~29~(~19=8~6~)~č~._7~ ____________ . ______________________________________ .uto~atIzace 177

Statisticky optimální řízení integrační soustavy proporcionálním regulátorem

681.513.5

Ing . .Jiří Tůma., CSc. Výzkumný ústav hutnictví železa, Dobrá

Na příkladu regtólace množství akumtólovaného matel'iálu v různých technických zařízeních je v článku analyzováno statisticky optimální seřízení proporcionálního l'cgtólátoru, který ovládá s dopravním zpožděním vstupní (l·esp. výstupní) tok materiálu, přičemž výstupní (vstupní) tok sc náhodně mění. Kl·itél·iem l'ízení jsou rozptyly změn regulované nebo akční veličiny. Diskutuje se způsob využití inf01'mace o velikosti pontchové veličiny pl'O řízení.

Klíčová slova: statisticky optimální l'egulace, regtólace integrační soustavy.

1. Úvod

Integrační soustava modeluje proces akumulace ma­teriálu v různých technických zařízeních, které jsou součástí složitějšího řetězce, ve kterém se materiály technologickými operacemi postupně mění. Podle požadavku na časovou rovnoměrnost množství aku­mulovaného materiálu lze technická zařízení rozdělit uo dvou skupin. Jednu skupinu tvoří zásobníky (ná­drže, sklady), které vyrovnávají nesoulad produkce a spotř'eby materiálu ve dvou na sebe navazujících technologických operacích. Aby proměnlivé spotřebě materiálu nemusela být okamžitě přizpůsobována jeho produkce, vyrovnává se střídání krátkodobého pře­bytku nebo nedostatku materiálu proměnlivým za­plněním zásobníku v rámci jeho kapacity. Naproti tomu druhou skupinu tvoří zařízení, která pro plnění své technologické funkce musí být zaplněna v čase rovnoměrně. Jsou to například rúzné kontinuálně pra­cující chemické reaktory atd. Na určité úrovni hie­rarchického systému řízení technologického procesu lze u obou výše uvedených technických zařízení k alm­mulaci materiálu jeden tok materiálu (např. vstupní) řídicími zásahy měnit, zatím co druhý tok materiálu (např'. výstupní) se pro tuto úroveň ř'ízení jeví jako ne­závislá poruchová veličina. V praxi je běžné, že řídicí zásahy se vykonávají s dopravním zpožděním.

Předložený článek analyzuje parametrizaci regulač­ního obvodu množství akumulované hmoty v technic­kých zařízeních z hlediska plnění obou výše uvedených technologických funkcí. Akční veličina je dána sou­čtem výstupu proporcionálního zpětnovazebního regu­látoru a výstupu proporcionálního přímovazebního regulátoru, do kterého vstupuje údaj o poruchové veličině. Regulační obvod je impulsní se vzorkovacím intervalem totožným s dobou dopravního zpoždění akční veličiny. Poruchová veličina se náhodně mění a je měř'ena se systematickou chybou .

2. }\Iodel regulačního obvodu

Tok materiálu Qi do zařízení k jeho akumulaci je akční veličinou regulátoru, Velikost akční veličiny v úvodu definovaného regulátoru pro n + prvý časový interval mezi akčními zásahy je dána vzorcem

Qi(n + 1) = KR' (G2H -- G(n)) + P .Qo(n), (1)

ve kterém je G(n) množství akumulovaného materiálu

v okamžiku na konci n-tého intervalu a G2H je žádaná hodnota tohoto množství. Parametry KRa P jsou ze­sílení zpětnovazebního a přímovazebního regulátoru. Veličina Qo(n) je výstupní tok materiálu ze zařízení, ve kterém je materiál akumulován. Tento výstupní tok je v popisovaném regulačním obvodu poruchovou veličinou. Blokové schéma regulačního obvodu je znázorněno na obr. 1. Dynamické vlastnosti jednotli­vých bloků znázorňuje odezva na jednotkový skok. Množství akumulovaného materiálu a jeho vstupní a výstupní tok jsou nezáporné veličiny, jejichž veli­kost je navíc omezena. Regulační obvod je proto obec­ně nelineární. Ve sch~matu z obr. 1 je při dosažení mezních hodnot veličiny G Ueba za·vést doplňující nelineární vazby, jejichž uspořádání však závisí na konkrétních přípustných stavech technologického pro­cesu. Pro další rozbor bude předpokládáno, že pro běžný provoz (tj. mimo nájezdu po "dlouhodobém" odstavení) jsou jednotlivá technologická zařízení di­menzována tak, že se nelinearity neprojevují.

O/}/'. 1. Blokové sché ma. regula.čníh o obvodu

Časové dopravní zpoždění akční veličiny a časový interval vzorkování jsou v regulačním obvodu podle zadání shodné. Jestliže se toto časové zpoždění ozna­čí T, pak zesílelú otevřené smyčky je ]( = KR. T. Pro uvedené značení lze z blokového schématu odvodit následující impulsní přenosové funkce

G(z) -T(z-P) (2)

Qo(z) = Z2--Z + K

Qi(Z) z[P(z -- 1) + K] (3) ----=

Qo(z) Z2--Z +]{

178 automato:zace

kde z je komplexní proměnná. Z tvaru obou přenosů plyne, že regulovaná soustava je stabilní pro O < K < < 1 při libovolném P.

3. Statistické charakteristiky poruchové veličiny

Poruchová veli čina je stacionární náhodná veličina se stř·ední hodnotou mQo. Odchylky náhodné veličiny od střední hodnoty mají rozptyl a~o a autokorelační funkci

(4)

kde E je parametr modelu vývoje náhodné veličiny . Absolutní hodnota E je menší než 1. Podle kritéria rozptylu chyby predikce vývoje poruchové veličiny na jeden krok dopředu je nejlepší predikce Q~(n + 1) na základě znalosti Qo(n) v kroku n dána součinem E . Qo(n) Výkonová spektrální hustota náhodné veli­č iny s autokorelační funkcí (4) je v Z-transformaci vý-raz

a~o(l- E2) S(z) = (z _ E) (Z- l - E) (5)

Náhodná veličina s autokorelační funkcí (4) je na­pNklad další zobecnění tzv. "obecného telegrafního

DJ ID čas

Oú,.. 2. PHkl"d realizace náhodnébo průbčhu výstupního toku ze zásobníku - k onstant.ú odběr se náhodnč sti'ídá se stáním

29 (1986) č. 7

[ ::J* = - .!(I K !:J , (9)

mQi - - = 1, (10) '/1~Qo

které plynou ze známých vzorců pro výpočet ustále­ných hodnot výstupu bloků s přenosovými funkcemi (2) a (3) , na jejichž vstupech je tzv. jednotkový skok. Z tvaru vzorce (9) plyne, že pro P =1= 1 vzniká trvalá regulační odchylka. Tuto odchylku je možné odstranit, upraví-li se zapojení regulačního obvodu tak, že v zo­rec (1) změní tvar na

Qi(n + 1) = KR(GZM - G(n)) + + P .Qo(n) + (I-P).mQo. (ll)

Rozptyly vstupních veličin G a Qi bloků s přenosový­mi funkcemi (2) a (3), na jejichž vstupu je náhodná veličina s výkonovým spektrem (5), lze určit podle známého vzorce

1 dz a2 = -2 . f F(z) . F(Z-l). S(z) - ,

~ ~ z (12)

ve kterém je Cl jednotková kružnice se středem v po­čátku komplexní roviny a F(z) je konkrétní přenosová funkce. Integrál (12) lze vypočítat podle vzorců tabe­lovaných v [1] nebo podle jejich obecněj ší verze v [2J. Poměry rozptylu změn regulované veličiny a~ a roz­ptylu změn akční veli činy a~i k rozptylu změn poru­chové veličiny jsou

a~ (1 - ElK) [(P -I)Z + K(PZ + 1)] + E(I- K) [(P _1)2 - 2KP] a~o = T Z K(K + 2) (I-K) (I -E + EZK)

(13)

(I-E~K) [K + (P_K)Z + P Z] + E(I-K) [K -2P(P-K)]

(K + 2) (I-K) (I-E + EZK) (14)

signálu" znázorněného na obr. 2. Výstupní stálý tok ze zásobníku je náhodně přerušován zastavováním odběru . Časový interval stání má exponenciální rozlo­žení hustoty pravděpodobnosti se střední hodnotou To· Časový interval nepřerušovaného odběru má rovněž exponenciální rozložení pravděpodobnosti se střední hodnotou T M . J ednotlivé realizace časových intervalů nepřerušovaného odběru a stání nejsou navzájem sta­tisticky záv islé. Po výpočtu, který nesouvisí s obsa­hem tohoto článku , lze uvést

m Qo = QM T M (6)

To + T M ,

aQo = QM ToTM (7)

(To + T M)2 '

lnE = -T. T o-T],1

(8) ToTH

4. Přenos rozptylů a středních hodnot

Střední hodnota poruchové veličiny mQo ovlivňuje střední velikost zásoby mG a středni velikost akční ve­ličiny mQi podle následujících vztahů

5. Vliv nepřesnosti měření poruchové veličiny a odhadu její středni hodnoty

V praxi je běžné, že poruchová veličina je měřena s chybou. Chybný může být také odhad střední hod­noty výstupního toku materiálu v rovnici (ll) pro vý­počet akčního zásahu, kterým je t eoreticky odstra­něna trvalá regulační odchylka daná vztahem (9) . V regulačním obvodu na obr. 1 jsou chyby znázorněny jako dodatečné vstupy, které se při čítají k příslušným veličinám . Chyba měření poruchové veličiny je ozna­čena bl a chyba odhadu střední hodnoty poruchové veličiny je bz. Impulsní přenosové funkce chyby měření poruchové veličiny na regulovanou a akční veličinu

jsou G(z) _ T.P

(15) bl(z) - Z2 _ Z + K

Qi(Z) _ P(z -I) (16)

bl(z) - Z2_ Z + K·

Impulsní přenosové funkce chyby odhadu střední hodnoty poruchové veličiny na regulovanou a akční veličinu se liší oproti funkcím (15) a (16) pouze náhra­dou parametru P za parametr (I-P)

_29~{~19_8_6~)_č_. _7 ____________________________________________________ 179 auto~at'zac.

Chyba měření má složku v čase proměnlivou a v čase stálou. Chyba odhadu je časově neměnná. Na přesnost regulace množství akumulovaného materiálu má roz­hodující vliv pouze časově stálá - systematická -chyba měření, která způsobuje trvalou regulační od­chylku. Spektrální výkonovou funkci systematických chyb lze modelovat např. funkcí (5) s parametrem E blížícím se k jednotce. Na základě této vlastnosti spektra a tvaru pr'enosových funkcí (15) a (16) lze shodným postupem jako v případě vzorců (13) a (14) určit příslušné poměry rozptylů

2 p2 ~= T2 _ 0"&. ]{2

(17)

(18)

Vzorce pro vyčíslení vlivu rozptylu chyby O2 na roz­ptyly regulované a akční veličiny jsou totožné se vzor­cem (17) a (18) až na záměnu P za (l-P) .

Systematická chyba působí pouze na rozptyl regulo­vané veličiny. Protože se předpokládá , že systema­tická chyba jak měření, tak odhadu nekoreluje se změnami poruchové veličiny, je možné určit rozptyl regulované veličiny za současného působení náhodné poruchy a systematické chyby jejího měření a odhadu střední hodnoty jako součet rozptylů O"~ daných vzorci (13) a (17). Poměr rozptylu regulované veličiny k roz­ptylu poruchové veličiny je výhodné upravit na tvar

a~ _ o T2 ( p2 (1 _ P)2) - 2- - ( Yo ) + ](2 A2 + A2 ' O"~ ~ ~

(19)

kde (% ) představuje pravou stranu vzorce (13) a Aa" Ao, jsou nově definované parametry

A _ aQo

0. - ---' - ao,

(20)

(21)

které oharakterizují poměr směrodatné odchylky změn poruohové veličiny ke směrodatné odchylce systema­tické chyby jejího měření a ke směrodatné odchylce chyby odhadu střední hodnoty poruchové veličiny.

6. Kritéria seřízcni rogulacniho obvodu

Jedním z kritérií volby parametrů regulátoru je rozptyl změn regulované veličiny a~. Toto kritérium regulace je důležité zejména v případě, kdy zařízení k akumulaci materiálu plní technologickou funkci, při které je potřebné, aby jeho úroveň zaplnění byla časově co nejrovnoměrnější.

Jiným kritériem seřízení regulačního obvodu je rozptyl změn akční veličiny a~i' Jestliže je velikost některého nákladového ukazatele N závislá na velikos­ti akční veličiny podle aproximačního polynomu dru­hého stupně

N(Qi) = ao + ~Qi + a2Qr, (21)

pak střední hodnota tohoto ukazatele 1nN je dána

1nN = N(1nQi) + a-2·a~i- (22)

Člen a2a~1 má vždy v praktických příkladech význam ztráty vzhledem k nákladům, odpovídajícím časově neměnné velikosti Qi _ V analýzovém regulačním o bvo-

du je minimální hodnoty rozptylu a~i = O dosaženo­ph volbě K = P = O. Tato volba parametrů regulá­toru však způsobí vzrůst rozptylu množství akumulo­vaného materiálu a~ teoreticky k nekonečnu, což je samozřejmě nepřípustné pro omezenou kapacitu toho­to zařízení. Proto minimalizace rozptylu akční veli­činy musí být podmíněna omezením rozptylu regulo­vané veličiny.

7. Diskuse k odvozeným vzorcům s příklady

a) Regulace zaplnění zásobníku, kterým se vyrovnává nesoulad změn produkce a spotřeby materiálu při dvou na sebe navazujících technologických ope­racích.

Kritérium seřízení regulačního obvodu je rozptyl změn vstupního toku materiálu Qi do zásobníku při omezení rozptylu změn jeho zaplnění G například na šestinu (± 3a) kapacity zásobníku. Tento povolený rozptyl zaplnění zásobníku dG zaručuje dostatečnou provozní spolehlivost proti jeho přeplnění nebo vy­prázdnění. Volbou P = O lze zajistit, aby se změny po­ruchové veličiny přímo nepromítaly do změn akční veličiny.

Vliv volby velikosti zesílení otevřené smyčky při Aa, -+ 00 (přesný odhad střední hodnoty výstupního toku) na sledované rozptyly je znázorněn v grafu na ob?'. 3. Rozptyl akční veličiny a~1 se zvětšuje se zvětšu-

P=o Ac52 ~Oo

6: (1Jo T 2

---'----'-----' q2 q~ ~6 Qa

- K

Obr. 3. Účinek r egulace b ez pHmova zebního r egulá toru s pl'esn$'m odha dem sHední hodnoty p oruch ové veličiny

jícím se zesílením]{. Závislost rozptylu regulované ve­ličiny a~ na zesílení otevřené smyčky K má minimum, pro které bude příslušné zesílení označeno Kort. Mi­nimální velikost rozptylu a~ určuje minimální pří­pustnou kapacitu zásobníku. Největší kapacitu vy-

auto~atlzace 180 _____________________________________________________ 29~(~1_98_6~)_č_._7

rovnávacfho zásobníku je třeba volit pro parametr E spektra poruchové veli činy (5) , jehož velikost je při­bližně 0,6. Jestliže přípustný rozptyl změn zaplnění zásobníku je větší než příslušná minimální hodnota daná velikostí E, pak lze volit zesílení otevřené smyčky menší, než je zesílení Kopt, přičemž se dosáhne zmenšení rozptylu akční veličiny a~l'

10 .-------------------------~

Obr. 4. Ú6inek r cglllace b ez pi'imovazcbního reglllátoru s nepí'es· ným odhadem stí'odni hodnoty poruchové voličiny

Minimální dosažitelný rozptyl regulované veličiny a příslušné optimální zesílení otevřené smyčky a roz­ptyl akční veličiny pro nepřesný odhad střední hod­noty poruchové veličiny je uveden v grafech na obr, 4, Závislosti a~ a a~1 na Kopt jsou vypočteny pro různé směrodatné odchylky chyby odhadu (J'a. až do hodnoty shodné se směrodatnou odchylkou poruchové veliči ­

ny (J'Qo'

b) Přesná regulace hladiny zaplnění různých technolo­gických zaÍ'Ízení.

Kritériem seř'ízení regulačního obvodu je rozptyl regulované veličiny. Volbou P = lIze zajistit okamži­tou korekci vstupního toku podle změn výstupního toku materiálu. Optimální volba zesílení otevřené smyčky pro absolutně přesné měření poruchové veli­činy (A 81 ~ 00) vyplývá z grafů na obr. 5. Absolutně přesné měření poruchové veličiny je možné jen tehdy, když se jedná o stanovení celistvého počtu kusů v určitém časovém intervalu.:J estliže je velikost para­metru E v mezích přibližně od -0,390 do 0,640, pak nejmenšího rozptylu změn regulované veličiny je do­saženo při odpojené zpětné vazbě (K = O). Běžnější je v praxi případ, kdy je měření poruchové

veli č iny ovlivněno systematickou chybou. Protože měření poruchové veličiny má praktický smysl, jen

P=1, A&I-'"Q

-0,5 -0,6 - 0,1 -0,8

420~--L---~-----L--_-L--~ ----i<,

2,--------n~-.----~----_. 6~i 6""

0,2 0, '+ ~K

I

I I

\ min 6~ I

,I

0,99 f E

0,6 0,5 1

Obr. 5. Účinek r egul a ce R v,u xitím )líÍll'c,nxebrlÍllo r cg1l1ntOlu s ideálně l)h'sn:<~ln nll'i\'DÍJn pOl'uchové veličhlY

10

[ 6~:T~min P=1 AcH

i1 1

5 10

1 50 100

- [

Obr. 6. Účinek regulace s využi tínl pHnlOYHZt bníl.o r( f..°llhHClU a s lltČr'cnín1 porucho,é veli č iny zaUžcDýru ~)·Et(n·ut~{· J..C l 1 ( ] yveu

když směrodatná odchylka ohyby měí'ení není větší než směrodatná odchylka změn poruchové veličiny, je nejmenší hodnota parametru A8

1 yolena jednotka.

Optimální zesílení otevřené smyčky pro docílení mi­nimálního rozptylu změn regulované veličiny při P = 1 je možné určit z grafu na ob?'. 6.

29 (1986) Č . 7

Volba P = 1 znamená, že ke kompenzaci příští realizace ná.hodné poruchy je použita její minulá reali­zace. Intuitivně lze očekávat, že nejlepší kompenzace ~e dosáhne, když se k regulaci použije ve statistickém smyslu nejlepší predikce poruchové veličiny na jeden krok dopt·edu. Tento požadavek se splní, když P = E. \.však numerické výpočty ukazují, že tato volba je

výhodná jen pro záporné hodnoty parametru E . Napi·. pro E = -0,9 je uvedená volba lepší pro vše­elmy uvažované velikosti AIl

1 ( ~ 1). Pro E = -0,8

a 0,8 nebo 0,9 je volba P = E výhodnější jen pro A = 1 a 2 . Při E -+ -1 se náhodná porucha blíží k deterministickému obdélníkovému signálu, který se v praxi často nevyskytuje.

e) Praktický příklad.

Při spékcíní prachových železných rud na Dwight­-Lloydových pásech prochází směs rudy, paliva, pří­~ad a vratného aglomerátu dvěma zásobníky a na páse se shromažďuje před hradítkem. Prvý zásobník před druhým mícháním vsázky má kapacitu na asi H/4 hodiny provozu. Násypka před spékacím pásem vystačí pouze na několik minut. Násyp před hradítkem vrstvy vsázky vystačí na mnohem kratší do bu provozu než směs v násypce. Odběr směsi ze zásobníku před drnhým stupněm míchání je přerušován při vypadnutí r oJ:ítnic spékacího pásu přibližně v průměru jednou za hodinu na asi 3 minuty. Během opravy se zastavuje kontinuální míchací (peletizační) buben a podávací huben směsi na spékací pás. Účelem zařazení zásobníku před druhým stupněm míchání směsi je vyrovnávat nerovnoměrný odběr tak, aby dávkování směsi mohlo probíhat co nejrovnoměrněji, proto P = O. Dopravlú zpoždění od dávkování směsi po její vstup do tohoto :i!Ó.:;obníku je 5 minut. Přerušovaný odběr směsi před­stavuje náhodnou poruchu se spektrální výkonovou funkcí (5), ve které parametr E nabývá hodnoty asi 0,175. Směrodatná odchylka změn výstupního toku směsi je 6 t/h. Př' i A = I bude dostatečná kapacita zásobníku 9 t . Rozptyl změn akční veličiny bude však

181 automatizace

téměř shodný s rozptylem poruchového výstupního toku směsi, což není výhodné. Skutečná kapacita zá­sobníku 90 t dovolí snížit rozptyl akční veličiny až 20krát.

Hladina směsi v násypce nad spékacím pásem musí být udržována časově rovnoměrná, aby nedocházelo k proměnlivému rozdrcení sbatků směsi vzniklých v míchacím bubnu, prot o P = 1. Výstupní tok směsi z násypky mění svou intenzitu mezi dvěma až třemi hodnotami, podobně jak je znázorněno vobr. 2. Dopravní zpoždění od dávkovací váhy k násypce jsou 2 minuty. Nejmenšího rozptylu regulované veličiny je dosaženo, když parametr E se blíží k jednotce. Je tedy vhodné, aby střední doby mezi skokovými změ­nami rychlosti otáčení bubnového podávače byly co možná nejdelší, což je návod pro volbu velikosti změny rychlosti otáčení bubnu a dimenzování vyrovnávacího násypu před hradítkem a umístění dotykových sond.

8. Závěr

Předvedená analýza :e p:Nkladem aplikace metod statistické dynamiky na praktickou úlohu regulace množství akumulovaného materiálu proporcionálním regulátorem. K optimalizaci seřízení regulátoru vzhle­dem k různým kritériím řízení má čtenář v článku k dispozici řadu grafů, obsahujících numerické výsled­ky výpočtů odvozených vzorců pro různé charakteris­tiky zvoleného modelu vývoje poruchové veličiny a systematické chyby jejího měření. Kromě optimali­zace parametrů vlastního regulátoru lze výsledků roz­boru použít k hodnocení regulačního obvodu jako cel­ku, tj. doby dopravního zpoždění a mezí akční a regu­lované veli činy.

LitersturaJ

[lJ srRET'J. v. 'l.lol. : Sn.t ol B r e"1l1aCllÍ : (. ovodú s číslicovým p ) č ítačem. Pr,\h a , ACADEM l A 1965.

[2 1 T ÚNlA.. J.: výp.>čct k .... d r.1tického kl'i téria k vality Í'Í~ení SO l13tav s di ,kl'é tním časem. Automatizace, 28 , 1985 , Č . 11.

Došlo: ~. ~. 198 5 Lektoro ~al : p rof. Inu . J. Spal , CS c.