Praktické použití antén

- 1 -

5 Praktické použití antén

V předchozí kapitole jsme se seznámili s teoretickými principy činnosti antén. Ze

stojaté vlny proudu na přenosovém vedení, které je na konci naprázdno, jsme odvodili

přibližné rozložení proudu na ramenech symetrického dipólu a ze známého proudového

rozložení jsme vypočítali vyzařování dipólové antény. Vyzařování dipólu bylo popsáno

funkcí záření a graficky reprezentováno směrovou charakteristikou.

Směrovou charakteristiku samotného dipólu můžeme formovat pouze změnou jeho

elektrické délky l/, kde l je délka ramene dipólu a značí délku vlny. Při prodlužování

dipólu se zužuje jeho hlavní lalok, avšak mohou vznikat laloky boční. V rovině kolmé na osu

dipólu vyzařuje anténa všesměrově (viz obr. 4.2 a 4.6).

Pokud jsou požadavky na tvar směrové charakteristiky antény odlišné, je zapotřebí

vytvořit anténní soustavu, složenou s více anténních prvků. Umístěním prvků v prostoru,

změnou amplitud a fází proudů na vstupech prvků pak můžeme směrovou charakteristiku

tvarovat téměř libovolně.

Při výpočtu směrové charakteristiky potupujeme ve třech krocích. Nejprve určíme

záření samotného dipólu, potom vypočítáme záření skupiny dipólů a na závěr přidáme vliv

rovinného reflektoru, jsou-li jím anténní prvky doplněny.

Obr. 5.1 Šestiprvková dipólová řada s reflektorem.

Výpočet funkce záření si zopakujme na příkladu anténní soustavy z obr. 5.1. V této soustavě

jsou střední dipóly (1,2) a (2,2) buzeny proudem s amplitudou I2 = 1 A a krajní dipóly (1,1),

(1,3), (2,1) and (2,3) proudem s amplitudou I1 = I3 = 0,5 A.

1. Záření samotného dipólu je popsáno vztahem

sin

coscoscos0

klklF

(4.9)

kde l je délka ramene dipólu, k značí vlnové číslo a je úhel měřený od osy dipólu.

Jelikož naše dipóly jsou rovnoběžné s osou y, záření samotného dipólu je dáno funkcí

y

y klklF

sin

coscoscos0

(5.1)

kde y je úhel měřený od osy y.

Practical use of antennas

- 2 -

5 Practical use of antennas

In the previous chapter, theoretical principles of the operation of antennas have been

described. Starting with the standing wave of a current on an open-ended transmission line, an

approximate current distribution on arms of a symmetrical dipole has been derived. Thanks to

the known current distribution, radiation of a dipole antenna could be computed and

represented by the directivity pattern.

Directivity pattern of a simple dipole antenna could be formed by changing the

electrical length l/ only where l in the length of an arm of the dipole and denotes the

wavelength. Prolonging the dipole, the main lobe of the antenna is narrowed, but sidelobes

can be created. In a plane perpendicular to the axis of the dipole, the antenna shows an

omnidirectional radiation (Figures 4.2 and 4.6).

If requirements on the shape of a directivity pattern are different, an array of antenna

elements has to be structured. Changing position of elements, amplitudes and phases of input

currents, the directivity pattern can be formed arbitrarily.

Computation of the directivity pattern consists of three steps. First, radiation of a single

dipole is determined. Second, radiation of a group of dipoles is derived. Third, influence of

a planar reflector is added if completing antenna elements.

Fig. 5.1 Six-element dipole array completed by a reflector.

Computation of the radiation function is repeated for a dipole array depicted in Figure 5.1. In

this array, central dipoles (1,2) and (2,2) are excited by a current with the amplitude I2 = 1 A,

and marginal dipoles (1,1), (1,3), (2,1), (2,3) by the current I1 = I3 = 0,5 A.

1. Radiation of the dipole is described by the relation

sin

coscoscos0

klklF

(4.9)

where l is the length of arm of the dipole, k denotes the wavenumber, and is the angle

measured from the axis of the dipole. Since axes of dipoles are parallel to the y axis, the

dipole radiation is given by

y

y klklF

sin

coscoscos0

(5.1)

where y is the angle measured from the y axis.

Praktické použití antén

- 3 -

2. Záření soustavy dipólů. Anténní soustava je tvořena trojicí dipólů umístěnou podél osy

x a dvojicí dipólů ve směru osy y. V tomto případě je výhodné nejprve sečíst vyzařování

anténních prvků umístěných v jednom směru, a následně pokračovat sloučením

vyzařování dipólů v druhém směru.

Začněme trojicí dipólů. Postupem uvedeným v předchozí kapitole (vztahy 4.12 až 4.17)

bychom dospěli k výsledku

xA kdF coscos5,021 11 (5.2)

První sčítanec odpovídá záření středního dipólu, umístěného do referenčního středu

soustavy. Jelikož proudy v krajních dipólech mají stejnou fázi, jejich sloučením

dojdeme k funkci kosinus. Protože proudy v krajních dipólech mají poloviční amplitudu

ve srovnání s dipólem středovým, musíme kosinus násobit koeficientem 0,5. Jelikož

dipóly jsou poskládány ve směru osy x a vzdálenost krajních dipólů od referenčního

středu je d1, v argumentu kosinu vystupuje člen kd1 cos x.

Můžeme si představit, že trojici dipólů jsme nahradili bodovým zářičem, jehož

vyzařování je popsáno funkcí F0 FA1. Jelikož obě trojice dipólů jsou identické, můžeme

je obě nahradit bodovými zářiči s funkcí záření F0 FA1. Postupem daným vztahy (4.12)

až (4.17) dospějeme k funkci záření dvojice ekvivalentních bodových zářičů

yA kdF cos5,0cos12 22 (5.3)

U každé dvojice dipólů je fáze proudu v levém prvku stejná jako fáze v pravém prvku;

proto sloučením vln od každé dvojice dipólů dojdeme k funkci kosinus. Protože

amplituda proudu je vždy v levém dipólu stejná jako v pravém dipólu (jejich poměr je

jednotkový), formálně kosinus násobíme koeficientem 1,0. Jelikož dvojice dipólů jsou

poskládány ve směru osy y a vzdálenost levého a pravého dipólů od referenčního středu

je d2/2, v argumentu kosinu vystupuje člen 0,5 kd2 cos y.

Záření celé šestice dipólů můžeme nyní nahradit jediným bodovým zářičem, jehož

směrové vlastnosti jsou popsány funkcí záření F0 FA1 FA2.

3. Vliv reflektoru. Vlna vyzařovaná skupinou dipólů, která dopadá na rovinný reflektor,

na jeho povrchu indukuje proudy vyzařující sekundární, odraženou vlnu. Tato vlna je

shodná s vlnou, kterou by vyzářil zrcadlový obraz zářiče nad reflektorem napájený

proudem s opačnou fází.

Postupem uvedeným v předchozí kapitole (vztahy 4.18 a 4.19) bychom dospěli

k závěru, že součet vlny vyzařované bodovým zdrojem F0 FA1 FA2 umístěným ve

vzdálenost h od reflektoru ve směru osy z a jeho zrcadlového obrazu může být popsán

vztahem

zR khF cossin2 (5.4)

Jelikož fáze proudu zrcadlového obrazu je opačná vůči prvku nad reflektorem, dojdeme

sloučením vln od zářičů k funkci sinus. Jelikož zářič a jeho zrcadlový obraz jsou

poskládány ve směru osy z a vzdálenost zářičů od referenčního středu je h, v argumentu

sinu vystupuje člen kh cos z.

Součin dílčích funkcí záření F0 FA1 FA2 FR charakterizuje vyzařování anténní soustavy ve

trojrozměrném prostoru.

Practical use of antennas

- 4 -

2. Radiation of the array of dipoles. The antenna array is created by triplets of dipoles

put along the x axis, and doublets of dipoles put along the y axis. In this situation,

radiation of elements along one axis is advantageous to be computed first, and radiation

of elements along another axis second.

Let us start with a triplet of dipoles. Following the procedure described in the previous

chapter (relations 4.12 to 4.17), the following result can be obtained:

xA kdF coscos5.021 11 (5.2)

The firs term corresponds to a central dipole, which is located in a reference origin of

the triplet. Since currents in marginal dipoles are identical, summation of radiated waves

is described by cosine. Since amplitude of currents in marginal elements is half of the

central current, the cosine is multiplied by 0.5. Since dipoles are located along the x axis

and the distance of marginal elements from the reference origin is d, argument of cosine

equals to kd1 cos x.

By the described procedure, the triplet of dipoles is replaced by a point radiator

characterized by the radiation function F0 FA1. Since both triplets of radiators are

identical, each triplet can be replaced by the point radiator characterized by the radiation

function F0 FA1. Following the derivation given by relations (4.12) to (4.17), radiation

function of the doublet of equivalent point radiators is obtained

yA kdF cos5.0cos12 22 (5.3)

In each doublet of dipoles, the phase of current in the left element equals to the phase of

current in the right element. Summing waves radiated by each doublet therefore results

in cosine, obviously. Since amplitudes of currents on left dipoles equal to amplitudes on

right dipoles (their ratio equals to one), the cosine is multiplied by the coefficient 1.0.

Since doublets of dipoles are located along the y axis, and the distance of dipoles from

the reference origin is d2/2, the term 0,5 kd2 cos y is the argument of the cosine

function.

In final, radiation of the whole group of six dipoles can be represented by a single point

radiator characterized by the radiation function F0 FA1 FA2.

3. Influence of the reflector. The wave radiated by the group of dipoles, which irradiates

the planar reflector, induces currents on its surface. Induced currents are the source of

the secondary, reflected wave. This wave is identical to a wave radiated by the mirror

image of the point radiator excited by the current with the opposite phase.

Following the derivation given by relations (4.18) and (4.19), summation of waves

radiated the point source F0 FA1 FA2 located in the distance h above the reflector in the z

direction and its mirror image results in

zR khF cossin2 (5.4)

Since the phase of current in the mirror image is opposite compared to the current in the

radiator above the reflector, summation of waves is expressed by the sine function.

Since the radiator and the mirror image follow the z axis and their distance from the

reference origin is h, the term kh cos z is the arguments of the sine function.

The product of radiation functions F0 FA1 FA2 FR characterizes radiation of the whole antenna

structure in the three-dimensional space.

Praktické použití antén

- 5 -

Výpočet funkce záření můžeme snadno naprogramovat v MATLABu. Význam

zdrojového kódu by měl být zřejmý z komentářů. Vstupními parametry a jsou úhly

kulového souřadného systému, které určují směr, v němž záření počítáme.

function F = patt( th, ph)

d1 = 0.25; % distances between antenna elements

d2 = 0.25;

h = 0.10; % distance of the reflector

l = 0.10; % length of an arm

f = 600e+6; % frequency of operation

c = 3e8; % speed of light

k = 2*pi*f/c; % wavenumber

cospx = sin( th) * cos( ph); %spatial angles <-> spherical

cospy = sin( th) * sin( ph);

cospz = cos( th);

dn = sqrt(1-cospy.*cospy); % radiation of the dipole (5.1)

Fd = (cos(k*l*cospy)-cos( k*l)) ./ dn;

Fs1 = 1 + cos( k*d1*cospx); % array factor (5.2)

Fs2 = 2*cos( 0.5*k*d2*cospy); % array factor (5.3)

Fr = 2*sin( k*h*cospz); % radiation of the reflector

F = Fs1 .* Fs2 .* Fr.* Fd;

Výše uvedenou funkci voláme v hlavním programu. Ten má za úkol vykreslit směrovou

charakteristiku v rovinách xz a yz. Obě roviny jsou kolmé na rovinný reflektor. Rovinu xz,

která je kolmá na osu dipólu, nazýváme rovinou H (podle Ampérova zákona v ní leží siločáry

magnetického pole). Rovinu yz, která je rovnoběžná s osou dipólu, nazýváme rovinou E (leží

v ní siločáry elektrického pole). Zdrojový kód hlavního programu vypadá následovně:

th = -90:90;

thr = th*pi/180;

Fe = abs( patt( thr, pi/2));

Fe = Fe / max( Fe);

figure; plot( th, Fe);

title('Rovina E');

figure; polar( thr, Fe);

title('Rovina E');

Fh = abs( patt( thr, 0));

Fh = Fh / max( Fh);

figure; plot( th, Fh);

title('Rovina H');

figure; polar( thr, Fh);

title('Rovina H');

Vypočtené směrové charakteristiky v kartézských a polárních souřadných systémech jsou

zobrazeny na obr. 5.2.

Kromě směrových charakteristik popisují vlastnosti antén rovněž číselné parametry.

Vybraným parametrům se věnujeme v následujících podkapitolách.

Practical use of antennas

- 6 -

Radiation function can be easily implemented in MATLAB. Meaning of the source

code is explained in comments. Angles and , which specify the direction the radiation is

computed in, are input parameters of the m-function.

function F = patt( th, ph)

d1 = 0.25; % distances between antenna elements

d2 = 0.25;

h = 0.10; % distance of the reflector

l = 0.10; % length of an arm

f = 600e+6; % frequency of operation

c = 3e8; % speed of light

k = 2*pi*f/c; % wavenumber

cospx = sin( th) * cos( ph); %spatial angles <-> spherical

cospy = sin( th) * sin( ph);

cospz = cos( th);

dn = sqrt(1-cospy.*cospy); % radiation of the dipole (5.1)

Fd = (cos(k*l*cospy)-cos( k*l)) ./ dn;

Fs1 = 1 + cos( k*d1*cospx); % array factor (5.2)

Fs2 = 2*cos( 0.5*k*d2*cospy); % array factor (5.3)

Fr = 2*sin( k*h*cospz); % radiation of the reflector

F = Fs1 .* Fs2 .* Fr.* Fd;

The above-specified function is called in the main program which is aimed to visualize

directivity patterns in xz plane and yz plane. Both planes are perpendicular to the planar

reflector. The xz plane, which is perpendicular to the axis of the dipole, is called the H plane

(according to Ampere’s law, magnetic field vectors lie upon). The yz plane, which is parallel

to the axis of the dipole, is called the E plane (electric field vectors lie upon). The source code

of the main program follows:

th = -90:90;

thr = th*pi/180;

Fe = abs( patt( thr, pi/2));

Fe = Fe / max( Fe);

figure; plot( th, Fe);

title('Rovina E');

figure; polar( thr, Fe);

title('Rovina E');

Fh = abs( patt( thr, 0));

Fh = Fh / max( Fh);

figure; plot( th, Fh);

title('Rovina H');

figure; polar( thr, Fh);

title('Rovina H');

Computed patterns in Cartesian coordinates and polar ones are shown in Figure 5.2.

Next to directivity patterns, properties of antenna systems are described by numerical

parameters. Selected parameters are described in following subchapters.

Praktické použití antén

- 7 -

Obr. 5.2 Směrové charakteristiky antény z obr. 5.1

5.1 Parametry antén

Poměr vstupního napětí a vstupního proudu definuje tzv. vstupní impedanci antény.

Vstupní odpor (reálná část vstupní impedance) odpovídá činnému výkonu, který anténa

vyzařuje do okolí

vstvst RIP 2

(5.5)

Zde Ivst značí proud na vstupu antény a Rvst je odpor záření vztažený ke vstupnímu proudu.

Vstupní reaktance (imaginární část vstupní impedance) popisuje přelévání energie mezi

anténou a jejím bezprostředním okolím.

Vyzářený výkon můžeme počítat rovněž z veličin vztažených k proudu v kmitně Imax.

Jelikož vyzářený výkon je pořád stejný, musí platit:

mmaxvstvst RIRIP 22 (5.6)

kde Rm je odpor záření vztažený ke kmitně proudu. Vztah (5.6) umožňuje přepočítat odpor

záření z jednoho místa do druhého, známe-li funkci proudové distribuce.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Rovina E

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Rovina H

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Rovina E

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Rovina H

Practical use of antennas

- 8 -

Fig. 5.2 Directivity patterns of the antenna depicted in Fig. 5.1.

5.1 Parameters of antennas

Input impedance is ratio of the input voltage and the input current. The input resistance

(the real part of the input impedance) corresponds to the power radiated by the antenna to

surroundings

vstvst RIP 2

(5.5)

Here, Ivst denotes the input current and Rvst is the radiation resistance related to the input

current.

The input reactance (the imaginary part of the input impedance) describes energy

flowing between the antenna and near surroundings.

The radiated power can be also computed from quantities related to the maximum

current Imax. Since the radiated power should be the same, the following equation is obtained:

mmaxvstvst RIRIP 22 (5.6)

where Rm is the radiation resistance related to the maximum current. Relation (5.6) enables

us to recompute the radiation resistance from one position to another position if current

distribution is known.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Rovina E

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Rovina H

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Rovina E

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Rovina H

Praktické použití antén

- 9 -

Při výpočtu odporu záření vycházíme ze skutečnosti, že výkon procházející uzavřenou

plochou, jež obklopuje anténu v bezeztrátovém prostředí, je roven výkonu vyzařovanému

anténou. Pokud výkon integrujeme po kulové ploše s velkým poloměrem, bude platit:

mmaxmax RIPddrF

r

IdS

EdS

2

2

0 0

2

22

sin60

120

1

120

Tudíž

R F d dm 30 2

00

2

sin (5.7)

Na obr. 5.3 je nakreslen průběh odporu záření a reaktance záření symetrického dipólu

v závislosti na relativní délce ramene l/. Obě vynesené veličiny jsou vztaženy ke vstupnímu

proudu. Všimněme si, že průběh reaktance záření je velmi podobný průběhu vstupní

reaktance ztrátového vedení naprázdno. Reálná složka roste od nuly do výrazného maxima

okolo délky l = /2 a pak opět klesá. Imaginární složka je kapacitní až do délky přibližně /4,

pak změní charakter na induktivní.

Obr. 5.3 Impedanční charakteristika symetrického dipólu.

Dipóly se obvykle navrhují tak, aby pracovaly v první (čtvrtvlnné) nebo ve druhé rezonanci.

Dipól s délkou ramene l = /4 přesně má impedanci (73 + j 42) . Jestliže jej doladíme do

rezonance patřičným zkrácením ramene, imaginární složka vymizí a reálná o několik ohmů

klesne. V půlvlnné rezonanci je vstupní odpor asi 1 000 až 2 000 v závislosti na tloušťce

vodiče.

Dalším parametrem je úhlová šířka hlavního laloku, která je dána úhlem vymezeným

směry, v nichž intenzita pole poklesne o 3 dB vůči maximu (obr. 5.4 vpravo). Činitel

zpětného záření je relativní intenzita záření ve směru opačném vůči směru maxima. Úroveň

bočních laloků je relativní velikost prvního, případně dalších bočních laloků vůči hlavnímu.

Practical use of antennas

- 10 -

Evaluation of the radiation resistance considers the fact that the power flowing through

the closed surface, which surrounds the antenna in a lossless environment, equals to the power

radiated by the antenna. Integrating the power along a spherical surface with a large radius

mmaxmax RIPddrF

r

IdS

EdS

2

2

0 0

2

22

sin60

120

1

120

Therefore

R F d dm 30 2

00

2

sin (5.7)

Figure 5.3 shows the dependence of the radiation resistance and the radiation reactance of

a symmetrical dipole on a relative length of the arm l/. Both the quantities are related to the

input current. Response of the radiation reactance is similar to the response of input reactance

of a lossy open-ended transmission line. The real component rises from zero to the maximum

around l = /2, and then decreases. The imaginary component is capacitive up to the length

/4 approximately, and then the behavior is changed to inductive.

Fig. 5.3 Impedance characteristics of a symmetrical dipole.

Dipoles are usually designed to operate in the first (quarter-wavelength) resonance. The

dipole with the arm l = /4 long shows the impedance (73 + j 42) . If the antenna is tuned to

the resonance by shortening the dipole, the reactance is zero and the resistance decreases for

few ohms. In a half-wavelength resonance, the input resistance is between 1 000 and

2 000 depending on the radius of the arm.

Angular width of the main lobe is another parameter. The width is given by the angle in

between directions given by 3 dB decrease with respect to the maximum radiation (Fig. 5.4

right). Back radiation is the relative intensity in the direction opposite to the main lobe

direction. Side lobe level is the relative intensity of the first sidelobe with respect to the

maximum radiation.

Praktické použití antén

- 11 -

Obr. 5.4 Detail impedanční charakteristiky dipólu v blízkosti čtvrtvlnné rezonance (vlevo).

Směrová charakteristika antény s vyznačenou šířkou hlavního laloku

a zpětným zářením (vpravo).

Dalším důležitým parametrem je činitel směrovosti D. Ten dovoluje vypočítat intenzitu pole,

známe-li vyzařovaný výkon:

EP D

ref

30 , (5.8)

Dílčími matematickými úpravami získáme užitečný vztah pro výpočet činitele směrovosti:

DR

Fm

, ,120 2

(5.9)

Při výpočtu D nejprve najdeme funkci záření, pak podle (5.7) vypočteme odpor záření

vztažený ke kmitně a z (5.9) získáme činitele směrovosti.

Má-li anténa dobře vyjádřený hlavní lalok doutníkového tvaru a nevelké boční laloky,

platí pro směrovost v maximu záření přibližný vztah

HE

maxD 22

00035 (5.10)

v němž 2E a 2H jsou úhlové (celé) šířky hlavního laloku ve dvou navzájem kolmých

rovinách (v rovinách E a H), vyjádřené ve stupních.

Účinnost antény se definuje poměrem vyzařovaného výkonu a příkonu. Pro účinnost lze

odvodit vztah

R

R R

vst

vst ztr

(5.11)

kde Rvst je odpor záření vztažený ke vstupnímu proudu a Rztr je ztrátový odpor, vyjadřující

ztráty v anténních vodičích.

Dobrá účinnost antény je podmíněna buď malým ztrátovým odporem a (nebo) velkým

odporem záření. Naopak nízkou účinnost mají antény s malým odporem záření – a to jsou

antény krátké proti délce vlny.

Practical use of antennas

- 12 -

Fig. 5.4 Detail of impedance characteristics of a dipole close to quarter-wavelength resonance

(left). Directivity pattern of an antenna with the depicted angular width of the main lobe

and back radiation (right).

Directivity D is another important parameter of antennas. Thanks to the directivity, field

intensity can be computed if the radiated power is known

EP D

ref

30 , (5.8)

Performing particular mathematical rearrangements, the following relation can be obtained:

DR

Fm

, ,120 2

(5.9)

Computing D, radiation function has to be derived first. According (5.7), radiation resistance

related to the maximum current is evaluated, and the directivity is obtained from (5.9).

If the main lobe of the antenna is well-defined and side lobes are not significant, an

approximate formula for the maximum directivity can be used

HE

maxD 22

00035 (5.10)

where 2E and 2H are angular widths (complete ones) in two perpendicular planes (E and H

ones) expressed in degrees.

Antenna efficiency is defined as a ratio of the radiated power and the input power.

Efficiency can be evaluated according to

R

R R

vst

vst ztr

(5.11)

where Rvst is the radiation resistance related to the input current and Rztr is the loss resistance

representing losses in antenna wires.

Good efficiency of the antenna is conditioned by low losses and (or) high radiation

resistance. Antennas with low radiation resistance exhibit low efficiency – these antennas are

usually short compared to the wavelength.