2. Dynamika hmotného bodu
Syllabus:
2. Dynamika hmotného bodu. Newtonovy zákony. Síly působící při známém druhu pohybu. Pohybová rovnice hmotného bodu, vrhy, harmonický pohyb. Inerciální a neinerciální soustavy souřadné, zdánlivé síly, síla Coriolisova a odstředivá. Práce, výkon, energie kinetická a potenciální, konzervativní pole.
� Dynamika zkoumá příčiny pohybu a vzájemné působení těles, které vede k pohybu
� Nová veličina: síla, F [N], vektorová veličina, je mírou vzájemné interakce (působení)
těles, která vede ke změnám pohybu nebo deformaci
� Síla je určena velikostí, směrem a působištěm (vektor vázaný na bod)
� Pokus s pružinou: …
� Síly skutečné (pravé) – vyvolané vzájemným působením těles
Síly setrvačné (zdánlivé fiktivní) – vyvolány zrychleným pohybem vztažných soustav
Síla
Skládání sil – princip superpozice:
F1
F3
F2
F
F4
F = F1 + F2 + F3 + F4
Síla je určena velikostí, směrem a působištěm (vektor vázaný na bod)
A
Síla – základní druhy silových interakcí
Newtonovy zákony
F ma=r r
12 21F F= −r r
Pozn: síly akce a reakce působí mezi různými tělesy, přitom nezávisí na způsobu, jakým na sebe tělesa působí nebo zda se pohybují.
Pozn. rovnice F = ma zavádí 2 nové veličiny, F a m, a kromě toho ani nevíme, vůči jaké s.s. máme aodečítat
1. Zákon setrvačnosti (Galileo): Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo v
rovnoměrném přímočarém pohybu, není-li vnějšími silami (tj. působením jiných
těles) nuceno tento stav změnit.
2. Zákon síly: Síla působící na těleso je úměrná součinu jeho hmotnosti a
zrychlení, které mu uděluje
3. Zákon akce a reakce: Vzájemná silová působení dvou různých těles jsou stejně
veliká a opačně orientovaná
(Každá akce vyvolává okamžitou stejně velkou reakci opačného směru)
Newtonovy zákony
� 1. zákon určuje inerciální soustavy, jedná se o celou třídu s.s., vůči nimž je volný h.b. v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. V těchto soustavách měříme zrychlení!
� 3. zákon umožňuje stanovit hmotnosti těles – pro vzájemnou interakci 2 těles musí platit
m - hmota setrvačná
� Tímto je definována síla F na levé straně pohybové rovnice, stačí zvolit referenční hmotnost
1 21 2 2
2 1
tedy pro velikosti:m a
m a m am a
= − =r r
Hybnost: p mv=r r
Původ sil
Př. inerciálních soustav: - spojené se stálicemi- satelit na oběžné dráze? Padající výtah - lokální ISS
(charakterizuje okamžitý pohybový stav tělesa –míra pohybového stavu)
Newtonovy zákony – alternativní formulace
1. Zákon setrvačnosti (definice ISS): Nepůsobí-li na těleso vnější fyzikální vlivy
– tj. pravé síly, popř. výslednice pravých sil je nulová (tzv. volná částice), pak
soustava souřadná, vůči níž je těleso v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém
pohybu, je soustava inerciální.
2. Obecnější formulace zákona síly: časová změna hybnosti tělesa je rovna
výslednici vnějších sil, které na těleso působí
3. Zákon akce a reakce: Vzájemná silová působení dvou různých těles jsou
stejně veliká a opačně orientovaná, F12 = – F21
dp dF mv
dt dt= =
rr r
Galileův princip relativity:Fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech inerciálních souřadných soustavách
� Všechny inerciální soustavy jsou rovnocenné, tj. žádná s.s. není privilegovaná
(žádným fyzikálním pokusem nelze najít privilegovaný systém, libovolný pokus
dá ve všech i.s.s. stejný výsledek
� Prostor a čas jsou Newtonovské mechanice absolutní veličiny (nezávisí na
pozorovateli)
Newtonovy zákony
Síly při různých druzích pohybu
F = m a
prp, prz: …
Harmonický pohyb: F = − mω2(x − x0) = − k∆x, k = mω2
Rovnoměrný kruhový pohyb: Fd = − mω2r0 = − mω2Rr0/|r0|
Nerovnoměrný kruhový pohyb: F = Ft + Fd = mat + mad
Tíhová síla: G = mg, (tíhové zrychlení g = 9,80665 ms-2
- všechna tělesa padají se stejným zrychlením, tj. G ~ m
- tíhová hmota:
(tíhová a setrvačná hmota se sobě rovnají – experimentální fakt, Eötvös)
Síly tření – působí proti pohybu:
Smykové tření: Tt = f . Fn f – součinitel smykového tření, Fn – normálová síla
Valivé tření: Tv = µ.Fn /R µ – součinitel valivého tření, R – poloměr válce
Odpor prostředí: FV = − k v v – rychlost tělesa, k > 0 (pozn. FV = − kv2 )
1 1
2 2
m G
m G=
Newtonovy pohybové rovnice
Pohybové rovnice:(Newtonovy)
2
2
2
2, 1, 2,3i
i
d rF ma m
dt
d xF m i
dt
= =
= =
rr r 3 pohybové rovnice
Diferenciální rovnice 2. řádu
Lineární rce ⇒ princip superpozice
31 21 2 3( , , , , , , ,...)
i
dxdx dxF f t x x x
dt dt dt=
- určení pohybu, jsou-li známy síly (silové pole)
- určení sil, je-li popsán pohyb (trajektorie)
Determinismus klasické mechaniky – jsou-li zadány počáteční podmínky, je pohyb
h.b. v daném silovém poli jednoznačně určen.
Newtonovy pohybové rovnice – příklady2
2, 1, 2,3i
i
d xF m i
dt= =
1. Pohyb v homogenním gravitačním poli (šikmé vrhy): F = (0, 0, -mg)
2. Harmonický pohyb: F = - k x
3. Pohyb při odporu prostředí: F = - k v = - k dr/dt
Další příklady: odpor prostředí F = - k v2, Lorentzova sílakladka
( )2
2, Řeš.: sin , kde
d x km kx x A t
dt mω α ω= − = + =
22 231 2
2 2 20, 0,
d xd x d xm m m mg
dt dt dt= = = −
20
02, Řeš.: , 1
k kt t
m mmvd x
m kv v v e x edt k
− − = − = = −
Pohyb v inerciální a neinerciální soustavě
1
3
2O 1'
3'
2'O'
r
P
R
r'
kde / , unášivá rychlost
(adiční teorém rychlostí)
u
r r R dR dt u u
v v u
a a a
′= + =′= +′= +
r rr r r r
r r r
r r r
1. u = konst., tj. au = 0 potom
… Galileova transformace =>
a = a', F = m a = F'
- Newtonova pohybová rce má stejný tvar ve všech ISS (je invariantní vůči Galileově transormaci)
⇒ Zákony mechaniky jsou stejné ve všech i.s.s. - rovnice mají stejný tvar (nelze rozhodnout, zda je bod v klidu nebo v prp - pohyb je relativní)
⇒ Všechny i.s.s. jsou rovnocenné: tj. výsledky měření jsou ve všech i.s.s. shodné, žádná není preferovaná!
r r ut′= +r ur r
Pohyb v inerciální a neinerciální soustavě
1
3
2O 1'
3'
2'O'
r
P
R
r'
2. au ≠ 0 potom a = a' + au
F = ma = ma' + mau = F' + m au tedy
*, kde *u
F F F F ma′ = + = −uur ur ur ur r
Důsledky: a) v NSS neplatí 2.N.Z. (a obecně zákony mechaniky) v základním tvaru - v NSS je třeba kompenzovat zrychlení soustavy doplněním setrvačné síly
b) řešení úloh: buď pracovat důsledně v ISS nebo zavedením setrvačných sil přejít do NSSpř. …kulička na pružině ve zrychlené s.s. (vagon, kolotoč), Newton – pokus s vědrem
F' = F – m au
kde F* = – m au je setrvačná (zdánlivá, fiktivní) síla, F* - je geometrického původu, nemá původ ve vzájemném působení těles,
- neexistuje reakce k této síle- účinkem setrvačných sil se pohybují všechna tělesa se stejným zrychlením
úpravou:
3. Pohyb v otáčivé s.s.
Transformační vztahy:
Změna polohového vektoru bodu P, pro pozorovatele v i.s.s:
3. Pohyb v otáčivé s.s. - pokr.
v v u v rω′ = − = − ×r r r r r
(tj. derivace téhož vektoru v různých s.s. se liší !)Vztahy platí pro časové změny libovolného vektoru !
d v dva v
dt dtω
′ ′ ′′ ′= = − ×r r
rr r
Tedy zrychlení v n.s.s.:
r ≡ r'
kde , tedyu rω= ×rr r d r drr
dt dtω′
= − ×r r
r r
dv d drr v
dt dt dt
ω ω ω ′= − × − × − ×rr r
r rr rvr
( )dv dr v r v
dt dt
ω ω ω ω′ ′= − × − × + × − ×rr
r r rr r r r
( ) 2dv
r r vdt
ε ω ω ω ′= − × − × × − ×r
r r r rr r r
o ca a a aε= + + +r r r r
* * *o cε′ = + + +F F F F F Otačivá s.s. → skutečná síla + 3 zdánlivé síly
( )dv r v
dtω ω ′= − × − ×r rr r r
ar
pro rychlost v NSS: d v dv
vdt dt
ω′ ′ ′ ′= − ×r r
r r
3. Pohyb v otáčivé s.s. - pokr.
* * *
*
* 2
síla působící v otáčivé s.s.
skutečná síla v i.s.s.
síla v důsl. zrychleného rotačního pohybu (=| |), (setrvačná)
odstřediv
o c
t
o
m
m F
m r
ε
ε
ω
′ = + + +== − ×
= − ⋅
F F F F F
F a
F ε r
F n*
á síla (=| |), (setrvačná)
2 Coriolisova síla, (setrvačná)
d
c
F
m ′= − ×F ω v
F* = setrvačné síly (jsou geometrického původu, nemají původ ve vzájemném působení těles) - neexistují reakce k těmto silám
Účinkem setrvačných sil se pohybují všechna tělesa se stejným zrychlením
Např. – odstředivá síla působí v n.s.s. zatímco dostředivá síla v i.s.s.!! (formálně jsou obě stejně veliké, opačně orientované) a co odstředivá síla v ISS ?
Řešení úloh: pracujeme buď i.s.s. nebo naopak v n.s.s., pak musíme zahrnout setrvačné síly(vnější x vnitřní pozorovatel)
Př.: rotace h.b. na pružině/kolotoči, pohyb po Z (tíhové zrychlení, ω=7,3 . 10-5 s-1), Coriolisovysíly, Foucaultovo kyvadlo …Př.: cykloida, kladka, kónické kyvadlo (regulátor otáček)
Newtonovy pohybové rce v základním tvaru platí jen v i.s.s., v n.s.s. je
třeba do vztahů doplnit setrvačné síly!
Př.: kónické kyvadlo (odstředivý regulátor), Coriolis.síly v atmosféře
Coriolisova síla je podstatná při pohybu v rychle rotujících soustavách a při pohybu rychle se pohybujících hmotných těles (střely, rakety)- Na rotující ploše (výstřel, basket…)- Na zemském povrchu- Foucaultovo kyvadlo
A co výlevka umyvadla?Absolutní prostor v klasické mechanice
Změna tíhového zrychlení rotací Země(odstředivé zrychlení v Praze: a = 2,59.10-2
ms-2 = 0,0026 g)
F
r
O
B - působiště
r' - rameno
Hybnost:
Momenty: síly
hybnosti
p mv=r r
( )( )
B A
B A
M r F r r F
L r p r mv r r mv
= × = − ×
= × = × = − ×
r r rr r r
r r r r r r r r
Další veličiny
Impuls síly:(časový účinek síly)
změna hybnosti h.b.= impulsu síly vykonaného na h.b.:
2 2 2
1 1 1
2 11
t t tn
i i
i t t t
dpI F t F t Fdt dt dp p p p
dt=
= ∆ → ∆ → = = = − = ∆∑ ∫ ∫ ∫r
r r r r r r r rI p= ∆r r
Fr
O
B
A2
1
rB
rA
Průměrná síla:(např. stření nárazová síla, střední zrychlení)
2
1
1t
t
I p vF Fdt m m a
t t t t
∆ ∆= = = = =∆ ∆ ∆ ∆∫r r r
r r r
Pozn.: platí obecně – střední hodnota fyzikální veličiny v:
2
12 1
1t
t
dtt t
=− ∫v v
(charakterizuje pohybový stav tělesa)
Další veličiny
Pohybová rovnice pro h.b., působí-li moment síly ( → rotační pohyb):
Odvození:
Zákon zachování hybnosti soustavy dvou h.b.:
dLM
dt=
rr
( )dL d dr dpr p p r r F
dt dt dt dt= × = × + × = × ⇒
r r rrr r r r r
( )1 21 212 21 1 2, , 0
d p pd p d pF F p p const
dt dt dt
+= − = − = ⇒ + =
r rr rr r r r