1

Fyzika Klasická mechanika - popisuje mechanický pohyb tles, které se pemisují v prostoru rychlostí v << c - 2 oblasti

o - kinematika – zkoumá pohyb bez ohledu na jeho píiny o - dynamika – zkoumá souvislost mezi charakteristikami pohybu a silami, které ho zpsobují

Kinematika hmotného bodu - HB – myšlený bezrozmrný objekt o nenulové hmotnosti - pozn.: pojem HB se zavádí pi modelování reálných tles( Z kolem S – Z=HB), jindy se reálné tleso

chápe jako systém obrovského potu HB - poloha HB -

[ ] vektorupolohového velikost ....

vektorpolohový ....,,222 zyxrr

zyxr

++=≡

≡

- pohyb HB - platí: s∆ - délka oblouku opsaného hmotným bodem za as 12 ttt −=∆

12 rrr −=∆ - zmna polohového vektoru za as t∆

- obecn rs∆≠∆

- pozn.: - pohyb HB je popsán , známe-li fci ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tztytxtrr ,,≡=

- rychlost HB – pro dsdrdssrdrt τ =→∆→∆→∆ ,:0 - elementární délka opsaného oblouku

- platí: - τ

dtds

dtrd

tr

vt

==∆∆=

→∆ 0lim

- potom: • τ //v tj. rychlost míí v daném okamžiku ve smru teny k dráze

• [ ]dtdz

vdtdy

vdtdx

vvvvv zyxzyx ===≡ ,, kde ,,,

- zrychlení HB -

- platí: 2

2

0lim

dtrd

dtvd

tv

at

==

∆∆=

→∆ - zrychlení v daném okamžiku

- potom: 2

2

2

2

2

2

; ; dt

zddt

dva

dtyd

dt

dva

dtxd

dtdv

a zz

yy

xx ======

Dynamika hmotného bodu - dynamika HB je popsána 3 Newtonovými zákony, které pedstavují základ mechaniky - 1.Newtonv zákon (zákon setrvanosti): V inerciálních soustavách(tj. takových, které jsou vi sob bu

v klidu nebo pohybu rovnomrn pímoarém) zstává tleso v klidu nebo pohybu rovnomrn pímoarém, dokud na n nepsobí jiná tlesa(vnjší síla)

- pozn.: - existenní teorém, který popisuje existenci systém s uritou, z fyzikálního hlediska významnou, vlastností – dležité pro popis tles

- píklad neinerciálního systému – systém pevn spojený z rozjíždjícím se dopravním prostedkem, nebo s rotujícím tlesem – pozorovatel v nich vidí, že se vnjší tlesa pohybují se zrychlením, ale pi tom na n nepsobí žádná síla

- 2.Newtonv zákon (zákon síly): amF

=

zrychlení é...vyvolant...hmotnossíla í...psobíc

a

m

F

- pozn.: • zákon síly je nejdležitjší Newtonv zákon, nebo spojuje píinu pohybu(psobící síla) z následku(vyvolané zrychlení

• postup pi ešení dynamických problém(pohyb v silových polích (i) – vyjádíme celkovou psobící sílu(obecn dána vektorovým soutem všech psobících sil)

2

(ii) – ešíme pohybovou rovnici 2

2

dtvd

mdtvd

mamF

=== s cílem stanovit funkci )(trr

=

(závislost polohového vektoru na t) - 3.Newtonv zákon (zákon akce a reakce) – každá akce vyvolává stejn velkou reakci opaného smru

- platí: 1221 FF

−= 2.HB na HB 1. psobíkterou ...síla,

1.HB na HB 2. psobíkterou ...síla,

12

21

F

F

Impuls síly

- platí: =2

1

t

t

dtFI

as ...konenýt

as .poátení..

2

1t

- vyjaduje asový úinek síly Hybnost HB - vmp

= Moment síly - platí: FrM

×= síly psobišt vektor ý...polohovr

- moment vzhledem k njakému vztažnému bodu - systém) ýpravotoiv tvoí a , poadí (vektory v , MFrFrM

⊥

- platí: αsin⋅⋅= FrM

Moment hybnosti

- prb

×= hybnost urujeme nmž vektor vý...polohov

boduztažnému njakému vk vzhledemhybnosti...moment r

b

- pozn.: - moment síly a moment hybnosti mají zásadní význam pi popisu rotaních pohyb Mechanická práce

- platí: =2

1

12

r

r

rdFA

2polohy do 1polohy zpechodu pi HB onákterou vyk ...práce,12A

- je vyjádena kivkovým integrálem, kde 1r

je poloha poáteního bodu a 2r

poloha koneného bodu

- obecn platí: (i) ( )rFF

= (ii) ( )r

αα = Výkon

- práce) koná se rychlejak yjaduje,...výkon(v PdtdA

P =

Kinetická energie

- v nerelativistickém pípad (v<<c) platí: 2

21

mvK =

- platí:

HB energie kinetické zvýšení ke došlo tj.

21

21

21

1221

22

22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

KKmvmvmvmvdvvdvmrddtvd

mrdFAv

v

r

r

v

v

v

v

r

r

−=−=

=====

Konzervativní silové pole a potenciální energie - • silové pole je zadáno, známe-li v každém bod prostoru fci ( )rFF

=

- • silové pole je konzervativní platí-li:

= 0rdF

kivce uzavené své na HB onákterou vyk práci, vyjaduje-kivce uzavené po integrál -

3

- • v konzervativním silovém poli je možno zavést potenciální energii U, pro kterou platí:

;;

∂∂−

∂∂−

∂∂−≡−∇≡−=

zU

yU

xU

UgradUF

Explicitní vyjádení potenciální energie

- platí: ( )

ldiferenciá totální-

.

/

konstrUdzzU

dyyU

dxxU

rgradUdrdF

rdgradUF

+−=

∂∂+

∂∂+

∂∂−=−=

⋅−=

- po úprav: ( ) .konstrdFrU +−=

podmínky okrajové volb vhodnépo urímehodnotu jejíž konstanta aditivní - . -prostoru míst daném vHB energie ípotenciáln - -

konst

U

- pozn.: - potenciální energii v daném silovém poli dokážeme stanovit až když máme výraz pro ( )rFF

= (viz. Cv.2)

- platí: ( )[ ] 21122

1

2

1

UUrUrgradUdrdFA rr

r

r

−=−=−==

dráhy tvaru na nezávisí poli vnímkonzervati váceenergie(pr ípotenciálnúbytku k dochází -

2 do bodu1 zpechodu pi síla onákterou vyk práce, - - 12 FA

Zákon zachování mechanické energie - v konzervativním silovém poli zvolíme 2 libovolné body, oznaíme dráhu, uríme práci

- platí: 211212 výše viz. výše viz.2

1

UUKKrdFAr

r

−=−==

- platí pouze v konzerv. sil. poli

- potom: 1 bod v- 2122 KKUK +=+ - 2 bod venergie mechanická celková - - závr: -oba body v prostoru byly zvoleny libovoln, tj. vztah o rovnosti celkové mechanické energie platí

v celém prostoru v konzervativním silovém poli se zachovává celková mechanická energie - pozn.: - - píklady KSP: - gravitaní pole, pole lineárního harmonického oscilátoru, elektrostatické pole,… - - píklady nKSP: - vždy, když dochází k brždní pohybu(tení, odpor prostedí) Dynamika soustavy HB - soustava HB slouží jako model reálných tles - pohyb více tles v pípad, že každé z nich lze zobrazit hmotným bodem - pohyb 1 reálného tlesa, které považujeme za soubor obrovského množství hmotných bod(pedstavy HB

nelze použít pi rotaci) - uvažujme systém N HB I. impulsová vta - uvažujme systém N HB

- pro i-tý HB platí: ii F

dtpd

= HB tého-ihybnost ...

HB tý-i na psobící síl ...celková

i

i

p

F

- platí: ijji

N

jji

Eii FFFFF

−=+=

=

kde ,1

síla vnjšícelková...EiF

4

- po dosazení:

( )0 ,0nebo

,0...............

/

2122221112111

21

1 111

N

1i1

==+

=++++++++++++=+++

+=

+=

=

↓

= ===

==

iijiij

NNNNNN

N

iNiii

N

i

N

jji

N

i

Ei

N

i

i

N

jji

Ei

i

FFF

FFFFFFFFFFFF

FFdtpd

FFdtpd

- dostáváme:

)( systém na psobící síla vnjšícelková

11

E

N

i

Ei

N

ii

F

F

P

pdtd

↓

===

systémuhybnost ...celkováP

- dostáváme: EFdtPd

= I. impulsová vta

- dsledek: - v izolovaném systému platí: . 0 0 ,0 konstPdtPd

FiF EEi ===∀=

, tj. v izolovaném

systému se zachovává celková hybnost - pozn.: - skok z loky, výstel z hlavn, únik spalin z raketového motoru pohyb loky, zbran a rakety

opaným smrem II. impulsová vta

pro i-tý HB platí:

( ) ( )

HB tý-i na psobící síla celková je kde ,

0//

1

=

+=

×=

×+

=

×=×=

N

jji

Eii

iiii

i

iii

iii

iii

iiii

FFF

FFrdtbd

F

vmdtd

r

vmv

vmdtrd

vmrdtd

dtbd

- po dosazení:

( ) 0

//

dvojicsouet na

rozepsat lzesumu celou nebo ,0.......

........)...(

HB tý-i na psobícísíly jšímoment vn

/

2122

222122112111111

21

1 111

N

1i1

=×−=×+×

=×++×+×++×+

+×+×++×++×+×=+++×=

×+×=

×+×=

=

= ===

==

ij

ij

ijjiiijj

NNNNNNNN

N

N

iNiiii

N

i

N

jjii

Ei

N

i

Eii

N

i

i

N

jjii

Eii

i

F

F

rrFrFr

FrFrFrFr

FrFrFrFrFrFFFr

Fr

M

Frdtbd

FrFrdtbd

5

- dostáváme:

E

N

i

Ei

N

ii

M

M

B

bdtd

==

=11

bodu k témuž zhledemsoustavu v na psobících sil,jších moment vn celkový...

boduztažnému njakému vk vzhledemHB,soustavy hybnostimoment celkový ...

EM

B

- dostáváme: EMdtBd

= II. impulsová vta

- dsledek: - v izolované soustav . 0 0 ,0 konstBdtBd

MiF EEi ===∀=

- v izolovaném systému se zachovává celkový moment hybnosti - pozn.: - pirueta krasobruslaky (viz dále) Dynamika tuhého tlesa - tuhé tleso je tvoeno soustavou HB jejichž vzájemné vzdálenosti jsou nepromnné, tj. tuhé tleso je

nedeformovatelné (v mnoha situacích dobrý model tles pevného skupenství) Kinetická energie tuhého tlesa - (i) Translaní pohyb:

• všechny Hby tlesa se pohybují se stejnou rychlostí vvi = , kde v je rychlost hmotného stedu

- platí: = =

===N

i

N

iiii mvvmK

1 1

22

21

21 2

21

mv tlesaenergie kinetická ...celková

lesahmotnost t celková...K

m

- (ii) Rotaní pohyb kolem pevné osy: • všechny HBy tlesa rotují se stejnou úhlovou rychlostí

- platí: ==== == =

J

rmrmvmKN

iii

N

i

N

iiiii

1

22

1 1

222

21

21

21 ωω 2

21 ϖJ

otáení)osy odost ...vzdálen(rychlost á...obvodov tlese) vhmotnosti rozložením

dán je(moment otáení osek vzhledem tlesatisetrvanos...moment

iii rrv

J

ω=

- (iii) Obecný pohyb: • libovolný obecný pohyb si lze pedstavit jako translaní pohyb s rotací tlesa kolem osy jdoucí jeho hmotným stedem

- platí: 20

2

21

21 ωJmvK +=

stedem hmotným jeho jdoucí osek vzhledem tlesatisetrvanos...moment 0J Moment setrvanosti

- platí: =

=N

iiirmJ

1

2 rotaceosy odbodu hmotného tého-i vzdálenost...

otáení ose njaké j vzhledem tlesatisetrvanosmoment ...

ir

J

- pro základní ástice tuhých látek platí: • objemová koncentrace je velmi vysoká lze pejít pedstav tlesa jako objektu se

• rozmr velmi malý spojit rozloženou hmotností - (pi popisu takových tles lze využít spojitých fcí a diferenciálního potu) - platí: hmotnostcelou pes provádna je grace(m)...inte

)(

2=m

dmrJ

- platí: ( )dVrdmρ=

( )lesaelement t objemový...

tlesahustota objemová....dV

rρ

6

- po dosazení: ( )=)(

2

V

dVrrJρ

- pedpokládáme, že ( ) .konstr =ρ

- potom: =)(

2

V

dVrJ ρ

- pozn.: - moment setrvanosti homogenního válce a homogenní koule vzhledem k jejich ose symetrie Pohybová variace pro rotaci tlesa kolem pevné osy - budeme aplikovat II. impulsovou vtu

- platí: EMdtBd

= , kde

0bodu k vzhledem tlesona psobící

síly jšímoment vn ...celkový

0bodu k dem vzhlehabnostimoment celkový je...

EM

B

- platí: ==

×==N

iiii

N

ii vmrbB

11

rotaceosy smru vepípad obec. vnemíí tj.,, iiii bvrb

⊥

- platí: //iii bbb

+= ⊥

- podobn lze napsat: EEE MMM //

+= ⊥ úinky rotaní nemá...EM ⊥

- po dosazení: EEN

ii

N

ii MMb

dtd

bdtd

//1

//1

+=+ ⊥

==⊥

- platí: - vektor ω míí ve smru osy rotace, tato osa je pevná v tlese i v prostoru(viz zadání úlohy)zmna ωd mže míit jedin ve smru osy rotace, tj. rotaci tlesa zpsobuje pouze složka EM //

,

která míí ve smru osy rotace

- k popisu pohybu využijeme II. impulsovou vtu ve tvaru: EN

ii Mb

dtd

//1

//

=

=

-

- platí: ωωααπαα2

// sinsin2

sinsin

velikost

sin ′=′⋅==⋅

⊥

×=⋅=′

iiii

i

iiii

ii

i

iiiii rmrm

r

rvmr

vr

b

vmrbb

- rotaceosy od HB tého-iost ...vzdálen′ir

- platí: ωω 2

//// :psát lze tj.,// iiii rmbb ′=

- po dosazení: EN

iii M

J

rmdtd

//1

2

=′=

ω stejná HB všechny pro jerychlost úhlová...

rotace osek vzhledem tlesatisetrvanosmoment ...ωJ

- dostáváme: ( ) EMJdtd

//

=ω - pohybová rovnice pro rotaci tlesa kolem pevné osy

- dsledek: pipaží) kakrasobrusl (když sníží se když vzroste, tj.., 0// JkonstJM E ωω ==

- pedpokládáme: .konstJ =

- dostáváme: EMJdtd

J //

== εω osysmru opt ve míí zrychlení, úhlové...ε

- dsledek: 00// ≠≠ ε

EM zapsobit) takhlemusíme roztoit, nco chceme (když...startér//EM

7

- platí: - vektory EMd // a ,, εωω , míí ve smru osy rotace, která je pevná v tlese(viz. zadání úlohy) a stálá

v prostoru lze pejít ke skalární rovnici ==dtd

JJωε EM

dtd

J //2

2 =ϕ

- dostáváme dif. rovnici pro fci

( )tϕϕ = , jednoznan popisující rotaci - P.: cv..3 – kyvadla

Základy speciální teorie relativity

- Einstein, Poincare, Lorentz, Minkowski Klasická mechanika • poskytuje uspokojivý popis makroskopických pohyb tles o rychlosti cv << • pedpokládá existenci absolutního prostoru a absolutního asu, které jsou nezávislé na pohybu a existenci tles Galileova transformace - transformace souadnic pi pechodu mezi soustavami SS ′ a , která se pohybuje vi S rovnomrn

pímoae rychlostí v v kladném smru osy x - HB má v uritém okamžiku souadnice v [ ] [ ]zyxSzyxS ′′′′ ,, va ,,

- platí:

tt

zz

yy

vtxx

=′=′=′

−=′

- espohybu tl vzájemnémna nezávisí as tj.stejn, soustaváchobou vplyne as ...tj.tt =′ Transformace rychlosti - v soustav S má HB rychlost [ ]zyx uuuu ,,≡

- v S ′ platí:

( )

zz

yy

xx

uu

udtdy

dtyd

u

vuvdtdx

vtxdtd

tdxd

u

=′

==′

=′

−=−=−=′′

=′

- na konci 19.století se ve fyzice nahromadilo znané množství experiment jejichž výsledky bylo nemožné konzistentn vysvtlit(viz. nap. Michelsovv pokus)

- klíový výsledek experiment: - byl a popena existence absolutního prostoru a absolutního pohybu bylo nutno revidovat klasickou mechaniku: byla vytvoena speciální a obecná teorie relativity

Základní principy speciální teorie relativity - 1.princip relativity: - všechny inerciální systémy jsou pro formulaci všech fyzikálních zákon rovnocenné - 2.princip konstantní rychlosti svtla: - rychlost svtla ve vakuu je ve všech inerciálních systémech stejná - pozn.: - rychlost svtla nezávisí na tom jestli se zdroj svtla vi pozorovateli pohybuje nebo nepohybuje Lorentzova transformace - odvodil ji Lorentz, správný fyz. význam ji dal Einstein - odvozena pouze na základ 2 princip relativity - transformace souadnic a asu pi pechodu mezi soustavami SS ′ a , která se vi S pohybje rovnomrn

pímoae rychlostí v v kladném smru osy x - bodová událost(okamžitý bodový dj) je v S charakterizován souadnicemi [ ]tzyx ,,, - platí:

8

- (i) pechod SS ′→ :

2

2

2

2

2

1

1

cv

xcv

tt

zz

yyc

v

vtxx

−

−=′

=′=′

−

−=′

[ ]SSx

zyxt

vurená zasu mie poloha...,, míst vnamený as...

′′′′′

- (ii) obrácený pechod SS →′ : - soustavy SS ′ a jsou inerciální systémy pro formulaci všech fyz. zákon jsou zcela rovnocenné budou platit stejné transformaní vztahy, ale znaménko u rychlosti v bude obrácené ( vSS −′ rychlostí vipohybuje se )

- platí:

2

2

2

2

2

1

1

cv

xcv

tt

zz

yyc

v

tvxx

−

′+′=

′=′=

−

′+′=

- pozn.: - • Lornetzova transformace je matematickým základem STR, plynou zní nkteré významné dsledky: -

souadnice a as závisejí na rychlosti pohyb, tj. prostorové dimenze a as nejsou absolutními veliinami, ale mají význam pouze v souvislosti s uritým vztažným systémem

- • pro v << c platí:

Galileovu na pechází ace transformLorentzova tj.,1

11

2

2

2

2

2

t

cv

xcv

tt

vtx

cv

vtxx

≈−

−=′

−≈<<−

−=′

Relativnost souasnosti - pedpokládáme existenci 2 bodových událostí - v soustav S jsou popsány souadnicemi : [ ]11 ,0,0, tx a [ ]22 ,0,0, tx , piemž platí: 1212 a ttxx =≠ , tj. v S

jde o souasné události v rzných místech

- v soustav S ′ platí: ( )

01 2

2

0

122

0

12

12 ≠−

−−−=′−′

≠

cv

xxcv

tttt

, dostáváme 12 tt ′≠′ , tj. události jsou nesouasné

v soustav S ′ Dilatace asu - mjme hodiny H ′ umístné pevn v soustav S ′ , kde mají souadnice [ ]0,0,1x′ - v okamžiku 1t ′ , resp. 2t ′ meném na hodinách H ′míjejí tyto hodiny jiné hodiny 1H , resp. 2H umístné

pevn v soustav S v poloze [ ]0,0,1x , resp. [ ]0,0,2x

9

- v okamžiku míjení hodin v S platí:

2

2

122

2

2

2

121

1

1

1

cv

xcv

tt

cv

xcv

tt

−

′+′=

−

′+′=

SH

SHx

Ht

Ht

SH

SHx

Ht

Ht

′′′′

′′

′′′′

′′

vhodin polohou s

stejná je vhodin ...poloha

hodinách na mený as...

hodinách na mený as... vhodin polohou s

stejná je vhodin ...poloha

hodinách na mený ...as

hodinách na mený as...

21

2

22

11

1

11

- po dobu míjení hodin v S platí: ( )

2

2

0

122

0

12

12

1c

v

xxcv

tttt

−

′−′−′−′=−′

≠

- dostáváme: 2

21

cv

tt

−

′∆=∆ St

St

bodu v míjením mezi ...doba bodu v míjením mezi ...doba

′∆′∆

- platí: ttc

vcv ′∆>∆<−< tj.,11 2

2→ doba libovolného dje mená v soustav v níž se tento dj

odehrává je vždy kratší než doba téhož dje mená pozorovatelem vi, kterému se mínná soustava pohybuje (hovoíme o dilataci asu z hlediska pozorovatele v S )

Experimentální dkaz dilatace asu - prodloužení doby života mionu (µ-mezon) - • mion – elementární ástice o m=207me, má stejný náboj jako elektron, je nestabilní( rozpadá se na el. a

2 neutrina) - • miony vznikají jako druhotné produkty pi srážce primárního kosmického záení s atomy Zemské

atmosféry ve výšce 30km - • doba života zastaveného mionu je 6

0 102.2 −×=τ s, kdyby se pohybovat rychlostí c (ve skutenosti cv < ) urazí dráhu 660m, tj. nemohl by být registrován na Zemi

- závr – aby byl registrován, muselo dojít k dilataci jeho doby života z hlediska jeho pozorovatele na Zemi

2

2

0

1c

v−=

ττ Zemina mená života doba...τ

Kontrakce délek - mjme ty, která je pevn umístná ve smru osy x v soustav S ′ tak, že lze mit její klidovou délku:

12 xxl ′−′=′ - v ase t meném v soustav S lze psát:

2

2

22

2

2

11

1

1

cv

vtxx

cv

vtxx

−

−=′

−

−=′

tSx

tSx

ase v v tyekonce poloha...

ase v vepoátku ty ...poloha

2

1

- po dosazení: 2

2

12

1c

v

vtvtxxl

l

−

+−−=′

Sl soustav vmená tye...délka

10

Transformace rychlosti - nech se HB (tleso) pohybuje v soustav S rychlostí [ ]zyx uuuu ,,≡

- v soustav S ′ pro složky rychlosti [ ]zyx uuuu ′′′≡′ ,,

platí:

dttddt

xdtd

dtdtxd

tdxd

u x ′⋅′

=′

⋅′

=′′

=′ 1 , chceme dostat na pravé stran neárkované promnné

2

21

cv

vtxx

−

−=′ 2

2

2

1c

v

xcv

tt

−

−=′

- dostáváme:

2

2

22

2

1

1

1

1

cv

dtdx

cv

cv

vdtdx

u x

−

⋅−⋅

−

−=′

- po úprav: x

xx

ucv

vuu

21−

−=′

=′

⋅′

=′′

=′td

dtdtyd

tdyd

u y

x

y

ucv

cv

u

2

2

2

1

1

−

−⋅

x

zz

ucv

cv

uu

2

2

2

1

1

−

−⋅=′

- pozn.: • v pípad, že se pohyb v soustav S dje pouze ve smru osy x , tj. [ ]0,0,xuu ≡

- potom: - 0 0 1 2

=′=′−

−=′ zy

x

xx uu

ucv

vuu

- pozn.: • obrácená relace: - využijeme principu relativity → napíšeme stejné vztahy s obráceným znaménkem u v

Pohybová rovnice v STR

- • II. pohybový zákon má formáln shodný tvar jako v klasické mechanice tj. platí: Fdtpd

=

- • ze zákona o zachování hybnosti v inerciálních systémech, vzájemn vázaných Lorentzovou

transformací plyne: 2

2

0

1c

v

vmp

−=

, kde 0m je tzv. klidová hmotnost tlesa

- platí: ( )vmm = (s rostoucí rychlostí zaíná být m závislé na rychlosti), pro 0 ,0 mmv >≠ , tento vztah musí být vzat v úvahu pi konstrukci velkých urychlova

11

Einsteinv vztah mezi hmotností a energií - nech síla F

psobí na volné tleso po elementární dráze rd

, pro vykonanou práci platí:

( ) ( )

vdvv

vdvmdmvvdA

mvdvdmvvmdvdtvdtpd

rdFdA

+=

+==⋅⋅==

2

- platí: 2

2

0

1c

v

mm

−= ( )

( )( )dmvcmvdv

vdvmvcmdm

cmvcm

mcv

m

22

222

220

222

202

22

022

1

−=

=−−

=−

=

−

- po dosazení: ( ) dmcdmvcdmvdA 2222 =−+= elementární práce vykonaná pi urychlení tlesa pi, kterém dojde ke zmn jeho hmotnosti

- po integraci: ( ) 20

0

2

0

cmmdmcAvm

vm

−== ↔

=↔

→ A …práce vykonaná pi urychlení T z 0 na v

- na základ platnosti ZZE lze napsat KA = , kde K je kinetická energie tlesa(T je volné)

- dostáváme: ( )

−−

=−= 11

1

2

2

20

20

cv

cmcmmK - obecný vztah pro kinetickou energii

pro cv << :

( )

222

22

0

21

1

2

22

0 21

121

1

11

11 vmcv

cm

nxx

cv

cmK

n

=

−+=

+=+

−

−=

−

<<

- pro celkovou energii platí: KEE += 0 0E … klidová energie: - je piazena tlesu, které je v klidu

- z ohledem na strukturu výrazu pro K lze psát 200 cmE =

- po dosazení: ( ) 20

20 cmmcmE −+= 2mcE = - Einsteinv vztah mezi hmotností a energií( zákon

ekvivalence) - interpretace: - každé hmotnosti, tedy i klidové, lze piadit energii v látkách je ukryta obrovská energie - P.:- uvolnním energie z látky o m = 0,7 kg by bylo možno pokrýt celoroní spotebu energie v R Experimentální dkaz Einsteinova vztahu (anihilace páru elektron-pozitron) - pozitron je antiástice elektronu, má stejný, ale opaný náboj, stejnou m jako elektron - pi srážce elektronu s pozitronem ob ástice zanikají a vzniká χ(gama) záení o energii 2

02 cm , kde 0m je klidová m elektronu a pozitronu Základy termodynamiky

- termodynamika studuje: • obecné vlastnosti makroskopických systém, tj. systém mnoha ástic, v rovnováze a nerovnovážných

stavech • obecné, tj. pro všechny makroskopické systémy spolené, zákonitosti makroskopických proces Základní postuláty termodynamiky - formulovány na základ empirických poznatk

12

- 1. postulát termodynamiky – postulát o term. rovnováze - 3 termodynamické vty - 1.postulát termodynamiky: - Každý termodynamický systém, který je od uritého asového okamžiku

0tt = v jistých asov nemnných vnjších podmínkách (objem, vnjší pole,…), dospje za tzv. relaxaní dobu do stavu termodynamické rovnováhy. Dojde k zastavení všech makroskopických proces, stavové parametry nabývají ve všech místech systému stejných hodnot (nap.: tlak a teplota)

- pozn.: - postulát pedpokládá vytvoení podmínek pro nastavení termodynamické rovnováhy (pítomnost katalyzátoru v pípad chemické reakce, která by jinak neprobhla)

Práce plynu - pedpoklady: 1. – psobením síly F

dojde k posunu stny soustavy

2. – posun ds je tak malý, že v SdsdV = nedojde ke zmn tlaku - platí: pdVpSdsFdsrdFrdFA ===⋅== 0cos

δ

Aδ …elementární práce vykonaná silou F

pi elementárním posunu stny cos0…protože síla posunula stnu ve svém smru

- pozn.: - elementární práce je oznaena Aδ ,a ne dA , protože závisí na zpsobu jakým se plyn dostává z jednoho stavu do druhého

- platí: • 0>dV , tj. dochází k expanzi 0>Aδ , tj. plyn koná práci • 0<dV , tj. dochází ke kompresi 0>Aδ , tj. plyn spotebovává práci

- po integraci: =2

1

12

V

V

pdVA 12A …práce, kterou plyn vykoná pi pechodu z 1 do stavu 2

obecn ( )Vpp = - tato fce je v pípad termodynamické rovnováhy dána stavovou rovnicí

- práce v p-V diagramu: - pozn.:-je vidt, že vykonaná práce závisí na zpsobu pechodu plynu ze stavu 1 do stavu 2 Stavová rovnice ideálního plynu

- platí: RTm

pVµ

= p …tlak

V …objem plynu 15.273+= tT [K]

3.8314=R [Jkmol-1K-1]…univerzální plynová konstanta

µm

n = …poet kilomol plynu

m …hmotnost plynu µ …tzv. kilomolová hmotnost

- pozn.: - ideální plyn – model reálného plynu – 2 základní pedpoklady • vlastní objem molekul plynu je zanedbatelný, tj. molekuly plynu považujeme za HBy • vzájemné pitažlivé síly mezi molekulami (kohezní síly) jsou zanedbatelné, tj. neovlivují pohyb molekul

- platí: - reálný plyn je tím blíže ideálnímu plnu ím je: • objem vyplnný plynem vtší oproti vlastnímu objemu molekul, tj. ím je tlak plynu nižší • kinetická energie neuspoádaného pohybu molekul oproti potenciální energii pitažlivé interakce mezi molekulami, tj. ím je teplota plynu vyšší

Vnitní energie - vnitní energie termodynamického systému je dána soutem

13

• kinetické energie neuspoádaného pohybu molekul • potenciální energie pitažlivých sil mezi molekulami • dalších druh energie odpovídající pitažlivým silám psobících v rovnovážném systému(nap. pitažlivá interakce mezi atomy v molekulách, pitažlivá interakce mezi nukleony v jáde,…)

Pípad ideálního plynu - zanedbáváme potenciální energii pitažlivých sil mezi molekulami a molekuly považujeme za HBy

vnitní energie je dána pouze kinetickou energií neuspoádaného pohybu molekul, tj. vnitní energie závisí na teplot a jeho množství

- platí: dTnCdU v= dU …elementární zmna vnitní energie n …poet kilomol

vC …tzv. kilomolové teplo plynu První termodynamická vta - vyjaduje ZZE - platí: AdUQ δδ += Qδ …elementární teplo dodané do systému

dU …elementární zmna vnitní energie Aδ …elementární práce, kterou plyn vykoná

- pozn.: (odlišné oznaení diferenciálu) - AQ δδ a - užíváme δ abychom naznaili, že dodané teplo a vykonaná práce závisí na zpsobu zmny stavu plynu - dU - užíváme d abychom naznaili, že vnitní energie je stavovou veliinou jejíž zmna závisí na zpsobu zmny stavu plynu

- po dosazení: pdVdUQ +=δ - platí pro libovolný systém - v pípad ideálního plynu: pdVdTnCQ v +=δ Nkteré vratné dje ideálního plynu z hlediska 1. termodynamické vty - všechny termodynamické dje probíhající v pírod jsou nevratné takové dje nejsou spojitou

posloupností rovnovážných stav nelze použít stavové rovnice, tj. popis takových stav je velmi komplikovaný

- v mnoha reálných situacích je výhodné uvažovat tzv. vratné procesy (probíhají v obou smrech) takový dj je posloupností rovnovážných stav, tj. pi jeho popisu lze využít stavovou rovnici popis je pomrn jednoduchý (získané výsledky asto velmi dobe odpovídají skutenosti)

- platí: - reálné dje jsou tím bližší vratným djm ím pomaleji probíhají (viz relaxaní doba) - budeme pedpokládat: 1=n , tj. uvažujeme 1 kmol ideálního plynu, který koná vratný dj

(i) Izochorický dj - platí: 00. ==== pdVAdVkonstV δ , tj. plyn nekoná práci - platí: dTCdUQ v==δ , tj. veškeré dodané se spotebuje na vzrst vnitní energie, který se projeví

vzrstem teploty - po integraci: ( )1212 TTCQ v −= 12Q …celkové teplo pi pechodu plynu ze stavu 1

do stavu 2, tj. 1212 0 TTQ >> , tj. teplota vyrostla (ii) Izotermický dj

- platí: 0. === dTCdUkonstT v , tj. nedochází ke zmn vnitní energie plynu - dostáváme pdVAQ == δδ , tj. veškeré dodávané teplo se potebuje na práci, kterou plyn vykoná

- po integraci: ==2

1

1212

V

V

pdVAQ 12Q …celkové dodané teplo pi zmn stavu 1→2

- po dosazení: 0ln1

21212

2

1

>=== VV

RTVdV

RTAQV

V

(iii) Izobarický dj - platí: .konstp =

14

- platí: pdVdTCQ v +=δ , tj. dodané teplo se spotebuje na nárst vnitní energie a práci, kterou plyn vykoná

- po integraci: ( ) ( )121212 VVpTTCQ v −+−= 12Q …celkové teplo dodané do systému Mayerv vztah - platí: dTCQ p=δ pC …kilomolové teplo pi stálém tlaku

Qδ …elementární teplo dodané do systému pi stálém - po dosazení: pdVdTCdTC vp +=

- pozn.: pC …libovolné teplo pi stálém tlaku

vC …libovolné teplo pi stálém objemu - platí: RdTpdVRTpV == - po dosazení: RdTdTCdTC vp +=

RCC vp += - Mayerv vztah

(iv) Adiabatický dj - platí: 0=Qδ , tj. dj probíhá v soustav zcela tepeln izolované od okolí - po dosazení: dUAAdV −=+= δδ0 , tj. plyn koná práci na úkor své vnitní energie - po integraci: ( ) ( )211212 TTCTTCA vv −=−−= , pokud 12A je 0> , potom 21 TT > , tj. došlo ke snížení

teploty plynu 12A …celková práce vykonaná plynem pi pech. z 1 do 2 Rovnice adiabaty - platí: pdVdTCv +=0 - platí: RdTVdppdVRTpV =+= - po dosazení:

1 ,0

0

/0

>=+=

+

+=

++=

v

p

v

C

v

v

C

C

pdp

VdV

pdp

CVdV

RC

pVR

pdVR

VdppdVC

p

κκ

( )κpVconst ln. =

.konstpV =κ κ …Poissonova konstanta Druhá termodynamická vta - podle 1. termodynamické vty se mohou uskutenit pouze takové dje pi nichž se zachovává energie - naproti skutenosti: - ne všechny dje splující tuto podmínku se mohou realizovat - píklad: - kinetická energie stely se pi dopadu na mkkou pekážku pemní na teplo – nikdo nikdy

nevidl obrácený dj - 2. termodynamická vta se zabývá takovými procesy, které splují 1. termodynamickou vtu, ale v daném

systému tles se nemohou realizovat. Zejména eší otázku do jaké míry lze pemnit teplo na práci - Planck (1930): není možno sestrojit periodicky pracující tepelný stroj, který by nezpsoboval nic jiného,

než že by ochlazoval tepelnou láze a konal práci Carnotv cyklus - pedpokládáme existenci tepelného stroje s pracovním prostorem s pístem v nmž se nachází 1 kmol

ideálního plynu, který koná vratné procesy - plyn koná následující kruhový dj:

I. Izotermické expanze pi teplot [ ] [ ]1221111 ,,,, : TVpTVpT → − plyn odebírá teplo a koná práci pi expanzi ( )12 VV >

15

− platí: 0ln1

211212 >==

VV

RTAQ , piemž 1

22

1

11

TVp

TVp

=

II. Adiabatická expanze [ ] [ ]233122 ,,,, : TVpTVp → − plyn je zcela tepeln izolován, koná práci na úkor své vnitní energie jeho teplota klesá, tj.

21 TT >

− platí: ( ) κκ33222123

23

piemž ,0

0

VpVpTTCA

Q

v =>−=

=

III. Izotermická komprese pi teplot [ ] [ ]2442332 ,,,,: TVpTVpT →

− plyn je stlaován 34 VV < , uvolnné teplo je pedáváno chladii

− platí: 2

44

2

33

3

423434 piemž ,0ln

TVp

TVp

VV

RTAQ =<==

IV. Adiabatická komprese: [ ] [ ]111244 ,,,, TVpTVp → − plyn je stlaován a zárove zcela tepeln izolován, plyn spotebovává práci jeho teplota

vzrstá ( )12 TT <

− platí: ( ) κκ11441241

41

piemž ,0

0

VpVpTTCA

Q

v =<−=

=

- pozn.: - reálný dj, který je nevratný, obsahuje prvky vratného izotermického a vratného adiabatického

dje kruhový dj s 1 ohívaem a 1 chladiem považujeme za kombinaci 2 izotermických a 2 adiabatických dj

Úinnost Carnotova cyklu

- platí:QA=η …charakterizuje míru pemny dodaného tepla na práci

A…celková práce vykonaná pi kruhovém dji Q…teplo dodané do systému

- platí: 41342312 AAAAA +++=

- po dosazení: ( ) ( )123

4221

1

21 lnln TTC

VV

RTTTCVV

RTA vv −++−+=

- po vynásobení levých stran dostáváme: ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )

2

1

3

4

131

142

1144332244332211

VV

VV

VVVV

VpVpVpVpVpVpVpVp

=

=

=−− κκ

κκκκ

- po dosazení: ( )1

221

1

22

1

21 lnlnln

VV

TTRVV

RTVV

RTA −=−=

- platí: 1

2112 ln

VV

RTQQ ==

16

- po dosazení: ( )

1

2

1

21

1

21

1

221

1ln

ln

TT

TTT

VV

RT

VV

TTR−=

−=

−=η

ohívae teplota...

chladie ...teplota

1

2

T

T

- pozn.: • podle 3. termodynamické vty T>0 η<1, tj.všechno dodané teplo nelze pevést na práci (soulad s 2. tv) • úinnost η vzrstá, když 1T roste

Carnotova vta - úinnost všech Carnotových cykl, které jsou uskuteovány mezi týmiž teplotami je stejná, tj. nezávisí

na pracovním médiu - libovolný nevratný cyklus má úinnost nižší (vždy) než vratný Carnotv cyklus uskuteovaný mezi

týmiž teplotami Matematické vyjádení 2. termodynamické vty pro vratný cyklus - platí: (viz C-cyklus)

1

21

TTT −

=η

- obecn: QA=η

- po dosazení: 12

3412

12

41342312

QQQ

QAAAA +

=+++

=η

- zavedeme oznaení:

)kompresi( éizotermick pi ávané)(spotebov dodávané teplo

)( expanzi éizotermick pi dodávané teplo

2234

1112

TQQ

TQQ

−≡−≡

- po dosazení: 1

21

1

21

TTT

QQQ −

=+

- po úprav: 1

2

1

2 11TT

QQ

−=+

02

2

1

1 =+TQ

TQ

- tento vztah platí pro libovolný vratný kruhový dj s1 ohívaem a 1 chladiem.

Zobecnní - uvedená variace platí i v pípad obecnjších vratných kruhových dj

(i) – pokud je teplo pijímáno vícekrát

platí: 0=i i

i

TQ

iQ …teplo pijaté soustavou pi teplot iT

(ii) – pokud se teplo bhem kruhového dje spojit mní platí(viz analogie s výrazem v pí.(i))

platí: = 0TQδ

- matematické vyjádení 2. term. Vty pro vratný dj

Qδ …elementární teplo pijímané systémem pi teplot T Interpretace výsledku - pi vratném kruhovém dji, kde je teplo pemována na práci nemohou být všechna elementární tepla δQ

kladná, tj. ást dodaného tepla se musí odevzdat (nkterá tepla musí být záporná) všechno dodané teplo pi kruhovém dji nelze pemnit na práci

Matematické vyjádení 2. termodynamické vty pro cyklus s nevratným djem - platí: (viz C-vta pro nevratný dj)

17

1

21

1

21

TTT

QQQ −

<+

→ úinnost Carnotova cyklu, který je vratný

úinnost kruhového dje (i nevratného), který pijímá teplo 1Q pi 1T a teplo 2Q pi teplot 2T

1

2

1

2 11TT

QQ

−<+

02

2

1

1 <+TQ

TQ

, platí v pípad, že teplo j pijímáno 2x bhem kruhového dje

- zobecnní:

• pokud je teplo pijímáno vícekrát 0<i i

i

TQ

• pokud je teplo pijímáno pi spojit se mnící teplot 0< TQδ

, matematické vyjádení 2.term. vty pro

nevratný dj - interpretace: - aby bylo dosaženo v pípad nevratného kruhového dje téže výchozí teploty 1T jako

v pípad kruhového dje vratného je teba dodat více tepla na práci je možné pemnit mén dodaného tepla, tj. úinnost nevratného cyklu je nižší

- Qδ - elementární teplo pijímané soustavou pi teplot T Entropie

- platí: TQ

dSδ= dS …elementární zmna entropie soustavy

Qδ …elementární teplo dodávané soustav vratn - pozn.: entropie je stavovou veliinou (viz oznaení diferenciálu), tj. její zmna nezávisí na integraní cest

(na zpsobu zmny stavu plynu)

0

1

01 S

TQ

S += δ

0S …entropie referenního stavu

1S …entropie systému ve stavu 1 (dána pokud známe entropii referenního bodu) Míra nevratnosti obecného dje - pedpokládáme existenci nevratného dje A→B

- pro cyklus s nevratným djem platí: < 0TQδ

- po úprav: <+B

A

A

B TQ

TQ

cesta) (nevratná cesta) vratná(

0δδ

0nevr.)(

<−+ BA

B

A

SSTQδ

−<B

(nevr.)ABA SS

TQδ

- míra nevratnosti obecného dje je rozdíl mezi výrazem na pravé a levé stran

Nevratný proces v izolované soustav - izolovaná soustava: 0=Qδ

- platí:

BABAA

SSSSTQ <−<= tj.,0

výševizB

(nevr.)

δ, entropie v koneném stavu je vtší

- výsledek: - pi nevratném procesu v izolované soustav její entropie narstá; podle 1. postulátu termodynamiky takový systém pechází do termodynamické rovnováhy v termodynamické rovnováze odpovídá maximální entropie systému

18

Termodynamické potenciály (i) Vnitní energie U

- po dosazení za TdSQ =δ : pdVdUTdS +=

( ) VSVSUUpdVTdSdU a kde ,, tj., =−= jsou tzv. pirozené promnné vnitní energie U

- platí: dVVU

dSSU

dU SV )()(∂∂+

∂∂= pi konstantním V a S

- pozn.: - na základ analogie s výrazem

.potgradUF −=

íkáme, že U je termodynamickým potenciálem s pirozenými promnnými S a V

(ii) Entalpie H - pedpokládáme, že p=konst.

- platí:

( ) dHpVUdVdppdVdUQH

=+=++= oznaení0

δ ,tj. Qδ …teplo dodané do systému izobaricky H…tepelný obsah soustavy (entalpie)

teplo dodané do systému izobaricky se pemní na entalpii systému - pozn.: - entalpie je významnou veliinou pi studiu tepelné bilance chemických reakcí probíhajících pi

chemických reakcích pi konstantním tlaku

- platí: VdpTdSVdppdVdUdHTdS

+=++=

, tj. ( )pSHH ,=

- porovnáním dostáváme: Sp pH

VSH

T )( a )(∂∂=

∂∂=

- pozn.: - analogie mezi U a H - platí: QdU δ= pro .konstV =

QdH δ= pro .konstp =

- potom: Vv TU

C )(∂∂=

pp TH

C )(∂∂=

(iii) Volná energie F - volná energie je mimoádn významný termodynamický potenciál, protože dovoluje propojit statistickou

fyziku s termodynamickou, pi popisu téhož makroskopického systému - pomocí statistické fyziky vypoítáme volnou energii systému, její derivace pak urují významné stavové

veliiny - pedpokládáme, že .konstT =

- platí:

( ) dFTSUdSdTTdSdUQdUAF

=−=−−=−=− oznaení0

δδ , tj. práce pedaná systému pi izotermickém dji se pemní na volnou energii

- platí: TSUF −= ( )TVFFSdTpdVSdTTdSdUdF , tj., =−−=−−=

- porovnáním: VT TF

SVF

p )( a )(∂∂−=

∂∂−=

Gibbsova-Helmhotzova rovnice

- platí: V

V TF

TT

TF

TFTSFU

∂∂−=

∂∂−=+= 2)(

- pozn.: - tato rovnice je vhodná pro stanovení stední energie ástic systému UE = , nebo ( )TFF = dokážeme stanovit pomocí statistické fyziky

19

- pozn.: - analogie mezi U a F

- platí: dje pomalé pro tj.,. pro

dje rychlé pro tj.., pro konstTpdVdF

konstSpdVdU

=−==−=

(iv) Gibbsv potenciál - velmi významná veliina pi popisu chemických reakcí probíhající pi konstantní teplot a tlaku - žádáme, aby ( )pTGG ,= , tj. nahradíme objem V ve fci ( )VTFF ,=

- platí: ( ) VdppdVpVd

SdTpdVdF

+=−−=

- po dosazení: ( ) SdTpVdVdpdF −−=

- po úprav: ( ) SdTVdppVFdG

−=+ oznaení

SdTVdpdG −= , tj. ( )TpGG ,=

- porovnáním: pT TG

SpG

V )( a )(∂∂−=

∂∂=

Maxwellv tverec(pomocné schéma Váš TrapaS)

V F T U(E) G S H p • potenciály a jejich pirozené promnné:

( )( )( )( )SpHH

pTGG

TVFF

VSUU

,,,,

====

• vyjádení diferenciál: - jdeme-li po diagonále od pirozené promnné proti šipce píšeme -

TdSVdpdH

VdpSdTdG

SdTpdVdF

pdVTdSdU

+=+−=−−=

−=

Tetí termodynamická vta - Nernst: - zobecnil experimentální výsledky získané pi studiu látek pi velmi nízkých teplotách - platí: - pro libovolný vratný dj probíhající pi teplot T→ 0 je zmna entalpie ∆S nulová, tj. 0lim

0=∆

→S

T,

kde 12 SSS −=∆ , 21 a SS jsou entropie 2 stav stabilní rovnováhy systému, entropie je stavová veliina - Planckv dodatek: - nejen zmna entropie, ale její absolutní hodnota je nulová pi

T→ 0 K, 0lim0

=→

ST

- pozn.: - Planckv dodatek odstrauje neuritost pi stanovení absolutní hodnoty entropie systému nebo uruje aditivní konstantu S0

- platí: 000 →= TS

20

- experimenty prokázaly, že pi teplotách T→ 0 pestávají vlastnosti látek záviset na T

0lim

0lim

0lim

0

0

0

=

=

=

→

→

→

ρT

pT

vT

C

C

, tj. zmnou vnjších parametr nelze látce odebrat teplo(viz. Adiabatická expanze → ochlazení látky) látku nelze ochladit na 0=T K (viz dTdU 0= , tj. nelze odebrat teplo)

Jiné vyjádení 3. termodynamické vty - istou pevnou látku nelze koneným potem pochod ochladit na teplotu 0=T K

Kmity - kmitavý pohyb vykazuje jistý stupe periodinosti v ase - mechanické kmity – mosty, turbíny, stroje - elektromagnetické kmity – penos informací Lineární harmonický oscilátor - kmity harmonického oscilátoru jsou popsány harmonickými fcemi, vždy když výchylka z rovnovážné

polohy uruje psobící sílu vztahem nrF ≈

, r…výchylka oscilátoru z rovnovážné polohy, n∈N

- lineární je když platí: 1rF ≈

Netlumený lineární harmonický oscilátor - platí: rkF

−= k …tuhost pružiny, jejíž hmotnost zanedbáváme

F

…síla psobící na HB r

…výchylka HB z rovnovážné polohy

- pohybová rovnice: rkdt

rdm

−=2

2

- 1D: (1 dimenze) – uvažujeme kmity pouze ve smru osy x

02

2

2

2

=+

−=

xmk

dtxd

kxdt

xdm

- substituce: .2 konstmk ==ω (její fyzikální význam bude zejmý pozdji)

ωλωλ

i±==+

2,1

22 0

- ešení diferenciální rovnice má tvar: ( ) titi ecectx ωω −+= 21 21 ,cc …lib. ∈ C

obecné ešení dif. rovnice (mže být i komplexní) ( ) tbtatx ωω sincos += a,b…reálné konstanty ešení v oboru reálných ísel ( ) ( )αω += tAtx sin A …amplituda výchylka z rovnovážné polohy ω …kruhová frekvence kmit α …fázový posun (výchylka v t = 0

- doba 1 kmitu: km

T πωπ

22 ==

- celková energie: 22

21

21

krmvE +=

21

- 1D: 22

21

21

kxmvE x +=

- po dosazení: ( ) ( ) .121

sin21

cos21

21

21 2222222

2

konstkAtkAtmAkxdtdx

mE =⋅=+++=+

= αωαωω , tj.

v pípad netlumeného kmitání harmonického oscilátoru se zachovává celková mechanická energie (jde o konzervativní silové pole)

Tlumený lineární harmonický oscilátor - v pípad reálných kmitavých soustav (objekt) dochází vždy k tlumení oscilací

- platí:

síla brzdná vazbyharmonické síla

dtrd

krkF b−−= pedpokládáme, že její velikost je úmrná

velikosti rychlosti (velmi dobe pltí pro malé rychlosti) bk …konstanta, která charakterizuje tu sílu Pohybová rovnice

- dtrd

krkdt

rdm b

−−=2

2

- 1D:

0

20

2

2

2

=++ xmk

dtdx

mk

dtxd

b

b

ω

- pozn.: b…charakterizuje velikost budivé síly 0ω …tzv. vlastní kruhová frekvence oscilátoru

- charakteristická rovnice: 20

22,1

20

2 02

ωλ

ωλλ

−±−=

=++

bb

b

- platí: - pohyb tlumeného lineárního harmonického oscilátoru, závisí na vzájemném vztahu mezi velikostmi konstanty b a 0ω (i) 0ω<b , tj. tlumení je slabé

- platí: 2202,1

20

2 kde , tj.,0 bibb −=+−=<− ωωωλω

- ešení má tvar: ( ) ( )

( ) ( )[ ] Ccctccitcce

tictctictceecectxbt

bttibttibt

∈−++=

=−++=+=−

−−−+−

212121

221121

, kde ,sincos

sincossincos

ωωωωωωωω

- zvolíme: ( )

( ) tetxi

cc

tetxcc

bt

bt

ω

ω

sin:potom ,2

cos :potom ,21

221

121

−

−

=−==

===

- ešení lze psát jako: ( ) ( )tbtaetx bt ωω sincos += − , kde a, b∈R - ešení má tvar reálného ísla

- položíme: α

αcos

sin

2

1

Ac

Ac

==

( ) ( )αω += − tAetx bt sin - jde o tlumený harmonický pohyb s frekvencí

022

0 ωωω <−= b , tj. tlumení zpsobuje zpomalení kmit

amplituda kmit s asem klesá (rychlost útlumu je dána koeficientem b) (ii) 0ω>b , tj. tlumení je silné

- platí: bbbb <−=±−=>− 20

22,1

20

2 kde , tj.,0 ωωωλω

22

- ešení má tvar: ( ) ( )ttbttbttbt eCeCeeCeCtx ωωωω −+−−−+− +=+= 2121 , jde o tzv. aperiodický pohyb (x(t)→ 0 s asem, nebo

b>ω) (iii) 0ω=b

- platí: b−=2,1λ

- ešení má tvar: ( ) ( ) btetCCtx −+= 21 - jde o mezní aperiodický pohyb (x(t)→ 0 s asem) - pozn.: tohoto nastavení systému se používá u ruikových mících pístroj, kde žádáme rychlé získání

namené hodnoty bez kmit Nucené kmity - v každém reálném kmitajícím systému dochází v dsledku tlumení k úbytku celkové mechanické energie,

tj. kmity za uritou dobu vymizí. Abychom je udrželi je nutno dodávat energii z vnjšku – nejjednodušší pípad(prací síly, která se harmonicky mní)

- v 1D: tFFx Ω= sin0 Ω…kruhová frekvence buzených kmit - pohybová rovnice v 1D: brzdná síla

tFdtdx

kkxdt

xdm b Ω+−−= sin02

2

- budící síla

- po úprav:

tmF

xmk

dtdx

mk

dtxd

b

b Ω=+⋅+ sin0

2

2

2

20ω

- obecné ešení má tvar: ( ) ( ) ( )txtxtx ph +=

- platí: ( ) ( )νν α+Ω= tAtx p sin - hledáme ve tvaru fce, která má formáln stejný tvar jako fce na pravé stran (

konst. Aν a αν nalezneme po dosazení o úplné nehomogenní rovnice – výchozí rovnice) - pedpokládejme, že b<ω0, tj. tlumení je slabé - dostáváme:

( ) ( ) ( )νν ααω +Ω++=→∞→

− tAtAetxt

bt sinsin0 výraz,

- platí: ( ) ( )νν α+Ω= tAtx sin - jde o harmonické kmity (jsou netlumené) vyvolané vnjším zdrojem - po dosazení tohoto tvaru ešení do výchozí rovnice s pravou stranou dostáváme podmínku pro Aν a αν (Aν

…amplituda vynucených kmit a αν…fázový posun vynucených kmit) - platí:

( ) 222220

0

4 Ω+Ω−=

b

mF

Aω

ν

- diskuse: - Aν je tím vtší, ím je: • Amplituda budící síly F0 vtší a hmotnost m menší • Koeficient útlumu b menší • Rozdíl vlastní kruhové frekvence ω0 a kruhové frekvence síly Ω menší

Amplitudová rezonance - Aν je maximální ⇔ jmenovatel je minimální, tj. nabývá extrémní hodnoty

- musí platit: ( )[ ] 04 22220 =Ω+Ω−

Ωb

dd ω

- dostáváme:

( )( )( )

frekvence rezonanní...2

vypnutzdroj vnjší...0

02

0822

220

220

2

2220

b

b

b

r −=Ω

=Ω=+−ΩΩ

=Ω+Ω−Ω−

ω

ωω

23

- platí: • 0nebo ,0 ≠<Ω br ω • pokud b→ 0, potom ∞→νA pro 0ω→Ω r

Rezonanní kivka - pozn.: • amplitudová rezonance jako nežádoucí jev

• destrukce most – dojde k pekroení meze pevnosti materiálu, když se kruhová frekvence vnjších sil piblíží rezonanní frekvenci daného systému • rezonance jako žádoucí jev – naladní vstupního obvodu pijímae na požadovanou délku

Skládání kmit - výsledná výchylka je dána vektorovým soutem dílích kmitavých pohyb - obecný pípad: - kmity mají rzný smr v prostoru, odlišnou amplitudu, kruhovou frekvenci a rzný

fázový posun - píklad stejnosmrných kmit: - uvažujeme 2 harmonické kmitavé pohyby o stejné amplitud ( 00201 xxx ≡= ), stejný fázový posun

( ααα ≡= 21 ) a odlišné kruhové frekvence 21 ωω ≠ - platí: ( ) ( ) ( ) výchylkavýsledná...21 txtxtx += - po dosazení: ( ) ( ) ( )[ ]αωαω +++= ttxtx 210 sinsin

- po úprav: ( )

++

−= αωωωω

ttxtx2

sin2

cos2 21210

- platí: • pokud 21 ωω ≠ , dostáváme komplikovaný složitý pohyb (hodn rzné frekvence)

• pokud 21 ωω ≈ , potom 2

02

2121 ωωωω +<<≈

−, tj. na výsledný pohyb se díváme jako na

harmonický pohyb s kruhovou frekvencí 2

21 ωω +s promnou amplitudou

−tx

2cos2 21

0

ωω

- praktická aplikace: - amplitudová modulace - princip: - promnná amplituda nosných vysokofrekvenních kmit slouží k penosu nízkofrekvenních

signál (e, hudba) - bezdrátový penos: - úinné antény pouze pro vysoké frekvence - kabelový penos: - Realizace

- dojde k setení 2 signál (smšova): 212

1

kde , ωωωωωωωω

≈−=

+=

nfvf

nfvf

- promnná amplituda závisí na frekvenci: nfωωω=

−2

21

- nový signál má frekvenci: vfωωω=

+2

21

Soustava vázaných oscilátor - mechanický model jednorozmrného krystalu - význam pi zavedení pedstavy vlnní spojitého prostedí (kontinua) Lineární etzec oscilátor - pedpokládáme existenci N totožných lineárních oscilátor umístných v pímce

a…vzdálenost rovnovážných poloh

24

Pohybová rovnice

- platí: nnnnn FFFdt

xdm ,1,12

2

+− +== nx …výchylka n-tého oscilátoru

nF …celková síla psobící na n-tý oscilátor

nnF ,1− …síla, kterou psobí (n-1)-tý na n-tý

nnF ,1+ …síla, kterou psobí (n+1)-tý na n-tý

*…(n-1)-tý oscilátor táhne n-tý oscilátor do jeho rovnovážné polohy **…(n+1)-tý oscilátor tlaí n-tý oscilátor do jeho rovnovážné polohy

- platí: ( )( )1,1

1,1

++

−−

−−=−−=

nnnn

nnnn

xxkF

xxkF

- po dosazení:

( )[ ]112

2

2 +− +−−= nnnn xxxk

dtxd

m , kde n = 1,2,…,N

- dostáváme soustavu N diferenciálních rovnic, v soustav vystupuje N+2 neznámých ( 110 ,,...,, +NN xxxx ) – je nutno formulovat okrajovou podmínku

- ešení hledáme ve tvaru: ( ) ( )qnati

n Aetx −−= ω A…amplituda ω…kruhová frekvence kmit n⋅a…vzdálenost n-tého oscilátoru od poátku q….konstanta - pozn.: • ešení pro výchylku ( )txn závisí nejen na ase, ale i na poloze oscilátoru

v etzci • stanovení konstant: A – stanovíme z poáteních podmínek, ω,q…nejdíve stanovíme vzájemný vztah mezi nimi a potom využijeme vhodn stanovenou podmínku

- platí:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )iqaiqa

x

qnatinn

nqnatin

qnatin

eeAexx

xAedt

xd

iAedt

dx

n

−+−+−

−

−

+=+

−=−=

=

ω

ω

ω

ωω

ω

11

222

2

- po dosazení:

( )[ ] ( )( )

2sin4

222

2

2

22

2

qak

i

ee

keekeexxkxm

iqaiqa

iqaiqaiqaiqannn

−=

=

−

+=+−+=+−−=−

−+

−−+ω

vsuvka: iee

zzizeiziz

iz

2sinsincos

−−=+=

- dostáváme:

25

2sin2

21

qamk

=ω ω…možná hodnota kruhové frekvence, které se šíí

etzcem (ω >0 viz absolutní hodnota) - tzv. disperzní relace, spojuje ω a q - grafické zobrazení: - platí:

• Fce ( )ϕωω = je periodickou fcí q, tj. jedné hodnot kruhové frekvence odpovídá nekonen mnoho hodnot q, které nevedou k jinému výsledku pro ( )txx nn =

• omezíme se na interval ( )π,02

∈qa

- platí:

nzn

nzqna

z

zqa22

2

2 −=

−=

ππ

- po dosazení: ( ) ( )

1

22 ninzwtin eAetx π−+ ⋅= ( )txn …toto ešení popisuje šíení kmit etzcem

obráceným smrem než pi zqa =2

, tj. je o jiný

kmitavý stav etzce Vlny - ve vzájemné vázané soustav hmotných bod dochází v dsledku vazby k šíení rozruch – hovoíme o

tzv. postupné vln - pechod od matematického popisu kmit etzce oscilátor (pro každý oscilátor máme fci

( )txn )k matematickému popisu šíení rozruchu (vlny) spojitým prostedím ( v každém míst kontinua máme v každém ase výchylku ( )txu , ;

- provedeme limitní pechod : (zavedením kontinua): xna

a

N=

→→

00

lim charakteristika polohy v kmitajícím kontinuu

- na základ analogie lze napsat: ( ) ( )qxtieutxu −= ω

0, …vlnová fce, popisující šíení vlnní kontinuem ( v daném pípad jde o šíení rozruchu jednorozmrným kontinuem ve smru osy +x)

Fyzikální interpretace - fyzikální význam má pouze Re nebo Im složka fce - platí:

( ) ( )qxtutxu −= ωcos,Re 0 1. pro 0xx = , tj. zvolíme si bod na ose x, dostáváme:

( )

−=

−=

poátku z signál dorazíkterou za doba,-

00

bod hylky vprbh výc asový

posun fázový

000

0

0

coscos,Re

tx

qxtuqxtutxu

ωωω

- (jde o harmonické kmity: p. moské vlny na tle lovka, který stojí) - pozn.: • T – doba jedné periody

- platí: Tπω 2= …kruhová frekvence

26

2. pro 0tt = , tj. zvolíme libovolný as - platí:

( ) ( )

−=−=

0

00

ase daném prostoru v místech vrzných v výchylky vyjadujefce

000 coscos.Re

x

qt

xquqxtutxuωω

0x …vzdálenost, do které se rozruch posune z poátku za as 0t - pozn.: • platí analogie mezi asovou a prostorovou ástí argumentu vlnové fce

λω

↔↔

↔

T

q

xt

vlnová délka, charakterizuje periodicitu fce v prostoru

doba 1 periody charakterizuje periodicitu v ase - na základ analogie q↔ω , lze napsat:

kq ≡=λπ2

(ztotožnní) - velikost vlnového vektoru

- platí: nkk

= k

…vlnový vektor n

…jednotkový vektor ve smru šíení vlnní, má smr šíení vlnní

kolmým na vlnoplochu - pozn.: • vzájemný vztah mezi asovou a prostorovou ástí argumentu vlnové fce,

ννλ v

vvt === 1- frekvence (ný)

- lze napsat: ( ) ( )kxtieutxu −= ω0,

- zobecnní: - argument vlnové fce ( )txu , má tvar:

−=

−=

−=−vx

tv

xt

kxtkxt ω

λπλ

πωω

ωω2

2

0tvx = …doba, za kterou se dostane rozruch z poátku do daného místa

- dostáváme: ( )

=vx

tftxu , …vlnová fce, která popisuje šíení rozruchu ve smru osy x

Vlny v prostoru 1. rovinná vlna:

- vlnoplocha – množina bod v prostoru do kterých se rozruch dostane v daném ase - pro vlnovou fci platí:

( ) ( )rktftru −= ω, r

…polohový vektor bodu na vlnoploše

- po úprav:

( )

−≡

⋅−=

−=

vrn

tgvrn

tfrk

tftru

λπλ

πωω

ω2

2,

- platí: drrn =⋅=⋅ αcos1

- vzdálenost mezi vlnoplochami a vlnoplochou jdoucí poátkem

2. kulová vlna:

( )

−=vR

tfR

tRu1

, R…vzdálenost vlnoplochy od zdroje