58. ročník MO Soustředění řešitelůKategorie A

Nadreálná čísla

Jiřetín 2008

O čem budeme dnes večer hovořit? Seznámíme se s matematickou teorií, která:• se zabývá některými hrami pro dva hráče,• ukáže například, jak lze tyto hry „sčítat“,• zavede např. kladné hry pomocí herní strategie,• nazve jisté speciální hry čísly,• vysvětlí, jak se hry-čísla násobí a odmocňují,• a konečně odhalí, že tyto hry-čísla obsahují

nejenom všechna reálná čísla, ale mnoho dalších nekonečně malých i nekonečně velkých čísel.

Úvod

Důležité teorie, které předcházely teorii nadreálných čísel(Dedekind a Cantor)

Jak Dedekind tvoří iracionální čísla?

Vychází z množiny všech racionálních čísel … Q.Při tvorbě nového (iracionálního) čísla rozloží množinu Q na dvě neprázdné podmnožiny A, B tak, že:

pro každá dvě čísla a A, b B platí, že a b,množina A nemá maximum,množina B nemá minimum.

Uspořádané dvojici množin (A;B) říká řez v množině Q.

A B

Příklad jednoho iracionálního čísla:

Definujme množiny A, B takto: B = b Q b 0 b2 2 , A = Q – B

• Jsou obě množiny neprázdné?• Proč tvoří rozklad množiny Q?• Proč pro každá dvě čísla a A, b B platí, že a b?• Opravdu nemá množina B své minimum?• Jak odůvodnit, že množina A nemá maximum?Tento řez (A;B) množině Q definuje iracionální číslo, kterému říkáme „druhá odmocnina ze dvou“ .

Jak Cantor tvoří přirozená a ordinální čísla?

Ordinální čísla (mezi něž patří i přirozená čísla) jsou postupně vytvářena takto:

Každé ordinální číslo je množina všech již dříve vytvořených ordinálních čísel.

0 = 1 = 02 = 0 1 3 = 0 1 2

atd.

= 0 1 2 3 …… +1 = 0 1 2 3 … +2 = 0 1 2 3 … +1

atd.

Představa ordinálních čísel

0, 1, 2, …. , ω, ω+1, ω+2, .... , ω+ω = ω.2, ω.2+1, ω.2+2, ω.2+3, …. , ω.2+ω = ω.3, …. , ω.4, … , ω.5, ……., ω.ω = ω2, ω2+1, ω2+2, …. , ω2+ω, … , ω2+ω.2, ….. , ω2+ω.3, ….. , ω2+ω.ω = ω2+ω2 = ω2.2, ω2.2+1, ….. ,ω2.3, … , ω2.4, … , ω2.ω = ω3, … , ω4 , … , ω5 , … , ωω, ωω+1, …. , ωω+ω, …. , ωω+ω.2, …. , ωω+ω2, …. , ωω+ω3, …. , ωω+ωω = ωω.2 , …. ,ωω.3, …. , ωω.ω, …………………………………

Základní představa her

Jakými objekty se vlastně budeme zabývat?Jaký význam pro nás bude mít slovo „hra“?

Pojďme si zahrát nějakou hru!

Budeme hrát na „stromečkovém schématu“:L-hráč táhne vždy vlevo nahoru, R-hráč táhne vždy vpravo nahoru.Tahy na sebe navazují.Kdo nemůže dál táhnout, prohrává.

R ► L L ► L

tj. ► L

Hra a její subhry

Je-li ve hře x na tahu levý hráč, může táhnout do libovolné subhry xL, analogicky pravý hráč může táhnout do libovolné subhry xR.

Hra x je zcela určena svými subhrami, píšeme x xL xR.

XXR

XL

Hry jako matematické objekty

Základní konstruktivní definiceInduktivní důkazyOpačné hrySčítání her

Konstruktivní definice her

Jestliže jsou dány dvě libovolné množiny her (prvky první množiny budeme označovat xL a prvky druhé množiny xR ), pak můžeme zkonstruovat novou hru x xL xR .Všechny hry jsou konstruovány tímto způsobem.

0. den našeho „tvoření nemáme k dispozici zatím žádnou hru, ale můžeme vytvořit hru, která bude mít obě své podmnožiny subher prázdné!Později ukážeme, že je vhodné označit: 0

A co dál?1. den našeho tvoření již máme k dispozici jednu hru 0 a můžeme tedy vytvořit tři nové hry:

1 0 -1 0 * 0 0

2. den našeho tvoření již máme k dispozici čtyři hry a můžeme vytvořit řadu dalších nových her, například: 1/2 0 1 0 * 0; 1; * -1; * atd.

Jak budeme dokazovat tvrzení o hrách?

Protože všechny hry x xL xR jsou vytvořeny ze svých subher xL a xR, a proces „tvoření“ začíná hrou 0, můžeme obecná tvrzení o hrách dokazovat indukcí.

Pro důkaz věty tvaru „pro každou hru x platí tvrzení T(x)“

stačí ukázat, že platí:

(1) tvrzení T(x) platí pro hru 0,(2) platí-li tvrzení T(x) pro všechny subhry xL a xR, platí i pro hru x xL xR .

Opačné hry

Vymění-li si levý a pravý hráč své role, projeví se to na stromečku tak, jakoby se otočil kolem svislé osy o 1800.

DefiniceKe hře x xL xR definujeme opačnou hru takto: -x -xR -xL .

XXR

XL

X-

-XR

-XL

Zahrajme si „simultánku“!

Hraje se na dvou stromečcích zároveň. Je-li hráč na tahu, dělá dovolený tah buď v jednom anebo v druhém stromečku.

Součet her

x + y xL + y ; x + yL xR + y; x + yR

Je zřejmé, jaké má nová hra subhry, nazveme ji součtem her x a y .

x L

x y

xR

y L

yR

Některé jednoduché věty

Dokažme například následující věty:

x + 0 x- (-x) xx + y y + x- ( x + y ) (-x) + (-y)

Důkaz první věty:0 + 0 + 0x + 0 xL xR + xL + 0 xR + 0 xL xR x

Strategická interpretace relací

Které hry jsou kladné či záporné?Které hry jsou rovny nule?Můžeme každé dvě hry porovnat podle velikosti?

Vztahy her k nule

Definujme následující relace:

x > 0 EVS pro levého hráčex < 0 EVS pro pravého hráčex = 0 EVS pro druhého hráče x || 0 EVS pro prvního hráče

Pak třeba snadno dokážeme:

0 = 0 , * || 0 , > 0 , -1 < 0 (x) x + (-x) = 0 atd.

Relace mezi hrami

Definice x R y x + (-y) R 0

Pak můžeme třeba dokázat, že platí 1/2 + 1/2 = 1atd.

Speciálně: x > y x + (-y) > 0x < y x + (-y) < 0x = y x + (-y) = 0 x || y x + (-y) || 0

Nadreálná čísla

Které hry budeme nazývat nadreálnými čísly?Jak definovat součin čísel?Jak čísla postupně vznikají?

Které hry nazveme „nadreálnými čísly“ ?

Definice Hru x xL xR budeme nazývat (nadreálným) číslem právě tehdy, když

(i) každá její subhra je nadreálné číslo, (ii) (xL) (xR) xL < xR .

Příklady: Hry 0 , 1 , -1 , 1/2 , atd. jsou nadreálnými čísly, hry * , , atd. nejsou nadreálnými čísly.

Věta Pro každé nadreálné číslo x xL xR platí: (xL) (xR) xL < x < xR .

Definice násobení čísel

Motivace: Víme, že pro každá dvě čísla x xL xR a y yL yR a jejich subhry platí tyto nerovnosti: x – xL 0 , x – xR < 0 , y – yL 0 , y – yR < 0 .Odtud pak plyne, že by „mělo být“ (x – xL).(y – yL) 0 x.y xL.y + x.yL – xL.yL , (x – xL).(y – yR) < 0 x.y < xL.y + x.yR – xL.yR ,

atd.

x.y xL.y + x.yL – xL.yL , xR.y + x.yR – xR.yR

xL.y + x.yR – xL.yR , xR.y + x.yL – xR.yL

Některé věty a výpočty

x.0 xL xR. 0x.y y.x

0.1 . 0 0x.1 xL xR.0 xL.1 + x.0 – xL.0 xR.1 + x.0 – xR.0 xL xR x

2 . 1/2 1 .0 1 = 1 , atd.

x.y xL.y + x.yL – xL.yL , xR.y + x.yR – xR.yR

xL.y + x.yR – xL.yR , xR.y + x.yL – xR.yL

Historie vzniku čísel

= 0 1 2 3 … = 0 1 1/2 1/4 …

den 0

den 1

den 2

den 3

0

-1

-2 1/2

3/2

-1/2

-3

1

2

3

Na závěr několik příkladů

Podivuhodné formule pro nekonečně malá a nekonečně velká čísla

Formule pro nekonečně velká čísla

Například: +1= -1= 0 1 2 3 … +1/2 = +1-1/2 = -1 2. = +1 +2 +3 … 2 = 2. 3. 4. … /2 = 0 1 2 … -1 -2 … /4 = 0 1 … /2 /2 -1 … = 0 1 … /2 /4 …

Formule pro nekonečně malá čísla

Například: = 1/

/2 = 0 /4 = 0 /2 2 = 0 /2 /4 …

2. = 1 1/2 1/4 … 3. = 2. 1 1/2 1/4 … = 2. 3. … 1 1/2 1/4 …

Představme si strukturu nadreálných čísel !

Kde se můžete dozvědět více?

• Conway J.H. : On Numbers and Games, Academic Press, London 1926

• Cihlář J., Vopravil V. : Hry a čísla, PF UJEP, Ústí nad Labem 1983

• http://mathworld/wolfram/com

Závěr • Seznámili jsme „letmo“ s Conwayovou teorií

her a nadreálných čísel.• Ukázali jsme, jak lze hry porovnávat podle

velikosti a jak je můžeme sčítat.• Dozvěděli jsme se, že některé hry můžeme

považovat za čísla, která jdou násobit či odmocňovat, atd.

• Zjistili jsme, že mezi těmito čísly jsou i čísla nekonečně malá a nekonečně velká, a že i s „nekonečnými“ čísly lze provádět výpočty.

• Reálná čísla jsou jenom malou částí čísel nadreálných.

Děkuji vám za pozornost.