr r .
2. Drát připevníme horním koncem k držáku a dolním koncem k otočnému kotouči s úhloměrem.
3. Změříme vzdálenost d bodu upevnění od středu kotouče (rameno síly) a připojíme siloměr.
4. Posunutím siloměru ve směru tečném ke kotouči pootočíme kotoučem o úhel 10. Odečteme úhelϕ na úhloměru a velikost síly F na siloměru a vypočítáme odpovídající moment síly M .
5. Uvedené veličiny zapisujeme do tabulky. Úhel ϕ měníme do hodnoty ϕm = 120, pak přes nulu aždo hodnoty −ϕm a nakonec zvýšíme zpět na ϕm.
Tabulka 6.1: Vzorová tabulka pro zápis naměřených hodnot.
Materiál:
Poloměr drátu r [m]:
Délka drátu l [m]:
Rameno síly d [m]:
ϕ [] F [N] M [N ·m]...
......
6. Vyneseme závislost do grafu – získáme příslušnou hysterezní křivku.
7. Postup opakujeme pro dráty různé tloušťky a různých materiálů.
Ukázka naměřených dat
(a) (b)
Obrázek 6.2:Mechanická hysterezní křivka mědi (a) a oceli (b).
19
Úloha 7 Balistické kyvadlo
7.1 Režim - Balistické kyvadlo
Balistické kyvadlo je podobné obyčejnému kyvadlu.Jeho konstrukce vypadá tak, že těleso, kterým bývá nej-častěji bedna s pískem, je zavěšeno na dostatečně dlou-hém závěsu, aby se mohlo kývat do strany ve zvolenémsměru. Když poté vystřelený projektil tuto bednu s pís-kem zasáhne, uvázne v ní, a zároveň vychýlí bednu z jejírovnovážné polohy do určité výšky. Tuto výchylku z kli-
dové polohy lze zaznamenat. Bedna je naplněna pískemz toho důvodu, aby se zamezilo ztrátám kinetické energiedeformací tělesa. Využitím zákonů zachování hybnosti aenergie můžeme snadno z velikosti výchylky kyvadla ur-čit, jakou rychlost má letící projektil. Po zachycení projek-tilu v kyvadle se oba pohybují dále společnou rychlostí,jedná se tedy o nepružný ráz.
7.1.1 Princip měření rychlosti vystřeleného projektilu
Zasáhne-li střela o hmotnosti m kyvadlo, začne se po-hybovat určitou rychlostí ®v zachycená v kyvadle, protožeráz střely s kyvadlem je nepružný. Ze zákona zachováníhybnosti platí, že
m · ®vp = (m + M) · ®v, (7.1)
kde ®vp je hledaná rychlost střely (projektilu) a tedy
®v =m
m + M· ®vp. (7.2)
Kinetická energie kyvadla se zachycenou střelou jerovna
Ekin =12· (m + M) · ®v2 (7.3)
a dosazením za ®v dostaneme
Ekin =12·
m2 · ®v2p
m + M. (7.4)
Jestliže se však balistické kyvadlo vychýlí o jistý úhel ϕ,přejde celá tato kinetická energie v energii potenciální,tedy platí zákon zachování energie
Ekin = Epot. (7.5)
Potenciální energii kyvadla lze vyjádřit vzorcem
Epot = (m + M) · ®g · ∆h, (7.6)
kde∆h = 1−cos ϕ je výška, o kterou se vychýlilo kyvadloa po dosazení máme
Epot = (m + M) · ®g · (1 − cos ϕ). (7.7)
Úpravou výrazů vyjadřujících kinetickou a potenci-ální energii (4), (6) docházíme k rovnici
12·
m2®v2p
m + M= (m + M) · ®g · h, (7.8)
kde ®g je tíhové zrychlení a odtud
®v2p =
2(m + M)2 · ®g · hm2 , (7.9)
tedy
®vp =(m + M)
m
√2 · ®g · h. (7.10)
Pokud v (10) dosadíme za h = r ·∆h, obdržíme rych-lost projektilu
®vp =(m + M)
m
√2 · ®g · r · (1 − cos ϕ), (7.11)
kde r je vzdálenost mezi bodem otáčení (hrotem závěsu)a těžištěm kyvadla.
20
Obrázek 7.1: Schéma balistického kyvadla.1
Informace pro přesnější vyhodnocení
Protože výše uvedené teoretické vztahy aplikované nabalistické kyvadlo jsou založeny na některých idealizacích(zanedbáváme vliv tření, odpor vzduchu), je vztah (7.6)pouze přibližný, ale dosti užitečný pro praktické účely.Nyní si stručně ukážeme, jak dosáhnout relativně přes-ného vyhodnocení.
Rovnici (7.3) pro kinetickou energii lze nahradit ro-tační energií fyzického kyvadla
Ekin =12· I · ω2, (7.12)
kde I jemoment setrvačnosti kyvadla se zachycenýmmíč-kem a ω je úhlová rychlost. Pokud dosadíme momenthybnosti L = I · ω, dostaneme
Ekin =L2
2 · I(7.13)
nebo téžL =
√2 · I · Ekin. (7.14)
Tento moment hybnosti L musí být roven momentu hyb-nosti Lb míčku před srážkou. Jestliže je rb vzdálenostmíčku od bodu otáčení v okamžiku zachycení, pak
Lb = m · r2b · ωb = m · rb · v. (7.15)
Porovnáním obou momentů hybnosti obdržíme
®v =1
m · rb·√
2 · I · (m + M) · g · r · (1 − cos ϕ). (7.16)
Moment setrvačnosti I fyzického kyvadla určíme změře-ním periody kmitu T . Pro naše kyvadlo platí následujícírovnost
I =(m + M) · g · r · T2
4 · π2 , (7.17)
a tedy výslednou rychlost letícího projektilu v vypočítámenásledovně
®v =(m + M)
m·
rrb·g · T2 · π
·√
2 · (1 − cos ϕ). (7.18)
Kdybychom nyní porovnali vypočítanou rychlostpodle vzorce (7.11) a skutečné hodnoty vypočítané podlepřesného vzorce (7.18), uvidíme, že se obě liší o korekčnífaktor
fkor =T
2 · π · rb
√r · g. (7.19)
Tento faktor je pouze ilustrativní a pokud ho nahradímenásledujícím výrazem pro T , v němž rm je délka matema-tického kyvadla, které má periodu kmitu T
T = 2 · π√
rg, (7.20)
následně obdržíme
fkor =
√r · rm
rb. (7.21)
Tímto způsobem tedy máme odvozen vzorec (7.18), díkykterému budeme z naměřených výsledků dopočítávat vý-sledné hodnoty rychlostí letícího projektilu.
Pro měření rychlostí s balistickým kyvadlem by mělobýt zařízení přichyceno pevně ke stolu. Vyhneme se takchybám měření, které by mohlo způsobit prokluzovánínebo pád. Před natahováním balistické jednotky, upev-níme ocelový míček na svislý magnet na balistické jed-notce. Míček musí být umístěn na střed pístu tak, aby
byl chycen prstencovým magnetem balistické jednotky.Pak uvolněte západku nahoru a zatáhněte páčku zpět do2. nebo 3. zapadací pozice (první pozice není všeobecněvhodná, protože udělená energie je k bezpečnému zachy-cení kyvadlem moc malá).
Postup měření
1. K vyhodnocení potřebujeme znát hmotnost míčku (projektilu) m a hmotnost kyvadla M . Nejprvetedy odmontujeme celou kyvadlovou tyč a zvážíme její hmotnost M . Následně určíme těžiště kyvadlavčetně zachyceného míčku tak, že zavěsíme kyvadlovou tyč na nit se smyčkou a posunujte pozicítyče, dokud není vyvážena. Vzdálenost mezi tímto závěsovým bodem a osou nosného vývrtu je r .
2. Bez dotýkání se natažené jednotky, zajistíme, aby kyvadlo bylo v klidu a aby byla maximální ručičkanastavena přibližně na nulu.
3. Spustíme střelu zatáhnutím spouštěcí páčky. Výchylka kmitu kyvadla lze odečíst z maximálnívýchylky ukazatele.
4. Provedeme alespoň pět vychýlení kyvadla.
5. Pro každý úhel dopočítáme rychlost míče v podle rovnice (7.18). Určíme průměrnou rychlost míčkua její směrodatnou odchylku.
6. V každé sérii provedeme měření pro tenze 2 a 3. První zapadací pozice západky u spouštěcí páčkynení vhodná, protože udělí vystřelenému projektilu malou energii, která není dostatečná k tomu,aby balistické kyvadlo míček zachytilo. Periodu kmitu T dopočítáme podle vzorce (7.20), kde délkumatematického kyvadla rm nahradíme vzdáleností r mezi osou otáčení kyvadla a těžištěm kyvadlavčetně zachyceného projektilu.
7.2 Režim - Katapult
7.2.1 Princip měření v režimu „katapult“
Těleso, kterým je v našem případě míček, je vr-ženo počáteční rychlostí v0 svírající s vodorovnou rovinouúhel α. Zavedeme souřadnicové osy podle obrázku 7.2.Zanedbáme-li odpor vzduchu, máme pro souřadnicovérychlosti tyto výrazy:
vx = v0 · cosα, (7.22)
vy = v0 · sinα − g · t, (7.23)
kde g je tíhové zrychlení. Souřadnice x a y vyjádříme jakofunkce času
x = v0 · cosα · t, (7.24)
y = v0 · sinα · t −g · t2
2. (7.25)
Vyloučením času t dostaneme rovnici trajektorie
y = tanα · x −g
2 · v20 cos2 α
· x2, (7.26)
22
což je srovnatelné s obecnou rovnicí paraboly y = ax −bx2.
V nejvyšším bodě trajektorie je
vy = 0⇒ v0 · sinα − g · t ′ = 0, (7.27)
kde t ′ je doba výstupu do nejvyššího bodu dráhy. Odtudpotom
t ′ =v0 · sinα
g, (7.28)
a tedy nejvyšší výška dosažená vrženým tělesem je tedy
ymax = v0 · sinα ·v0 · sinα
g−
−g
2·
(v0 · sinα
g
)2=
v0 · sin2 α
2 · g. (7.29)
Těleso dopadne na zem za dobu t = 2 · t ′, takže
t =2 · v0 · sinα
g. (7.30)
Délku vrhu dostaneme dosazením této hodnoty za t dovýrazu x
xmax = v0 · cosα ·2 · v0 · sinα
g=
v20g· sin 2α. (7.31)
Můžeme si všimnout, že při pevně zvolené velikostipočáteční rychlosti docílíme největšího doletu při vyha-zovacím úhlu α, který splňuje podmínku sin 2α = 1, tj.úhel α = 45. Dolet nabývá největší hodnoty tehdy, je-livyhazovací úhel roven 45.
Nejdříve odšroubujeme balistickou jednotku ze zá-kladní desky.Dále pak také odstraníme celé kyvadlo, kterélze po odmontování přišroubovat z druhé strany základnídesky do příslušných děr u okraje plátu. Po odstraněníkyvadla jsou vidět dvě díry na úhlové stupnici, které bylydoposud zakryté kyvadlovou tyčí. Dvěma šrouby přišrou-bujeme balistickou jednotku do těchto děr. Otvor balis-tické jednotky musí směřovat vzhůru. Uvolněním pro-středního šroubu lze vyhazovací úhel měnit od 0 do 90.Pro měření vrhacího rozsahu s balistickou jednotkou je
absolutně nezbytné, aby stojky zařízení byly připevněnyk povrchu stolu, protože zařízení by během napínání astřílení mohlo uklouznout. Pro experimenty s balistickoujednotkou vybereme oblast, kde nemůže být nikdo zasa-žen a kde nemůže být nic míčkem zničeno. Míček můžedopadnout až 3 metry daleko. Také bereme ohled na to, žese míček může odrazit o zem a dopadnout dále. Při mě-ření využíváme pohybových rovnic šikmého vrhu, protoje důležité, aby startovní bod a cílová rovina byly ve stejnévýšce.
1. Nabíjení a natahování balistické jednotky je popsáno výše. Při spouštění střely zajistěte, aby spoušťbyla vytažená rychle. Tak dosáhneme opakovatelnosti vrhaných vzdáleností.
2. Upevníme záznamový papír do cílové vzdálenosti k označení dopadových bodů míčku. Rovněž jedůležité, aby startovní bod a cílová rovina byly ve stejné výšce.
3. Začněte s vyhazovacím úhlem 25 a zvyšujte ho po 5 až do hodnoty 65.
4. Pro každý úhel zaznamenejte délku dopadu projektilu.
5. Do tabulky vyneste hodnoty délky doletu pro každý úhel a do dalšího sloupce pro každý úhelvypočtěte maximální hodnotu doletu xmax ze vztahu (7.31) na základě znalosti nastaveného úhlu αa počáteční rychlosti v0 (viz výsledky z předchozího úkolu).
6. Měření proveďte pro všechny tři tenze vystřelovacího mechanismu.
24
Úloha 8 Tříosý gyroskop
8.1 Určení momentu setrvačnosti gyroskopu závěsným závažím
Pokud nastavíme gyroskop tak, aby byl roztočen pro-střednictvím padajícího tělesa (jako na obrázku 8.1), po-tom pro úhlové zrychlení ε platí
dωRdt= ε =
MIP, (8.1)
kdeωR je úhlová rychlost, IP polární moment setrvačnostia M = F · r je moment síly.
Podle zákona akce a reakce je síla způsobující točivýmoment dána vztahem
F = m · (g − a), (8.2)
kde g je tíhové zrychlení a a je zrychlení přímočaréhopohybu po dráze.
Následující vztahy platí pro zrychlení a a úhlovézrychlení ε:
a =2ht2p, ε =
ar, (8.3)
kde h je padající výška urychlovacího závaží, tp je dobapádu závaží a r je poloměr navíjecího kotouče, na kterémje navinutý provázek s urychlovacím závažím.
Dosazením (8.2) a (8.3) do (8.1) dostáváme
t2p =(2IP + 2mr2) · h
mgr2 . (8.4)
Výše uvedený výraz se užívá pro určení IP ze závislosti tpna h. Odtud je tedy výsledný moment setrvačnosti diskuroven
IP = mr2(gt2
p
2h− 1
). (8.5)
Obecně však pro moment setrvačnosti disku platí
IP =12
mr2 =π
2r4 · d · ρ, (8.6)
kde d je tloušťka disku a ρ je hustota materiálu, ze kteréhoje vyroben. Pokud za tyto hodnoty dosadíme informaceod výrobce, dospějeme k výsledku IP = 8,91·10−3 kg·m2.
Obrázek 8.1: Schéma sestavy pro spouštění závaží.1
Postup měřeníNa začátku je potřeba určit polární moment setrvačnosti IP. Pro tento účel umístíme gyroskop s
že disk spolu s namotaným roztáčecím provázkem přesahuje hranu stolu (jako na obrázku 8.1). Provázeknavineme na roztáčecí část gyroskopického disku a urychlovací závaží připevníme na volný konec pro-vázku. Experiment je založen na odlišných padacích výškách h urychlovacího závaží, na kterých závisídoba pádu tP od okamžiku spuštění do té doby, dokud se závaží nedotkne podlahy. Závislost tP na h určujemoment setrvačnosti gyroskopického disku, který dopočítáme podle vztahu (8.5).
1. Změřte desetkrát poloměr r navíjecího válce gyroskopu a vypočtěte jeho odchylku.
2. Změřte výšku h závaží od země a vypočtěte jeho odchylku.
3. Spusťte závaží o hmotnosti m k zemi. Na stopkách změřte dobu dopadu tp.
4. Ze vztahu (8.5) vypočtěte hodnotu momentu setrvačnosti IP. Nejistotu určete jako odchylku aritme-tického průměru.
5. Proveďte alespoň 10 měření s různými závažími.
6. Z dílčích hodnot vypočtěte průměrný moment setrvačnosti a jeho nejistotu jako směrodatnou od-chylku.
7. Výslednou hodnotu momentu setrvačnosti gyroskopického disku porovnejte s teoretickou hodnotoustanovenou podle vztahu (8.6).
8.2 Určení momentu setrvačnosti gyroskopu z délky trvání precesního otáčení
Dejme nyní symetrický gyroskop do rovnováhy s pro-tizávažím v horizontální poloze jako na obrázku 8.2. Po-kud máme gyroskop rotující kolem horizontální osy x súhlovým zrychlením ω, potom pro úhlový impuls, kterýje konstantní v prostoru a čase platí
L = IP · ωR. (8.7)
Přidáním přídavného závaží m′ ve vzdálenosti r ′ odpodpůrného bodu vyvoláváme doplňkový točivý momentM ′, který je roven časové změně úhlového impulsu para-lelně k němu
M ′ = m′gr ′ =dLdt
. (8.8)
Vzhledem k vlivu doplňkového točivého momentu,který zde působí kolmo, po uplynutí času dt se bude stá-čet úhlový impuls L o úhel dϕ od jeho počáteční polohy
dL = L · dϕ. (8.9)
Gyroskop se nebude otáčet vlivem doplňkového to-čivého momentu, ale bude vyrovnávat sílu vyvolanoutímto točivýmmomentem. Gyroskop, který je nyní podro-ben gravitaci, vykonává takzvaný precesní pohyb. Úhlová
rychlost precese ωP splňuje vztah
ωP =dϕdt=
1L·dLdt=
1IP · ωR
dLdt=
m′gr ′
IP · ωR. (8.10)
Pokud vezmeme ωP = 2π/TP a ωR = 2π/TR, kde ωR jeúhlová rychlost otáčení (rotace), potom obdržíme vztahpro výpočet momentu setrvačnosti gyroskopického diskujako
IP =m′gr ′
4π2 · TR · TP. (8.11)
Obrázek 8.2: Schéma umístění závaží pro precesní po-hyb.2
2Ibid.
26
Postup měření
1. Na ose gyroskopického disku změříme 10-krát vzdálenost r ′ drážky pro zavěšení závaží od místaupevnění k svislé ose. Určete jeho odchylku.
2. Roztočíme volný vyvážený gyroskop pomocí navinutého provázku (rychlost otáček by měla býtpřibližně f > 10Hz).
3. Změříme periodu rotace disku TR1 . Použijeme k tomu optickou závoru s čítačem. Přiblížíme jik rotujícímu disku tak, aby přilepený kousek papírku vždy na krátký okamžik přerušil optickýsvazek. Na stopkách změříme dobu 20-ti otáček a na jejich základě určíme hledanou hodnotu TR1 .
4. Ihned po změření periody TR1 zavěsíme závaží (50 g, 100 g) do drážky na konec gyroskopické osynaproti disku, který důsledkem tohoto silového impulsu začne konat precesní otáčení.
5. Změříme dobu trvání poloviny precesního oběhu TP/2.
6. Sundáme závaží, gyroskop se vrátí do rovnovážné polohy, a ihned změříme periodu rotace diskuTR2 .
7. Vypočítáme průměrnou hodnotu periody rotace disku TR z hodnot TR1 a TR2 .
8. Měření provedeme 10-krát pro dvě různá závaží (50 g a 100 g).
9. Pro jednotlivá měření vypočteme hodnotu momentu setrvačnosti ze vztahu (8.11). Hodnotu polo-měru roztáčecího disku r ′ dosadíme z předchozího úkolu.
10. Určíme výslednou hodnotu momentu setrvačnosti disku jako aritmetický průměr dílčích hodnota dopočteme jeho směrodatnou odchylku.
11. Do jednoho grafu zakreslíme závislost rotační frekvence fR na periodě precesního oběhu TP proobě závaží. Obě datové sady proložíme přímkou.
12. Změřenou hodnotu momentu setrvačnosti gyroskopického disku porovnáme s hodnotou určenouv předchozím úkolu.
27
Úloha 9 Stanovení různých rezonančních frekvencí Hel-mholtzova rezonátoru v závislosti na objemu
Abstrakt
Rezonátory ve tvaru akustické dutiny mají charakteristickou frekvenci, která je určena jejich geometrickým tvarem.V našem případě je rezonátor buzen k vibracím v rezonanční frekvenci šumem pozadí.
Teorie
Charakteristické frekvenční spektrum kulaté baňky jetvořeno jedinou rezonanční linií o frekvencí 195Hz. Posnížení objemu vzduchu v baňce o 50% přidáním vody,se frekvence zvýší na 245Hz. Následně jsou pozoroványsekundární čáry a úroveň šumu prostředí se stává mírnězřetelnou, což vede ke snížení kvality rezonátoru.
Systém sestávající z trubice a duté baňky, jako v na-šem případě, představuje Helmholtzův rezonátor ve svéobecné formě. Podmínkou pro použitelnost následujícíhovzorce je tedy to, že délka trubice je malá ve srovnání svlnovou délkou zvuku. Vlnová délka zvuku je v našempřípadě rovna 1,4m (což je více, než rozměry baňky).
Přirozená rezonanční frekvence takového akustickéhorezonančního obvodumůže být odvozena za předpokladu,že vzduch v baňce působí proti pohybu „vzduchovéhopístu“ v trubici jako pružina.
Při zohlednění délky trubky, lze frekvenci určit po-
mocí vztahu
f =c
2π
√πr2
(l + 12πr)
·1V, (9.1)
kde c je rychlost zvuku, l je délka trubice, r je poloměrtrubice a V je objem dutiny.
Tabulka 9.1: Hodnoty použitých konstant pro baňku oobjemu 1000ml.
c [m · s−1] 343
r [m] 0,023
l [m] 0,085
V [m3] 10,23·10−4
Rezonanční frekvence prázdné baňky s kulatým dnemmá hodnotu 199Hz a rezonanční frekvence baňky, kteráje napůl naplněna vodou, je 280Hz. Srovnání obou re-zonančních frekvencí potvrzuje, že frekvence je nepřímoúměrná druhé odmocnině objemu dutého tělesa.
Postup měřeníSestavte zařízení podle obrázku 9.1. Sonda mikrofonu je pomocí skleněné trubice zavedena do dutiny
a umístěna v horní třetině kulaté části baňky.Spusťte software „measureLAB“ a vyberte experiment z úvodní obrazovky. Všechna nezbytná před-
nastavení budou načtena. Chcete-li změnit parametry měření, klikněte na tlačítko ozubeného kola,zvolte „Senzory / Kanály“ a vyberte možnost Kanál CH3. Rozsah měření musí být nastaven na „10V“,protože tento rozsah odpovídá výstupnímu rozsahu zesilovače mikrofonu. Začněte měření klepnutímna tlačítko „Nahrát“.
Upravte zesílení mikrofonu na střední úroveň. V tomto experimentu je požadován okolní šum. Pokudje okolní úroveň šumu běhemměření příliš slabá, můžete generovat vhodný šum jednoduchým způsobem,
28
Obrázek 9.1: Sestavení aparatury.
např. třením dvou listů papíru nebo jemně zaklepejte na baňku. Pokud se signál osciloskopu přestaneobnovovat, musí být spouštěcí práh (ovládání posuvu vpravo) nastaven na nižší hodnotu.
Amplitudu signálu lze zvýšit buď přidáním dalšího šumu nebo úpravou zesílení mikrofonu. Můžetepřepínat mezi zobrazením osciloskopu a Fourierovým spektrem kliknutím na tlačítko „FFT“ („RychláFourierova transformace“).
Zatímco osciloskop zobrazí signál jako superpozici signálů různých frekvencí, FFT vám poskytneživou analýzu frekvencí, které přispívají k signálu. Počet záznamů je měřítkem příspěvku jednotlivýchfází.
1. Pomocí analýzy spektra FFT určete polohu rezonanční frekvence 1000ml baňky, která je naplněnapouze vzduchem.
2. Opakujte experiment poté, co kulovitá část baňky byla napůl naplněna vodou. Pro srovnání pro-veďte výše uvedené kroky měření pro baňku o objemu 100ml. Pozorujte frekvenční spectrum připostupném naplňování baňky vodou. Při použití baňky o objemu 100ml musí být sonda vloženado baňky bez skleněné trubice, protože skleněná trubice může ovlivnit rezonanci.
3. Opakujte měření pro všechny baňky, které jsou k dispozici v laboratoři.
4. Hmotnost vody, kterou baňky plníte, určete na předvážkách. Změřte délku trubice a (vnitřní) průměrtrubky každé baňky. Určete průměr kulového objemu každé baňky. Tyto hodnoty budete potřebovatpro výpočet příslušných rezonančních frekvencí.
29
Ukázky výsledných grafů
(a) (b)
Obrázek 9.2: Prázdná baňka 1000ml. Osciloskop (a) a FFT (b).
(a) (b)
Obrázek 9.3: Baňka 1000ml naplněná do poloviny vodou. Osciloskop (a) a FFT (b).
(a) (b)
Obrázek 9.4: Prázdná baňka 100ml. Osciloskop (a) a FFT (b).
30
Úloha 10 Měření Youngova modulu pružnosti
Youngův modul udává vztah mezi napětímFS
a de-
formací (relativním prodloužením)∆ll0
tahem, pro kterýplatí Hookův zákon
∆ll0=
1E
FS, (10.1)
kde ∆l značí prodloužení, l0 původní délku vzorku, F ta-hovou sílu a S průřez vzorku. Jednotkoumodulu pružnosti
v tahu je 1 Pa.Modul pružnosti ve smyku G udává vztah mezi smy-
kovým napětím a smykovou deformací γ ve tvaru
γ =1G
FS, (10.2)
kde γ je úhel smyku, F je smyková plocha, S je plocha,ve které působí smyková síla F. Jednotkou je opět 1 Pa.
10.1 Měření Youngova modulu pružnosti z protažení drátu
Metoda je založena na Hookově zákonu a je to metodastatická. Působí-li na drát délky l a průřezu S síla F vesměru délky, prodlouží se drát o délku y, pro kterou platí
y =1E
FS
l, (10.3)
kde E je hledaný modul pružnosti v tahu. Platí E =FlSy
.Měříme-li drát o kruhovém průřezu s poloměrem r , paklze vztah upravit na tvar
E =Flπr2y
. (10.4)
Postup měřeníK měření použijeme zařízení podle obrázku 10.1. Drát je na jednom konci upevněn, na druhém je
zatěžován závažím. Prodloužení měříme číselníkovým úchylkoměrem H (hodinkový indikátor).
Obrázek 10.1:Měření Youngova modulu z protažení drátu.
1. Drát zatížíme závažím o hmotnost 0,5 kg a změříme desetkrát jeho délku l. Odečet provádímena desetiny milimetru, měníme polohu měřítka. Měření zapíšeme do tabulky.
2. Vypočteme průměrnou hodnotu délky l a pomocí druhých mocnin odchylek její střední nejistotu.
3. Mikrometrem změříme průměr drátu d.Měření opakujeme desetkrát, desetkrát měříme také nulovoupolohu mikrometru. Výsledky zapíšeme do tabulky.
4. Vypočtemepoloměr drátu r . Skutečný průměr drátu d = d1−d0, střední nejistotaσd =√(σd1)2 + (σd0)2.
r =d2a nejistota σr =
12σd.
31
5. Postupnou metodou změříme prodloužení drátu y. Drát zatěžujeme závažím, jehož hmotnost zvyšu-jeme po 0,5 kg do hodnoty 4 kg. Provedeme 2n měření při rostoucím a klesajícím zatížení. Výsledkyzapíšeme do tabulky.
6. Vypočteme aritmetický průměr z hodnot y, každá hodnota znamená prodloužení při změně závažío n · 0,5 kg. Z těchto hodnot určíme také aritmetický průměr a jeho nejistotu. Vypočteme síluF = m · g, kde m = n · 0,5 kg.
7. Vypočteme modul pružnosti v tahu E . Za tíhové zrychlení dosazujte g = 9, 81m · s−2. Sestrojímegraf závislosti prodloužení y na hmotnosti závaží m.
8. Vypočteme střední nejistotu v určení modulu pružnosti v tahu σE = E
√(σll
)2+
(σy
y
)2+
(2σr
r
)2.
9. Vypočtenou hodnotu porovnáme s tabulkovou hodnotou.
10.2 Měření Youngova modulu pružnosti z prohnutí ploché tyče
Je-li tyč délky l na obou koncích upevněna, pak sílaF, působící v jejím středu, způsobí prohnutí y, pro něžz teorie pružnosti plyne vztah
y =148
Fl3
E Jp, (10.5)
kde Jp je plošný moment setrvačnosti průřezu tyče vzhle-dem k ose jdoucí těžištěm kolmo k působící síle a ležícív rovině průřezu, E je modul pružnosti v tahu. Máme-li
tyč obdélníkového průřezu s rozměrem d ve směru půso-bící síly a rozměrem b kolmým k tomuto směru, pak
Jp =1
12d3b. (10.6)
Dosazením do vztahu (10.5) poté dostáváme modul pruž-nosti
E =(
ld
)3·
F4 · b · y
. (10.7)
Postup měření
1. Sestavte aparaturu dle manuálu od výrobce (Moodle: soubor Zařízení pro měření pružnosti).
2. Délku l určete jako vzdálenost mezi ložisky s břity.
3. Určete hmotnost závaží m.
4. Měření proveďte pro alespoň 6 různých tyčí.
5. U každé tyče změřte alespoň 5-krát její tloušťku d a šířku b. Určete jejich odchylky σd a σb.
6. Vezměte plochou tyč a naměřte minimálně 5 hodnot prohnutí y.
7. Pro každou tyč určete průměrnou hodnotu modulu pružnosti E a jeho odchylku jako σE =
E
√(σy
y
)2+
(σbb
)2+
(3σd
d
)2.
8. Porovnejte výsledné moduly pružnosti tyčí ze stejného materiálu.
Princip Pohlova torzního kyvadla je schématicky na-značen na obrázku 11.1. Měděný kotouč je přes spirálnípružinu propojen s pákovým mechanizmem, který pru-žinu periodicky zkrucuje díky uchycení k otáčející se hří-deli elektromotoru. Otáčivý pohyb hřídele tak budí kmitykyvadla.
Obrázek 11.1: Pohlovo kyvadlo
Při popisu pohybu kotouče Pohlova kyvadla vyjdemez pohybové rovnice pro rotační pohyb kolem pevné osy
J Üϕ = M , (11.1)
kde J je moment setrvačnosti kotouče vzhledem k oseotáčení, Üϕ představuje druhou derivaci úhlu vychýleníkotouče (úhlové zrychlení) a M reprezentuje moment sílyve směru rotační osy kotouče.
Moment síly zde má dvě složky. Jednou z nich jevratný moment, kterým na kotouč působí pružina a platípro něj
Mp = k∆ϕ = k(ϕ0 − ϕ), (11.2)
kde k je konstanta vyjadřující tuhost pružiny a ∆ϕ je úhelzkroucení pružiny, vyjádřený jako rozdíl úhlových výchy-lek budicí páky a kotouče od rovnovážných hodnot. Druhásložka je brzdný moment způsobený aerodynamickýmodporem a třením ložisek uložení kotouče. Kyvadlo jedále vybaveno elektromagnetickou brzdou (B) pro zajiš-tění možnosti studia vlivu tlumení. Budeme předpokládat,že brzdný moment je úměrný okamžité úhlové rychlostikotouče
Mb = −b Ûϕ, (11.3)
kde b je konstanta a znaménko minus vyjadřuje skuteč-nost, že brzdný moment má vždy opačný směr oproti vek-toru úhlové rychlosti. Po dosazení vztahů (11.2) a (11.3)do (11.1) dostaneme pohybovou rovnici ve tvaru
J Üϕ + b Ûϕ + kϕ = kϕ0(t). (11.4)
Vydělením rovnice (11.4)momentem setrvačnosti do-staneme
Üϕ + 2δ Ûϕ + ω20ϕ = e0(t), (11.5)
kde jsme označili δ = b/2J, ω0 =√
k/J a e0(t) =ϕ0(t)/J. V tomto konkrétním případě platí
e0(t) = E0 cosΩt,
kde E0 je konstanta (součin tuhosti pružiny a amplitudyúhlové výchylky budicí páky) a Ω je úhlový kmitočetrotace hřídele elektromotoru. Rovnice (11.5) představujez hlediska matematické terminologie nehomogenní line-ární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantnímikoeficienty. Systém, jehož chování se řídí touto diferen-ciální rovnicí, se nazývá lineární harmonický oscilátor.Chování mnoha (nejen fyzikálních) systémů lze popsat(někdy alespoň v prvním přiblížení) právě pomocí rov-nice (11.5). Z tohoto důvodu se v následujícím textu blí-žeji podíváme na její řešení.
11.1 Lineární harmonický oscilátor
Jelikož proměnná v rovnici (11.5) může obecně předsta-vovat v zásadě libovolnou veličinu, v dalším textu ji bu-deme značit x(t) a nazývat výchylkou a její derivaci Ûx(t)rychlostí. Dostaneme tak
Üx + 2δ Ûx + ω20 x = a0(t). (11.6)
V závislosti na hodnotách jednotlivých parametrův rovnici (11.6) rozlišujeme níže uvedené typy chovánípříslušného systému.
11.1.1 Volné netlumené kmity
Nejdříve budeme předpokládat, že popisovaný systém jenetlumený (δ = 0) a není buzený (a0 = 0). Rovnice (11.6)
33
má potom tvarÜx + ω2
0 x = 0. (11.7)
Jelikož víme, že exponenciála se derivováním ne-mění, pokusíme se nalézt řešení rovnice (11.7) ve tvarux(t) = exp(λt), kde λ je konstanta. Po dosazení předpo-kládaného řešení do (11.7) dostaneme
λ2eλt + ω20eλt = 0⇒ (λ2 + ω2
0) eλt︸︷︷︸,0
= 0⇒
⇒ λ2 + ω20 = 0⇒ λ1,2 = ±jω0.
Zjistili jsme, že rovnice (11.7) má dva kořeny a jimodpovídají dvě partikulární řešení
x1(t) = ejω0t , x2(t) = e−jω0t ,
která jsou lineárně nezávislá. Obecné řešení rovnice(11.7) dostaneme jako lineární kombinaci řešení x1(t)a x2(t), tedy
kde A a B jsou integrační konstanty, jejichž hodnota,jak je ukázáno níže, závisí na počátečních podmínkách.Fakt, že x(t) je také řešením rovnice (11.7) je dán jejílinearitou, můžeme se o něm snadno přesvědčit přímýmvýpočtem a vyjadřuje princip superpozice. Mohlo by sezdát, že řešení (11.8) nemůže popisovat chování reálnéhofyzikálního systému, neboť obsahuje komplexní funkce.Pomocí Eulerových vzorců
ejα = cosα + j sinα,e−jα = cosα − j sinα,
dostaneme
x(t) = Aejω0t + Be−jω0t = A(cosω0t + j sinω0t)+
+ B(cosω0t − j sinω0t) = (A + B)︸ ︷︷ ︸C
cosω0t+
+ (jA + jB)︸ ︷︷ ︸D
sinω0t = C cosω0t + D sinω0t, (11.9)
odkud je vidět, že pro reálné konstanty C a D je i řešeníx(t) reálné. Tento výsledek můžeme dále upravit následu-jícím způsobem.
x(t) = C cosω0t + D sinω0t =
=√
C2 + D2(
C√
C2 + D2cosω0t+
+D
√C2 + D2
sinω0t). (11.10)
Označíme-li C/√
C2 + D2 = cos ϕ, můžeme dále psát
sin ϕ =√
1 − cos2 ϕ =
=
√1 −
C2
C2 + D2 =D
√C2 + D2
,
takže vztah (11.10) přejde do tvaru
x(t) = E(cos ϕ cosω0t+
+ sin ϕ sinω0t) = E cos(ω0t − ϕ), (11.11)
kde E =√
C2 + D2 a tan ϕ = D/C. Rovnice (11.11) popi-suje netlumené harmonické kmity, jejichž amplituda E ses časem nemění. Protože základní perioda funkce kosinusje 2π, dostaneme pro periodu kmitů T
ω0(t + T) − ϕ = ω0t − ϕ + 2π ⇒ T =2πω0=
1f,
kde f = 1/T je kmitočet (počet kmitů za jednu sekundu)a ω0 = 2π f je úhlový kmitočet.
Dosud jsme se nezajímali o to, čemu se rovnají inte-grační konstanty (A, B), (C, D), (E , ϕ). Jejich hodnotymůžeme určit z počátečních podmínek. Víme-li, že v ně-jakém čase t0 je výchylka x(t0) = x0 a její derivace (oka-mžitá rychlost) Ûx(t0) = v0, můžeme tyto hodnoty dosaditdo příslušných rovnic ((11.8), (11.9), nebo (11.11)) a vy-počítat hledané koeficienty.
Uveďme pár příkladů. Budeme-li uvažovat řešení(11.9), dostaneme derivováním pro rychlost
v(t) = Ûx(t) = −ω0C sinω0t + ω0D cosω0t. (11.12)
Nechť v čase t0 = 0 platí: x(0) = x0, v(0) = 0. Dosa-zením do vztahů (11.9) a (11.12) dostaneme
x(0) = x0 = C,v(0) = 0 = ω0D⇒ x(t) = x0 cosω0t.
Nechť v čase t0 = 0 platí: x(0) = 0, v(0) = v0. Dosa-zením do vztahů (11.9) a (11.12) dostaneme
x(0) = 0 = C,v(0) = v0 = ω0D⇒ x(t) =v0ω0
sinω0t.
Nechť v čase t0 = 0 platí: x(0) = x0, v(0) = v0. Dosa-zením do vztahů (11.9) a (11.12) dostaneme
x(0) = x0 = C,v(0) = v0 = ω0D⇒
⇒ x(t) = x0 cosω0t +v0ω0
sinω0t =
=
√√x2
0 +v2
0
ω20
cos[ω0t + arctan
(v0ω0x0
)].
34
11.1.2 Volné tlumené kmity
V tomto případě je mechanický systém tlumený (δ > 0)a není buzený (a0 = 0). Rovnice (11.6) má potom tvar
Üx + 2δ Ûx + ω20 x = 0. (11.13)
Její řešení budeme opět hledat ve tvaru x(t) = exp(λt),kde λ je konstanta. Dosazením do rovnice (11.13) dosta-neme
λ2eλt + 2δλeλt + ω20eλt = 0⇒
⇒ (λ2 + 2δλ + ω20) eλt︸︷︷︸
,0
= 0⇒ λ2 + 2δλ + ω20 = 0,
odkud řešením kvadratické rovnice dostaneme dva kořenyλ1,2 = −δ ±
√δ2 − ω2
0 a jim odpovídající dvě partikulárnílineárně nezávislá řešení
x1(t) = e−δt+√δ2−ω2
0 t , x2(t) = e−δt−√δ2−ω2
0 t . (11.14)
Řešení obecné má opět tvar lineární kombinace partiku-lárních řešení
x(t) = Ax1(t) + Bx2(t) =
= e−δt (Ae√δ2−ω2
0 t + Be−√δ2−ω2
0 t ). (11.15)
V závislosti na vzájemném poměru koeficientů δ aω0
rozlišujeme následující tři situace:
Slabé tlumení (δ < ω0)
V tomto případě je argument odmocniny ve vztahu (11.15)záporný. Můžeme psát√
δ2 − ω20 =
√−(ω2
0 − δ2) = j
√(ω2
0 − δ2) = jω,
kdeω =√(ω2
0 − δ2) = 2π f = 2π/T je reálné číslo. Vztah
(11.15) můžeme tedy přepsat jako
x(t) = e−δt (Aejωt + Be−jωt ) =
= e−δωt (C cosωt + D sinωt) =
= Ee−δωt cos(ωt − ϕ). (11.16)
Vztahy mezi integračními konstantami (A, B), (C, D),(E , ϕ) jsou stejné jako v předchozím případě a jejich hod-nota se určí z počátečních podmínek.
Jak je ze vztahů (11.16) vidět, amplituda kmitů neníkonstantní, ale klesá exponenciálně s rostoucím časem,viz příklad uvedený na obrázku 11.2.
Obrázek 11.2: Slabě tlumené kmity
Díky tomu není tento kmitavý proces periodický, nicméněněkteré děje se v něm opakují periodicky. Napříkladpro nulovou výchylku platí
x(tn) = 0 = Ee−δtn︸ ︷︷ ︸,0
cos(ωtn − ϕ) ⇒
⇒ ωtn − ϕ = (2n + 1)π
2⇒ tn = n
T2+
1ω
(ϕ +
π
2
),
kde n je celé číslo. Průchod nulovou hodnotou se tedyopakuje s periodouT/2. Obdobně dostaneme promaximaa minima výchylky
Ûx(tm) = 0 = − Ee−δtm︸ ︷︷ ︸,0
[δ cos(ωtm − ϕ)+
+ ω sin(ωtm − ϕ)] ⇒ tan(ωtm − ϕ) = −δ
ω
a dále
ωtm − ϕ = mπ − arctan(δ
ω
)⇒
⇒ tm = mT2+
1ω
[ϕ − arctan
(δ
ω
)],
kde m je celé číslo. Odtud vyplývá, že jednotlivé extrémyse opakují s periodou T/2, přičemž mezi dvěma maximyje vždy jedno minimum a naopak (viz obrázek 11.2),takže jednotlivá minima a maxima se opakují s periodouT .
Pokud bychom vypočetli poměr amplitud dvoupo sobě jdoucích maxim (anebo minim), dostali bychomdíky periodicitě funkce kosinus
x(tm)x(tm+2)
=
=exp−δ[mT
2 +ϕω −
1ω arctan( δω )]
exp−δ[(m + 2)T2 +ϕω −
1ω arctan( δω ]
= eδT .
Přirozený logaritmus této veličiny se nazývá logaritmickýdekrement útlumu a používá se k experimentálnímu ur-čení koeficientu útlumu. Platí pro něj vztah
Λ = ln[
x(tm)x(tm+2
]= δT = δ
2πω
. (11.17)
35
Čím vyšší budemít koeficient δ hodnotu, tím nižší bu-dou mít kmity frekvenci a tím rychleji budou zatlumeny.Takto se bude kmitající systém chovat, pokud δ < ω0.V případě, že δ = ω0, hovoříme o tzv. kritickém tlumení.
Kritické tlumení (δ = ω0)
Je zřejmé, že v tomto případě nelze použít k popisu kmi-tavého pohybu vztah (11.15), neboť argument obou ex-ponenciál v závorce je nulový, integrační konstanty sesečtou a stává se z nich jedna. Za této situace by ne-bylo možné pomocí jediné integrační konstanty vyho-vět obecně dvěma počátečním podmínkám (x(t0) = x0
, Ûx(t0) = v0). Tato situace vyplývá ze skutečnosti, že par-tikulární řešení (11.14) nejsou v tomto případě lineárněnezávislá (kořen charakteristické rovnice λ1,2 je dvojná-sobný).
Druhé (lineárně nezávislé) partikulární řešení na-jdeme následujícím způsobem. Budeme předpokládat,že tlumení je o malinko větší než kritické a platí δ2 =
ω20 + ε
2, ε ω0. Partikulární řešení (11.14) mají v tomtopřípadě tvar
x1(t) = e−δteεt , x2(t) = e−δte−εt .
Vzhledem k tomu, že ε je malé, můžeme provést Ta-ylorův rozvoj partikulárních řešení
x1(t) = e−δteεt = e−δt(1 + εt +
12ε2t2 +
16ε3t3 + ...
),
x2(t) = e−δte−εt = e−δt(1 − εt +
12ε2t2 −
16ε3t3 + ...
)a vypočítat limitu
limε→0
x1(t) − x2(t)ε
= limε→0
e−δt
ε
(2εt+
13ε3t3+ ...
)= 2te−δt .
Jelikož je diferenciální rovnice (11.13) lineární a před-chozí výsledek jsme dostali lineární kombinací jejích ře-šení, je i tento výsledek řešením rovnice (11.13). Snadnose můžeme přímým dosazením do rovnice (11.14) pře-svědčit, že její obecné řešení má tvar
x(t) = (A + Bt)e−δt .
Silné tlumení (δ > ω0)
V tomto případě je obecným řešením rovnice (11.13)vztah (11.15).
Kmitavý pohyb zde nevykazuje, stejně jako v případěkritického tlumení, žádné periodické vlastnosti. Při kritic-kém tlumení se systém vrací do klidové polohy rychlejinež v případě tlumení silného. Příklad je uveden na ob-rázku 11.3.
Obrázek 11.3: Slabě tlumené kmity
11.1.3 Nucené kmity
Nyní budeme předpokládat případ, kdy na kmitající sys-tém působí vnější „síla“, která má harmonický průběhs amplitudou A0 a úhlovým kmitočtem Ω. Pohybová rov-nice (11.6) má potom tvar
Üx + 2δ Ûx + ω20 x = A0 cosΩt. (11.18)
Diferenciální rovnice (11.18) popisuje nucené tlumenékmity.
Z matematického hlediska se jedná o rovnici neho-mogenní (obsahuje člen nezávislý na x(t)). Obecné řešenínehomogenní rovnice budeme hledat jako součet obec-ného řešení rovnice homogenní (bez pravé strany) a par-tikulárního řešení x0(t) rovnice nehomogenní
x(t) = Ax1(t) + Bx2(t) + x0(t),
kde A a B jsou integrační konstanty, jejichž hodnota závisína počátečních podmínkách (výchylka, rychlost). Díky li-nearitě rovnice lineárního harmonického oscilátoru budetedy platit
Üx1,2 + 2δ Ûx1,2 + ω20 x1,2 = 0, (11.19)
Üx0 + 2δ Ûx0 + ω20 x0 = A0 cosΩt. (11.20)
Řešení rovnice (11.19) odpovídá volným tlumenýmkmitůmabylo předmětempředchozích odstavců.Ve všechpřípadech amplituda těchto volných kmitů klesá expo-nenciálně s časem a kmity po uplynutí jisté doby vy-mizí - představují tzv. přechodový jev. Po odeznění pře-chodového jevu zůstanou přítomny pouze kmity nucené,reprezentované partikulárním řešením rovnice (11.20).
36
Toto řešení nejrychleji nalezneme následujícím způso-bem. Pro pravou stranu rovnice (11.20) můžeme psát
A0 cosΩt = R(A0 cosΩt + jA0 sinΩt) = R(A0ejΩt ).
Budeme dále hledat partikulární řešení rovnice
Üz0 + 2δ Ûz0 + ω20z0 = A0ejΩt
a jeho reálná část pak bude odpovídat výchylce x0(t).Tento postup funguje opět díky linearitě pohybové rov-nice a z ní vyplývajícího principu superpozice. S ohledemna tvar pravé strany vyzkoušíme dosadit z0 = K exp(jΩt).Dostaneme
(−Ω2 + 2jδΩ + ω20)KejΩt = A0ejΩt ⇒
⇒ K =A0
ω20 −Ω
2 + 2jδΩ⇒ z0 =
A0ejΩt
ω20 −Ω
2 + 2jδΩ.
Výsledek rozepíšeme na reálnou a imaginární část
z0 = A0(cosΩt + j sinΩt)(ω2
0 −Ω2 + 2jδΩ)
·(ω2
0 −Ω2 − 2jδΩ)
(ω20 −Ω
2 − 2jδΩ)=
= A0(ω2
0 −Ω2) cosΩt + 2δΩ sinΩt
(ω20 −Ω
2)2 + 4δ2Ω2+
+ jA0(ω2
0 −Ω2) sinΩt − 2δΩ cosΩt
(ω20 −Ω
2)2 + 4δ2Ω2,
přičemž reálná část výsledku je hledané partikulární ře-šení popisující kmity po odeznění přechodového jevu.S využitím vzorců (11.10) a (11.11) můžeme rovněž psát
x0(t) = X0 cos(Ωt − ϑ),
X0 =A0√
(ω20 −Ω
2)2 + 4δ2Ω2,
tan ε =2δΩ
ω20 −Ω
2, (11.21)
kde X0 reprezentuje amplitudu kmitů. Ze vzorce pro am-plitudu je zřejmé, že pokud Ω ≈ ω0, může amplitudadosahovat při malém útlumu δ značných hodnot, do-chází k tzv. rezonanci. Přesnou hodnotu rezonančníhokmitočtu výchylky dostaneme z podmínky pro extrémyfunkce X0(Ω) a věty o derivaci složené funkce:
dX0dΩ
!= 0⇒
ddΩ[(ω2
0 −Ω2)2 + 4δ2
Ω2]
!= 0⇒
⇒ 4Ω(Ω2 + 2δ2 − ω20) = 0.
Odtud plyne
Ω =
√ω2
0 − 2δ2. (11.22)
Obrázek 11.4: Amplituda nucených kmitů v závislosti na budící frekvenci Ω.
Postup měření
Zapojení úlohy:Pro studium volných kmitů připojte elektromagnetickou brzdu (pod kotoučem kyvadla) k laboratornímuzdroji napětí (svorky pro proměnlivé stejnosměrné napětí DC 0...20V) viz obrázek 11.5b bez pravé částis usměrňovačem. Mezi laboratorní zdroj a usměrňovač zapojte ampérmetr pro měření proudu IB.
Pro studium nucených kmitů je třeba propojit svorky výstupu konstantního střídavého napětí AC 12V
37
laboratorního zdroje s napájecími svorkami elektromotoru (jsou označeny nápisem 24V, 650mA; ty blížeke kyvadlu). Jelikož elektromotor vyžaduje stejnosměrné napětí, je nutné mezi zdroj AC a elektromotorpřipojit ještě usměrňovač (viz obrázky 11.5a,b), který transformuje střídavé napětí na stejnosměrné.Dbejte na správnou polaritu (odpovídající si svorky mají stejnou barvu). Ke svorkám na elektromotoruoznačeným Ux připojte voltmetr. Napětí Ux je úměrné otáčkám elektromotoru a tedy i budicí frekvencikyvadla.
Elektromotor se zapíná společně s hrubou regulací otáček horním potenciometrem, dolním potenci-ometrem se otáčky jemně dolaďují.
(a) (b)
Obrázek 11.5: Pohlovo kyvadlo - sestavení pro měření nucených kmitů s tlumením (a) a schéma zapojení (b).
Volné kmity
1. Pootočením hřídele nastavte nulovou polohou indikátoru výchylky na kotouči kyvadla. Vychyltekyvadlo do blízkosti krajní polohy a stopkami změřte dobu trvání alespoň deseti kmitů a vypočtěteperiodu kmitů kyvadla. Měření 10-krát zopakujte a vypočtěte průměrnou hodnotu periody kmitů.
2. Vychylte kotouč do blízkosti krajní polohy, uvolněte jej a odečtěte hodnoty několika po sobě násle-dujících maximálních výchylek (vždy jen na jedné straně). Vzhledem k rychlosti kmitání kotoučetoto odečítání zřejmě nebude příliš přesné a bude vyžadovat spolupráci dvou experimentátorů.
3. Pomocí vztahu (11.17) vypočítejte průměrnou hodnotu logaritmického dekrementu útlumu Λ akoeficientu útlumu δ.
4. Opakujte měření od bodu 2, ale tentokrát s proudem procházejícím elektromagnetickou brzdouIB ≈ 0,25A (U∼ = 4V), IB ≈ 0,40A (U∼ = 6V), IB ≈ 0,55 A (U∼ = 8V), IB ≈ 0,9A (U∼ = 12V).
5. Zpracujte přehlednou tabulku, ve které pro jednotlivé hodnoty IB uvedete naměřené hodnoty (T , f ,Λ, δ). Do jednoho grafu vyneste pro jednotlivé proudy IB závislosti maximální výchylky kyvadlana čase.
Nucené kmity
1. Odpojte napájení elektromagnetické brzdy. Jelikož budete měřit závislost amplitudy kmitů na budicífrekvenci (=otáčkách elektromotoru), proměřte si nejdříve závislost otáček na napětíUx. Pro zajištěnívětší přesnosti měřte dobu trvání alespoň deseti otoček.
38
2. Proměřte závislost amplitudy kmitů na budicí frekvenci pro odpojenou elektromagnetickou brzdu.Protože rovnovážná poloha kyvadla neodpovídá nule na stupnici, eliminujte toto posunutí výpočtemaritmetického průměru krajních výchylek kyvadla. V okolí rezonance měřte s jemnějším krokem;frekvence, kdy ukazatel na kotouči bude narážet do krajních zarážek, ignorujte. Nezapomeňte,že musíte počkat na odeznění přechodového jevu.
3. Opakujte měření od bodu 2 se zapnutou elektromagnetickou brzdou a proudy IB ≈ 0,25A (U∼ =4V), IB ≈ 0,40A (U∼ = 6V), IB ≈ 0,55 A (U∼ = 8V), IB ≈ 0,9A (U∼ = 12V).
4. Do jednoho grafu vyneste naměřené amplitudové charakteristiky.
39
Úloha 12 Druhý Newtonův pohybový zákon a zákony za-chování hybnosti a kinetické energie
12.1 Vozík na horizontální rovině uváděn do pohybu závažím na kladce
Druhý Newtonův pohybový zákon definuje sílu jakosoučin zrychlení a hmotnosti
®F = m · ®a. (12.1)
Umístíme-li těleso na vozíkovou dráhu a přes kladkuho budeme uvádět do pohybu pomocí zavěšeného závaží,bude se toto vozítko pohybovat s konstantním zrychlenímdaném silou na něj působící. Schéma sestavy s rozvrženímjednotlivých sil je vykresleno v obrázku 12.1.
Tato síla je výsledkem působení tíhové síly na zavě-šené závaží o hmotnosti mz. Jelikož je ale přes lanko pnutí
závaží na vozík, síla, která působí na vozík bude menší.Je to výslednice rozdílu dvou sil: tíhové síly ®FG a síly,která je nutná k uvedení vozíku do pohybu ®FT. Můžemedefinovat síly působící na závaží a na vozík, a tím získámesoustavu dvou rovnic:
závaží: mz · ®g − ®FT = mz · ®a (12.2)
vozík: ®FT = mv · ®a (12.3)
Řešením této soustavy rovnic získáme
®a =mz
mv + mz· ®g. (12.4)
®FT
®FT
®FG
mv
mz
Obrázek 12.1: Schéma rampy.
Postup měření
1. Nastavte sklonoměr na úhel 0 a použijte ho jako vodováhu k vyrovnání dráhy. Pro ověření rovnostidráhy postupně umístěte vozík na několika bodech po celé délce dráhy. Pokud je tato správněvyrovnaná, neměl by se samovolně rozjet. Pro změnu výšky pootočte oběma nožkami podpěryzároveň.
2. Na jeden konec vozíkové dráhy, který bude blíže okraji stolu umístěte nastavitelný doraz ve vzdále-nosti 5 cm od okraje. Za něj připevněte kladku. Na opačný konec připněte optický senzor pro vozík.Jeho kabel připojte k dataloggeru LabQuest Mini, na vstup označený DIG1.
3. Na laboratorních vahách určete hmotnost vozíku mv.
40
4. Vozíky mají čelní stranu (se dvěma nárazníky, ve kterých jsou neodymové magnety pro elastickésrážky) a zadní stranu (nabarvená na černo). Zapněte senzor vozíku snímající pohyb vozíku (stiskemtlačítka na zadní straně, které se rozsvítí). Vozík položte na vozíkovou dráhu tak, aby svítící diodasměřovala k optickému senzoru. Aby byla umožněna komunikace vozíku se senzorem nesmí býtžádné předměty v dráze.
5. Na čelní straně vozíku provlékněte lanko otvorem na vrchní části čelní strany. Pomocí lanka propojtevozík se závažím. Délka lanka musí být taková, aby závaží dosáhlo podlahy dříve, než vozík narazído konstrukce s kladkou.
6. Začněte se závažím 10 g.
7. V programu Logger Pro zapněte měření a zároveň nechte závaží klesat k zemi. V okně programuse vykreslí křivka závislosti rychlosti vozíku na čase. Zvýrazněte oblast křivky, která lineárněstoupá. Tu pak proložte přímkou stiskem tlačítka "Proložit přímkou"z horní lišty (viz obrázek 12.2).Směrnice této přímky udává průměrné zrychlení. Pro každé závaží proveďte výpočet 2-krát. Z obouhodnot určete průměr a jeho odchylku (nejistotu typu B můžete zanedbat).
8. Z vývoje rychlosti vozíku na čase určete hodnotu zrychlení. Část křivky, která roste lineárně, proložtepřímkou (viz obrázek 12.2). Směrnice této přímky je poté hledanou hodnotou zrychlení.
Obrázek 12.2: Ukázka určení zrychlení vozíku z vývoje jeho rychlosti na čase.
9. K závaží přidejte dalších 10 g a měření od bodu 7 zopakujte. Takto zvyšujte hmotnost závažíaž do hodnoty 90 g.
10. Vyneste do grafu závislost zrychlení vozíku ®a na hmotnosti závaží mz. Proložte body lineární funkcí( f (x) = a · x + b) a vypište její parametry.
11. Měření zopakujte, ale nyní měňte hmotnost vozíku. Hmotnost závaží zůstane na 50 g.
12. Přidáváním závaží (kovové válečky s šestiúhelníkovým průřezem) zvyšujte hmotnost vozíku po 25 gaž do 200 g. Přesnou hmotnost jednotlivých přikládaných závaží určete pomocí laboratorních vah.
13. Z grafu v Logger Pro určete hodnotu zrychlení jako směrnici přímky.
41
14. Vyneste do grafu závislost zrychlení vozíku ®a na hmotnosti vozíku mv. Proložte body mocninnoufunkcí ( f (x) = a · x−b) a vypište její parametry.
12.2 Srážky
Při pružné srážce zůstává kinetická energie soustavykonstantní. Mění se pouze kinetické energie obou těles.Celková hybnost zůstává také zachována.
Varianta A: Před srážkou se hýbe jen jedno tělesoZe zákonů zachování hybnosti a kinetické energie pro
tuto variantu získáme soustavu dvou rovnic, kdy na levéstraně je případ před srážkou a na pravé straně od rovnítkaje případ po srážce
m1v1,i = m1v1,f + m2v2,f , (12.5)12
m1v21,i =
12
m1v21,f +
12
m2v22,f . (12.6)
Výsledek těchto rovnic pro rychlosti obou tělespo srážce v1,f a v2,f jsou následující
v1,f =m1 − m2m1 + m2
v1,i, (12.7)
v2,f =2m1
m1 + m2v1,i. (12.8)
Můžeme rozlišit tří možnosti na základě poměruhmotností m1 a m2:
a) Jsou-li obě tělesa stejně těžká (m1 = m2), zredukujíse rovnice (12.7) a (12.8) na tvar
v1,f = 0 a v2,f = v1,i. (12.9)
b) Je-li těleso, které bylo před srážkou v klidu těžšínež druhé těleso (m1 m2) přejdou rovnice (12.7)a (12.8) na tvar
v1,f −v1,i a v2,f 2m1m2
v1,i. (12.10)
c) Je-li těleso, které bylo před srážkou v klidu lehčínež druhé těleso (m1 m2) přejdou rovnice (12.7)a (12.8) na tvar
v1,f v1,i a v2,f 2v1,i. (12.11)
Varianta B: Obě tělesa se před srážkou pohybují(v opačném směru)
Soustava rovnic popisujících kinetické energie a hyb-nosti těles před a po srážce mají v tomto případě tvar
m1v1,i + m2v2,i = m1v1,f + m2v2,f , (12.12)12
m1v21,i +
12
m2v22,i =
12
m1v21,f +
12
m2v22,f . (12.13)
Výsledné rovnice popisující rychlosti jednotlivých tě-les po srážce mají pak tvar
v1,f =m1 − m2m1 + m2
v1,i +2m2
m1 + m2v2,i, (12.14)
v2,f =2m1
m1 + m2v1,i +
m2 − m1m1 + m2
v2,i. (12.15)
Postup měření
1. Odmontujte kladku a nastavitelný doraz a místo nich na volný konec dráhy umístěte druhý optickýsenzor, který připojíte k dataloggeru LabQuest Mini na vstup DIG2. Vozík propojený s tímto sen-zorem bude dále označován jako vozík-2. Vozík se senzorem připojeným na DIG1 bude označovánjako vozík-1.
2. Vezměte vozík-2 a zapněte jeho senzor (stiskem tlačítka, které se rozsvítí). Vozík-1 umístěte na konecdráhy a vozík-2 do její poloviny tak, aby čelní stranou směřoval k vozíku-1. Zadní část vozíků (svítícídioda) musí směřovat k optickým senzorům. Při srážce se vozíky musí setkat čelními stranamis nárazníky, aby došlo k elastické srážce.
42
3. Nejdříve proveďte měření, kdy vozík-2 je v klidu. V programu Logger Pro spusťte měření. Uveďtevozík-1 rukou jemně do pohybu. Zaznamenejte vývoj rychlosti obou vozíků před a po srážce. Pozor!Zastavte oba vozíky dříve, než narazí do optických senzorů.
4. V grafu programu zvýrazněte část, kdy je rychlost konstantní a zmáčkněte tlačítko "Statistika"v horníliště. Z nového okna, které se zobrazí v grafu zjistíte průměrnou hodnotu rychlosti (viz obrázek 12.3).Proveďte pro rychlosti obou vozíků před a po srážce.
Obrázek 12.3: Ukázka určení průměrné rychlosti obou vozíků před srážkou, když se pohybovali proti sobě.
5. Měření opakujte tak, že nejdříve zatížíte vozík-1 jedním a dvěma závažími. Poté naopak zatížítevozík-2.
6. Z naměřených hodnot rychlostí před a po srážce ověřte platnost vztahů (12.9), (12.10) a (12.11).
7. Proveďte nové měření, tentokrát pro případ kdy jsou oba vozíky před srážkou v pohybu. Umístěteje na opačné konce dráhy a plynulým pohybem je uveďte do pohybu. Neměli byste je držet déle nežpár sekund.
8. Stejným způsobem jako v předchozí části určete jejich rychlost před a po srážce.
9. Měření zopakujte pro případ kdy, vozík-2 bude zatížen dvěma závažími.
10. Do vztahů (12.14) a (12.15) dosaďte změřené rychlosti vozíků před srážkou (v1,i a v2,i) a vypočtětepředpokládané hodnoty jejich rychlostí po srážce. Tyto hodnoty porovnejte s reálně naměřenýmihodnotami.
12.3 Nakloněná rovina
Pokud se těleso nalézá na nakloněné rovině působí naněj tíhová síla ®FG ve směru kolmém k podstavě nakloněnéroviny (viz obrázek 12.4). Pokud se na rozložení sil dí-
váme z pohledu skluzové plochy, tato síla se rozloží nadvě složky ve směru os ®Fx a ®Fy. Z Pythagorovy věty lze
Vozíček umístěný na vrchol nakloněné roviny je uve-den do pohybu právě tíhovou silou ®FG. Y-ová složka pů-sobí do skluzové plochy a je v rovnováze s normálovousilou působící v opačném směru. Tudíž na pohybující sevozíček působí pouze sílhtpa ®Fx. V případě, že je třeníminimální, můžeme předpokládat, že síla působící na vo-zíček ®Fv je rovna síle ®Fx
®Fv = ®FG · sinα. (12.18)
Z Newtonova druhého pohybového zákona můžemevyjádřit sílu působící na vozík jako součin váhy vozíkua jeho zrychlení ®Fv = ®avozik · mvozik . Stejným způsobemvyjádříme tíhovou sílu ®FG = ®g · mvozik. Po dosazení avykrácení vypadá vztah (12.18) následovně
®avozik = ®g · sinα. (12.19)
Z tohoto vztahu plyne, že zrychlení tělesa na naklo-něné rovině není závislé na jeho hmotnosti, nýbrž pouzena úhlu, který svírá nakloněná rovina s podstavou.
®FG
®FGy
®FGx®Fv
α
Obrázek 12.4: Schéma nakloněné roviny.
Postup měření
1. Odmontujte oba páry nožek, podpírajících vozíkovou dráhu.
2. Na stranu dráhy, kde se nachází optický senzor, připevněte z boku držák pro uchycení dráhyk laboratornímu stojanu. Na opačnou stranu připevněte zarážku pro vozík.
3. Připevněte dráhu k laboratornímu stojanu.
4. Pomocí vodováhy na sklonoměru nastavte sklon vozíkové dráhy na hodnotu 2.
5. Konec dráhy, který se dotýká pracovní desky zapřete krabičkou se závažími. Mezi zarážku a dráhuvozíku umístěte brzdící materiál.
6. Nezatížený vozík umístěte na vrchol dráhy. Spusťte měření v programu Logger Pro a zároveň pusťtevozík.
7. Z vývoje rychlosti vozíku na čase určete hodnotu zrychlení. Část křivky, která roste lineárně, proložtepřímkou (viz obrázek 12.2). Směrnice této přímky je poté hledanou hodnotou zrychlení.
8. Měření opakujte ještě jednou a z obou hodnot určete aritmetický průměr a jeho odchylku.
9. Proveďte to samé měření pro případ, kdy se zvyšuje hmotnost vozíku po 50 g do 200 g.
10. Dále zopakujte měření rychlosti zrychlení zatíženého a nezatíženého vozík (od bodu 4) pro sklondráhy 4 a 6.
44
11. Výsledné hodnoty i s odchylkami vyneste do tabulky, kde sloupce budou hmotnosti vozíku a řádkybudou úhly sklonu dráhy.
12. Na základě hodnot v tabulce ověřte, zda-li platí vztah (12.19).
13. Odmontujte dráhu z laboratorního stojanu a vraťte zpět dříve odmontované podpěry dráhy. Měly bybýt umístěny přibližně 20 cm od okrajů dráhy.
Měřící program Logger Pro
Je to nástroj, který umožňuje v reálném čase zaznamenávat data ze senzorů sady Vernier a zpracovat je přímo vpočítači. Před spuštěním je dobré mít již připojeny používané senzory. Program se s nimi poté automaticky propojí.Senzory se propojují s počítačem pomocí dataloggeru LabQuest Mini. Stručný přehled tlačítek na liště programu jena obrázku 12.5.
Analýza naměřených dat pomocí vestavěných nástrojů
StatistikaTento nástroj umožňuje určit základní statistické informace o datech z vybraného úseku: střední hodnotu, směrodatnouodchylku, medián, maximum a minimum. Nejdříve je nutné v grafu vyznačit oblast, která nás zajímá. Po stisknutítohoto tlačítka se vygeneruje okno s požadovanými informacemi přímo v grafu. Toto okno lze na ploše grafu posouvat.
Proložení přímkouPokud potřebujeme data proložit lineární funkcí, použije se tento nástroj. Na základě sumy nejmenších čtverců sepomocí algoritmu nalezne nejvhodnější nastavení fitovaných parametrů tak, aby se přímka nacházela co nejblíže všembodům z experimentálních dat.
45
Obrázek 12.5: Lišta nástrojů programu Logger Pro a jejich popis.
46
Příloha A Určování nejistot měřených veličin
Při realizaci experimentálníhoměření je třeba věnovatpozornost tomu, jak přesné měření jsme schopni provést.
Nejistota typu A se určí jako směrodatná odchylkapodle vzorce
s =
√∑ni (xi − x)2
n · (n − 1),
kde x =1n
∑ni=1 xi je aritmetický průměr naměřených
hodnot, xi je i–tá naměřená hodnota a n je počet všechměření.
Při malém počtu měření n je odchylka velmi výrazná,z toho důvodu se zavádí koeficient rozšíření kA, kterýmse vypočtená směrodatná odchylka vynásobí v případě žen < 10. Konkrétní hodnoty koeficientu jsou v tabulce A.1.Výsledná nejistota typu A se poté vypočte jako
uA = kA · s.
Přesnost použitého měřidla i jiné vnější vlivy jsouzahrnuty v nejistotě typu B. Pokud není přesnost měři-dla dána výrobcem, bere se polovina nejmenšího dílkustupnice.
Zavádí se pojem kombinovaná nejistota uC, kde seoba typy nejistot spojí dohromady. Ta je definovaná vzta-hem
uC =√
u2A + u2
B.
Tato kombinovaná nejistota hlavně zohledňuje tu sku-tečnost, že odchylka vypočtená na základě statistiky jelimitována reálnou přesností použitého měřidla. To zna-mená, že za použití klasického svinovacího metru s přes-ností 0,5mm nelze určit odchylku s větší přesností (i kdyžnejistota typu A mohla vyjít kupř. 0,024mm). Pro po-třeby tohoto praktika stačí, když se nejistota typu Amenší než přesnost měřidla nahradí danou přesností.
Dosud probrané případy se týkají přímého měření,kdy se určuje nejistota veličiny měřené přímo měřidlem.
Často nás ale zajímá veličina, která je definovaná pomocítěchto přímo měřených veličin. V takovém případě se určípřesnost vypočítané veličiny na základě toho, s jakou přes-ností jsme byli schopni změřit dílčí veličiny použité přivýpočtu výsledné veličiny. Příkladem může být výpočetobjemu válce V , který je definovaný jako V = πr2h, kder je poloměr podstavy a h je výška válce. Nemáme mě-řidlo, které by změřilo přímo objem válce, tudíž musímenejdříve změřit rozměry válce, a až na základě jejich hod-not dopočítat objem zkoumaného tělesa.
Výsledná nejistota se určí ze zákona šíření nejistoty.Pro jednoduché vztahy jako je součet, rozdíl, součin a po-díl lze určit výslednou nejistotu pomocí níže uvedenýchvzorců
z = ax → uz = aux
z = xa → uz =axa
xux
z = x ± y → uz =√
u2x + u2
y
z = xy → uz = xy
√(ux
x
)2+
(uyy
)2
z =xy→ uz =
xy
√(ux
x
)2+
(uyy
)2
V případě složitějších vzorců se hodnota výsledné od-chylky určí jako
u =
√(∂u∂uC1
)2u2
C1+ ... +
(∂u∂uCn
)2u2
Cn
Pokud to aplikujeme na výše zmíněný příklad s obje-mem válce V , tak by nejistota objemu byla definovánajako σV =
√(2πrh)2σr2 + (πr2)2σh2, což po úpravě,
kdy se snažíme vytknout vztah pro V , přejde na tvar
