Jihočeská univerzita v Českých BudějovicíchPedagogická fakultaKatedra matematiky
Bakalářská práce
Sbírka příkladů z matematiky pro 9. ročník základní školy
Vypracoval: Pavel UrbanVedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc.
České Budějovice 2014
Prohlášení
Prohlašuji, že svoji bakalářskou práci na téma Sbírka příkladů z matematiky pro 9. ročník
základní školy, jsem vypracoval samostatně pouze s použitím pramenů a literatury uvedených
v seznamu citované literatury.
Prohlašuji, že v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb. v platném znění souhlasím se
zveřejněním své bakalářské práce, a to v nezkrácené podobě, elektronickou cestou ve veřejně
přístupné části databáze STAG provozované Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích
na jejích internetových stránkách, a to se zachováním mého autorského práva k odevzdanému
textu této kvalifikační práce. Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektronickou cestou byly v
souladu s uvedeným ustanovením zákona č. 111/1998 Sb. zveřejněny posudky školitele a
oponentů práce i záznam o průběhu a výsledku obhajoby kvalifikační práce. Rovněž
souhlasím s porovnáním textu mé kvalifikační práce s databází kvalifikačních prací Theses.cz
provozovanou Národním registrem vysokoškolských kvalifikačních prací a systémem na
odhalování plagiátů.
V Českých Budějovicích 25. 6. 2014 ………………………….
(podpis)
Poděkování: Rád bych poděkoval panu profesoru Pavlu Tlustému, který mě vedl po celou dobu vypracovávání mé bakalářské práce. Také děkuji za morální podporu své rodině.
Anotace:Urban Pavel, 2014: Sbırka prıkladu z matematiky pro 9. rocnık zakladnıskoly.
Tato bakalarska prace se zameruje na problematiku latky probırane v 9.rocnıku zakladnı skoly, prıpadne ve 4. rocnıku osmileteho gymnazia. Ob-sahuje nejen zakladnı prıklady podobne uloham v jiz vydanych sbırkach, aleje take obohacena o prıklady, ktere se svym obsahem priblizujı kazdodennırealite. Zabyva se soustavami linearnıch rovnic, lomenymi vyrazy, rovnicemis neznamou ve jmenovateli, funkcemi, financnı matematikou (jednoduchym aslozenym urokovanım), geometriı (podobnostı trojuhelnıku, zakladnım rysovanım,telesy) a ulohami z matematickych olympiad. Cılem prace je sestavit sbırkuprıkladu, ktera bude slouzit zakum k procvicenı a prohloubenı jejich znalostıa ucitelum jako doplnek k probırane latce.
Bakalarska prace je zpracovana v programech TeX a GeoGebra.
Annotation:Urban Pavel, 2014: Collection of examples in mathematics for 9th year ofelementary school.
This Bachelor’s thesis is focused on the mathematic issues which aretaught during the 9th year of elementary school. The thesis contains notonly the usual problems dealt with at this educational level but also exam-ples from ordinary daily life. The thesis includes systems of linear equations,fraction expression, equations with an unknown in the denominator, financialmathematics (simple and compound interest), geometry (the similarity of tri-angles, basic drawing, bodies), questions from the Mathematical Olympiad.The aim of the thesis is to create a collection of examples which should helpthe students to deepen and elaborate their knowledges and the teachers tosupplement their classes.
The whole thesis is elaborated in the TeX and GeoGebra.
Contents
1 Uvod 6
2 Soustavy linearnıch rovnic 7
3 Lomene vyrazy 13
4 Rovnice s neznamou ve jmenovateli 19
5 Funkce 225.1 Soustava souranic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 Funkce jako zavislost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Prıma a neprıma umernost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.4 Linearnı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.5 Kvadraticke funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.6 Goniometricke funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Financnı matematika 336.1 Jednoduche urokovanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Slozene urokovanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Geometrie 357.1 Podobnost trojuhelnıku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.2 Zaklady rysovanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3 Telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8 Ulohy z matematickych olympiad 40
9 Vysledky 46
10 Zaver 69
11 Seznam pouzite literatury 70
1 Uvod
Sve tema bakalarske prace jsem si vybral z nabızenych temat bakalarskychpracı z duvodu vlastnıho zajmu pro svou budoucı ucitelskou praxi na zakladnıchskolach.
Sbırka obsahuje pouze soubor prıkladu, protoze ma slouzit jen jako do-plnek pro vyuku matematiky 9. trıd. Vyuka matematiky v 9. trıde, jedle meho nazoru jednou z nejdulezitejsıch, protoze se zaci 9.trıd setkajıs probıranou latkou jak v navazujıcım stredoskolskem vzdelavanı, tak i vbeznem praktickem zivote.
Samostatna sbırka je rozlozena do 8 kapitol+ Vysledky. Kapitoly jsoupote rozlozeny na jednotlive subkapitoly. Nektere prıklady jsou obohaceny otabulky a obrazky. Obrazky jsem tvoril v programu GeoGebra.Behem sestavovanı sbırky jsem se naucil zaklady TeXu.
6
2 Soustavy linearnıch rovnic
2.1 Vypocıtejte x, y z techto soustav pomocı substitucnı metody:a)
2x− 2y = 4
x+ 3y = 6
b)3x+ 2y = 6
4x+ y = 8
c)−4x+ 5y = −10
2x− 10y = −5
d)4x− 5y = 4
3x+ 5y = 10
e)−4x+ y = −1
2x+ 5y = 3
f)2x+ 3y = 5
4x− 4y = −6
2.2 Vypocıtejte x, y z techto soustav pomocı scıtacı metody:a)
x+ y = 8
2x+ 1y = 3
b)2x− y = 3
4x+ 3y = 4
7
c)4x+ 3y = 7
3x+ 2y = 5
d)1
2x+ 3y = 2
2x+ 6y = 1
e)1
3x− 1
2y = −2
−2x+ 2y = 10
2.3 Vypocıtejte x, y z techto soustav:a)
2x− y =3
2
3(x+ 1)− y = 2
b)3(x− y) = 5
2x+ 3 = 2(y − 2)
c)
x+1
3(y − 6) = 0
4x− 5y = 5− 2x
d)1
2x+
1
3y =
1
6
3(x+ 2y) = 9
e)1
5(2x+ 1)− 1
2(4y + 2) = 0
3x+ 5 = 2− 6
8
f)1
3(2 + 2y) + 1 =
1
5x
3
5x+
1
2(y + 1) = 2
2.4 Vypocıtejte x, y z techto soustav a nezapomente na podmınky:a)
6
x− 2y= 4
3
2x+ y=
1
2
b)2x+ 4
y= 4
−yx− 4
= 2
c)x− 9
2y + 2= −3
2
x− y= 2
d)5x+ 2y
4=x− 2
2
3(x+ 2y)− 2(−x+ y) = 1
e)1 + y
x+ 2= 3
1
3(x+ y) = −1
f)3x− y − 2
x+ y− 1 = 3
2
3(x− y) =
3
2(x+ y)
9
2.5 Vypocıtejte x, y z techto soustav:a)
−2x+ 4y = −2
3x+ 2y = 3
b)3x+ 3y = −1
4x+ 2y = 0
c)5x− 2y = −5
3x+ y = 8
d)8x− 3y = 2
9y − 24x = 5
e)3x− 5y = −14
x+ 4y = 1
f)7x− y = 2
4x+ 2y =1
2
2.6 Vypocıtejte x, y z techto soustav:a)
2
x− y=
16
2y
18
x+ y=
12
y + 2
b)0, 2(x− 3)− 0, 3(y + 1) = −0, 79
2, 1x+ 0, 5(4− y) = 7, 66
c)4(x− 3)− 2(1− y) = −2
10
6(2− x) + 4(y + 3) = −8
d) √3x+
√2y = 5
x− y +√
2 =√
3
e)4
x− y=
2
y − 1
2
3(x− 1=
4
5(y − 2)
f)0, 4(x− 2) + 0, 1(y + 5) = 0, 6
1
x− 1
y=
5x− 2
xy
2.7 Vypocıtejte x, y z techto soustav:a)
x+ y
5+x
5= −2
2y − x3− 3y
4=
3
2
b)3x− 4y + 3
4= 4− 4x− 2y − 9
3
2x− y + 3
3= 4 +
x− 2y + 3
4
c)3x− 4
3y + 4=
1
2
2x− y2x+ y
=1
4
d)1
1− x− y− 1
1 + x− y= −4
3
1
1 + x− y+
1
1− x− y=
2
3
11
e)2, 5x+ 0, 2y = −4
0, 2x+ 0, 1y = 0, 1
f)
0, 3x− 0, 5y = −1
5
0, 6x− y = −0, 4
12
3 Lomene vyrazy
3.1 Vypocıtejte, pro ktere nezname x, y ma dany vyraz smysl:a)
5
x
b)3− xx− 2
y
c)2 + y
2x− 4
d)1− x3x+ 1
+1− y1− y
e)2
x2
f)x− 1
y − 3+
x− 2
2y + 6
3.2 Vypocıtejte, pro ktere nezname a, b ma dany vyraz smysl:a)
4a+ 3b
3a− bb)
2ab− b4ab
c)2(a− b)− 1
b2 − 4
d)4
a2 − b2e)
a− 2
a(a− 4)− b− 4
ab2
13
f)b
a2 − a+
a
16− 9b2
3.3 Vypocıtejte hodnotu vyrazu x+325−x2 pro x = 0, 3, 5, −2, −4,
√10
a sestavte z nich tabulku.
3.4 Vypocıtejte, pro ktere promenne x je vyraz roven nule:a)
x
x+ 3
b)4x− 2
x+ 1
c)x2 − 1
x− 1
d)16− x2
3x+ 2
e)x2 − 5x+ 6
−4x+ 6
f)x2 + 6x+ 8
12− 3x
14
3.5 Prevedte nasledujıcı lomene vyrazy do zakladnıho tvaru:a)
16a4b
4a2b2
b)6ab2c
27bc3
c)−15a2b2
−25b2
d)2a2b− 8ab
4ab
e)9a2b2 + 12ab
9a3b3
f)4abc+ 6ac
12ab− 6abc
3.6 Prevedte nasledujıcı lomene vyrazy do zakladnıho tvaru a uvedte podmınky:a)
−1− x2x
.(−4x2)
b)5
2x− 2y.(x2 − y2)
c)
(−2y
x− y− x
x+ y).(x2 − y2)
d)
(3
4x− y− 3x− y
16x2 − y2).(y − 4x)
e)x− 1
x2 + 2x+ 1.(x2 − 1)
15
f)2x− 3y
x2 + 2x.(2x2)
3.7 Urcete, pro ktere hodnoty promenne x majı dane vyrazy smysl:a)
3
2x
b)7
6x2
c)x+ 2
x− 2
d)2 + 3x
4 + 5x
e)2x− 3
x2 − 4
f)8x− 11
x2 + 16
3.8 Urcete, pro ktere hodnoty promenych majı dane vyrazy smysl:a)
5a
−4ab
b)2−m7m2n
c)2u− 3v
u(u− 5)
d)8r − 1
s2 − s
16
e)k − 3
3k2 + 4k
f)15t− 11
25− 4t2
3.9 Urcete hodnoty promenne x, pro nez se dany vyraz rovna nule:a)
x
x+ 5
b)x− 2
x+ 3
c)2x+ 5
2x− 5
d)x(x− 4)
8x− 9
e)9− x2
2− 7x
f)x2 − 2x+ 1
x+ 6
3.10 Urcete hodnoty promenne x, pro nez se dany vyraz rovna nule:a)
x(x− 1)
x
b)x(x− 1)
x− 1
c)x2 − 49
x− 7
17
d)x2 − 25)
x(x+ 5)
e)x2 − 4
3x− 6
f)x2 − 2x+ 1
x− 1
18
4 Rovnice s neznamou ve jmenovateli
4.1 Vyreste rovnici a provedte zkousku:a)
3− xx
= 2
b)3x− 2
x− 1= 4
c)−x+ 2
2x− 4= 5
d)7x+ 3
2x+ 6=
5
2
e)5x− 6
9x− 7= −3
7
f)5x− 3
6x+ 1=
5
3
4.2 Vyreste rovnici a provedte zkousku:a)
2
x− 2=
4
3x+ 3
b)6
2x+ 3=
3
5x− 2
c)7
6x− 4=
−1
−x+ 3
d)x− 2
x− 4+x+ 4
x+ 2= 2
e)2x− 1
2x+ 4+
2x− 4
2x+ 1= 2
19
4.3 Vyreste rovnici a provedte zkousku:a)
2
x− 3=
1
x+ 3− 3x− 1
x2 − 9
b)−3
3x+ 4− 2
3x− 4=
3x− 5
9x2 − 16
c)1
5x− 1− 5x− 4
25x2 − 1=
5
5x+ 1
d)6
2x− 4=
4
x+ 2− 4x− 6
4− x2
e)4x− 9
16x2 − 9=
2
4x− 3+
2
4x+ 3
4.4 Vyreste rovnici a provedte zkousku:a)
x− 6
x= −3
b)−x+ 3
2x= −5
c)2x− 4
x− 2= 2
d)3x− 10
x− 5= 3
e)9x− 7
4x− 3=
3
2
f)5x− 6
9− 7x= −5
7
20
4.5 Vyreste rovnici a provedte zkousku:a)
2x− 1
3x− 1, 5=
2
3
b)2x− 7
8− 3x= −7
9c)
1
x+ 4=
2
x− 5d)
x+ 7
x− 5+x+ 5
x− 7= 2
e)5
4x− 3=
3
3x− 2f)
2x+ 5
2x− 3+
2x+ 3
2x− 5= 2
4.6 Vyreste rovnici a provedte zkousku:a)
1
x− 2=
1
x+ 2− 2x− 7
x2 − 4b)
3
4x− 3− 2
3 + 4x=
x+ 12
16x2 − 9c)
3(x+ 1)
x2 − 9=
1
x+ 3− 1
3− xd)
3x− 4
1− 4x2+
3
1 + 2x= +
1
2x− 1e)
2x− 1
9− x2− 2
x− 3=
4
x+ 3f)
4
2x− 6+
7x+ 8
4x2 − 36=
2
2x+ 6
21
5 Funkce
5.1 Soustava souranic
5.1.1 Vypiste souradnice bodu v teto kartezske soustave souradnic:
5.1.2 Zapiste pozice sachovych figur na teto sachovnici:
22
5.1.3 Zakreslete do grafu tyto body :A[−3; 1], B[2;−2], C[2; 0], D[1; 3], E[−1; 2], F [−2;−1], G[0;−3]
5.1.4 Urcete souradnice bodu B, ktery je soumerny s bodem A[−3; 2]podle:
a) osy x, b) osy y, c) podle pocatku
5.1.5 Vypiste souradnice bodu v teto kartezske soustave souradnic:
5.1.6 V kartezske soustave souradnic znazornete body:A[3; 1], B[1;−2],c[−2; 1]. Urcete souradnice bodu A1, B1, C1, ktere jsou k danym bodum A,B, C osove soumerne dle osy x a body A1, B1, C1 zakreslete.
23
5.1.7 Urcete souradnice Pavlovo kriznıku (+) ,ledoborc (L) a dvou barek.
5.2 Funkce jako zavislost
5.2.1 Rozhodnete, ktere z nasledujıcıch tabulek jsou zadanım funkce. Pokudtabulka funkci urcuje, zapiste jejı definicnı obor.
a)x 0 1 4 9 16y 0 1 2 3 4
b)x −1 3 −2 4 −3y 0 4 −1 5 −2
c)x 3 1 −1 3 2y 4 2 3 1 5
d)x 10 7 5 4 0y 9 9 9 9 9
24
5.2.2 Rozhodnete, ktery z nasledujıcıch grafu je grafem funkce. Pokud sejedna o graf funkce, zapiste jejı definicnı obor.
a) b)
c) d)
25
e) f)
5.2.3 Priradte funkce k temto dvojicım cısel:a) 5→ 25; b) 17→ 4; c)30◦ → 1
2d) 4→ 1
4e) 13→ 2, f) 4→ 12
Na vyber mate tyto funkce: f1:y = 3x, f2:y = x2, f3:y = sinx, f4:y = 1x,
f5:y = 5x− 3, f6:y = 2
5.2.4 Je dana funkce f :y = 3x, x ∈ (0; 25). Rozhodnete, ktere z usporadanych
dvojic [x; y] patrı k funkci f :a) [1; 3], b) [2; 3
2] c) [6; 2],
d) [0; 0], e) [−1;−3], f) [12; 6]
26
5.3 Prıma a neprıma umernost
5.3.1 Rozhodnete, zda se v uvedenych prıpadech jedna o prımou ci neprımouumernost.
a) Pocet prodanych lıstku na koncert a trzba v pokladne.b) Rychlost jızdy na motorce a cas potrebny k ujetı dane vzdalenosti.c) Prumer odtoku ve vane a rychlost ubyvanı vody pri jejım vypoustenı.d) Pocet ubehnutych kilometru a doba behu pri stale rychlosti.e) Vzdalenost letadla a jeho opticka velikost.f) Doba svitu lampicky a cena za spotrebovanou energii.g) Pocet delnıku a cas, za ktery stihnou udelat zadanou pracipri stale stejnem pracovnım nasazenı.
5.3.2 Na pokladne kina se vybralo 10 875 Kc od 87 navstevnıku. Jakaby byla trzba, kdyby se obsadil cely sal, ktery ma 130 mıst ?
5.3.3 V hrnci, ktery je napusten do 30 % je 230 ml vody. Kolik % vodybude v hrnci po prilitı dalsıch 150ti ml ?
5.3.4 Petr obehne rychlostı 6.25 ms
okruh za 1 min a 4 s. Jakou rychlostı bymusel bezet, aby dany okruh stihl za 57 s ?
5.3.5 Dva klempıri udelajı krov rodinneho domku za tyden. Za kolik dnıby stejny krov stihlo 5 klempıru? Pracovnı doba je 10 hod denne.
5.3.6 Dve tricka uschnou na prımem slunci za 3 hod. Za jak dlouho uschne7 tricek?
5.3.7 Do jednoho obrazku narysujte grafy prımych umernostı:f1 : y = 3x, f2 : y = 1
4x, f3 : y = −1, 5x, f4 : y = −1
2x
27
5.4 Linearnı funkce
5.4.1 Sestrojte grafy linearnıch funkcı: a) y = 3x − 1, b) y = 2x + 4,c)y = −3(x+ 2), d) y = 2
3x+ 2
5.4.2 Naleznete predpisy linearnıch funkcı, ktere prochazejı nasledujıcımibody a sestrojte je do jednoho grafu:a) A[1; 3], B[2; 2], b) C[−1; 2], D[4; 1], c) E[1
2;−2], F [2; 4],
d) G[4; 3], H[= 1; 4]
5.4.3 Urcete prusecıky s osami x a y.a) y = 4x− 3, b) y = 5(x+ 1), c)y = −1
2(x+ 3), d) y = 3(2
3x+ 4)
5.4.4 Doplnte tabulku linearnı funkce y = 12x− 5
x −3 4y 0 −9
2−19
432
3
5.4.5 Rozhodnete, zda se jedna o rostoucı ci klesajıcı funkci:a) y = 8x− 2, b) y = 0, 025x− 1, c) y = −5, d) y = −x− 6, e) y = 1
3(x+ 2)
5.4.6 Urcete vzajemnou polohu techto prımek:p1 : y = 4x− 1, p2 : y = 3x− 3, p3 : y = 1
2(8x+ 3)
28
5.5 Kvadraticke funkce
5.5.1 Sestrojte grafy kvadratickych funkcı do jednoho obrazku:a) y = x2, b) y = x2 − 2, c) y = 2x2, d) y = −2x2
5.5.2 Doplnte tabulku kvadraticke funkce y = 3x2
x 1 13
23
-4y 27 12 0
5.5.3 Urcete koeficienty k a q kvadraticke funkce y = kx2 +q, ktera prochazıa) body A[1;−1] a B[0; 2]b) body C[0;−3] a D[2;−1]c) body E[−1; 3] a F [0; 2]
5.5.4 Urcete prusecıky grafu kvadraticke funkce s osou x:a) y = x2 − 9, b) y = −x2 + 16, , c) y = −3x2 + 12, , d) y = 4x2 − 8
5.5.5 Urcete koeficient k kvadraticke funkce y = kx2 pro:a) f(−4) = 32, b) f(6) = 18, c) f(1
3) = 2
3, d) f(−5) = 5
5.5.6 Sestrojte graf kvadraticke funkce y = −3x2 + 3 a urcete:a) prusecıky s osou x a yb) interval, na kterem je funkce rostoucı a na kterem klesajıcıc) interval, na kterem je funkce kladnad) interval, na kterem je funkce zaporna
29
5.6 Goniometricke funkce
5.6.1 Vypocıtejte hodnoty funkce sinus pro uhly:a) α = 40◦, b) α = 81◦, c) α = 43◦,d) α = 22◦43′, e) α = 13◦13′, f) α = 31◦19′
5.6.2 Vypocıtejte hodnoty funkce cosinus pro uhly:a) α = 19◦, b) α = 52◦, c) α = 27◦,d) α = 44◦11′, e) α = 13◦29′, f) α = 81◦45′
5.6.3 Vypocıtejte hodnoty funkce tangens pro uhly:a) α = 15◦, b) α = 33◦, c) α = 79◦,d) α = 51◦58′, e) α = 48◦9′, f) α = 21◦35′
5.6.4 Vypocıtejte hodnoty funkce kotangens pro uhly:a) α = 41◦, b) α = 37◦, c) α = 84◦,d) α = 3◦42′, e) α = 26◦17′, f) α = 39◦45′
5.6.5 Bez pouzitı kalkulacky doplnte tabulku
α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦
sinxcosxtanx
5.6.6 Vypocıtejte uhel α :a) sinα = 0, 54, b) cosα = 0, 12, c) tanα = 3, 56, d) cotα = 2, 04,e) sinα = 0, 22, f) cosα = 0, 94, g) tanα = 0, 09, h) cotα = 4, 22
5.6.7 Doplnte tabulku :
◦ 20 225 95 141rad 2, 2 0, 32 5, 82 0, 63
5.6.8 Napiste nasledujıcı uhly v zakladnı velikosti:α = 983◦, β = −125◦, γ = 35
4π rad, δ = −7
6π rad, ε = 1631◦, η = 17
2π rad
30
5.6.9 V trojuhelnıku s pravym uhlem pri vrcholu C jsou odvesnya = 4 cm, b = 5 cm Dopocıtejte vnitrnı uhly pri vrcholech A a B.
5.6.10 V pravouhlem trojuhelnıku s uhlem α = 25◦, delkou preponyc = 5 cm dopocıtejte uhel β a delky odvesen.
5.6.11 V kosoctverci o strane a = 3 cm a delce uhloprıcky f = 5, 42 cmurcete delku druhe uhloprıcky a velikosti vnitrnıch uhlu α a β.
31
5.6.12 Priradte spravne goniometricke funkce:a) α = a
c, b) α = a
b,
c) β = ac, d) β = a
b
5.6.13 Porovnejte bez pouzitı kalkulacky ci tabulek nasledujıcı cısla:a) sin 31◦20′ a cos 58◦30′ b) cos 47◦18′ a sin 42◦48′
c) tan 78◦36′ a cot 11◦30′ d) cot 32◦35′ a tan 57◦25′
32
6 Financnı matematika
6.1 Jednoduche urokovanı
6.1.1 Jana si ulozila do banky castku 15 000 Kc. Jakou castku si vybere nakonci roku pri rocnı urokove mıre 3,4 %, vybere-li si pouze uroky ? Kolikpenez si vybere celkove za 5 let i s pocatecnım vkladem, vybıra-li si urokykazdy rok ?
6.1.2 Honza pujcil Frantovi 200 Kc a slıbil mu, ze pokud mu je do tydnenesplatı, da mu za kazdy dalsı den 5 Kc. Kolika procentnı je tato urokovasazba po lhute na splacenı? Kolik Honza obdrzı, jestlize mu Franta vratıpenıze az za dva tydny?
6.1.3 Jak dlouho by musela mıt Petra v bance ulozeno 20 000 Kc pri mesıcnıurokove mıre 0,5 %, aby na urocıch vydelala 500 Kc, pokud banka uroky uzdale neurocı?
6.1.4 Jakou castku ulozil Michal do banky, jestlize po 2 letech pri mesıcnıurokove mıre 0,4 % v nı mel 411 548 Kc, pokud banka uroky uz dale neurocı?
6.1.5 Lucka si na vkladnı knızku ulozila 1 000 Kc. Jaka je mesıcnı urokovasazba, jestlize po pul roce na nı ma 1 048 Kc, pokud banka uroky uz daleneurocı?
6.1.6 Ondra se rozhoduje, zda vlozit penıze na ucet s mesıcnı urokovousazbou 0,4 %, ci s rocnı urokovou sazbou 4,5 %. Ktery ucet je pro nejvyhodnejsı a o kolik procent, hodla-li penıze v bance nechat po dobu 2 leta banka uroky uz dale neurocı?
6.1.7 Anicka si vlozila do banky 35 000 Kc. Kolik na tomto uctu budemıt po sedmi letech s rocnı urokovou sazbou 3,9 %, pokud banka uroky uzdale neurocı?
33
6.2 Slozene urokovanı
6.2.1 Marek vlozil do banky 155 200 Kc. Kolik penez bude mıt na ucte po3 letech s rocnı urokovou sazbou 2,7 %?
6.2.2 Karel si ulozil do banky 7 500 Kc. Po jake dobe si bude moci tyto penızevyzvednout, chce-li si za ne koupit nove kolo v cene 7 800 Kc ? Urokova mıraje 0,7 % za mesıc.
6.2.3 Marketa vlozila do banky 54 321 Kc na ucet se ctvrtletnı urokovousazbou 1,3 %. Po 3 letech vsak banka zkrachovala a vyplatila kazdemu zesvych klientu pouze 10% uspor. O kolik penez Marketa prisla?
6.2.4 Pavel vlozil do banky 253 050 Kc. Jaka byla mesıcnı urokova sazba,kdyz po 2 letech mel na ucte 265 467 Kc?
6.2.5 Kolik penez si ulozila Tereza do banky, jestlize na uctu se ctvrtletnıurokovou sazbou 1,2 % mela po roce 1 832 211 Kc?
6.2.6 Ruzenka se rozhodla investovat do zlata a koupila si zlatou cihlickuv cene 867 692 Kc. Jakou bude mıt cihlicka cenu za 10 let, jestlize bude cenazlata stoupat o 0,5 % rocne?
6.2.7 Ivan pozadal Petra, zda by mu poradil, na ktery ucet si ma vlozitsve penıze, ktere chce sporit po dobu 3 let. Zda na ucet s 0,5 % mesıcnıurokovou sazbou, ci na ucet s 1,8 % ctvrtletnı urokovou sazbou, u kterehoale banka dale uroky neurocı. Petr mu temer okamzite doporucil prvnı zuctu. Poradil mu spravne?
34
7 Geometrie
7.1 Podobnost trojuhelnıku
7.1.1 Rozhodnete, ktera z tvrzenı o podobnosti trojuhelnıku jsou pravdiva:a) Dva trojuhelnıky jsou si podobne, shodujı-li se pomery dvou strana majı-li stejny libovolny uhel.b) Dva trojuhelnıky jsou si podobne, majı-li alespon dva uhly shodne.c) Kazde dva rovnoramenne trojuhelnıky jsou si podobne.d) Dva trojuhelnıky jsou podobne, jsou-li jejich odpovıdajıcı si strany navzajemkolme nebo rovnobezne.e) Jsou-li si dva trojuhlnıky podobne, nmohou byt shodne.
7.1.2 Ktere z techto trojuhelnıku jsou si podobne a jaky je jejich pomerpodobnosti?
4ABC : a = 4 cm, b = 6 cm, c = 1 dm4EFG : e = 6 cm, b = 3 cm, c = 8 cm4HIJ : h = 3, 5 cm, i = 4 cm, j = 6, 5 cm4KLM : k = 3 cm, l = 4, 5 cm, m = 7, 5 cm4NOP : n = 3 cm, p = 1, 5 cm, q = 4 cm
7.1.3 Rozhodnete o podobnosti techto dvojic trojuhelnıku. Jsou-li si podobne,urcete dle jake vety.
a)4ABC : |6 ABC| = 45◦, |AB| = 4 cm, |BC| = 6 cm4A′B′C ′ : |6 A′B′C ′| = 45◦, |A′B′| = 6 cm, |A′C ′| = 9 cm
b)4EFG : |6 ABC| = 50◦, ||6 BCA| = 75◦
4E ′F ′G′ : |6 E ′F ′G′| = 50◦, |6 G′E ′F ′| = 45◦
c)4HIJ : |6 JHI| = 25◦, , |IJ | = 5 cm, |HJ | = 9 cm4H ′I ′J ′ : |6 J ′H ′I ′| = 25◦, |I ′J ′| = 2, 5 cm, |H ′J ′| = 4, 5 cm
d)4KLM : |6 KLM | = 43◦, , |KL| = 2 cm, |KM | = 3, 5 cm4K ′L′M ′ : |6 K ′L′M ′| = 43◦, |K ′L′| = 6 cm, |K ′M ′| = 10, 5 cm
35
7.1.4 Sestrojte trojuhelnıky ABC a KLM , vıte-li, ze 4KLM ∼ 4ABCs koeficientem podobnosti k = 3.|AB| = 1, 5 cm, |6 ABC| = 60◦, |6 BCA| = 35◦
7.1.5 Trojuehlnıky ABC a DEF jsou podobne. Vypocıtejte obvody techtodvou trojuhelnıku, zname-li |AB| = 5 cm, |AC| = 7, 2 cm, |DE| = 4, 2 cm.Pomer podobnosti trojuhelnıku je a) 3, b) 2
5, c) 3
2.
7.1.6 Trojuehlnıky KLM a OPQ jsou podobne, s pomerem podobnosti 72.
Jaky je obsah trojuhelnıku KLM, jestlize obvod rovnostranneho trojuhelnıkuOPQ je 21 cm?
7.2 Zaklady rysovanı
7.2.1 Narysujte a) plnou, b) carkovanou, c) cerchovanou d) teckovanouprımku.
7.2.2 Doplnte koty do nasledujıcıho obrazku, vıte-li, ze jeden ctverecekodpovıda 10ti cm.
36
7.2.3 Narysujte pudorys a narys pyramidy slozene ze trech krychliceko hrane 4 cm.
7.2.4 Narysujte pudorys a narys krychle o hrane 3 cm, ktera ma uvnitrctvercovy otvor o hrane 1 cm.
37
7.2.5 Honzık si chce postavit raketu ze sesti kostek o hrane 2 cm, a jed-noho jehlanu ktery ma hranu podstavy i vysku take rovnu 2 cm. Pomoztemu k nı vyrobit plany pudorysny a narysny.
7.2.5 Narysujte pudorys a narys teto stavby, ktera je zhotoven z kosteko hrane 4 cm.
38
7.3 Telesa
7.3.1 Narysujte sıt jehlanu se ctvercovou podstavou o delce hrany a = 3 cma vysce v = 5 cm.
7.3.2 Narysujte sıt valce s polomerem podstavy r = 2 cm a vyskou v = 4 cm.
7.3.3 Jaky je povrch a objem pravidelneho ctyrbokeho jehlanu, ktery jevysoky 8 cm a ma obsah podstavy 25 cm2 ?
7.3.4 Jaky je povrch a objem valce, ktery je vysoky 6 cm a ma polomerpodstavy 2 cm ?
7.3.5 Jaky je povrch a objem ctyrstenu o delce hrany 4, 21 cm?
7.3.6 Sud o objemu 120 l je naplnen ze 34
vodou. Jak vysoky je vodnısloupec, vıme-li, ze prumer podstavy sudu je 0, 5 m ?
7.3.7 Jaky je povrch a objem kuzelu o polomeru podstavy 2 cma vysce 6 cm?
7.3.8 Vypocıtejte povrch a polomer koule o objemu 63, 585 cm3.
7.3.9 Jaky je povrch a objem kuzelu, jestlize je jeho vyska 1, 2 dm a uhelmezi podstavou a bocnı hranou je roven 30◦?
7.3.10 Jaky je povrch a objem pravidelneho ctyrbokeho jehlanu, jestlizedelka uhloprıcky v podstave je 7, 07 cm a uhel mezi touto uhloprıckoua hranou jehlanu je 60◦?
39
8 Ulohy z matematickych olympiad
8.1 (Z9 - I - 5(50)) Doplnte do jednotlivych trojuhelnıku na obrazkujednotliva cısla tak, aby se v kazdem lichobeznıku tvorenym tremi trojuhelnıkysoucet nekterych dvou cısel rovnal tretımu.
8.2 (Z9 - III - 3(48) )Doplnte cısla do ctverecku tak, aby v kazdemvnitrnım ctverecku byl soucet okolnıch ctyr.
40
8.3 (Z4 - I - 4(43)) Vsimnete si, ze cıslo 231213 ma mezi trojkami tricısla, dvojkami dve cısla a jednickami jedno cıslo. Najdete osmiciferne cıslo,ktere bude mıt mezi petkami pet cısel, ctyrkami ctyri cısla, trojkami tri cısla,dvojkami dve cısla a jednickami jedno cıslo. Najdete jich co nejvıce.
8.4 (Z5 - I - 3(41))Na obrazku je zacatek spiraly slozene ze 100 polokruznic,ktere majı sve stredy na cıselne ose v bodech 0 a 1. Ve kterem bode na cıselneose tato spirala skoncı?
41
8.5 (Z7 - I - 4(50)) Wilhelm Tell, kdyz byl jeste Vilemek, strılel na terc(znazorneny na obrazku). Pritom nevystrelil vıce jak dvacetkrat, kazdymsıpem terc zasahl a prumerne zıskal 17 bodu na zasah.Kolik mohl zıskat maximalne bodu?
8.6 (Z8 - I - 2(41))Kacka dostala za domacı ukol spocıtat rovnici, jejız leva strana byla5+x3
+ 4−x2
=Na prave strane bylo cıslo, ktere si zapomnela opsat. Doma si tedy zvolilajedno cıslo a ulohu vyresila. Ve skole zjistila, ze si zvolila cıslo dvakrat vetsınez mela, a proto jı koren vysel o 2 vetsı nez mel. Jak znela domacı uloha?
8.7 (Z8 - I - 3(47))Je dany deltoid ABCD s uhly pri vrcholech B, C, D v poradı 90◦, 135◦, 90◦
a delkou uhloprıcky |BD| =√
2 cm.Vypocıtejte presne delku uhloprıcky AC.
42
8.8 (Z8 - I - 1(50))Vojta doplnil do vrchnıho radku scıtacıho trojuhlnıku pet ruznych prvocısel.Jejich soucet byl 50. Jake nejvyssı cıslo mu mohlo vyjıt ”dole”?
8.9 (Z5 - II - 3(50))Na kostkach ve spodnı vrstve pyramidy, ktera je na obrazku, jsou napsanaprirozena suda cısla. Jejich soucet je 100. Na dalsıch kostkach je napsanysoucet kostek, na kterych tato kostka stojı . Jake nejnizsı cıslo muze bytnapsane na vrchnı kostce?
43
8.10 (Z7 - I - 1(48))Ucitel napsal na tabuli prirozene cıslo mensı nez 50 000.Prvnı zak se prihlasil a rekl, ze je delitelne dvemi.Druhy zak se prihlasil a rekl, ze je delitelne tremi.Tretı zak se prihlasil a rekl, ze je delitelne ctyrmi.Takto to pokracovalo, az dvanacty zak prohlasil, ze je toto cıslo delitelnetrinacti. Vsechna tvrzenı krom dvou zaku kterı hovorili za sebou byla prav-diva. Jake cıslo ucitel na tabuli napsal?
8.11 (Z9 - I - 6(49))Ve vrcholech ctverce jsou napsana cısla 1,2,3 a 4. Pavel mnenil cısla vzdy vnektere trojici sousednıch vrcholu takto: Bud ve vsech trech zvetsil cıslo o 1,a nebo ho v vsech trech o jena zmensil (viz prvnı raek obrazku).a) Muze Pavel popsanymi opracemi dostat ctvereec se samymi ctyrkami?b) Ktere z nasledujıcıch obrazcu jde uvedenym zpusobem zmenit tak, jak jeto znazornene na obrazcıch? (Proc?)
44
8.12 (Z8 - I - 5(49))Najdete ctyrciferne cıslo delitelne 7, pro ktere platı:- soucet prvnıch dvou cifer je 10,- soucet prostrednıch dvou cifer j 10,- souct poslenıch vou cifer je 9.
8.13 (Z5 - I - 3(48))Jaky nejmensı pocet sıpu musel zasahnout terc, jestlize je soucet nastrılenychbodu 150?
45
9 Vysledky
2. Soustavy linearnıch rovnic
2.1 a) x = 3, y = 1 , b) x = 2, y = 0, c) x = 4, y = 115, d) x = 2,y = 4
5, e)
x = 411
, y = 511
, f) x = 110
, y = 135
2.2 a) x = −5, y = 13 , b) x = 114, y = −1
2, c) x = 7, y = −7,
d) x = −3, y = 116, e) x = −3, y = 2
2.3 a) x = −212, y = −61
2, b) x = 1, y = 12
3, c) x = 12
3,y = 1,
d) x = −1,y = 2, e) x = 17, y = −4
7, f) x = 41
3, y = −11
5
2.4 a) x = 245, y = 2
5, b) x = 24
5, y = 22
5, c) x = 15
7, y = 5
7,
d) x = 15, y = −2 3
10, e) nema res. (x 6= −2), f) x = 21
6, y = −5
6
2.5 a) x = 1, y = 0 , b) x = 13, y = −2
3, c) x = 1,y = 5, d) nema res.,
e) x = −3, y = 1, f) x = 14, y = −1
4
2.6 a) x = 5, y = 4 , b) x = 3110
, y = 1710
, c) x = 4,y = −2,
d) x =√
3, y =√
2, e) x = −2831
, y = 1631
,f) x = 1 110
, y = 435
2.7 a) x = −4, y = −2 , b) x = 7, y = 5, c) x = 5, y = 6,d) x = 2, y = 2, e) x = −2, y = 5,f) x = −2
3, y = 0
3 Lomene vyrazy
3.1 a) x 6= 0, b) x 6= 0, y 6= 0, c) x 6= 2, y ∈ R, d) x 6= −13, y 6= 1,
e) x 6= 0, f) x ∈ R, y 6= −13; 3
3.2 a) a 6= 3b, b) a 6= 0, b 6= 0, c) a ∈ R, b 6= ±2, d) a 6= ±b,e) a 6= 0;4, b 6= 0, f) a 6= 0;1, b 6= ±3
4
3.3x 0 3 5 −2 −4
√10
x+325−x2
325
616
nema res. 121
−19
√10+315
3.4 a) x = 0, b) x = 12, c) x = −1, d) x = ±4, e) x = 2;3, f) x = 2
46
3.5 a) 4a2
b, b) 2ab
9c2, c) 3a2
5, d) a−4
2, e) 3ab+4
3a2b2, f) 2bc+3c
6b−3bc
3.6 a) 2x2 + 2x;x 6= 0, b) 5x+5y2
;x 6= y, c) −x2 − xy − 2y2;x 6= ±y,
d) −3 + 3x−y4x+y
;x 6= ±14y, e) (x−1)2
x+1;x 6= −1, f) 4x2−6xy
x+2;x 6= −2;0
3.7 a) x 6= 0, b) x =6= 0, c) x 6= 2, d) x 6= −45, e) x 6= ±2, f) x ∈ R
3.8 a) a 6= 0, b 6= 0 b) m 6= 0, n 6= 0, c) u 6= 0;5, d) s 6= 0;1, e) k 6= −43;0,
f) t 6= ±52
3.9 a) x = 0, b) x = 2, c) x = −52, d) x = 0;4, e) x = ±3,
f) x = 1
3.10 a) x = 1, b) x = 0, c) x = −7, d) x = 5, e) x = −2, f) nemares.
4 Rovnice s neznamou ve jmenovateli
4.1 a) x = 1, b) x = 2, c) nema res. (x 6= 2), d) x = 6, e) x = −218
,f) x = −14
15
4.2 a) x = −7, b) x = 78, c) x = 25, d) x = 1, e) x = 3
4
4.3 a) x = −74, b) x = 2, c) x = 5
2, d) x = 12
5, e) nema res. (x 6= −3
4)
4.4 a) x = 32, b) x = −1
3, c) nekonecne mnoho res. , d) nema res. , e)
x = 56, f) nema res.
4.5 a) nekonecne mnoho res. , b) x = −73, c) x = −13, d) x = 6, e) 1
3,
f) x = 2
4.6 a) x = 32
, b) x = −1, c) x = −3, d) x = 0, e) nema res. , f) x = −4
47
5 Funkce
5.1 Soustava souradnic
5.1.1 A[2; 3], B[4; 0], C[−1; 2], D[−2;−3], E[1;−1], F [−4; 0], G[4; 0]
5.1.2 bıle: p [3; b] ; [5; c], V [1; g], K [1; d]cerne: p [6; e] ; [7; f ]; [5; g] ; [6;h], V [2;h], D [2; d], K [8; g]
5.1.3
5.1.4 a) B1[−3;−2], b) B2[3; 2], c) B3[3;−2]
5.1.5 A[3; 1], B[0; 4], C[−3; 3], D[1;−2], E[−2; 1], F [−3;−2]
48
5.1.6 A1[3;−1], B1[1;−2], C1[−1;−2]
5.1.7 Kriznık se nachazı na souranicıch 3A; 2B; 3B; 4B; 3CLedoborec na souradnicıch F8; G8; H7; H8Barky na souranicıch A8 a G3
5.2 Funkce jako zavislost
5.2.1 a) je zadanım funkce D = {0; 1; 4; 9; 16}b) je zadanım funkce D = {−3;−2;−1; 3; 4}c) nenı zadanım funkce, pro x = 3 jsou 2 funkcnı hodnotya) je zadanım funkce D = {0; 4; 5; 7; 10}
49
5.2.2 a) je grafem funkce D =< −3;−2 > ∪ < −1; 4 >b) nenı grafem funkcec) je grafem funkce D =< −6; 6 >d) je grafem funkce D =< −4; 6)e) nenı grafem funkcef) je grafem funkc D = {−2}∪ < −1; 2 > ∪{3}
5.2.3 a) f2, b) f5, c) f3, d) f4, e) f6, f) f1, 5.3 Funkce - Prıma a neprımaumernost
5.3.1 a)prıma umernost, b)neprıma umernost, c)prıma umernost,d)neprıma umernost, e)prıma umernost, f)prıma umernost, g)neprıma umernost
5.3.2 Vybralo by se 16 250 Kc.
5.3.3 V hrnci bude 49,57 % vody.
5.3.4 Musel by bezet rychlostı 7.02 ms
.
5.3.5 Krov stihnou za 2 dny a 8 hod.
5.3.6 Sedm tricek uschne take za 3 hod. (nejedna se o umernost)
5.3.7
50
5.4 Linearnı funkce
5.4.1
a) b)
c)
d)
51
5.4.2 a) y = −x+ 4, b) y = 15x+ 9
5, c) y = 4x− 4, d) y = 1
5x+ 19
5
5.4.3 a) [34; 0], [0;−3], b) [−1; 0], [0; 5], c) [−3; 0], [0;−3
2],
d) [−23; 0], [0; 4
3]
5.4.4x 10 −3 1 1
24 13 16
y 0 −132−9
2−19
4−3 3
23
5.4.5 a) rostoucı, b) rostoucı, c) ani rostoucı ani klesajıcı, d) klesajıcı,e) rostoucı
5.4.6 p1 a p2 ruznobezky, p1 a p3 rovnobezky, p2 a p3 ruznobezky
52
5.5 Kvadraticke funkce
5.5.1
5.5.2
x 1 ±3 13±2 2
3-4 0
y 3 27 13
12 43
48 0
5.5.3 a) y = −3x2 − 1, b) y = 12x2 − 3, c) y = x2 + 2
5.5.4 a) [3; 0], [−3; 0], b) [4; 0], [−4; 0], c) [2; 0], [−2; 0], d) [√
2; 0], [−√
2; 0]
5.5.5 a) y = 2x2, b) y = 12x2, c) y = 1
6x2, d) y = 1
5x2
53
5.5.6 a) s osou x [1; 0], [−1; 0], s osou y [0; 3],b) rostoucı na (−∞; 0 >, klesajıcı na < 0;∞), c) (−1; 1),d) (−∞;−1) ∪ (1;∞)
5.6 Goniometricke funkce
5.6.1 a) 0, 64, b) 0, 99, c) 0, 68, d) 0, 39, e) 0, 23, f) 0, 52
5.6.2 a) 0, 95, b) 0, 62, c) 0, 89, d) 0, 72, e) 0, 97, f) 0, 14
5.6.3 a) 0, 34, b) 0, 65, c) 5, 14, d) 1, 28, e) 1, 12, f) 6, 90
5.6.4 a) 1, 15, b) 1, 33, c) 0, 11, d) 1, 06, e) 2, 02, f) 1, 20
54
5.6.5
α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦
sinx 0 12
√22
√32
1 0
cosx 1√32
√22
12
0 −1
tanx 0√33
1√
3 nelze 0
5.6.6 a) 32◦41′, b) 19◦57′, c) 74◦19′, a) 32◦41′, a) 26◦7′, e) 12◦43′,f) 19◦57′, g) 5◦9′, h) 13◦20′
5.6.7
◦ 20 225 126 18, 34 95 333, 46 141 36, 1rad 0, 11 3, 93 2, 2 0, 32 1, 66 5, 82 2, 46 0, 63
5.6.8 α = 263◦, β = 235◦, γ = 34π rad, δ = 5
6π rad, ε = 191◦,
η = 12π rad
5.6.9 α = 38◦40′, β = 51◦20′
5.6.10 β = 65◦, a = 4, 53 cm, b = 2, 11 cm
5.6.11 e = 2, 58 cm, α = 51◦, β = 129◦
5.6.12 a) sin, b) tan, c) cos, d) cot
5.6.13 a) sin 31◦20′ < cos 58◦30′ b) cos 47◦18′ < sin 42◦48′
c) tan 78◦36′ > cot 11◦30′ d) cot 32◦35′ = tan 57◦25′
6 Financnı matematika
6.1 Jednoduche urokovanı
6.1.1 Jana si na konci roku vybere 510 Kc. Za 5 let si vybere 17 550 Kc.
6.1.2 Urokova sazba je 2,5 % denne. Po 2 tydnech Karel dostane 235 Kc.
55
6.1.3 Petra by musela mıt ulozene penıze po dobu 5ti mesıcu.
6.1.4 Michal ulozil do banky 375 500 Kc.
6.1.5 Mesıcnı urokova sazba je 0,8 %.
6.1.6 Pro Ondru je vyhodnejsı ucet s mesıcnı urokovou sazbou,kde za dva roky vydela o 0,6 % vıce.
6.1.7 Anicka bude mıt po 7mi letech na uctu 44 555 Kc.
6.2 Slozene urokovanı
6.2.1 Marek bude mıt po 3 letech na ucte 168 114 Kc.
6.2.2 Karel si bude moci kolo koupit za 6 mesıcu.(na uctu bude mıt 7 821 Kc)
6.2.3 Marketa prisla o 57 085 Kc.
6.2.4 Mesıcnı urokova sazba byla 0,4 %.
6.2.5 Tereza si ulozila 1 746 841 Kc.
6.2.6 Cihlicka bude mıt hodnotu 912 066 Kc.
6.2.7 Ne, na druhem uctu si Ivan behem 3 let vydela o 1,9 % vıce.
7 Geometrie
7.1 Podobnost trojuhelnıku
7.1.1 a) nepravdive (musı se jednat o uhel temito stranami sevreny ci protivetsı ze stran), b) pravdive,c) nepravdive (toto platı pouze u rovnostranneho trojuhelnıku),d) pravdive, e) nepravdive (shodnost je specialnı prıpad podobnosti)
56
7.1.2 4ABC ∼ 4KLM , k = 43, 4EFG ∼ 4NOP , k = 1
2
7.1.3 a)jsou podobne dle vety sus, b) jsou podobne dle vety uu,c) nejsou podobne, d) jsou podobne dle vety Ssu
7.1.4
7.1.5 a) o(ABC) = 13, 6 cm, o(DEF ) = 40, 8 cmb) o(ABC) = 22, 7 cm, o(DEF ) = 9, 08 cmc) o(ABC) = 15 cm, o(DEF ) = 22, 5 cm
7.1.6 s(ABC) = 1, 73 cm
57
7.2 Zaklady rysovanı
7.2.1
7.2.2
58
7.2.3
7.2.4
59
7.2.5
7.2.5
60
7.3 Telesa
7.3.1
7.3.2
61
7.3.3 S = 108, 82 cm2, V = 66, 67 cm3
7.3.4 S = 301, 44 cm2, V = 75, 36 cm3
7.3.5 S = 30, 70 cm2, V = 8, 79 cm3
7.3.6 Vyska vodnıho sloupce v sudu je 0, 46 m.
7.3.7 S = 52, 28 cm2, V = 25, 12 cm3
7.3.8 r = 3cm, S = 113, 04 cm2
7.3.9 S = 1748, 06 cm2, V = 2712, 96 cm3
7.3.10 S = 33, 92 cm2, V = 95, 71 cm3
8 Ulohy z matematickych olympiad
8.1 (Z9 - I - 5(50)) Chybejıcı cısla v jednotlivych trojuhelnıcıch oznactepısmeny a,b,c,d (viz obrazek). Vezmete si dva lichobeznıky, prvnı tvorıtrojuhelnıky a,b 153 a druhy tvorı a b 291. Platı, ze soucet nektrych dvoucısel se rovna tretımu.a + b = 153, a + 153 = b, b + 153 = a a + b = 291,a+ 291 = b, b+ 291 = aa) Vezmete a+ b = 153 ;a+ 291 = b resenım teto soustavy (napr. substitucıb z 2. rovnice) dostavame a = −69 b = 222b) Vezmete a + b = 153 ; b + 291 = a resenım teto soustavy dostavameb = −69 a = 222c) Vezmete a+ b = 291 ; a+ 153 = b ... a = 69 b = 222d) Vezmete a+ b = 291 ; b+ 153 = a ... b = 69 a = 222Ze symetrie cısel v obrazku vyplyva, ze c, d ∈ {−69; 69; 222}.Jestlize a = ±69 potom c 6= 222 a jestlize a = 222 potom d = ±69
uloha ma 8 resenı
62
a b c d a b c d−69 222 −69 222 222 −69 222 −69−69 222 69 222 222 69 222 6969 222 69 222 222 69 222 −6969 222 −69 222 222 −69 222 69
8.2 (Z9 - III - 3(48)) Doplnte do stredu nezname x, y a dopiste jakacısla jsou v ostatnıch polıckach, i pro polıcka s neznamymi x a y.Musı platit podmınka o sousedıcıch cıslech. Dostavame dve rovnice o dvouneznamych.x = (x+ 12) + (x+ 8) + (x+ y + 5) + (x+ y + 5)y = (y + 12) + (y + 8) + (x+ y + 5) + (x+ y + 5)Resenım je x = −6, y = −68.3 (Z4 - I - 4(43))Zacnete umıstenım cısla 5 jsou dve moznosti zrcadlove obracene5 * * * * *5 * a * 5 * * * * * 5pote uz existuje vzy jen jna moznost jak doplnit do symetrickych cısel.Resnım je tedy rozmıstenı cifer 52412154 a 45121425.
8.4 (Z5 - I - 3(41)) Stred kruznice je strıdave v bode 0 a 1. Kruznicese sudym poradovym cıslem ma stred v bode 1. Prvnı kruznice ma polomer1, druha 2 a tak dale. Pri napojenı kruznice na spiralu se zvetsı jejı polomero 1 oproti polomeru kruznice, na ktery se napojila.Proto sta kruznice budemıt polomer 100 a jelikoz je suda, tak stred v bode 1.Poslednı spirala tedy skoncı v bode 101 na cıselne ose.
63
8.5 (Z7 - I - 4(50)) Kdyz vsechna cısla na terci jsou delitelna 6ti soucetbodu musı byt tez delitelny 6ti. Na jeden zasah zıskal Vilemek prumerne 17b takze soucet bodu musı byt take delitelny cıslem 17. Jelikoz cısla 6 a 17jsou nesoudelne, pripaajı v uvahu jn jejich spolcne nasobky:102, 204, 306, 408 ,,,408 : 17 > 20306 : 17 = 18Vilemek mohl zıskat maximalne 306 bodu na 18 zasahu.
8.6 (Z8 - I - 2(41)) Zvolte cıslo na prave strane tak, jak si ho zvolilaKacka. Oznacte ho pısmenem y a reste rovnice:doma: 5+x
3+ 4−x
3= y ... po uprave dostanete x = 22− 6y
skola: 5+x3
+ 4−x3
= y2
... po uprave dostanete x = 22− 3yKdyz od korene, ktery vysel Kacce doma octete 2 meli byste dostat koren,ktery vysel ve skole.22− 6y − 2 = 22− 3y ... y = −2
3
Kacka si tedy doma zvolila cıslo y − 23
a melo byt y2
= −23
avsak −23< −1
3
coz nevyhovuje zadanı ulohy.Uloha nema resenı.
64
8.7 (Z8 - I - 3(47)) Trojuhelnıky ABC, ACD jsou pravouhle se stejnoupreponou AC. Body B, D lezı na Thaletove kruznici nad AC. Tato kruzniceje zarovn kruznicı opsanou trojuhlnıku ACD. Kdyz S je stre teto kruznice,potom platı:|SA| = |SB| = |SC| = |SD| = 1
2|AC|
• Urcete vlikost jednotlivych uhlu:|6 DAB| = 360◦ − 135◦ − 2(90◦) = 45◦
|6 CAB| = |6 CAD| = 1245◦ = 22, 5◦
• Trojuhelnıky ABS a ASD jsou rovnoramenne se zakladnami AB a AD.|6 BSA| = |6 DSA| = 180◦ − 2(22, 5◦) = 135◦
• | 6 DSB| = 360◦ − 2(135◦) = 90◦ To znamena, ze trojuhelnık DSB jepravouhly, rovnoramenny se zakladnouDB. Podle Pythagorovy vety: |SB|2+|SD|2 = |BD|2; |SB| = |SD| → |SB|2 = (
√2)2
2= 1 cm;
|AC| = 2|SB| = 2 cmDelka uhloprıcky AC je 2 cm.
65
8.8 (Z8 - I - 1(50)) Oznacme prvocısla, ktera Vojta vepsal do prvnıho raku,pısmnami a, b, c, d, e, pricemz a+ b+ c+ d+ e = 50 Vıme, ze c = 50− (a+b+ d+ e), potom cıslo v poslednım radku se rovna 300− (5a+ 2b+ 2d+ 5e).Aby cıslo v poslednım radku bylo nejvetsı, musı byt prvocısla a, b, d, e conejmensı.50− (2 + 3 + 5 + 7) = 33 .. nenı prvocıslo50− (2 + 3 + 5 + 11) = 29Cısla b, d jsou ve vyraze v poslednım radku obsazena ctyrikrat, cısla a, e jenjednou. Proto prvocısla 5 a 11 prirdıme pısmenum b, d a poslenı dve nej-mensı 2 a 3 pısmenum a, e . Vojta muze rozmıstit prvocısla ctyrmi zpusoby3—5—29—11—2 , 2—5—29—11—3, 2—11—29—5—3 a 3—11—29—5—2Vojtovi mohlo vyjıt nejvıse cıslo 243.
66
8.9 (Z5 - II - 3(50)) Aby na vrchnı kostce bylo co nejmensı cıslo, cıslav nizsı vrstve musı byt co nejmensı a cısla v nejnizsı vrstve musı byt take conejmensı. ve sponı vrstve s nachazı devet ruznych suych cısel, jejichz soucetje 100. Njmensı cısla tdy jsou: 100 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 28Doprostred umıstıme nejnizsı cıslovku (2) a o rohu naopak nejvyssı (28;16;14;12).Po doplnenı dostavame konecny soucet 134.Na vrchnı kostce bud cıslo 134.
8.10 (Z7 - I - 1(47)) Ze zadanı ulohy vıme, ze dve za sebou jdoucı tvrzenıjsou nespravna. Zacneme delitelnostı 12. kyz cıslo nenı delitelne 12 potomnenı delitelne 11 nebo 13. Potom ale 3 a 4 delı dane cıslo coz je v rozporus tım, ze 12 nedelı ucitelovo cıslo , tudız cıslo 12 delı cıslo na tabuli. Je-lidelitelne 12 je i 2,3,4,6. Dale cıslo musı byt delitelne i 5 a 13 (dve za seboujdoucı tvrzenı jsou nespravna). Cıslo je delitelne 2 a 5 tudız je i 10. Zustalicısla 7, 8, 9 a 11.Cıslo 11 muzeme vyloucit stejne jako cısla 5 a 13. Zustalatrojice cısel 7, 8, 9.• Kdyz cıslo nnı delitelne 7 a8, potom hledane cıslo je 3∗5∗11∗12∗13 = 25740•Kdyz cıslo nnı delitelne 8 a9, potom hledane cıslo je 5∗7∗11∗12∗13 = 60060,coz je ale vetsı nez 50 000.Ucitel napsal na tabuli cıslo 25 740.
8.11 (Z9 - I - 6(49))a) Ctverec zadanych vlastnostı se da takto zmnenit naprıklad posloupnostı(1; 2; 3; 4)→ (2; 3; 3; 5)→ (3; 4; 4; 5)→ (4; 5; 5; 5)→ (4; 4; 4; 4)b) Trojuhelnık se takto zmenit neda - rozıl ve dvou vrcholch je vzdy 1 nebo2a nemuzeme ho zmenit na 0.Kazdou operacı pridame ci ubereme cıslo 3, celkove tedy pridame ci uberemenasobek cısla 3 a v petiuhelnıku potrebujeme pridat 4 + 3 + 2 + 1 = 10, coznejde.Sedmiuhelnık se da prepsat takto:(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7) → (2; 3; 3; 4; 5; 6; 8)→ (3; 4; 4; 4; 5; 6; 8)→ (4; 5; 5; 4; 5; 6; 8)→(5; 6; 6; 4; 5; 6; 8) → (6; 7; 7; 4; 5; 6; 8)→ (7; 8; 8; 4; 5; 6; 8)→ (7; 7; 7; 3; 5; 6; 8)→(7; 7; 75; 6; 7; 8)→ (7; 7; 75; 7; 8; 8)→ (7; 7; 8; 6; 8; 8; 8)→ (7; 7; 8; 6; 7; 7; 7)→(7; 7; 8; 7; 8; 8; 7)→ (8; 8; 8; 7; 8; 8)→ (7; 7; 7; 7; 8; 8; 8)→ (7; 7; 7; 7; 7; 7; 7)
67
8.12 (Z8 - I - 5(49)) Oznacme si ctyrciferne cıslo delitelne 7 ABCD.Soucet prvnıch dvou cifer je 10: A+B = 10Soucet prostrednıch dvou cifer je 10: B + C = 10Soucet poslednıch dvou cifer je 9: C +D = 9Z prvnıch dvou rovnic dostavame A = C, B = 10− A, ze tretı C = 9−DZa A postupne dosadıme 1,...,9: 1918, 2827, 3736, 4645, 5554, 6463, 7372,8281, 9190. Ze kterych podle delitelnosti 7 zıskavame pouze dva vysledky.Uloha ma dve resenı 1 918 a 8 281.
8.13 (Z5 - I - 3(48)) Terc zasahlo alspon 12 sıpu, jelikoz 150 : 13 = 11 zb.7Zjistıme, ci je to minimalnı pocet, nebo jich muslo byt vıce.150 = 13 ∗ 9 + 11 ∗ 3Terc zasahlo 12 sıpu.
68
10 Zaver
Nez jsem zacal psat svou bakalarskou praci, musel jsem si nejprve uvedomita stanovit cıle sve prace, podle kterych jsem se v tomto rozsahlem tematumohl orientovat. Hlavnım cılem bylo vytvorit Sbırku prıkladu z matematikypro 9roc. zakladnı skoly.
Pokud to bylo mozne, tak jsem do jednotlivych kapitol vlozil jak pocetnıprıklady, tak slovnı ulohy. Jednotlive prıklady jsem se snazil zvolit tak, abybyly prakticke a z kazdodennıho zivota. Inspiraci jsem cerpal z literatury(viz. Seznam pouzite literatury).
Soucastı sbırky jsou i vypracovane vysledky prıkladu, vcetne postupu vkapitole 8. Postupy jsem uvedl z duvodu vyssı obtıznosti.
Vypracovanı sbırky je pro me velice prınosne, uz z duvodu, ze ji budumoci pouzıt ve sve ucitelske praxi. A dale, ze jsem se zdokonalil v praci sprogramemTeX.
69
11 Seznam pouzite literatury
1. Mihalıkova, B., Ondovickova, D., Semanisinova, I., 2003: Ulohy matem-atickej olympiady zakladnej skoly. IUVENTA, Bratislava, 12-16, 21, 30 s.ISBN- 80-8027-010-X
2. Busek, I., Kubınova, M., Novotna, J., 1994: Matematika 9 – 1.dıl.Prometheus, ISBN 80-85849-58-5
3. Busek,I., Kubınova, M., Novotna, J., 1995: Matematika 9 – 2.dıl. Prometheus,ISBM 80-85849-7
4. Herman, J., Chrapava, V., Jancovicova, E., Simsa, J., 2000: Matem-atika, Podobnost a funkce uhlu. Prometheus, ISBN 80-7196-206-6
5. Herman, J., Chrapava, V., Jancovicova, E., Simsa, J., 2000: Matem-atika, Funkce. Prometheus, ISBN 80-7196-182-5
6. Kubesova, N., Cibulkova, E., 2007: Matematika, Prehled stredoskolskehouciva. FINIDR s.r.o., ISBN 978-80-86873-05-3
7. Vosicky, Z., 1999: Cvicenı k matematice v kostce pro strednı skoly. Frag-ment, ISBN 80-7200-251-1
70
