2. Dynamika hmotného bodu

Syllabus:

2. Dynamika hmotného bodu. Newtonovy zákony. Síly působící při známém druhu pohybu. Pohybová rovnice hmotného bodu, vrhy, harmonický pohyb. Inerciální a neinerciální soustavy souřadné, zdánlivé síly, síla Coriolisova a odstředivá. Práce, výkon, energie kinetická a potenciální, konzervativní pole.

� Dynamika zkoumá příčiny pohybu a vzájemné působení těles, které vede k pohybu

� Nová veličina: síla, F [N], vektorová veličina, je mírou vzájemné interakce (působení)

těles, která vede ke změnám pohybu nebo deformaci

� Síla je určena velikostí, směrem a působištěm (vektor vázaný na bod)

� Pokus s pružinou: …

� Síly skutečné (pravé) – vyvolané vzájemným působením těles

Síly setrvačné (zdánlivé fiktivní) – vyvolány zrychleným pohybem vztažných soustav

Síla

Skládání sil – princip superpozice:

F1

F3

F2

F

F4

F = F1 + F2 + F3 + F4

Síla je určena velikostí, směrem a působištěm (vektor vázaný na bod)

A

Síla – základní druhy silových interakcí

Newtonovy zákony

F ma=r r

12 21F F= −r r

Pozn: síly akce a reakce působí mezi různými tělesy, přitom nezávisí na způsobu, jakým na sebe tělesa působí nebo zda se pohybují.

Pozn. rovnice F = ma zavádí 2 nové veličiny, F a m, a kromě toho ani nevíme, vůči jaké s.s. máme aodečítat

1. Zákon setrvačnosti (Galileo): Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo v

rovnoměrném přímočarém pohybu, není-li vnějšími silami (tj. působením jiných

těles) nuceno tento stav změnit.

2. Zákon síly: Síla působící na těleso je úměrná součinu jeho hmotnosti a

zrychlení, které mu uděluje

3. Zákon akce a reakce: Vzájemná silová působení dvou různých těles jsou stejně

veliká a opačně orientovaná

(Každá akce vyvolává okamžitou stejně velkou reakci opačného směru)

Newtonovy zákony

� 1. zákon určuje inerciální soustavy, jedná se o celou třídu s.s., vůči nimž je volný h.b. v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. V těchto soustavách měříme zrychlení!

� 3. zákon umožňuje stanovit hmotnosti těles – pro vzájemnou interakci 2 těles musí platit

m - hmota setrvačná

� Tímto je definována síla F na levé straně pohybové rovnice, stačí zvolit referenční hmotnost

1 21 2 2

2 1

tedy pro velikosti:m a

m a m am a

= − =r r

Hybnost: p mv=r r

Původ sil

Př. inerciálních soustav: - spojené se stálicemi- satelit na oběžné dráze? Padající výtah - lokální ISS

(charakterizuje okamžitý pohybový stav tělesa –míra pohybového stavu)

Newtonovy zákony – alternativní formulace

1. Zákon setrvačnosti (definice ISS): Nepůsobí-li na těleso vnější fyzikální vlivy

– tj. pravé síly, popř. výslednice pravých sil je nulová (tzv. volná částice), pak

soustava souřadná, vůči níž je těleso v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém

pohybu, je soustava inerciální.

2. Obecnější formulace zákona síly: časová změna hybnosti tělesa je rovna

výslednici vnějších sil, které na těleso působí

3. Zákon akce a reakce: Vzájemná silová působení dvou různých těles jsou

stejně veliká a opačně orientovaná, F12 = – F21

dp dF mv

dt dt= =

rr r

Galileův princip relativity:Fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech inerciálních souřadných soustavách

� Všechny inerciální soustavy jsou rovnocenné, tj. žádná s.s. není privilegovaná

(žádným fyzikálním pokusem nelze najít privilegovaný systém, libovolný pokus

dá ve všech i.s.s. stejný výsledek

� Prostor a čas jsou Newtonovské mechanice absolutní veličiny (nezávisí na

pozorovateli)

Newtonovy zákony

Síly při různých druzích pohybu

F = m a

prp, prz: …

Harmonický pohyb: F = − mω2(x − x0) = − k∆x, k = mω2

Rovnoměrný kruhový pohyb: Fd = − mω2r0 = − mω2Rr0/|r0|

Nerovnoměrný kruhový pohyb: F = Ft + Fd = mat + mad

Tíhová síla: G = mg, (tíhové zrychlení g = 9,80665 ms-2

- všechna tělesa padají se stejným zrychlením, tj. G ~ m

- tíhová hmota:

(tíhová a setrvačná hmota se sobě rovnají – experimentální fakt, Eötvös)

Síly tření – působí proti pohybu:

Smykové tření: Tt = f . Fn f – součinitel smykového tření, Fn – normálová síla

Valivé tření: Tv = µ.Fn /R µ – součinitel valivého tření, R – poloměr válce

Odpor prostředí: FV = − k v v – rychlost tělesa, k > 0 (pozn. FV = − kv2 )

1 1

2 2

m G

m G=

Newtonovy pohybové rovnice

Pohybové rovnice:(Newtonovy)

2

2

2

2, 1, 2,3i

i

d rF ma m

dt

d xF m i

dt

= =

= =

rr r 3 pohybové rovnice

Diferenciální rovnice 2. řádu

Lineární rce ⇒ princip superpozice

31 21 2 3( , , , , , , ,...)

i

dxdx dxF f t x x x

dt dt dt=

- určení pohybu, jsou-li známy síly (silové pole)

- určení sil, je-li popsán pohyb (trajektorie)

Determinismus klasické mechaniky – jsou-li zadány počáteční podmínky, je pohyb

h.b. v daném silovém poli jednoznačně určen.

Newtonovy pohybové rovnice – příklady2

2, 1, 2,3i

i

d xF m i

dt= =

1. Pohyb v homogenním gravitačním poli (šikmé vrhy): F = (0, 0, -mg)

2. Harmonický pohyb: F = - k x

3. Pohyb při odporu prostředí: F = - k v = - k dr/dt

Další příklady: odpor prostředí F = - k v2, Lorentzova sílakladka

( )2

2, Řeš.: sin , kde

d x km kx x A t

dt mω α ω= − = + =

22 231 2

2 2 20, 0,

d xd x d xm m m mg

dt dt dt= = = −

20

02, Řeš.: , 1

k kt t

m mmvd x

m kv v v e x edt k

− − = − = = −

Pohyb v inerciální a neinerciální soustavě

1

3

2O 1'

3'

2'O'

r

P

R

r'

kde / , unášivá rychlost

(adiční teorém rychlostí)

u

r r R dR dt u u

v v u

a a a

′= + =′= +′= +

r rr r r r

r r r

r r r

1. u = konst., tj. au = 0 potom

… Galileova transformace =>

a = a', F = m a = F'

- Newtonova pohybová rce má stejný tvar ve všech ISS (je invariantní vůči Galileově transormaci)

⇒ Zákony mechaniky jsou stejné ve všech i.s.s. - rovnice mají stejný tvar (nelze rozhodnout, zda je bod v klidu nebo v prp - pohyb je relativní)

⇒ Všechny i.s.s. jsou rovnocenné: tj. výsledky měření jsou ve všech i.s.s. shodné, žádná není preferovaná!

r r ut′= +r ur r

Pohyb v inerciální a neinerciální soustavě

1

3

2O 1'

3'

2'O'

r

P

R

r'

2. au ≠ 0 potom a = a' + au

F = ma = ma' + mau = F' + m au tedy

*, kde *u

F F F F ma′ = + = −uur ur ur ur r

Důsledky: a) v NSS neplatí 2.N.Z. (a obecně zákony mechaniky) v základním tvaru - v NSS je třeba kompenzovat zrychlení soustavy doplněním setrvačné síly

b) řešení úloh: buď pracovat důsledně v ISS nebo zavedením setrvačných sil přejít do NSSpř. …kulička na pružině ve zrychlené s.s. (vagon, kolotoč), Newton – pokus s vědrem

F' = F – m au

kde F* = – m au je setrvačná (zdánlivá, fiktivní) síla, F* - je geometrického původu, nemá původ ve vzájemném působení těles,

- neexistuje reakce k této síle- účinkem setrvačných sil se pohybují všechna tělesa se stejným zrychlením

úpravou:

3. Pohyb v otáčivé s.s.

Transformační vztahy:

Změna polohového vektoru bodu P, pro pozorovatele v i.s.s:

3. Pohyb v otáčivé s.s. - pokr.

v v u v rω′ = − = − ×r r r r r

(tj. derivace téhož vektoru v různých s.s. se liší !)Vztahy platí pro časové změny libovolného vektoru !

d v dva v

dt dtω

′ ′ ′′ ′= = − ×r r

rr r

Tedy zrychlení v n.s.s.:

r ≡ r'

kde , tedyu rω= ×rr r d r drr

dt dtω′

= − ×r r

r r

dv d drr v

dt dt dt

ω ω ω ′= − × − × − ×rr r

r rr rvr

( )dv dr v r v

dt dt

ω ω ω ω′ ′= − × − × + × − ×rr

r r rr r r r

( ) 2dv

r r vdt

ε ω ω ω ′= − × − × × − ×r

r r r rr r r

o ca a a aε= + + +r r r r

* * *o cε′ = + + +F F F F F Otačivá s.s. → skutečná síla + 3 zdánlivé síly

( )dv r v

dtω ω ′= − × − ×r rr r r

ar

pro rychlost v NSS: d v dv

vdt dt

ω′ ′ ′ ′= − ×r r

r r

3. Pohyb v otáčivé s.s. - pokr.

* * *

*

* 2

síla působící v otáčivé s.s.

skutečná síla v i.s.s.

síla v důsl. zrychleného rotačního pohybu (=| |), (setrvačná)

odstřediv

o c

t

o

m

m F

m r

ε

ε

ω

′ = + + +== − ×

= − ⋅

F F F F F

F a

F ε r

F n*

á síla (=| |), (setrvačná)

2 Coriolisova síla, (setrvačná)

d

c

F

m ′= − ×F ω v

F* = setrvačné síly (jsou geometrického původu, nemají původ ve vzájemném působení těles) - neexistují reakce k těmto silám

Účinkem setrvačných sil se pohybují všechna tělesa se stejným zrychlením

Např. – odstředivá síla působí v n.s.s. zatímco dostředivá síla v i.s.s.!! (formálně jsou obě stejně veliké, opačně orientované) a co odstředivá síla v ISS ?

Řešení úloh: pracujeme buď i.s.s. nebo naopak v n.s.s., pak musíme zahrnout setrvačné síly(vnější x vnitřní pozorovatel)

Př.: rotace h.b. na pružině/kolotoči, pohyb po Z (tíhové zrychlení, ω=7,3 . 10-5 s-1), Coriolisovysíly, Foucaultovo kyvadlo …Př.: cykloida, kladka, kónické kyvadlo (regulátor otáček)

Newtonovy pohybové rce v základním tvaru platí jen v i.s.s., v n.s.s. je

třeba do vztahů doplnit setrvačné síly!

Př.: kónické kyvadlo (odstředivý regulátor), Coriolis.síly v atmosféře

Coriolisova síla je podstatná při pohybu v rychle rotujících soustavách a při pohybu rychle se pohybujících hmotných těles (střely, rakety)- Na rotující ploše (výstřel, basket…)- Na zemském povrchu- Foucaultovo kyvadlo

A co výlevka umyvadla?Absolutní prostor v klasické mechanice

Změna tíhového zrychlení rotací Země(odstředivé zrychlení v Praze: a = 2,59.10-2

ms-2 = 0,0026 g)

F

r

O

B - působiště

r' - rameno

Hybnost:

Momenty: síly

hybnosti

p mv=r r

( )( )

B A

B A

M r F r r F

L r p r mv r r mv

= × = − ×

= × = × = − ×

r r rr r r

r r r r r r r r

Další veličiny

Impuls síly:(časový účinek síly)

změna hybnosti h.b.= impulsu síly vykonaného na h.b.:

2 2 2

1 1 1

2 11

t t tn

i i

i t t t

dpI F t F t Fdt dt dp p p p

dt=

= ∆ → ∆ → = = = − = ∆∑ ∫ ∫ ∫r

r r r r r r r rI p= ∆r r

Fr

O

B

A2

1

rB

rA

Průměrná síla:(např. stření nárazová síla, střední zrychlení)

2

1

1t

t

I p vF Fdt m m a

t t t t

∆ ∆= = = = =∆ ∆ ∆ ∆∫r r r

r r r

Pozn.: platí obecně – střední hodnota fyzikální veličiny v:

2

12 1

1t

t

dtt t

=− ∫v v

(charakterizuje pohybový stav tělesa)

Další veličiny

Pohybová rovnice pro h.b., působí-li moment síly ( → rotační pohyb):

Odvození:

Zákon zachování hybnosti soustavy dvou h.b.:

dLM

dt=

rr

( )dL d dr dpr p p r r F

dt dt dt dt= × = × + × = × ⇒

r r rrr r r r r

( )1 21 212 21 1 2, , 0

d p pd p d pF F p p const

dt dt dt

+= − = − = ⇒ + =

r rr rr r r r