15. Trigonometrické určov{ní výšek

Zpracoval: Tomáš Kobližek, 2014

Trigonometrické určov{ní výšek • Trigonometrické určování výšek a převýšení je

založeno na řešení trojúhelníka s uvážením

fyzikálních vlastností Země a zemské atmosféry. K

určení výšek, popř. převýšení se měří šikmé nebo

vodorovné délky a svislé úhly. Pokud nelze délku

měřit přímo, určuje se početně z měřených úhlů a

popř. také délek pomocných základen.

• Výškový rozdíl h bodů A a B se vypočítá z

pravoúhlého trojúhelníka a je roven: o h = s*cotg z

kde s…vodorovná vzdálenost

z…zenitový úhel

Trigonometrické určov{ní výšek

• 1. Určení výšky na krátké vzdálenosti o 1.1 Pata přístupná

o 1.2 Pata nepřístupná

• 2. Určení výšky na dlouhé vzdálenosti o 2.1 Korekce ze zakřivení Země

o 2.2 Korekce z vlivu prostředí (refrakce)

1. Určení výšky na kr{tké vzd{lenosti

1.1 Pata přístupn{

• Při určování výšky předmětu je třeba znát vzdálenost

stanoviska s a zenitový úhel z.

o Měříme

• s…vzdálenost paty předmětu a stanoviska

(s´ šikmá, ŝ vodorovná)

• z1,z2…zenitové úhly

o Počítáme

• h…převýšení

h = h1-h2 = ŝcotg z1 – ŝcotg z2

o kde ŝ = s´sinzi

1. Určení výšky na kr{tké vzd{lenosti

1.1 Pata přístupn{ • Úloha se řeší metodou obecné základny

• Volí se 2 stanoviska S1 a S2 tak, aby vznikl pokud možno

rovnostranný trojúhelník a základna byla dobře měřitelná

o Měříme:

• h…výška přístroje

• ω1,ω2 …vodorovné úhly

• z1,z2…zenitové úhly

• Ŝ,ŝ1,ŝ2…vzdálenosti

Ze stanoviska S1:

ŝ1 ze sinové věty

Obdobně z S2

2. Určení výšky na dlouhé vzd{lenosti

• Při určování převýšení dvou bodů jejichž vzdálenost je větší než 300 m (někteří autoři uvádí 270 m, záleží na očekávané přesnosti výsledku) je nutno uvažovat vliv zakřivení zemského povrchu, v odůvodněných případech i vliv refrakce

• Uvažována je vodorovná délka s mezi určovanými body. Při měření na delší vzdálenosti je časté, že se délka počítá ze souřadnic bodů v referenčním systému. V tomto případě je nutné délku pro výpočet převýšení převést z nulového horizontu do horizontu (nadmořské výšky) stanoviska, případně uvažovat i vliv kartografického zobrazení.

2.1 Korekce ze zakřivení Země

• Rozdíl mezi skutečným a zdánlivým horizontem,

který musíme připočítat k vypočítanému výškovému

rozdílu je:

q=s2/2R

kde s je vodorovná vzdálenost mezi určovanými body a

hodnota R je poloměr náhradní zemské koule (obvykle např.

R = 6380 km).

2.2 Refrakce • Při průchodu záměrného svazku paprsků vzduchovými

vrstvami o různé hustotě a tedy různých optických vlastnostech se paprsek láme. Nejrozšířenější idealizací problému je nahrazení trajektorie paprsku částí kružnice s velkým poloměrem.

• Důsledkem je, že záměrná přímka nesměřuje do cílového bodu, ale je poslední tečnou k zakřivené trajektorii paprsků. Vzhledem ke zjednodušení trajektorie na kružnici uvažujeme vliv prostředí pouze na měření výškových úhlů. Proto je nutné naměřené převýšení korigovat.

• Opravu vlivu refrakce počítáme: p=ks/2R o kde k je refrakční koeficient, s vodorovná vzdálenost mezi určovanými body a R

poloměr náhradní koule.

• Hodnota k závisí na podmínkách. Udává se, že u nás dosahuje hodnot 0,08 až 0,18. Vliv má okamžitý stav atmosféry, povrch nad kterým záměra probíhá, svislé překážky (např. budovy) v okolí záměry atd. Do výpočtu se obvykle dosazuje k=0,13. Vhodné je volit měřický postup vylučující vliv prostředí - měřit opakovaně za různých podmínek, měřit zenitové vzdálenosti protisměrně apod.

Vliv zakřivení a refrakce

• V následující tabulce je naznačena velikost korekce

podle Gausse.

• Výsledné převýšení se pak dostane zavedením

korekcí:

o kde k je refrakční koeficient, s vodorovná vzdálenost mezi určovanými

body, z měřená zenitová vzdálenost, q korekce ze zakřivení Země, p

korekce z vlivu prostředí a R poloměr náhradní koule.

Děkuji za pozornost