II
a
Obr. 60
26. Na obrázku 60 je trojúhelník ABC a čtverec CDEF. Určete obvodtrojúhelníku ABC, jestliže strana čtverce a = 12 cm.
~Ze dvou podobných trojúhelníků májeden obvod 100 cm, druhý má~strany postupně o 8 cm, 14 cm, 18 cm větší než první. Vypočítejte
délky jejich stran.;;;1trany trojúhelníku ABC mají délky 4 cm, 5 cm, 7 cm. SestrojteV,rojúhelník A' B'C' podobný trojúhelníku ABC, který má obvod
12cm.29. Narýsujte libovolný trojúhelník a libovolný čtyřúhelník. Trojúhel-
ník zvětšete nebo zmenšete tak, aby se jeho obvod rovnal obvodučtyřúhelníku.
30. Stín 2 metry vysoké tyče je 3 metry dlouhý. Jak vysoká je věž, je-lijejí stín ve stejnou dobu 28 m dlouhý? .
/3i.\Délky stran trojúhelníku jsou v poměru 2 : 5 : 4. Určete délky\:/stran jemu podobného trojúhelníku, jehož obvod je 55 cm.
32. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají při vrcholu proti základněúhel stejné velikosti. Jeden z nich má rameno délky 17 cm a zá-kladnu 10 cm. Druhý má délku základny 8 cm. Určete délku jehoramene.
33. Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte trojúhelník A' B'C', pro kterýplatí 6A' B' C' '" 6ABC a jeho obvod je 12 cm.
168
1. Dokažte, že dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže se shodují vedvou stranách a výšce příslušné k jedné z nich.
3r•. Narýsujte čtverec ABC D, jestliže jeho vrchol A má souřadnice[-2; -2] a průsečík úhlopříček je v počátku soustavy souřadnic.Určete souřadnice vrcholů B, C, D.
36. V soustavě souřadnic narýsuj te rovnoběžník ABC D tak, aby pla-tilo A[2; 2], B[l; -3] a průsečík úhlopříček ležel ve středu soustavysouřadnic.
37. Sestrojte, pokud existuje, střed souměrnostia) úsečky, b) polopřímky, c) dvou různoběžek, d) trojúhelníku,e) rovnoběžníku.
a·b38. Sestrojte úsečku délky x = -- (tzv. čtvrtou geometrickou úměr-
cnou), jestliže platí
a) a = 3cm, b = 7cm, c = 4,5cm,b) a = 8 cm, b = 3 cm, C = 2 cm.
2
• 39. Sestrojte úsečku délky x = ab
,jestliže a = 5 cm, b = 8 cm.
40.· Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže platí a : b = 1 : 2, I = 350,
C = 6cm.(Návod: Sestrojte nejdříve libovolný trojúhelník A' B'C' podobnýtrojúhelníku ABC.)
41. Sestrojte obraz trojúhelníku ABC (c = 4,2 cm, o: = 350, b =
= 6 cm) ve středové souměrnosti se středem S = T, kde T jetěžiště trojúhelníku ABC.
42. Určete, ve kterém zobrazení jsou si přiřazeny obrazce na obr. 61.
• 43. Dokažte, že každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou si podobné.
44. Vypočítejte skutečné rozměry pozemku, jestliže na mapě s měřít-kem 1 : 25000 má tvar obdélníku se stranami 15,4 mm a 4,5 mm.
~ Dva rovnoramenné trojúhelníky mají při vrcholu úhel stejné veli-kosti. Jeden z nich má základnu délky 10 cm a rameno délky 25 cm.Druhý má základnu délky 12 cm. Určete délku jeho ramene.
169
o 2. estrojte grafy lineárních funkcí:
a) y=2x+3 b) y=-2x+lc) y = 2x d) 2x + y = 1e) 2x - 3y = 6 f) 3x + 4y + 2 = O
O ev Určete průsečíky grafů daných lineárních funkcí s osami x a y.
@y=-~x+3
b) y = -1,4x - 3,5c) y = 2,lx + 1,7
O Gurčete, které z bodů A[2; 1], B[-I; 7], C[-2; 2], D[-I; 1] leží nagrafech funkcí:
a) y=x+3 b) y=-4x+3
@ y = ~x + ~ d) y = -2x + 5
3O á. yberte z daných funkcí y = -x + 5, y = 2x, y = -4x, y = 5,
y = O, 2x + 5y - 1 = O, 3x + y = 2a) funkce rostoucí,b) funkce klesající.
O 6. Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí:1
a) y = z , y = 2x, y = "2x
1b) y = -x, y = -2x, y = -"2x
O (9zapište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází bodem A[-I; 1]a současně platí:a) a = 2 b) a = -2 c) a = O
O 8. Určete průsečíky grafů funkcí:
a) y = 2x - 1
y = -x + 2
1b) u= "2x+2
y=x-5
O 9. Z daných funkcí vyberte ty, jejichž grafem je přímka rovnoběžnás osou x (konstantní funkce):
a) y = 3x + 2c) y = x2
- X + 2e) y = -2x
b) y=-3,5d) y = O· x + 2f) y = v'2
O 10. Řešte graficky soustavy rovnic:
a) x + y = 1 b) 3x - 5y = 11x - y = 1 6x - 10y = 22
c) x - y = 12x - 2y = 3
176
O 11. Řešte graficky soustavy rovnic:
a) 4x + 3y = 6 b) x + 15y = 332x + y = 4 3x + y = 27
O 12. rčete rovnice lineárních funkcí, jejichž grafy jsou na obr. 65.
y
o
2
x
y
3 25
,........0 1 2 3
Obr. 65
O 13. Řešte graficky soustavy rovnic:
a) x - y = 2 b) 3x - 6y = 13x + y = 4 5x - y = 2
c) x + 2y = 3 d) 2x - y = 43x + 6y = 1 1
x - "2Y = 2
*0 ~V rovnici y = ax - 2 určete a tak, aby graf funkce dané toutoty(s:~;\icí procházel~ bodem [1; 4],
177
b) bodem [3; -2].O 15. Vyberte z daných funkcí ty, jejichž grafy jsou rovnoběžné. Svoji
volbu ověřte sestrojením grafů.
a)1
b)1v= --x+5 y = 2x + 52
c) d)1
y = -2x + 1 y=--x-32
O 16. Z daných lineárních funkcí vyberte všechny klesající a sestrojtejejich grafy:
a) y=-3x b) y=l-xc) Y = 2x - 6 d) y = -5e) y=-2+x f) y=-x-2
*0 17. Je dána lineární funkce y = 3x + 1. Určete rovnici lineární funkce,jejíž graf je souměrný s grafem dané funkce v souměrnosti
a) podle osy y,b) podle osy x,c) podle grafu funkce y = x.
~te rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:~A[O; 3], B[-2; -3]
b) E[-1,5; 8], F[-l; -1]c) 0[0; O], K[-2; 6]
*0 19. Pro které hodnoty proměnné x bude mít funkce y = -~x + 3
a) kladné hodnoty,b) záporné hodnoty?
*0 20. Rychlík jede průměrnou rychlostí 72 km za hodinu z místa A domísta B.
a) Sestrojte graf závislosti dráhy na čase.b) Určete, jaká je vzdálenost míst A, B, jestliže do místa B dojel
rychlík za 1 hodinu 25 minut.
O 21. Cyklista projížděl při závodě trať dlouhou 210 km rychlostí 35 kmza hodinu. Napište rovnici funkce vyjadřující závislost vzdálenostiy od cíle na čase x a sestrojte její graf.
178 •
2~")Nádrž na vodu rnó Oh.l"111HO 1111()1,'vr('lIím přívodu přibývá G.d m''7za čtvrt hodiny. NIlJlI I, II,VIIIII funkce, která vyjadřuje závislost
množství vody 11 v kr ,Itlo Ih ItICt.re h na čase x v hodinách,jestliže při otevření JlI IItllI II Idr:t.I'
a) byla nádrž príl:t.dll I,
b) byla nádrž již 1I11J11111'1II ~()()hl vody.
Prázdná plechová Iltídl:t.k I II I ht'Il:t.!1Imá hmotnost 3,5 kg. Jedenlitr benzínu má hmol.nn I, 0, k Zapište rovnici funkce, která vy-jadřuje závislo t hlllOI.II111.1IIlidr:t.ky plněné benzínem na množstvíbenzínu v litrech. Nnr liJi" /1,1 II' t.,~t.ofunkce.
*0 24. Letadlo startoval H"~" oholl '2000 litrů benzínu. Na 100 kmspotřebuje osminu t.oholo IIIIIO:t.t.ví. Zapište rovnici funkce, kterávyjadřuje úbyt k :t.tlHohyp IIIVi ua p čtu kilometrů, které letadlouletělo, a sestrojt jej! /1,1'111',« :rllf Iwstrojte na milimetrový papír.)
*0 25. Dva motocykly vyjdy II 1.(ho:t. III!Htlistejným směrem po téže silnici.
Průměrná rychlost prvn ho IIIOI,O('yklllbyla 45 k; a do cíle dojel za
4 hodiny. Druhý m tor kl vyjel ( hodinu později rychlostí 60 k;.
a) Sestrojte grafy zfÍvislosU dráhy ujeté každým z motocyklů načase.
b) Určete, kdy do tihr« druhý motocykl první.
(Grafy sestrojte na milinu-t rový papír.]
*0 26. V 6 h 45 min vyj I z I řfstavu parník průměrnou rychlostí 12 k;.
V 10 hodin vyj I za níru III t, rový člun, který plul průměrnou
rychlostí 42 k;. V klik h din dohoní člun parník? Řešte graficky.
(Grafy sestrojte na milirnc trový papír.)
O 27. Kamión jede po dálnici z Prahy do Bratislavy průměrnou rychlostí
72 k; . V okamjiiku, kdy j vzdálen od Prahy 54 km, vyjíždí z Pra-
hy osobní auto, které jede rovněž do Bratislavy a jehož průměrná
179
2 2 1 2b) y = -X ,y = -2x , y = -2"X
O 29. Určete průsečíky grafů funkcí:
a) y=x2 b) y=_x2 c) y=x2
8 y = 5x - 6 y = 2x - 3 y = 3O 30. Určete neznámou souřadnici bodů A[-l; y], B[x; 1], které leží na
0,1grafu funkce y = -.
x
O 31. Sestrojte grafy funkcí y = .!. a y = - 1 do jednoho obrázku. Podlex x
které osy jsou souměrné?
fo;;) Které z bodů A[l; 5], B[-2; 20], C[2; 8], D[-6; -180] leží na grafu'-::..J funkce y = 5x2?
033 Které z bodů All j=-I] B[-l'~] C[-l'-~]' D[-3'-~] leží. ", 2 ' '2 ' '2 '
k1,5
na grafu fun ce y = -?x
~ Určete konstantu a v rovnici kvadratické funkce y = ax2, prochá-zí- . graf této funkce bodem:
a) [3; 18] b) [-1; 1] @-2; -8]
*0 35. Rešte graficky rovnice:1
a) 2x2 = 5 b) 3x2 = X + 4 c) _x2 = -2x + 1
(Návod: Sestrojte průsečíky grafů funkcí a) y = 2x2 a y = 5, b)1
y = _x2 a y = x + 4, c) y = _x2 a y = -2x + 1.)3O 36. Pro která x jsou dané funkce rostoucí?
1a) y = x2 b) y = _x2 *c) y = 2"x2 *d) y = _2x2
*0 37. Sestrojte graffunkce, který je obrazem grafu funkce y = 3x2 V sou-měrnosti
a) podle osy x,
182
b) podle přímky, která je grafem funkce y = x.
O 38. Sestrojte graf závislosti obsahu čtverce na dél,ce jeho strany.
O 39. Auto projede 100 m za t sekund. Za předpokladu, že se pohybujerovnoměrně, vyjádřete závislost jeho rychlosti na čase a sestrojtegraf této funkce.
O 40. Graf funkce y = ~ prochází bodem [-2; 2]. Určete konstantu k.x
O 41. Určete souřadnice průsečíků grafů funkcí:
3a) y= -,y=3x
x
1b) y = -, y = x + 1
x-1
c) y = -, y = - 2xx
*0 42. Řešte graficky rovnice:1
a) - = x + 1x
2b) - = x-I
x
3 1c) - = -x
x 3
uO 43. Na reostatu působí stálé napětí 6 V. Jak se mění proud I = R
v reostatu při plynulé změně odporu od 1 n do 24 n? Sestrojtegraf. Z grafu přečtěte hodnoty odporu pro hodnoty proudu 5 A,2A,1,2A.
O Příklad 5
Vypočítejte objem kužele, jehož úhel při hlavním vrcholu osového řezumá velikost 600a strana kužele má délku 15 cm (obr. 68).
183