Сравнение бесконечно малыхЗадачи, приводящие к понятию производной

Скорость прямолинейного движенияКасательная к кривой

Определение производной. Механический игеометрический смысл. Уравнение касатель-ной и нормали к кривой

7 — Лекция 7

7.1 Сравнение бесконечно малыхПусть одновременно несколько бесконечно малых величин α,β ,γ,δ , . . . являютсяфункциями одного и того же аргумента x и стремятся к нулю при стремлении x кнекоторому пределу a или к бесконечности. Будем характеризовать стремление этихпеременных к нулю, рассматривая их отношения.

Определение 7.1 Если отношениеβ

αимеет конечный и отличный от нуля предел,

т.е. если

limx→a

β

α= A 6= 0,или lim

x→a

α

β=

1A6= 0, (7.1)

то бесконечно малые β и α называются бесконечно малыми одного порядка.

Примеры.

Пример 7.1 Пусть α = x, β = sin2x и x→ 0. Бесконечно малые α и β одного порядка,так как

limx→0

sin2xx

= 2.

�

Пример 7.2 При x→ 0 бесконечно малые x, sin3x, tg8x, 2ln(1+x) являются бесконечномалыми одного и того же порядка. Доказательство проводится аналогично тому,как это сделано в предыдущем примере. �

Определение 7.2 Если отношение двух бесконечно малыхβ

αстремится к нулю,

46 Лекция 7

т.е. если

limx→a

β

α= 0,или lim

x→a

α

β= ∞, (7.2)

то бесконечно малая β называется бесконечно малой величиной высшего порядка,чем бесконечно малая α, а бесконечно малая α называется бесконечно малойнизшего порядка, чем бесконечно малая β .

Пример 7.3 Пусть α = x, β = xn, n > 1, x→ 0. Бесконечно малая β есть бесконечномалая высшего порядка, чем бесконечно малая α , так как

limx→0

xn

x= lim

x→0xn−1 = 0.

При этом бесконечно малая α есть бесконечно малая низшего порядка, чем беско-нечно малая β . �

Определение 7.3 Если отношение двух бесконечно малыхβ

αстремится к единице,

т.е. если

limx→a

β

α= 1, (7.3)

то бесконечно малые β и α называют эквивалентными бесконечно малыми (илиравносильными бесконечно малыми). Это записывается как α ≈ β .

Примеры.

Пример 7.4 Пусть α = x и β = sinx, где x→ 0. Бесконечно малые α и β эквивалентны,так как

limx→0

=sinx

x= 1.

�

Пример 7.5 Пусть α = x, β = ln(1+ x), где x→ 0. Бесконечно малые α и β эквива-лентны, так как

limx→0

=ln(1+ x)

x= 1.

�

Теорема 7.1 Если α и β - эквивалентные бесконечно малые, то их разность α−β

есть бесконечно малая высшего порядка, чем α и чем β .

Доказательство.

limx→0

α−β

α= lim

x→0

(1− β

α

)= 1− lim

x→0

β

α= 1−1 = 0 (7.4)

7.2 Задачи, приводящие к понятию производной 47

�

Теорема 7.2 Если разность двух бесконечно малых α − β бесконечно малаявысшего порядка, чем α и чем β , то α и β - эквивалентные бесконечно малые.

Доказательство.

limx→0

α−β

α= 0 =⇒ lim

x→0

(1− β

α

)= 0 =⇒

limx→0

(β

α

)= 1 =⇒ α ≈ β (7.5)

�

Примеры.

Пример 7.6 Пусть α = x, β = x+x3, где x→ 0. Бесконечно малые α и β эквивалентны,так как их разность β −α = x3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем α ичем β :

limx→0

β −α

α= lim

x→0

x3

x= lim

x→0x2 = 0,

limx→0

β −α

β= lim

x→0

x3

x+ x3 = limx→0

x2

1+ x2 = 0,

�

Пример 7.7 При x→∞ бесконечно малые α =x+1

x2 и β =1xэквивалентные бесконеч-

но малые, так как их разность α−β =1x3 есть бесконечно малая высшего порядка,

чем α и чем β . Предел отношения α и β равен 1:

limx→0

α

β= lim

x→∞

x+1x2

1x

= limx→∞

x+1x

= 1.

�

I Если отношение двух бесконечно малыхβ

αне имеет предела и не стремится к

бесконечности, то β и α не сравнимы между собой в указанном выше смысле.

7.2 Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Произ-водная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики,других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

48 Лекция 7

7.2.1 Скорость прямолинейного движенияПусть материальная точка (некоторое тело) M движется неравномерно по некоторойпрямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние OM = Sдо некоторой фиксированной точки O. Это расстояние зависит от времени t, т. е.S = S(t).

Это равенство называется законом движения точки. Требуется найти скоростьдвижения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в моментвремени t +∆t (∆t - приращение времени) точка займет положение M1, где OM1 =S+∆S (∆S - приращение расстояния) (см. рис.).

Таким образом, перемещение точки M за время ∆t будет

∆S = S(t +∆t)−S(t).

Отношение∆S∆t

выражает среднюю скорость движения точки за время ∆t:

Vср. =∆S∆t

. (7.6)

Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняяскорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка вре-мени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (илимгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V , получим

V = lim∆t→0

∆S∆t

= lim∆t→0

S(t +∆t)−S(t)∆t

. (7.7)

7.2.2 Касательная к кривойРассмотрим определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки M и M1 (см. рис.)

Прямая MM1, проходящую через эти точки, называется секущей. Пусть точка M1,двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке M. Тогда секущая,

7.2 Задачи, приводящие к понятию производной 49

поворачиваясь около точки M, стремится к некоторому предельному положениюMT .

Определение 7.4 Касательной к данной кривой в данной точке M называетсяпредельное положение MT секущей MM1, проходящей через точку M, когдавторая точка пересечения M1 неограниченно приближается по кривой к точке M1.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой y= f (x), имеющий в точке M(x,y)невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k = tgα , где α - уголкасательной с осью Ox. Для этого проведем через точку M и точку M1 графика сабсциссой x+∆x секущую. Обозначим через ϕ - угол между секущей MM1 и осьюOx. На рисунке

видно, что угловой коэффициент секущей равен

kсек. = tgϕ =∆y∆x

=f (x+∆x)− f (x)

∆x. (7.8)

При ∆x→ 0 в силу непрерывности функции приращение ∆y тоже стремится к нулю:поэтому точка M1 неограниченно приближается по кривой к точке M, а секущаяMM1, поворачиваясь около точки M, переходит в касательную. Угол ϕ → α, т. е.lim

∆x→0ϕ = α , или lim

∆x→0tgϕ = tgα и угловой коэффициент касательной равен

k = tgα = lim∆x→0

tgϕ = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x+∆x)− f (x)∆x

. (7.9)

I К нахождению пределов такого вида приводят решения и множества другихзадач:• Если Q=Q(t) - количество электричества, проходящего через поперечное

сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна

I = lim∆t→0

∆Q∆t

= lim∆t→0

Q(t +∆t)−Q(t)∆t

. (7.10)

• Если N = N(t) - количество вещества, вступающего в химическую реак-цию за время t, то скорость химической реакции в момент времени tравна

V = lim∆t→0

∆N∆t

= lim∆t→0

N(t +∆t)−N(t)∆t

. (7.11)

• Если m = m(x) - масса неоднородного стержня между точками O(0,0) и(x,0), то линейная плотность стержня в точке x есть

S = lim∆x→0

∆m∆x

= lim∆x→0

m(x+∆x)−m(x)∆x

. (7.12)

50 Лекция 7

Все эти пределы имеют одинаковый вид:везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращениюаргумента.

Этот предел называется производной.

7.3 Определение производной. Механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной и нормали к кривойПусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a,b).Проделаем следующие операции:− аргументу x ∈ (a,b) дадим приращение ∆x: x+∆x;− найдем соответствующее приращение функции: ∆y = f (x+∆x)− f (x);

− составим отношение приращения функции к приращению аргумента:∆y∆x

;

− найдем предел этого отношения при ∆x→ 0: lim∆x→0

∆y∆x

.

Если

этот предел существует, то его называют производной функции f (x) и обозначаютодним из символов

f ′(x), f ′x(x), y′, y′x,dydx

. (7.13)

Определение 7.5 Производной функции y = f (x) в точке x0 называется пределотношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращениеаргумента стремится к нулю:

y′ = lim∆x→0

f (x0 +∆x)− f (x0)

∆xили f ′(x0) = lim

∆x→0

f (x)− f (x0)

x− x0

Определение 7.6 Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке ин-тервала (a,b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахож-дения производной функции называется дифференцированием.

I В задаче про скорость прямолинейного движения было получено V = lim∆t→0

∆S∆t

.

Это равенство перепишем в видеV = S′t , т. е. скорость прямолинейного движенияматериальной точки в момент времени t - это производная от пути S по времениt. В этом заключается механический смысл производной.

I Обобщая, можно сказать, что если функция y = f (x) описывает какой - ли-бо физический процесс, то производная y′ - это скорость протекания этогопроцесса. В этом состоит физический смысл производной.

I В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент каса-

тельной k = tgα = lim∆x→0

∆y∆x

. Это равенство перепишем в виде f ′(x) = tgα = k, т.е.

производная f ′(x) в точке x равна угловому коэффициенту касательной к гра-фику функции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна x. В этом заключаетсягеометрический смысл производной.

Уравнение касательнойЕсли точка касания M имеет координаты M(x0,y0), то угловой коэффициент каса-тельной есть k = f ′(x0). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную

7.3 Определение производной. Механический и геометрический смысл. Уравнениекасательной и нормали к кривой 51точку в заданном направлении (y− y0 = f ′(x0)(x− x0)), можно записать уравнениекасательной:

y-y0 = f ′(x0)(x− x0) (7.14)

Уравнение нормалиПрямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормальюкривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

kнорм. =−1

kкас.=− 1

f ′(x0). (7.15)

Поэтому уравнение нормали имеет вид:

y-y0 =−1

f ′(x0)(x− x0) (7.16)

52 Лекция 7