1

Kristýna Ulrychová, 7.A, 2010/11

23. VEKTOROVÁ ALGEBRA

TEORIE: vektor

a) nenulový vektor = množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou nenulovou velikost a stejný směr

b) nulový vektor = množina všech orientovaných úseček nulové délky; zn. o; o = (0;0)

umístění vektoru u = (u1; u2) = AB A[a1; a2] ... počáteční bod vektoru

u1 = b1 – a1 B[b1; b2] ... koncový bod vektoru

u2 = b2 – a2

sčítání vektorů u = (u1; u2) v = (v1; v2) u + v = (u1+ v1; u2+ v2 )

násobení vektoru reálným číslem (skalárem) v = ku v = (ku1; ku2)

velikost vektoru

𝒖 = 𝑢12 + 𝑢2

2 pozn.: jestliže 𝒖 = 1, nazývá se vektor jednotkový vektor

skalární součin 2 vektorů u·v = uv = u1v1 + u2v2

pozn.: jestliže u·v = 0, pak jsou na sebe vektory u a v kolmé pozn.: skalárním součinem 2 vektorů vznikne číslo

vektorový součin 2 vektorů w = u × v = (u2v3 - u3v2; u3v1 - u1v3; u1v2 - u2v1) u1 u2 u3 u1 u2 u3

v1 v2 v3 v1 v2 v3 pozn.: vektorovým součinem 2 vektorů vznikne vektor pozn.: vzniklý vektor je kolmý k původním vektorům

odchylka 2 vektorů (velikost úhlu)

cos = |𝒖·𝒗 |

|𝒖|·|𝒗| 𝜖 < 0; 90° >

užitečné vzorce obsah rovnoběžníku SABCD = |u x v| obsah trojúhelníku SABC = SABCD/2=|u x v| : 2 objem rovnoběžnostěnu VABCDEFGH = |(a x b) · c| objem čtyřstěnu VABDE = VABCDEFGH/6 = |(a x b) · c|: 6

- - - . . .

2

PŘÍKLADY: 1) Zadání: Jsou dány body M[1;3], N[0;4], Q[-1;4]. Urči souřadnice těžiště T trojúhelníka MNQ. Vypracování:

M[1;3] N[0;4] Q[-1;4] |m| = 1

|n| = 5 (vidím z obrázku, pomocí Pythagorovy věty) |q| = 2

M‘M = (3

2; -1)

M’M/3 = (1

2; -

1

3)

T[0; 11

3]

2) Zadání: Je dán rovnoběžník ABCD se středem S a vektory u, v tak, že u = AB, v = AD. Vyjádři pomocí

vektorů u, v vektory a = AS, b = BS, c = CS, d = DS. Vypracování:

a = (u + v)/2 b = (v – u)/2

c = (– u – v)/2 = –(u + v)/2 d = (u – v)/2

3) Zadání: Urči vektor v, který je rovnoběžný s vektorem u = (4; -3) a má tu vlastnost, že skalární součin u·v = 50. Vypracování:

uIIv v = k·u u·v = 50

u = (4; -3) v = (k·4; k·( -3)) u1v1 + u2v2 = 50 4v1 – 3v2 = 50 16k + 9k = 50 k = 2 v = (8; -6)

4) Zadání: Urči souřadnice vektoru v, jestliže |v| = 10 a vu, kde u = (4; -3). Vypracování: |v| = 10

v u u·v = 0 u = (4; -3)

𝑣12 + 𝑣2

2 = 10 4𝑣1 − 3𝑣2 = 0 𝑣1

2 + 𝑣22 = 100

𝑣1 = 3𝑣2

4

9𝑣2

2

16+

16𝑣22

16= 100

m

n q

3

25𝑣22 = 1600

𝑣22 = 64

𝑣2 = ±8 𝑣1 = ±6 𝒗 = (6; 8)

5) Zadání: Urči vnitřní úhly ABC, jestliže:

a) A[- 3; 1], B[ 3; 3], C[0; 4] b) A[1; -2; 3], B[3; 0; 5], C[1; 6; -4] Vypracování:

a) A[- 3; 1], B[ 3; 3], C[0; 4]

cos 𝛼 = |(𝑩−𝑨)·(𝑪−𝑨)|

|(𝑩−𝑨)|·|(𝑪−𝑨)|

AB = B – A = (2 3; 2) |(B – A)| = 4

AC = C – A = ( 3; 3)

|(C – A)| = 2 3

cos 𝛼 = |6+6|

4·2 3 =

3

2 3=

3

2

α = 30°

cos𝛽 = 𝑪−𝑩 · 𝑨−𝑩

(𝑪−𝑩) · (𝑨−𝑩)

BC = C – B = (- 3; 1) |(C – B)| = 2

BA = A – B = (-2 3; -2) |(A – B)| = 4

cos𝛽 = 6−2

2·4=

1

2

𝛽 = 60°

cos 𝛾 = |(𝑨−𝑪)·(𝑩−𝑪)|

|(𝑨−𝑪)|·|(𝑩−𝑪)|

CA = A – C = (- 3; -3) |(A – C)| = 2 3

CB = B – C = ( 3; -1) |(B – C)| = 2

cos 𝛾 = |−3+3|

2 3·2= 0

𝛾 = 90°

b) A[1; -2; 3], B[3; 0; 5], C[1; 6; -4]

cos𝛼 = |(𝑩−𝑨)·(𝑪−𝑨)|

|(𝑩−𝑨)|·|(𝑪−𝑨)|

AB = B – A = (2; 2; 2) |(B – A)| = 12 AC = C – A = (0; 8; -7)

|(C – A)| = 113

cos 𝛼 = |0+16−14|

12· 113 =

2

1356=

1

339

α = 86,89°

cos 𝛽 = 𝑪−𝑩 · 𝑨−𝑩

(𝑪−𝑩) · (𝑨−𝑩)

BC = C – B = (-2; 6; -9) |(C – B)| = 11 BA = A – B = (-2; -2; -2)

|(A – B)| = 2 3

cos 𝛽 = 4−12+18

11·2 3=

10

22 3

𝛽 = 74,79°

𝛾 = 180° – α – 𝛽

𝛾 = 18,32°

4

6) Zadání: Vypočti obsah rovnoběžníka ABCD a souřadnice vrcholu D, je-li dáno A[-2; 3; 1], B[0; 1; -3], C[2; 5; -1].

Vypracování: SABCD = |(a x b)|

a = BA = A – B = (-2; 2; 4) b = BC = C – B = (2; 4; 2)

-2 2 4 -2 2 4

2 4 2 2 4 2

a x b = (-12; 12; -12)

SABCD = |(a x b)| = 144 + 144 + 144 = 432 = 12 3 j3 AB = (2; -2; -4) = DC = (2-d1; 5-d2; -1-d3)

2-d1 = 2 d1 = 0

5-d2 = -2 d2 = 7

-1-d3 = -4 d3 = 3 D [0; 7; 3] 7) Zadání: Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, je-li A[2; 1; 0], B[3; 3; 1], D[4; 2; 1],

E[-1; 1; 0]. Vypracování: a = AB = (1; 2; 1) b = AD = (2; 1; 1) c = AE = (-3; 0; 0) VABCDEFGH = |(a x b) · c|

1 2 1 1 2 1

2 1 1 2 1 1

(a x b) = (1; 1; -3) VABCDEFGH = |(a x b) · c| = |-3| = 3 j3 8) Zadání: Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD, je-li A[-2; 1; 4], B[-1; 0; -1], C[-4; -1; 6], D[-2; -2; -5]. Vypracování: a = AB = (1; -1; -5) b = AC = (-2; -2; 2) c = AD = (0; -3; -9) (a x b) = (-12; 8; -4) VABCD = |(a x b) · c|: 6 VABCD = |-24 + 36| : 6 = 2 j3 9) Zadání: Vypočtěte skalární součin vektorů u, v, jejichž umístěním jsou orientované úsečky 0,5AC a

1,5AE v pravidelném šestiúhelníku ABCDEF (volte |AB| = 1). Vypracování: A[0; 0]

B: (1

2)2 + 𝑏1

2 = 12 𝑏1 = 3

2

C[ 3

2;

3

2 ]

E[− 3

2;

3

2]

u = 0,5·AC = 0,5·( 3

2;

3

2 ) = (

3

4;

3

4)

v = 1,5·AE = 1,5·(− 3

2;

3

2) = (−

3 3

4;

9

4)

u·v = −9

16+

27

16 =

18

16 =

9

8

5

10) Zadání: Jsou dány body A[1; 3; -2], B[3; -2; 5], C[0; 1; 7], D[8; 0; 3].

a) Vypočtěte obsah ABC. b) Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu ABECDFGH. c) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD. Vypracování:

a) a = BA = (-2; 5; -7) |a| = 4 + 25 + 49 = 78

b = BC = (-3; 3; 2) |b| = 9 + 9 + 4 = 22

cos 𝛼 = |𝑎·b|

|𝑎|·|𝑏|=

7

78·22 α = 80,27°

sin 𝛼 = 𝑣𝑐

|𝑏| 𝑣𝑐 = 0,9856· 22 = 4,62

𝑆 = 78·4,62

2= 20,42 j2

b) a = AB = (2; -5; 7)

b = AC = (-1; -2; 9) c = AD = (7; -3; 5) a x b = (-31; -25; -9)

2 -5 7 2 -5 7

-1 -2 9 -1 -2 9

VABECDFGH = |-7·31+3·25-9·5| = 187 j3

c) VABCD = VABECDFGH/6 = 187/6 = 31,167 j3