Základy elektrotechniky – řešení příkladů

Stídavé proudy:stedních odborných škol
Ostrava, píspvková organizace
Rok vytvoení vzdlávacího programu 2012
POKYNY KE STUDIU:
AS KE STUDIU
as potebný k prostudování látky. as je pouze orientaní a slouí jako hrubé
vodítko pro rozvrení studia kapitoly.
CÍL
POJMY K ZAPAMATOVÁNÍ
VÝKLAD
Teoretický výklad studované látky, zavedení nových pojm a jejich vysvtlení.
EŠENÉ PÍKLADY
SHRNUTÍ POJM
PRAKTICKÉ ÚLOHY
V celém textu jsou dodrovány tyto barevné kombinace:
Veliina, prvek Obrázek
Barevný model - RGB
ervená Zelená Modrá
Naptí na rezistoru 60 60 255
Proud rezistorem 120 120 255
Cívka, Induktivní reaktance a susceptance
255 0 0
Proud cívkou 255 120 120
Kondenzátor, Kapacitní reaktance a susceptance
0 100 0
Proud kondenzátorem 50 200 50
Úhel 200 100 200
Impedance 255 60 0
Admitance 255 150 0
OBSAH:
1.2. Veliiny stídavého proudu ............................................................................... 8
1.2.1. Okamitá hodnota ................................................................................... 9
1.2.2. Maximální hodnota .................................................................................. 9
1.2.3. Efektivní hodnota .................................................................................... 9
1.2.4. Stední hodnota .................................................................................... 10
1.3.3. Proud pedbíhá naptí .......................................................................... 13
1.3.4. V protifázi .............................................................................................. 14
1.4.1. Ideální rezistor v obvodu stídavého proudu ......................................... 15
1.4.2. Ideální cívka v obvodu stídavého proudu............................................. 18
1.4.3. Ideální kondenzátor v obvodu stídavého proudu ................................. 22
1.5. Sériové azení prvk ....................................................................................... 26
1.5.1. Sériové azení R a L ............................................................................. 26
Píklad 1.5.1.1. ..................................................................................... 32
Píklad 1.5.1.2. ..................................................................................... 37
Píklad 1.5.2.1. ..................................................................................... 43
1.5.4. Sériové azení R a L a C ....................................................................... 52
Píklad 1.5.4.1. ..................................................................................... 55
1.6.1. Paralelní azení R a L ........................................................................... 62
Píklad 1.6.1.1. ..................................................................................... 68
Píklad 1.6.2.1. ..................................................................................... 77
1.6.4. Paralelní azení R a L a C ..................................................................... 85
Píklad 1.6.4.1. ..................................................................................... 89
1.7.1. Pepoet sériového obvodu na paralelní ............................................... 96
Píklad 1.7.1.1. ..................................................................................... 99
Píklad 1.7.2.1. ....................................................................................106
obvod .................................................................................................109
impedancí a admitancí .........................................................................128
1.8.1. Skutený rezistor .................................................................................139
1.8.2. Skutená cívka .....................................................................................139
1.8.3. Skutený kondenzátor .........................................................................140
1.9.1. Komplexní íslo ....................................................................................144
Píklad 1.9.2.1. ....................................................................................149
Píklad 1.9.2.2. ....................................................................................149
1.9.4. ešení obvod symbolickou metodou .................................................154
Píklad 1.9.4.1. ....................................................................................155
Píklad 1.9.4.2. ....................................................................................160
AS KE STUDIU
CÍL
stídavého proudu.
Fázor = vektor otáející se kolem poátku.
Frekvence = poet cykl za sekundu, znaí se f a jednotkou je Hz (velikostn
1 Hz = 1 s-1).
Perioda = doba jednoho cyklu, znaí se T, jednotkou je s a je pevrácenou hodnotou
frekvence ( ⁄ ).
Úhlová rychlost = úhel za as, znaí se ω a její jednotkou je rad ⋅ s-1. Dá se vypoíst
i jako poet otoení (cykl) za sekundu (frekvence) násobený plným úhlem
ω = 2 ⋅ π ⋅ f.
VÝKLAD
Veliiny stídavého proudu se znázorují tzv. fázory, co jsou vektory otáející se
kolem poátku úhlovou rychlostí ω. Smr otáení je proti smru hodinových ruiek.
Úhlovou rychlost ω meme vypoítat ze vztahu ω = 2 ⋅ π ⋅ f [rad ⋅ s-1], kde 2 ⋅ π je
plný úhel a f je poet otoení fázoru za sekundu, tedy frekvence. Úhlová rychlost
(nkdy nazývaná kruhová frekvence nebo úhlový kmitoet) tedy udává o jaký úhel
(v radiánech) se otoí fázor za sekundu.
Pomocí fázoru dané veliiny lze zkonstruovat její sinusový prbh. Pi konstrukci
vycházíme z kruhu o polomru, který odpovídá amplitud (viz dále) veliiny. Dále
nakreslíme fázor veliiny pootoený po nkolika úhlech napíklad po 30° (π/6).
Z prseíku fázoru a krunice spustíme kolmici k ose x a vytvoíme pravoúhlý
trojúhelník. Tato kolmice je v trojúhelníku protilehlou odvsnou k úhlu (α), který svírá
- 7 -
fázor s osou x, její délka tedy odpovídá souinu amplitudy veliiny a sinu tohoto úhlu
(Imax ⋅ sin α). Na asové ose vyznaíme dílky po úhlech, ve kterých jsme kreslili
fázory (π/6). Do kadého dílku pak vyneseme odpovídající velikost protilehlé
odvsny trojúhelníku. Konce vynesených protilehlých odvsen nakonec propojíme
a tím vykreslíme sinusoidu.
Otoením fázoru o plný úhel (2 ⋅ π) jsme na asové ose vynesli dobu periody T.
Jeliko poet otoení fázoru (tedy i poet period) za sekundu je frekvence, je doba
periody její pevrácenou hodnotou:
SHRNUTÍ POJM
OTÁZKY
Na em závisí úhlová rychlost?
Imax
- 8 -
PRAKTICKÉ ÚLOHY
Na výkres v mítku 1 cm 1 A a 1 cm 10° narýsujte sinusoidu proudu
s amplitudou 5 A. Okamitou hodnotu proudu vyneste po 30° ( 6⁄ ).
1.2. Veliiny stídavého proudu
okamiku.
Efektivní hodnota = hodnota stídavé veliiny, která vyvolá stejný tepelný úinek jako
myšlená hodnota veliiny stejnosmrné.
Stední hodnota = hodnota stídavé veliiny, která vyvolá stejný chemický úinek jako
myšlená hodnota veliiny stejnosmrné.
- Okamitá hodnota.
- Maximální hodnota.
- Efektivní hodnota.
- Stední hodnota.
zejmé, e se jedná o délku
kolmého prmtu fázoru v daném
okamiku, tedy o délku protilehlé
odvsny pravoúhlého trojúhelníku.
Oznaujeme ji malými písmeny (i, u). Velikost okamité hodnoty je dána souinem
amplitudy veliiny a sinu úhlu, který svírá v daném okamiku fázor s osou x
(i = Imax ⋅ sin α; u = Umax
⋅ sin α).
Jeliko se fázory otáí konstantní úhlovou rychlostí ω a jeliko uhlová rychlost je úhel
za as ⁄ , piem pro konstantní rychlost platí zjednodušený tvar ⁄ ,
pak úhel α meme vyjádit ze vztahu ⋅ . Okamitou hodnotu tedy meme
vyjádit vztahy: i = Imax ⋅ sin (ω ⋅ t); u = Umax
⋅ sin (ω ⋅ t).
1.2.2. Maximální hodnota
Ozaujeme ji indexem „max“ (Imax; Umax).
1.2.3. Efektivní hodnota
stejnosmrného, který by vyvolal pi prchodu vodiem stejný tepelný úinek (efekt)
jako skutený stídavý proud. Efektivní hodnoty znaíme stejn jako stejnosmrné
hodnoty velkými písmeny (I, U - nkdy s indexem „ef“ Ief, Uef). Pro odvození velikosti
efektivní hodnoty proudu vycházíme z tepelných (Jouleových) ztrát. Okamitá
hodnota je dána vztahem ⋅ a po dosazení za okamitou hodnotu proudu pak
⋅ ⋅ . A jeliko asový prbh
sinus, je jeho hodnota stále kladná a má
dvojnásobnou frekvenci. Maximální hodnota
Z obrázku je patrné, e efektivní hodnota
výkonu je pesn polovinou maximální
hodnoty výkonu (plocha nad, se rovná ploše
pod efektivní hodnotou výkonu), tedy
t
max ⋅ sin α
α α (t)
dostaneme matematickou úpravou z rovnosti tchto vztah vztah pro velikost
efektivní hodnoty proudu:
√2 7 7 ⋅
1.2.4. Stední hodnota
hodnot myšleného proudu stejnosmrného,
skutený stídavý proud. Poítá se jen z doby
plperiody. Její velikost je dána stranou
obdélníku, jeho délka odpovídá dob
plperiody a plocha odpovídá ploše plvlny
sinusového prbhu proudu. Znaí se velkým písmenem s indexem „st“ nebo „av“
(average) Ist, Ust nebo Iav, Uav. Stední hodnotu jedné plvlny vypoteme ze vztahu:
2 ⋅ 637 ⋅
2 ⋅ 637 ⋅
SHRNUTÍ POJM
OTÁZKY
t
I
Ist
Zadání:
Vypotte okamitou hodnotu proudu v ase 132 ms, je-li maximální hodnota proudu
15 mA a frekvence je 50 Hz. Dále vypotte efektivní hodnotu tohoto proudu.
Vyjádení zadání:
i = Imax ⋅ sin (ω ⋅ t) = Imax
⋅ sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t) = 0,015⋅sin (2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0,132) =
0,015 ⋅ (− 0,5878)
√2 5
POZNÁMKA:
Úhel vyjádený souinem ωt je v radiánech a proto si nesmíme zapomenout pepnout
kalkulaku.
PRAKTICKÉ ÚLOHY
Vypotte okamitou hodnotu proudu v ase 0,2 s, je-li maximální hodnota proudu
7,5 mA a frekvence je 32 Hz. Dále vypotte efektivní hodnotu tohoto proudu
a stední hodnotu jedné plvlny tohoto proudu.
t = 132 ms = 0,132 s i = ? Imax = 15 mA = 0,015 A I = ? f = 50 Hz
- 12 -
CÍL
Ve fázi = úhel mezi fázory je roven nule.
Proud se zpouje za naptím = fázor proudu je proti fázoru naptí posunut o uritý
úhel ve smru hodinových ruiek.
Proud pedbíhá naptí = fázor proudu je proti fázoru naptí posunut o uritý úhel
proti smru hodinových ruiek.
V protifázi = úhel mezi fázory je roven 180° (π rad).
VÝKLAD
1.3.1. Ve fázi
Dva fázory jsou tzv. ve fázi, jestlie svírají nulový úhel a jejich okamité hodnoty
nabývají nulové hodnoty i hodnoty maximální ve stejný okamik.
POZNÁMKA:
V elektrotechnice se úhel vyjadující fázový posun mezi proudem a naptím oznauje
eckým písmenem φ.
1.3.2. Proud se zpouje za naptím
Pokud se proud zpouje za naptím, pak fázor proudu je proti fázoru naptí
posunut o uritý úhel (v obrázku o 60°) ve smru hodinových ruiek (proti smru
otáení fázor). Také všechny odpovídající okamité hodnoty proudu (nulové,
maximální) jsou asov zpodny za naptím o dobu odpovídající úhlu zpodní
(60°).
Meme samozejm také íct, e naptí pebíhá proud o uritý úhel (60°). Pak
všechny odpovídající okamité hodnoty naptí (nulové, maximální) asov pedbíhají
proud o dobu odpovídající úhlu pedbíhání (60°). Ob tvrzení jsou rovnocenná.
1.3.3. Proud pedbíhá naptí
Pokud proud pedbíhá naptí, pak fázor proudu je proti fázoru naptí posunut o uritý
úhel (v obrázku o 120°) proti smru hodinových ruiek. Také všechny odpovídající
okamité hodnoty proudu (nulové, maximální) asov pedbíhají naptí o dobu
odpovídající úhlu pedbíhání (120°).
Meme samozejm také íct, e naptí se za proudem zpouje o uritý úhel
(120°). Pak všechny odpovídající okamité hodnoty naptí (nulové, maximální) jsou
asov zpodny za proudem o dobu odpovídající úhlu zpodní (120°). Ob tvrzení
jsou opt rovnocenná.
1.3.4. V protifázi
Fázory jsou v protifázi, jestlie jsou posunuty o 180°, prbhy jejich okamitých
hodnot procházejí nulovými i maximální hodnotami ve stejný okamik, ale jejich
maximální hodnoty jsou v opaných polaritách.
POZNÁMKA:
Ukázky konstrukce sinusoid s fázovým posunem naleznete ve výukové prezentaci
íslo 1.
SHRNUTÍ POJM
Ve fázi, proud pedbíhá naptí, proud se zpouje za naptím, v protifázi.
OTÁZKY
Kdy jsou dva fázory ve fázi a kdy v protifázi?
PRAKTICKÉ ÚLOHY
Na výkres v mítku 1 cm 1 A, 1 cm 10 V a 1 cm 30° narýsujte sinusoidy
proudu s amplitudou 4 A (erven), naptí U1 s efektivní hodnotou 21,9 V a fázovým
posunem za proud o 60° (mode) a naptí U2 s efektivní hodnotou 42,4 V a fázovým
posunem ped proud o 30° (zelen). Na výkrese naznate fázový posun mezi
naptími U1 a U2 a urete jeho velikost.
U, I
φ (t)
Jednoduchým obvodem se rozumí elektrický obvod vytvoený jen jedním ideálním
obvodovým prvkem (rezistorem R, cívkou L, kondenzátorem C) pipojeným ke zdroji
stídavého naptí U. Obvodem prochází stídavý elektrický proud I.
1.4.1. Ideální rezistor v obvodu stídavého proudu
AS KE STUDIU
Pochopit pomry veliin stídavého proudu v obvodu s ideálním rezistorem.
Ideální rezistor = prvek elektrického obvodu, který se projevuje jen elektrickým
odporem R [].
Fázový posun proudu a naptí na ideálním rezistoru = fázor proudu je ve fázi
s fázorem naptí (svírají nulový úhel).
Výkon obvodu s rezistorem = inný výkon P [W], který koná práci (rezistor pemuje
elektrickou energii na energii tepelnou).
VÝKLAD
Ideální rezistor je prvek elektrického obvodu, který se projevuje jen elektrickým
odporem R []. Pipojíme-li tento rezistor ke zdroji stídavého naptí sinusového
prbhu (u = Umax ⋅ sin ωt), zane jím protékat stídavý elektrický proud takté
sinusového prbhu (i = Imax ⋅ sin ωt). Pro okamité hodnoty naptí a proudu platí
Ohmv zákon:
Ohmv zákon dle pedchozí rovnice platí i pro maximální hodnoty
a po dosazení za √2 ⋅ a za √2 ⋅ , dostaneme Ohmv zákon pro
efektivní hodnoty
√2 ⋅ √2 ⋅
Dosadíme-li za elektrický odpor jeho pevrácenou hodnotu, tedy vodivost ⁄ [S],
dostaneme Ohmv zákon ve tvaru: I = G ⋅ U.
Proud a naptí na ideálním rezistoru jsou ve fázi (jejich okamité hodnoty nabývají ve
stejný okamik nulové hodnoty i hodnoty maximální).
Výkon stídavého proudu v obvodu s ideálním rezistorem je dán souinem naptí
a proudu na rezistoru P = UR ⋅IR [W]. Stejn tak i okamitá hodnota výkonu je dána
souinem okamitých hodnot naptí a proudu p = uR ⋅ iR. Ze znázornní naptí
a proudu na rezistoru je zejmé, e okamitá hodnota výkonu je vdy kladná
(i+ ⋅ u+=p+; i- ⋅ u-=p+).
Grafickým znázornním prbhu výkonu v obvodu ideálního rezistoru je sinusoida
s osou leící nad osou asu (posunutá o efektivní hodnotu výkonu P)
a s dvojnásobnou frekvencí. Je to výkon inný a koná práci (vykonaná práce
odpovídá ploše pod kivkou výkonu).
UR
IR
t
uR
iR
UR
IR
⋅
⋅
SHRNUTÍ POJM
Ideální rezistor, vodivost, fázový posun proudu a naptí na rezistoru, výkon obvodu
s ideálním rezistorem.
Jak definujeme ideální rezistor?
Jak definujeme elektrickou vodivost, jak ji znaíme a jaká je její jednotka?
Jaký je fázový posun proudu a naptí na ideálním rezistoru?
Jak vypoteme výkon v obvodu s ideálním rezistorem?
Jaký asový prbh má výkon v obvodu s ideálním rezistorem?
PRAKTICKÉ ÚLOHY
Jaký proud prochází ideálním rezistorem s elektrickým odporem 270 po pipojení
ke zdroji stídavého naptí 54 V?
Vypotte výkon stídavého proudu v obvodu s ideálním rezistorem, je-li zadáno:
naptí 80 V, proud 200 mA.
Jaký výkon musí mít ideální rezistor s elektrickým odporem 1 500 , aby jej
nepoškodil procházející proud 280 mA?
Jaké naptí má zdroj, který v ideálním rezistoru s elektrickým odporem 168,5
vytváí výkon 10,1 W?
Jaký výkon musí mít ideální rezistor s elektrickým odporem 3,3 k, aby vydrel
pipojení ke zdroji naptí 230 V?
- 18 -
AS KE STUDIU
Pochopit pomry veliin stídavého proudu v obvodu s ideální cívkou.
Ideální cívka = prvek elektrického obvodu, který se projevuje jen elektrickou
indukností L [H].
Fázový posun proudu a naptí na ideální cívce = fázor proudu se zpouje za
fázorem naptí o úhel 90°.
Indukní reaktance = zdánlivý odpor cívky XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L [].
Indukní susceptance = zdánlivá vodivost cívky BL, pevrácená hodnota indukní
reaktance
⋅ ⋅ ⋅ [S].
Výkon obvodu s ideální cívkou = jalový výkon Q [var], který pemuje energii zdroje
na energii magnetického pole cívky, toto pole posléze zaniká a svoji energii pomocí
elektromagnetické indukce mní zpt na energii elektrickou.
VÝKLAD
Ideální cívka se v obvodu projevuje jen svojí indukností, resp. induktivní reaktancí.
Stídavý sinusový proud procházející cívkou v ní vyvolá stídavý sinusový magnetický
tok Φ, který je ve fázi s proudem.
Stídavý magnetický tok indukuje v cívce naptí ui, které dle indukního zákona
( ⁄ ) má maximální hodnotu v okamiku nejvtší zmny magnetického toku,
tedy pi prchodu magnetického toku nulou. Naopak v maximální hodnot
magnetického toku je jeho zmna nulová a proto i indukované naptí je nulové.
UL IL
L UL
IL
- 19 -
Prbh indukovaného naptí je tedy také sinusového prbhu a fázov se zpouje
za magnetickým tokem a tedy i proudem o ¼ periody, tedy 90° ( 2⁄ ).
Smr indukovaného naptí urujeme dle Lencova pravidla (indukované naptí vyvolá
proud, který svým magnetickým polem brání zmn magnetického pole, které jej
vyvolalo), tedy zvtšuje-li se magnetický tok v kladné plvln (viz obrázek odkaz 1),
brání indukované naptí zvtšování magnetického toku a indukované naptí má
zápornou hodnotu (1). Naopak zmenšuje-li se magnetický tok v kladné plvln (2),
psobí indukované naptí stejným smrem a má kladnou hodnotu (2). Obdobné je to
i v záporné plvln magnetického toku, bude-li narstat záporná hodnota
magnetického toku (3), bude indukované naptí bránit jeho zvtšování a indukované
naptí bude mít zápornou hodnotu (3). Naopak pi poklesu záporné hodnoty
magnetického toku (4), psobí indukované naptí stejným smrem a má kladnou
hodnotu (4).
Proto, aby cívkou procházel proud, musí naptí zdroje indukované naptí potlait
a musí tedy být s indukovaným naptím v protifázi (180°; π). Z toho vyplývá, e
naptí na cívce UL pedbíhá proud o 2⁄ (¼ periody).
Pro okamité hodnoty proudu a naptí tedy platí:
⋅ ⋅ ⋅ ( ⋅
2 )
Má-li cívka N závit, pak proud procházející touto cívkou vybudí tzv. spaený
magnetický tok Ψ = N⋅Φ. Vlastní induknost této cívky se pak dá staticky definovat
jako pomr spaeného magnetického toku a proudu procházejícího cívkou:
⋅
[ ]
asovou zmnou proudu:
- 20 -
Z tohoto vztahu je definována jednotka induknosti henry (H). Cívka má induknost
jeden henry pokud pi rovnomrné zmn proudu o 1 ampér za 1 sekundu se do ní
naindukuje naptí 1 volt.
⋅
⋅
znamená zmnu magnetickéhotoku za element asu.
Mní-li se magnetický tok sinusov tedy ΦΦmax ⋅sin ( ⋅ t), pak po dosazení a
vyešení diferenciální rovnice dostaneme vztah pro okamitou hodnotu
indukovaného naptí ui = ω ⋅ ⋅ Φmax ⋅ cos ( ⋅ t). Maximální hodnota indukovaného
naptí (cos ( ⋅ t) = 1) je Ui max = ω ⋅ ⋅ Φmax a jeliko N ⋅ Φ = L ⋅ I, dostáváme vztah
pro maximální hodnotu indukovaného naptí ve tvaru: Ui max = ω ⋅ L ⋅ Imax. Tato
rovnice platí i pro efektivní hodnoty proudu a naptí: U = ω ⋅ L ⋅ I.
Vyjádíme-li z této rovnice proud, dostaneme rovnici dle Ohmova zákona, kde
⋅
Pevrácenou hodnotu indukní reaktance nazýváme indukní susceptance BL a její
jednotkou je Siemens (S):
) je pouze formální ne fyzikální, nebo indukní
reaktance není inný odpor. Tento formální Ohmv zákon platí jen pro maximální
a efektivní hodnoty proudu a naptí, neplatí pro hodnoty okamité!
Výkon stídavého proudu v obvodu s ideální cívkou je dán souinem naptí a proudu
na cívce Q = UL ⋅ IL [var]. Jedná se o tzv. výkon jalový a jeho jednotkou je volt ampér
reaktanní (var).
Okamitá hodnota výkonu v obvodu ideální cívky je dána souinem okamitých
hodnot naptí a proudu q = uL ⋅ iL a jejím grafickým znázornním prbhu je
sinusoida s dvojnásobnou frekvencí. Kladné a záporné ásti ploch výkonové kivky
jsou stejn velké, tedy jejich souet je nulový a nulová je i konaná elektrická práce.
Tento výkon je jen výkonem výmnným, tedy dochází pouze k pesunu energie
zdroje do energie magnetického pole cívky a zpt.
- 21 -
SHRNUTÍ POJM
Ideální cívka, fázový posun proudu a naptí na cívce, indukní reaktance, indukní
susceptance, výkon obvodu s cívkou.
OTÁZKY
Jaký je fázový posun proudu a naptí na ideální cívce?
Jaký je fázový posun proudu a indukovaného naptí na ideální cívce a naptí zdroje
a indukovaného naptí?
Co je to vlastní induknost cívky, jak se znaí a jak ji vypoteme?
Co je to indukní reaktance, jak se znaí a jak ji vypoteme?
Co je to indukní susceptance, jak se znaí a jak ji vypoteme?
Jak vypoteme výkon v obvodu s ideální cívkou?
Jaký asový prbh má výkon v obvodu s ideální cívkou?
PRAKTICKÉ ÚLOHY
Vypotte induknost ideální cívky pipojené ke zdroji stídavého naptí 230 V,
50 Hz, prochází-li jí proud 2 A.
Jakou induknost musí mít cívka, aby její indukní reaktance byla 10 , pi frekvenci
100 Hz, 800 Hz, 1,5 kHz a 7 kHz?
Vypotte indukní susceptanci cívky s indukností 80 mH pi frekvenci 50 Hz.
q Q UL
AS KE STUDIU
Pochopit pomry veliin stídavého proudu v obvodu s ideálním kondenzátorem.
kapacitou C [F].
Fázový posun proudu a naptí na ideálním kondenzátoru = fázor proudu se pedbíhá
ped fázorem naptí o úhel 90°.
Kapacitní reaktance = zdánlivý odpor kondenzátoru
⋅ ⋅ ⋅ [].
kapacitní reaktance
2 ⋅ ⋅ ⋅ [S].
Výkon obvodu s ideálním kondenzátorem = jalový výkon Q [var], který pemuje
energii zdroje na energii elektrostatického pole kondenzátoru, které posléze zaniká
a svoji energii mní zpt na energii elektrickou vrácenou do zdroje.
VÝKLAD
Ideální kondenzátor je prvek, který má dokonale nevodivé dielektrikum a projevuje se
pouze kapacitou C.
Pipojíme-li ideální kondenzátor ke zdroji stídavého sinusového naptí, bude se
kondenzátor stídav nabíjet a vybíjet, tedy okamitá hodnota náboje se mní dle
vztahu q = u ⋅ C.
Pi zvyšování naptí uC v kladné plvln z nuly na maximální hodnotu se
kondenzátor nabíjí a pi naptí Umax je kondenzátor nabit. Dále naptí v kladné
UC IC
- 23 -
plvln klesá zpt na nulovou hodnotu a kondenzátor se vybíjí. Poté naptí narstá
v záporné plvln a kondenzátor se opt nabíjí, ale jeliko proud prochází opan,
kondenzátor se nabije na opanou polaritu. Pi nabíjení a vybíjení kondenzátoru
prochází obvodem stídavý proud sinusového prbhu, piem jeho maximální
hodnota je v okamiku kdy naptí prochází nulou (v okamiku, ve kterém se
kondenzátor zaíná nabíjet). Naopak nulovou hodnotu má proud v okamiku, kdy je
kondenzátor nabit a naptí dosáhne maximální hodnoty.
Bhem nabíjení kondenzátoru se i na nm zvyšuje naptí (uK) a v okamiku, kdy je
kondenzátor nabit, dosáhne své maximální hodnoty, jen toto naptí je v protifázi proti
svorkovému naptí. Jakmile poté zane svorkové naptí klesat, kondenzátor se
vybíjí, klesá také naptí na kondenzátoru a pi nulovém naptí je kondenzátor zcela
vybit. Naptí na kondenzátoru je sinusového prbhu, protoe je vyvoláno
sinusovým proudem.
Naptí zdroje pipojeného k ideálnímu kondenzátoru se zpouje za proudem o π/2.
Stídavý proud v obvodu s kondenzátorem je tím vtší, ím vtší je kapacita, ím
vyšší je kmitoet svorkového naptí (tj. ím rychleji se stídá nabíjení s vybíjením
kondenzátoru) a ím vtší je maximální hodnota (amplituda) svorkového naptí.
Maximální hodnota nabíjecího proudu je tedy dána vztahem: Imax = ω⋅Umax⋅C, tato
rovnice se dá upravit i pro hodnoty efektivní √2 ⋅ ⋅ √2 ⋅ ⋅ , tedy
⋅ ⋅ ⋅ , kde ⋅ je kapacitní susceptance, neboli jalová kapacitní
vodivost, jednotkou je siemens (S). Pevrácená hodnota kapacitní susceptance je
kapacitní reaktance
Jednotkou kapacitní reaktance je ohm ().
Pro obvod s ideálním kondenzátorem meme napsat Ohmv zákon ve tvaru (stejn
jako u cívky neplatí Ohmv zákon pro okamité hodnoty):
2⁄
2⁄
- 24 -
Výkon stídavého proudu v obvodu s ideálním kondenzátorem je dán souinem
naptí a proudu na kondenzátoru Q = UC ⋅ IC [var]. Jedná se o tzv. výkon jalový
a jeho jednotkou je volt ampér reaktanní (var).
Okamitá hodnota výkonu v obvodu ideálního kondenzátoru je dána souinem
okamitých hodnot naptí a proudu q = uC ⋅ iC a jejím grafickým znázornním
prbhu je sinusoida s dvojnásobnou frekvencí. Kladné a záporné ásti ploch
výkonové kivky jsou stejn velké, tedy jejich souet je nulový a nulová je i konaná
elektrická práce. Tento výkon je jen výkonem výmnným, tedy dochází pouze
k pesunu energie zdroje do energie elektrického pole kondenzátoru a zpt.
SHRNUTÍ POJM
Ideální kondenzátor, fázový posun proudu a naptí na kondenzátoru, kapacitní
reaktance, kapacitní susceptance, výkon obvodu s kondenzátorem.
OTÁZKY
Jaký je fázový posun proudu a naptí na ideálním kondenzátoru?
Co je to kapacita, jak se znaí a jak ji vypoteme?
Co je to kapacitní reaktance, jak se znaí a jak ji vypoteme?
Co je to kapacitní susceptance, jak se znaí a jak ji vypoteme?
Jak vypoteme výkon v obvodu s ideálním kondenzátorem?
Jaký asový prbh má výkon v obvodu s ideálním kondenzátorem?
t
230 V, 50 Hz, prochází-li jím proud 4 A.
Jakou kapacitu musí mít, kondenzátor, aby jeho kapacitní reaktance byla 15 k, pi
frekvenci 300 Hz, 880 Hz, 1,9 kHz a 7,5 kHz?
Vypotte kapacitní susceptanci kondenzátoru s kapacitou 5,6 nF pi frekvenci
50 Hz.
POZNÁMKA:
Seznámení s ideálními prvky a s pomry proud a naptí na nich opt naleznete ve
výukové prezentaci íslo 1.
1.5. Sériové azení prvk
Protéká-li více prvky elektrického obvodu stejný proud, íkáme, e jsou tyto prvky
v obvodu azeny sériov (za sebou). Fázor elektrického proudu je pro sériov azené
prvky tzv. ídícím fázorem. Proud protékající jednotlivými prvky na nich vytváí úbytky
naptí, piem vektorový souet tchto úbytk je roven naptí pipojeného zdroje.
POZNÁMKA:
V této kapitole budeme povaovat všechny prvky elektrického obvodu za ideální
(jejich parazitní vlastnosti jsou zanedbány).
1.5.1. Sériové azení R a L
POZNÁMKA:
V této kapitole je popsán základ sériových obvod platný i pro další kapitoly se
sériov azenými prvky.
AS KE STUDIU
CÍL
Pochopit pomry veliin stídavého proudu v sériov azeném obvodu s ideálním
rezistorem a ideální cívkou. Nauit se konstruovat fázorové diagramy jak metodou
doplování na rovnobník, tak i metodou pesouvání jednoho fázoru na konec
jiného fázoru. Nauit se konstruovat impedanní a výkonové trojúhelníky.
Impedance = zdánlivý odpor obvodu sloeného z více prvk, znaí se Z a její
jednotkou je ohm ().
Fázorový diagram = grafické znázornní (grafický souet) fázor.
Fázový posun proudu a naptí na sériovém spojení ideálního rezistoru s ideální
cívkou = fázor naptí pedbíhá fázor proudu o úhel φ.
Impedanní trojúhelník = grafické znázornní ohmických (zdánlivých) odpor prvk
sériov sloeného obvodu.
Zdánlivý výkon = souin proudu a naptí, znaí se S a jeho jednotkou je volt ampér
- 27 -
stroje).
a zdánlivého).
VÝKLAD
Sériové azení ideálního rezistoru s odporem R a ideální cívky s indukností L je na
obrázku (v praxi velice asté spojení, nebo skutená cívka má vdy i inný
odpor RL). Obvodem po pipojení ke zdroji stídavého sinusového naptí U zane
procházet stídavý sinusový proud I. Tento proud vytvoí na rezistoru úbytek naptí
UR, který je s proudem ve fázi a na cívce vytvoí úbytek UL, který pedbíhá proud
o 90°. Vektorový souet tchto úbytk je roven naptí zdroje. Naptí zdroje pedbíhá
proud o úhel φ.
Grafický souet fázor nazýváme fázorový diagram. Konstrukce fázorového
diagramu vychází vdy z ídícího fázoru (u sériového azení je to fázor proudu):
ve vhodném mítku narýsujeme fázor proudu
ve fázi s tímto proudem v napovém mítku narýsujeme úbytek naptí na
rezistoru UR
o 90° ped fázor proudu narýsujeme fázor úbytku naptí na cívce UL (opt
v napovém mítku)
vektorovým soutem úbytk naptí na rezistoru a na cívce (doplnním na
rovnobník) dostáváme fázor naptí U
nakonec oznaíme úhel φ mezi proudem a naptím
UR
R
Postup konstrukce fázorového diagramu naleznete ve výukové prezentaci íslo 2.
Pi konstrukci fázorového diagramu meme pro sítání pouít i pesouvání jednoho
fázoru na konec fázoru druhého (v elektrotechnice se pouívá tento zpsob velice
asto pedevším pro sloitjší fázorové diagramy, protoe je pehlednjší).
Jak u bylo eeno, konstrukce fázorového diagramu vychází z ídícího fázoru
(u sériového azení je to fázor proudu):
rezistoru UR
na konec fázoru úbytku naptí na rezistoru UR, narýsujeme fázor úbytku naptí
na cívce UL (opt v napovém mítku), který pedbíhá fázor proudu o 90°
mezi poátek fázoru UR (obecn poátek prvního fázoru) a konec fázoru UL
(obecn konec posledního fázoru) narýsujeme fázor naptí U
nakonec opt oznaíme úhel φ mezi proudem a naptím (naptí pedbíhá
proud o úhel φ)
POZNÁMKA:
Postup konstrukce tímto zpsobem také naleznete ve výukové prezentaci íslo 2.
Z fázorového diagramu je patrné, e trojúhelník naptí UR, UL a U je pravoúhlý a platí
√
Prbh okamitých hodnot prou9du a jednotlivých naptí je na následujícím obrázku.
Naptí pedbíhá proud o úhel φ. Okamitá hodnota naptí je dána soutem
okamitých hodnot naptí na rezistoru a na cívce u = uR + uL.
Vydlíme-li fázory naptí ídícím fázorem proudu, dostaneme parametry tzv.
impedanního trojúhelníku:
kde Z je tzv. impedance obvodu, tedy zdánlivý odpor sériov azených prvk.
Jednotkou impedance je ohm ().
Nakreslíme-li ve vhodném mítku impedanní trojúhelník, zjistíme, e se jedná
o trojúhelník podobný (všechny úhly jsou stejné) k trojúhelníku zázorového diagramu.
Opt tedy platí rovnice:
nejdíve narýsujeme ve vhodném mítku úseku odporu R
dále narýsujeme úseku indukní reaktance XL otoenou o 90° (ve smru
naptí UL)
poté spojíme poátek úseky odporu a konec úseky indukní reaktance a tím
narýsujeme úseku impedance Z
Vynásobíme-li fázory naptí ídícím fázorem proudu, dostaneme parametry tzv.
výkonového trojúhelníku:
UR ⋅ I = P; UL ⋅ I = Q; U ⋅ I = S,
kde P je inný výkon (jednotkou je Watt - W), Q jalový výkon (volt ampér reaktanní -
var) a S výkon zdánlivý (volt ampér - VA).
inný výkon P koná práci (v rezistoru pemuje elektrickou energii na tepelnou),
jalový výkon Q pemuje energii zdroje v energii magnetické pole cívky a zdánlivý
výkon S je souin naptí a proudu ze zdroje, piem na hodnotu zdánlivého výkonu
se dimenzují elektrická zaízení (elektrické sít, generátory, transformátory, atd.).
Dosadíme-li za UR a UL z goniometrických funkcí fázorového diagramu UR = U ⋅ cos φ
a UL = U ⋅ sin φ, dostaneme známé vztahy pro inný a jalový výkon ve tvaru:
P = U ⋅ I ⋅ cos φ; Q = U ⋅ I ⋅ sin φ.
Také ve výkonovém trojúhelníku platí Pythagorova vta a goniometrické funkce
ve tvaru:
fázorového diagramu (a tedy i trojúhelníkem impedanním).
Pro doplnní uvádíme i konstrukci výkonového trojúhelníku:
nejprve narýsujeme úseku inného výkonu P (ve vhodném mítku)
dále narýsujeme úseku jalového výkonu Q pootoenou o 90° (ve
smru naptí UL)
úseky jalového výkonu, ím narýsujeme úseku
výkonu zdánlivého S
Prbh okamité hodnoty zdánlivého výkonu je dán souinem okamitých hodnot
naptí a proudu. Šrafované oblasti jsou plošn stejné a pedstavují výmnný jalový
výkon, ostatní plocha pedstavuje inný výkon.
SHRNUTÍ POJM
Fázový posun proudu a naptí na sériov spojených rezistoru a cívce, fázorový
diagram, impedance, impedanní trojúhelník, inný výkon, jalový výkon, zdánlivý
výkon, výkonový trojúhelník.
OTÁZKY
Jaký je fázový posun proudu a naptí na sériovém spojení rezistoru a cívky?
Co je to impedance jak ji znaíme a jak ji vypoteme?
Co je to fázorový diagram?
Co je to impedanní trojúhelník?
Co je to zdánlivý výkon, jak jej znaíme a jak jej vypoteme?
i
u
φ
Co je to výkonový trojúhelník a z eho se skládá?
EŠENÉ PÍKLADY
Píklad 1.5.1.1.
Zadání:
Vypotte impedanci sériového obvodu sloeného z rezistoru s odporem R = 1 k
a cívky s indukností L = 15 mH, pipojeného na zdroj stídavého naptí U = 1 V,
15 kHz. Vypotte té elektrický proud a výkon odebíraný ze zdroje a fázový posun
mezi proudem a naptím. Dále ve vhodném mítku nakreslete fázorový diagram,
impedanní trojúhelník a trojúhelník výkon.
ešení:
výkon:
Pokraujeme výpotem impedance:
Dále vypoteme proud odebíraný ze zdroje:
73 65 577 4 577 4
Pro narýsování fázorového diagramu si musíme vypoíst úbytky naptí na
jednotlivých prvcích:
⋅ 577 4 ⋅ 4 3 72 6 3
R = 1 k = 1 000 Z = ? L = 15 mH = 0,015 H I = ? U = 1 V P, Q, S = ? f = 15 kHz = 15 000 Hz φ = ?
UR
R
- 33 -
Vypoteme fázový posun mezi proudem a naptím (pouijeme vztah pro nkterou
goniometrickou funkci nap. cos):
POZNÁMKA:
Funkce „arccos“ vrací velikost úhlu z hodnoty jeho kosinu - na kalkulakách bývá
oznaena asto jako inverze ke kosinu tedy cos-1. Obdobn to platí i pro funkce
„arcsin“ (sin-1) - vrací velikost úhlu z hodnoty jeho sinu a „arctan“ (tan-1) - vrací
velikost úhlu z hodnoty tangenty úhlu.
Nyní meme pistoupit k vlastní konstrukci fázorového diagramu:
zvolíme mítko proudu 5 , pepoteme proudovou hodnotu na
hodnotu délkovou a narýsujeme fázor proudu:
577 4 577 4 577 4 | | 577 4
5 3 5
zvolíme mítko naptí , pepoteme napovou hodnotu na
hodnotu délkovou a narýsujeme ve fázi s proudem fázor úbytku naptí na
rezistoru UR:
pepoteme napovou hodnotu úbytku naptí na cívce UL na hodnotu
délkovou a o 90° ped fázor proudu narýsujeme fázor úbytku naptí na cívce
UL:
- 34 -
vektorovým soutem úbytk naptí na rezistoru a na cívce (doplnním na
rovnobník) dostáváme fázor naptí U:
( | |
)
( 54 43 55 63 )
zvolíme ohmické mítko 5 , pepoteme hodnotu odporu na
hodnotu délkovou a narýsujeme úseku odporu R:
| |
úseku indukní reaktance otoenou o 90°:
4 3 72 | | 4 3 72
5 2 3
spojíme poátek úseky odporu a konec úseky indukní reaktance, ím
narýsujeme úseku impedance Z:
( 73 65 | | 73 65
( 54 43 55 63 )
jalový výkon Q:
zdánlivý výkon S:
Nakonec zkonstruujeme výkonový trojúhelník:
úseku inného výkonu P:
úseku jalového výkonu Q:
spojíme poátek úseky inného výkonu a konec úseky jalového výkonu,
ím narýsujeme úseku zdánlivého výkonu S:
( 577 4 | | 577 4
( 54 43 55 63 )
POZNÁMKA:
Tento píklad si mete prakticky ovit na mícím modulu íslo 1.
P
Q
P
Zadání:
Jaké maximální naptí pi síovém kmitotu (50 Hz) me být pipojeno
k elektrickému zaízení se sériovým R, L náhradním obvodem, prochází-li proud pes
2A pojistku a nemá-li inný výkon pesáhnout 30 W pi úiníku cos φ = 0,8.
Vypotte parametry a ve vhodném mítku nakreslete fázorový diagram,
ešení:
výkon:
36 52 63 ( 6)
Pro narýsování fázorového diagramu si musíme vypoíst úbytky naptí na
jednotlivých prvcích:
⋅ 75 ⋅ 5
5
2 ⋅ ⋅ 5 7 7
I = 2 A U = ? P = 30 W UR, UL = ? cos φ = 0,8 R, XL, L, Z = ? f = 50 Hz Q, S = ?
UR
R
Nakonec vypoteme hodnoty výkon:
⋅ 25 ⋅ 2 22 5
2 | | 2
5 4
zvolíme mítko naptí 3 , pepoteme napovou hodnotu na
rezistoru UR:
5 | | 5
3 5
pepoteme napovou hodnotu úbytku naptí na cívce UL na
hodnotu délkovou a o 90° ped fázor proudu nakonec fázoru UR
narýsujeme fázor úbytku naptí na cívce UL:
25 | | 25
3 3 75
Spojením poátku fázoru UR s koncem fázoru UL dostáváme fázor naptí U:
( 75 | | 75
( 36 52 63 )
7 5 | | 7 5
úseku indukní reaktance otoenou o 90°:
5 625 | | 5 625
2 5 2 25
a impedancí:
a narýsujeme úseku jalového výkonu Q:
22 5 | | 22 5
( 37 5 | | 37 5
výkonem:
Úloha 1. 5. 1. 1.
mezi proudem a naptím. Dále ve vhodném mítku nakreslete fázorový diagram,
Úloha 1. 5. 1. 2.
Vypotte impedanci sériového obvodu sloeného z rezistoru s odporem R = 100
500 Hz. Vypotte té elektrický proud a výkon odebíraný ze zdroje a fázový posun
mezi proudem a naptím.
Úloha 1. 5. 1. 3.
Vypotte impedanci sériového obvodu sloeného z rezistoru s odporem R = 2,7 k
mezi proudem a naptím.
AS KE STUDIU
CÍL
rezistorem a ideálním kondenzátorem.
Fázový posun proudu a naptí na sériovém spojení ideálního rezistoru s ideálním
kondenzátorem = fázor proudu pedbíhá fázor naptí o úhel φ.
VÝKLAD
Sériové azení ideálního rezistoru s odporem R a ideálního kondenzátoru s kapacitou
C je na obrázku. Obvodem po pipojení ke zdroji stídavého sinusového naptí U
zane procházet stídavý sinusový proud I. Tento proud vytvoí na rezistoru úbytek
naptí UR, který je s proudem ve fázi a na kondenzátoru vytvoí úbytek UC, který se
zpouje za proudem o 90°. Vektorový souet tchto úbytk je roven naptí zdroje.
Naptí zdroje se zpouje za proudem o úhel φ.
Konstrukce fázorového diagramu opt vychází z ídícího fázoru (u sériového azení
je to fázor proudu):
rezistoru UR
o 90° za fázor proudu narýsujeme fázor úbytku naptí na kondenzátoru UC
(opt v napovém mítku)
vektorovým soutem úbytk na rezistoru a na kondenzátoru (doplnním na
oznaíme úhel φ mezi proudem a naptím
POZNÁMKA:
Postup konstrukce fázorového diagramu naleznete ve výukové prezentaci íslo 3.
Obdobn bychom mohli postupovat pomocí pesouvání jednoho fázoru na konec
fázoru druhého:
Z fázorového diagramu je patrné, e trojúhelník naptí UR, UC a U je opt pravoúhlý
a platí pro nj Pythagorova vta a goniometrické funkce. Meme tedy napsat
rovnice:
√
Prbh okamitých hodnot proudu a jednotlivých naptí je na obrázku. Naptí se
zpouje za proudem o úhel φ. Okamitá hodnota naptí je dána soutem
okamitých hodnot naptí na rezistoru a na kondenzátoru u = uR + uC.
Vydlíme-li fázory naptí ídícím fázorem proudu, dostaneme opt parametry
Po narýsování impedanního trojúhelníku (ve vhodném mítku), zjistíme, e se
jedná opt trojúhelník pravoúhlý a pak platí rovnice:
√
UR ⋅ I = P; UC ⋅ I = Q; U ⋅ I = S
Dosadíme-li opt za UR a UC z goniometrických funkcí fázorového diagramu
UR = U ⋅ cos φ a UC = U ⋅ sin φ, dostaneme známé vztahy pro inný a jalový výkon ve
tvaru: P = U ⋅ I ⋅ cos φ; Q = U ⋅ I ⋅ sin φ.
Také ve výkonovém trojúhelníku platí goniometrické funkce a Pythagorova vta ve
tvaru:
podobný s trojúhelníkem fázorového diagramu
(a tedy i trojúhelníkem impedanním).
OTÁZKY
Jaký je fázový posun proudu a naptí na sériov azených rezistoru a kondenzátoru?
Který fázor je v sériovém obvodu ídící?
EŠENÉ PÍKLADY
Píklad 1.5.2.1.
Zadání:
Vypotte impedanci sériového obvodu sloeného z rezistoru s odporem R = 1,2 k
a kondenzátoru s kapacitou C = 100 nF, pipojeného na zdroj stídavého naptí
U = 1 V, 1 kHz. Vypotte té elektrický proud a fázový posun mezi proudem

impedanního a výkonového trojúhelníku a tyto ve vhodném mítku narýsujte.
ešení:
výkon:
√ √ 2 5 55 3 25
Dále z hodnoty impedance Z a ze zadaného svorkového naptí U vypoteme celkový
proud I [A] odebíraný ze zdroje (uití Ohmova zákona):
3 25 5 5
Vypoteme fázový posun mezi proudem a naptím (pouijeme vztah pro nkterou
goniometrickou funkci pro impedanní trojúhelník nap. cos):
2
6 2 3 57 52 5 ( 7 472 6 )
Vypoteme úbytky naptí na jednotlivých prvcích (úbytek naptí na rezistoru UR a na
kondenzátoru UC):
R = 1,2 k = 1 200 Z = ? I = ?
C = 100 nF = 100⋅10-9 F φ = ? XC = ? U = 1 V UR, UC = ? f = 1 kHz = 1 000 Hz P, Q, S = ?
UR
R
zvolíme mítko proudu , pepoteme proudovou hodnotu na
5 5 | | 5
zvolíme mítko naptí 2 , pepoteme napovou hodnotu na
rezistoru UR:
6 | | 6
2 3
pepoteme napovou hodnotu úbytku naptí na kondenzátoru UC na hodnotu
délkovou a o 90° za fázor proudu narýsujeme fázor úbytku naptí na
kondenzátoru UC:
vektorovým soutem úbytk naptí na rezistoru a na kondenzátoru dostáváme
fázor naptí U:
(φ = 52°59)
zvolíme ohmické mítko 5 , pepoteme hodnotu odporu na
2 | | 2
úseku kapacitní reaktance otoenou o 90°:
5 55 | | 5 55
5 3 )
(φ = 52°59)
Vypoteme hodnoty výkon:
inný výkon P:
⋅ 6 ⋅ 5 3 3
R
R
XC
R
úseku jalového výkonu Q:
( 5 | | 5
(φ = 52°59)
POZNÁMKA:
P
Q
P
Q
P
S
Úloha 1. 5. 2. 1.
U = 5 V, 5 kHz. Vypotte té elektrický proud a fázový posun mezi proudem
a naptím. Dále vypotte úbytky naptí na rezistoru a na kondenzátoru a ve
vhodném mítku nakreslete fázorový diagram. Nakonec vypotte parametry
Úloha 1. 5. 2. 2.
U = 12 V, 6,2 kHz. Vypotte té elektrický proud a fázový posun mezi proudem
a naptím. Dále vypotte úbytky naptí na rezistoru a na kondenzátoru a ve
vhodném mítku nakreslete fázorový diagram. Nakonec vypotte parametry
- 49 -
AS KE STUDIU
CÍL
Pochopit pomry veliin stídavého proudu v sériov azeném obvodu s ideální
cívkou a ideálním kondenzátorem.
VÝKLAD
Sériové azení ideální cívky s indukností L a ideálního kondenzátoru s kapacitou C
je na obrázku.
Ve skutených obvodech je tato kombinace nemoná, protoe nememe zanedbat
parazitní parametry prvk – pedevším ohmický odpor vinutí cívky RL.
Obvodem po pipojení ke zdroji stídavého sinusového naptí U zane procházet
stídavý sinusový proud I. Tento proud vytvoí na cívce úbytek naptí UL, který
pedbíhá proud o 90° a na kondenzátoru vytvoí úbytek UC, který se zpouje za
proudem o 90°. Vektorový souet tchto úbytk je roven naptí zdroje. Naptí zdroje
bu pedbíhá proud, nebo se za proudem zpouje o úhel φ = 90° a to podle
velikosti úbytk naptí na cívce a na kondenzátoru. Je-li velikost úbytku naptí na
cívce vtší ne na kondenzátoru (UL > UC), bude naptí zdroje proud pedbíhat
a naopak bude-li vtší úbytek naptí na kondenzátoru ne na cívce (UC > UL), bude
se naptí za proudem zpoovat.
POZNÁMKA:
Budou-li velikosti úbytk naptí na cívce a na kondenzátoru stejné,
íkáme, e je obvod v rezonanci – rezonance není souástí tohoto textu.
I
UC
UL
Konstrukce fázorového diagramu opt vychází z ídícího fázoru, tedy proudu:
proud narýsujeme ve vhodném mítku
o 90° ped fázor proudu narýsujeme fázor úbytku naptí na cívce UL (ve
vhodném napovém mítku)
(napíklad pro UL > UC)
vektorovým soutem úbytk na cívce a na kondenzátoru (odetením úbytku na
kondenzátoru od úbytku na cívce) dostáváme fázor naptí U
oznaíme úhel φ = 90° mezi proudem a naptím
Z fázorového diagramu je patrné, e naptí na cívce a na kondenzátoru jsou
v protifázi a naptí je dáno jejich rozdílem U = UL – UC.
Prbh okamitých hodnot proudu a jednotlivých naptí je na obrázku (pro UL > UC
naptí pedbíhá proud o úhel φ = 90°). Okamitá hodnota naptí je dána soutem
(rozdílem) okamitých hodnot naptí na cívce a na kondenzátoru.
I
I
UL
I
UL
UC
I
Vydlíme-li fázory naptí ídícím fázorem proudu, dostaneme indukní a kapacitní
reaktanci:
Vynásobíme-li rozdíl fázor naptí na cívce a na kondenzátoru ídícím fázorem
proudu, dostaneme jalový výkon, který se „pelévá“ mezi zdrojem, magnetickým
polem cívky a elektrickým polem kondenzátoru:
(UL – UC) ⋅ I = Q.
SHRNUTÍ POJM
Fázový posun proudu a naptí na sériovém L, C obvodu, fázorový diagram.
OTÁZKY
Jaký je fázový posun proudu a naptí na sériovém L, C obvodu?
- 52 -
AS KE STUDIU
CÍL
rezistorem, ideální cívkou a ideálním kondenzátorem.
VÝKLAD
Sériové azení ideálního rezistoru s odporem R, ideální cívky s indukností L
a ideálního kondenzátoru s kapacitou C je na obrázku. Obvodem po pipojení ke
zdroji stídavého sinusového naptí U zane procházet stídavý sinusový proud I.
Tento proud vytvoí na rezistoru úbytek naptí UR, který je s proudem ve fázi, na
cívce vytvoí úbytek UL, který pedbíhá proud o 90° a na kondenzátoru vytvoí úbytek
UC, který se zpouje za proudem o 90°. Vektorový souet tchto úbytk je roven
naptí zdroje. Naptí zdroje bu pedbíhá proud, nebo se za proudem zpouje
o úhel φ a to podle velikosti úbytk naptí na cívce
a na kondenzátoru. Je-li velikost úbytku naptí na
cívce vtší ne na kondenzátoru (UL > UC), bude
naptí zdroje proud pedbíhat a naopak bude-li vtší
úbytek naptí na kondenzátoru ne na cívce
(UC > UL), bude se naptí za proudem zpoovat.
POZNÁMKA:
Budou-li velikosti úbytk naptí na cívce a na kondenzátoru
stejné, íkáme, e je obvod v rezonanci a naptí zdroje je
ve fázi s proudem a je rovno úbytku naptí na rezistoru
– rezonance není souástí tohoto textu.
UR I
Konstrukce fázorového diagramu opt vychází z ídícího fázoru (u sériového azení
je to fázor proudu):
rezistoru UR
o 90° ped fázor proudu narýsujeme fázor úbytku naptí na cívce UL (opt
v napovém mítku)
(napíklad pro UL > UC)
vektorovým soutem úbytk na rezistoru, na cívce a na kondenzátoru
(odetením úbytku na kondenzátoru od úbytku na cívce a doplnním na
oznaíme úhel φ mezi proudem a naptím
POZNÁMKA:

Obdobn bychom opt mohli postupovat pomocí pesouvání jednoho fázoru na
konec fázoru druhého:
Z fázorového diagramu je patrné, e trojúhelník naptí UR, (UL – UC) a U je pravoúhlý
a platí pro nj Pythagorova vta a goniometrické funkce. Meme tedy napsat
rovnice:
( )
√ ( )
Prbh okamitých hodnot proudu a jednotlivých naptí je na obrázku (varianta
pro UL > UC). Naptí pedbíhá proud o úhel φ. Okamitá hodnota naptí je dána
soutem okamitých hodnot naptí na rezistoru, na cívce a na kondenzátoru
u = uR + uL + uC.
Po nakreslení impedanního trojúhelníku (ve vhodném mítku), znovu vidíme, e se
jedná o pravoúhlý trojúhelník podobný trojúhelníku naptí. Musí tedy opt platit
rovnice:
UR ⋅ I = P; (UL – UC) ⋅ I = Q; U ⋅ I = S.
Dosadíme-li za UR a (UL – UC) z goniometrických funkcí fázorového diagramu
UR = U⋅cos φ a (UL – UC) = U ⋅ sin φ, opt dostaneme známé vztahy pro inný a
jalový výkon ve tvaru: P = U ⋅ I ⋅ cos φ; Q = U ⋅ I ⋅ sin φ.
Také ve výkonovém trojúhelníku platí Pythagorova vta a goniometrické funkce ve
tvaru:
Výkonový trojúhelník je jak ji víme trojúhelník podobný s trojúhelníkem fázorového
diagramu (a tedy i trojúhelníkem impedanním).
SHRNUTÍ POJM
Fázový posun proudu a naptí na sériovém R, L, C obvodu, fázorový diagram,
impedanní trojúhelník, výkonový trojúhelník.
OTÁZKY
Jaký je fázový posun proudu a naptí na sériovém R, L, C obvodu?
EŠENÉ PÍKLADY
Píklad 1.5.4.1.
Zadání:
Vypotte proud tekoucí ze zdroje stídavého naptí U = 1 V, 10 kHz do sériového
obvodu sloeného z rezistoru s odporem R = 100 , cívky s indukností L = 10 mH

ze zdroje, parametry impedanního trojúhelníku a fázový posun mezi proudem
a naptím. Ve vhodném mítku nakreslete fázorový diagram, impedanní trojúhelník
a trojúhelník výkon.
výkon:
2 ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ 62 32
47 7 2 46
2 46 77 5 ( 7 3)
R = 100 Z = ? L = 10 mH = 0,01 H I = ? C = 100 nF = 100⋅10-9 XC, XL = ? U = 1 V P, Q, S = ? f = 10 kHz = 10 000 Hz φ = ?
UR I

- 57 -
Abychom vypoetli úbytky naptí na rezistoru, cívce a kondenzátoru musíme znát
proud protékající obvodem, ten vypoteme pomocí Ohmova zákona.
47 7 2 4 6 2 4 6
Nyní vypoteme úbytky naptí na rezistoru, cívce a kondenzátoru.
⋅ ⋅ 2 4 6 2 46 2 46
⋅ 62 32 ⋅ 2 4 6 3
⋅ 5 5 ⋅ 2 4 6 33 76 33 76
Abychom narýsovali výkonový trojúhelník, musíme vypoítat inný výkon (P [W]),
jalový výkon (Q [var]) a zdánlivý výkon (S [VA]).
⋅ ⋅ ⋅ 2 4 6 ⋅ 2 46 434 5 434 5
⋅ ⋅ ⋅ 2 4 6 ⋅ 7 3 2 3 2 3
⋅ ⋅ 2 4 6 2 4 6 2 5
2 4 6 2 4 6 | | 2 4 6
5 4 7
zvolíme mítko naptí , pepoteme napovou hodnotu na
rezistoru UR:
pepoteme napovou hodnotu úbytku naptí na cívce UL na hodnotu
délkovou a na konec fázoru úbytku naptí na rezistoru (ve smru posunutí
o 90° ped fázor proudu) narýsujeme fázor úbytku naptí na cívce UL:
3 | | 3
kondenzátoru UC na hodnotu délkovou a na konec fázoru
úbytku naptí na cívce (ve smru posunutí o 90° za fázor
proudu) narýsujeme fázor úbytku naptí na kondenzátoru
UC:
na rezistoru a konec fázoru úbytku na
kondenzátoru:
proudem a naptím
délkovou a narýsujeme úseku odporu R:
| |
otoenou o 90° (ve smru naptí UL):
62 32 | | 62 32
délkovou a narýsujeme její úseku na konec indukní
reaktance otoenou o 180° proti ní:
5 5 | | 5 5
reaktance, ím narýsujeme úseku impedance Z:
( 47 7 | | 47 7
(φ = 77 5 )
2 2 7
a narýsujeme úseku jalového výkonu Q:
2 3 | | 2 3
jalového výkonu, ím narýsujeme úseku zdánlivého
výkonu S:
výkonem:
POZNÁMKA:
P
Q
P
Úloha 1. 5. 4. 1.
Vypotte proud tekoucí ze zdroje stídavého naptí U = 200 mV, 9 kHz do
sériového obvodu sloeného z rezistoru s odporem R = 10 , cívky s indukností
L = 100 mH a kondenzátoru s kapacitou C = 10 nF. Ve vhodném mítku nakreslete
fázorový diagram, impedanní trojúhelník a trojúhelník výkon.
Úloha 1. 5. 4. 2.
Vypotte proud tekoucí ze zdroje stídavého naptí U = 100 mV, 5 kHz do
sériového obvodu sloeného z rezistoru s odporem R = 47 , cívky s indukností
L = 470 mH a kondenzátoru s kapacitou C = 4,7 nF. Ve vhodném mítku nakreslete
fázorový diagram, impedanní trojúhelník a trojúhelník výkon.
Úloha 1. 5. 4. 3.
Vypotte proud tekoucí ze zdroje stídavého naptí U = 2 V, 50 Hz do sériového
obvodu sloeného z rezistoru s odporem R = 470 , cívky s indukností L = 470 mH
a kondenzátoru s kapacitou C = 4,7 μF. Ve vhodném mítku nakreslete fázorový
diagram, impedanní trojúhelník a trojúhelník výkon.
- 62 -
1.6. Paralelní azení prvk
Je-li na prvcích elektrického obvodu stejné naptí, íkáme, e prvky tohoto obvodu
jsou azeny paraleln (vedle sebe). ídícím fázorem pro paraleln azené prvky je
fázor elektrického naptí. Proud tekoucí z napového zdroje se rozdlí do
jednotlivých paraleln azených prvk v pomru jejich vodivostí, piem vektorový
souet tchto proud je roven proudu tekoucího z pipojeného zdroje.
POZNÁMKA:
I v této kapitole budeme povaovat všechny prvky elektrického obvodu za ideální
(jejich parazitní vlastnosti jsou zanedbány).
1.6.1. Paralelní azení R a L
POZNÁMKA:
V této kapitole je popsán základ paralelních obvod platný i pro další kapitoly
s paraleln azenými prvky.
CÍL
Pochopit pomry veliin stídavého proudu v paraleln azeném obvodu s ideálním
rezistorem a ideální cívkou.
Admitance = zdánlivá vodivost obvodu sloeného z více prvk (paraleln azených),
znaí se Y a její jednotkou je Siemens (S).
Admitanní trojúhelník = grafické znázornní (zdánlivých) vodivostí prvk obvodu
sloeného paraleln.
inný proud = sloka proudu (vzniklá jeho rozkladem), která je ve fázi s naptím,
znaí se I [A].
Jalový proud = sloka proudu (vzniklá jeho rozkladem), která je kolmá na fázor
naptí, znaí se Ij [A].
- 63 -
VÝKLAD
Paralelní azení ideálního rezistoru s odporem R a ideální cívky s indukností L je na
obrázku. Obvodem po pipojení ke zdroji stídavého sinusového naptí U zane
procházet stídavý sinusový proud I. Tento proud se rozdlí na proud tekoucí
rezistorem IR, který je ve fázi s naptím a na proud tekoucí cívkou IL, který se
zpouje za naptím o 90°. Vektorový souet tchto proud je roven proudu ze
zdroje. Proud ze zdroje se zpouje za naptím o úhel φ (naptí zdroje pedbíhá
proud o úhel φ).
Konstrukce fázorového diagramu opt vychází z ídícího fázoru (u paralelního azení
je to fázor naptí):
ve vhodném mítku narýsujeme fázor naptí U
ve fázi s tímto naptím narýsujeme (v proudovém mítku) proud tekoucí
rezistorem IR
o 90° za fázor naptí narýsujeme fázor proudu tekoucího cívkou
IL (opt v proudovém mítku)
vektorovým soutem proud tekoucích rezistorem a cívkou (doplnním na
rovnobník) dostáváme fázor proudu I tekoucího ze zdroje
nakonec oznaíme úhel φ mezi naptím a proudem
Obdobn bychom opt mohli postupovat pomocí pesouvání jednoho fázoru na konec fázoru druhého.
I U
L IL
íslo 5.
Z fázorového diagramu je patrné, e trojúhelník proud IR, IL a I je pravoúhlý a platí
√
Prbh okamitých hodnot naptí a jednotlivých proud je na následujícím obrázku.
Proud se zpouje za naptím o úhel φ. Okamitá hodnota proudu je dána soutem
okamitých hodnot proud tekoucích rezistorem a cívkou i = iR + iL.
Vydlíme-li fázory proud ídícím fázorem naptí, dostaneme parametry tzv.
admitanního trojúhelníku:
kde Y je tzv. admitance obvodu, tedy zdánlivá vodivost paraleln azených prvk.
Jednotkou admitance je Siemens (S).
Nakreslíme-li ve vhodném mítku admitanní trojúhelník, zjistíme, e se jedná
o trojúhelník podobný trojúhelníku proud (ve fázorovém diagramu). Opt tedy platí
rovnice:
nejdíve narýsujeme ve vhodném mítku úseku vodivosti G
dále narýsujeme úseku indukní susceptance BL otoenou o 90° (ve smru
proudu IL)
poté spojíme poátek úseky vodivosti a konec úseky indukní susceptance
a tím narýsujeme úseku admitance Y
nakonec znázorníme úhel φ mezi vodivostí a admitancí
Vynásobíme-li fázory proud ídícím fázorem naptí, dostaneme parametry
IR ⋅ U = P; IL ⋅ U = Q; I ⋅ U = S,
kde P je inný výkon (jednotkou je Watt - W), Q jalový výkon (volt ampér reaktanní -
var) a S výkon zdánlivý (volt ampér - VA).
Dosadíme-li za IR a IL z goniometrických funkcí fázorového diagramu IR = I ⋅ cos φ
a IL = I ⋅ sin φ, dostaneme známé vztahy pro inný a jalový výkon ve tvaru:
P = U ⋅ I ⋅ cos φ; Q = U ⋅ I ⋅ sin φ.
Také ve výkonovém trojúhelníku platí Pythagorova vta a goniometrické funkce ve
tvaru:
s trojúhelníkem fázorového diagramu (a tedy i trojúhelníkem
admitanním).
Pro doplnní a opakování opt uvádíme i konstrukci výkonového trojúhelníku:
nejprve narýsujeme úseku inného výkonu P (ve vhodném mítku)

G
BL
Y
G
G
BL
G
BL
Y
- 66 -
dále narýsujeme úseku jalového výkonu Q pootoenou o 90° (ve smru
proudu IL)
poté spojíme poátek úseky inného výkonu a konec úseky jalového výkonu,
ím narýsujeme úseku výkonu zdánlivého S
nakonec znázorníme úhel φ mezi inným a zdánlivým výkonem
Na paralelním obvodu také meme snadno pedvést rozklad proudu na innou
a jalovou sloku. inný proud I je definován jako ást proudu, která je ve fázi
s naptím. Jalový proud Ij je definován jako sloka proudu kolmá na naptí (ped
nebo za). Rozloením proudu na tyto sloky a porovnáním s fázorovým diagramem
je zejmé, e inný proud je roven proudu tekoucímu rezistorem IR a jalový proud je
roven proudu tekoucímu cívkou IL.
Na základ definice inné a jalové sloky proudu a dosazením za IR a IL do vztah pro výkony (IR = I; IL = Ij) dostaneme vztahy ve tvaru: P = I ⋅ U; Q = Ij ⋅ U.
Porovnáním se vztahy: P = U ⋅ I ⋅ cos φ; Q = U ⋅ I ⋅ sin φ, odvodíme také vztahy

Date post:	15-Oct-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	14 times
Download:	1 times

Základy elektrotechniky – řešení příkladů

Documents