Petr Olsak Linearni Algebra

Petr Olk

Linern algebra

Praha, 2000-2007

E

Text je en voln podle licence ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt. Text ve formtech TEX (csplain), PostScript, dvi, PDF najdete na adrese ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/. Verze textu: 31. 7. 2007

Poznmka ke zmnm v textu. V z 2006 jsem pvodn text rozil o mnoho novch parti, protoe se zmnily osnovy algebry pro prvn ronk otevenm programu STM na na fakult. Veker nov text jsem pipojoval na konce stvajcch kapitol, abych zachoval slovn denic a vt pvodnho textu. Na konec prvn kapitoly o linernch prostorech jsem pipojil text o grupch a tlesech. Na konec druh kapitoly (o obalech a bzch) jsem vloil Steinitzovu vtu o vmn. Na konci kapitoly o maticch pibyly vty o hodnosti souinu matic. Na konec kapitoly o soustavch linernch rovnic jsem pidal nkolik dodatk na postupy een soustav. Na konec kapitoly o linernch zobrazench jsem pipojil denici pojmu vlastn slo a vlastn vektor vetn povdn o zkladnch vlastnostech, jako napklad podobnost s diagonln matic. Na konec textu jsem pipojil zcela novou kapitolu 10 obsahujc vod do kdovn. V ervnu 2007 jsem tento text pouil ve skriptech [18]. Tam je navc ke kad kapitole pipojena rozshl sbrka cvien a je pidna kapitola o polynomech. Tyto vci ve verzi voln en na internetu nejsou. Zdrojov text voln enho textu i skript je spolen (veejn vystaven soubor linal.tex). Peklad textu TEXem se pi zpracovn skript a internetov verze li jen na nkolika mstech (viz pepna \ifbook). Pi tisku skript se pochopiteln odkazuje na dal zdrojov soubory, kter nejsou na internetu zveejnny. Korektury, kter jsem zapracoval pi vydn skript, jsou zaneseny i do tto verze voln enho textu. Zmnil jsem znaen pro linern obal dk matice a dle skldn zobrazen () v nov verzi textu teme zprava doleva. Pi vrob skript vznikl t seznam literatury a rejstk, co jsou vci, kter jsem nov zaadil i do internetov verze textu.

Copyright c RNDr. Petr Olk, 2000, 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007

ObsahGaussova eliminan metoda . . . . . . vodn pklad . . . . . . . . . Dal pklad . . . . . . . . . . Popis metody . . . . . . . . . . Diskuse po peveden matice . . . Pklad, kdy soustava nem een 1. Linern prostor, grupa, tleso . . . Denice . . . . . . . . . . . Vta . . . . . . . . . . . . . Dkaz . . . . . . . . . . . . Denice linernho prostoru . . Prostor R2 . . . . . . . . . . Prostor Rn . . . . . . . . . . Prostor funkc . . . . . . . . Prostor polynom . . . . . . . Linern podprostor . . . . . . Prnik prostor . . . . . . . . Prostor orientovanch seek . Triviln prostor . . . . . . . Grupa . . . . . . . . . . . . Pologrupa, grupoid . . . . . . Podgrupa . . . . . . . . . . Tleso . . . . . . . . . . . . Galoisovo tleso se dvma prvky GF(p), Zp . . . . . . . . . . Linern prostor nad tlesem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 4 4 5 5 5 5 6 7 8 8 9 9 10 10 11 12 14 14 14 14 15 16 18 18 18 18 19 21 22 23 23 24 24 25 25 26 26 26 27 28 29 29 29 30 30 30 31 32 32

2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, Linern kombinace . . . . . . . . . . . . Triviln linern kombinace . . . . . . . . Linern zvislost skupiny . . . . . . . . . Linern nezvislost skupiny . . . . . . . . Zkladn vlastnosti linern (ne)zvislosti . . Jeden vektor je linern kombinac ostatnch Zvislost orientovanch seek . . . . . . . Linern (ne)zvislost nekonench mnoin . Linern obal . . . . . . . . . . . . . . . Prvek linernho obalu . . . . . . . . . . Vlastnosti linernho obalu . . . . . . . . Linern obal je podprostor . . . . . . . . Rozen LN mnoiny . . . . . . . . . . . Charakteristika LN mnoiny . . . . . . . . Bze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Existenece a jednoznanost bze . . . . . . Bze jsou stejn velk . . . . . . . . . . . Dimenze prostoru . . . . . . . . . . . . . Dimenze podprostoru . . . . . . . . . . . Poet prvk v LN mnoin . . . . . . . . 3. Matice . . . . . . . . . . . . . . . Denice matice . . . . . . . . . Linern prostor matic . . . . . . Symetrie relace . . . . . . . Gaussova eliminace zachovv obal Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trojhelnkov matice . . . . . Numericky nestabiln matice . . Transponovan matice . . . . Nsoben matic . . . . . . . . Komutujc matice . . . . . . Matice vektor . . . . . . . . Jednotkov matice . . . . . . Inverzn matice . . . . . . . . Regulrn, singulrn matice . . Vpoet inverzn matice eliminac Hodnost souinu matic . . . . 4. Determinant . . . . . . . . . . Permutace . . . . . . . . . Znamnko permutace . . . . Denice determinantu . . . . Zkladn vlastnosti . . . . . Metoda potn determinantu Rozvoj determinantu . . . . Souin determinant . . . . Existence inverzn matice . . 5. Soustavy linernch rovnic . . . . Frobeniova vta . . . . . . . Princip eliminan metody . . een homogenn soustavy . een nehomogenn soustavy Strojov een soustav . . . Nejednoznanost zpisu een Soustavy se tvercovou matic Dodatky k een soustav . . Soustava linernch soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 33 33 34 36 37 37 38 38 38 40 41 41 42 43 45 46 47 49 49 51 51 52 52 53 54 55 56 58 59 60 60 60 62 62 63 64 65 65 67 67 67 67 67 67 68 68 69 70 70 71 72 72 73

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Vce o linernch prostorech konen dimenze Spojen prostor . . . . . . . . . . . Dimenze prniku a spojen . . . . . . Souadnice vektoru . . . . . . . . . . Existence a jednoznanost souadnic . . Matice pechodu . . . . . . . . . . . Souadnice vektoru a matice pechodu . Pechod od bze (B) pes (C) k (D) . . Sestaven matic pechodu . . . . . . . 7. Linern zobrazen . . . . . . . . . . . Denice zobrazen . . . . . . . . . . Zobrazen na . . . . . . . . . . . Prost zobrazen . . . . . . . . . . Denice linernho zobrazen . . . . . Princip superpozice . . . . . . . . . Zachovn obal . . . . . . . . . . Jdro zobrazen . . . . . . . . . . . Defekt a hodnost zobrazen . . . . . Souadnice jako linern zobrazen . . Linern zobrazen na bzi . . . . . . Zobrazen linern nezvislch vektor Sloen zobrazen . . . . . . . . . . Inverzn zobrazen . . . . . . . . . . Izomorsmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matice linernho zobrazen . Hodnost matice zobrazen . . Zobrazen souadnic . . . . . Defekt + hodnost zobrazen . Matice sloenho zobrazen . Matice identity . . . . . . . Zobrazen do stejnho prostoru Vlastn slo, vlastn vektor . Podobnost s diagonln matic

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 74 74 76 76 77 78 78 81 83 83 84 84 85 85 86 87 87 89 90 90 90 90 91 91 92 92 94 95 96 96 96 98 99 100 102 102 103 104 105 105 106 107 107 108 110 111 112 114 115

8. Linern prostory se skalrnm souinem . Denice skalrnho souinu . . . . . Skalrn souiny na Rn . . . . . . . Symetrick a pozitivn denitn matice Velikost vektoru . . . . . . . . . . hel dvou vektor . . . . . . . . . Vzdlenost vektor . . . . . . . . . Kolm vektory . . . . . . . . . . . Ortonormln bze . . . . . . . . . Ortogonalizan proces . . . . . . . 9. Aplikace linern algebry v geometrii . . Euklidovsk prostor . . . . . . . . Souadnice orientovanch seek . . Skalrn souin orientovanch seek Kolm prmt vektoru na vektor . . Ortonormln bze v UO . . . . . . Kladn orientovan bze . . . . . . Vektorov souin . . . . . . . . . Smen souin . . . . . . . . . . Prostor V3 volnch vektor . . . . Souet bodu s vektorem . . . . . . Pmka a rovina . . . . . . . . . Souadnicov systm v E3 . . . . . Rovnice pmky . . . . . . . . . . Vzjemn poloha dvou pmek . . . Rovnice roviny . . . . . . . . . . Vzjemn poloha pmky a roviny . Vzjemn poloha dvou rovin . . . . Soumrn body . . . . . . . . . . Ti roviny . . . . . . . . . . . . 10. Linern algebra v teorii kdovn . . Tleso Z2 . . . . . . . . . . . Potn v Z2 . . . . . . . . . . Kd, kdov slovo . . . . . . . . Kdovn s detekc a opravou chyb Linern kd . . . . . . . . . . Generujc a kontroln matice . . Kodr linernho kdu . . . . . . Dekodr linernho kdu . . . . . Hammingv kd . . . . . . . . Rozen Hammingv kd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12. Rejstk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Gaussova eliminan metodaNe se pustme do studia linernch prostor a podprostor, zvislosti a nezvislosti vektor, bz a linernch obal, uvedeme si v tto vodn kapitole metodu, kter se nm bude asto hodit. Protoe se k een soustav vrtme podrobnji v kapitole pt, ekneme si zde jen to nejnutnj a budeme se v nkterch ppadech vyjadovat mon ponkud tkopdn. Ve napravme v kapitole 5. Gaussova eliminan metoda je metoda usnadujc een soustav linernch rovnic. Soustava linernch rovnic je jedna nebo (obvykle) vce linernch rovnic, kter maj bt splnny vechny souasn. Linern rovnice je rovnice, ve kter se jedna nebo (obvykle) vce neznmch vyskytuje pouze v prvn mocnin. Neznm mohou bt nsoben rznmi konstantami a tyto nsobky se v soutu maj rovnat dan konstant, tzv. prav stran. eit soustavu rovnic znamen najt een, tj. najt takov reln sla, kter po dosazen za neznm v rovnicch spluj vechny rovnice souasn. Takov een me existovat pro danou soustavu jedin, me se ale stt, e je takovch een vce nebo nen dn. Metodu si nejprve vysvtlme na jednoduchm pklad nsledujc soustavy dvou linernch rovnic vodn o dvou neznmch x, y: pklad 2x 5y = 16 x + 2y = 7 Ze stedn koly asi znte dv metody, jak takov soustavy eit: bu postupnm dosazenm, nebo nsobenm rovnic konstantami a vzjemnm stnm rovnic. Metoda postupnho dosazen by mohla vypadat takto: 2x 5y = 16 2(2y + 7) 5y = 14 y = 16 y = 2 x + 2y = 7 x = 2y + 7 x = 2(2) + 7 = 3, ale nem s Gaussovou eliminan metodou moc spolenho. Pro rozshlej soustavy (mnoho rovnic, mnoho neznmch) se moc nehod. Zamme se proto na druhou metodu stn rovnic . V tto metod mnme postupn soustavu rovnic na jinou soustavu se stejnm eenm. Zmny soustavy, kter nemn een, jsou nsledujc: (1) Prohozen rovnic mezi sebou. (2) Vynsoben rovnice nenulovou konstantou. (3) Piten libovolnho nsobku njak rovnice k jin. Pomoc tchto prav pevedeme soustavu rovnic na jinou soustavu, ze kter je ji een snadno iteln. Jednotliv modikace na soustavy od sebe oddlujeme znakem . 2x 5y = 16 2x 5y = 16 2x 5y = 16 2x 5y = 16 2x + 0y = 6 x= 3 x + 2y = 7 2x + 4y = 14 0x y = 2 y = 2 y = 2 y = 2 Nejprve jsme vynsobili druhou rovnici dvma, pak jsme ob rovnice seetli a vsledek napsali na msto druh rovnice, dle jsme druhou rovnici vynsobili slem 1, pak jsme ptinsobek druh rovnice pietli k prvn a nakonec jsme prvn rovnici vynsobili slem 1/2. Z posledn soustavy teme pmo een. Gaussova eliminan metoda je vlastn shodn s prv pouitou metodou stn rovnic . Navc Gaussova metoda upesuje postup, jak rovnice nsobit a stat mezi sebou, abychom se clen dobrali k vsledku i u rozshlch soustav mnoha rovnic s mnoha neznmmi. Ne tento postup popeme, zamyslme se nad tm, jak strun meme soustavy rovnic zapisovat. V soustav rovnic nen pi hledn een podstatn, zda se neznm jmenuj x, y, z nebo teba , , . Podstatn jsou jen koecienty, kter nsob jednotliv neznm a samozejm jet hodnoty na pravch stranch rovnic. Oddlme tedy zrno od plev a vypeme z na soustavy jen to podstatn (koecienty u neznmch a hodnoty pravch stran) do tabulky sel, kter budeme kat matice: 2 5 16 1 2 7 Pokud chceme prohodit rovnice, v novm znaen to znamen prohodit dky matice. Vynsoben rovnice nenulovou konstantou odpovd vynsoben dku matice touto konstantou. Konen piten nsobku jedn rovnice k druh je toton s pitenm nsobku jednoho dku ke druhmu. Postup een naeho pkladu tedy meme zapsat takto: 2 5 16 1 2 7 2 5 16 2 4 14 2 5 16 0 1 2 1 2 5 16 0 1 2 2 0 6 0 1 2 1 0 3 0 1 2

Linern algebra

Gaussova eliminan metoda

Ped vkladem Gaussovy eliminan metody na obecn soustav linernch rovnic si ukeme postup Dal pklad jet na jednom pkladu, kter bude mt tyi rovnice a pt neznmch. Pklad je zvolen zmrn tak, aby vychzela mal cel sla, take se nm to bude dobe potat bez pouit vpoetn techniky. To je obvykl v tzv. modelovch pkladech, se ktermi se setkte u psemn sti zkouky a pi een loh ze skript. Jakmile se ale dostanete k lohm z praxe, budete postaveni ped soustavy teba s tisci rovnicemi a se zhruba stejnm potem neznmch. Na mal cel sla budete muset zapomenout. Bez vpoetn techniky se to pak eit ned. Pamatujte tedy, e een modelovch pklad ze skript nen konenm clem na teorie, ale jen pomckou k pochopen rozshlejch souvislost. Mme eit nsledujc soustavu linernch rovnic 4x1 2x1 4x1 6x1 + + 4x2 2x2 4x2 6x2 + + x3 + x4 7x5 x3 + 3x5 5x3 + x4 + 7x5 4x3 + x4 12x5 = 11 = 4 = 3 = 7

Koecienty tto soustavy pepeme do matice a matici budeme upravovat pomoc tzv. krok Gaussovy eliminan metody, mezi kter pat prohozen dk mezi sebou, vynsoben dku nenulovou konstantou nebo piten libovolnho nsobku njakho dku k jinmu. 4 4 1 1 7 11 Nejprve potebujeme stnm nsobk dk dostat nulu pod 2 2 1 0 3 4 prvn prvek v prvnm sloupci. Aby se nm to lpe dlalo, pro 4 4 5 1 7 3 hodme prvn dek s druhm. 6 6 4 1 12 7 4 2 2 1 0 3 Pod dvojkou v prvnm sloupci budeme postupn vytvet nuly. 4 4 1 1 7 11 Vezmeme dvojnsobek prvnho dku a piteme jej ke dru 4 4 5 1 7 3 hmu. 6 6 4 1 12 7 4 Zatm nemme v prvnm sloupci pod dvojkou vude nuly. Bu2 2 1 0 3 0 0 1 1 1 3 deme si stle pomhat nsobky prvnho dku, kter op 4 4 5 1 7 3 eme. Minus dvojnsobek prvnho dku piteme ke tetmu a 6 6 4 1 12 7 trojnsobek prvnho dku piteme ke tvrtmu. 2 2 1 0 0 1 0 0 3 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 3 4 1 1 3 1 1 11 1 3 5 Nyn bychom mli vytvet nuly ve druhm sloupci. To se v tomto ppad stalo (vjimen) samo, take se zamme na tet sloupec. Tam pod prvn jednikou v druhm dku vytvome nuly takto: minus trojnsobek druhho dku piteme ke tetmu a dle druh dek piteme ke tvrtmu. Prvn a druh dek opisujeme. Znovu se pesuneme na dal sloupec (tentokrt tvrt) a vytvome nulu pod minus dvojkou ze tetho dku. K tomu sta sest tet dek se tvrtm a vsledek napsat na msto tvrtho dku. Tet dek jet (spe pro pardu) vynsobme slem 1/2. tvrt dek nemusme pst, protoe tento dek odpovd rovnici 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0, kter je zejm splnna pro libovoln x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Dostvme matici, kter m ve sv dolnm levm kout nuly. Pesnji: kad dal dek m zleva aspo o jednu nulu vce ne pedel. To je clem tzv. pmho chodu Gaussovy eliminan metody, kter jsme prv ukonili.

1 0 3 4 1 1 1 3 0 2 4 2 0 2 4 2 1 0 3 4 1 1 1 3 0 2 4 2 0 0 0 0 1 0 3 4 1 1 1 3 0 1 2 1

Nai matici koecient pvodn soustavy jsem pevedli pomoc Gaussovy eliminan metody na matici odpovdajc nov soustav, kter m stejnou mnoinu een, jako pvodn. Sta se proto dle zabvat touto novou soustavou. Pro nzornost si ji zde zapeme 2x1 2x2 + x3 + 3x5 = 4 x3 + x4 x5 = 3 x4 2x5 = 1 2

Linern algebra


Kad rovnice umon spotat hodnotu jedn neznm, pokud jsou dny hodnoty ostatnch. Mme ti rovnice o pti neznmch, umme tedy spotat jen ti neznm. Pomoc posledn rovnice budeme potat napklad x4 , pomoc pedposledn rovnice budeme potat x3 a z prvn rovnice spotme napklad x1 . Ostatn neznm nejsou tmito rovnicemi ureny a mohou nabvat libovolnch hodnot. To dme najevo napklad takto: x5 = u, x2 = v, u R, v R. Nyn budeme potat hodnoty ostatnch neznmch dosazovac metodou, postupujeme od posledn rovnice k prvn: x5 = u x2 = v x4 2u = 1 x4 = 1 + 2u x3 + (1 + 2u) u = 3 x3 = 4 u 2x1 2v + (4 u) + 3u = 4 x1 = 4 u + v een jsme zapsali pomoc dvou parametr u, v, kter mohou nabvat libovolnch hodnot. Vimneme si, e poet parametr, ktermi popeme een libovoln soustavy linernch rovnic je roven potu neznmch mnus poet nenulovch rovnic, kter zskme po eliminaci Gaussovou eliminan metodou. V naem ppad: poet parametr = 5 3. Zadan soustava m sice tyi rovnice, ale po eliminaci se nm soustava redukovala na pouh ti nenulov rovnice. Pokud bychom se rozhodli napklad z prvn rovnice potat x2 , pak by neznm x1 mohla nabvat libovolnch hodnot a vsledek by byl formln zapsn ponkud jinak: x1 = w, x2 = 8 + 2u + 2w, x3 = 4 u, x4 = 1 + 2u, x5 = u, u R, w R. Vidme tedy, e neexistuje jednoznan zpis vsledku. Oba zpisy popisuj stejnou mnoinu een, kad trochu jinm zpsobem. Nyn se pustme do vkladu Gaussovy eliminan metody pro obecnou soustavu linernch rovnic. Nejprve vysvtlme proceduru, kterou budeme v tto metod s prvky matice mnohokrt opakovat. Tato procedura vytvo nuly v s-tm sloupci pod nenulovm prvkem matice v r-tm dku. Nzorn: sloupec s

Popis metody

sloupec s . . . . . .

dek r 0 0 a 0 0 b1 . . . . . . 0 0 bk

. . .

0 0 a 0 0 0 . . . . . . 0 0 0

. . .

. . . . . .

dek r

Tekami jsou v tomto obrzku vyznaeny prvky matice, jejich hodnoty ns momentln nezajmaj. Prvek a mus bt nenulov. Procedura vytvoen nul pod prvkem a se provede takto: K1. dky 1 a r opeme beze zmny. K2. K dku r + 1 pitme (b1 /a) nsobek dku r, k dku r + 2 pitme (b2 /a) nsobek dku r, atd., a konen k dku poslednmu pitme (bk /a) nsobek dku r. Tmto konem se neporu nulov prvky ve sloupcch vlevo od sloupce s a vzniknou nov nuly pod prvkem a ve sloupci s. Popeme algoritmus, kter pevede libovolnou matici na matici, kter m v levm dolnm rohu nuly. Pesnji, matice bude mt v kadm dku zleva aspo o jednu nulu vce v souvisl ad nul, ne pedchoz dek. V algoritmu se pracuje s promnnou r oznaujc aktuln dek a s promnnou s, kter znamen sloupec, ve kterm v danm okamiku vytvme nuly. Pokud se v algoritmu zvtuje r, a pitom r ji oznauje posledn dek matice, ukonme innost. Pokud by se mlo zvtit s, a pitom s u oznauje posledn sloupec matice, ukonme innost. V tchto ppadech je u matice pevedena do poadovanho tvaru. G1. Nastavme r = 1, s = 1. G2. Nech a je prvek matice z s-tho sloupce a r-tho dku. Pokud je a = 0 a vechny prvky pod prvkem a v s-tm sloupci jsou tak nulov, zvtme s o jedniku a opakujeme krok G2. G3. Je-li a = 0, a pitom existuje nenulov prvek pod prvkem a v s-tm sloupci na dku r1 , prohodme dek r s dkem r1 . Od tto chvle je v nov matici prvek na r-tm dku a s-tm sloupci nenulov. G4. Vytvome nuly pod nenulovm prvkem a z r-tho dku a s-tho sloupce zpsobem, popsanm v krocch K1 a K2. G5. Existuj-li v matici dky cel nulov, z matice je odstranme. G6. Zvtme r o jedniku a s o jedniku a celou innost opakujeme od kroku G2 znova. 3

Linern algebra


Pi eliminan metod jsme pevedli matici koecient soustavy na jinou matici odpovdajc jin soustav, ale se stejnou mnoinou een, protoe pi pravch jsme pouili jen tyto elementrn kroky: (1) (2) (3) (4) Prohozen dk matice. Pronsoben dku nenulovou konstantou. Piten nsobku dku k jinmu. Odstrann nulovho dku. Diskuse po peveden matice

Ji dve jsme vysvtlili, e tm dostvme modikovanou matici odpovdajc nov soustav se stejnou mnoinou een. Sta se tedy zamit na tuto novou soustavu. Nejprve rozhodneme, zda soustava m vbec njak een. Pokud je posledn dek ve tvaru: (0 0 0 | c), c=0

soustava nem een. Tento dek toti odpovd rovnici 0x1 + 0x2 + + 0xn = c, c = 0,

kterou nelze splnit pro dn x1 , x2 , . . . , xn . Pokud posledn dek obsahuje nenulov prvek mezi koecienty soustavy (vlevo od svisl ry), soustava m een. V takovm ppad meme ci, kolik tch een bude: pokud m soustava (po prav eliminan metodou) stejn poet rovnic, jako neznmch, m jedin een. Je-li poet rovnic men, ne poet neznmch, je een nekonen mnoho. Poet rovnic po eliminaci neme nikdy peshnout poet neznmch, vyloume-li ppad dku (0 0 | c), c = 0. Rozmyslete si, pro. Zadan soustava me mt podstatn vce rovnic ne neznmch, ale po eliminaci se v takovm ppad zkonit poet rovnic zmen. M-li soustava een, pak pro kadou rovnici rozhodneme, kterou neznmou budeme pouitm tto rovnice potat (v dan rovnici mus bt tato neznm nsobena nenulovm koecientem). V kad rovnici je nejprve zleva skupina nulovch koecient a pak existuje njak prvn nenulov koecient. Doporuujeme potat tu neznmou, kter je nsobena tmto prvnm nenulovm koecientem. Neznm, kter nebudeme potat pomoc dn rovnice, mohou nabvat libovolnch hodnot. Takov neznm dle povaujeme za parametry. Pro poet parametr tedy plat: poet parametr = poet neznmch celkem poet rovnic po eliminaci Spotme nejprve neznmou z posledn rovnice a vsledek dosadme do ostatnch rovnic. Pak spotme dal neznmou z pedposledn rovnice atd. a se dostaneme k prvn rovnici. Tm mme vyjdena vechna een dan soustavy linernch rovnic. Pklad. Gaussovou eliminan metodou budeme eit nsledujc soustavu ty rovnic o tyech nezn- Pklad, kdy mch , , , . soustava + 2 + 3 + = 1 nem een 2 + 4 + 7 + 7 = 4 + 2 = 2 3 + 7 + 10 + 6 = 7 Zapeme koecienty soustavy a hodnoty pravch stran do matice a zaneme tuto matici eliminovat zpsobem popsanm ve. 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 2 4 7 7 4 (1) 0 0 1 5 2 (2) 0 1 1 3 4 (3) 1 0 2 0 2 0 2 1 1 3 0 2 1 1 3 3 7 10 6 7 0 1 1 3 4 0 0 1 5 2 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 0 1 1 3 4 (4) 0 1 1 3 4 0 0 1 5 5 0 0 1 5 5 0 0 1 5 2 0 0 0 0 3 V prav (1) jsme vytvoili nuly pod jednikou z prvnho sloupce a prvnho dku. V prav (2) jsme pehodili druh dek se tvrtm v souladu s krokem G3 naeho algoritmu (na druhm dku a druhm sloupci toti byl nulov prvek). V prav (3) jsme vytvoili nuly pod jednikou z druhho dku v druhm sloupci. V posledn prav (4) jsme vytvoili nulu pod jednikou v tetm sloupci z tetho dku. Tm mme matici v poadovanm tvaru. Pohledem na posledn dek okamit vidme, e soustava nem een. 4

1. Linern prostor, grupa, tleso1.1. Poznmka. O form denice-vta-dkaz. V tomto textu narazte na ti zkladn slohov tvary : denice, vta a dkaz. Vesms kad solidn matematick sdlen pouv tyto pojmy. Pitom je mon, e s takto systematickm pouitm pojm denice, vta, dkaz se setkvte poprv. Proto si tyto pojmy vysvtlme. Denice vysvtluje (denuje) nov pojem, kter bude dle v teorii pouvn. Denice se opr Denice o pojmy, kter byly denovny v pedchozch denicch. V psn exaktnch teorich bychom museli na zatku vyjmenovat pojmy, kter nedenujeme, ale budeme s nimi pracovat, protoe jinak bychom nebyli schopni zapsat prvn denici. V tomto textu nebudeme takto psn exaktn a budeme se oprat o matesk jazyk a o pojmy znm ze stedn koly (pedpokldme, e jsou znm pojmy mnoina, reln slo apod.). Nov denovan pojem bude v denici vyznaen kurzvou. Vta je tvrzen, kter nm sdluje njakou vlastnost tkajc se denovanch pojm. Dosti asto se Vta vta d formln rozlenit na pedpoklady a vlastn tvrzen. Pedpoklady bvaj uvozeny slovy nech , budi , jestlie , pedpokldejme atd. Vlastn tvrzen obvykle zan slovem pak nebo potom . Vta se mus dokzat. Proto se hned za vtu pipojuje dal slohov tvar: dkaz. Po dokzn vty se v nsledujcm textu d vta pout. To bv obvykle provedeno tak, e se ov v danm kontextu platnost pedpoklad vty a na zklad toho se prohls, e plat vlastn tvrzen vty. Dkaz je obhajoba platnosti vty. Pi tto obhajob meme pout pedchoz denice (zamnme Dkaz pouit pojem ve vt skupinou pojm, ktermi je pojem denovn) a dle meme pout dve dokzan vty (ovme pedpoklady dve dokzan vty a pouijeme pak jej vlastn tvrzen). Dle se v dkazech pouv logickch obrat, kter byste mli znt ze stedn koly (napklad vrok nen pravda, e existuje prvek, pro kter plat tvrzen A lze peformulovat na toton vrok: pro vechny prvky neplat tvrzen A ). V exaktnch teorich se ke skupin nedenovanch pojm na zatku teorie pipojuje i nkolik tvrzen, kter nelze prostedky teorie dokzat, ale pro dkazy dalch vt je nutn jejich platnost pedpokldat. Takovm tvrzenm se k axiomy. V naem textu nebudeme teorii stavt jen na axiomech, ale nkdy pouijeme spe intuitivn pstup. Nen nutn bt za kadou cenu psn exaktn. Pro matematick sdlen novch poznatk je obvykle lenn textu na denice, vty a dkazy dostaujc. V tto uebnici si navc budeme ilustrovat novou problematiku na pkladech a obas prohodme njakou poznmku. Dokladem toho je i tato poznmka 1.1. 1.2. Poznmka. V nsledujc denici linernho prostoru 1.6 se pracuje s mnoinami ble nespecikovanch objekt. Jedin, co s tmi objekty umme dlat, je vzjemn objekty stat a nsobit objekt relnm slem. Pitom tyto operace (stn a nsoben relnm slem) je poteba pro konkrtn mnoiny objekt denovat. Pro kadou mnoinu objekt mohou tyto operace vypadat jinak. Skutenost, e nen eeno, jak objekty a operace s nimi konkrtn vypadaj, me bt pro nkter tene ponkud frustrujc. Proto ped denic uvedeme pklady mnoin objekt, kter lze stat a nsobit konstantou. 1.3. Pklad. Nech R2 je mnoina vech uspodanch dvojic relnch sel, tj. R2 = {(a, b); a R, b R} (symbolem R oznaujeme reln sla, sloky uspodan dvojice peme do kulatch zvorek a oddlujeme rkou). Denujme stn dvou uspodanch dvojic: (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) a nsoben uspodan dvojice relnm slem R: (a, b) = ( a, b).df df

(1.1)

(1.2)

Vimneme si, e jsme denovali operaci stn objekt tak, e vsledek stn je zase uspodan dvojice. Stejn souin relnho sla s uspodanou dvojic je zase uspodan dvojice, tedy prvek mnoiny R2 . Nae stn je tedy operace, do kter vstupuj dva prvky mnoiny R2 a vystupuje z n prvek mnoiny R2 . Nae nsoben je operace, do kter vstupuje reln slo a prvek z R2 a vystupuje z n prvek z R2 . Tuto skutenost zapeme pomoc kartzskho souinu mnoin: : R2 R2 R2 , 5 : R R2 R2 . (1.3)

Linern algebra

1. Linern prostor, grupa, tleso

Vimneme si dle, e jsme denovali nov operace a prostednictvm operac stn a nsoben relnch sel, tj. prostednicvm operac, jejich vlastnosti jsou znmy ze stedn koly. Pkladem takov vlastnosti je komutativn zkon (pro reln sla x a y plat: x + y = y + x). Nae nov denovan operace m tak tuto vlastnost: (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b), protoe podle denice je (a, b) (c, d) = (a + c, b + d) a (c, d) (a, b) = (c + a, d + b), ovem dv uspodan dvojice se rovnaj, pokud se rovnaj odpovdajc sloky. V tomto ppad prvn sloka prvn dvojice a + b se rovn prvn sloce druh dvojice b + a, nebo pro stn relnch sel plat komutativn zkon. Podobn ovme i druhou sloku. Uvdomme si, e nen vbec automaticky zarueno, e nov denovan operace musej tyto zkony splovat. Pokud bychom napklad denovali jin stn dvou uspodanch dvojic pedpisem: (a, b) (c, d) = (2a + d, b + c), pak se d snadno ukzat, e pro nen splnn komutativn zkon (ovte si sami). 1.4. Pklad. Ozname P mnoinu vech polynom, tedy funkc p : R R, kter pro x R maj hodnotu danou vzorcem: p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 , (an , an1 , . . . , a1 , a0 jsou njak reln sla). (1.5) Na tto mnoin polynom denujeme stn : P P P a nsoben kad p P , q P , R je (p q)(x) = p(x) + q(x) ( p)(x) = p(x)df df df

(1.4)

: R P P takto: pro

x R,

x R.

eeno pelivji: v denici jsme zavedli novou funkci p q : R R tak, e jsme ekli, jakou bude tato funkce mt hodnotu v kadm bod x jejho deninho oboru. Tuto hodnotu podle denice potme jako souet hodnoty funkce p a hodnoty funkce q v bod x. Tyto hodnoty jsou reln sla, take stn funkc (nov stn novch objekt) vlastn denujeme pomoc stn relnch sel (stn, kter znme ze stedn koly). Podobn denujeme nsobek funkce relnm slem. D se ovit, e pro p P , q P , R je p q zase polynom a p je tak polynom. Rovn se d ovit, e pro operaci plat komutativn zkon. 1.5. Poznmka. V pedchozch dvou pkladech jsme denovali na mnoin njakch objekt stn a nsoben relnm slem. Pro vt pehlednost jsme nov denovan operace zapisovali do krouku, abychom je odliili od operac stn a nsoben relnch sel. To ale nen poteba. Sta pouvat tyt znaky, protoe podle typu objekt, kter do operace vstupuj, okamit poznme, jakou operaci mme pout (zda nov denovanou nebo znmou operaci na relnch slech). Takov automatick pizpsoben operace podle typu operand znaj programtoi objektov orientovanch jazyk. Tam se tomu k petovn opertor . Denici stn uspodanch dvojic tedy sta zapsat takto: Pro vechna (a, b) R2 , (c, d) R2 je (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Pitom poznme, e prvn znak + v uvedenm vzorci oznauje stn uspodanch dvojic a ostatn dva znaky + znamenaj stn relnch sel. V dalm textu budeme skoro vdy pouvat znaky + a i pro nov denovan operace, protoe podle typu operand neme dojt k nedorozumn. Tak znak nsoben budeme nkdy vynechvat, jako jsme zvykl jej vynechvat pi zpisu nsoben relnch sel. 1.6. Denice. Linernm prostorem nazvme kadou neprzdnou mnoinu L, na kter je denovno Denice stn + : L L L a nsoben relnm slem : R L L a tyto operace spluj pro kad linernho x L, y L, z L, R, R vlastnosti: prostoru (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) x+y =y+x (x + y) + z = x + (y + z) ( x) = () x (x + y) = x + y ( + ) x = x + x 1x=x existuje o L, e pro kad x L je 0 x = o 6 (komutativn zkon stn), (asociativn zkon stn), (asociativn zkon nsoben), (distributivn zkon pro stn prvk z L), (distributivn zkon pro stn sel), (vlastnost relnho sla 1), (existence nulovho prvku).df

Linern algebra


Prvky linernho prostoru nazvme vektory. Relnmu slu v kontextu nsoben : R L L kme skalr. Prvku o L z vlastnosti (7) kme nulov prvek nebo nulov vektor. 1.7. Vta. Pro nulov prvek o linernho prostoru L plat vlastnosti: (1) x + o = x x L, (2) o = o R, (3) Nech x L. Je-li x = o a = 0,

pak x = o.

Dkaz. Pouijeme vlastnosti z denice 1.6. Pro pehlednost peme nad rovntka slo pouit vlastnosti. (1) x + o = x + 0 x = 1 x + 0 x = (1 + 0) x = 1 x = x. (2) o = (0 x) = ( 0) x = 0 x = o. (3) x = 1 x =(6) (7) (3) (7) (7) (6) (5) (6)

1 (3) 1 (z ( x) x =

pedpokladu)

=

1 (vlastnost (2) vty 1.7) o = o.

1.8. Poznmka. Ve vlastnostech (1) a (7) v denici 1.6 se pracuje se znaky + a v souladu s poznmkou 1.5 ve dvojm vznamu. Bu to jsou operace s prvky mnoiny L nebo operace s relnmi sly. Napklad ve vlastnosti (5) je prvn symbol + pouit ve vznamu stn na mnoin relnch sel, zatmco druh symbol + je pouit ve vznamu stn na mnoin L. Jako cvien zkuste o kad pouit operaci ve vzorcch (1) a (7) rozhodnout, jakho je druhu. 1.9. Pklad. Ukeme, e mnoina R2 z pkladu 1.3 se stnm a nsobenm skalrem podle de- Prostor R2 nic (1.1) a (1.2) tvo linern prostor. Msto znak a budeme nadle pouvat znaky+ a . Nejprve je teba zjistit, zda operace + a jsou skuten denovny zpsobem, jak poaduje denice 1.6, tj. zda plat + : R2 R2 R2 a : R R2 R2 . To jsme ale u ovili dve, viz (1.3). Dle zjistme platnost vlastnost (1) a (7) z denice 1.6. Vlastnost (1) jsme podrobn ovovali v pkladu 1.3. Pokraujeme tedy vlastnost (2). Pro kad a, b, c, d, e, f R plat: (a, b) + (c, d) + (e, f ) = (a + c, b + d) + (e, f ) = (a + c) + e, (b + d) + f = = a + (c + e), b + (d + f ) = (a, b) + (c + e, d + f ) = (a, b) + (c, d) + (e, f ) . Pi pravch jsme nejprve dvakrt pouili denici (1.1), pak jsme v jednotlivch slokch vyuili toho, e pro stn relnch sel plat asociativn zkon a konen jsme zase dvakrt pouili denici (1.1). Nyn dokeme dal vlastnosti. Pro kad a, b, c, d, , R plat: (3) (a, b) = a, b = ( a), ( b) = ( ) a, ( ) b = ( ) (a, b), (4) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (a + c), (b + d) = ( a + c, b + d) = = ( a, b) + ( c, d) = (a, b) + (c, d), (5) (6) (7) ( + ) (a, b) = ( + ) a, ( + ) b = ( a + a, b + b) = ( a, b) + ( a, b) = = (a, b) + (a, b), 1 (a, b) = (1 a, 1 b) = (a, b), dvojice (0, 0) spluje: (0, 0) = 0 (a, b), protoe 0 (a, b) = (0 a, 0 b) = (0, 0).

Pouili jsme nejprve denice (1.1) a (1.2), pak jsme vyuili vlastnosti relnch sel v jednotlivch slokch dvojice. Nakonec jsme znovu pouili denice (1.1) a (1.2). Vidme, e nulovm vektorem linernho prostoru R2 je dvojice (0, 0). Podle konvence ze zvru denice 1.6 jsme oprvnni uspodanm dvojicm se stnm a nsobenm podle denic (1.1) a (1.2) kat vektory. 1.10. Pklad. Mnoina R2 se stnm podle denice (1.4) a nsobenm prostor. Nen toti splnna napklad vlastnost (1) z denice 1.6. 7 podle (1.2) netvo linern

Linern algebra

1. Linern prostor, grupa, tleso Prostor Rn

1.11. Pklad. Znakem Rn ozname mnoinu vech uspodanch n-tic relnch sel, (n je njak pirozen slo, n 1). Jinmi slovy: Rn = {(a1 , a2 , . . . , an ); a1 R, a2 R, . . . , an R}. Denujme + : Rn Rn Rn , : R Rn Rn takto: pro kad (a1 , . . . , an ) Rn , (b1 , . . . , bn ) Rn , R je df (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ), (a1 , . . . , an ) = ( a1 , . . . , an ). Mnoina Rn s takto denovanmi operacemi tvo linern prostor. Dkaz bychom provedli analogicky jako v pkladu 1.9, ale pro sporu msta to ji nebudeme opakovat. Vidme tedy, e uspodan n-tice s takto denovanm stnm a nsobenm skalrem meme nazvat vektory. Speciln v ppad uspodanch n-tic mluvme o aritmetickch vektorech. slo ai nazvme i-tou slokou vektoru a = (a1 , a2 , . . . , an ). 1.12. Pklad. Mnoina R s obvyklm stnm relnch sel a nsoben relnho sla relnm slem tvo linern prostor. To je zejm. Stn a nsoben relnch sel toti spluje vlastnosti (1) a (7) z denice 1.6. Tento poznatek si jist pinte ze stedn koly. V tomto textu jsme jej u pouili, kdy jsme ovovali, e R2 nebo Rn je linern prostor. Nulovm prvkem linernho prostoru R je slo 0. V kontextu stn a nsoben meme tedy kat relnm slm vektory, ale obvykle to nedlme. 1.13. Pklad. Uvaujme mnoinu FD vech relnch funkc reln promnn denovanch na njak mnoin D R, tj. FD = {f ; f : D R}. Pro libovoln funkce f FD , g FD a pro libovoln reln slo denujme souet f + g a nsobek skalrem f takto: (f + g)(x) = f (x) + g(x) ( f )(x) = f (x)df df df

Prostor funkc

x D

(1.6), (1.7)

x D

(srovnejte s denic a v pkladu 1.4). Ukeme, e mnoina FD s takto denovanm stnm a nsobenm skalrem tvo linern prostor. Potebujeme ovit, zda souet funkc z mnoiny FD je opt funkce z mnoiny FD a skalrn nsobek je tak funkce z FD . To ale plat, protoe stnm funkc ani nsobenm funkce konstantou podle na denice se nemn denin obor a vsledkem operac je znovu reln funkce reln promnn. Dle potebujeme ovit vlastnosti (1) a (7) z denice 1.6. Pro libovoln f FD , g FD , h FD , R, R a pro vechna x D plat: (1) (2) (3) (4) (f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x), (f + g) + h (x) = (f + g)(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) = f (x) + g(x) + h(x) = = f (x) + (g + h)(x) = f + (g + h) (x), ( f ) (x) = ( f )(x) = f (x) = ( )f (x) = ( ) f )(x), (f + g) (x) = (f + g)(x) = (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = = ( f )(x) + ( g)(x) = ( f + g)(x), (5) ( + ) f (x) = ( + ) f (x) = f (x) + f (x) = ( f )(x) + ( f )(x) = ( f + f )(x), (6) (1 f )(x) = 1 f (x) = f (x), (7) (0 f )(x) = 0 f (x) = o(x), kde funkce o m pro vechna x D hodnotu 0. Akoli tyto vzorce vypadaj na prvn pohled jen jako hran se zvorkami , musme si uvdomit, e rovnost funkc zde dokazujeme na zklad rovnosti jejich hodnot v kadm bod x D a e pi dkazu pouvme nejprve rozepsn operac podle denic (1.6) a (1.7). Tm problm pevdme na stn a nsoben relnch sel, kde jsou vlastnosti (1) a (7) zarueny. Jako cvien si zkuste pepsat tyto vzorce tak, e odlite operace stn funkc a nsoben funkce skalrem od bnch operac + a pro reln sla. Pouijte napklad symbol a , jako v pkladu 1.4. Vidme, e mnoina FD s denic stn a nsoben skalrem podle (1.6) a (1.7) je linernm prostorem. Funkce z FD jsme tedy podle denice 1.6 oprvnni nazvat vektory. Nulovm vektorem je v tomto ppad funkce, kter m pro vechna x D nulovou hodnotu. 8

Linern algebra


1.14. Pklad. Ukeme, e mnoina P vech polynom s denicemi stn a nsoben skalrem podle Prostor pkladu 1.4 tvo linern prostor. polynom Pedevm souet dvou polynom je polynom a skalrn nsobek polynomu je polynom, take plat, e + : P P P a : R P P . To je ale ve, co potebujeme dokzat. Ovovnm vlastnost (1) a (7) se nemusme zdrovat, protoe jsme denice stn a nsoben polynom pevzali z prostoru funkc FD , o nm jsme dokzali v pkladu 1.13, e se jedn o linern prostor (volme D = R). Pi ovovn vlastnost (1) a (7) bychom dlali vlastn to sam jako v pkladu 1.13, jen na podmnoin P FD . 1.15. Pklad. Nech n N, n 0 (symbolem N zname mnoinu pirozench sel). Mnoina Pn vech polynom prv n-tho stupn s denicemi stn a nsoben skalrem podle pkladu 1.4 netvo linern prostor. Pipomeneme, e stupe polynomu se denuje jako nejvt k N takov, e ak je ve vzorci (1.5) nenulov. Jsou-li vechna ak nulov, denujeme stupe takovho polynomu jako 1. Pro nen mnoina Pn linernm prostorem? Seteme-li toti dva polynomy n-tho stupn, napklad xn + 2 a xn 2, dostvme nulov polynom, co je polynom stupn 1. Tento protipklad ukazuje, e neplat vlastnost + : Pn Pn Pn . Dokonce neplat ani : R Pn Pn (zkuste nsobit polynom n-tho stupn nulou). 1.16. Poznmka. Pklady 1.14 a 1.15 ukazuj, e meme vymezit podmnoinu M L linernho prostoru L a pevzt pro ni operace stn a nsoben konstantou z L. Za jistch okolnost mnoina M s pevzatmi operacemi me bt linernm prostorem, ale nemus bt vdy. Z pkladu 1.14 navc vidme, e sta ovit vlastnosti + : M M M a : R M M , abychom mohli prohlsit, e M je linern prostor. Vlastnosti (1) a (7) nen teba znovu ovovat. Podmoinu linernho prostoru, kter je sama linernm prostorem pi pouit stejnch operac, nazvme linernm podprostorem. Pesnji viz nsledujc denice. 1.17. Denice. Nech L je linern prostor s operacemi + a . Neprzdnou mnoinu M L Linern nazvme linernm podprostorem prostoru L, pokud pro vechna x M, y M a R plat: podprostor (1) x + y M, (2) x M. 1.18. Pklad. Mnoina vech polynom P z pkladu 1.14 je linernm podprostorem mnoiny vech funkc FD z pkladu 1.13, kde volme D = R. Mnoina Pn vech polynom prv n-tho stupn z pkladu 1.15 nen linernm podprostorem linernho prostoru FD ani linernho prostoru P . 1.19. Pklad. Mnoina Pn vech polynom nejve n-tho stupn je linernm podprostorem linernho prostoru vech polynom P i linernho prostoru vech relnch funkc FD . Je to dno tm, e (1) soutem polynom nejve n-tho stupn dostvme polynom nejve n-tho stupn a (2) vynsobenm polynomu nejve n-tho stupn relnm slem dostaneme zase polynom nejve n-tho stupn. 1.20. Pklad. Uvaujme M Rn , M = {(a, a, . . . , a); a R}. Pedpokldme tedy, e mnoina M obsahuje takov n-tice, ve kterch se vechny sloky vzjemn rovnaj. Ukeme, e M je linern podprostor linernho prostoru Rn . Sta pro mnoinu M dokzat vlastnosti (1) a (2) z denice 1.17. Plat (1) souet dvou uspodanch n-tic, ve kterch se sloky rovnaj, je uspodan n-tice, ve kterch se sloky rovnaj. (2) vynsobenm uspodan n-tice, ve kter se sloky rovnaj, relnm slem, dostvme zase uspodanou n-tici, ve kter se sloky rovnaj. 1.21. Pklad. Uvaujme mnoiny M R3 , N R3 a S R3 , kter jsou denovny takto: M = {(x, y, z); x + 2y = 0, z libovoln }, N = {(x, y, z); 2x + y z = 0}, S = {(x, y, z); 2x + y z = 3}. Ukeme, e M a N jsou linernmi podprostory linernho prostoru R3 , zatmco S nen linernm podprostorem linernho prostoru R3 . Ovme vlastnost (1) z denice 1.17: Nech (x1 , y1 , z1 ) M a (x2 , y2 , z2 ) M . Pak plat x1 +2y1 = 0 a x2 + 2y2 = 0. Pro souet (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) plat x1 + 2y1 + x2 + 2y2 = 0 (seetli jsme 9

Linern algebra


pedchoz rovnice), tj. (x1 + x2 ) + 2(y1 + y2 ) = 0, take i souet le v mnoin M . Nyn vlastnost (2): Jestlie (x, y, z) M , R, pak plat x + 2y = 0. Vynsobenm rovnice slem dostvme, e t x + 2 y = 0, co ale znamen, e i trojice (x, y, z) le v mnoin M . Oven, e mnoina N je linernm podprostorem, lze provst podobn. Mnoina S nen linernm podprostorem, protoe napklad 0 (x, y, z) = (0, 0, 0), co je ale prvek, kter nele v S. Neplat toti 2 0 + 0 0 = 3. 1.22. Vta. Nech M L a N L jsou linern podprostory linernho prostoru L. Pak plat: (1) M N je linern podprostor linernho prostoru L. (2) M N nemus bt linern podprostor linernho prostoru L. Dkaz. (1) Z pedpoklad vty a denice 1.17 vme, e pro x M , y M , R je x + y M a x M . Tot plat pro mnoinu N . Pokud nyn x M N , y M N , pak x i y le souasn v M i N , take plat, e x + y M , x M a souasn x + y N , x N . Prvky x + y a x le v obou mnoinch M a N souasn a to nen jinak mon, ne e le v prniku tchto mnoin. (2) Abychom ukzali, e sjednocen M N nemus bt linernm podprostorem, sta najt vhodn pklad. Nech M = {(a, 0); a R}, N = {(0, b); b R}. Je zejm, e M a N jsou linernmi podprostory linernho prostoru R2 . Sjednocenm tchto mnoin je mnoina uspodanch dvojic, pro kter je prvn nebo druh sloka nulov. Vezmeme nyn (1, 0) M N a (0, 1) M N . Souet (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) je uspodan dvojice, kter nele ve sjednocen M N . 1.23. Pklad. Uvaujme podprostory M a N z pkladu 1.21. Podle vty 1.22 je tak M N linernm podprostorem linernho prostoru R3 . 1.24. Pklad. Zvolme jeden bod v prostoru, kter ns obklopuje, a ozname jej psmenem O. Udlme to Prostor oriteba tak, e nakreslme na papr kek a prohlasme jej za bod O. Dle s paprem nehbme. Uvaujme entovanch vechny orientovan seky, kter zanaj v bod O a kon v njakm jinm bod v prostoru. Pidejme seek k tomu degenerovanou seku, kter zan i kon v bod O a ozname mnoinu vech tchto seek znakem UO . Denujme nyn stn + : UO UO UO ryze konstruktivn takto: seky u UO , v UO doplnme na rovnobnk. hlopku, kter zan v bod O a kon v protjm bod rovnobnka, prohlsme za souet seek u a v, tedy u + v. Dle denujme nsoben skalrem : R UO UO takto: zmme njakm mtkem (pracujeme pod se stejnm mtkem, jedno jakm) velikost seky u. Tm dostvme nezporn reln slo. Toto slo vynsobme skalrem a vsledek nsoben ozname psmenem c R. Je-li c > 0, naneseme vslednou seku u na stejnou polopmku, na kter le u a velikost m c. Je-li c < 0, naneseme vslednou seku u na opanou polopmku a velikost bude rovna |c|. Je-li c = 0 polome u rovnu degenerovan sece, kter zan i kon v bod O. Mnoina UO s takto konstruktivn denovanm stnm a nsobenm relnm slem tvo linern prostor. Abychom toto tvrzen obhjili, musme dokzat vlastnosti (1) a (7) z denice 1.6. (1) u + v = v +u, protoe v obou ppadech doplujeme na stejn rovnobnk. (2) (u+v)+w = u+(v +w), protoe postupn doplnn hlopky rovnobnku u, v a seky w na rovnobnk vede ke stejnmu vsledku, jako kdy nejprve sestavme hlopku rovnobnku v, w a tu doplnme na rovnobnk s sekou u (udlejte si ntrek). (3) (u) = ( ) u, protoe velikost tchto seek je stejn (pro zskn velikosti nsobme mezi sebou jen reln sla) a seky maj stejnou orientaci. (4) (u + v) = u + v, protoe pslun rovnobnky pro stn jsou podobn a druh je krt vt ne prvn. Proto t jeho hlopka bude krt vt. (5) ( + ) u = u + u, protoe ob seky maj stejnou velikost a orientaci (pro zskn velikosti nsobme a stme reln sla). (6) 1 u = u, protoe ob seky maj stejnou velikost a orientaci. (7) 0 u je vdy seka s nulovou velikost, co je degenerovan seka zanajc i konc v bod O. Ta je tedy nulovm prvkem naeho linernho prostoru. Vidme, e orientovan seky s ve denovanm geometrickm stnm a nsobenm skalrem meme v souladu s denic 1.6 nazvat vektory. V kapitole devt jim budeme kat vzan vektory (vzan bodem O). 1.25. Pklad. Nech M UO jsou jen takov seky, kter le ve stejn rovin, jako le n papr, na kter jsme v pkladu 1.24 nakreslili kek. Vidme, e M = UO , protoe napklad seka nenulov velikosti kolm na n papr nele v M . Ukeme, e mnoina M je linern podprostor linernho 10 Prnik prostor

Linern algebra


prostoru UO . Skuten, souet libovolnch dvou seek le ve stejn rovin (protoe tam le cel rovnobnk) a nsobek seky le dokonce na stejn pmce, jako pvodn seka, take nutn zstv ve stejn rovin. Kad rovina, kter prochz bodem O, obsahuje podmnoinu seek z UO , kter tvo linern podprostor linernho prostoru UO . Uvaujme nyn dv roviny, kter maj spolen bod O, ale nejsou toton. Jejich prnik je njak pmka, prochzejc bodem O. Vechny orientovan seky z UO , kter le v tto pmce, tvo podle vty 1.22 rovn linern podprostor linernho prostoru UO . 1.26. Poznmka. Zamysleme se, jak me vypadat linern prostor s nejmenm potem prvk. Podle Triviln denice 1.6 je linern prostor vdy neprzdn mnoina, take mus obsahovat aspo jeden prvek. Ukazuje prostor se, e jednobodov mnoina L = {o} je skuten nejmen mon linern prostor. Pitom o je nulov prvek z vlastnosti (7). Stn je denovno pedpisem o + o = o a nsoben skalrem pedpisem o = o. Takov linern prostor nazvme triviln. 1.27. Poznmka. Ukeme, e konen mnoina obsahujc aspo dva prvky neme bt linernm prostorem. Znamen to, e se nm pro takovou mnoinu L nepovede najt operace + : L L L a : R L L takov, aby souasn splovaly vlastnosti (1) a (7) z denice 1.6. Jeden z prvk mnoiny L mus bt nulov prvek (ozname jej o) a jin prvek ozname teba x. Dal prvky oznaovat nemusme. Uvaujme mnoinu K = { x; R}. Protoe K L, je i K konen mnoina. Protoe relnch sel je nekonen mnoho, a pitom K je konen, musej existovat dv rzn reln sla = takov, e x = x. Z denice linernho prostoru 1.6 dostvme: o = 0 x = ( ) x = x + () x = x + () x = ( ) x. Nyn mme splnny pedpoklady vlastnosti (3) vty 1.7 (volme = ). Dostvme tedy x = o. To je ale spor s pedpokladem, e jsme vybrali prvek x jin ne nulov. Konen mnoina obsahujc aspo dva prvky tedy neme bt linernm prostorem. Existuje tedy jednobodov linern prostor a pak dlouho nic . . . a vechny ostatn linern prostory musej mt nekonen mnostv prvk. 1.28. Pklad. Ukeme si jeden pklad ponkud exotickho linernho prostoru. Jedn se o mnoinu kladnch relnch sel R+ , na kter je denovno stn : R+ R+ R+ a nsoben relnm slem : R R+ R+ takto: pro x R+ , y R+ , R je x y = x y,df df df

x = x ,

df

kde znakem je mnno bn nsoben relnch sel a x je reln mocnina o kladnm zkladu. V tomto pklad jsme se pokorn vrtili ke kroukovn novch operac stn a nsoben skalrem, protoe bychom je velmi tko odliovali od bnho stn a nsoben relnch sel. Nov stn vlastn denujeme jako bn nsoben a nov nsoben jako bnou mocninu. Aby R+ s operacemi a byl linernm protorem, mus splovat vlastnosti (1) a (7) z denice 1.6. Pro x R+ , y R+ , z R+ , R, R je (1) x y = x y = y x = y x, (2) (x y) z = (x y) z = x (y z) = x (y z), (3) (4) (5) (6) (7) 1 0 ( x) = ( x) = (x ) = x = ( ) x, (x y) = (x y) = (x y) = x y = ( x) ( x=x1 +

y) = ( x),

x) (

y),

( + )

= x x = (

x) (

x) = (

x) (

x = x = x, x = x0 = 1 R+ .

Z posledn vlastnosti vyplv, e nulov prvek tohoto linernho prostoru je slo 1. 1.29. Poznmka. Nsledujc text a do konce kapitoly je ponkud abstraknj povahy. Pitom se jeho znalost nepedpokld pro pochopen dalch kapitol. Pokud tedy ten nechce bt hned v potku studia zahlcen pojmy o algebraickch strukturch, me tento text peskoit. 11

Linern algebra


1.30. Poznmka. Reln sla jsou mnoina prvk, kter umme vzjemn stat a vzjemn nsobit. Pesnji, je to mnoina R, na kter jsou denovny obvykl operace + : R R R a : R R R s jistmi vlastnostmi (asociativn zkon, distributivn zkon, atd.). Tmito vlastnostmi se budeme inspirovat a pokusme se vybudovat abstraktn algebraickou strukturu, tzv. tleso. Jednm z monch konkrtnch pklad tlesa pak samozejm budou reln sla. Jenome krom nich budeme nachzet i jin pklady tles. Zaneme nejprve strukturou s jedinou operac. 1.31. Denice. Mnoinu G, na kter je denovna operace pro tuto operaci plat: : G G G nazvme grupou, pokud Grupa

(1) x, y, z G : (x y) z = x (y z) (asociativn zkon), (2) e G, pro kter plat x G : e x = x e = x (existence neutrlnho/jednotkovho prvku), (3) x G y G : x y = y x = e (existence opanho/inverznho prvku y pro kad prvek x). Pokud navc plat (4) x, y G : x y=y x (komutativn zkon),

pak grupu G nazvme komutativn grupou. Z historickch dvod a z cty k norskmu matematikovi, kter rozpracoval teorii grup a bohuel zemel mld na zkenou nemoc ve vku 26 let, se komutativn grupa nazv t Abelova grupa. 1.32. Poznmka. Niels Abel mimo jin pomoc teorie grup dokzal, e nelze pro obecn polynom stupn vyho ne 4 najt vzorec na vpoet jeho koen z jeho koecient. Pro polynomy stupn 1, 2, 3 a 4 pitom takov vzorce existuj. Pro stupe 2 se jej ci u zpamti: x1,2 = (b b2 4ac)/2a. 1.33. Pklad. Jednoprvkov mnoina G = {e} s operac e e = e je nejmen monou grupou.

1.34. Pklad. Mnoina R s operac stn tvo grupu. Skuten plat asociativn zkon pro stn relnch sel: (x + y) + z = x + (y + z), dle existuje neutrln prvek 0, pro kter 0 + x = x + 0 = 0 a konen pro kad x R existuje y = x tak, e x + y = y + x = 0. Navc se jedn o grupu komutativn, protoe stn relnch sel je komutativn. Pokud operaci grupy zname symbolem + (jako v tomto pklad), pak obvykle o prvku e z vlastnosti (2) mluvme jako o neutrlnm prvku a zname ho symbolem 0 (t nula, nulov prvek) a prvek y z vlastnosti (3) nazvame opan a zname x. Piten opanho prvku v komutativn grup pak nazvme odetn a msto a + (b) peme a b. 1.35. Pklad. Mnoina R \ {0} s operac nsoben tvo grupu. Skuten plat asociativn zkon pro nsoben relnch sel: (x y) z = x (y z), dle existuje jednotkov prvek 1, pro kter 1 x = x 1 = 1 a konen pro kad x R \ {0} existuje y = x1 tak, e x y = y x = 1. Navc se jedn o grupu komutativn, protoe nsoben relnch sel je komutativn. Pokud operaci grupy zname symbolem , pak obvykle prvek e z vlastnosti (2) zname symbolem 1 (jedna, jednotkov prvek). Prvek y z vlastnosti (3) nazvame inverzn a zname x1 . Nsoben inverznm prvkem v komutativn grup nazvme dlen a msto a b1 peme a/b nebo a . b 1.36. Pklad. Mnoina R s operac nsoben netvo grupu, protoe 0 nem inverzn prvek. 1.37. Pklad. Mnoina vech relnch funkc F = {f : R R, f je prost a na } s operac skldn funkc : F F F , denovanou pomoc (g f )(x) = g f (x) x R, tvo grupu. Skuten plat asociativn zkon (f g) h = f (g h) a existuje jednotkov prvek: identick zobrazen i, pro kter i(x) = x. Ke kad prost funkci f lze setrojit funkci inverzn f 1 tak, e f f 1 = f 1 f = i. Pitom se nejedn o grupu komutativn, protoe napklad pro f (x) = x3 , g(x) = 1 + x je (f g)(x) = (1 + x)3 , zatmco (g f )(x) = 1 + x3 . 1.38. Pklad. Kdybychom v pedchozm pklad msto funkc f z R na R uvaovali prost zobrazen p z njak mnoiny M na M , dostvme znovu grupu, kter nemus bt komutativn. V ppad konen mnoiny M se jedn o grupu permutac. 12

Linern algebra


1.39. Pklad. S dal grupou se seznmme ve tet kapitole. Mnoina vech regulrnch matic stejnho typu (n, n) (viz 3.51) s operac nsoben matic tvo pklad nekomutativn grupy. 1.40. Pklad. Mnoina sel {0, 1, 2, . . . , k 1} s operac a b = a + b modulo k tvo komutativn grupu. Pipomnme, e x modulo y je zbytek pi dlen sla x slem y. Neutrlnm prvkem tto grupy je 0 a opanm prvkem k prvku a = 0 je prvek k a. Samozejm, opanm prvkem k prvku neutrlnmu je prvek neutrln, co ostatn plat v libovoln grup. 1.41. Pklad. Linern prostor se svou operac stn vektor (podle denice 1.6) tvo komutativn grupu. Skuten, asociativn zkon je postulovn vlastnost (2) v denici 1.6, neutrlnm prvkem je nulov vektor (viz vlastnost (1) vty 1.7) a opan vektor k vektoru x je vektor x = (1) x, protoe (1) x + x = (1) x + 1 x = (1 + 1) x = 0 x = o. Konen z vlastnosti (1) denice 1.6 plyne, e se jedn o grupu komutativn. 1.42. Poznmka. Obrcen, pomoc pojmu grupa meme vznamn zkrtit na denici linernho prostoru 1.6: Linernm prostorem je mnoina L, kter s operac + : L L L tvo komutativn grupu. Dle mus bt na mnoin L denovna operace : R L L, s vlastnostmi , R, x, y L: (A) ( x) = () x, (B) (x + y) = x + y, (C) ( + ) x = x + x, (D) 1 x = x. Vzhledem k tomu, e vlastnosti (1), (2) denice 1.6 pmo koresponduj s vlastnostmi komutativn grupy, sta ovit, e nm z tto nov denice vyplyne vlastnost (7) denice 1.6, kter jedin zde chyb. Existence nulovho vektoru je zajitna jako existence neutrlnho prvku o v grup. Je poteba ukzat, e pro libovoln x L je vektor 0 x roven neutrlnmu prvku o. K vektoru 0 x ovem existuje v grup prvek opan 0 x. Ten piteme k obma stranm rovnice 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x. Na lev stran dostvme 0 x + ( 0 x) = o. Na prav stran je 0 x + 0 x + (0 x) = 0 x + o = 0 x. Porovnnm lev a prav strany mme vsledek o = 0 x. 1.43. Poznmka. Axiomy grupy v denici 1.31 explicitn neuvdj, e v grup existuje jen jedin neutrln prvek a ke kadmu prvku existuje jen jedin prvek opan. Nsledujc vta ukazuje, e to nicmn plat jako jednoduch dsledek axiom. 1.44. Vta. (A) Kad grupa m jen jedin neutrln/jednotkov prvek. (B) Ke kadmu prvku grupy existuje jedin opan/inverzn prvek. Dkaz. (A) Pedpokldme dva neutrln prvky e1 , e2 . Mus platit e1 = e1 e2 , protoe e2 je neutrln. Mus tak platit e2 = e1 e2 , protoe e1 je neutrln. Take e1 = e1 e2 = e2 a neutrln prvky se neli. (B) Nech x G m dva inverzn/opan prvky y1 a y2 . Ozname e jednotkov prvek. Pak plat: y1 = e y1 = (y2 x) y1 = y2 (x y1 ) = y2 e = y2 , take y1 = y2 . 1.45. Vta. Nech na neprzdn mnoin G je dna operace : G G G, pro kterou plat asociativn zkon (1) z denice grupy 1.31. Pak vlastnosti (2) a (3) z denice grupy jsou ekvivalentn s vlastnost: pro kad a, b G existuj x, y G, kter e rovnice a x = b a y a = b. Dkaz. Nech nejprve plat vlastnosti (1), (2), (3) z denice grupy 1.31. Ozname a1 inverzn prvek k prvku a. Pak x = a1 b e rovnici a x = b, protoe a (a1 b) = (a a1 ) b = e b = b. Z podobnch dvod y = b a1 e rovnici y a = b. Nech nyn plat asociativn zkon (1) a umme eit uveden rovnice. Volme a G. Ozname ea een rovnice a x = a, tj. plat a ea = a. Ukeme nejprve, e pro libovoln b G je b ea = b. Nech y G e rovnici y a = b. Pak plat b ea = (y a) ea = y (a ea ) = y a = b. Vidme tedy, e een ea rovnice a x = a nezvis na volb prvku a, take sta prvek ea oznaovat e. Podobn lze ukzat, e tak een rovnice y a = a nezvis na volb prvku a. Ozname toto een f . Nyn podobn jako v dkazu vty 1.44 je f e = f , protoe e e a e = a a plat f e = e, protoe f e y a = a. Take e = f a toto je jednotkov prvek grupy. Sestrojme inverzn prvek k prvku x G. Nech u e rovnici x u = e a v e rovnici v x = e. Plat v = v e = v (x u) = (v x) u = e u = u, take u = v je inverzn prvek k prvku x. 13

Linern algebra


1.46. Poznmka. Vzhledem k pedchoz vt se v nkter literatue denuje grupa jen pomoc asocia- Pologrupa, tivnho zkona a eitelnosti rovnic (jen dv vlastnosti). Pokud plat jen asociativn zkon a eitelnost grupoid rovnic nen poadovna, mluv se o pologrup. Pokud je pouze dna operace : G G G bez dalch vlastnost, mluv se v nkter literatue o grupoidu. Take mnoina s operac je grupoid. Grupoid s asociativnm zkonem je pologrupa. Pologrupa s eitelnost rovnic je grupa. 1.47. Denice. Nech G je grupa s operac . Pokud G1 G je sama o sob grupou se stejnou operac Podgrupa (tj. speciln : G1 G1 G1 a plat vlastnosti (1)(3) denice grupy 1.31), nazvme G1 podgrupou grupy G. 1.48. Poznmka. Ve uvedenou denici uvdm hlavn proto, aby ml ten monost ji porovnat s denic podprostoru 1.17 a shledal, e zkladn mylenka denice podstruktury je pod stejn. V ppad ovovn podgrupy je kontrola asociativnho zkona (1) zbyten (je zaruen u ve vnj grup), ale vlastnosti x y G1 , e G1 a existence inverznho prvku v G1 jsou podstatn. 1.49. Pklad. Mnoina Z celch sel s operac stn + je podgrupou grupy R relnch sel se stejnou operac. 1.50. Pklad. Mnoina Z \ {0} celch nenulovch sel s operac nsoben nen podgrupou grupy R \ {0} relnch sel se stejnou operac, protoe k slm rznm od 1 a 1 neexistuje na mnoin Z \ {0} inverzn prvek. Na druh stran se jedn o pologrupu, protoe nsoben je uzaveno na nenulov cel sla a je samozejm asociativn. 1.51. Denice. Tleso je mnoina T se dvma operacemi obvykle oznaovanmi + : T T T a Tleso : T T T , kter maj nsledujc vlastnosti: (1) T s operac + je komutativn grupa. Neutrln prvek tto grupy je oznaen symbolem 0. (2) T \ {0} s operac je komutativn grupa. Jednotkov prvek tto grupy se zna symbolem 1. (3) Operace + a spluj distributivn zkon: a (b + c) = a b + a c. 1.52. Poznmka. Nkte autoi v denici tlesa nepoaduj komutativitu grupy vzhledem k nsoben a pokud je splnna, mluv o komutativnm tlese. Existuj pklady, kdy komutativita nsoben nen splnna Dleitm pkladem jsou kvaterniony: sla podobn komplexnm, ale se temi nezvislmi imaginrnmi jednotkami. Kvaterniony se uvaj napklad pi popisu 3D transformac v potaov grace [26]. V naem textu budeme u tles vdy pedpokldat komutativitu obou operac. 1.53. Pklad. Reln sla s operacemi stn a nsoben tvo tleso. 1.54. Pklad. Racionln sla jsou podtlesem tlesa relnch sel. Podtleso je denovno v souladu s poznmkou 1.48 jako podmnoina tlesa, kter sama o sob se stejnmi operacemi tvo tleso. 1.55. Pklad. Mnoina celch sel s operacemi stn a nsoben netvo tleso, protoe pro operaci nsoben neexistuje pro vechna nenulov cel sla inverzn prvek jako cel slo. Toto je pklad struktury, kter m vechny vlastnosti tlesa s vjimkou jedin: nen zaruena existence inverznho prvku pro nsoben. Takov struktura se nazv okruh. 1.56. Pklad. Mnoina komplexnch sel s operacemi stn a nsoben tvo tleso. 1.57. Vta. Pro libovoln prvky a, b z tlesa plat: a b = 0 prv tehdy, kdy a = 0 nebo b = 0. Dkaz. (): T \ {0} mus bt podle vlastnosti (2) denice 1.51 vzhledem k nsoben grupa, tj. souin dvou nenulovch prvk mus bt prvek nenulov. Jinmi slovy, pokud souin vychz nulov, mus aspo jeden z initel bt nula. (): Je teba dokzat, e 0 a = 0. Protoe 0 je neutrln prvek vzhledem ke stn, plat 0 + 0 = 0. Dky distributivnmu zkonu je 0 a = (0 + 0) a = 0 a + 0 a. K obma stranm rovnosti piteme opan prvek k prvku 0 a, tedy prvek 0 a. Na lev stran dostvme 0 a na prav 0 a. 1.58. Pklad. Tleso mus podle denice obsahovat 0 a 1 a tyto dva prvky musej bt rzn. Take tleso mus obsahovat aspo dva prvky. Ukeme, e existuje tleso, kter obsahuje jen tyto dva prvky, tedy T = {0, 1}. 14 Galoisovo tleso se dvma prvky

Linern algebra


Operaci + denujeme: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Operaci denujeme jako obvykl nsoben: 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1. Mnoina T = {0, 1} s takto zavedenmi operacemi tvo tleso. Skuten, pro operaci + plat asociativn zkon, 0 je neutrln prvek, opan prvek k 0 je 0 a opan prvek k 1 je 1. Grupa T \ {0} vzhledem k nsoben je jednoprvkov a vechny vlastnosti grupy zde plat zcela samozejm. Je rovn splnn distributivn zkon. Stn je v tomto tlese tot co odetn. Inverzn prvek k 1 je 1. Tlesa s konen mnoha prvky se z historickch dvod nazvaj Galoisova tlesa. V naem pklad T = {0, 1} se tedy jedn o Galoisovo tleso se dvma prvky. variste Galois byl francouzsk matematik, kter bohuel zemel mld ve vku 20 let na nsledky zrann v souboji. I jeho teorie dokazuje mimo jin nemonost algebraickho popisu koen polynom stupn vtho ne 4. Tato teorie je znmj ne Abelova, ovem byla zveejnna o pt let pozdji. 1.59. Poznmka. Chceme-li na dvouprvkov mnoin denovat operace stn a nsoben tak, abychom zskali tleso, nememe to udlat jinak, ne v pkladu 1.58. Pedevm 0 je neutrln prvek vzhledem ke stn, take podle vlastnosti (2) denice grupy 1.31 mus 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1. Dle mnoina {1} mus bt grupou vzhledem k nsoben, take mus 1 1 = 1. Dle mus platit 0 a = a 0 = 0, jinak by nebyla splnna vta 1.57. Zbv otzka, zda meme denovat 1 + 1 = 1. Nememe, protoe pak by prvek 1 neml prvek opan. 1.60. Pklad. Na mnoin {0, 1, . . . , p1} denujme operace + a jako obvykl stn a nsoben, GF(p), Zp ovem na vsledek aplikujme proces modulo p . Take napklad pro p = 5 pracujeme s mnoinou {0, 1, 2, 3, 4} a plat 4 + 3 = 2, protoe zbytek po dlen sla 7 slem 5 je 2. Nebo 4 4 = 1, protoe zbytek po dlen sla 16 slem 5 je 1. Nech nejprve p nen prvoslo, tj. je tvaru souinu p = m n. Pak m n = 0 modulo p, a pitom sla m a n jsou nenulov. Podle vty 1.57 se neme jednat o tleso, protoe souin nenulovch sel mus v tlese vyjt jako slo nenulov. Nech p je prvoslo. Ukeme, e M = {0, 1, . . . , p 1} s operacemi +, modulo p tvo tleso. Pedevm M se stnm modulo p je komutativn grupa (viz pklad 1.40). Operace nsoben modulo p je asociativn, komutativn a jednotkovm prvkem je slo 1. Distributivn zkon plyne z distributivnho zkona bnch operac + a . Nejvce prce d nalezen inverznho prvku pro a M \ {0}. Prvek a nechme pevn a uvaujme vechna sla ak modulo p pro k {1, 2, . . . , p 1}. Tato sla jsou pro rzn k vzjemn rzn (viz ne) a pokrvaj tedy celou mnoinu {1, 2, . . . , p 1}. Mus tedy existovat takov k, e ak = 1 mod p. Toto k je inverznm prvkem k prvku a. V vaze jet chyb obhjit, e sla ak modulo p jsou pro rzn k vzjemn rzn. Pedpokldejme, e existuj sla k1 , k2 M \ {0}, k1 k2 takov, e ak1 = ak2 mod p, tj. a(k1 k2 ) = mp pro njak m 0. Rovnost vydlme slem a. Protoe a < p a p je prvoslo, existuje m1 0, e po vydlen slem a dostvme k1 k2 = m1 p. Vlevo je slo men ne p, take mus bt m1 = 0, tj. k1 = k2 . Podle potu prvk p se toto tleso oznauje GF(p). Jin znaen Zp dv najevo, e se jedn o cel sla modulo p . Pedchoz pklad 1.58 denuje konen tleso Zp pro p = 2. 1.61. Denice. Charakteristika tlesa udv nejmen kladn poet jedniek, jejich souet dv nulu. Tedy pokud je 1 1 = 0 a je nejmen kladn slo s touto vlastnost, pak tleso m charakteristiku . Pokud tato vlastnost nen splnna pro dn poet jedniek, je charakteristika rovna . 1.62. Pklad. Charakteristika tlesa relnch sel je . Charakteristika tlesa Zp je p. 1.63. Vta. Charakteristika tlesa je nekonen nebo to je prvoslo. Dkaz. Sporem. Nech pro charakteristiku plat = mn, m = , n = . Z distributivnho zkona m n mn plyne ( 1 1)( 1 1) = 1 1 = 1 1 = 0. Podle vty 1.57 mus bt aspo jedna suma v zvorce rovna nule, protoe jejich souin je nulov. To je spor s tm, e je nejmen poet jedniek, jejich souet je nulov. 1.64. Poznmka. Krom GF(p), kde p je prvoslo, existuj konen tlesa s potem prvk pm , kde p je prvoslo, m je libovoln mocnina, znaen: GF(pm ). Jak jsme ukzali v pklad 1.60, konstrukce operac pro GF(pm ) neme vychzet jen z mylenky modulo p . Ve skutenosti je konstrukce tlesa GF(pm ) vrazn komplikovanj. V nsledujcm pklad je pro ilustraci popsno tleso GF(23 ). 15

Linern algebra


Z vty 1.63 plyne, e i tlesa GF(pm ) musej mt charakteristiku ve tvaru prvosla. Kdybychom zde mli prostor na podrobnj popis tles GF(pm ), shledali bychom, e maj charakteristiku p. D se dle ukzat, e pokud m mt tleso konen poet prvk, pak tento poet neme bt jin ne pm , kde p je prvoslo a m pirozen slo. Navc operace na konenm tlese lze denovat jedinm monm zpsobem (liit se me jen zpsob oznaen prvk). 1.65. Pklad. Uvaujme mnoinu vech uspodanch trojic prvk ze Z2 indexovanch sly. Nulov trojice nem dn index a ostatn trojice maj piazeny indexy 0 a 6: {(0, 0, 0) , (1, 0, 0)0 , (0, 1, 0)1 , (0, 0, 1)2 , (1, 1, 0)3 , (0, 1, 1)4 , (1, 1, 1)5 , (1, 0, 1)6 }. Prvky tto mnoiny budeme stat tak, e si index nebudeme vmat a budeme stat jen uspodan trojice v aritmetice Z2 . Napklad (1, 1, 0)3 + (0, 1, 1)4 = (1, 0, 1)6 , protoe je (1, 1, 0) + (0, 1, 1) = (1, 0, 1) v aritmetice Z2 . Vsledek nsoben kterhokoli prvku s prvkem (0, 0, 0) denujeme jako (0, 0, 0) . Jedn se o nulov prvek tlesa. Nsoben nenulovch prvk denujeme tak, e si nevmme uspodanch trojic, ale jen index. Ty seteme a provedeme operaci modulo 7. Napklad (0, 1, 1)4 (1, 1, 1)5 = (0, 0, 1)2 , protoe 4 + 5 modulo 7 = 2. D se ukzat, e tento pklad spluje axiomy tlesa. Obsahuje 23 prvk, take se jedn o pklad tlesa GF(23 ). Jak ji bylo eeno, je (0, 0, 0) nulov prvek. Rovn je zejm, e (1, 0, 0)0 je jednotkov prvek tohoto tlesa. Inverzn prvek napklad k (0, 0, 1)2 je (1, 1, 1)5 , protoe 2 + 5 modulo 7 = 0. Opan prvek k libovolnmu prvku x je prvek x, protoe v aritmetice Z2 je 1 + 1 = 0. Charakteristika tohoto tlesa je 2. Prosm tene, aby se nesnail hrubou silou ovit platnost distributivnho zkona tohoto tlesa (jde to, ale nen to pli eln) ani pli nehloubal nad tm, pro napklad trojice (1, 1, 1) m index 5. Pro odpovdi na tyto otzky je poteba pout vlastnosti ireducibilnch polynom nad tlesem Z2 (obecn nad tlesem Zp ), co bohuel pekrauje rmec tohoto vodnho textu. 1.66. Poznmka. V denici linernho prostoru 1.6 jsme sice byli dostaten abstraktn (vektory, ani Linern operace s nimi jsme ble nespecikovali), ale pracovali jsme tam s docela konkrtn mnoinou R relnch prostor nad sel. Pokud v tto denici nahradme mnoinu R pojmem tleso (s ble nespecikovanmi prvky a tlesem operacemi), dostvme linern prostor nad tlesem. Meme pak pracovat s linernm prostorem nad tlesem komplexnch sel, linernm prostorem nad tlesem Z2 atd. Pokusme se tedy do tetice pepsat denici linernho prostoru, tentokrt nad libovolnm tlesem. 1.67. Denice. Mnoinu L nazvme linernm prostorem nad tlesem T , pokud jsou denovny operace + : L L L a : T L L tak, e L tvo s operac + komutativn grupu, a dle , T, x, y L: (A) ( x) = ( ) x, (B) (x + y) = x + y, (C) ( + ) x = x + x, (D) 1 x = x. 1.68. Poznmka. Volme-li za tleso T v tto denici mnoinu relnch sel R, dostvme vzhledem k poznmce 1.42 denici linernho prostoru 1.6. Abych uklidnil tene, tak konstatuji, e v dalch kapitolch tohoto textu nebudeme potebovat linern prostor v takov obecnosti (nad libovolnm tlesem) a vystame si vtinou s linernm prostorem nad relnmi sly. Pokud tedy nebude vslovn eeno jinak (napklad linern prostor nad Z2 studovan v kapitole 10), pak pojmem linern prostor myslme linern prostor nad R a sta pout denici 1.6. 1.69. Pklad. Vrtme se k pkladu linernho prostoru relnch uspodanch n-tic 1.11 a zobecnme ho na linern prostor uspodanch n-tic prvk libovolnho tlesa. Nech T je tleso. Uvaujme mnoinu uspodanch n-tic prvk z tlesa T (ozname ji T n ) a denujme na ni operace + : T n T n T n , : T T n T n takto: pro kad (a1 , . . . , an ) T n , (b1 , . . . , bn ) T n , T je df (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ), (a1 , . . . , an ) = ( a1 , . . . , an ). Snadno se d ovit, e mnoina T n s takto denovanmi operacemi tvo linern prostor nad tlesem T . 16df

Linern algebra


1.70. Poznmka. Volme-li za tleso T = Z2 , je T n podle pedchozho pkladu diskrtn linern prostor, kter je pouvn v teorii kdovn. Jednotliv vektory (tzv. binrn slova) jsou uspodan n-tice jedniek a nul. Tento linern prostor m celkem 2n rznch vektor. 1.71. Poznmka. V ppad linernho prostoru nad konenm tlesem dostvme konen linern prostor. V tomto ppad tedy neplat tvrzen poznmky 1.27. Mete si vimnout, e toto tvrzen se opralo o skutenost, e relnch sel je nekonen mnoho . Poznmka 1.27 zstv v platnosti pro linern prostory nad nekonenmi tlesy.

17

2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, dimenze2.1. Poznmka. Akoli jsme v pedchoz kapitole uvedli destky pklad, kter mly ilustrovat denici linernho prostoru, je mon, e smysl tto denice se tm nepodailo objasnit. Mete se ptt, pro jsme nuceni ovovat u rznch mnoin, zda jsou i nejsou pi denovn uritch operac stn a nsoben relnm slem linernmi prostory. Neuvedli jsme toti, e pokud njak mnoina je linernm prostorem, lze na ni zkoumat mnoho dalch vlastnost a zavst plno uitench pojm, kter jsou spolen vem linernm prostorm. Tyto vlastnosti a pojmy pedpokldaj pouze to, e vektory (tj. prvky njak ble neuren mnoiny) umme stat a nsobit relnm slem, a pitom tyto operace spluj vlastnosti (1) a (7) z denice 1.6. Kdybychom tuto jednotc denici nemli, museli bychom napklad zvl zavdt pojmy linern zvislost, bze a dimenze pro mnoinu orientovanch seek, zvl pro mnoinu uspodanch n-tic a zvl pro mnoinu relnch funkc. A bychom teba pozdji zjistili, e meme kupkladu nekonen posloupnosti relnch sel stat a nsobit skalrem, znovu bychom pro tuto mnoinu byli nuceni denovat pojmy linern zvislost, bze a dimenze. Pitom k zaveden tchto pojm je zapoteb dokzat nkolik tvrzen, kter bychom tak museli dokazovat pro kadou konkrtn mnoinu zvl. Snad kad uzn, e to je docela zbyten prce. Je peci jen jednodu ovit, e njak mnoina tvo linern prostor a okamit pro ni pouvat vechny dal vlastnosti a pojmy, kter se dozvme v tto kapitole. 2.2. Poznmka. Stn m podle denice 1.6 dva operandy. Kdy bychom chtli sest teba ti vektory x + y + z, mli bychom uvst, v jakm poad budeme operace provdt, tj. zda provedeme (x + y) + z nebo x + (y + z). Vlastnost (2) denice 1.6 ns ale od tto povinnosti osvobozuje, protoe zaruuje, e oba ppady povedou ke stejnmu vsledku. Proto nebudeme v takovm ppad nadle zvorky uvdt a napklad pro vektory x1 , x2 , . . . , xn budeme jejich souet zapisovat jednodue: x1 + x2 + + xn . Dle budeme msto x+(1)y zapisovat strun xy. Tm vlastn mme zavedenu operaci odtn vektor, akoli tato operace nen v denici 1.6 vbec zmnna. Abychom v textu odliili vektory (tj. prvky njakho linernho prostoru) od relnch sel, budeme vektory oznaovat malmi psmeny anglick abecedy a vdy je zvraznme tun, tedy takto: x, y, a, x1 atd. V psanm textu se asto vektory zvrazuj zpisem ipky nad psmeno, podtrenm psmene nebo i jinak. 2.3. Denice. Nech x1 , x2 , . . . , xn jsou vektory (tj. prvky njakho linernho prostoru). Linern Linern kombinac vektor x1 , x2 , . . . , xn rozumme vektor kombinace 1 x1 + 2 x2 + + n xn , kde 1 , 2 , . . . , n jsou njak reln sla. Tmto slm kme koecienty linern kombinace. 2.4. Pklad. Linern kombinac vektor x, y, z me bt teba vektor x+y +z (vechny ti koecienty jsou rovny jedn), nebo vektor 2x y + 3,18z (koecienty jsou sla 2; 1; 3,18), nebo tak vektor x + y + z (koecienty , , R jsme ble neurili). 2.5. Denice. Triviln linern kombinace vektor x1 , x2 , . . . , xn je takov linern kombinace, kter Triviln m vechny koecienty nulov, tj. 0x1 + 0x2 + + 0xn . Netriviln linern kombinace je takov linern linern kombinace kombinace, kter nen triviln, tj. aspo jeden jej koecient je nenulov. 2.6. Vta. Triviln linern kombinace je vdy rovna nulovmu vektoru. Dkaz. Podle vlastnosti (7) v denici 1.6 je kad stanec v triviln linern kombinaci roven nulovmu vektoru a podle vlastnosti (1) vty 1.7 je i souet nulovch vektor roven nulovmu vektoru. 2.7. Denice. Skupinu vektor x1 , x2 , . . . , xn nazvme linern zvislou, pokud existuje netriviln Linern linern kombinace vektor x1 , x2 , . . . , xn , kter je rovna nulovmu vektoru. Strun kme, e vektory zvislost x1 , x2 , . . . , xn jsou linern zvisl. skupiny 2.8. Poznmka. Pokud bychom rozvedli pojem netriviln linern kombinace podle denic 2.5 a 2.3, meme ci, e vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou linern zvisl, pokud existuj reln sla 1 , 2 , . . . , n tak, e aspo jedno z nich je nenulov, a pitom plat 1 x1 + 2 x2 + + n xn = o. 18

Linern algebra

2. Linern zvislost a nezvislost, linern obal, bze, dimenze

2.9. Denice. Skupinu vektor x1 , x2 , . . . , xn nazvme linern nezvislou, pokud nen linern zvisl. Linern Strun kme, e vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou linern nezvisl. nezvislost skupiny 2.10. Poznmka. Vektory jsou linern nezvisl, pokud (podle denic 2.7 a 2.9) neexistuje netriviln linern kombinace tchto vektor, kter je rovna nulovmu vektoru. Jinak eeno, jedin triviln linern kombinace je rovna nulovmu vektoru. Pi pouit denice 2.5 meme ci, e vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou linern nezvisl, pokud z pedpokladu 1 x1 + 2 x2 + + n xn = o nutn plyne, e 1 = 2 = = n = 0. 2.11. Poznmka. Akoli se vesms pouv strun formulace: vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou linern zvisl/nezvisl msto pesnjho: skupina vektor x1 , x2 , . . . , xn je linern zvisl/nezvisl , je poteba si uvdomit, e strun formulace me vst k nepochopen. Rozhodn se tm nechce ci, e jednotliv vektory jsou linern zvisl/nezvisl (tj. x1 je linern zvisl/nezvisl, x2 je linern zvisl/nezvisl atd.), ale jedn se vdy o vlastnost cel skupiny vektor jako celku. Pojem linern zvislosti a nezvislosti vektor m v linern algebe zsadn dleitost. Zvislost vektor je mon nzornj z pohledu nsledujc vty 2.21, ovem pi ovovn linern zvislosti abstraktnch vektor je denice 2.7 pouitelnj. M proto smysl denicm 2.7 a 2.9 vnovat nleitou pozornost. 2.12. Pklad. Uvaujme linern prostor R3 (viz pklad 1.11, n = 3). Jsou dny ti vektory z R3 : x = (1, 2, 3), y = (1, 0, 2), z = (1, 4, 0). Zjistme z denice, zda jsou vektory x, y, z linern zvisl i nezvisl. Podle poznmek 2.8 a 2.10 sta zjistit, jak mohou bt koecienty , , , pokud polome x + y + z = o. Dosazenm do tto rovnice dostvme (1, 2, 3) + (1, 0, 2) + (1, 4, 0) = (0, 0, 0). Zde jsme vyuili toho, e nulov vektor v R3 je roven trojici (0, 0, 0). Dle podle denice stn a nsoben skalrem na R3 dostvme ( + , 2 + 4 , 3 + 2 ) = (0, 0, 0). Dv uspodan trojice se rovnaj, pokud se rovnaj jejich odpovdajc sloky. Mus tedy platit tyto rovnice: + = 0, 2 + 4 = 0, 3 + 2 = 0. Tato soustava m nekonen mnoho een (zkuste si to ovit teba Gaussovou eliminan metodou). Mezi tmito eenmi je jedin triviln, vechna ostatn jsou netriviln. Pkladem takovho netrivilnho een me bt teba = 2, = 3, = 1, take 2 (1, 2, 3) 3 (1, 0, 2) 1 (1, 4, 0) = (0, 0, 0). Existuje tedy netriviln linern kombinace vektor x, y, z, kter je rovna nulovmu vektoru, co podle denice 2.7 znamen, e vektory x, y, z jsou linern zvisl. 2.13. Pklad. V linernm prostoru R3 jsou dny ti vektory z R3 : x = (1, 2, 3), y = (1, 0, 2), z = (2, 1, 0). Zjistme z denice, zda jsou vektory x, y, z linern zvisl i nezvisl. Podle poznmek 2.8 a 2.10 sta zjistit, jak mohou bt koecienty , , , pokud polome x+ y + z = o. Dosazenm do tto rovnice dostvme (1, 2, 3) + (1, 0, 2) + (2, 1, 0) = (0, 0, 0), ( + 2 , 2 + , 3 + 2 ) = (0, 0, 0). Dv uspodan trojice se rovnaj, pokud se rovnaj jejich odpovdajc sloky. Mus tedy platit tyto rovnice: + 2 = 0, 2 + = 0, 3 + 2 = 0. Tato soustava m jedin een = 0, = 0, = 0 (zkuste si to ovit teba Gaussovou eliminan metodou). Vidme tedy, e jedin triviln linern kombinace vektor x, y, z je rovna nulovmu vektoru, co podle denice 2.9 znamen, e vektory x, y, z jsou linern nezvisl. 19

Linern algebra


2.14. Pklad. Uvaujme linern prostor vech relnch funkc denovanch na R a v nm ti funkce f, g, h, kter jsou zadan tmito vzorci: f (x) = sin(x), g(x) = cos(x), h(x) = 4 x R.

Ovme, zda jsou tyto ti funkce linern nezvisl i zvisl. Polome jejich linern kombinaci rovnu nulov funkci: sin(x) + cos(x) + 4 = 0 x R (2.1) a zjistme, jakch hodnot mohou nabvat koecienty , , . Tato rovnost m bt splnna pro vechna x R. Je mon, e pi volb t hodnot x R u vynutme trivialitu linern kombinace v (2.1). Zkusme tst napklad pro x 0, , . V rovnici (2.1) se tedy omezme na 2 sin(x) + cos(x) + 4 = 0 Po dosazen hodnot x dostvme ti rovnice: 0 + + 4 = 0, + 0 + 4 = 0, 0 + 4 = 0. Tato soustava m jedin een = 0, = 0, = 0 (zkuste si to ovit teba Gaussovou eliminan metodou). Take pokus se zdail. Z rovnice (2.1) plyne (2.2) a z n pak = 0, = 0, = 0. To podle denice znamen, e vektory f, g, h jsou linern nezvisl. 2.15. Pklad. Uvaujme linern prostor vech relnch funkc denovanch na R a v nm ti funkce f, g, h, kter jsou zadan tmito vzorci: f (x) = sin2 (x), g(x) = 3 cos2 (x), h(x) = 4 x R. pro x 0, , . 2 (2.2)

Ovme, zda jsou tyto ti funkce linern nezvisl i zvisl. Polome jejich linern kombinaci rovnu nulov funkci: sin2 (x) + 3 cos2 (x) + 4 = 0 x R a zjistme, jakch hodnot mohou nabvat koecienty , , . Jako v pkladu 2.14 zkusme volit njak ti hodnoty x. Po dosazen x = 0, x = /2 a x = dostvme soustavu 3 + 4 = 0, + 4 = 0, 3 + 4 = 0.

Vidme, e jedna rovnice je zde napsan dvakrt, take zbvaj dv rovnice o tech neznmch. Takov soustava rovnic m nekonen mnoho een, jednm z nich je napklad = 12, = 4, = 3. To nm ale k zvru o linern zvislosti funkc nesta, protoe my musme najt netriviln kombinaci rovnou nule pro vechna x R, nikoli jen pro ti vyvolen hodnoty. Vsledek ale napovd, jak by mohly bt koecienty hledan netriviln linern kombinace: 12 sin2 (x) + 4 3 cos2 (x) 3 4 = 12 (sin2 (x) + cos2 (x)) 12 = 0 x R.

Zde jsme vyuili vzorce sin2 (x) + cos2 (x) = 1 pro vecha x R. Nali jsme tedy netriviln linern kombinaci, kter je rovna nulov funkci na celm deninm oboru, a proto jsou funkce f, g, h linern zvisl. 2.16. Pklad. Nech u, v, w jsou prvky njakho (ble nespecikovanho) linernho prostoru. Pedpokldejme, e jsou linern nezvisl. kolem je zjistit, pro kter a R jsou vektory x = 2 u v, linern zvisl. 20 y = u + 3 v 2 w, z = v + aw

Linern algebra


Polome tedy linern kombinaci vektor x, y, z rovnu nulovmu vektoru a budeme zjiovat, jak mus bt koecienty , , : x + y + z = o. Dosadme: (2 u v) + (u + 3 v 2 w) + (v + a w) = o a po pravch dostvme (2 + ) u + ( + 3 + ) v + (2 + a ) w = o. Protoe podle pedpoklad jsou vektory u, v, w linern nezvisl, mus bt tato linern kombinace jedin triviln, tj. vechny koecienty jsou nulov: 2 + = 0, + 3 + = 0, 2 + a = 0. Napklad pomoc Gaussovy eliminan metody se meme pesvdit, e soustava m jedin een = 0, = 0, = 0 pro 7a + 4 = 0. V takovm ppad budou vektory x, y, z linern nezvisl. Jestlie naopak 7a + 4 = 0, m soustava nekonen mnoho een, mezi ktermi se jist najde i netriviln een. Vektory x, y, z jsou tedy linern zvisl pro a = 4/7. 2.17. Vta. Nech x1 , x2 , . . . , xn jsou prvky njakho linernho prostoru L. Pak plat: (1) Linern zvislost i nezvislost vektor x1 , x2 , . . . , xn se nezmn pi zmn poad tchto vektor. (2) Jestlie se mezi x1 , x2 , . . . , xn vyskytuje nulov vektor, pak jsou tyto vektory linern zvisl. (3) Jestlie se ve skupin vektor x1 , x2 , . . . , xn nkter vektor vyskytuje aspo dvakrt, je tato skupina vektor linern zvisl. (4) Jestlie jsou vektory x1 , x2 , . . . , xn linern zvisl a xn+1 L, pak jsou i vektory x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 linern zvisl. (5) Jestlie jsou vektory x1 , x2 , . . . , xn linern nezvisl, pak jsou i vektory x1 , x2 , . . . , xn1 linern nezvisl. (6) Samotn vektor x1 (chpan ovem jako skupina vektor o jednom prvku) je linern nezvisl prv tehdy, kdy je nenulov. Dkaz. (1) Linern kombinace vektor x1 , x2 , . . . , xn nezvis na jejich poad, protoe stn vektor je podle denice 1.6 komutativn. (2) Vzhledem k vlastnosti (1) sta bez jmy na obecnosti pedpokldat, e o = x1 . Pak plat: 1 o + 0 x2 + 0 x3 + + 0 xn = o, co je netriviln linern kombinace rovna nulovmu vektoru. (3) Vzhledem k vlastnosti (1) sta bez jmy na obecnosti pedpokldat, e x1 = x2 . Pak plat: 1 x1 + (1) x2 + 0 x3 + + 0 xn = (1 1) x1 = o, co je netriviln linern kombinace rovna nulovmu vektoru. (4) Podle pedpokladu existuje netriviln linern kombinace 1 x1 + 2 x2 + + n xn rovna nulovmu vektoru. Potom plat 1 x1 + + n xn + 0 xn+1 = o, co je netriviln linern kombinace vektor x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 rovna nulovmu vektoru. (5) Dokeme to sporem. Budeme pedpokldat negaci tvrzen vty (tj. e vektory x1 , x2 , . . . , xn1 jsou linern zvisl). Pak ale podle vlastnosti (4) musej bt linern zvisl i vektory x1 , x2 , . . . , xn , co je spor s pedpokladem, e tyto vektory jsou linern nezvisl. (6) Je-li x1 = o, pak je x1 podle vlastnosti (2) linern zvisl. Pedpokldejme nyn x1 = o a polome x1 = o. Kdyby bylo = 0, mohli bychom pst x1 = 1 x1 = 1 1 1 x1 = ( x1 ) = o = o. Zkladn vlastnosti linern (ne)zvislosti

To je ale spor. Mus tedy bt = 0. To znamen, e pouze triviln linern kombinace je rovna nulovmu vektoru, take vektor x1 je linern nezvisl. 21

Linern algebra


2.18. Poznmka. Vlastnost (4) pedchoz vty nelze obrtit . Pesnji: z linern zvislosti vektor x1 , x2 , . . . , xn neplyne nic o linern zvislosti i nezvislosti vektor x1 , x2 , . . . , xn1 . Me se teba stt, e vektory x1 , x2 , . . . , xn1 jsou linern nezvisl a linern zvislost vektor x1 , x2 , . . . , xn je zpsobena tm, e vektor xn je nulov. Me se ale tak stt, e vektory x1 , x2 , . . . , xn1 zstvaj linern zvisl. 2.19. Poznmka. Vlastnost (5) pedchoz vty nelze obrtit . Pesnji: z linern nezvislosti vektor x1 , x2 , . . . , xn neplyne nic o linern zvislosti i nezvislosti vektor x1 , x2 , . . . , xn+1 . Vektor xn+1 toti me bt nulov, ale tak me bt takov, e vektory x1 , x2 , . . . , xn+1 zstvaj linern nezvisl. 2.20. Pklad. Nech x1 , x2 , . . . , xm jsou vektory z linernho prostoru Rn . Ukeme, e pokud m > n, jsou nutn tyto vektory linern zvisl. Podle denice linern zvislosti hledejme netriviln linern kombinaci, pro kterou 1 x1 + 2 x2 + + m xm = o. Rozepsnm tohoto poadavku do sloek dostvme n rovnic o m neznmch. Protoe prav strany rovnic jsou nulov, soustava m urit aspo triviln een. Protoe je v soustav vce neznmch ne rovnic existuje nekonen mnoho een tto soustavy. Mezi tmito eenmi je jen jedin triviln a vechna ostatn jsou netriviln. Poznamenejme jet, e matematicky korektnj argumentace k tomuto pkladu vychz jako dsledek vty 2.56. Poznamenejme, e pklad ukazuje dleitou vlastnost linernch prostor Rn : vechny linern nezvisl skupiny vektor maj poet vektor men nebo roven n. 2.21. Vta. Nech n 2. Vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou linern zvisl prv tehdy, kdy existuje index Jeden vektor r {1, . . . , n} takov, e vektor xr je roven linern kombinaci ostatnch vektor. je linern kombinac Dkaz. Vty formulovan ve tvaru ekvivalence (vrok A plat prv tehdy, kdy plat vrok B) se ostatnch obvykle dokazuj ve dvou krocch. Nejprve dokeme, e z A plyne B a pak dokeme, e z B plyne A. Dokazujme tedy nejprve, e z linern zvislosti vektor x1 , x2 , . . . , xn plyne existence indexu r ve uveden vlastnosti. Z denice linern zvislosti vme, e existuje netriviln linern kombinace rovna nulovmu vektoru, tj.n

1 x1 + 2 x2 + + n xn =i=1

i xi = o,

(2.3)

a pitom aspo jeden koecient linern kombinace je nenulov. Existuje tedy r {1, . . . , n} takov, e r = 0. Piteme nyn vektor r xr k obma stranm rovnice (2.3)n

i xi = r xr .i=1 i=r

Po vynsoben obou stran rovnice koecientem 1/r dostvmen

i=1 i=r

i xi = xr . r

Vektor xr je tedy roven linern kombinaci ostatnch vektor. V druh sti dkazu pedpokldme existenci koecientu r takovho, e vektor xr je roven linern kombinaci ostatnch vektor. Dokeme linern zvislost vektor x1 , x2 , . . . , xn . Pro njak r {1, . . . , n} tedy platn

xr =i=1 i=r

i xi .

Piteme-li k obma stranm tto rovnice vektor xr , dostvmen

i xi + (1) xr = o,i=1 i=r

co je netriviln linern kombinace vektor x1 , x2 , . . . , xn (jej r-t koecient je jist nenulov), kter je rovna nulovmu vektoru. 22

Linern algebra


2.22. Poznmka. Vta 2.21 se d peformulovat t takto: vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou linern nezvisl prv tehdy, kdy dn z vektor xi , i {1, . . . , n}, nen linern kombinac ostatnch vektor. 2.23. Poznmka. Vta 2.21 m pro n = 2 tento dsledek: dva nenulov vektory x, y jsou linern zvisl prv tehdy, kdy existuje R tak, e x = y. Lidov eeno: jeden vektor je nsobkem druhho. 2.24. Pklad. Uvaujme linern prostor UO vech orientovanch seek z pkladu 1.24. (1) Le-li dv seky u, v UO ve stejn pmce, pak jsou linern zvisl, protoe jedna je nsobkem druh. Nele-li seky u, v ve spolen pmce, pak jsou linern nezvisl. (2) Nech u, v UO jsou linern nezvisl. Pak mnoina vech linernch kombinac u +

Date post:	14-Oct-2014
Category:	Documents
Upload:	iva-makalova
View:	90 times
Download:	5 times

Petr Olsak Linearni Algebra

Documents