7. Základy elektrotechniky 1 - cvut.cz...Základy elektrotechniky 1 Kirchhoffovy zákony 7. ZEL1...

7. Základy elektrotechniky 1

Kirchhoffovy zákony

7. ZEL1 – Kirchhoffovy zákony

Při řešení elektrických obvodů, tedy různě propojených sítí tvořených

zdroji, odpory (kapacitami a indukčnostmi) se opíráme o dva základní

fyzikální zákony, Kirchhoffovy zákony.

a) Proudový Kirchhoffův zákon (1.zákon) říká, že algebraický součet

proudů ve větvích spojených v libovolném uzlu je roven nule. Jinými

slovy: součet proudů do uzlu přitékajících je roven součtu proudů z uzlu

odtékajících. Vžila se dohoda, že proudy tekoucí z uzlu se označují

kladným znaménkem, proudy tekoucí do uzlu záporným znaménkem.

b) Napěťový Kirchhoffův zákon (2.zákon) říká, že algebraický součet

napětí ve větvích tvořících libovolnou smyčku je roven nule. Znaménka

napětí orientovaných souhlasně se smyčkou se berou kladně, opačně

orientovaná napětí se berou se záporným znaménkem. Pojmy smyčka a

uzel budou zřejmé z následujícího obrázku.


Obvod na obrázku má dvě smyčky

(označené I a II) a jeden uzel. Pro

smyčku I platí podle Kirchhoffova

zákona pro napětí ve smyčce I :

- U1 + R1.I1 + R2.I1 + U2 + R3.I3 + U3 = 0

Pro napětí ve smyčce II dostaneme

rovnici :

- U2 – R3.I3 - U3 + R5.I2 + R4.I2 = 0

Pro proudový uzel platí :

I2 + I3 – I1 = 0

Známe-li některé obvodové veličiny,

můžeme pomocí Kirchhoffových zákonů

vypočítat ostatní.

Konvence značení napětí a proudů !


Příklad 1 na Kirchhoffovy zákony:

1. Kirch. z.:

Σ Ii = 0

tedy součet proudů

vstupujících do plochy S a

vystupujících z plochy S je

roven 0 :

- I1 - I7 + I4 + I5 + I6 = 0

Ale též to platí o jednotli-

vých uzlech :

- I1 + I2 + I4 = 0

- I2 + I3 + I5 = 0

- I3 + I6 – I7 = 0


2. Kirch. z.: součet napětí ve smyčkách je roven 0.

- U1 + R1I1 + R4I4 = 0

- R4I4 + R2I2 + R5I5 = 0

- R5I5 + R3I3 + R6I6 = 0

- R1I1 – R2I2 – R3I3 + R7I7 = 0


Ukažme si použití Kirchhoffových zákonů na příkladu

sériového a paralelního řazení odporů. Sériově řazené

odpory jsou zapojeny podle obrázku:

Všemi odpory protéká stejný

proud I a bude tedy platit:

U = R1.I + R2.I + R3.I a tedy

U/I = R = R1 + R2 + R3

Tedy celkový odpor několika

sériově řazených odporů je

roven součtu jejich hodnot.

Zapojíme-li odpory paralelně dostaneme uspořádání podle

dalšího obrázku:


Pro proudový uzel platí podle

Kirchhoffova zákona:

I = I1 + I2 + I3Na všech paralelně zapoje-

ných odporech je stejné na-

pětí U a pro jednotlivé proudy

dostaneme:

I1 = U/ R1, I2 = U/R2, I3 = U/R3 a odtud

I

U=1

R=1

R1

+1

R2

+1

R3

Tedy při paralelním řazení odporů se sčítají jejich

převrácené hodnoty, nebo jinak řečeno sčítají se jejich

vodivosti.

7. ZEL1 – grafy

Větev - nahrazuje prvek (kombinaci prvků) mezi dvěma uzly -reprezentuje ji čára

Uzel - místo spojení nejméně dvou větví - nahrazuje svorky prvku

Graf obvodu - pomocí větví a uzlů reprezentuje „propojení“ obvodu

Strom - množina větví grafu, která spojuje nejmenším počtem čar všechny uzly (z grafu můžeme vybrat více než jeden strom)

Uzlová dvojice - uzel + referenční uzel

Nezávislá větev - nepatří do stromu

Smyčka - uzavřená dráha tvořená větvemi (v každém uzlu se mohou stýkat pouze dvě větve smyčky)

Nezávislá smyčka - obsahuje pouze jednu nezávislou větev, zbylé větve musí být součástí stromu

7. ZEL1 – grafy

grafový model

větev(hrana)

uzel

Příklady stromů

7. ZEL1 – grafy

Příklady stromů

nezávislé větve

Smyčka (nezávislá)

7. ZEL1 – metoda smyčkových proudů a metoda uzlových napětí

Metoda smyčkových proudů (MSP) a metoda

uzlových napětí (MUN)

• představují další metody používané k analýze obvodů

(k výpočtu obvodových veličin na jednotlivých prvcích)

• jsou založeny na aplikaci I. a II. Kirchhoffova zákona

• vedou k sestavení soustavy lineárních rovnic (tzv.

obvodových rovnic)

• počet rovnic pro každou z metod lze předem určit

• vybíráme metodu, která vede k menšímu počtu rovnic v soustavě

• počet rovnic je menší než „přímé“ použití I. a II.

Kirchhoffova zákona (tj. sestavení rovnice pro

každou smyčku a uzel)

7. ZEL1 – grafy

V následujících vztazích budeme předpokládat (z důvodu

zjednodušení), že každý uzel je spojen nejméně s jedním dalším uzlem

a že graf obvodu je souvislý, to znamená, že se neskládá z několika

oddělených částí např. vlivem použití vzájemných indukčností (není

tématem SUS) nebo řízených zdrojů s nepropojenými „vstupními“ a

„výstupními“ svorkami.

Počet uzlů: u

Počet větví: v

Počet uzlových dvojic, počet větví stromu: d = u - 1

Počet nezávislých větví, počet nezávislých smyček: s=v-d=v-u+ 1

Počet rovnic u metody uzlových napětí: xMUN = d - [počet zdrojů napětí (nezávislých i řízených)]

Počet rovnic u metody smyčkových proudů xMUN = s - [počet zdrojů proudu (nezávislých i řízených)]

7. ZEL1 – metoda smyčkových proudů

Použití I. a II. Kirchhoffova zákona vede k velkému počtu rovnic.

Pokud je u daného obvodu menší počet nezávislých smyček než

uzlových dvojic, počítáme nejdříve proudy nezávislých větví, přičemž

proudy nezávislých větví pokládáme za tzv. smyčkové proudy. V

nezávislých větvích pak protékají jen smyčkové proudy, ve větvích

stromu algebraický součet proudů sousedních smyček.

Pro každou nezávislou smyčku můžeme sestavit rovnici na základě II.

Kirchhoffova zákona, přičemž vyjadřujeme napětí na prvcích pomocí

jejich charakteristik (v SUS se jedná o aplikaci Ohmova zákona U=R.I)

a smyčkových proudů.

Použití pouze II. Kirchhoffova zákona vylučuje napsat takové rovnice,

které by byly na sobě závislé (minimalizace počtu rovnic).


Při řešení obvodů metodou MSP postupujeme takto:

1.V jednotlivých členech obvodu označíme smysl předpokládaných

proudů.

2.Volíme smyčky tak, aby každá větev obvodu byla alespoň v jedné z

nich. Proud zdroje proudu musí být současně smyčkovým proudem.

3.Zvolíme smysly smyčkových proudů. Mohou být libovolné, ale pro

snadnou kontrolu je volíme souhlasně.

4.Určíme rovnice pro všechny smyčky podle II. KZ. Pro stanovení

úbytku napětí na odporech uvažujeme smyčkové proudy.

5.Vypočítáme smyčkové proudy

6.Vypočítáme proudy skutečné pomocí smyčkových proudů. V případě,

že skutečný proud vyjde se záporným znaménkem, značí pouze to, že

skutečný proud má opačný smysl, než jsme předpokládali.


Počet nezávislých smyček: s = 3

Počet rovnic u metody smyčkových proudů xMUN = s - [počet zdrojů

proudu (nezávislých i řízených)] = 3


IA: -U

1+R

1IA+R

2(I

A-I

B)=0

IB: R

2.(I

B-I

A)+R

3IB+R

4(I

B-I

C)=0

IC: R

4(I

C-I

B)+R

5IC+U

2=0

IR3

=IB=0,122A


U obvodů, v nichž jsou zapojeny zdroje proudu, si musíme uvědomit,

že proudy větví se zdroji proudu nejsou neznámými, ale jsou dány

proudy zdrojů. Tyto větve musí být proto vždy nezávislé. Rovnice

sestavujeme jen pro ostatní smyčky. Pro smyčku se zdrojem proudu je

možno sestavit rovnici pouze dodatečně pro výpočet neznámého

napětí na zdroji proudu, pokud je ovšem požadováno.





IA: -U

1+R

1IA+R

2(I

A-I

B)=0

IB: R

2.(I

B-I

A)+R

3IB+R

4(I

B-I

C)=0

IC: I

C=I

1


Při sestavování obvodových rovnic obvodů s řízenými zdroji

postupujeme běžným způsobem. Jediný rozdíl spočívá v tom, že je

vždy třeba vyjádřit řízené obvodové veličiny jako funkce smyčkových

proudů, jinak by v rovnicích vystupovaly jako další neznámé veličiny.

Prakticky musíme vyjádřit řídicí veličiny pomocí smyčkových proudů.





IA: -U

1+R

1IA+R

2(I

A-I

B)=0

IB: R

2.(I

B-I

A)+R

3IB+R

4(I

B-I

C)=0

IC: R

4(I

C-I

B)+R

5IC+2R

2.(I

A-I

B) =0

7. ZEL1 – metoda uzlových napětí

Pokud je u daného obvodu menší počet uzlových dvojic než

nezávislých smyček, počítáme nejdříve napětí všech uzlových dvojic.

Příprava sestavení rovnic spočívá pouze ve volbě referenčního uzlu a v

označení napětí všech ostatních uzlů. Tato napětí označujeme jako

uzlová. Buď je napětí prvku přímo uzlovým napětím (je-li prvek jednou

svorkou zapojen do referenčního uzlu) nebo je dáno rozdílem uzlových

napětí.

Pomocí I. Kirchhoffova zákona sestavíme rovnice pro všechny uzly

kromě referenčního, přičemž vyjadřujeme všechny proudy pasivních

dvojpólů pomocí jejich charakteristik (v SUS I=U/R) a uzlových napětí.

Použití pouze I. Kirchhoffova zákona vylučuje napsat takové rovnice,

které by byly na sobě závislé (minimalizace počtu rovnic), stejně jako u

MSP.


Při řešení obvodů metodou MUN postupujeme takto:

1.Zvolíme referenční uzel tam, kde se stýká největší počet členů

(máme-li takových možností víc, pak volíme referenční uzel jeden pól

zdroje napětí, neboť druhý má již známé svorkové – uzlové napětí).

2.Pro každý uzel stanovíme všechny proudy v uzlu a určíme rovnice

podle I. KZ.

3.V případě zdrojů napětí doplníme rovnice odpovídající těmto

zdrojům.

4.Řešíme soustavu rovnic, kde neznámými jsou uzlová napětí.

5.Pomocí uzlových napětí vypočítáme proudy nebo napětí na

jednotlivých prvcích obvodu.


Počet uzlů: u = 4 Počet uzlových dvojic: d = u - 1 = 4 - 1 = 3

Počet rovnic u metody uzlových napětí: xMUN = d - [počet zdrojů napětí

(nezávislých i řízených)] = 3


UA: (U

A-U

B)/R

1 +(U

A-U

C)/R

4+I

1=0

UB: (U

B-U

A)/R

1 +U

B/R

2+(U

B-U

C)/R

3=0

UC: (U

C-U

A)/R

4+(U

C-U

B)/R

3+I

2=0


U obvodů, v nichž jsou zapojeny zdroje napětí, si musíme uvědomit, že

napětí větví tvořených těmito zdroji nejsou neznámými, ale jsou dána

právě napětím zdrojů. Z tohoto důvodu je počet nezávislých rovnic,

které musíme sestavit metodou uzlových napětí: xMUN = d - [počet

zdrojů napětí (nezávislých i řízených)]


Počet rovnic u metody uzlových napětí: xMUN = d - [počet zdrojů napětí

(nezávislých i řízených)] = 2

UA: U

A=0

UB: (U

B-U

A)/R

1 +U

B/R

2+(U

B-U

C)/R

3=0

UC: (U

C-U

A)/R

4+(U

C-U

B)/R

3+I

2=0


Pokud obsahuje analyzovaný obvod řízené zdroje, musíme při použití

metody uzlových napětí vyjádřit jejich řízená napětí nebo proudy

pomocí uzlových napětí, jinak by tyto veličiny vystupovaly v

obvodových rovnicích jako další neznámé veličiny. Toho se dosáhne

tím, že pomocí uzlových napětí vyjádříme veličiny řídicí.

7. ZEL1 – příklad 7.1

V obvodu zapojeném podle obrázku stanovte proudy procházející jednotlivými rezistory a určete, jaká jsou na nich napětí. Rezistory mají hodnoty 10 Ohm a napětí zdrojů jsou 10V.

7. ZEL1 – příklad 7.2

V obvodu zapojeném podle obrázku stanovte proudy procházející jednotlivými rezistory a určete, jaká jsou na nich napětí. Rezistory mají hodnoty R1 = 1kOhm, R2 = 500 Ohm, R3 = 1kOhm a proudy dodávané zdroji jsou I1 = 10mA a I2 = 20mA.

7. ZEL1 - Materiály

Jáneš V.: Přednášky Elektrotechnika 1

Blahovec A.: Elektrotechnika III

Mikulec M., Havlíček V.: Základy teorie elektrických obvodů 1

Boreš P.: Materiály k předmětu Teorie obvodů 1

Malý K., Musil T., Sadil J., Sýkora O., Zelenka J.: Základy elektrotechniky - cvičení

Date post:	16-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

7. Základy elektrotechniky 1 - cvut.cz...Základy elektrotechniky 1 Kirchhoffovy zákony 7. ZEL1...

Documents